20743

Векторное (линейное) пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства

Доклад

Математика и математический анализ

Векторноелинейноепространство. Совокупность всех nмерных векторов образует nмерное пространство ОПР2:S={a1a2ak} произвольная система векторов nмерного пространства Система векторов называется линейно зависимой если не все равны 0такие чтодействительные числа1. Если 1 выполняется только в том случае когда все числа то система векторов называется линейно независимой. Свойства линейно зависимыхнезависимыхсистем: 1Система векторов S линейно зависима тогда и только тогда когда существует вектор линейно выражающийся через...

Русский

2013-07-31

63.5 KB

31 чел.

15. Векторное(линейное)пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства.

ОПР1:n-мерным действительным вектором называется упорядоченный набор из n чисел

Х=(х1,х2,…хn), где хi принадлежит множеству действительных чисел.

Совокупность всех n-мерных векторов образует n-мерное пространство

ОПР2:S={a1,a2,…ak}   произвольная система векторов n-мерного пространства/

Система векторов называется линейно зависимой если (не все равны 0),такие, что(-действительные числа)(1).

Если (1) выполняется только в том случае, когда все числа , то система векторов называется линейно независимой.

Свойства линейно зависимых(независимых)систем:

1)Система векторов S линейно зависима тогда и только тогда, когда существует вектор линейно выражающийся через остальные вектора системы.

Док-во:

А)S-линейно зависима, значит существует вектор линейно выражающийся через остальные?;

S-линейно зависима, значит (не все=0)

 S={a1,a2,…ak},пустьотлично от нуля,то

В)Существует вектор ai выражающийся через остальные, значит S-линейно зависима,

ai=u1a1+u2a2+…ui-1ai-1+ui+1ai+1+ukak (линейное выражение ai)

u1a1+u2a2+…+ui-1ai-1+(-1)ai+ui+1ai+1+ukak;

Т.о средиэлементов есть один не нулевой(=-1), согласно определению эта система линейно зависима.

Замечание:

u1a1+u2a2+…+ukak-такое выражение называется линейной комбинацией векторов, а выражение 0a1+0a2+…+0ak называется тривиальной линейной комбинацией. Все остальные линейные комбинации нетривиальны.

Можно дать эквивалентное определение линейной зависимости(независимости):

Система векторов называется линейно независимой, только тогда, когда тривиальные комбинации этих векторов = нулевому вектору. (аналогично линейная зависимость).

2) Если некоторая подсистема данной системы линейно зависима, то линейно зависима и вся система.

Док-во:

S1-линейно зависима, значит S- линейно зависима?

S-линейно зависима, значит (не все=0)

u1*a1+u2*a2+…+uk*ak=0

Укажем нетривиальную линейную комбинацию векторов системы S=0.

u1*a1+u2*a2+…+uk*ak+0ak+1+…+0am=0, где S={a1,a2,…ak+1,…am}

3)Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.(Считается, что пустая система векторов линейно независима)

4)Пусть S={a1,a2,…ak}-линейно независима

             S1=SU{b}-линейно зависима, тогда

      

.

5) Пусть система S-линейно независима и в не является линейной комбинацией векторов S, тогда S1=SU{b}-линейно независима.(СЛЕДСТВИЕ 4)

6) Система векторов содержащая 0-вектор-линейно зависима.

7) Система векторов содержащая 2 одинаковых вектора –линейно зависима.

Базис и ранг конечной  системы векторов:

ОПР пусть задана S={a1,a2,…ak} Базисом системы S называется такая подсистема этой системы для которой выполнено:

1)В-линейно независима.

2)Каждый вектор системы S является линейной комбинацией векторов системы В.

ТЕОРЕМА(существования базиса ненулевой конечной системы векторов).

Пусть S={a1,a2,…ak}-S-ненулевая система, т,е , тогда

1)Существует базис В системы S.

2)Если В1 и В2 –два базиса системы векторов S, то число векторов в системах В1 и В2 одинаково.

Док-во:

Т.к система векторов ненулевая,то найдется вектор, отличный от 0. Предположим а1<>0

I)L(a1)=L(S), значит {a1} базис S,

т.к 1){a1}-линейно независима

     2)L(a1)=L(S), то а1-линейная комбинация любого вектора из S.

II)L(a1)L(S),тогда

         III)L(a1,a2)=L(S) и {a1,a2}-базис S

         IV)L(a1,a2)L(S)

       V)…VI)…

Данный алгоритм построения базиса конечен,вследствии конечностичисла векторов базиса. Данный алгоритм содержит не более n шагов, т.к в n-мерном пространстве не может быть линейнонезависимой системы, содержащей более n векторов.

Т.О доказано существование базиса.

ПустьВ1 и В2 – два базиса системы S.

Доказательство того,что  позволяет дать определение:

Пусть S={a1,a2,…ak},

1)Если S-ненулевая, то рангом системы S называется количество векторов произвольного базиса этой системы r(S)=\B\

2)Если нулевая, то r(S)=0

ТЕОРЕМА

S={a1,a2,…ak}L(b1….bm), то r(S)<=m.

ОПР:V-конечномерное пространство, базисом В данного про-ва называют систему векторов, для которой выполнено:

1)В-линейно независима

2)L(B)=V.

ТЕОРЕМА(существование базиса конечномерного пространства)

V-конечномерное пр-во и V<>{0}, то

  1.  существует базис пространства
  2.  если В1 и В2- базисы V, то количество элементов В1 и В2 одинаково.

Док-во(основано на свойствах базиса конечной системы векторов)-аналогично.

ОПР:Пусть V-ненулевое конечномерное пространство. Размерностью dimVназывают число базисных векторов произвольного базиса.

Если V={0},dimV=0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

471. Теория системно-информационного подхода 1.46 MB
  Информационный принцип максимальной энтропии. Определения количества возможных схем разделения исходной смеси. Задача выбора оптимальной схемы разделения. Оптимальная декомпозиция ректификационной системы. Распределение концентраций компонентов в выходных потоках.
472. Создание реалистического изображения трехмерной сцены методом трассировки лучей 254.5 KB
  Базовые возможности и входной язык программы синтеза реалистических изображений на основе метода трассировки лучей, разработать трехмерный композитный объект с применением операций конструктивной твердотельной геометрии (CSG).
473. Карбюратор Солекс Ваз 2108 176.5 KB
  Устройство карбюратора ВАЗ Солекс. Экономайзер мощностных режимов состоит. Следует отметить, что экономайзер мощностных режимов карбюратора 2108 Солекс вступает в работу при практически полностью нажатой педали газа.
474. Исследование электрических цепей при переходных процессах первого и второго родов 407 KB
  Расчёт и исследование электрических цепей при переходных процессах. При решении задач использовались законы коммутации: iL(0-)=iL(0+), UC(0-) = UC(0+). Также использовался метод наложения при определении некоторых токов и напряжений в промежуточных стадиях решения задач.
475. Методические указания по разработке экономической части выпускной квалификационной работы Технология машиностроения 356 KB
  Рекомендации по выполнению экономической части дипломного проекта. Обоснование необходимости предлагаемых разработок. Расчет показателей эффективности капитальных вложений. Обоснование необходимости предлагаемых конструкторских разработок.
476. Патриарх Никон и его наследие в контексте русской истории, культуры и мысли: опыт демифологизации 290 KB
  Восстановление Московским государством религиозно-, культурно- и политико-экономических связей в масштабах православной Эйкумены. Личность и деятельность Патриарха Никона в археографических источниках и генезис образа Патриарха в авторских интерпретациях как артефактах культуры XVIII - начала XXI в.
477. ЭВМ в практических задачах, практикум для студентов технических специальностей 401.5 KB
  Копирование или перемещение формулы. Абсолютные, относительные и смешанные ссылки. Арифметические операторы. Приведите примеры. Логическая функция ЕСЛИ. Синтаксис, применение. Вложенная функция ЕСЛИ. Приведите примеры.
478. Вирусные инфекции (эпидемический паротит, ящур) 384.5 KB
  Эпидемиологические особенности вирусных инфекций. Основные аспекты патогенеза вирусных инфекций (эпидемический паротит, ящур). Алгоритмы специфической и дифференциальной диагностики. Систему профилактических и противоэпидемических мероприятий при вирусных инфекциях.
479. Технологическое проектирование ГАТП на 130 автомобилей ЗИЛ-130 с агрегатным участком 71.24 KB
  Важным фактором повышения эффективности использования автомобильного транспорта является совершенствование методов технического обслуживания и текущего ремонта подвижного состава, его концентрация в крупных автотранспортных объединениях с использованием индустриальных технологий обеспечения работоспособности подвижного состава.