20743

Векторное (линейное) пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства

Доклад

Математика и математический анализ

Векторноелинейноепространство. Совокупность всех nмерных векторов образует nмерное пространство ОПР2:S={a1a2ak} произвольная система векторов nмерного пространства Система векторов называется линейно зависимой если не все равны 0такие чтодействительные числа1. Если 1 выполняется только в том случае когда все числа то система векторов называется линейно независимой. Свойства линейно зависимыхнезависимыхсистем: 1Система векторов S линейно зависима тогда и только тогда когда существует вектор линейно выражающийся через...

Русский

2013-07-31

63.5 KB

29 чел.

15. Векторное(линейное)пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства.

ОПР1:n-мерным действительным вектором называется упорядоченный набор из n чисел

Х=(х1,х2,…хn), где хi принадлежит множеству действительных чисел.

Совокупность всех n-мерных векторов образует n-мерное пространство

ОПР2:S={a1,a2,…ak}   произвольная система векторов n-мерного пространства/

Система векторов называется линейно зависимой если (не все равны 0),такие, что(-действительные числа)(1).

Если (1) выполняется только в том случае, когда все числа , то система векторов называется линейно независимой.

Свойства линейно зависимых(независимых)систем:

1)Система векторов S линейно зависима тогда и только тогда, когда существует вектор линейно выражающийся через остальные вектора системы.

Док-во:

А)S-линейно зависима, значит существует вектор линейно выражающийся через остальные?;

S-линейно зависима, значит (не все=0)

 S={a1,a2,…ak},пустьотлично от нуля,то

В)Существует вектор ai выражающийся через остальные, значит S-линейно зависима,

ai=u1a1+u2a2+…ui-1ai-1+ui+1ai+1+ukak (линейное выражение ai)

u1a1+u2a2+…+ui-1ai-1+(-1)ai+ui+1ai+1+ukak;

Т.о средиэлементов есть один не нулевой(=-1), согласно определению эта система линейно зависима.

Замечание:

u1a1+u2a2+…+ukak-такое выражение называется линейной комбинацией векторов, а выражение 0a1+0a2+…+0ak называется тривиальной линейной комбинацией. Все остальные линейные комбинации нетривиальны.

Можно дать эквивалентное определение линейной зависимости(независимости):

Система векторов называется линейно независимой, только тогда, когда тривиальные комбинации этих векторов = нулевому вектору. (аналогично линейная зависимость).

2) Если некоторая подсистема данной системы линейно зависима, то линейно зависима и вся система.

Док-во:

S1-линейно зависима, значит S- линейно зависима?

S-линейно зависима, значит (не все=0)

u1*a1+u2*a2+…+uk*ak=0

Укажем нетривиальную линейную комбинацию векторов системы S=0.

u1*a1+u2*a2+…+uk*ak+0ak+1+…+0am=0, где S={a1,a2,…ak+1,…am}

3)Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.(Считается, что пустая система векторов линейно независима)

4)Пусть S={a1,a2,…ak}-линейно независима

             S1=SU{b}-линейно зависима, тогда

      

.

5) Пусть система S-линейно независима и в не является линейной комбинацией векторов S, тогда S1=SU{b}-линейно независима.(СЛЕДСТВИЕ 4)

6) Система векторов содержащая 0-вектор-линейно зависима.

7) Система векторов содержащая 2 одинаковых вектора –линейно зависима.

Базис и ранг конечной  системы векторов:

ОПР пусть задана S={a1,a2,…ak} Базисом системы S называется такая подсистема этой системы для которой выполнено:

1)В-линейно независима.

2)Каждый вектор системы S является линейной комбинацией векторов системы В.

ТЕОРЕМА(существования базиса ненулевой конечной системы векторов).

Пусть S={a1,a2,…ak}-S-ненулевая система, т,е , тогда

1)Существует базис В системы S.

2)Если В1 и В2 –два базиса системы векторов S, то число векторов в системах В1 и В2 одинаково.

Док-во:

Т.к система векторов ненулевая,то найдется вектор, отличный от 0. Предположим а1<>0

I)L(a1)=L(S), значит {a1} базис S,

т.к 1){a1}-линейно независима

     2)L(a1)=L(S), то а1-линейная комбинация любого вектора из S.

II)L(a1)L(S),тогда

         III)L(a1,a2)=L(S) и {a1,a2}-базис S

         IV)L(a1,a2)L(S)

       V)…VI)…

Данный алгоритм построения базиса конечен,вследствии конечностичисла векторов базиса. Данный алгоритм содержит не более n шагов, т.к в n-мерном пространстве не может быть линейнонезависимой системы, содержащей более n векторов.

Т.О доказано существование базиса.

ПустьВ1 и В2 – два базиса системы S.

Доказательство того,что  позволяет дать определение:

Пусть S={a1,a2,…ak},

1)Если S-ненулевая, то рангом системы S называется количество векторов произвольного базиса этой системы r(S)=\B\

2)Если нулевая, то r(S)=0

ТЕОРЕМА

S={a1,a2,…ak}L(b1….bm), то r(S)<=m.

ОПР:V-конечномерное пространство, базисом В данного про-ва называют систему векторов, для которой выполнено:

1)В-линейно независима

2)L(B)=V.

ТЕОРЕМА(существование базиса конечномерного пространства)

V-конечномерное пр-во и V<>{0}, то

  1.  существует базис пространства
  2.  если В1 и В2- базисы V, то количество элементов В1 и В2 одинаково.

Док-во(основано на свойствах базиса конечной системы векторов)-аналогично.

ОПР:Пусть V-ненулевое конечномерное пространство. Размерностью dimVназывают число базисных векторов произвольного базиса.

Если V={0},dimV=0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4484. Довгострокові прогнози максимальних витрат води весняного водопілля 1.45 MB
  Довгострокові прогнози максимальних витрат води весняного водопілля Сучасний стан в області довгострокового прогнозування максимальних витрат води весняного водопілля Ще у 40-ві роки минулого сторіччя М.А. Великановим була запропонована для прогноз...
4485. Прогнози дат початку та проходження максимальних витрат води весняних водопіль на рівнинних річках 193.5 KB
  Прогнози дат початку та проходження максимальних витрат води весняних водопіль на рівнинних річках 1 Фізичні передумови та практичні прийоми прогнозів строків водопілля для окремих водозборів На відміну від прогнозів характеристик водного режиму вес...
4486. Довгострокові прогнози весняно-літнього водопілля гірських річок 370 KB
  Довгострокові прогнози весняно-літнього водопілля гірських річок Особливості формування водопілля гірських річок Довгострокові прогнози стоку річок базуються на знанні процесів накопичення й витрати вологи в річковому басейні, що зумовлюють характ...
4487. Довгострокові прогнози льодових явищ на основі характеристик атмосферних процесів 60 KB
  Довгострокові прогнози льодових явищ на основі характеристик атмосферних процесів 1 Фізичні основи та принципи прогнозів дат льодових явищ Строки льодових явищ на водних об’єктах залежать від масштабних атмосферних процесів, які розвиваються на...
4488. Набор учебных стендов для кабинета Правил Дорожного Движения 4.95 MB
  Введение Темой конструкторской разработки является создание учебных стендов для кабинета Правил Дорожного Движения. Эта работа содержит в себе 3 стенда: стенд макет автодрома, тренажер сигналы регулировщика и стенд сигналы светофора. Руководит...
4489. Предмет, мета та задачі курсу. Екологічні проблеми науково-технічного прогресу (НТП) 248.5 KB
  Предмет, мета та задачі курсу. Екологічні проблеми науково-технічного прогресу (НТП). Екологія – інтегральна міждисциплінарна наука. Основні положення загальної екології. Передумови виникнення екології як науки Протягом тривалого часу,...
4490. Ассемблер. Об ассемблере 24.38 KB
  Об ассемблере Интересно проследить, начиная со времени появления первых компьютеров и заканчивая сегодняшним днем, за трансформациями представлений о языке ассемблера у программистов. Когда-то ассемблер был языком, без знания которого нельзя было за...
4491. Программная модель микропроцессора 47.29 KB
  Программная модель микропроцессора На современном компьютерном рынке наблюдается большое разнообразие различных типов компьютеров. Поэтому возможно предположить возникновение у потребителя вопроса — как оценить возможности конкретного типа (или...
4492. Структура программы на ассемблере 80.09 KB
  Структура программы на ассемблере Программа на ассемблере представляет собой совокупность блоков памяти, называемых сегментами памяти. Программа может состоять из одного или нескольких таких блоков-сегментов. Каждый сегмент содержит совокупность пре...