21181

Лінійні простори. Базис. Розмірність. Ізоморфізм просторів

Реферат

Математика и математический анализ

Але наприклад множина додатніх чисел не утворює лінійного простору по відношенню до звичайних операцій додавання та множення бо в цьому разі нема протилежного числа воно повинно бути від€ємним а значить не буде належати цій множині. Але множина векторів з якої вилучені вектори колінеарні заданій прямій не утворює лінійного простору бо завжди можна знайти такі два вектори які в сумі дадуть вектор колінеарний цій прямій тобто сума не буде належати множині. 4 Множина матриць заданого розміру якщо додавання матриць та множення на...

Украинкский

2013-08-02

366 KB

54 чел.

PAGE  79

ЛІНІЙНІ ПРОСТОРИ.

Лінійні простори. Базис. Розмірність. Ізоморфізм просторів.

Розглянемо множину А елементів , в якій означено дві операції: додавання двох елементів, , та множення елемента на число , , причому кожна з цих операцій дає елемент, який належить тій же множині (кажуть, не виводить за межі множини). Хай ці операції підкоряються таким же правилам, як і звичайні операції додавання та множення дійсних чисел, тобто:

1) ,

2) ,

3) , (тобто в множині А є нульовий елемент),

4)  , (тобто в множині для кожного елемента  є протилежний елемент ),

5) 1,

6) ,

7) ,

8) ..

 Така множина називається лінійним простором. 

Приклади лінійних просторів:

1) множини дійсних чисел R , або комплексних чисел С, якщо в них введені звичайні операції додавання та множення. Але, наприклад, множина додатніх чисел не утворює лінійного простору по відношенню до звичайних операцій додавання та множення, бо в цьому разі нема протилежного числа (воно повинно бути від”ємним, а значить не буде належати цій множині). Проте, можна і на цій множині побудувати лінійний простір, якщо ввести операції додавання та множення по другому, а саме: сумою двох елементів будемо називати добуток двох додатніх чисел, , (  означає елемент множини, а х - відповідне йому додатнє число), а добутком елемента  на число  є елемент . Як видно, кожна з цих операцій дає додатнє число, тобто не виводить за межі множини додатніх чисел, і всі вісім перечислених вище правил витримуються, якщо нульовим елементом визначити 1, а протилежним - зворотнє число, . Дійсно, тоді , . Також легко перевіряється, що ,   і т.д.

2) Другий приклад - множина геометричних векторів (направлених відрізків), якщо суму двох векторів визначити за допомогою правила паралелограма, а множення вектора  на число , як колінеарний вектор, довжина якого дорівнюе , а напрямок співпадае , якщо  або протилежний, якщо . Але множина векторів, з якої вилучені вектори, колінеарні заданій прямій, не утворює лінійного простору, бо завжди можна знайти такі два вектори, які в сумі дадуть вектор, колінеарний цій прямій, тобто сума не буде належати множині.

4) Множина матриць заданого розміру, якщо додавання матриць та множення на число робити за правилами, що були введені в лекції 3

3) Важливий приклад лінійного простору є множина розв”язків однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь , де А - матриця ,  - стовпець п невідомих. Якщо r(A)<n то це система невизначена і має безліч розв”язків. Суму двох розв”язків і добуток розв”язку на число будемо визначати за допомогою правил дій над матрицями. Тоді, якщо  та  - розв”язки, то  - теж розв”язок системи. Якщо  - розв”язок, то  - теж розв”язок.

Дійсно ,

 ;

 .

Неважко перевірити, що всі вісім правил додавання та множення на число задовільняються. Таким чином, множина розв”зків однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь утворює лінійний простір.

Базис та розмірність лінійного простору.

Розглянемо k елементів лінійного простору L: . Згадаємо поняття лінійної залежності елементів, яке було введено в лекції 3. Якщо знайдуться такі числа , з яких хоча б одне відмінне від нуля, що лінійна комбінація елементів дорівнює нулю,

, (10.1)

то такі елементи називаються лінійно залежними. Якщо ж таких чисел немає, то елементи називаються лінійно незалежними. Максимальне число лінійно незалежних елементів даного простору називається його розмірністю і позначається як dimL.

Хай k елементів лінійно залежні, і хай, наприклад, . Тоді можна написати

. (10.2)

В цьому разі кажуть, що  представлено в виді розкладу по елементах .

Хай тепер в лінійному просторі знайшлись п лінійно незалежних елементів  таких , що будь-який елемент  цього простору можна розкласти по цих елементах:

. (10.3)

Такий набір елементів називається базисом лінійного простору. Числа  називаються координатами елемента  в даному базисі  . Запис

 (10.4)

означає задавання елемента  своїми координатами в даному базисі. Якщо вибрати другий базис, , то той же елемент буде мати другі координати: , тобто

. (10.5)

Теорема. Число елементів базису дорівнює розмірності лінійного простору.

Дійсно: 1) Хай  - базис лінійного простору. Це значить, що ці елементи лінійно незалежні, і, до того ж, для будь-якого елемента можна написати

, або  . (10.6)

Таким чином, доповнення системи базисних елементів ще одним, довільним, елементом дає вже систему лінійно залежних елементів (в крайньому разі, множник при  дорівнює -1). Звідси маємо, що число елементів базису - це максимально можливе число лінійно незалежніх елементів і тому воно дорівнює розмірності простору.

2) Хай розмірність простору дорівнює п. Це значить, що максимальне число лінійно незалежних елементів дорівнюе п. Якщо до цих елементів  додати ще будь-який елемент , то одержимо уже систему лінійно залежних елементів

. (10.7)

При цьому , бо в противному разі елементи  будуть лінійно залежні. З цього витікає, що для будь-якого елемента справедливий розклад

, (10.8)

тобто  - базис, і число елементів в ньому дорівнює п.

Приклади 1) Розглянемо множину рядків , яка утворює лінійний простір по відношенню до операцій додавання матриць та множення матриці на число. Розглянемо систему елементів цього простору.

 

 (10.9)

 

 

Вона лінійно незалежна, бо ранг матриці, складеної з цих рядків, дорівнює їх кількості (чому?). Легко перевірити , що для будь-якого елемента

,

тобто  є базис простору рядків, п - розмірність цього простору. а числа  - координати елемента  в цьому базисі.

2) Розглянемо однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь  відносно п невідомих. Хай . Визначимо (п-k) вільних невідомих  і знайдемо множину розв”язків системи

,

 

,

,

 

.

Елемент цієї множини можна записати у виді стовпців , де перші k елементів виражаються через елементи , тобто, якщо , то розв”язок системи буде мати вигляд

  (10.10)

Будемо для чисел  брати значення з рядків матриці розміром

.

Тоді одержимо (п-k) розв”язків цієї системи

,     . (10.11)

Вони незалежні, так як ранг матриці, складеної з цих стовпців дорівнює (п-k). Очевидно, довільний розв”язок системи запишеться як

 , (10.12)

тобто  утворюють базис простору розв”язків однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Розмірність цього простору дорівнює (п-k), або, згадуючи, що k=r(A), в другому запису (п-r(A)).

3) Лінійний простір із геометричних векторів, колінеарних заданій прямій (Рис.10.1). Виберемо на цій прямій який-небудь вектор . Тоді будь-який вектор з даної множини можно записати як :

Рис.10.1. Одновимірний простір геометричних векторів

Таким чином,  - базис, розмірність простору дорівнюе 1.

4) Лінійний простір геометричних векторів, парелельних заданій площині.

Виберемо два неколінеарних вектора , . Будь-який вектор можна записати як . Це очевидно із Рис. 10.2.

Рис.10.2. Двовимірний простір геометричних векторів

Значить, ,  - базис, розмірність простору - 2.

5) Множина просторових геометричних векторів утворює тривимірний простір, і будь-які три вектори, що не лежать в одній площині (некомпланарні) складають базис.

Наслідок. Будь- які чотири геометричні вектори - лінійно залежні.

Ізоморфізм лінійних просторів. Хай маємо два лінійних простори, Е, елементи якого позначимо , та R - елементи позначимо .

Хай між ними є взаємно-однозначна відповідність, тобто кожному  відповідає один елемент  і навпаки.

Припустимо тепер, що відповідність між просторами така, що з відповідності  і

витікає відповідність  і , тобто елементу , помноженому на число , відповідає елемент , помножений на те ж число, а сумі елементів  відповідає сума їм відповідних елементів . Тоді такі два простори називаються ізоморфними. Як лінійні простори вони еквівалентні, незалежно від елементів, з яких вони утворені.

Теорема. Для того, щоб два простори були ізоморфні, необхідно і достатньо, щоб вони мали однакову розмірність.

Висновок. Всі простори однакової розмірності ізоморфні. Тобто як лінійні простори мають однакові властивості. Це значить, що можна вивчати властивості одного простору даної розмірності. Найбільш зручно вивчати простір рядків, так званий арифметичний лінійний простір.

Означення підпростору. Хай множина А утворює лінійний простір Е. Якщо підмножина  по відношенню до тих же операцій сама утворює лінійний простір R, то він називається підпростором простору Е. Очевидно .

Приклади: 1) Множина дійсних чисел утворює підпростір простору комплексних чисел.

2) Множина рядків від  довжиною  елементів є підпростір простору рядків довжиною  елементів. Очевидно, що розмірність підпростору дорівнює .

3) Множина геометричних векторів, паралельних заданій площоні, є підпростір простору геометричних векторів. Розмірність підпростору дорівнює 2.

Контрольні питання.

1. Сформулюйте поняття лінійного простору.

2. Наведіть приклади лінійних просторів.

3. Сформулюйте поняття лінійної залежності елементів простору.

4. Дайте означення базису та розмірності лінійного простору.

5. У якому відношенні знаходяться базис та розмірность лінійного простору?

6. Чому дорівнює розмірність лінійного простору розв”язків однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь?

7. Чому дорівнює розмірність множини геометричних векторів, паралельних даній площині?

8. Сформулюйте поняття ізоморфізму лінійних просторів.

PAGE  

PAGE  79


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76091. РАО «ЕЭС России» и его роль в экономике 255 KB
  Целью данной курсовой работы является анализ РАО «ЕЭС России» и его роль и место в экономике России. Для достижения поставленной цели необходимо решить задачи: рассмотреть электроэнергетику и рынок; проблемы информационного обеспечения диспетчерского управления в условиях функционирования ФОРЭМ...
76094. Оценка влияния температурного режима на предельно допустимую высоту и максимально допустимую скорость полёта по маршруту Москва - Югорск 440.73 KB
  В данной курсовой работе требуется оценить значимость многолетнего режима температуры на высотах над участками воздушной трассы указанной в индивидуальном задании на курсовую работу для обеспечения безопасности и повышения экономичности полетов рассчитать возможные пределы...
76096. Устройство надстроек при реконструкции здания. Конструкции надстраиваемых этажей и мансард 35.5 KB
  Этаж мансардный (мансарда) - этаж в чердачном пространстве, фасад которого полностью или частично образован поверхностью (поверхностями) наклонной или ломаной крыши, при этом линия пересечения плоскости крыши и фасада должна быть на высоте не более 1,5 м от уровня пола мансардного этажа.