20743

Векторное (линейное) пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства

Доклад

Математика и математический анализ

Векторноелинейноепространство. Совокупность всех nмерных векторов образует nмерное пространство ОПР2:S={a1a2ak} произвольная система векторов nмерного пространства Система векторов называется линейно зависимой если не все равны 0такие чтодействительные числа1. Если 1 выполняется только в том случае когда все числа то система векторов называется линейно независимой. Свойства линейно зависимыхнезависимыхсистем: 1Система векторов S линейно зависима тогда и только тогда когда существует вектор линейно выражающийся через...

Русский

2013-07-31

63.5 KB

29 чел.

15. Векторное(линейное)пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов. Базис и размерность векторного пространства.

ОПР1:n-мерным действительным вектором называется упорядоченный набор из n чисел

Х=(х1,х2,…хn), где хi принадлежит множеству действительных чисел.

Совокупность всех n-мерных векторов образует n-мерное пространство

ОПР2:S={a1,a2,…ak}   произвольная система векторов n-мерного пространства/

Система векторов называется линейно зависимой если (не все равны 0),такие, что(-действительные числа)(1).

Если (1) выполняется только в том случае, когда все числа , то система векторов называется линейно независимой.

Свойства линейно зависимых(независимых)систем:

1)Система векторов S линейно зависима тогда и только тогда, когда существует вектор линейно выражающийся через остальные вектора системы.

Док-во:

А)S-линейно зависима, значит существует вектор линейно выражающийся через остальные?;

S-линейно зависима, значит (не все=0)

 S={a1,a2,…ak},пустьотлично от нуля,то

В)Существует вектор ai выражающийся через остальные, значит S-линейно зависима,

ai=u1a1+u2a2+…ui-1ai-1+ui+1ai+1+ukak (линейное выражение ai)

u1a1+u2a2+…+ui-1ai-1+(-1)ai+ui+1ai+1+ukak;

Т.о средиэлементов есть один не нулевой(=-1), согласно определению эта система линейно зависима.

Замечание:

u1a1+u2a2+…+ukak-такое выражение называется линейной комбинацией векторов, а выражение 0a1+0a2+…+0ak называется тривиальной линейной комбинацией. Все остальные линейные комбинации нетривиальны.

Можно дать эквивалентное определение линейной зависимости(независимости):

Система векторов называется линейно независимой, только тогда, когда тривиальные комбинации этих векторов = нулевому вектору. (аналогично линейная зависимость).

2) Если некоторая подсистема данной системы линейно зависима, то линейно зависима и вся система.

Док-во:

S1-линейно зависима, значит S- линейно зависима?

S-линейно зависима, значит (не все=0)

u1*a1+u2*a2+…+uk*ak=0

Укажем нетривиальную линейную комбинацию векторов системы S=0.

u1*a1+u2*a2+…+uk*ak+0ak+1+…+0am=0, где S={a1,a2,…ak+1,…am}

3)Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.(Считается, что пустая система векторов линейно независима)

4)Пусть S={a1,a2,…ak}-линейно независима

             S1=SU{b}-линейно зависима, тогда

      

.

5) Пусть система S-линейно независима и в не является линейной комбинацией векторов S, тогда S1=SU{b}-линейно независима.(СЛЕДСТВИЕ 4)

6) Система векторов содержащая 0-вектор-линейно зависима.

7) Система векторов содержащая 2 одинаковых вектора –линейно зависима.

Базис и ранг конечной  системы векторов:

ОПР пусть задана S={a1,a2,…ak} Базисом системы S называется такая подсистема этой системы для которой выполнено:

1)В-линейно независима.

2)Каждый вектор системы S является линейной комбинацией векторов системы В.

ТЕОРЕМА(существования базиса ненулевой конечной системы векторов).

Пусть S={a1,a2,…ak}-S-ненулевая система, т,е , тогда

1)Существует базис В системы S.

2)Если В1 и В2 –два базиса системы векторов S, то число векторов в системах В1 и В2 одинаково.

Док-во:

Т.к система векторов ненулевая,то найдется вектор, отличный от 0. Предположим а1<>0

I)L(a1)=L(S), значит {a1} базис S,

т.к 1){a1}-линейно независима

     2)L(a1)=L(S), то а1-линейная комбинация любого вектора из S.

II)L(a1)L(S),тогда

         III)L(a1,a2)=L(S) и {a1,a2}-базис S

         IV)L(a1,a2)L(S)

       V)…VI)…

Данный алгоритм построения базиса конечен,вследствии конечностичисла векторов базиса. Данный алгоритм содержит не более n шагов, т.к в n-мерном пространстве не может быть линейнонезависимой системы, содержащей более n векторов.

Т.О доказано существование базиса.

ПустьВ1 и В2 – два базиса системы S.

Доказательство того,что  позволяет дать определение:

Пусть S={a1,a2,…ak},

1)Если S-ненулевая, то рангом системы S называется количество векторов произвольного базиса этой системы r(S)=\B\

2)Если нулевая, то r(S)=0

ТЕОРЕМА

S={a1,a2,…ak}L(b1….bm), то r(S)<=m.

ОПР:V-конечномерное пространство, базисом В данного про-ва называют систему векторов, для которой выполнено:

1)В-линейно независима

2)L(B)=V.

ТЕОРЕМА(существование базиса конечномерного пространства)

V-конечномерное пр-во и V<>{0}, то

  1.  существует базис пространства
  2.  если В1 и В2- базисы V, то количество элементов В1 и В2 одинаково.

Док-во(основано на свойствах базиса конечной системы векторов)-аналогично.

ОПР:Пусть V-ненулевое конечномерное пространство. Размерностью dimVназывают число базисных векторов произвольного базиса.

Если V={0},dimV=0


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16921. Программируемый контроллер прямого доступа к памяти КР580ВТ57 2.84 MB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5 Программируемый контроллер прямого доступа к памяти КР580ВТ57 Методические указания Цель работы: Знать функциональные возможности программируемого контроллера прямого доступа к памяти КР580ВТ57 логику его работы и способы подключения ег...
16923. ТРИ СТАТЬИ ПО ТЕОРИИ СЕКСУАЛЬНОСТИ 813 KB
  ТРИ СТАТЬИ ПО ТЕОРИИ СЕКСУАЛЬНОСТИ Издательство Алетейя г. СПб 1998 г. ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К 3му ИЗДАНИЮ Наблюдая в течение десятилетия за тем как была встречена эта книга и какое впечатление она произвела я хотел бы предпослать третьему изданию несколько за...
16924. Экспрессия генов 3.88 MB
  Экспрессия генов. – М.: Наука 2000. – 000 с. ил. ISBN 5020018902 В монографии рассмотрены современные представления о строении и механизмах функционирования генов прокариот и эукариот а также основные методы их исследования. Книга состоит из двух частей. В первой части обс
16925. ФИЗИОЛОГИЯ СЕРДЦА И СОСУДОВ 797.5 KB
  Работа сердца как насоса, его гемодинам ическая производительность, является одним из решающих факторов, определяющих интенсивность кровотока и, соответственно, уровень снабжения органов и тканей кислородом и питательными веществами. При повышении активности организма, например, при совершении им определенной физической работы
16926. БИОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ. ПОТЕНЦИАЛ ДЕЙСТВИЯ НЕРВА 64.5 KB
  Тема. БИОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ. ПОТЕНЦИАЛ ДЕЙСТВИЯ НЕРВА. Вопросы теоретической подготовки: Строение нерва и нервных волокон. Потенциал действия. Динамика изменения ионной проницаемости. Критический уровень деполяризации. Причины абсолютной и относи...
16927. Гуморальная регуляция сердечной деятельности 57.5 KB
  Тема: ГУМОРАЛЬНАЯ РЕГУЛЯЦИЯ СЕРДЕЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ. Под гуморальной регуляцией сердца понимают изменение его работы под влиянием кардиоактивных гормонов вырабатываемых железами внутренней секреции и поступающих в сердце с током крови гормональная регуляция или ...
16928. ДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА НА НЕРВ 134.5 KB
  ТЕМА ДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА НА НЕРВ Вопросы теоретической подготовки: Физический электротон и кабельные свойства нервных волокон. Критический уровень деполяризации и его изменения. Изменение физиологических параметров мембраны при деполяризации
16929. ИНТЕГРАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ЦНС (НА ПРИМЕРЕ РЕФЛЕКСОВ СПИННОГО МОЗГА). СУММАЦИЯ В НЕРВНЫХ ЦЕНТРАХ 594 KB
  Раздел ФИЗИОЛОГИЯ ЦЕНТРАЛЬНОЙ НЕРВНОЙ СИСТЕМЫ. Тема. ИНТЕГРАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ЦНС НА ПРИМЕРЕ РЕФЛЕКСОВ СПИННОГО МОЗГА. СУММАЦИЯ В НЕРВНЫХ ЦЕНТРАХ Вопросы теоретической подготовки: Клеточное строение рефлекторных дуг спинного мозга. Свойства нервных цент