20741

Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений

Доклад

Математика и математический анализ

Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений Метод Жордана – ГауссаМЖГ. Каждое элементарное преобразование системы является равносильным Докво: 1 – равносильное преобразование. x1xn – решение Каждому элементарному преобразованию СЛАУ соответствует элементарное преобразование строк расширенной матрицы системы.

Русский

2013-07-31

50.5 KB

11 чел.

13.Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Структура множества решений системы линейных уравнений

Метод Жордана – Гаусса(МЖГ).

МЖГ – метод последовательного исключения  неизвестных в процессе решения СЛАУ.

При этом используется следующее элементарные преобразования:

  1.  Умножение левой и правой части уравнения на число отличное от 0.
  2.  Прибавление к левой и правой частям одного ур-я  соотв. частей другого ур-я, умноженных на произв. число.
  3.  Удаление систем ур-ий вида 0x1+0x2+…+0x4=0

Лемма. Каждое элементарное преобразование системы является равносильным

Док-во: 1) – равносильное преобразование.

              ()

Аналогично 2) и 3). (x1xn) – решение

Каждому элементарному преобразованию СЛАУ соответствует элементарное преобразование строк расширенной матрицы системы.

Алгоритм решения:

         

Предположения: 1)СЛАУ – совместна; 2)первые столбцов матрицыA – лин.независимы.

В процессе решения СЛАУ возможны 3 случая:

I. Система не совместна.(тогда и т. тогда, когда в процессе решения возникает ур-е 0x1+0x2+…+0xn=

II.Система имеет единственное решение .(случай реализуется  когда число оставшихся ур-ий после окончания алгоритма МЖГ совпадают с числом неизвестных).

III.Система имеет бесконечно много решений.

     , число оставшихся ур-ий  меньше числа неизвестных.

Если реализовался случай III, то все переменные делятся на 2 вида: главные(базисные) и свободные( небазисные).Кол-во свободных неизвестных   .

Свободным неизвестным можно присваивать произвольные значения и использовав систему(*), найти значение главных.

Структура мн-ва решений СЛАУ. ФСР(фундаментальн. система решений).

Лемма1. Мн-во решений однородной СЛАУ (1) – явл. подпр-вом линейного про- ва. Причем размерность этого подпр-ва = числу свободных неизвестных, если III и II = 0.

Лемма 2. Пусть AX=B (совм. система лин. ур-ий). М – мн-во решений этой системы, тогда ,где т.е. базис пр-ва решений AX=0.

a0- произвольное решение неоднородной системы AX=B. Здесь предполагается, что реализуется случай III, т.е система имеет беск. много решений.

Решение совместн.неоднородной системы есть линейное многообразие n-мерного пр-ва.

M – структура лин.многообразия имеет вид M=a+V, где V –пр-во решений соотв.однородной системы,a a –произв.вектор из n.  Согласно Лемме1   ,

т.к базис любого пр-ва – не единств., то ФСР – определ. не однозначно.

Теорема. (Структура мн-ва решений системы линейных уравнений).

Любое решение неоднородной системы (I) представима в виде суммы двух решений: a+x, где a-фиксированное реш.системы (I), a x – некоторое решение системы(II)

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30150. Расчёт количества ТО и текущих ремонтов для парка машин и тракторов 64.19 KB
  Установив число ремонтов и ТО по каждой группе машин одной марки рассчитываем их годовую трудоёмкость по формуле: чел.16 где Тто суммарная трудоёмкость ТО и устранение неисправностей чел. Ттр...
30151. Описание технологического процесса приготовления салата фирменного «Пикантный», стейка из свинины 227.67 KB
  Правильно организованный, подготовленный и проведённый на научной основе технологический процесс приготовления блюд и кулинарных изделий позволит полностью исключить присутствие в готовых блюдах вредных веществ и соединений, сохранить в них полезные для человека вещества.
30152. Направления повышения финансовой устойчивости и платежеспособности ОАО Дека 222.19 KB
  1 Теоретические и методологические основы анализа финансовой устойчивости и платежеспособности предприятия 1.1 Понятие и сущность финансовой устойчивости предприятия.3 Методологические основы анализа финансовой устойчивости и платежеспособности 2 Анализ финансовой устойчивости и платежеспособности предприятия на примере ОАО Дека . При этом увеличение значимости финансов и выдвижение роли финансовых аспектов деятельности предприятия на первый план в современном обществе – это...
30154. Сущность и задачи ВЭД организации и определение понятия экспорта 357 KB
  1 Сущность и задачи ВЭД организации и определение понятия экспорта Внешнеэкономическая деятельность предприятий это сфера хозяйственной деятельности связанная с международной производственной и научнотехнической кооперацией экспортом и импортом продукции выходом предприятия на внешний рынок. Экспорт продажа иностранному партнеру товаров в материальновещественной форме с вывозом их за границу продажа услуг и научнотехнической продукции. Эффективность такого механизма во многом зависит от номенклатуры импортируемых товаров спроса на...
30155. Изучение дистанционного банковского обслуживания, как одного из самых перспективных направлений развития банковской системы, а также изучение степени развитости данного вида услуг на примере ЗАО МКБ Москомприватбанк 472.79 KB
  Первые получают возможность совершать широкий спектр операций в любое время суток в любом месте с помощью доступных средств компьютера с выходом в интернет мобильного или стационарного телефона банкоматов и киосков самообслуживания и др. С технической стороны подобные системы существуют достаточно давно но только с массовым распространением Интернета они смогли получить всеобщее признание поскольку появилась возможность осуществлять операции со счетом из любой точки земного шара где есть доступ в Сеть. Все больше операций совершается с...
30158. Формирование и анализ фирменного стиля туристской фирмы «Астрагал» в городе Орехово-Зуево 147 KB
  Дата государственной регистрации ОАО Гостиница Обь : 21. Основные товарные позиции ОАО Гостиница Обь на рынке г. Основной хозяйственной деятельностью ОАО Гостиница Обь являются гостиничные услуги. Доля доходов ОАО Гостиница Обь от оказания гостиничных услуг в общих доходах по состоянию 01.