20744

Числовое поле. Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа

Доклад

Математика и математический анализ

Поле комплексных чисел. Определение: Кольцо К называется полем если К – коммутативное кольцо 0к ≠ 1к Для любого х є К=К {0к} существует х1 є К. хх1 = х1х = 1к любой ненулевой элемент обратим Замечание: В поле любой ненулевой элемент обратим поэтому можно определить операцию деления и частного двух элементов.

Русский

2013-07-31

95.5 KB

20 чел.

Алгебра (16 вопрос): Числовое поле. Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Определение: Кольцо К называется полем, если

  1.  К – коммутативное кольцо
  2.  0к  ≠ 1к
  3.  Для любого х є К+=К\{0к} существует х-1 є К.

        хх-1 = х-1х = 1к  (любой ненулевой элемент обратим)

Замечание:  

В поле любой ненулевой элемент обратим, поэтому можно определить операцию деления и частного двух элементов.

, где Р – поле.

Свойства:

                 1.

                 2.

                 3.

                 4.

Числовые поля:

                       , <Q, +, > – поле;

                        , R=<R, +, > - поле;

                         , <Q(i), + , > - поле гауссовых чисел;

                        , <Q(), +, > - квадратичное поле.

Существуют различные способы построения комплексных чисел. Рассмотрим следующий подход, где комплексное число интегрируется как пара действительных чисел.

                               

                                1* z1 + z2 = (x1y1)+(x2y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

                                2* z1z2 = (x1y1)(x2y2) = ( x1x2 – y2y1, x1y2 + x2y1)

Теорема: Алгебра С = < Cz{z=(x, y), x,y R}, +, > - поле.

(x, 0) = x (обозначим действительную часть)

(0, 1) = i (обозначим мнимую единицу)

                  i2 = (0, 1)(0, 1) = (-1, 0) = -1  i2= -1/

                  (0, y) = (y, 0)(0,1) = yi (обозначим);

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + iy

алгебраическая форма

комплексного числа.

Геометрическое представление комплексных чисел и операций над ними.

- модуль комплексного числа

- аргумент комплексного числа;

- arg z.

определен с точностью до 2πк, и аргумент

   0 не определен.

Геометрическая интерпретация сложения комплексных чисел

Тригонометрическая форма комплексного числа.

                                                                

z= x+ iy = ()

z= r() тригонометрическая запись комплексного числа

=  (обозначим )

 

z = r - показательная форма записи комплексного числа.

Свойства операций над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме.

,


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15468. Березневі статті 1654 року 39.5 KB
  Березневі статті 1654 р. Березне́ві статті́ 1654 року інші назви Статті Богдана Хмельницького Березневі статті Богдана Хмельницького Статті війська Запорізького Переяслівські статті угода між російським царським урядом і українською козацькою старшиною
15469. Боротьба старшинських угруповань за владу після смерті Б.Хмельницького. Гетьманування І. Виговського, Ю. Хмельницького 35 KB
  Боротьба старшинських угруповань за владу після смерті Б.Хмельницького. Гетьманування І. Виговського Ю. Хмельницького. По смерті Б.Хмельницького його син Юрій Хмельницький обраний гетьманом за рішенням старшинської ради був замінений 1 Виговським і посланий у Київ
15470. Україна за часів руїни 47.5 KB
  Україна за часів руїни. По смерті Б. Хмельницького його син Юрій Хмельницький обраний гетьманом за рішенням старшинської ради був замінений І. Виговським і посланий у Київ завершувати навчання. Тим самим династію Хмельницьких було відсторонено від влади. Порушення принц...
15471. Війна Росії з Польщею. Андрусівським договір 1667р. Територіальне розчленування України 28 KB
  Війна Росії з Польщею. Андрусівським договір 1667р. Територіальне розчленування України. В Україні почало ширитися загальне невдоволення політикою І.Брюховецького і московськими порядками. Чашу терпіння українського суспільства переповнили події пов'язані з Андрусів...
15472. Гетьманщина на початку 18 ст. Гетьман Іван Мазепа 36 KB
  Гетьманщина на початку 18 ст. Гетьман Іван Мазепа. На кінець ХVІІ ст. Лівобережжя перетворилося на центр політичного і культурного життя в Україні. Цей край українці називали Гетьманщиною а росіяни Малоросією. Старшина фактично витиснула рядових козаків з вищих посад і ві...
15473. Відновлення козаччини на правобережній України в середині 80х рр. 17 ст 52 KB
  Відновлення козаччини на правобережній України в середині 80х рр. 17 ст. С.Палій Після поразки Української революції подальшу долю українських земель визначали сусідні держави Польща Росія та Туреччина. Згідно з умовами Бахчисарайського договору 1681 територія між Дні...
15474. Пилип Орлик та його конституція 1710 року 27.5 KB
  Пилип Орлик та його конституція 1710р. Після смерті І. Мазепи на загальній раді старшина та Військо Запорізьке під головуванням кошового отамана К. Гордієнка 5 квітня 1710 р обрали гетьманом України в еміграції Пилипа Орлика. Він походив із чеськопольського роду. Закінчи...
15475. Наступ царизму на автономію України. Остаточна ліквідація гетьманського правління 36.5 KB
  Наступ царизму на автономію України. Остаточна ліквідація гетьманського правління. Проводячи колонізаторську політику царський уряд поступово ліквідовував автономію України. Катерина II вирішила скасувати її остаточно. У відповідь на прохання козацької старшини у 176...
15476. Соціально-економічний розвиток Лівобережної та Слобідської України у 18 ст. Юридичне оформлення кріпосного права 26.5 KB
  Соціальноекономічний розвиток Лівобережної та Слобідської України у 18 ст. Юридичне оформлення кріпосного права. На Лівобережній та Слобідській Україні в другій половині XVIII ст. панували феодальнокріпосницькі відносини. Основну роль відігравало сільське господарс...