20741

Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений

Доклад

Математика и математический анализ

Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений Метод Жордана – ГауссаМЖГ. Каждое элементарное преобразование системы является равносильным Докво: 1 – равносильное преобразование. x1xn – решение Каждому элементарному преобразованию СЛАУ соответствует элементарное преобразование строк расширенной матрицы системы.

Русский

2013-07-31

50.5 KB

11 чел.

13.Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений

Метод Жордана – Гаусса(МЖГ).

МЖГ – метод последовательного исключения  неизвестных в процессе решения СЛАУ.

При этом используется следующее элементарные преобразования:

  1.  Умножение левой и правой части уравнения на число отличное от 0.
  2.  Прибавление к левой и правой частям одного ур-я  соотв. частей другого ур-я, умноженных на произв. число.
  3.  Удаление систем ур-ий вида 0x1+0x2+…+0x4=0

Лемма. Каждое элементарное преобразование системы является равносильным

Док-во: 1) – равносильное преобразование.

              ()

Аналогично 2) и 3). (x1xn) – решение

Каждому элементарному преобразованию СЛАУ соответствует элементарное преобразование строк расширенной матрицы системы.

Алгоритм решения:

         

Предположения: 1)СЛАУ – совместна; 2)первые столбцов матрицыA – лин.независимы.

В процессе решения СЛАУ возможны 3 случая:

I. Система не совместна.(тогда и т. тогда, когда в процессе решения возникает ур-е 0x1+0x2+…+0xn=

II.Система имеет единственное решение .(случай реализуется  когда число оставшихся ур-ий после окончания алгоритма МЖГ совпадают с числом неизвестных).

III.Система имеет бесконечно много решений.

     , число оставшихся ур-ий  меньше числа неизвестных.

Если реализовался случай III, то все переменные делятся на 2 вида: главные(базисные) и свободные( небазисные).Кол-во свободных неизвестных   .

Свободным неизвестным можно присваивать произвольные значения и использовав систему(*), найти значение главных.

Структура мн-ва решений СЛАУ. ФСР(фундаментальн. система решений).

Лемма1. Мн-во решений однородной СЛАУ (1) – явл. подпр-вом линейного про- ва. Причем размерность этого подпр-ва = числу свободных неизвестных, если III и II = 0.

Лемма 2. Пусть AX=B (совм. система лин. ур-ий). М – мн-во решений этой системы, тогда ,где т.е. базис пр-ва решений AX=0.

a0- произвольное решение неоднородной системы AX=B. Здесь предполагается, что реализуется случай III, т.е система имеет беск. много решений.

Решение совместн.неоднородной системы есть линейное многообразие n-мерного пр-ва.

M – структура лин.многообразия имеет вид M=a+V, где V –пр-во решений соотв.однородной системы,a a –произв.вектор из n.  Согласно Лемме1   ,

т.к базис любого пр-ва – не единств., то ФСР – определ. не однозначно.

Теорема. (Структура мн-ва решений системы линейных уравнений).

Любое решение неоднородной системы (I) представима в виде суммы двух решений: a+x, где a-фиксированное реш.системы (I), a x – некоторое решение системы(II)

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16898. Объекты Math: редактор формул OpenOfficeorg 393.19 KB
  Лабораторная работа № 7 Объекты Math: редактор формул OpenOffice.org Оборудование: ПКПрограммное обеспечение: Windows OpenOffice.org WriterЦель работы: приобретение и закрепление практических навыков работы в текстовом процессоре Writer OpenOffice.org OOo имеет компонент для создания и ре
16899. Работа с таблицами в OpenOfficeorg 431.22 KB
  Лабораторная работа № 8 Работа с таблицами Оборудование: ПКПрограммное обеспечение: Windows OpenOffice.org WriterЦель работы: приобретение и закрепление практических навыков работы в текстовом процессоре Writer Таблицы являются полезным средством для организации и представл...
16900. Знакомство с программой KompoZer 818.5 KB
  Лабораторная работа Знакомство с программой KompoZer Цель работы: познакомиться с рабочей средой программы KompoZer научиться создавать сайт на основе шаблона 1.2 Технические средства Оборудование: ПК; Программное обеспечение: KompoZer Примерное время ра...
16901. Знакомство с программой KompoZer. Лабораторная работа 807 KB
  Лабораторная работа №9. Знакомство с программой KompoZer. Цели лабораторной работы: познакомиться с рабочей средой программы KompoZer создать сайт на основе шаблона. Описание пунктов меню в KompoZer можно просмотреть в файле Описание пунктов меню в KompoZer.doc. Панель инстр...
16902. РАХМАНИНОВ, СЕРГЕЙ ВАСИЛЬЕВИЧ 31.5 KB
  РАХМАНИНОВ СЕРГЕЙ ВАСИЛЬЕВИЧ Rakhmaninov 1873–1943 русский композитор и пианист. Родился 20 марта 1 апреля 1873 в имении Онег Новгородской губернии. Проявив интерес к музыке уже в четыре года обучался игре на фортепиано а в девять лет поступил на фортепианное отделение СанктПете...
16903. Римский-Корсаков Николай Андреевич 39.5 KB
  Римский Корсаков Николай Андреевич [618.3.1844 Тихвин 821.6.1908 усадьба Любенск близ Луги ныне Ленинградской области] русский композитор педагог дирижёр общественный деятель музыкальный писатель. Из дворян. Получил образование в петербургском Морском корпусе по окон
16904. СКРЯБИН, АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ 35.5 KB
  СКРЯБИН АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ 1872–1915 русский композитор и пианист. Родился 25 декабря 1871 6 января 1872 в Москве. Окончив Московскую консерваторию где занимался в частности у А.С.Аренского и С.И.Танеева Скрябин начал давать концерты и преподавать однако вскоре сосредоточ
16905. ПЕТР ИЛЬИЧ ЧАЙКОВСКИЙ 42.5 KB
  ПЕТР ИЛЬИЧ ЧАЙКОВСКИЙ Tchaikovsky Petr Ilich 1840–1893 русский композитор музыка которого отличается красочностью романтичностью и необычайным мелодическим богатством. Родился 25 апреля 7 мая 1840 в Воткинске Вятская губерния в семье начальника КамскоВоткинского завода горного...
16906. Шостакович, Дмитрий Дмитриевич 32.5 KB
  Шостакович Дмитрий Дмитриевич [1225.9.1906 Петербург 9.8.1975 Москва] советский композитор народный артист СССР 1954 Герой Социалистического Труда 1966 доктор искусствоведения 1965. Родился в семье инженера. Окончил Ленинградской консерваторию по классу фортепьяно у Л. В. Ни