20741

Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений

Доклад

Математика и математический анализ

Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений Метод Жордана ГауссаМЖГ. Каждое элементарное преобразование системы является равносильным Докво: 1 равносильное преобразование. x1xn решение Каждому элементарному преобразованию СЛАУ соответствует элементарное преобразование строк расширенной матрицы системы.

Русский

2013-07-31

50.5 KB

11 чел.

13.Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений

Метод Жордана – Гаусса(МЖГ).

МЖГ – метод последовательного исключения  неизвестных в процессе решения СЛАУ.

При этом используется следующее элементарные преобразования:

  1.  Умножение левой и правой части уравнения на число отличное от 0.
  2.  Прибавление к левой и правой частям одного ур-я  соотв. частей другого ур-я, умноженных на произв. число.
  3.  Удаление систем ур-ий вида 0x1+0x2+…+0x4=0

Лемма. Каждое элементарное преобразование системы является равносильным

Док-во: 1) – равносильное преобразование.

              ()

Аналогично 2) и 3). (x1xn) – решение

Каждому элементарному преобразованию СЛАУ соответствует элементарное преобразование строк расширенной матрицы системы.

Алгоритм решения:

         

Предположения: 1)СЛАУ – совместна; 2)первые столбцов матрицыA – лин.независимы.

В процессе решения СЛАУ возможны 3 случая:

I. Система не совместна.(тогда и т. тогда, когда в процессе решения возникает ур-е 0x1+0x2+…+0xn=

II.Система имеет единственное решение .(случай реализуется  когда число оставшихся ур-ий после окончания алгоритма МЖГ совпадают с числом неизвестных).

III.Система имеет бесконечно много решений.

     , число оставшихся ур-ий  меньше числа неизвестных.

Если реализовался случай III, то все переменные делятся на 2 вида: главные(базисные) и свободные( небазисные).Кол-во свободных неизвестных   .

Свободным неизвестным можно присваивать произвольные значения и использовав систему(*), найти значение главных.

Структура мн-ва решений СЛАУ. ФСР(фундаментальн. система решений).

Лемма1. Мн-во решений однородной СЛАУ (1) – явл. подпр-вом линейного про- ва. Причем размерность этого подпр-ва = числу свободных неизвестных, если III и II = 0.

Лемма 2. Пусть AX=B (совм. система лин. ур-ий). М – мн-во решений этой системы, тогда ,где т.е. базис пр-ва решений AX=0.

a0- произвольное решение неоднородной системы AX=B. Здесь предполагается, что реализуется случай III, т.е система имеет беск. много решений.

Решение совместн.неоднородной системы есть линейное многообразие n-мерного пр-ва.

M – структура лин.многообразия имеет вид M=a+V, где V –пр-во решений соотв.однородной системы,a a –произв.вектор из n.  Согласно Лемме1   ,

т.к базис любого пр-ва – не единств., то ФСР – определ. не однозначно.

Теорема. (Структура мн-ва решений системы линейных уравнений).

Любое решение неоднородной системы (I) представима в виде суммы двух решений: a+x, где a-фиксированное реш.системы (I), a x – некоторое решение системы(II)

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77880. Гражданско-правовая защита 30 KB
  Обязательственно-правовые способы защиты носят относительный характер и могут иметь объектом любое имущество включая как вещи так и различные права. Если к этому моменту вещи у ответчика не окажется то виндикационный иск к нему предъявлять нельзя ибо исчез сам предмет виндикации. Содержание такого иска возврат конкретной вещи а не ее замена другой вещью или вещами того же рода и качества.
77881. Авторское право 33 KB
  Авторское право. Функций: признание авторства на произведения науки литературы и искусства; установление режима использования произведений; наделение авторов и иных правообладателей личными и имущественными правами; защита данных прав. Субъекты: создатели произведений; работодатели; правопреемники; другие лица приобретшие права по закону или договору. Права автора: личные неимущественные права: право авторства; право на имя; право на обнародование; право на защиту репутации.
77882. Право на защиту чести, достоинства и деловой репутации 28.5 KB
  Диффамации которое распространяется на разглашение не только ложных но и действительных сведений позорящих честь и достоинство гражданина или юридического лица. Под распространением сведений следует понимать сообщение их различными способами как любому третьему лицу так и нескольким лицам неопределенному кругу лиц. При рассмотрении исков о защите чести и достоинства суду необходимо установить: имело ли место распространение сведений которые оспаривает истец; порочат ли они честь и достоинство истца; соответствуют ли они...
77883. Понятие, виды и исполнение обязательств в гражданском праве 28.5 KB
  Признаки обязательства: относительное гражданское правоотношение его субъектами являются строго определенные лица конкретный должник и конкретный кредитор; объектом обязательства является действие обязанного лица; содержанием являются права и обязанности сторон; опосредуют динамику гражданскоправовых правоотношений процесс перехода имущественных благ от одних лиц к другим; за невыполнение наступает гражданскоправовая ответственность; 6 реализация кредитором своего права возможно только через исполнение обязанности...
77884. Поручительство и банковская гарантия как способы обеспечения исполнения обязательств 30.5 KB
  Поручительство и банковская гарантия как способы обеспечения исполнения обязательств Поручительство способ по которому поручитель обязуется исполнить обязательство за должника. При поручительстве ответственным перед кредитором за неисполнение основного обеспечиваемого обязательства становится наряду с должником еще и другое лицо поручитель...
77885. Залог как способ обеспечения исполнения обязательств 28 KB
  Общие признаки: носят имущественный характер то есть интересы кредитора удовлетворяются за счет имущества должника; направлены на обеспечение удовлетворения интересов кредитора которое состоит в надлежащем исполнении ему обязательства; между должником и кредитором чаще всего существует два обязательства; возникает на основании закона или договора...
77886. Понятие и виды гражданско-правовых договоров 28.5 KB
  Свобода договора: недопущение понуждения к заключению договора; свобода выбора партнера при заключении договора; свобода участников гражданского оборота в выборе вида договора; свобода усмотрения сторон при определении условий договора кроме условий которые предусмотрены законом. Значение договора: договор представляет собой одно из самых уникальных правовых средств в рамках которого интерес каждой стороны в принципе может быть удовлетворен лишь посредством удовлетворения интереса другой стороны; договор...
77887. Формы и способы заключения договоров. Содержание гражданско-правовых договоров 31.5 KB
  Содержание гражданскоправовых договоров Содержание договора условия на которых достигнуто соглашение сторон: существенные условия которые необходимы и достаточны для заключения договора. Во-первых являются условия о предмете договора. Они включаются в текст договора по усмотрению сторон. Однако в отличие от обычных они приобретают юридическую силу лишь в случае включения их в текст договора.
77888. Договор купли-продажи. Обязанности 35 KB
  Продавец обязан передать товар в собственность покупателю надлежащего качества количества комплектности со всеми документами и принадлежностями если отказывается то предоставляется разумный срок не передал покупатель вправе отказаться от договора установленные законном или договором сроки пригодный для целей для которых товар такого рода обычно используется; товар свободный от 3 лиц либо уведомить покупателя об обременении данного товара....