20746

Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Всякое натуральное число p 1 не имеющее других натуральных делителей кроме 1 и p называется простым числом. Наименьшее простое число 2. 1 Если p 1 является наименьшим делителем целого числа n 1 то оно простое число p. 2 Если произведение где p простое число то по крайней мере либо либо .

Русский

2013-07-31

44.5 KB

65 чел.

Алгебра.

Вопрос №2.

Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность.

Определение: Всякое натуральное число p>1, не имеющее других натуральных делителей, кроме 1 и p, называется простым числом.

Наименьшее простое число – 2. 1 – не простое и не составное, так как имеет один делитель 1.

1) Если p>1 является наименьшим делителем целого числа n>1, то оно простое (число p).

2) Если произведение , где p – простое число, то, по крайней мере, либо , либо .

3) Натуральное число a и p – простое число, либо взаимно простые, либо .

Теорема. Множество простых чисел бесконечно.

Доказательство (Евклид).

Предположим, что множество простых чисел конечно. Пронумеруем их в порядке возрастания: p1, p2, …, pn.

Рассмотрим . Докажем, что Q – простое. По предположению число Q не может быть простым, так как . Тогда Q – составное число и должно делиться на простое число pm, но тогда , что невозможно. Следовательно, число Q – простое.

Мы получили ещё одно простое число, что противоречит нашему предположению. Следовательно, множество простых чисел – бесконечно.

Что и требовалось доказать.

Существует один простой способ выявления простых чисел на конечном множестве.

Решето Эратосфена: наименьший простой делитель числа a не может быть больше .

p – наименьший простой делитель числа a. .

Метод: (этот факт используется при составлении таблиц простых чисел меньших или равных N, способом, который был указан Эратосфеном и названным решето Эратосфена). Выписывают числа от 2 до N и вычёркивают числа, кратные 2, 3, …. И продолжают до тех пор, как найдено число большее или равное .

По теореме Евклида множество простых чисел бесконечно, тем не менее, можно указать отрезки натуральных чисел сколь угодно большой длины, которые не содержат простые числа. Например: n!+2, n!+3, …, n!+n.

С другой стороны, встречаются такие простые числа, разность между которыми равна 2. Такие числа называются близнецами. Например: 2 и 3, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31.

Теорема. Всякое натуральное число a (кроме 1), может быть представлено в виде произведения простых множителей и причём единственным образом, если не учитывать порядок следования сомножителей.

.

Доказательство.

Если число a составное, то наименьший делитель, отличный от 1, число простое. a1 – составное.

Единственность.

Предположим, что существует ещё одно разложение: .

Не нарушая общности рассуждений:

Теорема доказана.

Среди p1, …, pn могут быть одинаковые. Тогда – каноническое разложение на простые множители.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5055. Маркетинг как вид экономической деятельности 212.5 KB
  Французский экономист Д. Сэй еще в эпоху промышленной революции так сформулировал основное правило в управлении производством: Нужно снижать издержки производства, с тем чтобы увеличить прибыль. Совет этот действительно является мудрым в ...
5056. Особенности действия инфляции в различных рыночных системах. Инфляция и безработица. Инфляция и социальные конфликты 147 KB
  В современном мире все большее внимание начинает уделяется экономике, причём глобальной, макроэкономике. Это связано прежде всего с интернациональным развитием не только экономических, но и культурных, политических и общественных связ...
5057. Особенности и причины развития кейнсианской и неокейнсианской теории экономического роста 838.5 KB
  Многогранность экономической жизни порождает множество экономических наук. Изучая экономику, человек обнаруживает взаимосвязи между её различными гранями соответственно и науки, изучающие элементы экономической жизни, сложились в систему ...
5058. Теория экономического роста 1.02 MB
  Параметры экономического роста, их динамика широко используются для характеристики развития национальных хозяйств, в государственном регулировании экономики. Население оценивает деятельность высших хозяйственных и политических органов той ил...
5059. Каток трехвальцовый 108.41 KB
  Среди дорожно-строительной техники,применяемой на строительстве дорог,важное значение имеют машины для уплотнения оснований и покрытий. Уплотнение является обязательной частью технологического процесса возведения земляного полот...
5060. Расчет параметров механизма шнека-смесителя 449.5 KB
  КИНЕМАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПРИВОДА Тяговая сила цепи F4 = 2,2 кН Скорость перемещения смеси V4 = 1,5 м/сек Наружный диаметр шнека D=500 мм Срок службы привода – 6 лет Рисунок 1 – расчетная схема привода к шнеку-смесителю Общий КПД привода...
5061. Технологический процесс изготовления шестерни 394 KB
  Одним из путей повышения производительности труда и снижения себестоимости изготовления изделий является совершенствование действующих технологических процессов и их замена более прогрессивными. Эта работа проводится на основе к...
5062. Технологические процессы и оборудование пластического деформирования 25.67 KB
  Сегодня, когда конкурентный рынок вынуждает производителей переходить к наиболее качественным и дешевым продуктам, особенно важно оценить все аспекты производства, распространения и потребления изделия еще на стадии его разработки, чтобы из...
5063. Проектирование привода люлечного элеватора 427 KB
  Определение срока службы привода Срок службы (ресурс). Определение силовых и кинематических параметров привода. Расчет требуемой мощности двигателя. Расчет силовых и кинематических параметров привода...