20746

Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Всякое натуральное число p 1 не имеющее других натуральных делителей кроме 1 и p называется простым числом. Наименьшее простое число 2. 1 Если p 1 является наименьшим делителем целого числа n 1 то оно простое число p. 2 Если произведение где p простое число то по крайней мере либо либо .

Русский

2013-07-31

44.5 KB

85 чел.

Алгебра.

Вопрос №2.

Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность.

Определение: Всякое натуральное число p>1, не имеющее других натуральных делителей, кроме 1 и p, называется простым числом.

Наименьшее простое число – 2. 1 – не простое и не составное, так как имеет один делитель 1.

1) Если p>1 является наименьшим делителем целого числа n>1, то оно простое (число p).

2) Если произведение , где p – простое число, то, по крайней мере, либо , либо .

3) Натуральное число a и p – простое число, либо взаимно простые, либо .

Теорема. Множество простых чисел бесконечно.

Доказательство (Евклид).

Предположим, что множество простых чисел конечно. Пронумеруем их в порядке возрастания: p1, p2, …, pn.

Рассмотрим . Докажем, что Q – простое. По предположению число Q не может быть простым, так как . Тогда Q – составное число и должно делиться на простое число pm, но тогда , что невозможно. Следовательно, число Q – простое.

Мы получили ещё одно простое число, что противоречит нашему предположению. Следовательно, множество простых чисел – бесконечно.

Что и требовалось доказать.

Существует один простой способ выявления простых чисел на конечном множестве.

Решето Эратосфена: наименьший простой делитель числа a не может быть больше .

p – наименьший простой делитель числа a. .

Метод: (этот факт используется при составлении таблиц простых чисел меньших или равных N, способом, который был указан Эратосфеном и названным решето Эратосфена). Выписывают числа от 2 до N и вычёркивают числа, кратные 2, 3, …. И продолжают до тех пор, как найдено число большее или равное .

По теореме Евклида множество простых чисел бесконечно, тем не менее, можно указать отрезки натуральных чисел сколь угодно большой длины, которые не содержат простые числа. Например: n!+2, n!+3, …, n!+n.

С другой стороны, встречаются такие простые числа, разность между которыми равна 2. Такие числа называются близнецами. Например: 2 и 3, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31.

Теорема. Всякое натуральное число a (кроме 1), может быть представлено в виде произведения простых множителей и причём единственным образом, если не учитывать порядок следования сомножителей.

.

Доказательство.

Если число a составное, то наименьший делитель, отличный от 1, число простое. a1 – составное.

Единственность.

Предположим, что существует ещё одно разложение: .

Не нарушая общности рассуждений:

Теорема доказана.

Среди p1, …, pn могут быть одинаковые. Тогда – каноническое разложение на простые множители.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25825. Дефекты языка 13.97 KB
  Дефекты языка. К аномалиям развития языка относится прежде всего полное его отсутствие или аглоссия; недоразвитие языка микроглоссия или ненормально большой язык макроглоссия. Сравнительно частым дефектом развития является врождённое укорочение уздечки языка. При этом дефекте движения языка могут быть затруднены т.
25826. Дефекты челюстей и зубов. Прикусы: нормальный и патологический. Аномалии прикуса 15.92 KB
  Дефекты челюстей и зубов. Неправильное звукопроизношение особенно у детей вызывается различными дефектами строения челюстей которые ведут к аномалиям прикуса: прогнатией когда верхняя челюсть сильно выдается вперед; прогенией когда нижняя челюсть выступает вперед; открытым передним прикусом когда между верхними и нижними зубами при их смыкании остается промежуток; боковым прикусом когда при смыкании боковых зубов остаётся промежуток. Диастема аномалия положения зубов; чрезмерно широкий промежуток между резцами верхней...
25827. Нервно-мышечные нарушения полости рта 14.1 KB
  Одной из причин поражения лицевого нерва является воспаление среднего уха т. Из других причин необходимо отметить его травматические поражения и простудное воздействие. Паралич лицевого нерва бывает как правило односторонним что приводим к асимметричной деформации лица: на стороне поражения не закрывается глаз не поднимается бровь угол рта и щека опущены книзу отведение губ и оскаливание зубов невозможны весь рот перетянут на противоположную сторону. губы на стороне поражения не смыкаются и воздух свободно выходит через...
25828. Аудит расчетов с подотчетными лицами 45.5 KB
  Не все организации расплачиваются по безналичному расчету перечисляя деньги со своего счета на счет продавца. Для этого деньги выдаются из кассы сотрудникам под отчет. Если при покупке были израсходованы не все деньги то остаток сотрудник должен вернуть в кассу. Если же сотрудник переплатил добавил свои деньги то сумма переплаты организация должна ему компенсировать.
25829. Аудит расчетов с покупателями и заказчиками 29 KB
  Основная цель аудита установить правильность ведения учета расчетов с покупателями и заказчиками за реализованную отгруженную продукцию выполненные работы оказанные услуги. В ходе аудита расчетов с покупателями и заказчиками должны быть решены следующие задачи: проверка правильности оформления первичных документов по реализации продукции выполнению работ оказанию услуг с целью подтверждения обоснованности возникновения дебиторской задолженности; подтверждение своевременности погашения и правильности отражения на счетах...
25830. Аудит расчетов с поставщиками и подрядчиками 43 KB
  Цели и задачи аудита расчетов с поставщиками и подрядчиками Основная цель проверки установить правильность ведения расчетов с поставщиками и подрядчиками за полученные товарноматериальные ценности принятые выполненные работы и оказанные услуги. В ходе аудита расчетов с поставщиками и подрядчиками должны быть решены следующие задачи: проверка правильности оформления первичных документов по прибытию товарноматериальных ценностей и получению услуг с целью подтверждения обоснованности возникновения кредиторской задолженности; ...
25831. Аудит расчетов с разными дебиторами и кредиторами 29.5 KB
  Проверка достоверности учета финансовохозяйственных операций ФХО связанных с расчетами с лицами признаваемыми на уровне законодательства о бухучете разными дебиторами и кредиторами а также проверка соответствия ФХО требованиям нормативных правовых актов НПА РФ. ГК РФ; НК РФ; НПА регулирующие правоотношения с разными дебиторами и кредиторами; законодательство о бухучете в т. Основные вопросы проверки: 1 наличие договорных отношений с разными дебиторами и кредиторами соответствие их оформления требованиям НПА РФ; 2 реальность...
25832. Аудит в условиях компьютерной обработки данных 51.5 KB
  Использование технических средств приводит к изменению отдельных элементов организации бухгалтерского учета и внутреннего контроля: для проверки хозяйственных операций наряду с традиционными первичными учетными документами используются и первичные учетные документы на машиночитаемом носителе; постоянные нормативносправочные показатели могут быть проверены по данным хранящимся в памяти компьютера или на машиночитаемых носителях информации; вместо традиционных ручных форм счетоводства может применяться форма учета ориентированная на...
25833. Аудит учета затрат, включаемых в себестоимость продукции (работ, услуг) 40.5 KB
  Себестоимость продукции один из показателей эффективности производства выявляющий во что обходится организации изготовление и сбыт продукции. Себестоимость широко применяется для экономического обоснования решений о производстве новой или прекращении выпуска старой продукции; для определения эффективности мероприятий научнотехнического прогресса рентабельности продукции резервов снижения затрат и др. Все затраты организации на производство определяют производственную себестоимость продукции.