21178

Алгебраїчні доповнення. Обчислення детермінантів

Реферат

Математика и математический анализ

Означення алгебраїчного доповнення елементу детермінанта. Такий детермінант називається алгебраїчним доповненням елемента даного детермінанта і позначається як : 6. Детермінант дорівнює сумі добутків елементів будьякого рядка детермінанта на їх алгебраїчні доповнення.3 Доведення: Додамо до кожного елементу mго рядка детермінанта 6.

Украинкский

2013-08-02

341.5 KB

10 чел.

PAGE  47

Алгебраїчні доповнення. Обчислення детермінантів.

8. Алгебраїчні доповнення. Означення алгебраїчного доповнення елементу  детермінанта.

 Нехай маємо детермінант:

. (6.1)

Розглянемо тепер детермінант, який відрізняється від даного тим, що , а решта елементів m-го рядка та k-го стовпця дорівнюють нулю. Такий детермінант називається алгебраїчним доповненням елемента  даного детермінанта і позначається як :

 (6.2)

Приклад: 1)

 Алгебраїчне доповнення елемента  дорівнює 

9. Детермінант дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка детермінанта на їх алгебраїчні доповнення.

 (6.3)

Доведення: Додамо до кожного елементу m-го рядка детермінанта (6.1) (n-1) нулів і скористаємось правилом складання детермінантів:

==

=. (6.4)

В першому детермінанті будемо віднімати -й рядок від останніх, помножених на таке число, щоб у першому стовпці отримати нулі. В результаті в першому стовпці одержимо скрізь нулі, окрім -го рядка, де буде число , яке можна винести за знак детермінанта. Таким же чином поступимо з другим детермінантом по відношенню до другого стовпця і т. д. В результаті будемо мати

== (6.5)

Згідно з правилом транспонування ця властивість розповсюджується і на стовпці

 (6.6)

Формули (6.3) і (6.5) називають формулами розкладення по елементах рядка чи стовпця.

10. Сума добутків елементів k-ого рядка на алгебраїчні доповнення m-го  рядка дорівнює нулю.

Доведення: В рівності

 =  (6.7)

замінимо елементи -го рядка на елементи -го рядка. Оскільки алгебраїчні доповнення елементів -го рядка не залежать від елементів цього рядка, то в рівності (6.7) отримаємо детермінант з двома однаковими рядками:

 =  = 0. (6.8)

Означення. Мінор елемента  є детермінант  порядку, який утворюється з даного детермінанта -го порядка викреслюванням -го рядка і -го стовпця. Будемо позначати його . Не слід плутати його з мінором матриці.

11. Алгебраїчне доповнення елементу  та мінор елементу  зв”язані формулою:

. (6.9)

Доведення. Очевидно, що

 

 

Тепер розглянемо алгебраїчне доповнення . Будемо послідовно переставляти в ньому -ий рядок так, щоб він став на перше місце. При цьому детермінант отримає множник . Аналогічно вчинимо з -тим стовпцем. В результаті будемо мати   =

=  (6.10)

Введення поняття алгебраїчних доповнень і мінорів елементів є окремий випадок більш загальних понять, а саме. Хай  є мінор порядка  квадратної матриці . Мінором , доповняльним до мінора  називається мінором порядка , який утворюється з матриці  шляхом викреслення рядків і стовпців, з яких був складений мінор .

Алгебраїчним доповненням до  називається детермінант

, (6.11)

де  - номери рядів,  - номери стовпців, з яких утворено мінор .

Тоді справедлива теорема Лапласа (Laplace Pierre Simon, 1749-1827, Франція): Хай в матриці вибрано  рядків. Детермінант матриці дорівнює сумі добутків всіх мінорів -го порядку, утворених з цих рядків, на їх алгебраїчні доповнення.

Обчислення детермінантів. На підставі властивостей детермінанта (9) або (11) можна побудувати метод обчислювання детермінантів

, (6.12)

або

, (6.13)

Цим методом дуже широко користуються, бо обчислення детермінантів за означенням в разі високого порядка практично неможливе. Дійсно, для цього треба обчислити  добутків  множників, кожний з яких рівносильний виконанню  попарних множень. Отже для обчислення детермінанта потрібно  попарних множень, які є менш трудомісткою операцією. При  число множень дорівнює , де використана так звана формула Стірлінга (Stirling James, 1692-1770. Шотландія)  для великих чисел .

Метод алгебраїчних доповнень дозволяє замінити обчислення детермінанта -го порядку на обчислення детермінантів  порядку. В свою чергу до цих детермінантів можна знову застосувати це ж правило і таким чином дійти до детермінантів найменшого порядку. Звичайно що кількість детермінантів при цьому зростає. Щоб цього не сталося поєднують властивість розкладення по елементах рядка чи стовпця з властивістю лінійного комбінування рядків чи стовпців детермінанта. Схема алгоритму при цьому виглядає так. Хай треба обчислити детермінант

. (6.14)

Хай . Винесемо з першого рядка  за знак детермінанта

, (6.15)

при цьому потрібно виконати  ділення (ця операція така ж по складності як і множення).

Далі, добавимо до другого рядка перший, помножений на , до третього - перший, помножений на ,і т. д. При цьому потрібно зробити  множень і стільки ж додавань. Одержимо детермінант виду

. (6.16)

Для цього потрібно  множень і ділень та  додавань.

Тепер розкладення по елементах першого стовпця звело задачу до обчислення одного детермінанта  порядку, і цей процес можна продовжити далі. Всього для переходу до детермінанта першого порядку, тобто до числа, потрібно  множень та ділень і  додавань.

Після цього одержане число потрібно помножити на  множників, що виносились за знак детермінанта, тобто ще  множень. Всього при  потрібно  множень та ділень і  додавань. Для сучасних ЕОМ це нескладна задача. Практично, беруть не елемент в лівому верхньому куті детермінанта, бо він може бути близький до нуля, а це дуже знижує точність обчислень, а так званий ведучий елемент - найбільший в рядку чи у всій матриці.

Приклад 1. Знайти детермінант верхньої трикутної матриці

,

де послідовно проводиться розкладення по першому стовпцю.

Приклад 2. Обчислити

.

 Добавимо до всіх рядків перший, помножений на .

.

Приклад 3. Обчислити детермінант -го порядку

 

Прибавимо всі рядки до першого

.

Віднімемо перший рядок з останніх

.

Приклад 4. Обчислити

.

Прибавимо до останнього рядка всі попередні

.

Віднімемо з останнього стовпця передостанній, з передостаннього попередній і т.д.

,

де проведене розкладення по останньому рядку. Тепер віднімемо перший рядок з отанніх

.

Розкладення по останньому стовпцю дасть

 

.

Приклад 5. Обчислити детермінант Вендермонда.

 

Віднімемо з кожного стовпця попередній, помножений на

 

=,

де використано розкладення по першому рядку.

В результаті одержимо детермінант такого ж виду, з яким можна проробити ті ж операції. В результаті маємо

.

Контрольні питання.

1. Дайте означення алгебраїчного доповнення елемента детермінанта.

2. Сформулюйте правило розкладення детермінанта по рядку або стовпцю.

3. Дайте означення мінора елемента детермінанта.

4. Дайте оцінку кількості операцій при обчисленні детермінанта.

5. Чому дорівнює детермінант Вандермонда?

PAGE  

PAGE  47


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40559. КОРПОРАТИВНЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ 19.36 MB
  Рассматриваются современные технологии корпоративной сети как транспортной подсистемы КИС принципы построения сетей основное сетевое оборудование протоколы прикладного уровня варианты технической реализации корпоративных подключений а также возможности и функциональный состав подсистемы интеллектуального здания. Корпоративная сеть является ключевым элементом КИС и поэтому она должна удовлетворять следующим важным требованиям: надежность является одним из факторов определяющих непрерывность деятельности организации;...
40560. Разработка и эксплуатация автоматизированных информационных систем 1.52 MB
  Козлова Методические рекомендации по выполнению курсового проекта по дисциплине: Разработка и эксплуатацияавтоматизированных информационных систем для специальности: Автоматизированные системы обработки информации и управления Самара 2011 Содержание [1] 1. Структура курсового проекта [2.2 Структура глав проекта основная часть0 [3] 3. Требования по оформлению курсового проекта [3.
40561. Факторный Анализ 35.5 KB
  Основной задачей лабораторной работы является выделение наиболее показательных системных счётчиков которые косвенно могут давать нам информацию об остальных параметрах системы Теоретическая часть: Факторный анализ совокупность методов многомерного статистического анализа применяемых для изучения взаимосвязей между значениями переменных. Цели факторного анализа: сокращение числа переменных; определение взаимосвязей между переменными их классификация. Методики факторного анализа: Анализ главных компонент.
40562. Деревья решений 263 KB
  Известно что обучающий контент делится на несколько категорий по виду аудитории пользователей. В данном случае для исследования аудитории пользователей была взята статистика Портала на 1000 человек. Категории пользователей: По возрасту: Младше 18 лет 651; Старше 18 лет 349; По виду учебного заведения: Из пользователей младше 18 лет учащимися школы являются 721; Из пользователей младше 18 лет учащимися ССУЗов являются 279; Из пользователей старше 18 лет учащиеся ССУЗов 72; Из пользователей старше 18 лет студенты ВУЗов...
40563. Деревья решений. Принятие решений 500 KB
  Экспертные системы класс близкий к системам поддержки принятия решений которые представляют собой компьютерные автоматизированные системы целью которых является помощь людям принимающим решение в каких-либо определенных условиях для полного и объективного анализа предметной деятельности. Теория принятия решений область исследования включающая в себя понятия и методы математики статистики экономики менеджмента и психологии которая изучает закономерности выбора людьми путей решения разного рода задач а также исследует способы...
40564. Компоновка поперечной рамы здания 1.2 MB
  Расстояние от оси подкрановой балки до оси колоны l1B1hBa75 B1 размер части кранового моста выступающей за ось рельса 75мм зазор между краном и колонной l1300100050075=875 мм l1 должен быть кратным 250 мм значит l1=1000 мм Высота сечения нижней части колонны hH=l1a hH= 1000500=1500 мм Пролёт мостового крана lк =l 2 l1 =3600021000=34000 Сечения верхней части колонны назначаем сплошно стенчатым двутавровым нижней сквозным. Вертикальные усилия от мостового крана Расчётное давление на...
40565. Расчёт пространственного одноэтажного промышленного здания 1.31 MB
  Расстояние от оси подкрановой балки до оси колоны l1B1hBa75 B1 размер части кранового моста выступающей за ось рельса 75мм зазор между краном и колонной l1300100050075=875 мм l1 должен быть кратным 250 мм значит l1=1000 мм Высота сечения нижней части колонны hH=l1a hH= 1000500=1500 мм Пролёт мостового крана lк =l 2 l1 =3000021000=28000 Сечения верхней части колонны назначаем сплошного сечения двутавровым нижней сквозным.8 Тип фермы Пролет фермы L = 300 м Высота фермы H = 315 м Количество панелей верхнего пояса 10...
40567. Качество ПО 586.5 KB
  Эффективность Ошибки анализа необходимого количества ресурсов обычно проявляются только в определенных ситуациях Задачи обеспечения качества Обеспечение качества Измерение оценка качества программы Применение методов повышения качества Повышение качества Обнаружение ошибок и неудовлетворительных мест в программе Исправление ошибок и другие изменения программы Необходимость оценки качества Контроль текущего прогресса Оценка эффективности затрат на повышение качества Выбор наиболее эффективных методов повышения качества Основа...