20746

Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность

Доклад

Математика и математический анализ

Определение: Всякое натуральное число p 1 не имеющее других натуральных делителей кроме 1 и p называется простым числом. Наименьшее простое число 2. 1 Если p 1 является наименьшим делителем целого числа n 1 то оно простое число p. 2 Если произведение где p простое число то по крайней мере либо либо .

Русский

2013-07-31

44.5 KB

67 чел.

Алгебра.

Вопрос №2.

Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность.

Определение: Всякое натуральное число p>1, не имеющее других натуральных делителей, кроме 1 и p, называется простым числом.

Наименьшее простое число – 2. 1 – не простое и не составное, так как имеет один делитель 1.

1) Если p>1 является наименьшим делителем целого числа n>1, то оно простое (число p).

2) Если произведение , где p – простое число, то, по крайней мере, либо , либо .

3) Натуральное число a и p – простое число, либо взаимно простые, либо .

Теорема. Множество простых чисел бесконечно.

Доказательство (Евклид).

Предположим, что множество простых чисел конечно. Пронумеруем их в порядке возрастания: p1, p2, …, pn.

Рассмотрим . Докажем, что Q – простое. По предположению число Q не может быть простым, так как . Тогда Q – составное число и должно делиться на простое число pm, но тогда , что невозможно. Следовательно, число Q – простое.

Мы получили ещё одно простое число, что противоречит нашему предположению. Следовательно, множество простых чисел – бесконечно.

Что и требовалось доказать.

Существует один простой способ выявления простых чисел на конечном множестве.

Решето Эратосфена: наименьший простой делитель числа a не может быть больше .

p – наименьший простой делитель числа a. .

Метод: (этот факт используется при составлении таблиц простых чисел меньших или равных N, способом, который был указан Эратосфеном и названным решето Эратосфена). Выписывают числа от 2 до N и вычёркивают числа, кратные 2, 3, …. И продолжают до тех пор, как найдено число большее или равное .

По теореме Евклида множество простых чисел бесконечно, тем не менее, можно указать отрезки натуральных чисел сколь угодно большой длины, которые не содержат простые числа. Например: n!+2, n!+3, …, n!+n.

С другой стороны, встречаются такие простые числа, разность между которыми равна 2. Такие числа называются близнецами. Например: 2 и 3, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31.

Теорема. Всякое натуральное число a (кроме 1), может быть представлено в виде произведения простых множителей и причём единственным образом, если не учитывать порядок следования сомножителей.

.

Доказательство.

Если число a составное, то наименьший делитель, отличный от 1, число простое. a1 – составное.

Единственность.

Предположим, что существует ещё одно разложение: .

Не нарушая общности рассуждений:

Теорема доказана.

Среди p1, …, pn могут быть одинаковые. Тогда – каноническое разложение на простые множители.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27052. Значение, виды, способы, сроки и порядок проведения инвентаризаций 19.97 KB
  Виды инвентаризаций Инвентаризации могут быть полными и неполными частичными. Полные инвентаризации проводятся не реже одного раза в год. Неполные частичные инвентаризации связаны с проверкой определенных видов материальных ценностей денежных средств или расчетов например инвентаризация кассовой наличности или готовой продукции или материальных ценностей находящихся на ответственном хранении у кладовщика. Выборочная инвентаризация проводимая для контроля материальноответственных лиц также относится к частичной инвентаризации.
27053. Ревизия расчетов с подотчетными лицами 14.81 KB
  срок подачи авансового отчета после возвращения из командировки 3 дня 2проверка оформления командировочных расходов. Проверка оформления командировочных расходов При ревизии расчётов по командировочным расходам целесообразно убедиться в выполнении следующих правил: Продолжительность командировки не должна превышать срока указанного в приказе на командирование; а также законодательно установленного максимального срока командировки расходы на которую могут быть отнесены на себестоимость. Если пункт командировки расположен так что по...
27054. Система контроля объема и ассортимента выпускаемой продукции 13.52 KB
  В случае когда в целевой функции только две переменные и количество ограничений небольшое для нахождения оптимального решения можно использовать графический метод и метод проб и ошибок. Графический метод: Согласно данному методу оптимальное решение должно находиться в одной из угловых точек области возможных решений. МЕТОД ПРОБ И ОШИБОК. Следует отметить что метод проб и ошибок а также графический метод полезны в случае двух или возможно трех переменных.
27055. Учет удержаний из заработной платы 14.53 KB
  В бухгалтерском учете такое удержание оформляется записью: Дебет счета 70 Расчеты с персоналом по оплате труда Кредит счетов учета производственных затрат или расходов 20 Основное производство 23 Вспомогательные производства 44 Расходы на продажу и т. В данном случае оформляется бухгалтерская проводка: Дебет счета 70 Кредит счета 71 Расчеты с подотчетными лицами на сумму ранее выданную под отчет и не погашенную в установленные сроки. В бухгом учете такие удержания отражаются проводками: Дебет счета 70 Кредит счета 76 Расчеты с разными...
27056. Формы, системы и виды оплаты труда. Порядок расчета заработной платы, доплат, оплаты отпусков, надбавок, гарантий и компенсаций 25.1 KB
  Виды системы и формы оплаты труда Заработная плата это вознаграждение за труд в зависимости от квалификации работника сложности количества качества и условий выполняемой работы выплаты компенсационного характера ст. Условия оплаты труда конкретного работника указываются в его трудовом договоре. виды оплаты труда: основная и дополнительная.
27057. Учет амортизации ос и нма 16.44 KB
  Учет амортизации ос и нма Счет 10400 Амортизация Счет предназначен для сбора информации о начисленной сумме амортизации объектов нефинансовых активов принятых учреждением к учету. В течение финансового года амортизация начисляется ежемесячно в размере 1 12 годовой суммы. По объектам основных средств амортизация начисляется: на объект недвижимого имущества при принятии его к учету по факту государственной регистрации: стоимостью до 40000 рублей включительно амортизация начисляется в размере 100 балансовой стоимости объекта при принятии к...
27058. Анализ обеспеченности учреждения трудовыми ресурсами 13.33 KB
  Анализ обеспеченности учреждения трудовыми ресурсами К трудовым ресурсам относится та часть населения которая обладает необходимыми физическими данными знаниями и навыками труда в соответствующей отрасли. В частности от обеспеченности учреждения трудовыми ресурсами и эффективности их использования зависят объем и своевременность выполнения всех работ эффективность использования оборудования. Общую картину состояния и тенденции развития трудовых ресурсов учреждения дает анализ изменения среднесписочной численности работников...
27059. Нормативное регулирование бухгалтерского учета в РФ 14.67 KB
  Нормативное регулирование бухгалтерского учета в РФ Нормативное регулирование бухгалтерского учета включает: 1 нормативное правовое регулирование осуществляется нормами права содержащимися в соответствующих нормативных правовых актах; 2 методическое нормативнотехническое регулирование осуществляется методическими техническими нормами содержащимися в соответствующих актах методического нормативнотехнического характера. Первый уровень законы Российской Федерации и указы президента РФ устанавливающие единые правовые и...