20746

Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Всякое натуральное число p 1 не имеющее других натуральных делителей кроме 1 и p называется простым числом. Наименьшее простое число – 2. 1 Если p 1 является наименьшим делителем целого числа n 1 то оно простое число p. 2 Если произведение где p – простое число то по крайней мере либо либо .

Русский

2013-07-31

44.5 KB

62 чел.

Алгебра.

Вопрос №2.

Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность.

Определение: Всякое натуральное число p>1, не имеющее других натуральных делителей, кроме 1 и p, называется простым числом.

Наименьшее простое число – 2. 1 – не простое и не составное, так как имеет один делитель 1.

1) Если p>1 является наименьшим делителем целого числа n>1, то оно простое (число p).

2) Если произведение , где p – простое число, то, по крайней мере, либо , либо .

3) Натуральное число a и p – простое число, либо взаимно простые, либо .

Теорема. Множество простых чисел бесконечно.

Доказательство (Евклид).

Предположим, что множество простых чисел конечно. Пронумеруем их в порядке возрастания: p1, p2, …, pn.

Рассмотрим . Докажем, что Q – простое. По предположению число Q не может быть простым, так как . Тогда Q – составное число и должно делиться на простое число pm, но тогда , что невозможно. Следовательно, число Q – простое.

Мы получили ещё одно простое число, что противоречит нашему предположению. Следовательно, множество простых чисел – бесконечно.

Что и требовалось доказать.

Существует один простой способ выявления простых чисел на конечном множестве.

Решето Эратосфена: наименьший простой делитель числа a не может быть больше .

p – наименьший простой делитель числа a. .

Метод: (этот факт используется при составлении таблиц простых чисел меньших или равных N, способом, который был указан Эратосфеном и названным решето Эратосфена). Выписывают числа от 2 до N и вычёркивают числа, кратные 2, 3, …. И продолжают до тех пор, как найдено число большее или равное .

По теореме Евклида множество простых чисел бесконечно, тем не менее, можно указать отрезки натуральных чисел сколь угодно большой длины, которые не содержат простые числа. Например: n!+2, n!+3, …, n!+n.

С другой стороны, встречаются такие простые числа, разность между которыми равна 2. Такие числа называются близнецами. Например: 2 и 3, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31.

Теорема. Всякое натуральное число a (кроме 1), может быть представлено в виде произведения простых множителей и причём единственным образом, если не учитывать порядок следования сомножителей.

.

Доказательство.

Если число a составное, то наименьший делитель, отличный от 1, число простое. a1 – составное.

Единственность.

Предположим, что существует ещё одно разложение: .

Не нарушая общности рассуждений:

Теорема доказана.

Среди p1, …, pn могут быть одинаковые. Тогда – каноническое разложение на простые множители.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38210. Основные категории регионального управления 72.5 KB
  Регион — территориальное образование на едином экономическом поле, выполняющее посредническую роль между макро- и микроэкономикой, обеспечивая оптимальное функционирование всех систем: экономических, социальных, политических, национальных в любой части пространства и тем самым в целом на определенной территории.
38211. Информационное обеспечение регионального управления 93.5 KB
  Научный подход - это стратегия исследования. От того, насколько обоснована с научных позиций региональная политика, зависит успех в социально-экономическом развитии региона. И, наоборот, игнорирование процесса познания, опора только на интуицию чреваты самыми отрицательными последствиями во всех сферах жизни людей, общества.
38212. ИНФОРМАЦИОННЫЙ РЫНОК И ОСОБЕННОСТИ ЕГО РАЗВИТИЯ В УКРАИНЕ 86.5 KB
  Информация сегодня важнейший ресурс и источник, обеспечивающий эффективное функционирование государства, межгосударственных отношений, различных регионов. Без развития информационной деятельности невозможен экономический рост и технический прогресс.
38213. Бурение с применением гибких труб 22.39 KB
  В настоящее время объёмы бурения им незначительны по причине высокой стоимости сложной эксплуатации.85 В отличие от других с поверхности можно задавать частоту оборотов то есть легче регулируются параметры бурения. Достоинства и недостатки роторного и турбинного бурения. Недостатки: Малая скорость механического бурения в пластичных и малоабразивных породах.
38214. Форматирование гибких и жестких дисков. Создание системных дисков 253.7 KB
  После перезагрузки форматируем диски в командном интерфейсе MS DOS утилитой FROMAT, для этого выполняем команду FORMAT C, на вопрос отвечаем положительно. С форматированием раздела D возникли проблемы т.к.
38215. Информационные основы управления природно-ресурсным потенциалом региона (ПРП) 142.5 KB
  На всех этапах развития производство материальных благ является процессом взаимодействия людей и природы. Дальнейшее развитие продуктивных сил неизбежно связанное с включением в хозяйственное обращение все большего количества естественных ресурсов и увеличением нагрузки на окружающую среду.
38217. Робота з повідомленнями Windows 49 KB
  Повідомлення - це певне повідомлення про настання деякої події в системі. Кожна подія (рух „миші”, натиснення клавіші на клавіатурі, зміна розмірів вікна, тощо) заставляє ОС генерувати відповідне повідомлення і відправляти їх додаткам. Будь-яке повідомлення представляє собою певний запис, що передається додатку
38218. Робота з системними пастками Windows 42.5 KB
  Системна пастка (анг. Hook - пастка) – це певна функція, за допомогою якої можна перехоплювати усі повідомлення та події, що виникли в системі. За допомогою пасток можна отримувати повний контроль над тим, що відбувається в системі.