20742

Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец

Доклад

Математика и математический анализ

Подкольцо. Алгебра называется кольцом если: 1 абелева группа. Если ассоциативный группоид полугруппа то ассоциативное кольцо. Если моноид существует то ассоциативное кольцо с единицей.

Русский

2013-07-31

128 KB

35 чел.

14.Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.

Чтобы группа была абелевой, необходимо выполнение условий:

  1.  Замкнутость;
  2.  Ассоциативный закон;
  3.  Существование  нейтрального элемента;
  4.  Существование противоположного элемента;
  5.  Коммутативный закон.

Опр. Алгебра  называется кольцом, если:

1)  - абелева группа.

2)  - группоид, т.е. умножение это бинарная операция.

3)  

                         

Изменяя 2) (дополняя его), можно получать определение колец специального вида.

Если  - ассоциативный группоид (полугруппа), то  - ассоциативное кольцо.

Если  - моноид (существует ), то  - ассоциативное  кольцо с единицей.

Если  - коммутативный моноид, то  - ассоциативно – коммутативное кольцо с 1 (коммутативное кольцо)

Опр.  называется областью целостности, если:

1)  - коммутативное кольцо

2)  (т.е.  - ненулевое кольцо )

3) ,  (отсутствие делителя нуля)

Опр. Кольцо  называется полем, если :

1) - коммутативное кольцо

2)

3)  (любой ненулевой элемент обратим)

Опр. - тело, если:

1) -ассоциативное кольцо с единицей

2)

3)  

Примеры:

1) Числовые кольца:

       

и т.д.

Все числовые кольца являются областями целостности

2) - кольцо классов вычетов по mod m.

Кольцо  рассмотрим в теории сравнений, которое является разделом теории чисел.

Если m = p, где p – простое число, то  - поле

             Если m – составное число, то  - коммутативное кольцо, не являющиеся  

             Областью целостности

Опер. в  :

Можно показать, что опер. в  определены корректно.

3) Матричные кольца

Пусть  - поле

Матричным кольцом над полем А называется след. алгебра :

, где опер. сложения и умножения матриц определяется аналогично алгебре числовых матриц.

Свойства и доказательства этих свойств почти полностью совпадают с аналогичными утверждениями и доказательствами из теории матриц над полем действительных чисел.

Простейшие свойства кольца:

  1.  В кольце выполняются все свойства аддитивной абелевой группы  

(нейтральный элемент – единственный, противоположный элемент – единственный).

2)  

3)  

1.

2.

3.

Кольцо  гомоморфно кольцу ,

если  и

Свойства гомоморфизма:

Нулевой элемент переходит в нулевой элемент

Противоположный элемент переходит в противоположный элемент.

Если  - область целостности, то  - область целостности.

Если  - поле, то  - поле.

Изоморфизм – сохранение операции и биекция

Эпиморфизм – сохранение операции и сюръекция

Мономорфизм - сохранение операции и инъекция

Автоморфизм – сохранение операции  и инъекция и (=)

Алгебра  является подкольцом алгебры  (), если  само является кольцом относительно операции алгебры


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32695. Ведение регистров бухгалтерского учета 238 KB
  Регистры бухгалтерского учета – это важная составляющая ведения на предприятии бухгалтерского учета. Именно в них отражается вся информация, которая находится в принятых первичных документах.
32696. Фармацевтическая химия и фармакология парацетамола 865.5 KB
  Последнее замечание немаловажно для наших реалий, поскольку именно лекарствами с парацетамолом многие спасаются от головных болей после вечеринок, сопровождающихся приемом алкогольных напитков, зачастую не понимая, что играют с огнем. А реклама средств для снятия похмельного синдрома вселяет уверенность...
32697. Реклама в системе маркетинговых коммуникаций 137 KB
  Система маркетинговых коммуникаций – это комплекс различных инструментов, целью которых является установление связи между компанией – производителем товаров или услуг и покупателем.
32698. Развитие внимания 441 KB
  В настоящее время стали первостепенными проблемы развития внимания и проведения психокоррекционной работы с людьми, имеющими нарушения внимания. Однако рекомендации для практических психологов по данным вопросам относятся в основном к начальной школе и не освещают опыт
32699. Разработка программного обеспечения для построения статистической модели методом наименьших квадратов 3.21 MB
  Обработка экспериментально полученной зависимости состоит в проведении по зарегистрированным точкам теоретической кривой, рассчитанной для заданного набора численных значений параметров. Варьируя параметры, добиваются наилучшего совпадения теоретической кривой с экспериментальными данными.
32700. ПРОТИВОМАЛЯРИЙНЫЕ СРЕДСТВА 106 KB
  Возбудитель: малярийный плазмодий который имеет два цикла развития → бесполый шизогония в организме человека полый спорогония в теле комара СХЕМА: Противомалярийные средства отличаются по химическому строению и по влиянию на различные формы плазмодиев. Комар Зигота ♂ ♀ созревание Спорозойды...
32701. Планирование экономических показателей работы зоны ТР 318.5 KB
  Соответствие развития транспорта общим направлениям социально – экономического развития страны, что необходимо для своевременного удовлетворения спроса на перевозки пассажиров и грузов; опережающее развитие транспортной отрасли по сравнению с другими отраслями экономики, что позволит смягчить ограничения, накладываемые транспортом на производство, сферу обращения и социальную сферу...
32702. Системы учета затрат в управленческом учете на примере ОАО РГИЛК «Агролизинг» 334.5 KB
  Рассмотреть и изучить основные системы учета затрат, основные преимущества и недостатки данных систем, исследовать классификацию затрат для определения себестоимости, оценки стоимости запасов и полученной прибыли, рассмотреть перспективы развития системы учета затрат
32703. Виявлення інноваційних технологій при виробництві солодких соусів на підприємствах України 470.5 KB
  Тема інноваційні технології солодких соусів сьогодні є актуальною. Серед продукції ресторанного господарства окремий сегмент складають соуси, які сприяють кращому засвоєнню харчових нутрієнтів організмом людини, розширюють асортимент і підвищують харчову цінність страв.