20743

Векторное (линейное) пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства

Доклад

Математика и математический анализ

Векторноелинейноепространство. Совокупность всех nмерных векторов образует nмерное пространство ОПР2:S={a1a2ak} произвольная система векторов nмерного пространства Система векторов называется линейно зависимой если не все равны 0такие чтодействительные числа1. Если 1 выполняется только в том случае когда все числа то система векторов называется линейно независимой. Свойства линейно зависимыхнезависимыхсистем: 1Система векторов S линейно зависима тогда и только тогда когда существует вектор линейно выражающийся через...

Русский

2013-07-31

63.5 KB

31 чел.

15. Векторное(линейное)пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства.

ОПР1:n-мерным действительным вектором называется упорядоченный набор из n чисел

Х=(х1,х2,…хn), где хi принадлежит множеству действительных чисел.

Совокупность всех n-мерных векторов образует n-мерное пространство

ОПР2:S={a1,a2,…ak}   произвольная система векторов n-мерного пространства/

Система векторов называется линейно зависимой если (не все равны 0),такие, что(-действительные числа)(1).

Если (1) выполняется только в том случае, когда все числа , то система векторов называется линейно независимой.

Свойства линейно зависимых(независимых)систем:

1)Система векторов S линейно зависима тогда и только тогда, когда существует вектор линейно выражающийся через остальные вектора системы.

Док-во:

А)S-линейно зависима, значит существует вектор линейно выражающийся через остальные?;

S-линейно зависима, значит (не все=0)

 S={a1,a2,…ak},пустьотлично от нуля,то

В)Существует вектор ai выражающийся через остальные, значит S-линейно зависима,

ai=u1a1+u2a2+…ui-1ai-1+ui+1ai+1+ukak (линейное выражение ai)

u1a1+u2a2+…+ui-1ai-1+(-1)ai+ui+1ai+1+ukak;

Т.о средиэлементов есть один не нулевой(=-1), согласно определению эта система линейно зависима.

Замечание:

u1a1+u2a2+…+ukak-такое выражение называется линейной комбинацией векторов, а выражение 0a1+0a2+…+0ak называется тривиальной линейной комбинацией. Все остальные линейные комбинации нетривиальны.

Можно дать эквивалентное определение линейной зависимости(независимости):

Система векторов называется линейно независимой, только тогда, когда тривиальные комбинации этих векторов = нулевому вектору. (аналогично линейная зависимость).

2) Если некоторая подсистема данной системы линейно зависима, то линейно зависима и вся система.

Док-во:

S1-линейно зависима, значит S- линейно зависима?

S-линейно зависима, значит (не все=0)

u1*a1+u2*a2+…+uk*ak=0

Укажем нетривиальную линейную комбинацию векторов системы S=0.

u1*a1+u2*a2+…+uk*ak+0ak+1+…+0am=0, где S={a1,a2,…ak+1,…am}

3)Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.(Считается, что пустая система векторов линейно независима)

4)Пусть S={a1,a2,…ak}-линейно независима

             S1=SU{b}-линейно зависима, тогда

      

.

5) Пусть система S-линейно независима и в не является линейной комбинацией векторов S, тогда S1=SU{b}-линейно независима.(СЛЕДСТВИЕ 4)

6) Система векторов содержащая 0-вектор-линейно зависима.

7) Система векторов содержащая 2 одинаковых вектора –линейно зависима.

Базис и ранг конечной  системы векторов:

ОПР пусть задана S={a1,a2,…ak} Базисом системы S называется такая подсистема этой системы для которой выполнено:

1)В-линейно независима.

2)Каждый вектор системы S является линейной комбинацией векторов системы В.

ТЕОРЕМА(существования базиса ненулевой конечной системы векторов).

Пусть S={a1,a2,…ak}-S-ненулевая система, т,е , тогда

1)Существует базис В системы S.

2)Если В1 и В2 –два базиса системы векторов S, то число векторов в системах В1 и В2 одинаково.

Док-во:

Т.к система векторов ненулевая,то найдется вектор, отличный от 0. Предположим а1<>0

I)L(a1)=L(S), значит {a1} базис S,

т.к 1){a1}-линейно независима

     2)L(a1)=L(S), то а1-линейная комбинация любого вектора из S.

II)L(a1)L(S),тогда

         III)L(a1,a2)=L(S) и {a1,a2}-базис S

         IV)L(a1,a2)L(S)

       V)…VI)…

Данный алгоритм построения базиса конечен,вследствии конечностичисла векторов базиса. Данный алгоритм содержит не более n шагов, т.к в n-мерном пространстве не может быть линейнонезависимой системы, содержащей более n векторов.

Т.О доказано существование базиса.

ПустьВ1 и В2 – два базиса системы S.

Доказательство того,что  позволяет дать определение:

Пусть S={a1,a2,…ak},

1)Если S-ненулевая, то рангом системы S называется количество векторов произвольного базиса этой системы r(S)=\B\

2)Если нулевая, то r(S)=0

ТЕОРЕМА

S={a1,a2,…ak}L(b1….bm), то r(S)<=m.

ОПР:V-конечномерное пространство, базисом В данного про-ва называют систему векторов, для которой выполнено:

1)В-линейно независима

2)L(B)=V.

ТЕОРЕМА(существование базиса конечномерного пространства)

V-конечномерное пр-во и V<>{0}, то

  1.  существует базис пространства
  2.  если В1 и В2- базисы V, то количество элементов В1 и В2 одинаково.

Док-во(основано на свойствах базиса конечной системы векторов)-аналогично.

ОПР:Пусть V-ненулевое конечномерное пространство. Размерностью dimVназывают число базисных векторов произвольного базиса.

Если V={0},dimV=0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3777. Brain Ring What? Where? When? 135.5 KB
  Brain Ring What? Where? When? Мета: освітня – закріплення та повторення одержаних знань практична – вчити радити, пропонувати та аргументувати свою думку, сприймати розповідь на слух розвиваюча – розвивати увагу, пізнавальний інт...
3778. Значение института несостоятельности (банкротства) 120.5 KB
  Институт несостоятельности предприятия (банкротства) появился в нашем правовом регулировании в связи с переходом к рыночным отношениям. В условиях всеобъемлющего господства государственной и кооперативно-колхозной собственности проблема пр...
3779. Правоотношения в сфере трудового права 70 KB
  Введение Трудовое право как одна из ведущих отраслей российского права, имеющее предметом регулирования общественные отношения в важнейшей сфере жизнедеятельности общества – в сфере труда, вступило в новый этап реформирования, связанный с приня...
3780. ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО ВИКТОРА МИХАЙЛОВИЧА ВАСНЕЦОВА 75.5 KB
  Виктор Михайлович Васнецов родился в 1848 году в одном из сёл Вятской губернии. В городе Вятке прошла его ранняя юность. В Вятской губернии издавна процветали по сёлам кустарные промыслы, далеко шла слава об искусных вятских умельцах, о резной дерев...
3781. Василий Иванович Суриков 32 KB
  Василий Иванович Суриков В городе Красноярске 24 января 1848 года в семье, принадлежащей к старинному казачьему роду, родился Василий Суриков. С первых сознательных дней своей жизни он жадно впитывает в себя колоритные условия патриархального быта н..
3782. Жизнь и творчество Пабло Пикассо 116.5 KB
  Введение Актуальность выбранной темы я вижу в том, что немногим удавалось достичь такой популярности и силы воздействия на искусство ХХ в., как Пабло Пикассо, родившемуся почти 120 лет назад на юге Испании. Он прожил долгую и плодотворную жизнь. Ког...
3783. Жизнь Льва Ивановича Иванова 44.5 KB
  Жизнь Льва Ивановича Иванова сложилась нелегко, как складывалась жизнь многих русских талантов. Незаконно рожденный, он провёл первые три года в петербургском воспитательном доме, затем был усыновлен отцом и позже отдан в театральное училище. В 1850 г...