20741

Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений

Доклад

Математика и математический анализ

Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений Метод Жордана – ГауссаМЖГ. Каждое элементарное преобразование системы является равносильным Докво: 1 – равносильное преобразование. x1xn – решение Каждому элементарному преобразованию СЛАУ соответствует элементарное преобразование строк расширенной матрицы системы.

Русский

2013-07-31

50.5 KB

11 чел.

13.Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений

Метод Жордана – Гаусса(МЖГ).

МЖГ – метод последовательного исключения  неизвестных в процессе решения СЛАУ.

При этом используется следующее элементарные преобразования:

  1.  Умножение левой и правой части уравнения на число отличное от 0.
  2.  Прибавление к левой и правой частям одного ур-я  соотв. частей другого ур-я, умноженных на произв. число.
  3.  Удаление систем ур-ий вида 0x1+0x2+…+0x4=0

Лемма. Каждое элементарное преобразование системы является равносильным

Док-во: 1) – равносильное преобразование.

              ()

Аналогично 2) и 3). (x1xn) – решение

Каждому элементарному преобразованию СЛАУ соответствует элементарное преобразование строк расширенной матрицы системы.

Алгоритм решения:

         

Предположения: 1)СЛАУ – совместна; 2)первые столбцов матрицыA – лин.независимы.

В процессе решения СЛАУ возможны 3 случая:

I. Система не совместна.(тогда и т. тогда, когда в процессе решения возникает ур-е 0x1+0x2+…+0xn=

II.Система имеет единственное решение .(случай реализуется  когда число оставшихся ур-ий после окончания алгоритма МЖГ совпадают с числом неизвестных).

III.Система имеет бесконечно много решений.

     , число оставшихся ур-ий  меньше числа неизвестных.

Если реализовался случай III, то все переменные делятся на 2 вида: главные(базисные) и свободные( небазисные).Кол-во свободных неизвестных   .

Свободным неизвестным можно присваивать произвольные значения и использовав систему(*), найти значение главных.

Структура мн-ва решений СЛАУ. ФСР(фундаментальн. система решений).

Лемма1. Мн-во решений однородной СЛАУ (1) – явл. подпр-вом линейного про- ва. Причем размерность этого подпр-ва = числу свободных неизвестных, если III и II = 0.

Лемма 2. Пусть AX=B (совм. система лин. ур-ий). М – мн-во решений этой системы, тогда ,где т.е. базис пр-ва решений AX=0.

a0- произвольное решение неоднородной системы AX=B. Здесь предполагается, что реализуется случай III, т.е система имеет беск. много решений.

Решение совместн.неоднородной системы есть линейное многообразие n-мерного пр-ва.

M – структура лин.многообразия имеет вид M=a+V, где V –пр-во решений соотв.однородной системы,a a –произв.вектор из n.  Согласно Лемме1   ,

т.к базис любого пр-ва – не единств., то ФСР – определ. не однозначно.

Теорема. (Структура мн-ва решений системы линейных уравнений).

Любое решение неоднородной системы (I) представима в виде суммы двух решений: a+x, где a-фиксированное реш.системы (I), a x – некоторое решение системы(II)

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76127. Удосконалення відносин між контролюючими органами та платниками податків 85 KB
  У дипломній роботі надано характеристику контролюючим органам та платникам податків проаналізовано сучасний стан відносин між цими суб’єктами зокрема у розрізі областей України розроблено пропозиції та рекомендації щодо удосконалення відносин між контролюючими...
76129. Основні умови підвищення рівня інвестиційної безпеки економіки України 106.52 KB
  Розвиток економічних систем будьяких рівнів повязаний з інвестуванням капіталу. Окрім власного капіталу субєкти господарської діяльності використовують залучений та позиковий капітал. Саме інвестиції на думку і створюють передумови для забезпечення зростання.
76131. Нетипичные формы правления. Малайзия 37.4 KB
  Археологические раскопки указывают на существование на территории Малайзии в V в. до н.э. индобуддийского государства. Затем в различное время она была провинциальной частью Тайской и Кхмерской империй. В VIIXV вв. Малайзия входила в состав суматранской морской империи ШриВиджая.
76132. Эргономические основы охраны труда 31.36 KB
  Поэтому внедрение в производство новейших технологий может быть успешно реализовано и дать положительный эффект лишь при достаточно полном учете характера все усложняющихся связей между человеком и техническим окружением всестороннего учета возможностей человека...
76133. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАГНИТОВ 64.5 KB
  Галактик и туманности едва различимые телескопами непостижимые по размерам магниты. Термоядерный синтез магнитодинамическое генерирование электроэнергии ускорение заряженных частиц в синхротронах подъём затонувших судов –...
76134. КОРРЕКЦИЯ АГРЕССИВНОГО ПОВЕДЕНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ СРЕДСТВАМИ АРТТЕРАПИИ 69.36 KB
  По оценкам психологов более 20 детей приходят в первый класс с различными пограничными расстройствами психического здоровья. К ним относят эмоциональных возбудимых тревожных неадекватно реагирующих на различные ситуации детей.
76135. Демокрит 38.52 KB
  Много путешествовал. Целью его странствий было знакомство с идеями мыслителей в далеких странах. Вне сомнения он посетил Персию Египет Вавилон и области вокруг Красного моря. Во время путешествий он заметно углубил свое образование в естествознании астрономии и особенно в математике.