20746

Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Всякое натуральное число p 1 не имеющее других натуральных делителей кроме 1 и p называется простым числом. Наименьшее простое число – 2. 1 Если p 1 является наименьшим делителем целого числа n 1 то оно простое число p. 2 Если произведение где p – простое число то по крайней мере либо либо .

Русский

2013-07-31

44.5 KB

56 чел.

Алгебра.

Вопрос №2.

Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность.

Определение: Всякое натуральное число p>1, не имеющее других натуральных делителей, кроме 1 и p, называется простым числом.

Наименьшее простое число – 2. 1 – не простое и не составное, так как имеет один делитель 1.

1) Если p>1 является наименьшим делителем целого числа n>1, то оно простое (число p).

2) Если произведение , где p – простое число, то, по крайней мере, либо , либо .

3) Натуральное число a и p – простое число, либо взаимно простые, либо .

Теорема. Множество простых чисел бесконечно.

Доказательство (Евклид).

Предположим, что множество простых чисел конечно. Пронумеруем их в порядке возрастания: p1, p2, …, pn.

Рассмотрим . Докажем, что Q – простое. По предположению число Q не может быть простым, так как . Тогда Q – составное число и должно делиться на простое число pm, но тогда , что невозможно. Следовательно, число Q – простое.

Мы получили ещё одно простое число, что противоречит нашему предположению. Следовательно, множество простых чисел – бесконечно.

Что и требовалось доказать.

Существует один простой способ выявления простых чисел на конечном множестве.

Решето Эратосфена: наименьший простой делитель числа a не может быть больше .

p – наименьший простой делитель числа a. .

Метод: (этот факт используется при составлении таблиц простых чисел меньших или равных N, способом, который был указан Эратосфеном и названным решето Эратосфена). Выписывают числа от 2 до N и вычёркивают числа, кратные 2, 3, …. И продолжают до тех пор, как найдено число большее или равное .

По теореме Евклида множество простых чисел бесконечно, тем не менее, можно указать отрезки натуральных чисел сколь угодно большой длины, которые не содержат простые числа. Например: n!+2, n!+3, …, n!+n.

С другой стороны, встречаются такие простые числа, разность между которыми равна 2. Такие числа называются близнецами. Например: 2 и 3, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31.

Теорема. Всякое натуральное число a (кроме 1), может быть представлено в виде произведения простых множителей и причём единственным образом, если не учитывать порядок следования сомножителей.

.

Доказательство.

Если число a составное, то наименьший делитель, отличный от 1, число простое. a1 – составное.

Единственность.

Предположим, что существует ещё одно разложение: .

Не нарушая общности рассуждений:

Теорема доказана.

Среди p1, …, pn могут быть одинаковые. Тогда – каноническое разложение на простые множители.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68476. Налог, сбор, пошлина 34.23 KB
  Бывали случаи когда взимались налоги не содержащие всех необходимых признаков налог на пользование автодорог в законе не были прописаны сроки уплаты. Статья 8 Конституции РФ устанавливает что каждый обязан платить законно установленные налоги и сборы. Но это не значит что налоги могут быть только в законе.
68477. Виды налогов 36.23 KB
  Получается, что должно быть всего два налога (на доходы физических и юрлиц). Но есть две причины почему это не так: Финансовая причина – если налог один, то он очень заметет и от него становится легко уклониться. Беда налогов доходного типа – для того чтобы снять налог, нужен доход.
68478. Элементы закона о налоге 38.11 KB
  Правовое значение определенности налога; Обязательные и факультативные элементы налога; Субъект налога; Объект и база налога; Налоговая ставка; Порядок исчисления. Порядок и сроки уплаты налога; Налоговые льготы и их классификация Правовое значение определенности налога...
68479. Элементы закона о налоге. Объект и база налога 33.78 KB
  Объект и база налога; Налоговая ставка; Порядок исчисления. Порядок и сроки уплаты налога; Налоговые льготы и их классификация Объект и база налога БАЗА НАЛОГА Объект разобрали. Во всех налогах НАЛОГОВАЯ БАЗА конструируется с помощью трёх элементов...
68480. МЕТОД НАЛОГООБЛОЖЕНИЯ 29.84 KB
  Источники бывают разные. Нужно различать источник дохода и источник выплаты. Если какая-то организация уплачивает кому-то доход, то эту организацию можно заставить быть налоговым агентом. Как правило, это можно в тех случаях, когда облагаются физ. лица либо иностранные лица...
68481. Общая характеристика НДФЛ 37.01 KB
  Просто в администрировании взимается автоматически с источника получения дохода с зарплаты. Для того чтобы стать налогоплательщиком России нерезиденту надо чтобы их источник дохода был прямо связан с Россией. Пассивный доход владение активами российских предприятий.
68482. НАЛОГОВАЯ СТАВКА 38.63 KB
  Если налог прогрессивный то для того чтобы посчитать налоговую базу надо все доходы сложить. Глобальная система все доходы складываются в один большой котел облагается совокупный доход за год для системы прогрессивного налогообложения где она есть...
68483. Общая характеристика налога на прибыль 34.94 KB
  Общая характеристика налога на прибыль. Общая характеристика налога на прибыль Налог на прибыль прямой федеральный личный похож на НДФЛ. В Российской империи налога на прибыль не было. В СССР налога на прибыль не было всё имущество государственное были отчисления от прибыли а не налог.
68484. Объект и база налога на прибыль 31.29 KB
  Прибылью в целях настоящей главы признается: 1 для российских организаций не являющихся участниками консолидированной группы налогоплательщиков полученные доходы уменьшенные на величину произведенных расходов которые определяются в соответствии с настоящей главой...