20743

Векторное (линейное) пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства

Доклад

Математика и математический анализ

Векторноелинейноепространство. Совокупность всех nмерных векторов образует nмерное пространство ОПР2:S={a1a2ak} произвольная система векторов nмерного пространства Система векторов называется линейно зависимой если не все равны 0такие чтодействительные числа1. Если 1 выполняется только в том случае когда все числа то система векторов называется линейно независимой. Свойства линейно зависимыхнезависимыхсистем: 1Система векторов S линейно зависима тогда и только тогда когда существует вектор линейно выражающийся через...

Русский

2013-07-31

63.5 KB

31 чел.

15. Векторное(линейное)пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства.

ОПР1:n-мерным действительным вектором называется упорядоченный набор из n чисел

Х=(х1,х2,…хn), где хi принадлежит множеству действительных чисел.

Совокупность всех n-мерных векторов образует n-мерное пространство

ОПР2:S={a1,a2,…ak}   произвольная система векторов n-мерного пространства/

Система векторов называется линейно зависимой если (не все равны 0),такие, что(-действительные числа)(1).

Если (1) выполняется только в том случае, когда все числа , то система векторов называется линейно независимой.

Свойства линейно зависимых(независимых)систем:

1)Система векторов S линейно зависима тогда и только тогда, когда существует вектор линейно выражающийся через остальные вектора системы.

Док-во:

А)S-линейно зависима, значит существует вектор линейно выражающийся через остальные?;

S-линейно зависима, значит (не все=0)

 S={a1,a2,…ak},пустьотлично от нуля,то

В)Существует вектор ai выражающийся через остальные, значит S-линейно зависима,

ai=u1a1+u2a2+…ui-1ai-1+ui+1ai+1+ukak (линейное выражение ai)

u1a1+u2a2+…+ui-1ai-1+(-1)ai+ui+1ai+1+ukak;

Т.о средиэлементов есть один не нулевой(=-1), согласно определению эта система линейно зависима.

Замечание:

u1a1+u2a2+…+ukak-такое выражение называется линейной комбинацией векторов, а выражение 0a1+0a2+…+0ak называется тривиальной линейной комбинацией. Все остальные линейные комбинации нетривиальны.

Можно дать эквивалентное определение линейной зависимости(независимости):

Система векторов называется линейно независимой, только тогда, когда тривиальные комбинации этих векторов = нулевому вектору. (аналогично линейная зависимость).

2) Если некоторая подсистема данной системы линейно зависима, то линейно зависима и вся система.

Док-во:

S1-линейно зависима, значит S- линейно зависима?

S-линейно зависима, значит (не все=0)

u1*a1+u2*a2+…+uk*ak=0

Укажем нетривиальную линейную комбинацию векторов системы S=0.

u1*a1+u2*a2+…+uk*ak+0ak+1+…+0am=0, где S={a1,a2,…ak+1,…am}

3)Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.(Считается, что пустая система векторов линейно независима)

4)Пусть S={a1,a2,…ak}-линейно независима

             S1=SU{b}-линейно зависима, тогда

      

.

5) Пусть система S-линейно независима и в не является линейной комбинацией векторов S, тогда S1=SU{b}-линейно независима.(СЛЕДСТВИЕ 4)

6) Система векторов содержащая 0-вектор-линейно зависима.

7) Система векторов содержащая 2 одинаковых вектора –линейно зависима.

Базис и ранг конечной  системы векторов:

ОПР пусть задана S={a1,a2,…ak} Базисом системы S называется такая подсистема этой системы для которой выполнено:

1)В-линейно независима.

2)Каждый вектор системы S является линейной комбинацией векторов системы В.

ТЕОРЕМА(существования базиса ненулевой конечной системы векторов).

Пусть S={a1,a2,…ak}-S-ненулевая система, т,е , тогда

1)Существует базис В системы S.

2)Если В1 и В2 –два базиса системы векторов S, то число векторов в системах В1 и В2 одинаково.

Док-во:

Т.к система векторов ненулевая,то найдется вектор, отличный от 0. Предположим а1<>0

I)L(a1)=L(S), значит {a1} базис S,

т.к 1){a1}-линейно независима

     2)L(a1)=L(S), то а1-линейная комбинация любого вектора из S.

II)L(a1)L(S),тогда

         III)L(a1,a2)=L(S) и {a1,a2}-базис S

         IV)L(a1,a2)L(S)

       V)…VI)…

Данный алгоритм построения базиса конечен,вследствии конечностичисла векторов базиса. Данный алгоритм содержит не более n шагов, т.к в n-мерном пространстве не может быть линейнонезависимой системы, содержащей более n векторов.

Т.О доказано существование базиса.

ПустьВ1 и В2 – два базиса системы S.

Доказательство того,что  позволяет дать определение:

Пусть S={a1,a2,…ak},

1)Если S-ненулевая, то рангом системы S называется количество векторов произвольного базиса этой системы r(S)=\B\

2)Если нулевая, то r(S)=0

ТЕОРЕМА

S={a1,a2,…ak}L(b1….bm), то r(S)<=m.

ОПР:V-конечномерное пространство, базисом В данного про-ва называют систему векторов, для которой выполнено:

1)В-линейно независима

2)L(B)=V.

ТЕОРЕМА(существование базиса конечномерного пространства)

V-конечномерное пр-во и V<>{0}, то

  1.  существует базис пространства
  2.  если В1 и В2- базисы V, то количество элементов В1 и В2 одинаково.

Док-во(основано на свойствах базиса конечной системы векторов)-аналогично.

ОПР:Пусть V-ненулевое конечномерное пространство. Размерностью dimVназывают число базисных векторов произвольного базиса.

Если V={0},dimV=0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81810. Этика науки и ответственность учёного. Нормы научной деятельности и расширение этоса науки 43.55 KB
  Нормы научной деятельности и расширение этоса науки. В процессе вершения науки этически оцениваемые объекты производят этически оцениваемые деяния и тогда деяния порождают этически оцениваемые отношения а объекты становятся субъектами этих отношений. Римскими цифрами обозначены классы отношений: I личные отношения ученых; II заочные отношения ученых внутри мира науки; III отношения между миром науки с одной стороны и человечеством и природой с другой.
81811. Сциентизм и антисциетизм. Наука и паранаука 34.61 KB
  Эйнштейн ищут основания знания в философии и художественной литературе. Анти-фундаменталистская тенденция просматривается в истолковании всех важнейших областей научного познания: математического естественнонаучного гуманитарного. В то время как сциентизм базируется на абсолютизации рациональнотеоретических компонентов знания антисциентизм опирается на ключевую роль этических правовых культурных ценностей по отношению к идеалу научности. Следует отметить направление теории познания имеющее долгую историю в котором акцент делается на...
81812. Наука как социокультурный феномен. Становление науки как социального института 38.59 KB
  Становление науки как социального института. Именно деятельностное понимание науки особо отмечал В. Вернадский: Ее содержание не ограничивается научными теориями гипотезами моделями создаваемой ими картиной мира в основе она главным образом состоит из научных фактов и их эмпирических обобщений и главным живым содержанием является в ней научная работа живых людей Во втором истолковании когда наука выступает как система знаний отвечающих критериям объективности адекватности истинности научное знание пытается обеспечить себе...
81813. Историческое развитие институциональных форм научной деятельности. Научные сообщества и их исторические типы 37.76 KB
  Возникновение науки как социального института связывают с кардинальными изменениями в общественном строе и в частности с эпохой буржуазных революций которая дала мощный толчок развитию промышленности торговли строительству горному делу мореплаванию. Способы организации и взаимодействия ученых менялись на протяжении всего исторического развития науки. Само существование науки в качестве социального института говорило о том что в системе общественного разделения труда она должна выполнять специфические функции а именно отвечать за...
81814. Наука и экономика. Наука и власть.Проблема государственного регулирования науки 28.08 KB
  Проблема государственного регулирования науки. Отношения науки и экономики всегда представляли собой большую проблему. Традиционное представление о том что технология является неотъемлемым приложением науки сталкивается с эмпирическими и практическими возражениями. Однако если прикладные науки обслуживая производство могут надеяться на долю в распределении его финансовых ресурсов то фундаментальные науки напрямую связаны с объемом бюджетного финансирования и наличием тех планов и программ которые утверждены государственными структурами.
81815. Поиск нового типа цивилизационного развития и новые функции науки в культуре 42.75 KB
  Наука действительно являет собой сложный полиструктурный организм целый мир в недрах которого бушуют познавательные страсти схлестываются несовместимые точки зрения ведется кропотливая экспериментаторская и теоретическая работа. Наука обладает способностью поглощать своих субъектов делать их фанатиками исследования. Однако на самом деле наука лишь один из видов человеческой соотнесенности с миром возникший исторически довольно поздно и выполняющий в жизни общества совершенно конкретные функции. Коренное различие состояло в том что...
81816. Роль науки в преодолении глобальных проблем современности 27.77 KB
  Ученые во всеуслышание заявляют о глобальных проблемах современности к которым относят проблемы охватывающие систему мир человек в целом и которые отражают жизненно важные факторы человеческого существования. Глобальные проблемы имеют не локальный а всеохватывающий планетарный характер. К глобальным проблемам современности относят экологические демографические проблемы войны и мира проблемы кризиса культуры. В силу этого глобальные проблемы должны решаться комплексно координированно усилиями всего мирового сообщества.
81817. Предмет современной философии науки 31.34 KB
  Создавая образ философии науки следует четко определить о чем идет речь: о философии науки как направлении западной и отечественной философии или же о философии науки как о философской дисциплине наряду с философией истории логикой методологией культурологией исследующих свой срез рефлексивного отношения мышления к бытию в данном случае к бытию науки. Философия науки как направление современной философии представлена множеством оригинальных концепций предлагающих ту или иную модель развития науки и эпистемологии. Она сосредоточена на...
81818. Понятие науки. Основные аспекты бытия науки 34.37 KB
  Наука как социальный институт или форма общественного сознания связанная с производством научнотеоретического знания представляет собой определенную систему взаимосвязей между научными организациями членами научного сообщества систему норм и ценностей. Они участвуют в разнообразных формах научного общения дискуссии конференции издания монографии учебники читают лекции и т. Выделим самые характерные черты научного знания. Еще Кант в качестве неотъемлемой черты науки отмечал систематичность научного знания: именно этим как он...