20742

Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец

Доклад

Математика и математический анализ

Подкольцо. Алгебра называется кольцом если: 1 абелева группа. Если ассоциативный группоид полугруппа то ассоциативное кольцо. Если моноид существует то ассоциативное кольцо с единицей.

Русский

2013-07-31

128 KB

37 чел.

14.Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.

Чтобы группа была абелевой, необходимо выполнение условий:

  1.  Замкнутость;
  2.  Ассоциативный закон;
  3.  Существование  нейтрального элемента;
  4.  Существование противоположного элемента;
  5.  Коммутативный закон.

Опр. Алгебра  называется кольцом, если:

1)  - абелева группа.

2)  - группоид, т.е. умножение это бинарная операция.

3)  

                         

Изменяя 2) (дополняя его), можно получать определение колец специального вида.

Если  - ассоциативный группоид (полугруппа), то  - ассоциативное кольцо.

Если  - моноид (существует ), то  - ассоциативное  кольцо с единицей.

Если  - коммутативный моноид, то  - ассоциативно – коммутативное кольцо с 1 (коммутативное кольцо)

Опр.  называется областью целостности, если:

1)  - коммутативное кольцо

2)  (т.е.  - ненулевое кольцо )

3) ,  (отсутствие делителя нуля)

Опр. Кольцо  называется полем, если :

1) - коммутативное кольцо

2)

3)  (любой ненулевой элемент обратим)

Опр. - тело, если:

1) -ассоциативное кольцо с единицей

2)

3)  

Примеры:

1) Числовые кольца:

       

и т.д.

Все числовые кольца являются областями целостности

2) - кольцо классов вычетов по mod m.

Кольцо  рассмотрим в теории сравнений, которое является разделом теории чисел.

Если m = p, где p – простое число, то  - поле

             Если m – составное число, то  - коммутативное кольцо, не являющиеся  

             Областью целостности

Опер. в  :

Можно показать, что опер. в  определены корректно.

3) Матричные кольца

Пусть  - поле

Матричным кольцом над полем А называется след. алгебра :

, где опер. сложения и умножения матриц определяется аналогично алгебре числовых матриц.

Свойства и доказательства этих свойств почти полностью совпадают с аналогичными утверждениями и доказательствами из теории матриц над полем действительных чисел.

Простейшие свойства кольца:

  1.  В кольце выполняются все свойства аддитивной абелевой группы  

(нейтральный элемент – единственный, противоположный элемент – единственный).

2)  

3)  

1.

2.

3.

Кольцо  гомоморфно кольцу ,

если  и

Свойства гомоморфизма:

Нулевой элемент переходит в нулевой элемент

Противоположный элемент переходит в противоположный элемент.

Если  - область целостности, то  - область целостности.

Если  - поле, то  - поле.

Изоморфизм – сохранение операции и биекция

Эпиморфизм – сохранение операции и сюръекция

Мономорфизм - сохранение операции и инъекция

Автоморфизм – сохранение операции  и инъекция и (=)

Алгебра  является подкольцом алгебры  (), если  само является кольцом относительно операции алгебры


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79653. ПОДХОД К ВЫРАБОТКЕ ЕДИНОГО ПОНЯТИЯ «КИБЕРТЕРРОРИЗМ» (НАУЧНОЕ ОБОСНОВАНИЕ, СРАВНИТЕЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА) 122.5 KB
  Проблема кибертерроризма существует относительно недавно, поэтому она не вошла в законодательство большинства ведущих стран мира, в том числе России. Это связано с тем, что до сих пор не выработано единое понятие (научная дефиниция) нового вида правонарушения.
79654. Особенности формы договора займа, заключаемого кредитным потребительским кооперативом граждан со своими членами 92 KB
  Вторая особенность формы договора займа, заключаемого кредитным потребительским кооперативом граждан со своими членами, состоит в последствиях ее несоблюдения. Так, в соответствии с п. 2 ст. 17 Закона о кредитных потребительских кооперативах граждан несоблюдение письменной формы договора займа влечет его недействительность.
79655. ВАЛЮТНЫЕ ОПЕРАЦИИ. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА 136.5 KB
  Согласно действовавшему ранее Закону Российской Федерации от 9 октября 1992 г. Порядок и условия отнесения изделий из драгоценных металлов и природных драгоценных камней к ювелирным и другим бытовым изделиям и лому таких изделий устанавливаются Правительством Российской Федерации.
79656. ОРГАНИЗАЦИОННАЯ СТРУКТУРА НАЛОГОВЫХ ОРГАНОВ ЗАРУБЕЖНЫХ СТРАН. МОДЕЛИ ОРГАНИЗАЦИОННОЙ СТРУКТУРЫ НАЛОГОВЫХ ОРГАНОВ 105 KB
  В течение последних 20-30 лет к организации внутренней структуры национальных налоговых администраций отчетливо выделились три подхода: модель вид налога; функциональная модель; модель вид налогоплательщика. Наиболее ранняя модель организационной структуры налоговых органов...
79657. МЕСТО И РОЛЬ ФЕДЕРАЛЬНОГО АРБИТРАЖНОГО СУДА МОСКОВСКОГО ОКРУГА В СИСТЕМЕ СУДЕБНОЙ ВЛАСТИ В РОССИИ 156.5 KB
  Из данного конституционного положения следует что деятельность арбитражных судов представляет собой форму осуществления судебной власти в сфере гражданского и административного судопроизводства а сами арбитражные суды входят в систему органов гражданской юрисдикции.
79658. НОВАЦИИ В ПРАВОВОМ РЕГУЛИРОВАНИИ РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ 97.5 KB
  Вопросы проведения первичных публичных размещений акций продолжительное время находились за рамками внимания законодателя что порождало возникновение правовых проблем на пути расширения практики использования российскими компаниями механизма первичного публичного размещения для привлечения...
79659. ДЕГРАДАЦИЯ РУССКОГО ЯЗЫКА 112 KB
  Язык любого народа важнейший компонент его национальной культуры средство выражения национального и личностного самосознания. Восприятие русского языка в других странах и культурах во многом зависит от его состояния его функционирования в обществе.
79660. ПРАВОВАЯ ПРИРОДА И ВИДЫ ДОГОВОРА БАНКОВСКОГО ВКЛАДА И БАНКОВСКОГО СЧЕТА 158.5 KB
  Законодательство иногда предусматривает возможность замены стороны в договоре банковского вклада. Это может произойти по правилам уступки права требования или перевода долга. Представляется, что перевод долга на стороне банка может проводиться, только когда новый должник также является банком.
79661. К ВОПРОСУ О ПОРЯДКЕ И ОСОБЕННОСТЯХ РЕАЛИЗАЦИИ ЖИЛИЩНОЙ ПОЛИТИКИ В РОССИИ 149 KB
  Современное жилье как элемент материальной культуры прошло длинный исторический путь: от естественных укрытий и пещер — первых пристанищ наших предков — до современных домов-небоскребов, оборудованных сложной инженерной техникой. На разных этапах развития общества по-разному решались вопросы обеспечения граждан жильем.