20741

Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений

Доклад

Математика и математический анализ

Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений Метод Жордана ГауссаМЖГ. Каждое элементарное преобразование системы является равносильным Докво: 1 равносильное преобразование. x1xn решение Каждому элементарному преобразованию СЛАУ соответствует элементарное преобразование строк расширенной матрицы системы.

Русский

2013-07-31

50.5 KB

11 чел.

13.Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений

Метод Жордана – Гаусса(МЖГ).

МЖГ – метод последовательного исключения  неизвестных в процессе решения СЛАУ.

При этом используется следующее элементарные преобразования:

  1.  Умножение левой и правой части уравнения на число отличное от 0.
  2.  Прибавление к левой и правой частям одного ур-я  соотв. частей другого ур-я, умноженных на произв. число.
  3.  Удаление систем ур-ий вида 0x1+0x2+…+0x4=0

Лемма. Каждое элементарное преобразование системы является равносильным

Док-во: 1) – равносильное преобразование.

              ()

Аналогично 2) и 3). (x1xn) – решение

Каждому элементарному преобразованию СЛАУ соответствует элементарное преобразование строк расширенной матрицы системы.

Алгоритм решения:

         

Предположения: 1)СЛАУ – совместна; 2)первые столбцов матрицыA – лин.независимы.

В процессе решения СЛАУ возможны 3 случая:

I. Система не совместна.(тогда и т. тогда, когда в процессе решения возникает ур-е 0x1+0x2+…+0xn=

II.Система имеет единственное решение .(случай реализуется  когда число оставшихся ур-ий после окончания алгоритма МЖГ совпадают с числом неизвестных).

III.Система имеет бесконечно много решений.

     , число оставшихся ур-ий  меньше числа неизвестных.

Если реализовался случай III, то все переменные делятся на 2 вида: главные(базисные) и свободные( небазисные).Кол-во свободных неизвестных   .

Свободным неизвестным можно присваивать произвольные значения и использовав систему(*), найти значение главных.

Структура мн-ва решений СЛАУ. ФСР(фундаментальн. система решений).

Лемма1. Мн-во решений однородной СЛАУ (1) – явл. подпр-вом линейного про- ва. Причем размерность этого подпр-ва = числу свободных неизвестных, если III и II = 0.

Лемма 2. Пусть AX=B (совм. система лин. ур-ий). М – мн-во решений этой системы, тогда ,где т.е. базис пр-ва решений AX=0.

a0- произвольное решение неоднородной системы AX=B. Здесь предполагается, что реализуется случай III, т.е система имеет беск. много решений.

Решение совместн.неоднородной системы есть линейное многообразие n-мерного пр-ва.

M – структура лин.многообразия имеет вид M=a+V, где V –пр-во решений соотв.однородной системы,a a –произв.вектор из n.  Согласно Лемме1   ,

т.к базис любого пр-ва – не единств., то ФСР – определ. не однозначно.

Теорема. (Структура мн-ва решений системы линейных уравнений).

Любое решение неоднородной системы (I) представима в виде суммы двух решений: a+x, где a-фиксированное реш.системы (I), a x – некоторое решение системы(II)

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12077. Параметры продуктов сгорания в камере ракетного двигателя 127.79 KB
  Отчет Лабораторная работа №1 Параметры продуктов сгорания в камере ракетного двигателя Цель работы: С помощью термодинамического метода определить параметры продуктов сгорания топлива в камере. Исходные данные для расчетов: Компоненты: Кислород...
12078. Розроблення проекту бази даних Microsoft SQL Server 2005 1.49 MB
  Розроблення проекту бази даних Microsoft SQL Server 2005 Інструкція до лабораторної роботи № 1 з курсу Бази даних та знань Розроблення проекту бази даних Microsoft SQL Server 2005: Інструкція до лабораторної роботи № 1 з курсу Бази даних та знань для студентів базового напр
12079. Створення ER-діаграми для проектування БД 80.5 KB
  Створення ERдіаграми для проектування БД з курсу: Проектування банків даних для компютерних систем проектування 1. Мета роботи Ознайомитися та оволодіти інструментом уніфікованого представлення даних моделлю сутністьзвязок 2. Короткі теоретичні відо...
12080. Візуальне програмування при обєктно-орієнтованому підході 1.31 MB
  Візуальне програмування при обєктноорієнтованому підході МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання лабораторних робіт з дисципліни Обєктноорієнтоване програмування для студентів базового напрямку Програмна інженерія Візуальне програмування при об
12081. Створення та використання класів 72.5 KB
  Тема. Створення та використання класів. Мета. Навчитися створювати класи використовувати конструктори для ініціалізації обєктів опанувати принципи створення функційчленів. Навчитися використовувати різні типи доступу до полів та методів класів. Теоретичні
12082. Перевантаження функцій і операцій, дружні функції 74 KB
  Тема. Перевантаження функцій і операцій дружні функції. Мета. Навчитися використовувати механізм перевантаження функцій та операцій. Навчитися створювати та використовувати дружні функції. Ознайомитися з статичними полями та методами а також навчитися їх використо
12083. Робота з динамічною памяттю 78.5 KB
  Тема. Робота з динамічною памяттю Мета. Навчитися виділяти місце під обєкти динамічно. Навчитися створювати та використовувати конструктор копіювання перевантажувати оператор присвоєння. Ознайомитися з принципами створення та функціонування деструкторів.
12084. Классы и объекты в С++ 21.75 KB
  Отчёт по лабораторной работе №1 По дисциплине Программирование Тема: Классы и объекты в С Вариант №8 Задачи. 1. Определить пользовательский класс в соответствии с вариантом задания смотри приложение. 2. Определить в классе следующие конструкторы: без пар
12085. Проектирование ХД в Deductor Warehouse 33.5 KB
  Практическое занятие № 2. Проектирование ХД в Deductor Warehouse Дана модель БД розничной торговой сети. Используя данные из таблиц хранящиеся в одноименных текстовыхфайлах выполнить следующие задания: Создать пустое ХД назвав файл Trade_Бригада.gdb а метку хранилища Trade_Б...