21178

Алгебраїчні доповнення. Обчислення детермінантів

Реферат

Математика и математический анализ

Означення алгебраїчного доповнення елементу детермінанта. Такий детермінант називається алгебраїчним доповненням елемента даного детермінанта і позначається як : 6. Детермінант дорівнює сумі добутків елементів будьякого рядка детермінанта на їх алгебраїчні доповнення.3 Доведення: Додамо до кожного елементу mго рядка детермінанта 6.

Украинкский

2013-08-02

341.5 KB

10 чел.

PAGE  47

Алгебраїчні доповнення. Обчислення детермінантів.

8. Алгебраїчні доповнення. Означення алгебраїчного доповнення елементу  детермінанта.

 Нехай маємо детермінант:

. (6.1)

Розглянемо тепер детермінант, який відрізняється від даного тим, що , а решта елементів m-го рядка та k-го стовпця дорівнюють нулю. Такий детермінант називається алгебраїчним доповненням елемента  даного детермінанта і позначається як :

 (6.2)

Приклад: 1)

 Алгебраїчне доповнення елемента  дорівнює 

9. Детермінант дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка детермінанта на їх алгебраїчні доповнення.

 (6.3)

Доведення: Додамо до кожного елементу m-го рядка детермінанта (6.1) (n-1) нулів і скористаємось правилом складання детермінантів:

==

=. (6.4)

В першому детермінанті будемо віднімати -й рядок від останніх, помножених на таке число, щоб у першому стовпці отримати нулі. В результаті в першому стовпці одержимо скрізь нулі, окрім -го рядка, де буде число , яке можна винести за знак детермінанта. Таким же чином поступимо з другим детермінантом по відношенню до другого стовпця і т. д. В результаті будемо мати

== (6.5)

Згідно з правилом транспонування ця властивість розповсюджується і на стовпці

 (6.6)

Формули (6.3) і (6.5) називають формулами розкладення по елементах рядка чи стовпця.

10. Сума добутків елементів k-ого рядка на алгебраїчні доповнення m-го  рядка дорівнює нулю.

Доведення: В рівності

 =  (6.7)

замінимо елементи -го рядка на елементи -го рядка. Оскільки алгебраїчні доповнення елементів -го рядка не залежать від елементів цього рядка, то в рівності (6.7) отримаємо детермінант з двома однаковими рядками:

 =  = 0. (6.8)

Означення. Мінор елемента  є детермінант  порядку, який утворюється з даного детермінанта -го порядка викреслюванням -го рядка і -го стовпця. Будемо позначати його . Не слід плутати його з мінором матриці.

11. Алгебраїчне доповнення елементу  та мінор елементу  зв”язані формулою:

. (6.9)

Доведення. Очевидно, що

 

 

Тепер розглянемо алгебраїчне доповнення . Будемо послідовно переставляти в ньому -ий рядок так, щоб він став на перше місце. При цьому детермінант отримає множник . Аналогічно вчинимо з -тим стовпцем. В результаті будемо мати   =

=  (6.10)

Введення поняття алгебраїчних доповнень і мінорів елементів є окремий випадок більш загальних понять, а саме. Хай  є мінор порядка  квадратної матриці . Мінором , доповняльним до мінора  називається мінором порядка , який утворюється з матриці  шляхом викреслення рядків і стовпців, з яких був складений мінор .

Алгебраїчним доповненням до  називається детермінант

, (6.11)

де  - номери рядів,  - номери стовпців, з яких утворено мінор .

Тоді справедлива теорема Лапласа (Laplace Pierre Simon, 1749-1827, Франція): Хай в матриці вибрано  рядків. Детермінант матриці дорівнює сумі добутків всіх мінорів -го порядку, утворених з цих рядків, на їх алгебраїчні доповнення.

Обчислення детермінантів. На підставі властивостей детермінанта (9) або (11) можна побудувати метод обчислювання детермінантів

, (6.12)

або

, (6.13)

Цим методом дуже широко користуються, бо обчислення детермінантів за означенням в разі високого порядка практично неможливе. Дійсно, для цього треба обчислити  добутків  множників, кожний з яких рівносильний виконанню  попарних множень. Отже для обчислення детермінанта потрібно  попарних множень, які є менш трудомісткою операцією. При  число множень дорівнює , де використана так звана формула Стірлінга (Stirling James, 1692-1770. Шотландія)  для великих чисел .

Метод алгебраїчних доповнень дозволяє замінити обчислення детермінанта -го порядку на обчислення детермінантів  порядку. В свою чергу до цих детермінантів можна знову застосувати це ж правило і таким чином дійти до детермінантів найменшого порядку. Звичайно що кількість детермінантів при цьому зростає. Щоб цього не сталося поєднують властивість розкладення по елементах рядка чи стовпця з властивістю лінійного комбінування рядків чи стовпців детермінанта. Схема алгоритму при цьому виглядає так. Хай треба обчислити детермінант

. (6.14)

Хай . Винесемо з першого рядка  за знак детермінанта

, (6.15)

при цьому потрібно виконати  ділення (ця операція така ж по складності як і множення).

Далі, добавимо до другого рядка перший, помножений на , до третього - перший, помножений на ,і т. д. При цьому потрібно зробити  множень і стільки ж додавань. Одержимо детермінант виду

. (6.16)

Для цього потрібно  множень і ділень та  додавань.

Тепер розкладення по елементах першого стовпця звело задачу до обчислення одного детермінанта  порядку, і цей процес можна продовжити далі. Всього для переходу до детермінанта першого порядку, тобто до числа, потрібно  множень та ділень і  додавань.

Після цього одержане число потрібно помножити на  множників, що виносились за знак детермінанта, тобто ще  множень. Всього при  потрібно  множень та ділень і  додавань. Для сучасних ЕОМ це нескладна задача. Практично, беруть не елемент в лівому верхньому куті детермінанта, бо він може бути близький до нуля, а це дуже знижує точність обчислень, а так званий ведучий елемент - найбільший в рядку чи у всій матриці.

Приклад 1. Знайти детермінант верхньої трикутної матриці

,

де послідовно проводиться розкладення по першому стовпцю.

Приклад 2. Обчислити

.

 Добавимо до всіх рядків перший, помножений на .

.

Приклад 3. Обчислити детермінант -го порядку

 

Прибавимо всі рядки до першого

.

Віднімемо перший рядок з останніх

.

Приклад 4. Обчислити

.

Прибавимо до останнього рядка всі попередні

.

Віднімемо з останнього стовпця передостанній, з передостаннього попередній і т.д.

,

де проведене розкладення по останньому рядку. Тепер віднімемо перший рядок з отанніх

.

Розкладення по останньому стовпцю дасть

 

.

Приклад 5. Обчислити детермінант Вендермонда.

 

Віднімемо з кожного стовпця попередній, помножений на

 

=,

де використано розкладення по першому рядку.

В результаті одержимо детермінант такого ж виду, з яким можна проробити ті ж операції. В результаті маємо

.

Контрольні питання.

1. Дайте означення алгебраїчного доповнення елемента детермінанта.

2. Сформулюйте правило розкладення детермінанта по рядку або стовпцю.

3. Дайте означення мінора елемента детермінанта.

4. Дайте оцінку кількості операцій при обчисленні детермінанта.

5. Чому дорівнює детермінант Вандермонда?

PAGE  

PAGE  47


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63844. Научное просвещение как фактор активизации политической жизни общества 39.5 KB
  Для современной России характерна такая ситуация в которой население все меньше и меньше направляет свою энергию в общественно-политическую сферу жизни общества. Политическое просвещение как культурный социальный и политический феномен имеет объективные исторически обусловленные основания...
63845. Трансформация сознания российского общества 62.79 KB
  В основе любой процветающей цивилизации или общности людей связанных единой культурой всегда лежит какая либо общезначимая национальная идея вокруг которой и выстраивается жизнь народа и целого государства. Трансформация сознания это изменение убеждений стремлений...
63846. Лица с ограниченными возможностями: группы барьеров 16.55 KB
  Инвалидность это проблема не одного человека а всего общества в целом. В результате это большинство лиц с ограниченными возможностями во всем мире оказываются отверженными и живут в условиях моральных и материальных невзгод.
63847. Информационные миры: проблемы формирования и перспективы развития 22.48 KB
  Одно из основных увеличение количества информации. Нескончаемый поток информации заставляет современного человека воспринимать ее на ином качественном уровне. В данной статье хотелось бы сконцентрироваться на том как изменятся восприятие социальной информации...
63848. Феномен потребления в структуре общественных отношений, его историко-культурный аспект 53 KB
  В каком смысле он является потребителем в данном случае Он ищет в буднях своих предков вдохновляющие примеры потребляет выработанные для него обществом идеалы прошедшего читает истории о давно минувших временах переживает трагедии своего народа...
63850. Банкротство граждан как реальность ближайшего будущего 91 KB
  Спустя семь лет 11 ноября 2009 года Министерство экономического развития разработало законопроект О реабилитационных процедурах применяемых в отношении гражданина-должника и представило его в Правительство РФ. Во-первых в последней редакции законопроекта определения...
63851. Личностные и социальные идентификации молодежи в изменяющемся обществе 24.95 KB
  Личностная идентификация это установление и сохранение в себе постоянного и неизменного ядра личности о котором человек может сказать это я. Ядов социальная идентификация обусловлена глубинной потребностью личности в признании со стороны других в групповой защите...
63852. Социокульутрная трансформация языка: проникновение англицизмов в русский язык 195 KB
  Появляются новые слова выражения изменяются старые ранее принятые и утверждённые грамматические и синтаксические конструкции изменяется звучание отдельных слов и языка в целом. Словарь Mаcmillаn говорит что англицизм это английское слово использующееся в другом языке.