20742

Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец

Доклад

Математика и математический анализ

Подкольцо. Алгебра называется кольцом если: 1 абелева группа. Если ассоциативный группоид полугруппа то ассоциативное кольцо. Если моноид существует то ассоциативное кольцо с единицей.

Русский

2013-07-31

128 KB

37 чел.

14.Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.

Чтобы группа была абелевой, необходимо выполнение условий:

  1.  Замкнутость;
  2.  Ассоциативный закон;
  3.  Существование  нейтрального элемента;
  4.  Существование противоположного элемента;
  5.  Коммутативный закон.

Опр. Алгебра  называется кольцом, если:

1)  - абелева группа.

2)  - группоид, т.е. умножение это бинарная операция.

3)  

                         

Изменяя 2) (дополняя его), можно получать определение колец специального вида.

Если  - ассоциативный группоид (полугруппа), то  - ассоциативное кольцо.

Если  - моноид (существует ), то  - ассоциативное  кольцо с единицей.

Если  - коммутативный моноид, то  - ассоциативно – коммутативное кольцо с 1 (коммутативное кольцо)

Опр.  называется областью целостности, если:

1)  - коммутативное кольцо

2)  (т.е.  - ненулевое кольцо )

3) ,  (отсутствие делителя нуля)

Опр. Кольцо  называется полем, если :

1) - коммутативное кольцо

2)

3)  (любой ненулевой элемент обратим)

Опр. - тело, если:

1) -ассоциативное кольцо с единицей

2)

3)  

Примеры:

1) Числовые кольца:

       

и т.д.

Все числовые кольца являются областями целостности

2) - кольцо классов вычетов по mod m.

Кольцо  рассмотрим в теории сравнений, которое является разделом теории чисел.

Если m = p, где p – простое число, то  - поле

             Если m – составное число, то  - коммутативное кольцо, не являющиеся  

             Областью целостности

Опер. в  :

Можно показать, что опер. в  определены корректно.

3) Матричные кольца

Пусть  - поле

Матричным кольцом над полем А называется след. алгебра :

, где опер. сложения и умножения матриц определяется аналогично алгебре числовых матриц.

Свойства и доказательства этих свойств почти полностью совпадают с аналогичными утверждениями и доказательствами из теории матриц над полем действительных чисел.

Простейшие свойства кольца:

  1.  В кольце выполняются все свойства аддитивной абелевой группы  

(нейтральный элемент – единственный, противоположный элемент – единственный).

2)  

3)  

1.

2.

3.

Кольцо  гомоморфно кольцу ,

если  и

Свойства гомоморфизма:

Нулевой элемент переходит в нулевой элемент

Противоположный элемент переходит в противоположный элемент.

Если  - область целостности, то  - область целостности.

Если  - поле, то  - поле.

Изоморфизм – сохранение операции и биекция

Эпиморфизм – сохранение операции и сюръекция

Мономорфизм - сохранение операции и инъекция

Автоморфизм – сохранение операции  и инъекция и (=)

Алгебра  является подкольцом алгебры  (), если  само является кольцом относительно операции алгебры


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67094. Историческая игра «Путешествие в мир истории» 83 KB
  Объявляется первый конкурс конкурс Плутословов Учитель. Начинаем третий конкурс конкурс капитанов. Слово предоставляется нашему высокому ареопагу жюри объявляет результаты 13 конкурсов. Ведущий Следующий конкурс Исторический зоосад.
67095. Игровой урок с будущими первоклассниками 86.5 KB
  Беседа: Приходилось ли вам плакать Почему А какое слово противоположное слову плакать Почему люди плачут или смеются А покажите мне своё настроение с которым вы пришли ко мне на урок. VIII Клуб почемучек а Беседа: Дети к нам пришла умная сова с вопросом. Знаете ли вы какое слово на свете самое любознательное...
67096. Как стать ответственным 52 KB
  Напишите ответственный на доске и попросите учащихся дать определение этому понятию. Спросите учащихся могут ли люди стать более ответственными в своих поступках. Если да то как Например стараться всегда приходить вовремя усердно работать говорить правду осознавать ошибки выражать свои мысли и идеи быть лидером...
67097. Карнавал квітів 25 KB
  Нарешті всі ви завітали А ми боялись заблукали Ласкаво просимо Будьте як вдома Знайомтесь з усіма що ще не знайомі. Сонечко: За горами за лісами За широкими полями Серед квітів і дерев Став палац там неосяжний. Король квітів: Познайомити вже час з вихователями вас.
67098. Свято до дня Валентина «Карнавал квітів» 1.97 MB
  Oh, endless sky, full of light and stars at night Bless our hearts and make them bright We ask for love, on lap we praise Get down here, with all your grace. З'являється "Her Majesty, Love". (господарка свята) - Joy, happiness, beauty I'll send to your hearts I'll make you be sweethearts
67099. Гори Карпати 175.5 KB
  Мета: продовжувати формувати уявлення про природу України поняття гори; сформувати поняття Карпатські гори; формувати навички роботи з картами схемами зошитом підручником; розвивати пізнавальний інтерес спостережливість творчі навички; виховувати любов та дбайливе ставлення до природи патріотичні та естетичні почуття.
67100. Україна на карті. Найбільші міста України 166 KB
  Загальнопізнавальні цілі: продовжити формувати уявлення учнів про географічне розміщення України її кордони сусідство з іншими країнами; ознайомити з історико етнографічними регіонами та найбільшими містами України. Фізична карта України Розуміння знає розташування України знаходить її столицю на карті...