20741

Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений

Доклад

Математика и математический анализ

Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений Метод Жордана – ГауссаМЖГ. Каждое элементарное преобразование системы является равносильным Докво: 1 – равносильное преобразование. x1xn – решение Каждому элементарному преобразованию СЛАУ соответствует элементарное преобразование строк расширенной матрицы системы.

Русский

2013-07-31

50.5 KB

11 чел.

13.Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений

Метод Жордана – Гаусса(МЖГ).

МЖГ – метод последовательного исключения  неизвестных в процессе решения СЛАУ.

При этом используется следующее элементарные преобразования:

  1.  Умножение левой и правой части уравнения на число отличное от 0.
  2.  Прибавление к левой и правой частям одного ур-я  соотв. частей другого ур-я, умноженных на произв. число.
  3.  Удаление систем ур-ий вида 0x1+0x2+…+0x4=0

Лемма. Каждое элементарное преобразование системы является равносильным

Док-во: 1) – равносильное преобразование.

              ()

Аналогично 2) и 3). (x1xn) – решение

Каждому элементарному преобразованию СЛАУ соответствует элементарное преобразование строк расширенной матрицы системы.

Алгоритм решения:

         

Предположения: 1)СЛАУ – совместна; 2)первые столбцов матрицыA – лин.независимы.

В процессе решения СЛАУ возможны 3 случая:

I. Система не совместна.(тогда и т. тогда, когда в процессе решения возникает ур-е 0x1+0x2+…+0xn=

II.Система имеет единственное решение .(случай реализуется  когда число оставшихся ур-ий после окончания алгоритма МЖГ совпадают с числом неизвестных).

III.Система имеет бесконечно много решений.

     , число оставшихся ур-ий  меньше числа неизвестных.

Если реализовался случай III, то все переменные делятся на 2 вида: главные(базисные) и свободные( небазисные).Кол-во свободных неизвестных   .

Свободным неизвестным можно присваивать произвольные значения и использовав систему(*), найти значение главных.

Структура мн-ва решений СЛАУ. ФСР(фундаментальн. система решений).

Лемма1. Мн-во решений однородной СЛАУ (1) – явл. подпр-вом линейного про- ва. Причем размерность этого подпр-ва = числу свободных неизвестных, если III и II = 0.

Лемма 2. Пусть AX=B (совм. система лин. ур-ий). М – мн-во решений этой системы, тогда ,где т.е. базис пр-ва решений AX=0.

a0- произвольное решение неоднородной системы AX=B. Здесь предполагается, что реализуется случай III, т.е система имеет беск. много решений.

Решение совместн.неоднородной системы есть линейное многообразие n-мерного пр-ва.

M – структура лин.многообразия имеет вид M=a+V, где V –пр-во решений соотв.однородной системы,a a –произв.вектор из n.  Согласно Лемме1   ,

т.к базис любого пр-ва – не единств., то ФСР – определ. не однозначно.

Теорема. (Структура мн-ва решений системы линейных уравнений).

Любое решение неоднородной системы (I) представима в виде суммы двух решений: a+x, где a-фиксированное реш.системы (I), a x – некоторое решение системы(II)

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47327. Зарубежная педагогическая мысль и образование первой половины ХХ века 167.74 KB
  В первой половине XX века в мировой школе и педагогике произошли существенные изменения: рост требований к объему знаний, умений, навыков, новые исследования о природе ребенка, практический опыт учебных заведений и др. Увеличивается число педагогических центров: Лига нового воспитания, Международное Бюро Просвещения. В отдельных странах действуют национальные педагогические объединения, например, Прогрессивная ассоциация народного образования (США).
47328. Описание технологического процесса приготовления салата фирменного «Пикантный», стейка из свинины 93.29 KB
  Описание технологического процесса приготовления салата фирменного стейка со сложным гарниром чизкейка. Содержание Введение Характеристика темы Рецептура на блюда и изделие Товароведная характеристика сырья Технологический процесс...
47330. Анатомия человека. М.Р. Сапин 4.06 MB
  Существует еще одна классификация, согласно которой единую нервную систему также условно подразделяют на две части: соматическую (анимальную) и вегетативную (автономную). Соматическая нервная система иннервирует главным образом органы сомы (тело, поперечнополосатые, или скелетные, мышцы, кожу) и некоторые внутренние органы (язык, гортань, глотка), обеспечивает связь организма с внешней средой
47331. Акушерство. Акушерское обследование 3.5 MB
  Врач или акушерка осуществляет постоянное наблюдение за появлением признаков, свидетельствующих об отделении плаценты от стенки матки. Существует ряд симптомов, связанных с изменением формы и положения матки и с состояние пуповины.
47332. EXCEL З НУЛЯ (збірник лабораторних та практичних робіт) 1.32 MB
  У збірнику вміщено завдання для лабораторних та практичних робіт в середовищі Excel. Задачі систематизовано за темами, в кожній темі вони упорядковані за зростанням складності. До завдань для лабораторних робіт надано детальні покрокові вказівки. Збірник буде корисним для вчителів, студентів, учнів і всіх тих, хто прагне навчитись працювати в середовищі Excel.
47335. Технология изготовления зубчатых колес 218 KB
  Зубчатые передачи, используемые в различных механизмах и машинах, делят на цилиндрические, конические, червячные, смешанные и гиперболоидные (винтовые и гипоидные).