20743

Векторное (линейное) пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства

Доклад

Математика и математический анализ

Векторноелинейноепространство. Совокупность всех nмерных векторов образует nмерное пространство ОПР2:S={a1a2ak} произвольная система векторов nмерного пространства Система векторов называется линейно зависимой если не все равны 0такие чтодействительные числа1. Если 1 выполняется только в том случае когда все числа то система векторов называется линейно независимой. Свойства линейно зависимыхнезависимыхсистем: 1Система векторов S линейно зависима тогда и только тогда когда существует вектор линейно выражающийся через...

Русский

2013-07-31

63.5 KB

31 чел.

15. Векторное(линейное)пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства.

ОПР1:n-мерным действительным вектором называется упорядоченный набор из n чисел

Х=(х1,х2,…хn), где хi принадлежит множеству действительных чисел.

Совокупность всех n-мерных векторов образует n-мерное пространство

ОПР2:S={a1,a2,…ak}   произвольная система векторов n-мерного пространства/

Система векторов называется линейно зависимой если (не все равны 0),такие, что(-действительные числа)(1).

Если (1) выполняется только в том случае, когда все числа , то система векторов называется линейно независимой.

Свойства линейно зависимых(независимых)систем:

1)Система векторов S линейно зависима тогда и только тогда, когда существует вектор линейно выражающийся через остальные вектора системы.

Док-во:

А)S-линейно зависима, значит существует вектор линейно выражающийся через остальные?;

S-линейно зависима, значит (не все=0)

 S={a1,a2,…ak},пустьотлично от нуля,то

В)Существует вектор ai выражающийся через остальные, значит S-линейно зависима,

ai=u1a1+u2a2+…ui-1ai-1+ui+1ai+1+ukak (линейное выражение ai)

u1a1+u2a2+…+ui-1ai-1+(-1)ai+ui+1ai+1+ukak;

Т.о средиэлементов есть один не нулевой(=-1), согласно определению эта система линейно зависима.

Замечание:

u1a1+u2a2+…+ukak-такое выражение называется линейной комбинацией векторов, а выражение 0a1+0a2+…+0ak называется тривиальной линейной комбинацией. Все остальные линейные комбинации нетривиальны.

Можно дать эквивалентное определение линейной зависимости(независимости):

Система векторов называется линейно независимой, только тогда, когда тривиальные комбинации этих векторов = нулевому вектору. (аналогично линейная зависимость).

2) Если некоторая подсистема данной системы линейно зависима, то линейно зависима и вся система.

Док-во:

S1-линейно зависима, значит S- линейно зависима?

S-линейно зависима, значит (не все=0)

u1*a1+u2*a2+…+uk*ak=0

Укажем нетривиальную линейную комбинацию векторов системы S=0.

u1*a1+u2*a2+…+uk*ak+0ak+1+…+0am=0, где S={a1,a2,…ak+1,…am}

3)Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.(Считается, что пустая система векторов линейно независима)

4)Пусть S={a1,a2,…ak}-линейно независима

             S1=SU{b}-линейно зависима, тогда

      

.

5) Пусть система S-линейно независима и в не является линейной комбинацией векторов S, тогда S1=SU{b}-линейно независима.(СЛЕДСТВИЕ 4)

6) Система векторов содержащая 0-вектор-линейно зависима.

7) Система векторов содержащая 2 одинаковых вектора –линейно зависима.

Базис и ранг конечной  системы векторов:

ОПР пусть задана S={a1,a2,…ak} Базисом системы S называется такая подсистема этой системы для которой выполнено:

1)В-линейно независима.

2)Каждый вектор системы S является линейной комбинацией векторов системы В.

ТЕОРЕМА(существования базиса ненулевой конечной системы векторов).

Пусть S={a1,a2,…ak}-S-ненулевая система, т,е , тогда

1)Существует базис В системы S.

2)Если В1 и В2 –два базиса системы векторов S, то число векторов в системах В1 и В2 одинаково.

Док-во:

Т.к система векторов ненулевая,то найдется вектор, отличный от 0. Предположим а1<>0

I)L(a1)=L(S), значит {a1} базис S,

т.к 1){a1}-линейно независима

     2)L(a1)=L(S), то а1-линейная комбинация любого вектора из S.

II)L(a1)L(S),тогда

         III)L(a1,a2)=L(S) и {a1,a2}-базис S

         IV)L(a1,a2)L(S)

       V)…VI)…

Данный алгоритм построения базиса конечен,вследствии конечностичисла векторов базиса. Данный алгоритм содержит не более n шагов, т.к в n-мерном пространстве не может быть линейнонезависимой системы, содержащей более n векторов.

Т.О доказано существование базиса.

ПустьВ1 и В2 – два базиса системы S.

Доказательство того,что  позволяет дать определение:

Пусть S={a1,a2,…ak},

1)Если S-ненулевая, то рангом системы S называется количество векторов произвольного базиса этой системы r(S)=\B\

2)Если нулевая, то r(S)=0

ТЕОРЕМА

S={a1,a2,…ak}L(b1….bm), то r(S)<=m.

ОПР:V-конечномерное пространство, базисом В данного про-ва называют систему векторов, для которой выполнено:

1)В-линейно независима

2)L(B)=V.

ТЕОРЕМА(существование базиса конечномерного пространства)

V-конечномерное пр-во и V<>{0}, то

  1.  существует базис пространства
  2.  если В1 и В2- базисы V, то количество элементов В1 и В2 одинаково.

Док-во(основано на свойствах базиса конечной системы векторов)-аналогично.

ОПР:Пусть V-ненулевое конечномерное пространство. Размерностью dimVназывают число базисных векторов произвольного базиса.

Если V={0},dimV=0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5341. Прогнозирование производства продукции скотоводства в племзаводе по разведению черно-пестрого скота с поголовьем коров 1000 голов, удоем 7000 кг молока в год на одну корову 216.5 KB
  Скотоводство является превалирующей отраслью животноводства. Традиционно в России разведением племенного скота занимались наиболее зажиточные крестьяне, помещики, также высокая культура скотоводства всегда поддерживалась в монастырских хозя...
5342. Разработка комплексного проекта свиноводческой фермы с годовой производительностью 25 000 ц свинины в живой массе 278.5 KB
  Введение. Свиноводство имеет большое народно-хозяйственное значение. На долю его приходится свыше 20% валовой продукции животноводства и 10% всей продукции сельского хозяйства. Высокая плодовитость свиней, короткий эмбриональный период, скороспелост...
5343. Комплексная оценка метеорологической обстановки по заданной воздушной трассе 76 KB
  Оценка характера синоптической обстановки. В районе ИПМ (Берлин) находится неустойчивая холодная воздушная масса. Берлин находится в тыловой части циклона, в центре которого давление 990. Далее маршрут проходит через холодный фронт, далее тёплый...
5344. Микропроцессорное устройство Измерения частоты вращения ротора двигателя 99 KB
  Объектом проектирования является измеритель частоты вращения ротора двигателя. Цель работы – создание микропроцессорного комплекса измерения частоты вращения ротора двигателя . В результате проектирования разработана принципиальная...
5345. Работа со списками в MS EXCEL 206.5 KB
  Работа со списками в MS EXCEL Цель: Приобрести навыки поиска и агрегирования данных в списке. Краткая теория Компьютерные информационные технологии широко используются для анализа данных и подготовку управленческих решений на основе экономико ...
5346. Финансовый анализ. Технология подбора параметра 196.5 KB
  Финансовый анализ. Технология подбора параметра Цель работы: приобрести навыки решения задач финансового менеджмента с использованием встроенных функций MS Excel. Краткая теория ФИНАНСОВЫЕ ФУНКЦИИ В MS Excel встроен ряд функций, позволяющий...
5347. Работа с базами данных в MS EXCEL 55.5 KB
  Работа с базами данных в MSEXCEL Цель: Приобрести навыки использования встроенных функций МS Ехсеl для работы со списками. Краткая теория Информационная технология обработки данных в информационных системах предполагает их хранение и обработку...
5348. Информационная технология поиска решения 89 KB
  Информационная технология поиска решения Цель работы: ознакомиться со средствами поиска решения MS Excel на примере задач линейного программирования. Краткая теория Методы линейного программирования эффективно используются для решения задач опт...
5349. Частотный анализ в среде MS Excel 108 KB
  Частотный анализ в среде MS Excel Цель работы: Приобрести навыки решения задач частотного анализа с помощью функции рабочего листа анализа MS Excel. Краткая теория При анализе экономических показателей часто возникает вопрос, как часто вст...