21178

Алгебраїчні доповнення. Обчислення детермінантів

Реферат

Математика и математический анализ

Означення алгебраїчного доповнення елементу детермінанта. Такий детермінант називається алгебраїчним доповненням елемента даного детермінанта і позначається як : 6. Детермінант дорівнює сумі добутків елементів будьякого рядка детермінанта на їх алгебраїчні доповнення.3 Доведення: Додамо до кожного елементу mго рядка детермінанта 6.

Украинкский

2013-08-02

341.5 KB

10 чел.

PAGE  47

Алгебраїчні доповнення. Обчислення детермінантів.

8. Алгебраїчні доповнення. Означення алгебраїчного доповнення елементу  детермінанта.

 Нехай маємо детермінант:

. (6.1)

Розглянемо тепер детермінант, який відрізняється від даного тим, що , а решта елементів m-го рядка та k-го стовпця дорівнюють нулю. Такий детермінант називається алгебраїчним доповненням елемента  даного детермінанта і позначається як :

 (6.2)

Приклад: 1)

 Алгебраїчне доповнення елемента  дорівнює 

9. Детермінант дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка детермінанта на їх алгебраїчні доповнення.

 (6.3)

Доведення: Додамо до кожного елементу m-го рядка детермінанта (6.1) (n-1) нулів і скористаємось правилом складання детермінантів:

==

=. (6.4)

В першому детермінанті будемо віднімати -й рядок від останніх, помножених на таке число, щоб у першому стовпці отримати нулі. В результаті в першому стовпці одержимо скрізь нулі, окрім -го рядка, де буде число , яке можна винести за знак детермінанта. Таким же чином поступимо з другим детермінантом по відношенню до другого стовпця і т. д. В результаті будемо мати

== (6.5)

Згідно з правилом транспонування ця властивість розповсюджується і на стовпці

 (6.6)

Формули (6.3) і (6.5) називають формулами розкладення по елементах рядка чи стовпця.

10. Сума добутків елементів k-ого рядка на алгебраїчні доповнення m-го  рядка дорівнює нулю.

Доведення: В рівності

 =  (6.7)

замінимо елементи -го рядка на елементи -го рядка. Оскільки алгебраїчні доповнення елементів -го рядка не залежать від елементів цього рядка, то в рівності (6.7) отримаємо детермінант з двома однаковими рядками:

 =  = 0. (6.8)

Означення. Мінор елемента  є детермінант  порядку, який утворюється з даного детермінанта -го порядка викреслюванням -го рядка і -го стовпця. Будемо позначати його . Не слід плутати його з мінором матриці.

11. Алгебраїчне доповнення елементу  та мінор елементу  зв”язані формулою:

. (6.9)

Доведення. Очевидно, що

 

 

Тепер розглянемо алгебраїчне доповнення . Будемо послідовно переставляти в ньому -ий рядок так, щоб він став на перше місце. При цьому детермінант отримає множник . Аналогічно вчинимо з -тим стовпцем. В результаті будемо мати   =

=  (6.10)

Введення поняття алгебраїчних доповнень і мінорів елементів є окремий випадок більш загальних понять, а саме. Хай  є мінор порядка  квадратної матриці . Мінором , доповняльним до мінора  називається мінором порядка , який утворюється з матриці  шляхом викреслення рядків і стовпців, з яких був складений мінор .

Алгебраїчним доповненням до  називається детермінант

, (6.11)

де  - номери рядів,  - номери стовпців, з яких утворено мінор .

Тоді справедлива теорема Лапласа (Laplace Pierre Simon, 1749-1827, Франція): Хай в матриці вибрано  рядків. Детермінант матриці дорівнює сумі добутків всіх мінорів -го порядку, утворених з цих рядків, на їх алгебраїчні доповнення.

Обчислення детермінантів. На підставі властивостей детермінанта (9) або (11) можна побудувати метод обчислювання детермінантів

, (6.12)

або

, (6.13)

Цим методом дуже широко користуються, бо обчислення детермінантів за означенням в разі високого порядка практично неможливе. Дійсно, для цього треба обчислити  добутків  множників, кожний з яких рівносильний виконанню  попарних множень. Отже для обчислення детермінанта потрібно  попарних множень, які є менш трудомісткою операцією. При  число множень дорівнює , де використана так звана формула Стірлінга (Stirling James, 1692-1770. Шотландія)  для великих чисел .

Метод алгебраїчних доповнень дозволяє замінити обчислення детермінанта -го порядку на обчислення детермінантів  порядку. В свою чергу до цих детермінантів можна знову застосувати це ж правило і таким чином дійти до детермінантів найменшого порядку. Звичайно що кількість детермінантів при цьому зростає. Щоб цього не сталося поєднують властивість розкладення по елементах рядка чи стовпця з властивістю лінійного комбінування рядків чи стовпців детермінанта. Схема алгоритму при цьому виглядає так. Хай треба обчислити детермінант

. (6.14)

Хай . Винесемо з першого рядка  за знак детермінанта

, (6.15)

при цьому потрібно виконати  ділення (ця операція така ж по складності як і множення).

Далі, добавимо до другого рядка перший, помножений на , до третього - перший, помножений на ,і т. д. При цьому потрібно зробити  множень і стільки ж додавань. Одержимо детермінант виду

. (6.16)

Для цього потрібно  множень і ділень та  додавань.

Тепер розкладення по елементах першого стовпця звело задачу до обчислення одного детермінанта  порядку, і цей процес можна продовжити далі. Всього для переходу до детермінанта першого порядку, тобто до числа, потрібно  множень та ділень і  додавань.

Після цього одержане число потрібно помножити на  множників, що виносились за знак детермінанта, тобто ще  множень. Всього при  потрібно  множень та ділень і  додавань. Для сучасних ЕОМ це нескладна задача. Практично, беруть не елемент в лівому верхньому куті детермінанта, бо він може бути близький до нуля, а це дуже знижує точність обчислень, а так званий ведучий елемент - найбільший в рядку чи у всій матриці.

Приклад 1. Знайти детермінант верхньої трикутної матриці

,

де послідовно проводиться розкладення по першому стовпцю.

Приклад 2. Обчислити

.

 Добавимо до всіх рядків перший, помножений на .

.

Приклад 3. Обчислити детермінант -го порядку

 

Прибавимо всі рядки до першого

.

Віднімемо перший рядок з останніх

.

Приклад 4. Обчислити

.

Прибавимо до останнього рядка всі попередні

.

Віднімемо з останнього стовпця передостанній, з передостаннього попередній і т.д.

,

де проведене розкладення по останньому рядку. Тепер віднімемо перший рядок з отанніх

.

Розкладення по останньому стовпцю дасть

 

.

Приклад 5. Обчислити детермінант Вендермонда.

 

Віднімемо з кожного стовпця попередній, помножений на

 

=,

де використано розкладення по першому рядку.

В результаті одержимо детермінант такого ж виду, з яким можна проробити ті ж операції. В результаті маємо

.

Контрольні питання.

1. Дайте означення алгебраїчного доповнення елемента детермінанта.

2. Сформулюйте правило розкладення детермінанта по рядку або стовпцю.

3. Дайте означення мінора елемента детермінанта.

4. Дайте оцінку кількості операцій при обчисленні детермінанта.

5. Чому дорівнює детермінант Вандермонда?

PAGE  

PAGE  47


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37632. Операционная система WINDOWS 33.63 KB
  Смоленске Кафедра информатики Отчет По лабораторной работе № 2 Тема: Операционная система WINDOWS По курсу: Экономическая информатика Студент: Скобелева М. Смоленск 2011 Теоретическое введение Терминология Windows Файл ответов файл содержащий ответы для набора диалоговых окон графического интерфейса пользователя. Файл ответов для программы установки Windows обычно имеет имя Unttend. Файл ответов можно создавать и изменять с помощью диспетчера установки...
37633. Основы работы в Norton Commander 25.44 KB
  CTRLO гасит восстанавливает окна CTRLP гасит восстанавливает неактивное окно CTRLU меняет окна местами CTRLL вызов отмена справки и состоянии диска CTRLENTER копирует в командную строку имя на котором стоит курсор Чтобы войти в выбранный каталог достаточно поставить на него курсор и нажать ENTER или CTRL PgDn. Для выхода из каталога необходимо установить курсор на каталог две точки клавишей Home и нажать Enter. Для перехода в корневой каталог необходимо нажать CTRL†â€. Установить курсор в нужное окно и нажать F7...
37634. Засоби механізації для переміщеня вагонів 227.61 KB
  Під час розвантаження навалочних вантажів з вагонів часто виникає необхідність переміщення їх вздовж розвантажувальних фронтів. Переміщення вагонів можливе за допомогою: малої механізації маневрові ломиручні лебідки; маневрових локомотивів; механічного приводу електричні лебідки маневрові тягачі спеціальні маневрові прилади. Маневрові пристрої застосовуються для переміщення вагонів вздовж розвантажувальних фронтів взамін на локомотиви застосування яких недоцільне при обмежених вантажопотоках.
37635. Ввести массив A(n) 105.45 KB
  Отдельная ячейка данных массива называется элементом массива. Элементами массива могут быть данные любого типа. В зависимости от количества измерений массивы делятся на одномерные массивы двумерные массивы трёхмерные массивы и так далее до nмерного массива. Одномерный массив массив с одним параметром характеризующим количество элементов одномерного массива.
37638. Табличный процессор MS EXCEL. Абсолютная и относительная ссылка. Создание диаграмм 67.17 KB
  Отчет По лабораторной работе № 10 Тема: Табличный процессор MS EXCEL. Цель работы научиться создавать таблицу средствами MSEXCEL создавать расчетные формулы с использованием относительных и абсолютных ссылок использовать мастер функций для построения формул в MSEXCEL форматировать таблицу создавать графики и диаграммы средствами MSEXCEL форматировать и редактировать графики и диаграммы по необходимым параметрам. Особенность копирования формул в Excel программа копирует формулы таким...
37639. Тeоретично-eксперементальні дослідження роботи моделі люлькового конвеєра 43.63 KB
  Мета лабораторної роботи: ознайомитись з будовою і принципом дії моделі люльковою конвеєра механізованого стелажу; визначити основні геометричні параметри по моделі згідно з рис. дані занести в таблицю; визначити теоретичним і експериментальним шляхом продуктивність моделі; співставити теоретичну і експериментальну продуктивність моделі. 1 3 4 2 5 6 8 7 Двигун Втулковопальцева муфта Червячний редуктор Карданний вал Проміжна зірочка приводу моделі Проміжна ланцюгова передача Привідний вал моделі Люлька...
37640. Основы работы в MS-DOS 27.41 KB
  В современных ОС Windows для работы с командами DOS используется командная строка, которую можно вызвать: Пуск/выполнить, в окне диалога ввести cmd и нажать ОК. Другой способ вызова командной строки – Пуск/Программы/Стандартные/Командная строка.