20743

Векторное (линейное) пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства

Доклад

Математика и математический анализ

Векторноелинейноепространство. Совокупность всех nмерных векторов образует nмерное пространство ОПР2:S={a1a2ak} произвольная система векторов nмерного пространства Система векторов называется линейно зависимой если не все равны 0такие чтодействительные числа1. Если 1 выполняется только в том случае когда все числа то система векторов называется линейно независимой. Свойства линейно зависимыхнезависимыхсистем: 1Система векторов S линейно зависима тогда и только тогда когда существует вектор линейно выражающийся через...

Русский

2013-07-31

63.5 KB

31 чел.

15. Векторное(линейное)пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства.

ОПР1:n-мерным действительным вектором называется упорядоченный набор из n чисел

Х=(х1,х2,…хn), где хi принадлежит множеству действительных чисел.

Совокупность всех n-мерных векторов образует n-мерное пространство

ОПР2:S={a1,a2,…ak}   произвольная система векторов n-мерного пространства/

Система векторов называется линейно зависимой если (не все равны 0),такие, что(-действительные числа)(1).

Если (1) выполняется только в том случае, когда все числа , то система векторов называется линейно независимой.

Свойства линейно зависимых(независимых)систем:

1)Система векторов S линейно зависима тогда и только тогда, когда существует вектор линейно выражающийся через остальные вектора системы.

Док-во:

А)S-линейно зависима, значит существует вектор линейно выражающийся через остальные?;

S-линейно зависима, значит (не все=0)

 S={a1,a2,…ak},пустьотлично от нуля,то

В)Существует вектор ai выражающийся через остальные, значит S-линейно зависима,

ai=u1a1+u2a2+…ui-1ai-1+ui+1ai+1+ukak (линейное выражение ai)

u1a1+u2a2+…+ui-1ai-1+(-1)ai+ui+1ai+1+ukak;

Т.о средиэлементов есть один не нулевой(=-1), согласно определению эта система линейно зависима.

Замечание:

u1a1+u2a2+…+ukak-такое выражение называется линейной комбинацией векторов, а выражение 0a1+0a2+…+0ak называется тривиальной линейной комбинацией. Все остальные линейные комбинации нетривиальны.

Можно дать эквивалентное определение линейной зависимости(независимости):

Система векторов называется линейно независимой, только тогда, когда тривиальные комбинации этих векторов = нулевому вектору. (аналогично линейная зависимость).

2) Если некоторая подсистема данной системы линейно зависима, то линейно зависима и вся система.

Док-во:

S1-линейно зависима, значит S- линейно зависима?

S-линейно зависима, значит (не все=0)

u1*a1+u2*a2+…+uk*ak=0

Укажем нетривиальную линейную комбинацию векторов системы S=0.

u1*a1+u2*a2+…+uk*ak+0ak+1+…+0am=0, где S={a1,a2,…ak+1,…am}

3)Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.(Считается, что пустая система векторов линейно независима)

4)Пусть S={a1,a2,…ak}-линейно независима

             S1=SU{b}-линейно зависима, тогда

      

.

5) Пусть система S-линейно независима и в не является линейной комбинацией векторов S, тогда S1=SU{b}-линейно независима.(СЛЕДСТВИЕ 4)

6) Система векторов содержащая 0-вектор-линейно зависима.

7) Система векторов содержащая 2 одинаковых вектора –линейно зависима.

Базис и ранг конечной  системы векторов:

ОПР пусть задана S={a1,a2,…ak} Базисом системы S называется такая подсистема этой системы для которой выполнено:

1)В-линейно независима.

2)Каждый вектор системы S является линейной комбинацией векторов системы В.

ТЕОРЕМА(существования базиса ненулевой конечной системы векторов).

Пусть S={a1,a2,…ak}-S-ненулевая система, т,е , тогда

1)Существует базис В системы S.

2)Если В1 и В2 –два базиса системы векторов S, то число векторов в системах В1 и В2 одинаково.

Док-во:

Т.к система векторов ненулевая,то найдется вектор, отличный от 0. Предположим а1<>0

I)L(a1)=L(S), значит {a1} базис S,

т.к 1){a1}-линейно независима

     2)L(a1)=L(S), то а1-линейная комбинация любого вектора из S.

II)L(a1)L(S),тогда

         III)L(a1,a2)=L(S) и {a1,a2}-базис S

         IV)L(a1,a2)L(S)

       V)…VI)…

Данный алгоритм построения базиса конечен,вследствии конечностичисла векторов базиса. Данный алгоритм содержит не более n шагов, т.к в n-мерном пространстве не может быть линейнонезависимой системы, содержащей более n векторов.

Т.О доказано существование базиса.

ПустьВ1 и В2 – два базиса системы S.

Доказательство того,что  позволяет дать определение:

Пусть S={a1,a2,…ak},

1)Если S-ненулевая, то рангом системы S называется количество векторов произвольного базиса этой системы r(S)=\B\

2)Если нулевая, то r(S)=0

ТЕОРЕМА

S={a1,a2,…ak}L(b1….bm), то r(S)<=m.

ОПР:V-конечномерное пространство, базисом В данного про-ва называют систему векторов, для которой выполнено:

1)В-линейно независима

2)L(B)=V.

ТЕОРЕМА(существование базиса конечномерного пространства)

V-конечномерное пр-во и V<>{0}, то

  1.  существует базис пространства
  2.  если В1 и В2- базисы V, то количество элементов В1 и В2 одинаково.

Док-во(основано на свойствах базиса конечной системы векторов)-аналогично.

ОПР:Пусть V-ненулевое конечномерное пространство. Размерностью dimVназывают число базисных векторов произвольного базиса.

Если V={0},dimV=0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24202. РАССТРОЙСТВА ТЕПЛОВОГО ОБМЕНА. ЛИХОРАДКА 168.5 KB
  Главное при гипертермии снижение теплоотдачи но и нарушения обмена утилизации энергиитепла катехоламины яды митохондриальные йодсодержащие тиреоидные гормоны. Стадии: Компенсированная развитие стрессреакции активация симпатоадреналовой и гипоталамонадпочечниковой систем усиление теплоотдачи пот гипогидратация и повышение вязкости крови выделение солей; учащение ЧД ЧСС повышение ударного ОК и МОК повышение систАД при снижении диастАД; увеличение утилизации кислорода и увеличение выделения СО2 гипокапния с...
24203. ПАТОФИЗИОЛОГИЯ ИММУНИТЕТА 163 KB
  ФИЛОГЕНЕЗ иммунитет есть на самых ранних стадиях жизни: Все ГКГ АТ всех типов Fcрецепторы клеток CD антигены Тлмф АГрецепторы Тклеток АГрецепторы Вклеток это суперсемейство генов иммуноглобулинов возникших и развивающихся вместе Схема 1 Филогенез функций иммунитета Фагоцитоз пищевойзащитный прообраз иммунитета амеба  Распознавание своечужое ГКГ губки предпочтение своего Отторжение чужого кишечнополостные имеется уже иммунная память и цитотоксичность древние Тлмф и ЕК кораллы ...
24204. Исследование регистров, хранение и преобразование многоразрядных двоичных чисел 90.5 KB
  Наиболее простыми регистрами являются регистры памяти. Схема включения регистра 74173. На отечественных схемах символом регистра служат буквы RG . Работу регистра сдвига рассмотрим на примере регистра 74195 К155ИР12 схема включения которого показана на рис.
24205. ИССЛЕДОВАНИЕ СЧЕТЧИКОВ 129.5 KB
  Триггер может служить примером простейшего счетчика. Каждый из триггеров такой цепочки называют разрядом счетчика. Нулевое состояние всех триггеров принимается за нулевое состояние счетчика в целом. Число входных импульсов и состояние счетчика взаимно определены только для первого цикла.
24206. Исследование устройств на операционных усилителях 614.5 KB
  Научиться измерять: входные токи напряжение смещения входное и выходное сопротивления время нарастания выходного напряжения операционных усилителей. ОУ в своём составе имеет входной каскад каскад сдвига уровня напряжения и выходной каскад. Каскад сдвига уровня напряжения выполнен по схеме эмиттерного повторителя и исключает из сигнала уровень постоянной составляющей. Входные токи проходят через внутреннее сопротивление источника входного сигнала и создают на нём падение напряжения.
24207. ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЛЬТРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ 120.5 KB
  По частотным характеристикам различают четыре основных вида фильтров рис. Рис. Частотные характеристики идеальных сплошная кривая и реальных пунктирная фильтров нижних частот а верхних б полосового в и режекторного г Фильтры нижних частот ФНЧ пропускают колебания с частотами от нуля до некоторой верхней частоты в фильтры верхних частот ФВЧ колебания с частотой не ниже некоторой нижней частоты н.
24208. Исследование цифро-аналоговых и аналого-цифровых преобразователей 615 KB
  Опорное напряжение U0n 3 В подключается к резисторам матрицы переключателями D C B и A управляемым одноименными клавишами клавиатуры и имитирующими преобразуемый код. Выходное напряжение U0 измеряется мультиметром.1 то напряжение на входе и выходе ОУ равно 0 В.Тогда на вход ОУ через резистор R1 подается напряжение 3 B.
24209. ИССЛЕДОВАНИЕ ШИФРАТОРОВ И ДЕШИФРАТОРОВ 53.5 KB
  Поэтому часто дешифраторы называют дешифраторамидемультиплексорами и наоборот. Схема включения дешифратора 74154. 2 приведена схема включения дешифратора 74154 отечественный аналог К155ИДЗ. В режиме дешифратора с генератора слова на входы Gl G2 подается 0 а на адресные входы код в диапазоне 0000.
24210. ИССЛЕДОВАНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ СУММАТОРОВ 79 KB
  Многоразрядный сумматор создается на базе одного полусумматора и п полных сумматоров. Схемы полусумматора а и полного сумматора б. Задание на подготовку к работе Изучить принцип работы полусумматора. Контрольные вопросы Изобразите схему полусумматора и объясните его работу Изобразите схему полного сумматора и объясните его работу Изобразите схему трехразрядного сумматора и объясните его работу Поясните смысл функции Si=A1 Bi Ci .