20742

Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец

Доклад

Математика и математический анализ

Подкольцо. Алгебра называется кольцом если: 1 абелева группа. Если ассоциативный группоид полугруппа то ассоциативное кольцо. Если моноид существует то ассоциативное кольцо с единицей.

Русский

2013-07-31

128 KB

37 чел.

14.Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.

Чтобы группа была абелевой, необходимо выполнение условий:

  1.  Замкнутость;
  2.  Ассоциативный закон;
  3.  Существование  нейтрального элемента;
  4.  Существование противоположного элемента;
  5.  Коммутативный закон.

Опр. Алгебра  называется кольцом, если:

1)  - абелева группа.

2)  - группоид, т.е. умножение это бинарная операция.

3)  

                         

Изменяя 2) (дополняя его), можно получать определение колец специального вида.

Если  - ассоциативный группоид (полугруппа), то  - ассоциативное кольцо.

Если  - моноид (существует ), то  - ассоциативное  кольцо с единицей.

Если  - коммутативный моноид, то  - ассоциативно – коммутативное кольцо с 1 (коммутативное кольцо)

Опр.  называется областью целостности, если:

1)  - коммутативное кольцо

2)  (т.е.  - ненулевое кольцо )

3) ,  (отсутствие делителя нуля)

Опр. Кольцо  называется полем, если :

1) - коммутативное кольцо

2)

3)  (любой ненулевой элемент обратим)

Опр. - тело, если:

1) -ассоциативное кольцо с единицей

2)

3)  

Примеры:

1) Числовые кольца:

       

и т.д.

Все числовые кольца являются областями целостности

2) - кольцо классов вычетов по mod m.

Кольцо  рассмотрим в теории сравнений, которое является разделом теории чисел.

Если m = p, где p – простое число, то  - поле

             Если m – составное число, то  - коммутативное кольцо, не являющиеся  

             Областью целостности

Опер. в  :

Можно показать, что опер. в  определены корректно.

3) Матричные кольца

Пусть  - поле

Матричным кольцом над полем А называется след. алгебра :

, где опер. сложения и умножения матриц определяется аналогично алгебре числовых матриц.

Свойства и доказательства этих свойств почти полностью совпадают с аналогичными утверждениями и доказательствами из теории матриц над полем действительных чисел.

Простейшие свойства кольца:

  1.  В кольце выполняются все свойства аддитивной абелевой группы  

(нейтральный элемент – единственный, противоположный элемент – единственный).

2)  

3)  

1.

2.

3.

Кольцо  гомоморфно кольцу ,

если  и

Свойства гомоморфизма:

Нулевой элемент переходит в нулевой элемент

Противоположный элемент переходит в противоположный элемент.

Если  - область целостности, то  - область целостности.

Если  - поле, то  - поле.

Изоморфизм – сохранение операции и биекция

Эпиморфизм – сохранение операции и сюръекция

Мономорфизм - сохранение операции и инъекция

Автоморфизм – сохранение операции  и инъекция и (=)

Алгебра  является подкольцом алгебры  (), если  само является кольцом относительно операции алгебры