21180

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь загального виду. Теорія Кронекера-Капеллі. Метод Гаусса

Реферат

Математика и математический анализ

Система називається сумісною якщо вона має хоча б один розв язок тобто хоча б один стовпець який перетворює рівняння 9.1 в тотожність і несумісною якщо вона не має розв язків. Система називається означеною якщо вона має один розв язок і неозначеною якщо вона має розв язків більше одного. Аналіз систем рівнянь повинен дати відповідь на два питання чи сумісна система тобто чи має вона розв язок і якщо сумісна то чи вона означена чи ні.

Украинкский

2013-08-02

237.5 KB

8 чел.

PAGE  72

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь загального виду.

Теорія Кронекера-Капеллі. Метод Гаусса.

Розглянемо систему

, (9.1)

де А є матриця mn, яка називається матрицею системи, Х - стовпець n1 невідомих, В - стовпець m1 вільних членів рівнянь. Якщо B=0 система називається однорідною, в протилежному разі - неоднорідною.

Система називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв"язок, тобто хоча б один стовпець , який перетворює рівняння (9.1) в тотожність, і несумісною, якщо вона не має розв"язків.

Система називається означеною, якщо вона має один розв"язок, і неозначеною, якщо вона має розв"язків більше одного.

Аналіз систем рівнянь повинен дати відповідь на два питання - чи сумісна система, тобто чи має вона розв"язок, і якщо сумісна, то чи вона означена, чи ні. Якщо система сумісна, то потрібен алгоритм находження розв"язків.

Відповідь на перші два питання дає теорія Кронекера-Капеллі (1883, 1892) (Kronecker Leopold, 1823-1891, Німмечина), (Capelli Alfred, 1855-1910, Італія). Для її формулювання складемо матрицю з матриці А і стовпця В: D=(AB). Вона називається розширеною матрицею системи.

 Теорема про необхідну і достатню умову сумісності системи: Для того, щоб система лінійних алгебраїчних рівнянь була сумісною, необхідно і достатньо щоб ранг матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці, тобто r(A)=r(D).

1) Необхідність умови сумісності системи рівнянь.

Хай система має розв"язок Х=. Це означає, що підстановка розв"язку в (9.1) перетворює його в тотожність, тобто

0=В-АХ.  (9.2)

Розглянемо елементарні перетворення матриці D, які полягають в тому, що матрицю А множемо на стовпець X, тобто перший стовпець А домножають на , другий на , і т. д., і результат віднімають від стовпця В. Одержимо

. (9.3)

Тепер ми маємо, що з одного боку r(D)=r(C), а з другого r(C)=r(A), так як С має нульовий стовпець. Таким чином, одержуємо, що r(D)=r(A), якщо система має розв"язок.

2) Достатня умова.

Хай ранг матриць дорівнює k, r(A)=r(D)=k. Це означає, що в матриці D лінійно незалежні тільки k рядків, а останні є наслідком їх. Це ж саме відноситься і до рівнянь системи, з яких ми залишимо тільки лінійно незалежні

 (9.4)

причому kn.

 Розглянемо два випадки.

а) k=n, тобто число невідомих дорівнює числу рівнянь. Так як детермінант системи співпадає з базисним мінором матриці системи А, і причому , то, згідно з теоремою Крамера, система має розв”язок, причому єдиний,

 (9.5)

де  - допоміжний детермінант.

б) k<n. Залишимо зліва k невідомих, причому таких, щоб детермінант з коефіцієнтів при них був відмінний від нуля. Останні невідомі, які називають вільними, перенесемо управо:

 (9.6)

По відношенню до невідомих  знову маємо квадратну систему, яка має єдиний розв"язок, але цей розв"язок залежить від , яким можна придавати довільні значення:

 , i=1 ... k. (9.7)

 Таким чином, знайдені за цими формулами k невідомих  , а також довільно вибрані  і становлять розв"язок системи. Міняючи вільні невідомі будемо одержувати нові розв"язки системи, тобто їх нескінченно багато, і таким чином, система сумісна, але невизначена.

Приклад 1.

1) Складемо розширену матрицю систему і за допомогою елементарних перетворень над її рядками приведемо її до східчатого виду. При цьому відділимо стовпець з вільних членів системи і будемо мати паралельно також перетворення матриці системи А.

.

Звідси маємо, що r(D)=r(A)=3. Система сумісна і визначена.

2) З чотирьох рівнянь залишимо тільки перші три, які є лінійно незалежні Їм відповідає матриця системи

.

3) Обернена матриця дорівнює

.

4) Тепер знаходимо розв"язок системи

 

 Слід відзначити, що матриця  називається стійкою, якщо малим змінам в А відповідають малі зміни в . Тоді А називають добре обумовленою.

Приклад 2. Знайти розв”язок системи

 

1) Перетворимо розширену матрицю

,

звідки знаходимо, що r(D)=r(A)=2, тобто система сумісна, але невизначена.

2) Залишимо перші два рівняння і оголосимо  вільною невідомою

 

3) Детермінант системи .

Допоміжні детермінанти:

, ,

4) Розв"язок системи:

,  ,

або у виді рядка .

Якщо , то  .

Якщо , то  і т.д.

В першому прикладі розв"язок знайдено за допомогою оберненої матриці, у другому - за допомогою формул Крамера. З точки зору розрахунків, ці методи дуже трудомісткі, і звичайно використовують другі методи. Одним з найпоширеніших є метод Гаусса, на якому побудовано багато других методів. Розглянемо цей метод на прикладах.

1)

Приведемо розширену матрицю системи до східчатого виду

 

Так як перетворення рядків рівносильно перетворенню рівнянь системи, то з перетвореної матриці маємо

 

Хай  та  будуть вільними невідомими. Перенесемо їх направо

 

Тепер ідучи знизу вгору находимо невідомі  та :

, .

Розв"язок:

2) Розглянемо тепер розв”язок однорідної системи рівнянь

 

За допомогою метода Гаусса маємо

 

Виберемо  та  за вільні невідомі. Придаючи м значення 1, 0 та 0, 1 одержимо два ровв”язки

та , які є лінійно незалежні і утворюють так звану фундаментальну систему розв”яків. Так як однорідна система рівнянь є невизначена система, то вона має безліч розв”язків. Загальний вид розв”язку дорівнює , де  та  - довільні числа.

З других методів згадаємо метод простих ітерацій. Систему А=В перепишемо так

 

де  вектор-стовпець з вільних членів системи. Означимо С=Е-А. Тоді маємо

. (9.9)

Підставимо в правій стороні замість  деякий відомий вектор  (за який можна взяти , наприклад, вектор ) і одержимо першу ітерацію, або перший наближений розв"язок

. (9.10)

Далі можна продовжити

. (9.11)

Цей метод дає наближені розв"язки, які наближаються з ростом номера п до точного, якщо

, (9.12)

де  - елементи матриці С.

Відхилення від точного розв"язку задовільнює нерівності

  (9.13)

Звичайно процес закінчують при

 , (9.14)

де  є задана похибка. 

Контрольні питання.

1. Дайте означення сумісної і несумісної, означеної і неозначеної системи алгебраїчних лінійних рівнянь.

2. Сформулюйте теорему Кронекера-Капеллі.

3. Які невідомі називають “вільними”?

4. Наведіть алгоритм методу Гаусса.

5. Дайте поняття методу простих ітерацій.

PAGE  

PAGE  72


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1349. Метод вузлових потенціалів 113 KB
  Визначити струми у всіх гілках схеми методом вузлових потенціалів. За нульовий потенціал прийняти потенціал вузла b.
1350. Разработка объемного гидропривода поступательного действия 148.5 KB
  Разработка принципиальной гидравлической схемы. Расчет и выбор силовых гидродвигателей, насоса и рабочей жидкости. Расчет и выбор гидроаппаратов. Расчет гидролиний. Тепловой расчет гидропривода. Расчет внешней характеристики гидропривода.
1351. Методи розкодування інформації 208 KB
  Курсова робота на тему методи розкодування інформації. Поняття кодування інформації. Знаковий метод фіксації інформації. Мова як основний засіб кодування й передачі інформації. Мова як засіб кодування інформації. Традиційна система письма. Спеціальні системи письма.
1352. Проектирование полносборного жилого дома 332 KB
  Строительная система, конструктивная система и конструктивная схема здания. Выполнение требований пожарной безопасности. Пути эвакуации. Санитарно-техническое оборудование. Расчет сопротивления теплопередаче наружной стены. Расчет звукоизоляции межквартирных стен.
1353. Медицинское обеспечение мероприятий гражданской обороны 14.64 MB
  В учебном пособии рассматриваются основные вопросы медицинского обеспечения мероприятий гражданской обороны. Учебное пособие подготовлено преподавателями кафедры экстремальной и военной медицины Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Ивановская государственная медицинская академия Министерства здравоохранения и социального развития России» и рассчитано для обучения студентов медицинского вуза и может быть полезным для подготовки интернов, ординаторов и врачей.
1354. Процес естетичного виховання дошкільників засобами природи 313 KB
  Аналіз психолого-педагогічної літератури з проблеми естетичного виховання дітей дошкільного вiку. Природа як засіб естетичного виховання дітей дошкільного віку.
1356. Великие географические открытия и начало борьбы за колонии между европейскими державами. Государства Азии в эпоху европейского Нового времени 450.5 KB
  Выявить и описать наступление эпохи Великих Географических открытий, а так же объяснить причины этого явления. Выяснить ход и причины борьбы за колонии между европейскими государствами. Рассмотреть ход развития государств Азии в эпоху европейского Нового времени. Познакомиться с учёными, изучающими данный вопрос.
1357. Теория государства и права, ответы на билеты к экзамену 783 KB
  Понятие, признаки и виды законов. Тгп в системе гуманитарных наук. История, цель и составляющие элементы принципа разделения властей. Социальный аспект правотворческой деятельности. Порядок принятия, опубликования и вступления в силу нормативных правовых актов современной России. Власть в первобытных обществах и ее отличия от государственной власти.