20741

Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений

Доклад

Математика и математический анализ

Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений Метод Жордана ГауссаМЖГ. Каждое элементарное преобразование системы является равносильным Докво: 1 равносильное преобразование. x1xn решение Каждому элементарному преобразованию СЛАУ соответствует элементарное преобразование строк расширенной матрицы системы.

Русский

2013-07-31

50.5 KB

11 чел.

13.Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений

Метод Жордана – Гаусса(МЖГ).

МЖГ – метод последовательного исключения  неизвестных в процессе решения СЛАУ.

При этом используется следующее элементарные преобразования:

  1.  Умножение левой и правой части уравнения на число отличное от 0.
  2.  Прибавление к левой и правой частям одного ур-я  соотв. частей другого ур-я, умноженных на произв. число.
  3.  Удаление систем ур-ий вида 0x1+0x2+…+0x4=0

Лемма. Каждое элементарное преобразование системы является равносильным

Док-во: 1) – равносильное преобразование.

              ()

Аналогично 2) и 3). (x1xn) – решение

Каждому элементарному преобразованию СЛАУ соответствует элементарное преобразование строк расширенной матрицы системы.

Алгоритм решения:

         

Предположения: 1)СЛАУ – совместна; 2)первые столбцов матрицыA – лин.независимы.

В процессе решения СЛАУ возможны 3 случая:

I. Система не совместна.(тогда и т. тогда, когда в процессе решения возникает ур-е 0x1+0x2+…+0xn=

II.Система имеет единственное решение .(случай реализуется  когда число оставшихся ур-ий после окончания алгоритма МЖГ совпадают с числом неизвестных).

III.Система имеет бесконечно много решений.

     , число оставшихся ур-ий  меньше числа неизвестных.

Если реализовался случай III, то все переменные делятся на 2 вида: главные(базисные) и свободные( небазисные).Кол-во свободных неизвестных   .

Свободным неизвестным можно присваивать произвольные значения и использовав систему(*), найти значение главных.

Структура мн-ва решений СЛАУ. ФСР(фундаментальн. система решений).

Лемма1. Мн-во решений однородной СЛАУ (1) – явл. подпр-вом линейного про- ва. Причем размерность этого подпр-ва = числу свободных неизвестных, если III и II = 0.

Лемма 2. Пусть AX=B (совм. система лин. ур-ий). М – мн-во решений этой системы, тогда ,где т.е. базис пр-ва решений AX=0.

a0- произвольное решение неоднородной системы AX=B. Здесь предполагается, что реализуется случай III, т.е система имеет беск. много решений.

Решение совместн.неоднородной системы есть линейное многообразие n-мерного пр-ва.

M – структура лин.многообразия имеет вид M=a+V, где V –пр-во решений соотв.однородной системы,a a –произв.вектор из n.  Согласно Лемме1   ,

т.к базис любого пр-ва – не единств., то ФСР – определ. не однозначно.

Теорема. (Структура мн-ва решений системы линейных уравнений).

Любое решение неоднородной системы (I) представима в виде суммы двух решений: a+x, где a-фиксированное реш.системы (I), a x – некоторое решение системы(II)

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24033. Влагалище: строение, топография, кровоснабжение, иннервация, отношение к брюшине 277 KB
  Влагалищные артерии происходят из маточных артерий а также из нижних мочепузырных средних прямокишечных и внутренних половых артерий. Большие и малые половые губы получают кровь по передним губным ветвям из наружной половой артерии правой и левой ветви соответствующей бедренной артерии а также по задним губным ветвям из промежностных артерий являющихся ветвями внутренних половых артерий. В кровоснабжении клитора и луковицы преддверия принимают участие парные глубокая артерия клитора дорсальная артерия клитора артерии луковицы...
24034. Острые лейкозы. Классификации 37.38 KB
  Неотложная помощь при гипертоническом кризе гиперкинетического типа Неотложную терапию при гипертоническом кризе гиперкинетического типа начинают с внутривенного введения 6 10 мл 05ного раствора или 3 5 мл 1ного раствора дибазола. Для купирования криза индерал или обзидан вводят внутривенно струйно в дозе 5 мг на 10 15 мл изотонического раствора натрия хлорида. Внутривенно или внутримышечно вводят 1 мл 01ного раствора рауседила. Внутривенно капельно вводят 1 мл 25ного раствора аминазина на 100 250 мл 5ного раствора глюкозы или...
24035. Бронхоэктатическая болезнь: клиника, диагностика, лечение 34.59 KB
  Существуют несколько классификаций бронхоэктатической болезни но в клинической практике чаще используется классификация А. Форма болезни: а легкая бронхитическая б выраженная в тяжелая г сухая кровоточащая. Течение болезни: а стационарное б прогрессирующее частота и длительность обострении. При хорошо собранном анамнезе часто удается выявить перенесенную в раннем детском возрасте пневмонию послужившую причиной развития бронхоэктатической болезни.
24036. Симптоматические язвы желудка и двенадцатиперстной кишки: клиника, диагностика 33.68 KB
  Симптоматические язвы желудка и двенадцатиперстной кишки это язвы которые возникают под действием язвопровоцирующего фактора. Их отличает от язвенной болезни то что всегда удается выявить провоцирующий язву фактор и если убрать этот фактор заживление язвы и выздоровление происходит достаточно быстро. Симптоматические язвы бывают: стрессовые лекарственные эндокринные возникшие на фоне заболеваний других внутренних органов.
24037. Ревматоидный артрит: клиника, диагностика, лечение 36.22 KB
  Течение болезни Ревматоидный артрит прогрессирует в трёх стадиях. Критериями неблагоприятного прогноза являются: раннее поражение крупных суставов и появление ревматоидных узелков увеличение лимфатических узлов вовлечение новых суставов при последующем обострении; системный характер болезни; персистирующая активность болезни при отсутствии ремиссии более года; стойкое увеличение СОЭ; раннее появление в течение первого года и высокие титры ревматоидного фактора ранние до четырёх месяцев рентгенологические изменения со стороны поражённых...
24038. Хронические обструктивные болезни легких 33.58 KB
  Мерцание и трепетание предсердий: тактика лечения. Мерцание предсердий хаотичное сокращение отдельных групп мышечных волокон предсердий при этом предсердия в целом не сокращаются а в связи с изменчивостью атриовентрикулярного проведения желудочки сокращаются аритмично обычно с частотой около 100150 в 1 мин. Трепетание предсердий регулярное сокращение предсердий с частотой около 250300 в 1 мин; частота желудочковых сокращений определяется предсердножелудочковой проводимостью желудочковый ритм может быть при этом регулярным или...
24039. Желчекаменная болезнь: этиология, клиника, диагностика 27.21 KB
  АМИЛОИДОЗ ПОЧЕК АП является проявлением общего амилоидоза который представляет собой системное заболевание характеризующееся внеклеточным отложением особого белковополисахаридного комплекса амилоида что приводит в конечном итоге к нарушению функции органов. До сих пор не существует общепринятой классификации амилоидоза. По наличию или отсутствию причинного фактора выделяют следующие формы амилоидоза: 1 идиопатический первичный; 2 наследственный генетический встречающийся при периодической болезни и некоторых формах семейного...
24040. Анемия. Классификации 23.57 KB
  Для этого наиболее удобно делить анемии по единому классификационному признаку цветовому показателю. Классификация анемий Анемии подразделяют на группы по различным признакам. В зависимости от него различают такие анемии: Гипохромные ЦП ниже 085: железодефицитная анемия талассемии Нормохромные ЦП в норме: гемолитические анемии когда скорость разрушения эритроцитов превышает скорость их продукции постгеморрагическая как результат потери крови вследствие кровотечения или кровоизлияния неопластические заболевания костного мозга...
24041. Системная красная волчанка: этиология, клиника, диагностика 26.34 KB
  Системная красная волчанка СКВ болезнь ЛибманаСакса лат. Разумеется эти симптомы не патогномоничны но сочетание с другими более специфическими увеличивает вероятность того что больной страдает СКВ. Дерматологические проявления Кожные проявления имеются у 65 больных СКВ возникают одними из первых однако только у 30 50 отмечается классическая сыпь на щеках в форме бабочки. Гнёздная алопеция и ульцерация полости рта и носа влагалища также в числе возможных проявлений СКВ.