20742

Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец

Доклад

Математика и математический анализ

Подкольцо. Алгебра называется кольцом если: 1 абелева группа. Если ассоциативный группоид полугруппа то ассоциативное кольцо. Если моноид существует то ассоциативное кольцо с единицей.

Русский

2013-07-31

128 KB

35 чел.

14.Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.

Чтобы группа была абелевой, необходимо выполнение условий:

  1.  Замкнутость;
  2.  Ассоциативный закон;
  3.  Существование  нейтрального элемента;
  4.  Существование противоположного элемента;
  5.  Коммутативный закон.

Опр. Алгебра  называется кольцом, если:

1)  - абелева группа.

2)  - группоид, т.е. умножение это бинарная операция.

3)  

                         

Изменяя 2) (дополняя его), можно получать определение колец специального вида.

Если  - ассоциативный группоид (полугруппа), то  - ассоциативное кольцо.

Если  - моноид (существует ), то  - ассоциативное  кольцо с единицей.

Если  - коммутативный моноид, то  - ассоциативно – коммутативное кольцо с 1 (коммутативное кольцо)

Опр.  называется областью целостности, если:

1)  - коммутативное кольцо

2)  (т.е.  - ненулевое кольцо )

3) ,  (отсутствие делителя нуля)

Опр. Кольцо  называется полем, если :

1) - коммутативное кольцо

2)

3)  (любой ненулевой элемент обратим)

Опр. - тело, если:

1) -ассоциативное кольцо с единицей

2)

3)  

Примеры:

1) Числовые кольца:

       

и т.д.

Все числовые кольца являются областями целостности

2) - кольцо классов вычетов по mod m.

Кольцо  рассмотрим в теории сравнений, которое является разделом теории чисел.

Если m = p, где p – простое число, то  - поле

             Если m – составное число, то  - коммутативное кольцо, не являющиеся  

             Областью целостности

Опер. в  :

Можно показать, что опер. в  определены корректно.

3) Матричные кольца

Пусть  - поле

Матричным кольцом над полем А называется след. алгебра :

, где опер. сложения и умножения матриц определяется аналогично алгебре числовых матриц.

Свойства и доказательства этих свойств почти полностью совпадают с аналогичными утверждениями и доказательствами из теории матриц над полем действительных чисел.

Простейшие свойства кольца:

  1.  В кольце выполняются все свойства аддитивной абелевой группы  

(нейтральный элемент – единственный, противоположный элемент – единственный).

2)  

3)  

1.

2.

3.

Кольцо  гомоморфно кольцу ,

если  и

Свойства гомоморфизма:

Нулевой элемент переходит в нулевой элемент

Противоположный элемент переходит в противоположный элемент.

Если  - область целостности, то  - область целостности.

Если  - поле, то  - поле.

Изоморфизм – сохранение операции и биекция

Эпиморфизм – сохранение операции и сюръекция

Мономорфизм - сохранение операции и инъекция

Автоморфизм – сохранение операции  и инъекция и (=)

Алгебра  является подкольцом алгебры  (), если  само является кольцом относительно операции алгебры


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6655. Аутосомно-доминантные атаксии 24.76 KB
  Аутосомно-доминантные атаксии К этой группе относятся разнообразные атактические синдромы, наследующиеся по аутосомно-доминантному типу и манифестирующие обычно в зрелом возрасте (как правило, после 20-30 лет). В абсолютном большинстве случаев эта г...
6656. Врожденные наследственные мозжечковые атаксии 20.64 KB
  Врожденные наследственные мозжечковые атаксии Данная группа наследственных атактических заболеваний характеризуется генетически обусловленным нарушением нормального развития и дифференцировки различных частей мозжечка и, в частности, отдельных клето...
6657. Болезнь Фридрейха 26.2 KB
  Болезнь Фридрейха В 1862 году N. Friedreich описал болезнь, впоследствии получившую его имя. Болезнь Фридрейха (или атаксия Фридрейха) - заболевание с аутосомно-рецессивным типом наследования, является частой формой наследственных атаксий: расп...
6658. Атаксия вследствие дефицита витамина Е 18.67 KB
  Атаксия вследствие дефицита витамина Е Это - редкое заболевание, которое наблюдается главным образом в странах Средиземноморского региона. Ее развитие обусловлено генетическим дефектом, расположенным на длинном плече 8ой хромосомы (локус 8q13). Клин...
6659. Х-сцепленные рецессивные атаксии 22.03 KB
  Х-сцепленные рецессивные атаксии В соответствии с Х сцепленным рецессивным наследованием заболевание развивается только у лиц мужского пола - носителей единственной копии Х хромосомы, у женщин - гетерозиготных носительниц мутации заболеван...
6660. Генетика рассеянного склероза 20.73 KB
  Генетика рассеянного склероза Участие генетических факторов в предрасположенности к развитию рассеянного склероза (РС) и формированию особенностей клинической картины не вызывает сомнения. Этиология рассеянного склероза продолжает является областью ...
6661. Основные методы исследований генетики РС, как заболевания с мультигенной предрасположенностью 24.3 KB
  Основные методы исследований генетики РС, как заболевания с мультигенной предрасположенностью. Для идентификации генов, определяющих генетическую предрасположенность к РС как к мультигенному заболеванию, применяют два основных типа анализа - популяц...
6662. Результаты исследований по методу ген-кандидат 28.49 KB
  Результаты исследований по методу ген-кандидат При подходе ген-кандидат целенаправленно выясняют роль того или иного гена, выбранного исходя из функции его белкового продукта в этиопатогенезе заболевания. В случае РС гены-кандидаты выбирали на осн...
6663. Результаты семейных исследований генетики РС 20.22 KB
  Результаты семейных исследований генетики РС Исследование семей с несколькими случаями РС наиболее информативно для доказательства сцепления маркера и РС. В то же время следует отметить, что не исключена возможность того, что семейный РС генетически...