21180

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь загального виду. Теорія Кронекера-Капеллі. Метод Гаусса

Реферат

Математика и математический анализ

Система називається сумісною якщо вона має хоча б один розв язок тобто хоча б один стовпець який перетворює рівняння 9.1 в тотожність і несумісною якщо вона не має розв язків. Система називається означеною якщо вона має один розв язок і неозначеною якщо вона має розв язків більше одного. Аналіз систем рівнянь повинен дати відповідь на два питання чи сумісна система тобто чи має вона розв язок і якщо сумісна то чи вона означена чи ні.

Украинкский

2013-08-02

237.5 KB

7 чел.

PAGE  72

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь загального виду.

Теорія Кронекера-Капеллі. Метод Гаусса.

Розглянемо систему

, (9.1)

де А є матриця mn, яка називається матрицею системи, Х - стовпець n1 невідомих, В - стовпець m1 вільних членів рівнянь. Якщо B=0 система називається однорідною, в протилежному разі - неоднорідною.

Система називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв"язок, тобто хоча б один стовпець , який перетворює рівняння (9.1) в тотожність, і несумісною, якщо вона не має розв"язків.

Система називається означеною, якщо вона має один розв"язок, і неозначеною, якщо вона має розв"язків більше одного.

Аналіз систем рівнянь повинен дати відповідь на два питання - чи сумісна система, тобто чи має вона розв"язок, і якщо сумісна, то чи вона означена, чи ні. Якщо система сумісна, то потрібен алгоритм находження розв"язків.

Відповідь на перші два питання дає теорія Кронекера-Капеллі (1883, 1892) (Kronecker Leopold, 1823-1891, Німмечина), (Capelli Alfred, 1855-1910, Італія). Для її формулювання складемо матрицю з матриці А і стовпця В: D=(AB). Вона називається розширеною матрицею системи.

 Теорема про необхідну і достатню умову сумісності системи: Для того, щоб система лінійних алгебраїчних рівнянь була сумісною, необхідно і достатньо щоб ранг матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці, тобто r(A)=r(D).

1) Необхідність умови сумісності системи рівнянь.

Хай система має розв"язок Х=. Це означає, що підстановка розв"язку в (9.1) перетворює його в тотожність, тобто

0=В-АХ.  (9.2)

Розглянемо елементарні перетворення матриці D, які полягають в тому, що матрицю А множемо на стовпець X, тобто перший стовпець А домножають на , другий на , і т. д., і результат віднімають від стовпця В. Одержимо

. (9.3)

Тепер ми маємо, що з одного боку r(D)=r(C), а з другого r(C)=r(A), так як С має нульовий стовпець. Таким чином, одержуємо, що r(D)=r(A), якщо система має розв"язок.

2) Достатня умова.

Хай ранг матриць дорівнює k, r(A)=r(D)=k. Це означає, що в матриці D лінійно незалежні тільки k рядків, а останні є наслідком їх. Це ж саме відноситься і до рівнянь системи, з яких ми залишимо тільки лінійно незалежні

 (9.4)

причому kn.

 Розглянемо два випадки.

а) k=n, тобто число невідомих дорівнює числу рівнянь. Так як детермінант системи співпадає з базисним мінором матриці системи А, і причому , то, згідно з теоремою Крамера, система має розв”язок, причому єдиний,

 (9.5)

де  - допоміжний детермінант.

б) k<n. Залишимо зліва k невідомих, причому таких, щоб детермінант з коефіцієнтів при них був відмінний від нуля. Останні невідомі, які називають вільними, перенесемо управо:

 (9.6)

По відношенню до невідомих  знову маємо квадратну систему, яка має єдиний розв"язок, але цей розв"язок залежить від , яким можна придавати довільні значення:

 , i=1 ... k. (9.7)

 Таким чином, знайдені за цими формулами k невідомих  , а також довільно вибрані  і становлять розв"язок системи. Міняючи вільні невідомі будемо одержувати нові розв"язки системи, тобто їх нескінченно багато, і таким чином, система сумісна, але невизначена.

Приклад 1.

1) Складемо розширену матрицю систему і за допомогою елементарних перетворень над її рядками приведемо її до східчатого виду. При цьому відділимо стовпець з вільних членів системи і будемо мати паралельно також перетворення матриці системи А.

.

Звідси маємо, що r(D)=r(A)=3. Система сумісна і визначена.

2) З чотирьох рівнянь залишимо тільки перші три, які є лінійно незалежні Їм відповідає матриця системи

.

3) Обернена матриця дорівнює

.

4) Тепер знаходимо розв"язок системи

 

 Слід відзначити, що матриця  називається стійкою, якщо малим змінам в А відповідають малі зміни в . Тоді А називають добре обумовленою.

Приклад 2. Знайти розв”язок системи

 

1) Перетворимо розширену матрицю

,

звідки знаходимо, що r(D)=r(A)=2, тобто система сумісна, але невизначена.

2) Залишимо перші два рівняння і оголосимо  вільною невідомою

 

3) Детермінант системи .

Допоміжні детермінанти:

, ,

4) Розв"язок системи:

,  ,

або у виді рядка .

Якщо , то  .

Якщо , то  і т.д.

В першому прикладі розв"язок знайдено за допомогою оберненої матриці, у другому - за допомогою формул Крамера. З точки зору розрахунків, ці методи дуже трудомісткі, і звичайно використовують другі методи. Одним з найпоширеніших є метод Гаусса, на якому побудовано багато других методів. Розглянемо цей метод на прикладах.

1)

Приведемо розширену матрицю системи до східчатого виду

 

Так як перетворення рядків рівносильно перетворенню рівнянь системи, то з перетвореної матриці маємо

 

Хай  та  будуть вільними невідомими. Перенесемо їх направо

 

Тепер ідучи знизу вгору находимо невідомі  та :

, .

Розв"язок:

2) Розглянемо тепер розв”язок однорідної системи рівнянь

 

За допомогою метода Гаусса маємо

 

Виберемо  та  за вільні невідомі. Придаючи м значення 1, 0 та 0, 1 одержимо два ровв”язки

та , які є лінійно незалежні і утворюють так звану фундаментальну систему розв”яків. Так як однорідна система рівнянь є невизначена система, то вона має безліч розв”язків. Загальний вид розв”язку дорівнює , де  та  - довільні числа.

З других методів згадаємо метод простих ітерацій. Систему А=В перепишемо так

 

де  вектор-стовпець з вільних членів системи. Означимо С=Е-А. Тоді маємо

. (9.9)

Підставимо в правій стороні замість  деякий відомий вектор  (за який можна взяти , наприклад, вектор ) і одержимо першу ітерацію, або перший наближений розв"язок

. (9.10)

Далі можна продовжити

. (9.11)

Цей метод дає наближені розв"язки, які наближаються з ростом номера п до точного, якщо

, (9.12)

де  - елементи матриці С.

Відхилення від точного розв"язку задовільнює нерівності

  (9.13)

Звичайно процес закінчують при

 , (9.14)

де  є задана похибка. 

Контрольні питання.

1. Дайте означення сумісної і несумісної, означеної і неозначеної системи алгебраїчних лінійних рівнянь.

2. Сформулюйте теорему Кронекера-Капеллі.

3. Які невідомі називають “вільними”?

4. Наведіть алгоритм методу Гаусса.

5. Дайте поняття методу простих ітерацій.

PAGE  

PAGE  72


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49784. Монтаж строительных конструкций. Расчет конструкций 711.5 KB
  Расстояние перебазирования монтажного крана 10 км. Для монтажа заданного одноэтажного промышленного здания принимаем следующие методы и способы монтажа: 1 по степени укрупнения сборных конструкций – монтаж отдельными элементами и укрупненными блоками; 2 по способу подачи и установки конструкций – метод наращивания; 3 в зависимости от направления движения крана при монтаже – продольный метод; 4 по последовательности установки сборных конструкций – дифференцированный метод при установке колонн комплексный метод при монтаже конструкций...
49785. Построение и исследование имитационной модели 1.27 MB
  В системе интервалы времени между поступлением требований являются независимыми случайными величинами со средним временем. Среднее значение времени обслуживания требований. Оценке подлежат следующие параметры: коэффициент использования системы ; средняя задержка в очереди ; среднее время ожидания ; среднее по времени число требований в очереди ; среднее по времени число требований в системе . График по времени числа требований в очереди.
49786. Разработка оснований и фундаментов промышленного цеха и административно-бытового корпуса 1.73 MB
  Определение размеров подошвы фундамента Расчет осадки основания фундамента Расчет элементов фундамента по прочности Конструирование фундамента
49787. Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 124 KB
  Числовые методы позволяют построить интегральную кривую по точкам. В зависимости от того, сколько точек используется для расчета очередной точки интегральной кривой, все численные методы делятся на одношаговые и многошаговые. В нашем случае мы используем одношаговые численные методы.
49788. Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 10.19 MB
  Дифференциальными называются уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Решением ДУ называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Лишь очень немногие из таких уравнений удается решить без помощи вычислительной техники.
49789. Решение методами Эйлера и Эйлера модифицированным задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка на отрезке с шагом и начальным условием 268 KB
  В данной работе поставлена задача решить дифференциальное уравнение с помощью двух методов: метода Эйлера и метода Эйлера модифицированного. Требуется написать программу на языке Visual Basic для решения и визуализации данного дифференциального уравнения первого порядка при помощи графика. В программе будут сравниваться эти методы и оценятся погрешности и правильность решения.
49791. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПРИВОДА 582.5 KB
  Требуемая мощность кВт электродвигателя привода определяем по формуле: где Рв потребляемая мощность измельчителя Здесь КПД отдельных звеньев кинематической цепи значения которых принимаем по табл.13 тогда SH – коэффициент запаса прочности принимаем в соответствии с рекомендациями...