21179

Ранг матриці. Елементарні перетворення матриці

Реферат

Математика и математический анализ

Елементарні перетворення матриці. Визначення рангу матриці. Такий детермінант називається мінором матриці kго порядка.

Украинкский

2013-08-02

204 KB

32 чел.

PAGE  64

Ранг матриці. Елементарні перетворення матриці.

Визначення рангу матриці.

Нехай маємо матрицю

. (8.1)

Виберемо довільні k рядків та k стовпців (не обов”язково підряд). Складемо з чисел, які стоять на перехресті цих рядків та стовпців детермінант. Його порядок буде дорівнювати k. Такий детермінант називається мінором матриці k-го порядка. Таким чином, найменший порядок мінора матриці дорівнює одиниці. Найбільший порядок мінора дорівнює меншому з чисел m обо п, які визначають кількість рядків та стовпців матриці.

Найбільший порядок мінорів матриці, серед яких є відмінні від нуля, називається рангом матриці. Ранг позначається rangA чи r(A).

Приклад: Знайти ранги матриць.

1) .

Максимальний порядок мінора даної матриці дорівнює трьом. Знайдемо значення мінора максимального порядку.

 

Відповідь: r(A)=3

2)

Всі мінори третього порядку цієї матриці будуть відрізнятися різним набором рядків. Кількість таких наборів дорівнює числу сполучень із чотирьох по три, . Таким чином, це будуть мінори

,    

,    

З того, що всі вони дорівнюють нулю, витікає, що ранг матриці менше 3. Серед мінорів другого порядку маємо

.

Таким чином,

Елементарні перетворення матриці. До них належать:

1. Транспонування матриці.

2. Множення будь-якого рядка (стовпця) матриці на будь-яке число, відмінне від нуля.

3. Прибавлення до будь-якого рядка (стовпця) будь-якого рядка (стовпця), помноженого на будь-яке число.

4. Лінійне комбінування рядків (стовпців).

5. Перестановка місцями будь-яких рядків (стовпців).

Будь якому елементарному перетворенню рядків матриці можна поставити у відповідність множення її зліва на спеціальну матрицю. Наприклад, перестановці місцями першого і другого рядків відповідає множення на матрицю  

: (8.2)

Дійсно перемножуючи цю матрицю зліва на матрицю  будемо мати:

 (8.3)

Другий приклад. Легко перевірити, що додаванню до останнього рядка першого, помноженого на число с, відповідає така матриця

. (8.4)

Таким же чином можна показати, що елементарним перетворенням стовпців відповідає множення на спеціальні матриці справа.

Обчислення оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень. Елементарні перетворення дають ще один шлях одержання оберненої матриці. Розглянемо квадратну систему рівнянь, яка має єдиний розв”язок. Запишемо її у матричному виді

. (8.5)

Будемо робити такі елементарні перетворення рівнянь цієї системи, а тим самим і рядків матриці , щоб перетворити її в одиничну матрицю. Це рівносильно множенню матричного рівняння на спеціальні матриці :

. (8.6)

Хай ці матриці будуть такі, що

.

Позначимо добуток цих матриць як : .

Тоді із матричного рівняння одержимо

. (8.7)

З цього витікає, що  є матриця, обернена до матриці , .

Практично роблять так. Записують матриці  і  рядом. Над рядками  роблять елементарні перетворення до тих пір, поки не одержать одиничну матрицю. Ті ж самі перетворення і в тій же послідовності роблять над одиничною матрицею , в результаті одержують обернену матрицю.

Приклад:

 

 

 

 

Для практики особливо важливою є наступна теорема.

Ранг матриці при елементарних перетвореннях не змінюється.

Доведення. При будь-якому елементарному перетворенні детермінант або не змінює свого значення, або міняє знак. Так що всі нульові мінори матриці будуть залишатися нульовими. Всі ненульові мінори при будь-яких елементарних перетвореннях залишаться ненульовими. Отже ранг не зміниться.

Слід зауважити, що сама матриця, як таблиця чисел, змінюється.

Наслідок: Будь-яку матрицю за допомогою елементарних перетворень над рядками завжди можна привести до східчатого виду. Кількість ненульових рядків (ненульовий той, у якому хоча б один елемент є відмінний від нуля) матриці східчатого виду дорівнює рангу матриці.

Приклад: В цих перетвореннях перший рядок множимо на -3 і додаємо до другого, потім перший рядок множимо на -2 і додаємо до третього, потім на -3 і додаємо до четвертого. 

Аналогічні перетворення робимо потім над рядками, починаючи з другого і т.д. В результаті одержимо

.

Так як кількість ненульових рядків дорівнює трьом, то .

Базисний мінор. Базисним мінором матриці називается будь-який мінор матриці найбільшого порядку, який є відмінним від нуля. У наведенному вище прикладі базисним буде, наприклад, мінор , так як всі мінори четвертого порядку дорівнюють нулю.

Теорема про базисний мінор матриці. Максимальне число лінійно-незалежних рядків матриці дорівнює її рангу. Всі останні рядки являють собою лінійні комбінаціі цих незалежних (базисних) рядків. Це твердження справедливе і для стовпців.

Доведення. а) Хай ранг матриці  дорівнюе . Тоді знайдеться мінор -го порядку, не рівний нулю. Отже, всі його рядки лінійно-незалежні, а тому і лінійно-незалежні рядки матриці, на яких побудовано цей мінор.

б) Випишемо який-небудь базисний мінор

. (8.8)

Добавимо будь-який рядок з тих, що не війшли до базисних, і будь-який стовпець. Одержимо мінор (k+1) порядку, який, відповідно до означення рангу матриці, дорівнює нулю:

. (8.9)

Тут s=k+1, ... m, l=1, ... n, m - кількість рядків матриці , п - кількість стовпців. Розкладемо цей мінор по елементах останнього стовпця

.

З того, що алгебраїчне доповнення , витікає формула

, (8.10)

яка показує, що елементи s-го рядка лінійним чином виражаються через елементи базисних рядків.

Приклад 1. Довести, що рядки , ,

 лінійно незалежні. Побудуємо з них матрицю

 і знайдемо її ранг.

.

Так як r(A)=3, то всі її рядки лінійно незалежні, а, значить, лінійно незалежні і задані рядки.

Приклад 2. Перевірити лінійну залежність рядків , , , .

 Побудуємо матрицю з цих рядків

 

і знайдемо її ранг.

 Так як ранг матриці дорівнює двом, r(A)=2, то всі її рядки лінійно залежні, а, значить, лінійно залежні і задані рядки.

Контрольні питання.

1. Дайте означення мінора матриці. Чому дорівнює максимальний порядок мінора?

2. Дайте означення ранга матриці.

3. Перерахуйте елементарні перетворення матриці.

4. Обгрунтуйте незмінність ранга матриці при елементарних перетвореннях.

5. Сформулюйте теорему про базисний мінор матриці.

6. Наведіть алгоритм побудови оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень.

PAGE  

PAGE  64


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59150. Написання рядкової літери н (ен), складів, слів із нею 30.5 KB
  Мета: Вчити учнів писати малу букву н, склади та слова з нею; розвивати вміння правильно розміщувати букви на рядках, закріплювати знання назв елементів букв, виховувати у дітей увагу, старанність, спостережливість.
59151. Уроки з розвитку звязного мовлення. А вже весна, а вже красна... 58.5 KB
  Як правило на цих уроках більше говорить учитель навчаючи дітей переказувати а учні слухають як це робити. Учитель при необхідності коректує відповіді допомагає та згадує батьків тих учнів які працюють у журналістиці акцентуючи увагу на тому що робить спеціаліст кожного профілю.
59152. Козацькі забави. Уроки з фізичної культури 75.5 KB
  Вихідне положення руки зчеплені внизу 12 руки вгору піднятися на носки і потягнутися 34 опускаючи руки через сторони повернутися у вихідне положення. Вихідне положення ноги нарізно руки на пояс 1 нахил вправо з одночасним поворотом тулуба вправо 2 вихідне положення 34 те ж але в іншу сторону.
59153. Якими є моральні норми і правила співжиття у людському суспільстві 61 KB
  Хід: Звучить пєса Боккерині Менует Вчитель: Ми з вами діти живемо в оточенні інших людей і нам не байдуже те як вони відносяться до нас. Вчитель: До питань співіснування в суспільстві зверталися ще в Стародавній Греції.
59155. Урок читання 56 KB
  На швидкість читання впливають багато факторів: рівень мовленнєвого розвитку кут зору читця вміння артикулювати постановка дихання характер тексту образ слова розвиток периферичного зору...
59157. Усі ми - діти своїх матерів 46.5 KB
  Стоїть на видноколі світла мати У неї вчись. Мати Що може бути на світі прекраснішим священним за це імя Учениця У нашім раї на землі Нічого кращого немає Ніж тая мати молодая З своїм дитяточком малим. Учень Чуєте Хто там З дороги Мати іде молода...
59158. Утворення Української козацької держави - Гетьманщини 40.5 KB
  В програмі висунутій гетьманом геніально систематизовані ідеї старої княжої Київської Русі з новою ідеєю козацької держави Запорізької Січі. 2ий учень дослідник: Найвищим органом влади Війська Запорізького вважали...