21180

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь загального виду. Теорія Кронекера-Капеллі. Метод Гаусса

Реферат

Математика и математический анализ

Система називається сумісною якщо вона має хоча б один розв язок тобто хоча б один стовпець який перетворює рівняння 9.1 в тотожність і несумісною якщо вона не має розв язків. Система називається означеною якщо вона має один розв язок і неозначеною якщо вона має розв язків більше одного. Аналіз систем рівнянь повинен дати відповідь на два питання чи сумісна система тобто чи має вона розв язок і якщо сумісна то чи вона означена чи ні.

Украинкский

2013-08-02

237.5 KB

7 чел.

PAGE  72

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь загального виду.

Теорія Кронекера-Капеллі. Метод Гаусса.

Розглянемо систему

, (9.1)

де А є матриця mn, яка називається матрицею системи, Х - стовпець n1 невідомих, В - стовпець m1 вільних членів рівнянь. Якщо B=0 система називається однорідною, в протилежному разі - неоднорідною.

Система називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв"язок, тобто хоча б один стовпець , який перетворює рівняння (9.1) в тотожність, і несумісною, якщо вона не має розв"язків.

Система називається означеною, якщо вона має один розв"язок, і неозначеною, якщо вона має розв"язків більше одного.

Аналіз систем рівнянь повинен дати відповідь на два питання - чи сумісна система, тобто чи має вона розв"язок, і якщо сумісна, то чи вона означена, чи ні. Якщо система сумісна, то потрібен алгоритм находження розв"язків.

Відповідь на перші два питання дає теорія Кронекера-Капеллі (1883, 1892) (Kronecker Leopold, 1823-1891, Німмечина), (Capelli Alfred, 1855-1910, Італія). Для її формулювання складемо матрицю з матриці А і стовпця В: D=(AB). Вона називається розширеною матрицею системи.

 Теорема про необхідну і достатню умову сумісності системи: Для того, щоб система лінійних алгебраїчних рівнянь була сумісною, необхідно і достатньо щоб ранг матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці, тобто r(A)=r(D).

1) Необхідність умови сумісності системи рівнянь.

Хай система має розв"язок Х=. Це означає, що підстановка розв"язку в (9.1) перетворює його в тотожність, тобто

0=В-АХ.  (9.2)

Розглянемо елементарні перетворення матриці D, які полягають в тому, що матрицю А множемо на стовпець X, тобто перший стовпець А домножають на , другий на , і т. д., і результат віднімають від стовпця В. Одержимо

. (9.3)

Тепер ми маємо, що з одного боку r(D)=r(C), а з другого r(C)=r(A), так як С має нульовий стовпець. Таким чином, одержуємо, що r(D)=r(A), якщо система має розв"язок.

2) Достатня умова.

Хай ранг матриць дорівнює k, r(A)=r(D)=k. Це означає, що в матриці D лінійно незалежні тільки k рядків, а останні є наслідком їх. Це ж саме відноситься і до рівнянь системи, з яких ми залишимо тільки лінійно незалежні

 (9.4)

причому kn.

 Розглянемо два випадки.

а) k=n, тобто число невідомих дорівнює числу рівнянь. Так як детермінант системи співпадає з базисним мінором матриці системи А, і причому , то, згідно з теоремою Крамера, система має розв”язок, причому єдиний,

 (9.5)

де  - допоміжний детермінант.

б) k<n. Залишимо зліва k невідомих, причому таких, щоб детермінант з коефіцієнтів при них був відмінний від нуля. Останні невідомі, які називають вільними, перенесемо управо:

 (9.6)

По відношенню до невідомих  знову маємо квадратну систему, яка має єдиний розв"язок, але цей розв"язок залежить від , яким можна придавати довільні значення:

 , i=1 ... k. (9.7)

 Таким чином, знайдені за цими формулами k невідомих  , а також довільно вибрані  і становлять розв"язок системи. Міняючи вільні невідомі будемо одержувати нові розв"язки системи, тобто їх нескінченно багато, і таким чином, система сумісна, але невизначена.

Приклад 1.

1) Складемо розширену матрицю систему і за допомогою елементарних перетворень над її рядками приведемо її до східчатого виду. При цьому відділимо стовпець з вільних членів системи і будемо мати паралельно також перетворення матриці системи А.

.

Звідси маємо, що r(D)=r(A)=3. Система сумісна і визначена.

2) З чотирьох рівнянь залишимо тільки перші три, які є лінійно незалежні Їм відповідає матриця системи

.

3) Обернена матриця дорівнює

.

4) Тепер знаходимо розв"язок системи

 

 Слід відзначити, що матриця  називається стійкою, якщо малим змінам в А відповідають малі зміни в . Тоді А називають добре обумовленою.

Приклад 2. Знайти розв”язок системи

 

1) Перетворимо розширену матрицю

,

звідки знаходимо, що r(D)=r(A)=2, тобто система сумісна, але невизначена.

2) Залишимо перші два рівняння і оголосимо  вільною невідомою

 

3) Детермінант системи .

Допоміжні детермінанти:

, ,

4) Розв"язок системи:

,  ,

або у виді рядка .

Якщо , то  .

Якщо , то  і т.д.

В першому прикладі розв"язок знайдено за допомогою оберненої матриці, у другому - за допомогою формул Крамера. З точки зору розрахунків, ці методи дуже трудомісткі, і звичайно використовують другі методи. Одним з найпоширеніших є метод Гаусса, на якому побудовано багато других методів. Розглянемо цей метод на прикладах.

1)

Приведемо розширену матрицю системи до східчатого виду

 

Так як перетворення рядків рівносильно перетворенню рівнянь системи, то з перетвореної матриці маємо

 

Хай  та  будуть вільними невідомими. Перенесемо їх направо

 

Тепер ідучи знизу вгору находимо невідомі  та :

, .

Розв"язок:

2) Розглянемо тепер розв”язок однорідної системи рівнянь

 

За допомогою метода Гаусса маємо

 

Виберемо  та  за вільні невідомі. Придаючи м значення 1, 0 та 0, 1 одержимо два ровв”язки

та , які є лінійно незалежні і утворюють так звану фундаментальну систему розв”яків. Так як однорідна система рівнянь є невизначена система, то вона має безліч розв”язків. Загальний вид розв”язку дорівнює , де  та  - довільні числа.

З других методів згадаємо метод простих ітерацій. Систему А=В перепишемо так

 

де  вектор-стовпець з вільних членів системи. Означимо С=Е-А. Тоді маємо

. (9.9)

Підставимо в правій стороні замість  деякий відомий вектор  (за який можна взяти , наприклад, вектор ) і одержимо першу ітерацію, або перший наближений розв"язок

. (9.10)

Далі можна продовжити

. (9.11)

Цей метод дає наближені розв"язки, які наближаються з ростом номера п до точного, якщо

, (9.12)

де  - елементи матриці С.

Відхилення від точного розв"язку задовільнює нерівності

  (9.13)

Звичайно процес закінчують при

 , (9.14)

де  є задана похибка. 

Контрольні питання.

1. Дайте означення сумісної і несумісної, означеної і неозначеної системи алгебраїчних лінійних рівнянь.

2. Сформулюйте теорему Кронекера-Капеллі.

3. Які невідомі називають “вільними”?

4. Наведіть алгоритм методу Гаусса.

5. Дайте поняття методу простих ітерацій.

PAGE  

PAGE  72


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68733. Сущность, задачи и структура финансовой политики государства 21.1 KB
  Сущность задачи и структура финансовой политики государства Финансовая политика совокупность целенаправленных действий с использованием финансовых отношений финансов. Задачами финансовой политики является:обеспечение условий для формирования максимально возможных финансовых ресурсов...
68734. Хирургическая операция. Оперативная хирургическая техника 27.93 KB
  Хирургические инструменты. Абсолютные когда отказ от операции приведет к ухудшению состояния или смерти. А абсолютные к экстренной операции жизненные когда отказ от операции приведет к ухудшению состояния или к смерти в настоящий момент: асфиксии острые кровотечения острые...
68736. Служба охраны труда на предприятии, её структура, права и обязанности 32 KB
  Служба охраны труда предприятия либо работник на которого возложены эти обязанности руководствуются следующими документами: − типовым положением о службе охраны труда на предприятии; − квалификационными характеристиками должностей начальника отдела охраны труда и инженера по охране труда.
68737. Соотношение понятий и функций: СО и реклама, СО и пропаганда, СО и маркетинг, СО и паблисити, СО и реклама 38 KB
  Реклама разновидность массовой коммуникации в которой создаются и распространяются тексты однонаправленного и неличного характера оплаченные идентифицированным рекламодателем и адресованные аудитории с целью побудить ее к нужному выбору.
68738. Внешние запоминающие устройства (ВЗУ) предназначены для долговременного хранения и транспортировки информации 15.06 KB
  Магнитные носители основаны на свойстве материалов находиться в двух состояниях: «не намагничено»-«намагничено», кодирующие 0 и Запись происходит при помощи мгнитной головки. Из-за контакта головки с поверхностью носителя через некоторое время носитель приходит в негодность.
68739. Определение элементов внешнего ориентирования снимка по опорным точкам (обратная фотограмметрическая засечка) 37 KB
  Опорной точкой будем называть точку, опознанную на местности и на снимке, геодезические координаты которой на местности известны. Для определения элементов внешнего ориентирования снимка воспользуемся уравнениями коллинеарности (1.3.12), которые представим в виде...
68740. Основные методологические принципы гуманитарной науки 14.91 KB
  В гуманитарных науках: из нескольких интерпретациях текста предпочтительнее та которая единообразно объясняет больше элементов текста. Независимая проверяемость в гуманитарных науках Перенос интерпретации на другие тексты не рассматриваемые ранее при создании интерпретации.