20743

Векторное (линейное) пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства

Доклад

Математика и математический анализ

Векторноелинейноепространство. Совокупность всех nмерных векторов образует nмерное пространство ОПР2:S={a1a2ak} произвольная система векторов nмерного пространства Система векторов называется линейно зависимой если не все равны 0такие чтодействительные числа1. Если 1 выполняется только в том случае когда все числа то система векторов называется линейно независимой. Свойства линейно зависимыхнезависимыхсистем: 1Система векторов S линейно зависима тогда и только тогда когда существует вектор линейно выражающийся через...

Русский

2013-07-31

63.5 KB

29 чел.

15. Векторное(линейное)пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства.

ОПР1:n-мерным действительным вектором называется упорядоченный набор из n чисел

Х=(х1,х2,…хn), где хi принадлежит множеству действительных чисел.

Совокупность всех n-мерных векторов образует n-мерное пространство

ОПР2:S={a1,a2,…ak}   произвольная система векторов n-мерного пространства/

Система векторов называется линейно зависимой если (не все равны 0),такие, что(-действительные числа)(1).

Если (1) выполняется только в том случае, когда все числа , то система векторов называется линейно независимой.

Свойства линейно зависимых(независимых)систем:

1)Система векторов S линейно зависима тогда и только тогда, когда существует вектор линейно выражающийся через остальные вектора системы.

Док-во:

А)S-линейно зависима, значит существует вектор линейно выражающийся через остальные?;

S-линейно зависима, значит (не все=0)

 S={a1,a2,…ak},пустьотлично от нуля,то

В)Существует вектор ai выражающийся через остальные, значит S-линейно зависима,

ai=u1a1+u2a2+…ui-1ai-1+ui+1ai+1+ukak (линейное выражение ai)

u1a1+u2a2+…+ui-1ai-1+(-1)ai+ui+1ai+1+ukak;

Т.о средиэлементов есть один не нулевой(=-1), согласно определению эта система линейно зависима.

Замечание:

u1a1+u2a2+…+ukak-такое выражение называется линейной комбинацией векторов, а выражение 0a1+0a2+…+0ak называется тривиальной линейной комбинацией. Все остальные линейные комбинации нетривиальны.

Можно дать эквивалентное определение линейной зависимости(независимости):

Система векторов называется линейно независимой, только тогда, когда тривиальные комбинации этих векторов = нулевому вектору. (аналогично линейная зависимость).

2) Если некоторая подсистема данной системы линейно зависима, то линейно зависима и вся система.

Док-во:

S1-линейно зависима, значит S- линейно зависима?

S-линейно зависима, значит (не все=0)

u1*a1+u2*a2+…+uk*ak=0

Укажем нетривиальную линейную комбинацию векторов системы S=0.

u1*a1+u2*a2+…+uk*ak+0ak+1+…+0am=0, где S={a1,a2,…ak+1,…am}

3)Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.(Считается, что пустая система векторов линейно независима)

4)Пусть S={a1,a2,…ak}-линейно независима

             S1=SU{b}-линейно зависима, тогда

      

.

5) Пусть система S-линейно независима и в не является линейной комбинацией векторов S, тогда S1=SU{b}-линейно независима.(СЛЕДСТВИЕ 4)

6) Система векторов содержащая 0-вектор-линейно зависима.

7) Система векторов содержащая 2 одинаковых вектора –линейно зависима.

Базис и ранг конечной  системы векторов:

ОПР пусть задана S={a1,a2,…ak} Базисом системы S называется такая подсистема этой системы для которой выполнено:

1)В-линейно независима.

2)Каждый вектор системы S является линейной комбинацией векторов системы В.

ТЕОРЕМА(существования базиса ненулевой конечной системы векторов).

Пусть S={a1,a2,…ak}-S-ненулевая система, т,е , тогда

1)Существует базис В системы S.

2)Если В1 и В2 –два базиса системы векторов S, то число векторов в системах В1 и В2 одинаково.

Док-во:

Т.к система векторов ненулевая,то найдется вектор, отличный от 0. Предположим а1<>0

I)L(a1)=L(S), значит {a1} базис S,

т.к 1){a1}-линейно независима

     2)L(a1)=L(S), то а1-линейная комбинация любого вектора из S.

II)L(a1)L(S),тогда

         III)L(a1,a2)=L(S) и {a1,a2}-базис S

         IV)L(a1,a2)L(S)

       V)…VI)…

Данный алгоритм построения базиса конечен,вследствии конечностичисла векторов базиса. Данный алгоритм содержит не более n шагов, т.к в n-мерном пространстве не может быть линейнонезависимой системы, содержащей более n векторов.

Т.О доказано существование базиса.

ПустьВ1 и В2 – два базиса системы S.

Доказательство того,что  позволяет дать определение:

Пусть S={a1,a2,…ak},

1)Если S-ненулевая, то рангом системы S называется количество векторов произвольного базиса этой системы r(S)=\B\

2)Если нулевая, то r(S)=0

ТЕОРЕМА

S={a1,a2,…ak}L(b1….bm), то r(S)<=m.

ОПР:V-конечномерное пространство, базисом В данного про-ва называют систему векторов, для которой выполнено:

1)В-линейно независима

2)L(B)=V.

ТЕОРЕМА(существование базиса конечномерного пространства)

V-конечномерное пр-во и V<>{0}, то

  1.  существует базис пространства
  2.  если В1 и В2- базисы V, то количество элементов В1 и В2 одинаково.

Док-во(основано на свойствах базиса конечной системы векторов)-аналогично.

ОПР:Пусть V-ненулевое конечномерное пространство. Размерностью dimVназывают число базисных векторов произвольного базиса.

Если V={0},dimV=0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48385. Мотивы апокалипсиса культуры в романе Т.Толстой «Кысь». Черты постмодернистской поэтики в произведении 38.81 KB
  Мотивы апокалипсиса культуры в романе Т.Толстой «Кысь». Черты постмодернистской поэтики в произведении. Татьяна Толстая родилась в очень известной литературной семье. Её дед по отцовской линии Алексей Николаевич Толстой, бабушка по отцовской линии — Наталья Толстая-Крандиевская была известной поэтессой. Прадед с материнской стороны Борис Михайлович Шапиров — военный врач, деятель Красного креста, лейб-медик Николая II, действительный тайный советник
48386. Экономическая оценка инвестиций, введение в проектный анализ 667.23 KB
  Материальные инвестиции -– движимое и недвижимо имущество приобретенное или построенное до начала реализационного проекта. инвестиции пакеты акций налоговые льготы налоги Объект применения Материальные в имущество финансовые в финансовое имущество нематериальные в исследования и разработки подготовку кадров и тд Назначение На основание проекта неттоинвестиции на расширение проекта экстенсивные инвестиции реинвестиции на замену модернизацию диверсификацию на обеспечение выживаемости предприятия бруттоинвестиции...
48387. УЧАСТИЕ В ЛЕЧЕБНО-ДИАГНОСТИЧЕСКОМ И РЕАБИЛИТАЦИОННОМ ПРОЦЕССАХ 189.57 KB
  Забелин в своих трудах описал правила вскармливания ребенка грудью и показал значение грудного вскармливания для развития здорового ребенка. Была разработана государственная программа улучшения здоровья детей которая содержит следующие приоритетные направления: Улучшение качества жизни ребенка создание условий наиболее полного использования жизненного потенциала физического интеллектуального и эмоционального. Систематическое наблюдение за развитием ребенка. Совершенствование системы охраны здоровья матери и ребенка.
48388. Совместное применение нескольких фундаментальных законов 449.75 KB
  Совместное применение нескольких фундаментальных законов Законы сохранения массы импульса энергии используем для построения математической модели описывающей течение сжимаемого газа. Газообразные среды гораздо легче подвергаются сжатию: при перепаде давления в одну атмосферу плотность газа первоначально находившегося при атмосферном давлении уменьшается или увеличивается на величину сопоставимую с начальной его плотностью. Уравнение неразрывности для сжимаемого газа. По оси через грань с координатой в кубик за время поступает масса...
48389. Экономика отрасли 205.02 KB
  Производительность и оплата труда Основные фонды – средства труда которые многократно используются в хозяйственном процессе не изменяя свою вещественно-материальную форму. Оборотные фонды – предметы труда которые в процессе производства превращаются в готовую продукцию.Сущность классификация и структура ОФ СРЕДСТВА ПРОИЗВОДСТВА ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФОНДЫ средства труда предметы труда ОПФ оборотные ПФ Характеристика ОПФ Об.
48390. Организация, планирование и управление в строительстве 5.81 MB
  В учебном пособии изложены основы организации строительного производства, проектирования и изысканий в строительстве. Приведены основы планирования строительного производства и управления строительно-монтажных организаций.
48391. Основи мови Паскаль 564.32 KB
  Стандартні визначені ідентифікатори це імена всіх службових процедур, функцій та директив (не плутати з ключовими словами). Перевизначення стандартних ідентифікаторів дозволяється, але треба пам’ятати, якщо у програмі визначена змінна (константа та ін.), ім’я якої співпадає з стандартним, то під час роботи програми їх стандартну дію буде загублено.
48392. ЛИЧНОСТЬ КЕНА КИЗИ В ИСТОРИИ АМЕРИКАНСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПОСТМОДЕРНИЗМА. ПОБЛЕМАТИКА РОМАНА «ПОЛЕТ НАД ГНЕЗДОМ КУКУШКИ» 35.88 KB
  Кизи в литературе постмодернизма; проанализировать смысл названия романа; раскрыть проблематику романа Полет над гнездом кукушки. Кизи в американской литературе постмодернизма. Кен Кизи Пролетая над гнездом кукушки Амфора 2004г.
48393. ПРИНЦИПЫ ПРОЗЫ ХХ ВЕКА 24.76 KB
  Иллюзия реальность; 2. Основные понятия: Неомифологизм иллюзия реальность текст в тексте бриколаж обэриут приоритет стиля над сюжетом;уничтожение фабулы; синтаксис а не лексика; прагматика а не семантика; наблюдатель; нарушение принципов связности текста; аутестизм. Иллюзия реальность. чрезвычайно характерна игра на границе между вымыслом и реальностью.