21179

Ранг матриці. Елементарні перетворення матриці

Реферат

Математика и математический анализ

Елементарні перетворення матриці. Визначення рангу матриці. Такий детермінант називається мінором матриці kго порядка.

Украинкский

2013-08-02

204 KB

30 чел.

PAGE  64

Ранг матриці. Елементарні перетворення матриці.

Визначення рангу матриці.

Нехай маємо матрицю

. (8.1)

Виберемо довільні k рядків та k стовпців (не обов”язково підряд). Складемо з чисел, які стоять на перехресті цих рядків та стовпців детермінант. Його порядок буде дорівнювати k. Такий детермінант називається мінором матриці k-го порядка. Таким чином, найменший порядок мінора матриці дорівнює одиниці. Найбільший порядок мінора дорівнює меншому з чисел m обо п, які визначають кількість рядків та стовпців матриці.

Найбільший порядок мінорів матриці, серед яких є відмінні від нуля, називається рангом матриці. Ранг позначається rangA чи r(A).

Приклад: Знайти ранги матриць.

1) .

Максимальний порядок мінора даної матриці дорівнює трьом. Знайдемо значення мінора максимального порядку.

 

Відповідь: r(A)=3

2)

Всі мінори третього порядку цієї матриці будуть відрізнятися різним набором рядків. Кількість таких наборів дорівнює числу сполучень із чотирьох по три, . Таким чином, це будуть мінори

,    

,    

З того, що всі вони дорівнюють нулю, витікає, що ранг матриці менше 3. Серед мінорів другого порядку маємо

.

Таким чином,

Елементарні перетворення матриці. До них належать:

1. Транспонування матриці.

2. Множення будь-якого рядка (стовпця) матриці на будь-яке число, відмінне від нуля.

3. Прибавлення до будь-якого рядка (стовпця) будь-якого рядка (стовпця), помноженого на будь-яке число.

4. Лінійне комбінування рядків (стовпців).

5. Перестановка місцями будь-яких рядків (стовпців).

Будь якому елементарному перетворенню рядків матриці можна поставити у відповідність множення її зліва на спеціальну матрицю. Наприклад, перестановці місцями першого і другого рядків відповідає множення на матрицю  

: (8.2)

Дійсно перемножуючи цю матрицю зліва на матрицю  будемо мати:

 (8.3)

Другий приклад. Легко перевірити, що додаванню до останнього рядка першого, помноженого на число с, відповідає така матриця

. (8.4)

Таким же чином можна показати, що елементарним перетворенням стовпців відповідає множення на спеціальні матриці справа.

Обчислення оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень. Елементарні перетворення дають ще один шлях одержання оберненої матриці. Розглянемо квадратну систему рівнянь, яка має єдиний розв”язок. Запишемо її у матричному виді

. (8.5)

Будемо робити такі елементарні перетворення рівнянь цієї системи, а тим самим і рядків матриці , щоб перетворити її в одиничну матрицю. Це рівносильно множенню матричного рівняння на спеціальні матриці :

. (8.6)

Хай ці матриці будуть такі, що

.

Позначимо добуток цих матриць як : .

Тоді із матричного рівняння одержимо

. (8.7)

З цього витікає, що  є матриця, обернена до матриці , .

Практично роблять так. Записують матриці  і  рядом. Над рядками  роблять елементарні перетворення до тих пір, поки не одержать одиничну матрицю. Ті ж самі перетворення і в тій же послідовності роблять над одиничною матрицею , в результаті одержують обернену матрицю.

Приклад:

 

 

 

 

Для практики особливо важливою є наступна теорема.

Ранг матриці при елементарних перетвореннях не змінюється.

Доведення. При будь-якому елементарному перетворенні детермінант або не змінює свого значення, або міняє знак. Так що всі нульові мінори матриці будуть залишатися нульовими. Всі ненульові мінори при будь-яких елементарних перетвореннях залишаться ненульовими. Отже ранг не зміниться.

Слід зауважити, що сама матриця, як таблиця чисел, змінюється.

Наслідок: Будь-яку матрицю за допомогою елементарних перетворень над рядками завжди можна привести до східчатого виду. Кількість ненульових рядків (ненульовий той, у якому хоча б один елемент є відмінний від нуля) матриці східчатого виду дорівнює рангу матриці.

Приклад: В цих перетвореннях перший рядок множимо на -3 і додаємо до другого, потім перший рядок множимо на -2 і додаємо до третього, потім на -3 і додаємо до четвертого. 

Аналогічні перетворення робимо потім над рядками, починаючи з другого і т.д. В результаті одержимо

.

Так як кількість ненульових рядків дорівнює трьом, то .

Базисний мінор. Базисним мінором матриці називается будь-який мінор матриці найбільшого порядку, який є відмінним від нуля. У наведенному вище прикладі базисним буде, наприклад, мінор , так як всі мінори четвертого порядку дорівнюють нулю.

Теорема про базисний мінор матриці. Максимальне число лінійно-незалежних рядків матриці дорівнює її рангу. Всі останні рядки являють собою лінійні комбінаціі цих незалежних (базисних) рядків. Це твердження справедливе і для стовпців.

Доведення. а) Хай ранг матриці  дорівнюе . Тоді знайдеться мінор -го порядку, не рівний нулю. Отже, всі його рядки лінійно-незалежні, а тому і лінійно-незалежні рядки матриці, на яких побудовано цей мінор.

б) Випишемо який-небудь базисний мінор

. (8.8)

Добавимо будь-який рядок з тих, що не війшли до базисних, і будь-який стовпець. Одержимо мінор (k+1) порядку, який, відповідно до означення рангу матриці, дорівнює нулю:

. (8.9)

Тут s=k+1, ... m, l=1, ... n, m - кількість рядків матриці , п - кількість стовпців. Розкладемо цей мінор по елементах останнього стовпця

.

З того, що алгебраїчне доповнення , витікає формула

, (8.10)

яка показує, що елементи s-го рядка лінійним чином виражаються через елементи базисних рядків.

Приклад 1. Довести, що рядки , ,

 лінійно незалежні. Побудуємо з них матрицю

 і знайдемо її ранг.

.

Так як r(A)=3, то всі її рядки лінійно незалежні, а, значить, лінійно незалежні і задані рядки.

Приклад 2. Перевірити лінійну залежність рядків , , , .

 Побудуємо матрицю з цих рядків

 

і знайдемо її ранг.

 Так як ранг матриці дорівнює двом, r(A)=2, то всі її рядки лінійно залежні, а, значить, лінійно залежні і задані рядки.

Контрольні питання.

1. Дайте означення мінора матриці. Чому дорівнює максимальний порядок мінора?

2. Дайте означення ранга матриці.

3. Перерахуйте елементарні перетворення матриці.

4. Обгрунтуйте незмінність ранга матриці при елементарних перетвореннях.

5. Сформулюйте теорему про базисний мінор матриці.

6. Наведіть алгоритм побудови оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень.

PAGE  

PAGE  64


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42564. Гиперссылки в HTML-документах 36 KB
  Гиперссылки в HTMLдокументах Шаблон элемента гиперссылки имеет вид: href= Адрес ссылки текст для щелчка отсылающий по адресу ссылки Каждый документ файл в Интернете имеет адрес называемый Универсальным указателем ресурсов uniform resource loctor URL Поэтому атрибут href элемента гиперссылки А задающий адрес ссылки в общем случае имеет шаблон: href= URL или href= Протокол: Адрес ссылки Ссылки к ресурсам Интернета по протоколу HTTP Атрибут href задающий адрес ссылки в случае обращения к WEBресурсу Интернета имеет шаблон: href=...
42565. Текстовый редактор Microsoft Word 427 KB
  Харьков 2010 Цель работы: получить практические навыки работы в текстовом редакторе Microsoft Word. Порядок выполнения работы: Запустить текстовый редактор Word. Выполнить рисунок в графическом редакторе Pint и поместить его на лист редактора Word.
42566. Организация HTML-документов с помощью фреймов 48 KB
  Организация HTMLдокументов с помощью фреймов Фреймы это области которые создаются в окне браузера для одновременного просмотра нескольких документов. При создании страницы с фреймами разрабатывается несколько HTMLфайлов которые отличаются по своему назначению. Шаблон элемента FRMESET Для создания WEBстраницы с фреймами в языке HTML существует элемент FRMESET. Второй этап создания страницы с фреймами: подготовка HTMLфайлов для каждой области деления экрана с помощью элемента FRME В документе раскладки элемент FRMESET используется...
42567. Понятие социального статуса. Виды статусов 15.41 KB
  Социальный статус — это общее положение личности (группы) в обществе, связанное с определенными правами и обязанностями. Например, статус врача дает индивиду право заниматься лечебной практикой и в то же время обязывает врача исполнять свои функции и роли надлежащим образом
42569. Управление режимами энергосистем и автоматизации 101.5 KB
  Харьков 2011 ТЭС1 : Рэ1=8952 МВт Ропт1=1164 МВт ТЭС2 : Рэ2=1243 МВт Ропт2=1536 МВт ТЭС3 : Рэ3=4899 МВт Ропт3=4867 МВт – необходимо оптимизировать. Блок 31 Блок 32 Блок 33 Отключаем блок №3 ТЭС3 ТЭС1 : Рэ1=8952 МВт Ропт1=1164 МВт ТЭС2 : Рэ2=1243 МВт Ропт2=1536 МВт ТЭС3 : Рэ3=3298 МВт Ропт3=3744 МВт.
42570. Дослідження базових схем підсилюваньних каскадів на польових транзисторах 168 KB
  Среди базовых каскадов на полевых транзисторах на практике наибольше распространение получили каскады с общим истоком аналог ОЭ и истоковые повторители аналог ОК показанные в двух модификациях на рис.4 и отличающиеся способом реализации статического режима: смещение обеспечивается или за счет падения напряжения на резисторе включенном в цепь истока рис. 4 а в или за счет подачи на затвор дополнительного напряжения рис. Рис.
42571. Найти минимальную сумму элементов в строках двумерного массива 45 KB
  Тот же самый результат можно получить и в результате компьютерной проверки. В результате ручной проверки мы доказали, что программа работает правильно.
42572. Командный процессор операционной системы Windows Xp 2000 40 KB
  Харьков 2010 Результаты выполнения работы C: md p10b C: cd p10b C: p10b md Kunchenko C: p10b md Sterlik C: p10b cd Sterlik C: p10b Sterlik copy con Sterlik.txt Sterlik Dmutro p10b ^Z^Z Ctrl Z Z Скопировано файлов: 1 C: p10b Sterlik cd p10b C: p10b cd Kunchenko C: p10b Kunchenko copy con Kunchenko.txt Kunchenko leksey p10b Dir ^Z^Z Ctrl Z Z Скопировано файлов: 1 C: p10b Kunchenko cd p10b C: p10b cd Sterlik C: p10b Sterlik dir w Содержимое папки C: p10b Sterlik [.] sterlik.