20742

Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец

Доклад

Математика и математический анализ

Подкольцо. Алгебра называется кольцом если: 1 абелева группа. Если ассоциативный группоид полугруппа то ассоциативное кольцо. Если моноид существует то ассоциативное кольцо с единицей.

Русский

2013-07-31

128 KB

35 чел.

14.Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.

Чтобы группа была абелевой, необходимо выполнение условий:

  1.  Замкнутость;
  2.  Ассоциативный закон;
  3.  Существование  нейтрального элемента;
  4.  Существование противоположного элемента;
  5.  Коммутативный закон.

Опр. Алгебра  называется кольцом, если:

1)  - абелева группа.

2)  - группоид, т.е. умножение это бинарная операция.

3)  

                         

Изменяя 2) (дополняя его), можно получать определение колец специального вида.

Если  - ассоциативный группоид (полугруппа), то  - ассоциативное кольцо.

Если  - моноид (существует ), то  - ассоциативное  кольцо с единицей.

Если  - коммутативный моноид, то  - ассоциативно – коммутативное кольцо с 1 (коммутативное кольцо)

Опр.  называется областью целостности, если:

1)  - коммутативное кольцо

2)  (т.е.  - ненулевое кольцо )

3) ,  (отсутствие делителя нуля)

Опр. Кольцо  называется полем, если :

1) - коммутативное кольцо

2)

3)  (любой ненулевой элемент обратим)

Опр. - тело, если:

1) -ассоциативное кольцо с единицей

2)

3)  

Примеры:

1) Числовые кольца:

       

и т.д.

Все числовые кольца являются областями целостности

2) - кольцо классов вычетов по mod m.

Кольцо  рассмотрим в теории сравнений, которое является разделом теории чисел.

Если m = p, где p – простое число, то  - поле

             Если m – составное число, то  - коммутативное кольцо, не являющиеся  

             Областью целостности

Опер. в  :

Можно показать, что опер. в  определены корректно.

3) Матричные кольца

Пусть  - поле

Матричным кольцом над полем А называется след. алгебра :

, где опер. сложения и умножения матриц определяется аналогично алгебре числовых матриц.

Свойства и доказательства этих свойств почти полностью совпадают с аналогичными утверждениями и доказательствами из теории матриц над полем действительных чисел.

Простейшие свойства кольца:

  1.  В кольце выполняются все свойства аддитивной абелевой группы  

(нейтральный элемент – единственный, противоположный элемент – единственный).

2)  

3)  

1.

2.

3.

Кольцо  гомоморфно кольцу ,

если  и

Свойства гомоморфизма:

Нулевой элемент переходит в нулевой элемент

Противоположный элемент переходит в противоположный элемент.

Если  - область целостности, то  - область целостности.

Если  - поле, то  - поле.

Изоморфизм – сохранение операции и биекция

Эпиморфизм – сохранение операции и сюръекция

Мономорфизм - сохранение операции и инъекция

Автоморфизм – сохранение операции  и инъекция и (=)

Алгебра  является подкольцом алгебры  (), если  само является кольцом относительно операции алгебры


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6748. Порядок и условия применения тарифных квот в Таможенном союзе 26.25 KB
  Порядок и условия применения тарифных квот в Таможенном союзе. В соответствии с Соглашением об условиях и механизме применения тарифных квот от 12 декабря 2008 г. при осуществлении регулирования ввоза на единую таможенную территорию сельскохозяйстве...
6749. Другие виды нетарифного регулирования (наблюдение за экспортом/импортом, исключительное право на экспорт/импорт, особые виды запретов и ограничений во внешней торговле товарами) 27.69 KB
  Другие виды нетарифного регулирования (наблюдение за экспортом/импортом, исключительное право на экспорт/импорт, особые виды запретов и ограничений во внешней торговле товарами). Наряду с квотированием и лицензированием Соглашением о единых мерах не...
6750. Клеточные основы наследственности человека 29.41 KB
  Клеточные основы наследственности человека Клетка - основная единица биологической активности. Первое описание клеток было сделано в 1665 году англичанином Р.Гуком. В зависимости от структурных особенностей клетки делятся на прокариотическ...
6751. Жизненный (клеточный) цикл 26.07 KB
  Жизненный (клеточный) цикл Весь период существования клетки от её возникновения до деления или гибели называется жизненным, или клеточным циклом. Вновь появившаяся клетка первоначально растет и дифференцируется, затем она выполняет свои специфически...
6752. Деление клетки 24.88 KB
  Деление клетки. В настоящее время известно три типа деления эукариотических клеток: амитоз, митоз и мейоз. Амитоз - прямое деление. При этом клетка, а иногда – только её ядро, делится путём простой перетяжки. Равномерного распределения нас...
6753. Основы цитогенетики. Строение и типы метафазных хромосом человека 26.99 KB
  Основы цитогенетики. Строение и типы метафазных хромосом человека. Многие ученые в разных странах мира изучали хромосомы клеточного ядра. Однако только в 1955 году Тио и Леван установили, что в большинстве клеток у человека присутствует 46 хромосом....
6754. Понятие о кариотипе человека 27.61 KB
  Понятие о кариотипе человека. Число, размеры и форма хромосом являются специфическими признаками для каждого вида живых организмов. Так, в клетках рака-отшельника содержится по 254 хромосомы, а у комара - только 6. Соматические клетки человека ...
6755. Гетерохроматин и эухроматин. Митоз и мейоз 30.76 KB
  Гетерохроматин и эухроматин В 1928 году при исследовании хроматина биологом Хейтцем было обнаружено, что некоторые участки хромосом сохраняют свою спирализациюи интенсивное окрашивание и в интерфазных клетках. Он предложил назвать эти участки ...
6756. Гаметогенез у человека 27.78 KB
  Гаметогенез у человека Процесс образования половых клеток называется гаметогенез. Он происходит в половых органах - гонадах. Гаметогенез имеет определенные особенности, зависящие от пола организма, в котором происходит мейоз. Формирование мужск...