20839

Ррезонансні частоти та форми власних коливань

Дипломная

Физика

В конструкціях машинобудівної, авіаційної, приладобудівної та суднобудівної промисловості широко використовуються конструктивні елементи, що представляють собою циліндричні оболонки. Ці елементи складають по вазі порівняно невелику частину конструкції, але суттєво впливають на її міцність і жорсткість.

Украинкский

2014-11-30

1.09 MB

18 чел.

ЗМІСТ

[1]
ВСТУП

[2]
РОЗДІЛ 1. Основні рівняння класичної теорії оболонок

[2.0.1] 1.1. Деформації та зміни кривизн серединної поверхні оболонки

[2.0.2] 1.2. Деформації еквідистантного шару

[2.0.3] 1.3.Зусилля та моменти в оболонці

[2.0.4] 1.4.Матеріальні співвідношення для ізотропного матеріалу

[2.0.5] 1.5.Рівняння рівноваги класичної теорії оболонок

[2.0.6] 1.6. Крайові умови на контурах оболонки

[2.0.7] 1.7. Власні коливання кругової циліндричної оболонки

[3]
РОЗДІЛ 2. ОГЛЯД СКІНЧЕННо - ЕЛЕМЕНТНОЇ ПРОГРАМИ FEMAP

[3.0.1] 2.1. Метод скінченних елементів.

[3.0.2] 2.2. Визначення CAD, САМ і САЕ-систем

[3.0.3] 2.3. Огляд програми Femap.

[3.0.4] 2.4. Розрахунок динамічних характеристик програмою Femap.

[4]
РОЗДІЛ 3. ЧИСЕЛЬНЕ ВИЗНАЧЕННЯ ВЛАСНИХ ЧАСТОТ ТА ФОРМ КОЛИВАНЬ ЕЛІПТИЧНОЇ ЦИЛІНДРИЧНОЇ ОБОЛОНКИ

[4.0.1] 3.1. Геометрія та скінченно-елементні моделі оболонок

[4.0.2] 3.2. Аналіз та результати розрахунків

 


ВСТУП

Актуальність теми. Раціональне проектування деталей машин та елементів конструкцій пов'язане з дослідженням їх міцності та стійкості. Не менш важливим є визначення власних частот особливо при дії змінного навантаження. Так як при співпаданні частоти зовнішньої сили з власною частотою деталі або конструкції спостерігається руйнівне явище резонансу.

Необхідність вивчення резонансних форм і частот коливань  пояснюється тим, що в теперішній час у зв'язку з розвитком техніки постійно підвищуються потужності і швидкості машин і механізмів, які самі відчувають динамічні навантаження, або діють на конструкції, в яких вони встановлені. По характеру дії динамічні навантаження відрізняються великою різноманітністю. Тому наслідки динамічної дії можуть бути різними в залежності від місця прикладання і закону зміни навантаження.

У зв'язку з цим особливе значення набувають надійні методи чисельного і експериментального визначення параметрів міцності та стійкості конструкцій, зокрема, визначення  резонансних частот.

Правильність отриманих результатів у великій мірі буде залежати від вибору розрахункових та експериментальних методів.

В наш час широке застосування для розв'язування задач механіки набуло використання систем комп'ютерного інженерного аналізу, які дають користувачу можливість оцінити поведінки комп'ютерної моделі виробу в реальних умовах експлуатації, перевірити дієздатність конструкції без значних затрат часу і коштів. Однією з таких систем є пре- і постпроцесор для виконання інженерного аналізу методом скінчених елементів – Femap з розв'язувачем NX Nastran.

В конструкціях машинобудівної, авіаційної, приладобудівної та суднобудівної промисловості широко використовуються конструктивні елементи, що представляють собою циліндричні оболонки. Ці елементи складають по вазі порівняно невелику частину конструкції, але суттєво впливають на її міцність і жорсткість.

В багатьох областях техніки широке застосування знаходять некругові циліндричні оболонки, зокрема еліптичні змінної товщини.

Об'єкт: еліптична циліндрична оболонка змінної товщини.

Предмет дослідження: резонансні частоти та форми власних коливань.

Мета: Розрахувати власні частоти та дослідити форми власних коливань еліптичної циліндричної оболонки змінної товщини.

З мети дослідження постають наступні завдання:

  1.  змоделювати геометрію та скінчено-елементну розбивку еліптичної циліндричної оболонки змінної товщини;
  2.  розрахувати за допомогою програмного забезпечення FEMAP резонансні частоти та отримати відповідні форми коливань;
  3.  проаналізувати отримані результати та порівняти їх.

Практичне значення полягає у розробці скінчено-елементної моделі еліптичної циліндричної оболонки змінної товщини та отриманні спектра власних частот та форм коливань для неї.


РОЗДІЛ 1. Основні рівняння класичної теорії оболонок

1.1. Деформації та зміни кривизн серединної поверхні оболонки

Теорія оболонок з довільною формою серединної поверхні базується на гіпотезах Кірхгофа-Лява:

  1.  матеріальний елемент, нормальний до серединної поверхні оболонки, після деформації останньої залишається нормальним до деформованої серединної поверхні;
  2.  зміною довжини цього елементу нехтують;
  3.  нормальні напруження на площадках, паралельних серединній поверхні, значно менші від напружень на площадках, перпендикулярних до неї.

У відповідності з цими гіпотезами деформації у всьому об'ємі матеріалу оболонки повністю визначаються деформаціями і зміною кривизни її серединної поверхні, які в свою чергу залежать від переміщень.

Більш детально зупинимося на понятті «серединна поверхня оболонки». Під нею розуміють геометричне місце точок, рівновіддалених від обмежуючих оболонку поверхонь. Але таких поверхонь може бути нескінченно велика кількість. Логічно було б припустити, що серединна поверхня – це геометричне місце точок, рівновіддалених від обмежуючих оболонку поверхонь на мінімальну відстань. Але тут можуть виникнути труднощі при визначенні поняття «товщина оболонки». Окрім того, аналітичне завдання серединної поверхні таким чином може мати досить складний вид. Тому замість поняття «серединна поверхня» доцільно використовувати «поверхня зведення». Тоді товщина оболонкице відстань між обмежуючими поверхнями по нормалі до поверхні зведення. Надалі під «серединною поверхнею» будемо розуміти «поверхню зведення».

Введемо на серединній поверхні недеформованої оболонки ортогональну криволінійну координатну сітку α, β

 (1.1)

причому координатні лінії співпадають з лініями головних кривизн.

Координати α, β – матеріальні. Це означає, що точка поверхні, що мала до деформації координати α, β, і після деформації характеризується цими ж координатами. При цьому самі координатні лінії змінюють своє положення в просторі, і на деформованій серединній поверхні вже не є лініями кривизни і не ортогональні.

В результаті деформації оболонки точки її серединної поверхні отримують переміщення , тому рівняння серединної поверхні деформованої оболонки

 (1.2)

де

, (1.3)

вектор переміщення з компонентами u, v, w, які є функціями криволінійних координат α, β. Тобто опис руху точок матеріалу оболонки ми будемо проводити по методу Лагранжа.

Деформації та зміни кривизн серединної поверхні оболонки виражаються через компоненти переміщень її точок за такими формулами

,

,

, (1.4)

,

,

.

Шість величин, що визначають деформації серединної поверхні оболонки і зміни її кривизни (, , , , , ), виражаються за допомогою рівнянь (1.4) через три компоненти (, , ) вектора переміщення. Тому між згаданими шістьма величинами є деякі тотожні співвідношення. Сенс цих співвідношень – умов сумісності деформацій – полягає в тому, що елементи серединної поверхні, які отримали деформації , ,  і зміни кривизни та кручення , , , повинні складати єдину неперервну поверхню. Приведемо умови сумісності деформацій без виведення

 

 (1.5)

 

Так само, як і в інших задачах теорії пружності, умови сумісності деформацій (1.5) використовують тільки при розв'язанні задач в зусиллях-деформаціях. При розв'язанні задач в переміщеннях ці умови виконуються тотожно.

1.2. Деформації еквідистантного шару

Розглянемо в тілі оболонки поверхню, віддалену на постійну відстань  () від серединної (еквідистантну поверхню). Положення точки на цій поверхні характеризуватимемо координатами α і β, такими ж, як і для точки серединної поверхні, що лежить з нею на одній нормалі.

Відповідно до гіпотези Кірхгофа, точки, що лежать на одній нормалі до серединної поверхні, залишаються після деформації на цій же нормалі. Тому координати α і β є матеріальними і для еквідистантної поверхні.

Рівняння еквідистантної поверхні в недеформованій оболонці можна записати у вигляді .

Після деформації оболонки рівняння еквідистантної поверхні приймає вигляд

 (1.6)

де  і  – радіус-вектор і орт нормалі до деформованої серединної поверхні.

Звідси випливає, що відносне видовження еквідистантного шару в напрямку α-лінії

. (1.7)

Аналогічно, відносне видовження еквідистантного шару в напрямку β-лінії

. (1.8)

Як видно з формул (1.7) і (1.8), деформації розподілені по товщині стінки оболонки по гіперболічному закону. Такий результат є природним наслідком того, що при виводі враховували відмінність початкових довжин волокон ( і ,  і ), що знаходяться на різній відстані z від серединної поверхні. Аналогічна ситуація має місце і при згині кривого бруса. Але, як відомо, вже при відношенні товщини бруса до радіусу його кривизни  розподіл деформацій по товщині практично не відрізняється від лінійного, і розрахунок бруса малої кривизни можна вести по формулам для згину прямого бруса.

Зазвичай, для оболонок відношення товщини стінки до найменшого з радіусів кривизни , тому відношення  не перевищує 1%. Слід також прийняти до уваги, що основні гіпотези теорії оболонок (зокрема, гіпотези Кірхгофа) наближені і заздалегідь обумовлюють похибку теорії порядку . Тому збереження у виразах (1.7) і (1.8) доданків порядку ,  в порівнянні з одиницею не виправдано, і ці формули можна записати у вигляді

, . (1.9)

При цьому не можна стверджувати, що лінійні по z формули (1.9) менш точні, ніж формули (1.7) і (1.8).

Втім, і формули (1.9) не є єдино можливими лінійними по z залежностями. Використовуючи розклад

 

можна залежності (10.39) і (10.40) після відкидання нелінійних по z доданків привести до вигляду

, . (1.10)

Ці формули практично не відрізняються від всіх приведених вище, оскільки доданки  малі в порівнянні з . Проте вони показують, що в залежностях (1.4) для  і  можна без зміни їх точності додавати доданки порядку . В деяких випадках це дозволяє привести остаточні формули до більш простого вигляду.

Зсув  на еквідистантній поверхні обчислюється за такою формулою

. (1.11)

У зв'язку з малістю  порівняно з одиницею, формулу (1.11) можна спростити

. (1.12)

Поряд з виразами (1.11) і (1.12) можна використовувати формули, отримані розкладанням  в ряди з врахуванням в остаточному виразі тільки лінійних по z членів

, (1.13)

де

. (1.14)


Рис. 1.

Формули (1.11) – (1.13) однаково точні. Вони показують, що величину  можна обчислювати з точністю до доданків порядку , . Використання тих або інших формул визначається лише простотою викладок.

1.3.Зусилля та моменти в оболонці

Розглянемо нескінченно малий елемент, вирізаний з оболонки двома парами нормальних перерізів по α- й β-лініям и двома близькими еквідистантними поверхнями. Напружений стан цього елементу характеризується шістьма компонентами напружень (, , , , , ), які зв'язані з деформаціями елемента відомими співвідношеннями закону Гука. Однак деформації елемента оболонки, отримані в попередніх розділах на основі кінематичних гіпотез Кірхгофа, не дозволяють повністю визначити напружений стан. Нагадаємо, що згідно цим гіпотезам деформації , ,  були покладені рівними нулю. Тому за допомогою закону Гука неможливо зв'язати з переміщеннями дотичні ,  й нормальне  напруження. Припускаємо, що нормальне напруження  малі порівняно з напруженнями , . Ця гіпотеза справджується тим, що на зовнішній та внутрішній поверхнях оболонки напруження  рівні інтенсивності зовнішнього нормального навантаження. У зв'язку з малою товщиною оболонки такий же порядок  і у внутрішніх її точках. В той же час напруження  і  мають порядок, щонайменше в  раз більший.

Сили, що діють в нормальних перерізах оболонки, приводять до серединної поверхні. Як відомо з теоретичної механіки, при зведенні силової системи до заданого центру отримується в загальному випадку одна сила та одна пара сил. У випадку нескінченно малого елементу оболонки зручно зводити систему напружень до системи сил і пар сил на границях виділеного елементу серединної поверхні. Таким чином, отримаємо розподілені системи сил та пар сил, що діють в серединній поверхні оболонки. Відомо також, що розподілені навантаження зручно характеризувати інтенсивністю цих навантажень на одиниці довжини контуру, вздовж якого вони діють.

Тобто, система напружень в матеріалі оболонки була зведена до статично еквівалентної системи розподілених в серединній поверхні розтягуючи (стискаючих) та зсувних зусиль, а також згинних та крутильних пар сил, інтенсивність яких в кожній точці серединної поверхні оболонки визначається такими формулами

, ,

, ,

, , (1.15)

, ,

, .

1.4.Матеріальні співвідношення для ізотропного матеріалу

У відповідності до прийнятих гіпотез Кірхгофа-Лява, в рівняннях закону Гука для ізотропного матеріалу тотожно не рівними нулю будуть лише три

, , .

Як було сказано вище (див. п. 1.1), напруженнями  можна нехтувати. Тоді закон Гука прийме такий вигляд

, , ,

звідки напруження можна виразити через деформації по таким формулам

, , .

Підставляючи в отримані формули вирази (1.9) і (1.12) для компонентів деформації, отримаємо

,

, (1.16)

.

Оскільки при визначенні деформацій (a значить, і напружень) вже нехтували доданками порядку  порівнянню з одиницею, то множник  в формулах (1.15) для сил і моментів можна опустити. Таким чином отримаємо, після підстановки напружень  і  із співвідношень (1.16) в рівняння (1.15), наступні вирази для нормальних сил і згинних моментів

, ,

, ,

де  – циліндрична жорсткість оболонки.

Нехтування множниками  у формулах для зсувних зусиль ,  і крутильних моментів ,  може привести до непорозумінь. Справа в тому, що парність дотичних напружень () виражає одну з умов рівноваги елементу  шару оболонки, а саме – умову рівності нулю суми моментів, прикладених до елементу сил відносно нормалі до шару. Врівноваженість кожного елементарного шару автоматично спричиняє за собою виконання відповідної умови рівноваги (суми моментів щодо нормалі до серединної поверхні) для елементу оболонки в цілому.

Якщо при визначенні , , ,  знехтувати множником  під інтегралом, то умова рівноваги елементу оболонки, виражена через сили і моменти, порушується.

У деяких задачах це може привести до помилок. Найбільш простий варіант вирішення цієї проблеми запропонований Л.І. Балабухом і В.У. Новожиловим. Суть його в тому, що у виразах для крутильних моментів ,  множники  не враховують, а у виразах для зсувних зусиль ,  їх зберігають. В цьому випадку отримують співвідношення

,

, ,

де

, .

Саме цими формулами ми будемо користуватися в подальшому.

Отже, сили і моменти в нормальних перерізах оболонки пов'язані з компонентами деформації серединної поверхні і параметрами зміни її кривизни такими залежностями

, ,

, , (1.17)

, ,

, .

Приведемо ще формули для обчислення напружень за відомими силами та моментами. Ці формули легко отримати з рівнянь (1.16), якщо виразити в них деформації і параметри зміни кривизни через сили і моменти, тобто

,

, (1.18)

.

1.5.Рівняння рівноваги класичної теорії оболонок

Розглянемо рівновагу елементу оболонки, обмеженого двома парами нормальних перерізів, що проходять через α- і β-лінії (рис. 2.) (нагадаємо, що α- і β-лінії співпадають з лініями кривизни).

Сили (віднесені до одиниці довжини перерізу серединної поверхні) показані на рис. 2. а, а моменти – на рис. 2.б

Рис. 2.

У перерізі, нормаль до якого співпадає α-лінією, діють сила і момент (запишемо їх у векторній формі – див. рис. 2.):

, . (1.19)

В перерізі, нормальному до β-лінії:

, . (1.20)

Знаки сил і моментів в приведених формулах відповідають площадкам, зовнішні нормалі до яких співпадають з додатними напрямами відліку криволінійних координат α і β.

На площадках зворотного напряму знаки сил і моментів – протилежні.

При складанні рівнянь рівноваги елемента оболонки слід враховувати, що сили і моменти в перерізах ,  відрізняються приростами.  Таким чином, якщо елемент серединної поверхні, обмежений лініями , , ,  то до границі елементу 0, 1 прикладені сила  та момент , до границі 2, 3 – сила  і момент ; до границі 0, 2 прикладена сила  та момент , до границі 1,3 сила  і момент . Крім того, на елемент діє зовнішнє навантаження , де  – вектор інтенсивності поверхневого навантаження:

 (1.21)

Прирівнюючи нулю векторну суму всіх прикладених до елементу оболонки сил, отримаємо:

. (1.22)

Рівняння моментів відносно точки О буде мати такий вигляд:

. (1.23)

Третій і четвертий доданок в цьому рівнянні є моментами пар сил (, ) та (, ) (сили  і , а також зовнішнє навантаження дають моменти вищого порядку малості).

Кожне з векторних рівнянь (1.22) і (1.23) еквівалентно трьом скалярним виду:

,

,

. (1.24)

,

,

. (1.25)

Неважко бачити, що прийняті (у відповідності з гіпотезою Л.І. Балабуха та В.В. Новожилова) співвідношення пружності (1.17) для , , ,  задовольняють останньому рівнянню (1.25) тотожно. Саме це й було метою врахування малих доданків  і  у формулах (1.17). Проводячи в рівняннях (1.24) заміну , , приведемо диференціальні рівняння рівноваги тонких оболонок до такого виду:

,

,

, (1.26)

,

.

Підставляючи поперечні зусилля  і  з двох останніх рівнянь в перші два, отримаємо три еквівалентні рівняння рівноваги:

 

 (1.27)

 

Оскільки всі вхідні в рівняння (1.27) зусилля і моменти виражені за допомогою рівнянь пружності (1.20) через деформації і параметри зміни кривизни серединній поверхні, а ці останні за допомогою геометричних співвідношень (1.4) – через три компоненти вектора переміщень, то три рівняння рівноваги (1.27) визначають три невідомі функції , , .

Таким чином, система рівнянь теорії оболонок, що складається з геометричних рівнянь, рівнянь пружності і рівнянь рівноваги, є замкнутою.

1.6. Крайові умови на контурах оболонки

На контурі оболонки (для прикладу розглядатимемо контур, який співпадає з β-лінією) є п'ять величин, які характеризують внутрішні зусилля (, , , , ), і п'ять величин, які характеризують переміщення (, , , , ). На перший погляд, на контурі оболонки повинно бути задано п'ять крайових умов. Проте це не так. Річ у тім, що завдяки кінематичній гіпотезі Кірхгофа не всі згадані переміщення незалежні. Кут повороту нормалі до оболонки в площині контуру  () зв'язаний умовою збереження нормалі з переміщеннями  і  на цьому ж контурі.

Тому число незалежних переміщень (а значить і узагальнених сил) дорівнює чотирьом, і на контурі оболонки можна сформулювати тільки чотири крайові умови, що відповідає восьмому порядку рівнянь теорії оболонок. Така ситуація аналогічна наявній в теорії згину пластин (див. лекцію № 2), де не можна накладати крайові умови на поперечну силу і крутильний момент окремо, а необхідно вводити в розгляд приведену поперечну силу.

Розглянемо деякі поширені типи закріплення контурів оболонки на прикладі контуру .

  1.  Жорстко закріплений контур (С). Варіації всіх переміщень та кути повороту рівні нулю, тобто:

, . (1.28)

  1.  Шарнірно закріплений контур (Sc). Заборонені лише переміщення , , , а кути повороту  довільні. Тоді:

, . (1.29)

  1.  Шарнірно опертий контур (S). Заборонені лише переміщення  в напрямку нормалі та переміщення  вздовж лінії . Кути повороту  та переміщення  довільні. Тоді:

, , . (1.30)

  1.  Вільно опертий контур (Sf). Заборонені лише переміщення  по нормалі до оболонки. Тангенціальні переміщення та кути повороту довільні. Тоді:

, , , , (1.31, а)

або

, , , . (1.31, б)

  1.  Вільний (незакріплений) контур (F). Варіації переміщень , , ,  довільні. В цьому випадку:

, , , , (1.32, а)

або

, ,

, . (1.32, б)

  1.  Ковзаюче  закріплення (Sl). В цьому випадку переміщення  по нормалі не заборонені, але заборонені тангенціальні переміщення ,  і кути повороту . Тоді:

, ,

. (1.33)

На контурах  можна задати аналогічні крайові умови, якщо в рівняннях (1.28) – (1.33) виконати заміни , , , .

На контурах оболонки можуть бути задані різні комбінації крайових умови виду. Наприклад, СССС – оболонка жорстко закріплена по всім чотирьом контурам; CSCC – оболонка жорстко закріплена по трьом контурам і шарнірно оперта по четвертому контуру і т. д. Приєднуючи ці рівняння до рівнянь рівноваги (1.27), отримаємо лінійну крайову задачу для системи диференціальних рівнянь у частинних похідних.

1.7. Власні коливання кругової циліндричної оболонки

Розгляд задач про лінійні коливання оболонок почнемо з дослідження власних частот і форм коливань оболонки, яка має ідеальну циліндричну серединну поверхню з круговим поперечним перетином. Причина вибору такої оболонки як початкового об'єкту очевидна і обумовлена тим, що, з одного боку, вона є простим типом оболонок взагалі, з іншою – володіє багатьма властивостями, характерними для оболонок довільного типу.

Початкові динамічні рівняння оболонки виберемо у формі, в яких покладемо px = 0, рy = 0, q = 0. Вводячи безрозмірні змінні

     (1.1)

та використавши позначення

   (1.2)

запишемо це рівняння в операторному вигляді

  (1.3)

Тут

 

 

  (1.4)

 

 

Як видно, рівняння системи (1.3) зв'язані між собою, оскільки кожне з них містить всі три невідомі змінні u,  і , які визначають переміщення оболонки. Для дослідження цих рівнянь зручнішою є «незв'язана» форма, коли одне з них містить лише одну змінну, а два інших зв'язують функції u і  з . Часто на практиці вимагається визначити лише розв'язання рівняння відносно компоненти , оскільки воно виражає найістотнішу умову рівноваги всіх сил (включаючи сили інерції) в «найслабкішому» поперечному напрямі оболонки.

З метою отримання рівнянь в незв'язаній формі розглянемо перші два рівняння системи (1.3), виключаючи з них по черзі переміщення u і , одержуємо наступні залежності:

  (1.5)

тут використані символьні позначення

       (1.6)

і т.д.

Якщо аналогічним шляхом виключити переміщення u і  з третього рівняння (1.3), враховуючи (1.5), то одержимо рівняння щодо прогинання до:

      (1.7)

після розкриття котрого маємо

(1.8)

де

 

Рівняння (1.5) прийме відповідно вигляд

 (1.9)

Таким чином, якщо з рівняння (1.8) знайдено значення прогинання , то, підставляючи його в рівняння (1.9), легко можна перейти до визначення переміщень u і . Та обставина, що порядок рівнянь (1.8), (1.9) вищий, ніж порядок початкової системи (1.3), на перший погляд ускладнює математичну сторону задачі, оскільки число краєвих умов в обох випадках залишається незмінним, а кількість незалежних розв'язків може зрости. В цьому випадку з числа всіляких розв'язків (незалежних) слід розглядати лише ті, які не суперечать фізичному змісту задачі. Решту розв'язків, позбавлених фізичного значення, слід опустити, оскільки вони обумовлені математичними перетвореннями, які привели до підвищення порядку рівнянь.

Загальний розв'язок систем рівнянь (1.3) або (1.8), (1.9) може бути представлено у вигляді розкладання по формах власних коливань:

     (1.10)

де Аn,m, Вn,m, Сn,m — довільні постійні, визначені з граничних умов на кожному краю оболонки; ω — власна частота. У разі однорідних краєвих умов частота ω залежить лише від деякого одного параметра n, що характеризує число окружних хвиль деформацій, і тоді стає можливим у рядах не робити підсумовування по п. Функцію прогинання ω в цьому випадку можна записати у формі

   (1.11)

Аналогічний вигляд мають розкладання і для u, .

Підставляючи ряд (1.11) в рівняння (1.8), одержимо характеристичне рівняння для визначення параметра m. Воно має вигляд

   (1.12)

де

         (1.13)

Цьому рівнянню можна надати вигляд

       (1.14)

де gi – постійні коефіцієнти, легко визначені на основі (1.12).

Оскільки коренями рівняння (1.14) звичайно є

    (1.15)

(p, q, c, d – дійсні числа), тоді рішення (1.11) можна представити так:

 (1.16)

де Сj, j= 1÷8, - постійні, визначені з граничних умов.

Аналогічний вигляд мають вирази для переміщень u і , причому як постійні коефіцієнти в них входять деякі комбінації параметрів Сj, j= 1÷8.

Задовольняючи краєвим умовам, одержимо вісім рівнянь щодо невідомих Сj, що містять параметри p, q, c, d. Прирівнявши визначник системи до нуля, можна знайти значення власних частот ω.

Розглянемо оболонку з краєвими умовами Нав'є:

          (1.17)

У такому випадку для u,  і ω одержуємо точний розв'язок. Кожен член рядів (1.10) буде при цьому рівний

       (1.18)

де   параметр поздовжньої хвилі, який характеризує кількість поздовжніх напівхвиль деформацій = 1, 2, 3, ...).

Частотне рівняння в даному випадку можна одержати на підставі (1.12), якщо покласти: λm= iλm. У результаті маємо

    (1.19)

де введені позначення

(1.20)

Дослідження показують, що для фіксованих т і n рівняння (1.19) завжди допускає три дійсні кореня Ω1, Ω2, Ω3, відповідні різним відносинам амплітуд u,  і ω. При цьому два з них, як правило, значно більше третього, тобто

    (1.21)

Меншому кореню Ω1 (меншій частоті) відповідає форма коливань, при якій нормальне переміщення ω значно перевершує переміщення u і .

З урахуванням співвідношень (1.21), (1.19) можна визначити наближене значення кореня Ω1:

.       (1.22)

Розглянемо тепер стисло осесиметричне коливання, тобто коливання, при яких поперечні перерізи оболонки залишаються круговими. Рівняння цих коливань неважко одержати з рівнянь (1.3), відкинувши члени, залежні від φ:

      (1.27)

На закінчення відзначимо, що аналогічно викладеному вище можуть бути розглянуті власні коливання оболонок, навантажених постійними осьовими силами або зовнішнім тиском. Рівняння руху оболонки в даному випадку запишеться в вигляді

     (1.28)

де Nx – стискаюче осьове статичне навантаження, p – тиск.

Розв'язок відносно ω рівняння, отримане на основі (1.28), отримає більш складний, ніж (1.8), вигляд, а саме:

(1.29)

Аналізуючи це рівняння звичайним способом, можна дослідити залежність частот і форм власних коливань від параметрів навантаження Νx і р, визначити критичні значення цих параметрів, при яких може відбутися втрата стійкості оболонки.


РОЗДІЛ 2. ОГЛЯД СКІНЧЕННо - ЕЛЕМЕНТНОЇ ПРОГРАМИ FEMAP 

2.1. Метод скінченних елементів.

При дослідженні конструкцій основними етапами є [7]:

1) побудова фізичної моделі,

2) побудова математичної моделі,

3) розв'язування математичної моделі;

4) аналіз отриманих результатів.

Для побудови фізичної моделі необхідно вивчити фізико-механічні властивості матеріалу, геометрію конструкції, характер навантажень. У загальному випадку врахувати усі наявні особливості конструкції (недосконалість форми), матеріалу (несуцільність і неоднорідність властивостей) і навантаження (особливості характеру) неможливо. Тому, приступаючи до практичних розрахунків, вимушені підміняти реальні тіла об'єктами, що ідеалізуються, – фізичними моделями, що відтворюють основну форму конструкції, основні властивості матеріалу та основний характер навантаження [5]. Це компроміс між досить точним відтворенням реальності та доступністю розрахунку. Від того, наскільки вдало вибрана фізична модель конструкції залежить, зрештою, громіздкість розрахунку і точність його результатів. Тут багато що залежить від досвіду розраховувача, його розуміння роботи конструкції, уміння виділити ті характеристики, які, в основному, і визначають її роботу.

Наступним етапом розрахунку є математичний опис поведінки моделі, або побудова математичної моделі. У найзагальніших рисах вона включає вхідні (початкові) і вихідні (кінцеві) дані і математично сформульований оператор переходу від перших до других [2]. Тобто записуються залежності між початковими даними (зовнішні сили, геометрія конструкції, умови закріплення) і шуканими функціями напружено-деформованого стану, початкові і граничні умови. Це математична модель, що повинна правильно відображати суть явища і мати єдиний розв'язок.

При математичному описі поведінки моделі часто доводиться вводити додаткові припущення про характер окремих властивостей моделі і її матеріалу. Цим пояснюється, зокрема, існування для однієї і тієї ж фізичної моделі декількох різних математичних моделей [13].

Далі проводиться розв'язування математичної моделі. На практиці використовують як аналітичні так і чисельні методи. Перші базуються на математичних методах, як правило, складних і громіздких, підходять для конструкцій простої форми і з простою схемою навантаження. Задачі із складною геометрією зазвичай розв'язуються чисельними методами, до яких і відносяться метод скінченних елементів (МСЕ). Цей метод необмежений ні формою тіла, ні способом навантаження.

Основна ідея МСЕ полягає в тому, що область визначення неперервної величини (переміщення, температури, тиску) розбивається на скінченне число малих областей – скінченних елементів (стержневі елементи; прямокутні, трикутні пластинки; паралелепіпеди, тетраедри). Ці елементи в сукупності апроксимують форму області [16].

Недосконала розбивка приведе до значної похибки. Використання більш мілких скінченних елементів, як правило, підвищує точність, але приводе до збільшення громіздкості розрахунків. В районах області, де очікується різка зміна напружень, деформацій, використовується більш мілка розбивка. Там, де очікуваний результат змінюється порівняно слабо, можна використовувати крупнішу розбивку [18].

Скінченні елементи мають спільні вузлові точки (вузли). В цих точках до будь-якого скінченного елемента прикладаються деякі фіктивні зусилля взаємодії, що характеризують дію розподілених внутрішніх напружень, прикладених вздовж реальних границь стикування суміжних елементів.

При достатній мализні скінченних елементів можна вважати, що поле переміщень (температури, тиску) в межах кожного елемента визначається однозначно лише переміщеннями (температурами, тисками) в його вузлових точках. Значення неперервної величини в кожній вузловій точці спочатку вважаються відомими, однак ці значення ще треба визначити шляхом накладання на них додаткових обмежень в залежності від фізичної суті задачі.

Поле шуканої функції в межах елемента представляється як сума добутків його вузлових переміщень (температур, тисків) та координатних функцій, що визначаються для конкретних типів елементів. Вузлові переміщення (температури, тиски) виступають як узагальнені переміщення, а відповідні їм координатні функції – як локальні носії, які «розносять» вплив вузлових переміщень на область елементів, для яких цей вузол є спільним. Апроксимуючі функції найчастіше всього обираються у вигляді лінійних, квадратичних або кубічних поліномів. Для кожного елемента можна підібрати свій поліном, але поліном підбирається таким чином, щоб зберегти неперервність величини вздовж границь елемента. Локальні носії (функції) – це окремий випадок глобальних (в певній частині всієї області тіла вони мають ненульові значення, а в інших – нульові. Глобальна апроксимація як сума локальних по всій області забезпечує неперервність переміщень (температур, тисків) тільки у вузлових точках всієї області, а по стикових граничних лініях і площинах між елементами ця умова забезпечується лише наближено.

Отже, основна ідея методу скінченних елементів полягає в тому, що будь-яку безперервну величину можна апроксимувати моделлю, що складається з окремих ділянок. На кожній з цих ділянок досліджувана безперервна величина апроксимується частинно-неперервною функцією, яка будується на значеннях досліджуваної безперервної величини в скінченному числі точок даного елемента.

Заміна вихідної конструкції сукупністю дискретних елементів має на увазі рівність енергій конструкції та її дискретної моделі. Для деяких конструкцій виконання енергетичного балансу веде до отримання дискретної моделі, що точно описує поведінку вихідної конструкції. Це характерно для конструкцій, які складаються з окремих елементів з дискретними з'єднаннями між собою: ферми, рами. Якщо ж елементи реальної конструкції мають вздовж своєї границі неперервні зв'язки із суміжними елементами, то при побудові дискретної моделі використовують припущення про характер силової чи кінематичної взаємодії між суміжними елементами. В цьому випадку дискретна модель лише наближено відображає поведінку вихідної конструкції. Важливо вибрати характер взаємодії між елементами так, щоб зменшення розмірів скінченних елементів привело до отримання розв'язку, що прямує до точного.

Сама ідеалізація, що приводе вихідну конструкцію до сукупності скінченних елементів, зв'язаних між собою лише у вузлових точках, вимагає, щоб напружений стан в кожному з елементів однозначно визначався через значення вузлових переміщень (чи вузлових зусиль).

Основна концепція МСЕ – вся модель конструкції розбивається на множину скінченних елементів, з'єднаних між собою у вузлах. Сили прикладаються у вузлах. Скінченний елемент не є абсолютно жорстким.

У деяких випадках конструктивні елементи співпадають із скінченними елементами: ферми, пружини, стержні, балки, системи трубопроводів.

Задача розбивання на скінченні елементи плоских і об'ємних об'єктів неоднозначна. Тут треба спочатку вибрати тип скінченних елементів, що буде найкращим чином апроксимувати досліджувану область. Плоскі скінченні елементи використовуються для моделювання мембран, тонких пластин, тонкостінних оболонок, об'ємні – при дослідженні поля температур, деформацій і напружень в об'ємних тілах.

Є кілька типів скінченних елементів: брус, стержень, тонка пластинка або оболонка, двовимірне або тривимірне тіло. При побудові моделі можуть бути використані кілька типів.

Скінченні елементи можуть бути лінійними (елементи першого порядку), параболічними (елементи другого і третього порядку).

Лінійні елементи мають прямі сторони і вузли лише у вузлах. Функція елемента (апроксимуючий поліном), що відповідає цьому елементу і визначається по значенням функції у вузлових точках елемента, буде лінійною, бо будуватиметься за двома точками.

Параболічні елементи можуть мати проміжний вузол або два проміжні вузли вздовж кожної із сторін. Саме завдяки цьому сторони елемента можуть бути криволінійними. При рівній кількості елементів параболічні елементи дають більшу точність обчислень, бо більш точно відтворюють криволінійну геометрію моделі і мають точніші функції форми (апроксимуючі функції), які будуватимуться за трьома або чотирма точками і будуть поліномами другого і третього ступеня. Однак розрахунок з використанням скінченних елементів високих порядків вимагає більших комп'ютерних ресурсів і більше машинного часу.

Чим менший лінійний розмір скінченного елемента, тим більша кількість елементів у моделі, при цьому час обчислень за експоненціальним законом зростає, а помилка аналізу зменшується. Однак помилка зменшується не до нуля, бо із збільшенням числа елементів накопичуються помилки округлення в ЕОМ.

МСЕ – наближений метод, точність якого залежить від правильності вибору типів і розмірів скінченних елементів. Більш часта розбивка потрібна там, де очікується великий градієнт деформацій або напружень. Дослідник повинен передбачати області концентрації напружень.

2.2. Визначення CAD, САМ і САЕ-систем

Автоматизоване проектування (computer-aided design – CAD) представляє собою технологію, що полягає в використанні комп'ютерних систем для полегшення створення, зміни, аналізу і оптимізації графічних проектів. Таким чином, будь-яка програма, що працює з комп'ютерною графікою, так само як і будь-який додаток, що використовується в інженерних розрахунках, відноситься до систем автоматизованого проектування. Іншими словами, більшість засобів CAD можуть представляти собою від геометричних програм для роботи з формами до спеціалізованих додатків для аналізу і оптимізації. Між цими крайностями містяться програми для аналізу допусків, розрахунків мас-інерційних властивостей, моделювання методом скінченних елементів і візуалізація результатів аналізу.

Основна функція CAD – це визначення геометрії конструкції (деталі механізму, архітектурні елементи, електроні схеми, плани будинків та ін.), так як геометрія визначає всі наступні етапи життєвого циклу продукту. Для цієї мети використовуються системи розробки робочих креслень і геометричного моделювання. Крім того, геометрія, яка визначена в цих системах, може використовуватися в якості основи для подальших операцій в системах САЕ і САМ. Це одна з найбільш значних переваг CAD, що дозволяє економити час і скорочувати кількість помилок, які пов'язані з необхідністю визначати геометрію конструкції з нуля кожний раз, коли вона необхідна в розрахунках. Можна стверджувати, що системи автоматизованої розробки робочих креслень і системи геометричного моделювання являються найбільш важливими компонентами автоматизованого проектування.

Автоматизоване виробництво (computer-aided manufacturing – САМ) – це технологія, що полягає в використанні комп'ютерних систем для планування, управління і контролю операцій виробництва через прямий або непрямий інтерфейс з виробничими ресурсами підприємства. Одним з найбільш поширених підходів до автоматизації виробництва є числове програмне управління (ЧПУ, numerical control – NC). ЧПУ полягає у використанні запрограмованих команд для управління станком, який може шліфувати, різати, фрезерувати, штампувати, згинати та іншими способами перетворювати заготовки в готові деталі. В наш час комп'ютер може генерувати більше програм для станків з ЧПУ на основі геометричних параметрів виробів з бази даних CAD і додаткових відомостей, що надаються оператором. В цьому випадку скорочується необхідність втручання оператора.

Ще одна важлива функція систем автоматизованого виробництва – програмування роботів, які можуть працювати на гнучких автоматизованих ділянках, вибираючи і встановлюючи інструменти і деталі, що обробляються на станках з ЧПУ. Роботи можуть також виконувати свої власні задачі, наприклад займатися зваркою, збіркою і переносом обладнання і деталей по цеху.

Планування процесів також поступово автоматизується. План процесів може визначати послідовність операцій по виготовленню пристроїв від початку і до кінця на всьому необхідному обладнанні. Хоча повністю автоматизувати планування процесів практично неможливо, план обробки конкретної деталі може бути сформульований автоматично, якщо вже є плани обробки аналогічних деталей. Для цього була розроблена технологія групування, що дозволяє об'єднувати схожі деталі в сімейства. Деталі вважаються подібними, якщо вони мають загальні виробничі особливості (гнізда, пази, фаски, отвори та ін.). Для автоматичного знаходження подібності деталей необхідно, щоб база даних СAD містила відомості про такі особливості. Ця задача здійснюється за допомогою об'єктно-орієнтованого моделювання або розпізнавання елементів.

Ще комп'ютер може використовуватися для того, щоб виявляти необхідність замовлення вихідних матеріалів і деталей, а також визначати їх кількість виходячи з графіка виробництва. Називається така діяльність плануванням технічних вимог до матеріалу. Комп'ютер може також використовуватись для контролю стану станків в цеху і відправки їм відповідних завдань.

Автоматизоване конструювання (computer-aided engineering – САЕ) – це технологія, що полягає в використанні комп'ютерних систем для аналізу геометрії CAD, моделювання і вивчення поведінки продукту для удосконалення і оптимізації його конструкції.

CAE – загальна назва для програм і програмних пакетів, призначених для розв'язування різних інженерних задач: розрахунків, аналізу і симуляції фізичних процесів. Використання CAE-системи дає змогу оцінити, як поведе себе комп'ютерна модель виробу в реальних умовах експлуатації; перевірити працездатність конструкції без значних затрат часу і коштів.

Розрахункова частина пакетів частіше всього основана на чисельних методах розв'язування диференціальних рівнянь (метод скінченних елементів, метод скінченних об'ємів, метод скінченних різниць, тощо).

Сучасні системи автоматизації інженерних розрахунків (CAE) застосовують сумісно з CAD-системами (часто інтегруються в них, у цьому випадку отримуються гібридні CAD/CAE-системи).

Найбільш широке застосування в конструюванні має метод скінченних елементів (finite-element method – FEM). За його допомогою розраховуються потужність, деформації, теплообмін, розподілення магнітного поля, потоки рідини та інші задачі, розв'язувати які будь-яким іншим методом непрактично. В методі скінченних елементів аналітична модель структури представляє собою з'єднання елементів, завдяки чому вона розбивається на окремі частини, які вже можуть оброблятися комп'ютером.

Перевагами методів аналізу і оптимізації конструкцій полягає в тому, що вони дозволяють конструктору побачити поведінку кінцевого продукту і виявити можливі помилки до створення і тестування реальних прототипів. Так як вартість конструювання на останніх стадіях розробки і виробництва продукту зростає, рання оптимізація і удосконалення, які можливі завдяки аналітичним засобам САЕ, компенсуються значним зниженням термінів і вартості розробки.

Таким чином, технології CAD, САМ і САЕ полягають в автоматизації і підвищенні ефективності конкретних стадій життєвого циклу продукту. Розвиваючись незалежно, ці системи ще не до кінця реалізували потенціал інтеграції проектування і виробництва. Для рішення цієї проблеми була запропонована нова технологія, яка називається комп'ютеризованим інтегрованим виробництвом (computer-integrated manufacturing – CIM). CІM намагається з'єднати автоматизації разом і перетворити їх в безперебійно і ефективно працюючу систему. CIM має на увазі використання комп'ютерної бази даних для більш ефективного управління всім підприємством, в тому числі бухгалтерією, плануванням, доставкою та іншими задачами, а не тільки проектуванням і виробництвом, які охоплюються системами CAD, САМ і САЕ. CIM часто називають філософією бізнесу, а не комп'ютерною системою.

Історію розвитку ринку CAD/CAM/CAE-систем можна досить умовно розбити на три основні етапи, кожний з яких тривав, приблизно, по 10 років.

Перший етап почався в 1970 роки. В ході його був отриманий ряд науково-практичних результатів, що доводять принципову можливість проектування складних промислових виробів. Під час другого етапу (1980-і) з'явились і почали швидко поширюватись CAD/CAM/CAE-системи масового застосування. Третій етап розвитку ринка (з 1990-х років до теперішнього часу) характеризується удосконаленням функціональності CAD/CAM/CAE-систем і їх подальшим розповсюдженням у високотехнологічних виробництвах (де вони краще всього продемонстрували свою ефективність).

В російській мові для CAD/CAM/CAE-систем існує загальна назва САПР (системи автоматизованого проектування та розрахунку).

2.3. Огляд програми Femap.

CAE (computer-aided engineering) – загальна назва для програм і програмних пакетів, призначених для розв'язування різних інженерних задач: розрахунків, аналізу і симуляції фізичних процесів. Використання CAE-системи дає змогу оцінити, як поведе себе комп'ютерна модель виробу в реальних умовах експлуатації; перевірити працездатність конструкції без значних затрат часу і коштів.

Переваги використання САЕ-програм полягають в тому, що вони дозволяють конструктору побачити поведінку кінцевого продукту і виявити можливі помилки до створення і тестування реальних прототипів. Так як вартість конструювання на останніх стадіях розробки і виробництва продукту зростає, рання оптимізація і удосконалення, які можливі завдяки аналітичним засобам, окупаються значним зниженням термінів і вартості розробки.

Історію розвитку ринку CAE-систем можна досить умовно розбити на три основні етапи, кожний з яких тривав, приблизно, по 10 років.

Перший етап почався в 1970 роки. В ході його був отриманий ряд науково-практичних результатів, довівших принципову можливість проектування складних промислових виробів. Під час другого етапу (1980-і) з'явились і почали швидко поширюватись CAE-системи масового застосування. Третій етап розвитку ринка (з 1990-х років до теперішнього часу) характеризується удосконаленням функціональності CAE-систем і їх подальшим розповсюдженням у високотехнологічних виробництвах.

Однією з CAE-систем є Femap – незалежний від САПР (системи автоматизованого проектування та розрахунку) пре- і постпроцесор від Siemens PLM Software для проведення інженерного аналізу методом скінчених елементів (МСЕ). Femap є сполучною ланкою між користувачем і розвязувачем – ядром, що здійснює обчислення в задачах інженерного аналізу. Система Femap, інтегрована з розвязувачем NX Nastran, працює на базі Microsoft Windows, входить у лінію продуктів Velocity Series і є незалежним повнофункціональним середовищем для моделювання, імітації та оцінки результатів аналізу характеристик виробу.

Nastran розшифровується як NASA STRuctural ANalysis. Історія створення системи інженерного аналізу Nastran починається з початку 70-х років ХХ сторіччя. Вона була розроблена Національним агентством з аеронавтики і дослідження космічного простору США (NASA) спеціально для проведення аналізу і проектування засобів виведення «Сатурн-5». Випуск першої комерційної версії системи відбувся в 1972 році.

Система Femap на базі розв'язувача NX Nastran дозволяє: проводити аналіз динаміки та міцності конструкцій, машин і споруд, отримувати розв'язок нестаціонарних нелінійних просторових задач, задач механіки композитів і композитних структур, будівельної та технологічної механіки, проводити аналіз теплопереносу, отримувати розв'язок задач механіки рідини і газу.

Базові модулі Femap з NX Nastran дозволяють проводити основні види інженерного аналізу, такі як лінійний статичний аналіз, аналіз частот і форм вільних коливань, аналіз втрати стійкості конструкцій, аналіз задач стаціонарного та нестаціонарного теплообміну, базові можливості нелінійного аналізу. Базовий нелінійний аналіз включає облік таких нелінійностей, як геометрична (великі деформації, переміщення) і фізична (облік нелінійних матеріалів – пластичності, повзучості, в'язкопружності), облік контактної взаємодії при малих переміщеннях – «лінійний» контакт, облік контакту з умовою суцільності. Розширений нелінійний модуль (Advanced Nonlinear) використовується при аналізі великих нелінійностей (в тому числі деформування, облік просторового контактної взаємодії), поєднанні різних видів нелінійностей, а також при моделюванні та розрахунку швидкопротікаючих нелінійних динамічних процесів на основі явної схеми інтегрування. Femap включає три додаткових модуля: Femap Flow Solver – дозволяє здійснювати аналіз гідро- та газодинаміки; Femap Advanced Thermal Solver – надає набір можливостей для аналізу тепломасопереносу, включаючи моделювання конвекції і аналіз гідро-, газодинамічних потоків; Femap Thermal Solver – розв'язування для температурного аналізу та аналізу теплопереносу.

Femap використовується фахівцями проектних організацій для моделювання складних конструкцій, систем і процесів, таких як, супутники, літаки, електронна апаратура військового призначення, важке будівельне обладнання, підйомні крани, морський транспорт і технологічне обладнання. Femap забезпечує розв'язування складних задач інженерного аналізу в різних галузях, наприклад, таких як авіаційно-космічна, вертольотобудування, оборонна промисловість і суднобудування.

2.4. Розрахунок динамічних характеристик програмою Femap.

В сучасній техніці суттєву роль відіграють коливальні рухи з малими амплітудами і швидкостями або, як їх називають, малі коливання механічних систем.

Виникають ці коливання наступним чином. Всі тверді тіла, з якими приходиться мати справу в техніці, мають в тій чи іншій мірі властивість пружності, і це приводить до того, що частинки тіла, яке підлягає деформуванню, починають здійснювати малі коливальні рухи навколо положення рівноваги. Подібно тому, як здійснює коливальні рухи точка під дією пружної сили. Ці коливання тіл чи механічних систем звичайно називають пружними малими коливаннями.

Малі коливання широко поширені в самих різних областях техніки. В машинобудуванні, наприклад, широко поширені коливання колінчастих валів різних двигунів і коливання валів різних турбін. В будівництві широко поширені малі коливання стін споруд фундаментів машин, мостів і підйомних кранів. Малі коливання локомотивів, автомобілів, кораблів та літаків вказують на широке поширення малих коливань у транспортних машинах.

В ряді випадків пружні малі коливання затухають під дією сил опору. В ряді випадків пружні малі коливання підтримуються періодичними силами, що діють на систему. А інколи малі коливання при наявності вимушуючих сил викликають руйнування системи. Це явище резонанса, яке полягає в раптовому збільшення амплітуд коливань за умови спів падання частот власних та вимушуючої сили.

Однією з найважливіших задач сучасної техніки є вивчення власних частот малих коливань з метою попередження і уникнення можливого руйнування конструкції.

Власними (або вільними) є коливання, які здійснює механічна система, отримавши поштовх або після виведення з положення рівноваги.

Розглядаючи коливальні рухи конкретно тих чи інших механізмів або конструкцій, можна в ряді випадків вважати, що вони складені з частин, що є абсолютно твердими тілами. В цьому випадку механізм можна розглядати як систему із скінченим числом степенів вільності, а його вібрації – як малі коливання механічної системи з скінченим числом ступенів вільності. Розв'язування поставленої задачі отримується в загальному випадку в скінченій формі, а це дозволяє дослідити характер руху системи незалежно від конкретних властивостей системи і конкретного характера сил, що діють на неї.

Кількість власних частот відповідає кількості ступенів вільності системи. У випадку невеликого числа ступенів вільності знаходження власних частот можливе із залученням принципів чи методів теоретичної механіки, але у випадку великого числа ступенів вільності аналітичне розв'язування вручну виявляється важким.

Метод скінченних елементів і чисельні алгоритми розв'язування динамічних задач, реалізовані в MSC. Nastran, дозволяють досліджувати досить широке коло прикладних проблем динаміки. Важливою перевагою методу скінченних елементів є однотипність рівнянь для різних видів конструкцій. Рівняння динаміки при малих зміщеннях точок тіл в цьому випадку мають вигляд

, (2.1)

де  – матриця мас конструкції; – матриця коефіцієнтів сил в'язкого демпфування (пропорційні швидкостям вузлових зміщень);  – матриця жорсткості;  – вектор вузлових сил, як функція часу;  – вектор вузлових зміщень; точкою і двома точками над  в рівняння позначені перша та друга її похідні по часу відповідно.

При встановленні власних частот та форм коливань розглядається нетривіальний розв'язок рівняння (2.1) за відсутності зовнішніх впливів і змінних кінематичних граничних умов, тобто рівняння

. (2.2)

У випадку відсутності демпфування маємо рівняння

, (2.3)

розв'язок якого можна шукати у вигляді

, (2.4)

де  – вектор амплітудних значень вузлових переміщень;  – колова частота,  – фаза коливань. Після прямої підстановки (2.4) у (2.3) та скорочення на  отримаємо систему алгебраїчних рівнянь:

, (2.5)

У цієї системі ненульові значення компонентів  можливі лише при умові, що

. (2.6)

Якщо квадратні матриці  та  – додатно визначені (звичайно для задачі лінійної пружності), то рівняння (2.6) має  додатних розв'язків – власних частот , причому можливі парні значення (тут  – кількість невідомих у системі алгебраїчних рівнянь (2.5)).

При виконанні умови (2.6) одне з рівнянь (2.5), хоча б, є наслідком останніх. Тому кожному значенню  відповідає певне співвідношення між амплітудами . Іншими словами всі амплітуди вектора можуть бути виражені через одну з них. Співвідношення між амплітудами  визначають -ту власну форму коливань.

З рівняння (2.4) слідує, що всі ступені вільності в процесі коливань з власною частотою  здійснюють синхронний рух. Таким чином, конфігурація конструкції не змінює своєї базової форми, а змінюються тільки амплітуди.

Маючи  значень власних частот , розв'язок системи (2.5) можна шукати у вигляді лінійної комбінації з  виразів (2.4):

. (2.7)

Тобто зміна форми лінійної пружної конструкції з часом, коли вона коливається вільно або здійснює вимушені коливання, є лінійною комбінацією всіх її власних форм.

Оскільки значення компонентів власних векторів  можуть бути знайдені не однозначно, а з точністю до постійного множника, то звичайно їх нормують за правилом:

. (2.8)

Доведено, що власні вектори  ортогональні відносно матриць  та , тобто

, , . (2.9)

З фізичної точки зору -ортогональність власних форм означає, що вони є унікальними, і ни одна з них не може бути отримана лінійною комбінацією інших.

Ще можна відзначити, що звичайно шукаються не всі корні рівняння (2.6), а декілька (позначимо як ) найменших значень, оскільки тільки при нижчих власних частотах амплітуди коливань мають відносно великі значення. Інакше кажучи, декілька перших власних частот та форм коливань достатньо для отримання задовільного наближення розв'язку (2.7).

Nastran для визначення власних форм і частот коливань, якщо дисипація енергії та демпфування не враховується, використовує, як основний, метод Ланцоша (Lanczos), що потребує менших ресурсів (часу обчислень і вільної пам'яті на жорсткому диску порівняно з іншими методами. Метод Ланцоша [3] дозволяє визначати n-у кількість потрібних власних значень частот і форм із заданою точністю. Чим більша кількість власних пар частот треба визначити, тим більш помітними виявляються переваги цього метода.

Знаходження власних частот і форм коливань зводиться до розв'язування системи алгебраїчних рівнянь:

, (2.10)

де  – власна форма,  – пульсація.

Метод Ланцоша використовує зведення до тридіагональної матриці .

 (2.11)

де  – прямокутна матриця з елементами ,  – число рівнянь,  – номер кроку по Ланцошу,  – j-ий вектор Ланцоша. Вираз

 (2.12)

генерує наступний вектор Ланцоша  і визначає поточний рядок матриці

Таким чином, отримаємо задачу власних значень:

 (2.13)

, де  – j-а апроксимація кругової частоти , ,  – потрібне число власних пар. Алгоритм продовжує обчислення (при збільшенні  – номера кроку процедури Ланцоша) до тих пір, поки не буде досягнута потрібна точність по всім власним значенням, що вимагаються.

Процедура вибіркової ортогоналізації підтримує потрібний рівень ортогоналізації векторів Ланцоша , що забезпечує надійність і стійкість чисельного процеса розрахунку. Використовуються економічні методи для реалізації процедури вибіркової ортогоналізації і для розв'язування редуцированої задачі власних значень (2.13) шляхом застосування подвійних -ітерацій із зсувами.

Вихідні власні вектори визначаються за формулою

 (2.14)


РОЗДІЛ 3. ЧИСЕЛЬНЕ ВИЗНАЧЕННЯ ВЛАСНИХ ЧАСТОТ ТА ФОРМ КОЛИВАНЬ ЕЛІПТИЧНОЇ ЦИЛІНДРИЧНОЇ ОБОЛОНКИ

3.1. Геометрія та скінченно-елементні моделі оболонок

За допомогою Femap спочатку була побудована геометрія еліптичної циліндричної оболонки постійної товщини висотою  та еліптичним перерізом з півосями  та . Модель консольно закріплювалась по нижньому контуру.

В якості ізотропного матеріалу вибиралась сталь 40Х (модуль Юнга , коефіцієнт Пуассона , густина ).

Розбивка проводилась plate-елементами постійної товщини  і вміщує 1400 вузлів та 1344 прямокутних елементів (рис. 3).

 

Рис. 3

Для порівняння було побудовано оболонки такої самої висоти з такими ж граничними умовами, але змінної по контуру перерізу товщини.

Програма FEMAP дозволяє задавати PLATE-елементи із змінною товщиною. Проте застосувати цю властивість для еліптичної оболонки легко вдається лише у випадку змінної товщини по висоті. Задати ж PLATE-елементи змінної товщини для розбивки оболонки змінної по контуру перерізу товщини із забезпеченням еквівалентної маси, із масою оболонки постійної товщини важко. Тому оболонка моделювалась не як поверхня, а як тверде тіло, серединна поверхня якого має такі ж розміри як серединна поверхня оболонки постійної товщини. Для цього спочатку розраховувались півосі еліпсів зовнішніх і внутрішніх поверхонь для оболонки з потовщенням вздовж більшої осі та для оболонки з потовщенням вздовж меншої. Далі створювалась гранична поверхня між відповідною парою еліпсів і екструзією витягувалась на висоту оболонки.

При цьому отримались дві оболонки змінної по контуру перерізу товщини. В одній товщина вздовж великої осі товщина 3мм, вздовж малої осі 1,3мм (рис. 4). В другій товщина вздовж великої осі 1мм, вздовж малої осі 2,73мм (рис. 5). Закріплення отриманих оболонок проводилась теж консольно по поверхні нижнього перерізу.

 

Рис. 4

 

Рис. 5

Розбивка проводилась SOLID восьми вузловими елементами і вміщувала 2800 вузлів і 1344 елементів. Матеріал в усіх випадках задавався один і той самий.

3.2. Аналіз та результати розрахунків

Далі проводився розрахунок частот і форм власних коливань. Для цього вибирався тип аналізу Normal Modes/Eigenvalue розв'язувача Nastran.

Результати порівняння резонансних частот для розглядуваних оболонок представлені у вигляді таблиці 1, де  – кількість вузлів вздовж твірної,  – кількість вузлів вздовж дугової координати.

Таблиця 1

Форма коливань

Оболонка постійної товщини

Оболонка змінної товщини з потовщенням вздовж великої осі

Оболонка змінної товщини з потовщенням вздовж малої осі

m

n

1

4

1715

1831

1602

1

6

2144

2188

1937

1

8

3817

3825

3512

1

10

6078

6038

5599

1

12

8860

8807

8152

2

4

2

6

4485

4437

4478

2

8

4855

4772

4720

2

10

6967

6946

6463

2

12

9563

9510

8847

Згинна

3251

3293

3233

Дихаюча

6866


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27384. Функции текстовых задач 17.29 KB
  Любое математическое задание можно рассматривать как задачу выделив в нем условие т. Функции текстовых задач. Ведущие методисты отмечают что решение текстовых задач в начальной школе преследует двойную цель: с одной стороны – научить решать текстовые задачи различных видов с другой стороны – сами текстовые задачи выступают как средство обучения воспитания и развития школьников.
27385. Математическое развитие младших школьников невозможно без приобщения их к геометрии 19.38 KB
  Эта особенность находит свое выражение и в начальных классах где формирование представлений о геометрических фигурах связано с изучением таких величин как длина и площадь. Основой формирования у детей представлений о геометрических фигурах является способность их к восприятию формы. В развитии представлений о геометрических фигурах учащиеся начальных классов проходят два этапа. Формируя у них целостное представление о геометрических фигурах следует идти от реальных предметов к их моделям геометрическим фигурам и наоборот: от...
27386. Различные подходы к построению урока математики 19.44 KB
  Основные этапы подготовки учителя к уроку математики: общий способ деятельности связанный с планированием урока можно представить в виде следующей последовательности вопросов. Какова функция учебных заданий данного урока обучающая развивающая контролирующая Какие знания умения навыки и приемы умственных действий формируются в процессе их выполнения 5. Какова дидактическая цель данного урока 6.
27387. Анализ и синтез 18.71 KB
  Способность к аналитикосинтетической деятельности находит свое выражение не только в умении выделять элементы того или иного объекта его различные признаки или соединять элементы в единое целое но и в умении включать их в новые связи увидеть их новые функции. Так как работу по формированию у детей логического приема сравнения лучше начать с первых уроков математики то в качестве объектов можно сначала использовать предметы или рисунки с изображением предметов хорошо им знакомых в которых они могут выделить те или иные признаки опираясь...
27388. Методика преподавания русского языка 36 KB
  Как и любая другая наука методика русского языка имеет свой предмет. Методика русского языка призвана изучить закономерности формирования умений и навыков в области языка усвоения систем научных понятий по грамматике и по другим разделам науки о языке. Методика русского языка изучает уровни знаний умений и навыков учащихся на разных ступенях обучения выясняет причины успехов или неудач в обучении исследует типичные ошибки речевые орфографические и пр.
27389. Место курса «Русский язык» в учебном плане 76 KB
  Это обусловлено тем что русский язык является государственным языком Российской Федерации родным языком русского народа средством межнационального общения. Осознание единства звукового состава слова и его значения. Установление числа и последовательности звуков в слове. Сопоставление слов различающихся одним или несколькими звуками.
27390. Коммуникативно-познавательная основа русского языка 80 KB
  Коммуникативный принцип предусматривает: осмысление и реализацию основной функции языка быть средством общения; развитие умения ориентироваться в ситуациях общения понимать цель и результат общения собеседников контролировать и корректировать свою речь в зависимости от ситуации общения; знакомство с различными системами общения устными и письменными речевыми и неречевыми; формирование представления о тексте как результате продукте речевой деятельности; развитие у учащихся желания потребности создавать собственные тексты...
27391. Психолого-педагогические основы методики обучения грамоте 69 KB
  Что же собой представляет метод обучения В литературе существуют различные подходы к определению этого понятия: 1это способ деятельности учителя и учащихся; 2совокупность приемов работы; 3путь по которому учитель ведет учащихся от незнания к знанию; 4 система действий учителя и учащихся и т.Овладение грамотой – первый этап школьного обучения детей в течение которого у них должны быть сформированы начальные навыки чтения и письма. Перекодировка о которой сказано выше является главным предметом методики обучения грамоте поэтому...
27392. В методике выделяют три этапа формирования навыка чтения: аналитический, синтетический и этап автоматизации 48 KB
  Аналитический этап характеризуется тем что все три компонента процесса чтения в деятельности чтеца разорваны и требуют от ребенка отдельных усилий по произведению конкретных операций: увидеть гласную букву соотнести ее со слогомслиянием подумать куда надо причитать буквы вне слияния озвучить каждый увиденный графический слог т. Однако учитель должен помнить что каждому ребенку свойствен свой темп в развитии вообще и в овладении навыком чтения в частности.Синтетический этап предполагает что все три компонента чтения синтезируются т.