21179

Ранг матриці. Елементарні перетворення матриці

Реферат

Математика и математический анализ

Елементарні перетворення матриці. Визначення рангу матриці. Такий детермінант називається мінором матриці kго порядка.

Украинкский

2013-08-02

204 KB

30 чел.

PAGE  64

Ранг матриці. Елементарні перетворення матриці.

Визначення рангу матриці.

Нехай маємо матрицю

. (8.1)

Виберемо довільні k рядків та k стовпців (не обов”язково підряд). Складемо з чисел, які стоять на перехресті цих рядків та стовпців детермінант. Його порядок буде дорівнювати k. Такий детермінант називається мінором матриці k-го порядка. Таким чином, найменший порядок мінора матриці дорівнює одиниці. Найбільший порядок мінора дорівнює меншому з чисел m обо п, які визначають кількість рядків та стовпців матриці.

Найбільший порядок мінорів матриці, серед яких є відмінні від нуля, називається рангом матриці. Ранг позначається rangA чи r(A).

Приклад: Знайти ранги матриць.

1) .

Максимальний порядок мінора даної матриці дорівнює трьом. Знайдемо значення мінора максимального порядку.

 

Відповідь: r(A)=3

2)

Всі мінори третього порядку цієї матриці будуть відрізнятися різним набором рядків. Кількість таких наборів дорівнює числу сполучень із чотирьох по три, . Таким чином, це будуть мінори

,    

,    

З того, що всі вони дорівнюють нулю, витікає, що ранг матриці менше 3. Серед мінорів другого порядку маємо

.

Таким чином,

Елементарні перетворення матриці. До них належать:

1. Транспонування матриці.

2. Множення будь-якого рядка (стовпця) матриці на будь-яке число, відмінне від нуля.

3. Прибавлення до будь-якого рядка (стовпця) будь-якого рядка (стовпця), помноженого на будь-яке число.

4. Лінійне комбінування рядків (стовпців).

5. Перестановка місцями будь-яких рядків (стовпців).

Будь якому елементарному перетворенню рядків матриці можна поставити у відповідність множення її зліва на спеціальну матрицю. Наприклад, перестановці місцями першого і другого рядків відповідає множення на матрицю  

: (8.2)

Дійсно перемножуючи цю матрицю зліва на матрицю  будемо мати:

 (8.3)

Другий приклад. Легко перевірити, що додаванню до останнього рядка першого, помноженого на число с, відповідає така матриця

. (8.4)

Таким же чином можна показати, що елементарним перетворенням стовпців відповідає множення на спеціальні матриці справа.

Обчислення оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень. Елементарні перетворення дають ще один шлях одержання оберненої матриці. Розглянемо квадратну систему рівнянь, яка має єдиний розв”язок. Запишемо її у матричному виді

. (8.5)

Будемо робити такі елементарні перетворення рівнянь цієї системи, а тим самим і рядків матриці , щоб перетворити її в одиничну матрицю. Це рівносильно множенню матричного рівняння на спеціальні матриці :

. (8.6)

Хай ці матриці будуть такі, що

.

Позначимо добуток цих матриць як : .

Тоді із матричного рівняння одержимо

. (8.7)

З цього витікає, що  є матриця, обернена до матриці , .

Практично роблять так. Записують матриці  і  рядом. Над рядками  роблять елементарні перетворення до тих пір, поки не одержать одиничну матрицю. Ті ж самі перетворення і в тій же послідовності роблять над одиничною матрицею , в результаті одержують обернену матрицю.

Приклад:

 

 

 

 

Для практики особливо важливою є наступна теорема.

Ранг матриці при елементарних перетвореннях не змінюється.

Доведення. При будь-якому елементарному перетворенні детермінант або не змінює свого значення, або міняє знак. Так що всі нульові мінори матриці будуть залишатися нульовими. Всі ненульові мінори при будь-яких елементарних перетвореннях залишаться ненульовими. Отже ранг не зміниться.

Слід зауважити, що сама матриця, як таблиця чисел, змінюється.

Наслідок: Будь-яку матрицю за допомогою елементарних перетворень над рядками завжди можна привести до східчатого виду. Кількість ненульових рядків (ненульовий той, у якому хоча б один елемент є відмінний від нуля) матриці східчатого виду дорівнює рангу матриці.

Приклад: В цих перетвореннях перший рядок множимо на -3 і додаємо до другого, потім перший рядок множимо на -2 і додаємо до третього, потім на -3 і додаємо до четвертого. 

Аналогічні перетворення робимо потім над рядками, починаючи з другого і т.д. В результаті одержимо

.

Так як кількість ненульових рядків дорівнює трьом, то .

Базисний мінор. Базисним мінором матриці називается будь-який мінор матриці найбільшого порядку, який є відмінним від нуля. У наведенному вище прикладі базисним буде, наприклад, мінор , так як всі мінори четвертого порядку дорівнюють нулю.

Теорема про базисний мінор матриці. Максимальне число лінійно-незалежних рядків матриці дорівнює її рангу. Всі останні рядки являють собою лінійні комбінаціі цих незалежних (базисних) рядків. Це твердження справедливе і для стовпців.

Доведення. а) Хай ранг матриці  дорівнюе . Тоді знайдеться мінор -го порядку, не рівний нулю. Отже, всі його рядки лінійно-незалежні, а тому і лінійно-незалежні рядки матриці, на яких побудовано цей мінор.

б) Випишемо який-небудь базисний мінор

. (8.8)

Добавимо будь-який рядок з тих, що не війшли до базисних, і будь-який стовпець. Одержимо мінор (k+1) порядку, який, відповідно до означення рангу матриці, дорівнює нулю:

. (8.9)

Тут s=k+1, ... m, l=1, ... n, m - кількість рядків матриці , п - кількість стовпців. Розкладемо цей мінор по елементах останнього стовпця

.

З того, що алгебраїчне доповнення , витікає формула

, (8.10)

яка показує, що елементи s-го рядка лінійним чином виражаються через елементи базисних рядків.

Приклад 1. Довести, що рядки , ,

 лінійно незалежні. Побудуємо з них матрицю

 і знайдемо її ранг.

.

Так як r(A)=3, то всі її рядки лінійно незалежні, а, значить, лінійно незалежні і задані рядки.

Приклад 2. Перевірити лінійну залежність рядків , , , .

 Побудуємо матрицю з цих рядків

 

і знайдемо її ранг.

 Так як ранг матриці дорівнює двом, r(A)=2, то всі її рядки лінійно залежні, а, значить, лінійно залежні і задані рядки.

Контрольні питання.

1. Дайте означення мінора матриці. Чому дорівнює максимальний порядок мінора?

2. Дайте означення ранга матриці.

3. Перерахуйте елементарні перетворення матриці.

4. Обгрунтуйте незмінність ранга матриці при елементарних перетвореннях.

5. Сформулюйте теорему про базисний мінор матриці.

6. Наведіть алгоритм побудови оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень.

PAGE  

PAGE  64


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32443. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ 186 KB
  Cогласно классическому определению в опытах с конечным числом равновозможных исходов вероятность события А это доля исходов которые приводят к наступлению события А в общем количестве исходов. Определять вероятность как долю благоприятных исходов можно и в опытах с бесконечным числом исходов. Какова вероятность что пассажир пришедший на платформу отправится с нее не позже чем через 15 минуты Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного множества точек отрезка [АВ] см. Пространство элементарных исходов...
32444. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ 81 KB
  Если в одном эксперименте могут произойти события А и В то возникает вопрос как влияет возможность наступления события А на наступление события В. Если вероятность события А можно рассматривать как долю элементарных исходов приводящих к наступлению события А среди всех элементарных исходов пространства то условную вероятность события А при условии что событие В произошло можно рассматривать как долю исходов приводящих к событию А во множестве элементарных исходов образующих событие В. Условная...
32445. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 115 KB
  СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Cлучайные величины будем обозначать большими латинскими буквами а значения которые они принимают – соответствующими малыми. Различают дискретные непрерывные случайные величины и случайные величины с сингулярным распределением.
32446. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ 97 KB
  В каждом из них событие А может наступить с положительной вероятностью p. Вероятность что Х примет значение k т. в n испытаниях k раз наступит успех Действительно вероятность наступления k успехов в k фиксированных испытаниях и n – k неудач в остальных n – k испытаниях равна Распределить k успехов среди n испытаний можно способами. Какова вероятность что герб выпадет 4 раза При каждом подбрасывании успех – выпадение герба n = 10 k = 4 р = 1 2.
32448. Молекулярно–кинетическая теория. Гипотеза о равнораспределении энергии по степеням свободы. Распределение Максвелла 730 KB
  Тема: Молекулярно–кинетическая теория. Рассмотрим модель идеального газа в которой: 1 молекулы газа не взаимодействуют друг с другом; 2 в равновесном состоянии движение молекул хаотично т. они движутся в направлениях Х У и Z и при этом если в единице объема имеется n молекул то в каждом из этих направлений движется по n 3 молекул или n 6 в одну сторону. Пусть газ находится в цилиндре площадью S и длиной где – средняя скорость движения молекул.
32449. Распределение Больцмана. Барометрическая формула. Второе начало термодинамики. Энтропия. Теорема Нернста. Основное уравнение термодинамики 322.5 KB
  Для характеристики состояния системы при тепловых процессах Клаузиус ввел понятие энтропии S. Следует отметить что приращение энтропии не зависит от процесса а определяется только начальным конечным состояниями системы т. Свойства энтропии: энтропия – функция состояния. В реальных процессах тепло переходит от более к менее нагретым телам поэтому изменение энтропии каждого тела равно: где .
32450. Состояния макросистемы. Квазистатические процессы. Первое начало термодинамики. Внутренняя энергия и работа газа. Идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа. Теплоёмкость. Изопроцессы 446.5 KB
  Внутренняя энергия и работа газа. Уравнение состояния идеального газа. Вычислим элементарную работу газа при бесконечно малом квазистатическом расширении в котором его объем увеличивается на dV. Сила давления газа на поршень равна где S – площадь поршня.
32451. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона. Политропические процессы. Работа газа при политропических процессах. Газ Ван–дер–Ваальса 311 KB
  Работа газа при политропических процессах. адиабатное расширение газа сопровождается его охлаждением. Политропическим называется процесс перехода газа из одного состояния в другое при котором теплоёмкость остаётся постоянной Сn = const. Покажем что при политропическом процессе теплоёмкость газа остаётся постоянной.