21181

Лінійні простори. Базис. Розмірність. Ізоморфізм просторів

Реферат

Математика и математический анализ

Але наприклад множина додатніх чисел не утворює лінійного простору по відношенню до звичайних операцій додавання та множення бо в цьому разі нема протилежного числа воно повинно бути від€ємним а значить не буде належати цій множині. Але множина векторів з якої вилучені вектори колінеарні заданій прямій не утворює лінійного простору бо завжди можна знайти такі два вектори які в сумі дадуть вектор колінеарний цій прямій тобто сума не буде належати множині. 4 Множина матриць заданого розміру якщо додавання матриць та множення на...

Украинкский

2013-08-02

366 KB

64 чел.

PAGE  79

ЛІНІЙНІ ПРОСТОРИ.

Лінійні простори. Базис. Розмірність. Ізоморфізм просторів.

Розглянемо множину А елементів , в якій означено дві операції: додавання двох елементів, , та множення елемента на число , , причому кожна з цих операцій дає елемент, який належить тій же множині (кажуть, не виводить за межі множини). Хай ці операції підкоряються таким же правилам, як і звичайні операції додавання та множення дійсних чисел, тобто:

1) ,

2) ,

3) , (тобто в множині А є нульовий елемент),

4)  , (тобто в множині для кожного елемента  є протилежний елемент ),

5) 1,

6) ,

7) ,

8) ..

 Така множина називається лінійним простором. 

Приклади лінійних просторів:

1) множини дійсних чисел R , або комплексних чисел С, якщо в них введені звичайні операції додавання та множення. Але, наприклад, множина додатніх чисел не утворює лінійного простору по відношенню до звичайних операцій додавання та множення, бо в цьому разі нема протилежного числа (воно повинно бути від”ємним, а значить не буде належати цій множині). Проте, можна і на цій множині побудувати лінійний простір, якщо ввести операції додавання та множення по другому, а саме: сумою двох елементів будемо називати добуток двох додатніх чисел, , (  означає елемент множини, а х - відповідне йому додатнє число), а добутком елемента  на число  є елемент . Як видно, кожна з цих операцій дає додатнє число, тобто не виводить за межі множини додатніх чисел, і всі вісім перечислених вище правил витримуються, якщо нульовим елементом визначити 1, а протилежним - зворотнє число, . Дійсно, тоді , . Також легко перевіряється, що ,   і т.д.

2) Другий приклад - множина геометричних векторів (направлених відрізків), якщо суму двох векторів визначити за допомогою правила паралелограма, а множення вектора  на число , як колінеарний вектор, довжина якого дорівнюе , а напрямок співпадае , якщо  або протилежний, якщо . Але множина векторів, з якої вилучені вектори, колінеарні заданій прямій, не утворює лінійного простору, бо завжди можна знайти такі два вектори, які в сумі дадуть вектор, колінеарний цій прямій, тобто сума не буде належати множині.

4) Множина матриць заданого розміру, якщо додавання матриць та множення на число робити за правилами, що були введені в лекції 3

3) Важливий приклад лінійного простору є множина розв”язків однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь , де А - матриця ,  - стовпець п невідомих. Якщо r(A)<n то це система невизначена і має безліч розв”язків. Суму двох розв”язків і добуток розв”язку на число будемо визначати за допомогою правил дій над матрицями. Тоді, якщо  та  - розв”язки, то  - теж розв”язок системи. Якщо  - розв”язок, то  - теж розв”язок.

Дійсно ,

 ;

 .

Неважко перевірити, що всі вісім правил додавання та множення на число задовільняються. Таким чином, множина розв”зків однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь утворює лінійний простір.

Базис та розмірність лінійного простору.

Розглянемо k елементів лінійного простору L: . Згадаємо поняття лінійної залежності елементів, яке було введено в лекції 3. Якщо знайдуться такі числа , з яких хоча б одне відмінне від нуля, що лінійна комбінація елементів дорівнює нулю,

, (10.1)

то такі елементи називаються лінійно залежними. Якщо ж таких чисел немає, то елементи називаються лінійно незалежними. Максимальне число лінійно незалежних елементів даного простору називається його розмірністю і позначається як dimL.

Хай k елементів лінійно залежні, і хай, наприклад, . Тоді можна написати

. (10.2)

В цьому разі кажуть, що  представлено в виді розкладу по елементах .

Хай тепер в лінійному просторі знайшлись п лінійно незалежних елементів  таких , що будь-який елемент  цього простору можна розкласти по цих елементах:

. (10.3)

Такий набір елементів називається базисом лінійного простору. Числа  називаються координатами елемента  в даному базисі  . Запис

 (10.4)

означає задавання елемента  своїми координатами в даному базисі. Якщо вибрати другий базис, , то той же елемент буде мати другі координати: , тобто

. (10.5)

Теорема. Число елементів базису дорівнює розмірності лінійного простору.

Дійсно: 1) Хай  - базис лінійного простору. Це значить, що ці елементи лінійно незалежні, і, до того ж, для будь-якого елемента можна написати

, або  . (10.6)

Таким чином, доповнення системи базисних елементів ще одним, довільним, елементом дає вже систему лінійно залежних елементів (в крайньому разі, множник при  дорівнює -1). Звідси маємо, що число елементів базису - це максимально можливе число лінійно незалежніх елементів і тому воно дорівнює розмірності простору.

2) Хай розмірність простору дорівнює п. Це значить, що максимальне число лінійно незалежних елементів дорівнюе п. Якщо до цих елементів  додати ще будь-який елемент , то одержимо уже систему лінійно залежних елементів

. (10.7)

При цьому , бо в противному разі елементи  будуть лінійно залежні. З цього витікає, що для будь-якого елемента справедливий розклад

, (10.8)

тобто  - базис, і число елементів в ньому дорівнює п.

Приклади 1) Розглянемо множину рядків , яка утворює лінійний простір по відношенню до операцій додавання матриць та множення матриці на число. Розглянемо систему елементів цього простору.

 

 (10.9)

 

 

Вона лінійно незалежна, бо ранг матриці, складеної з цих рядків, дорівнює їх кількості (чому?). Легко перевірити , що для будь-якого елемента

,

тобто  є базис простору рядків, п - розмірність цього простору. а числа  - координати елемента  в цьому базисі.

2) Розглянемо однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь  відносно п невідомих. Хай . Визначимо (п-k) вільних невідомих  і знайдемо множину розв”язків системи

,

 

,

,

 

.

Елемент цієї множини можна записати у виді стовпців , де перші k елементів виражаються через елементи , тобто, якщо , то розв”язок системи буде мати вигляд

  (10.10)

Будемо для чисел  брати значення з рядків матриці розміром

.

Тоді одержимо (п-k) розв”язків цієї системи

,     . (10.11)

Вони незалежні, так як ранг матриці, складеної з цих стовпців дорівнює (п-k). Очевидно, довільний розв”язок системи запишеться як

 , (10.12)

тобто  утворюють базис простору розв”язків однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Розмірність цього простору дорівнює (п-k), або, згадуючи, що k=r(A), в другому запису (п-r(A)).

3) Лінійний простір із геометричних векторів, колінеарних заданій прямій (Рис.10.1). Виберемо на цій прямій який-небудь вектор . Тоді будь-який вектор з даної множини можно записати як :

Рис.10.1. Одновимірний простір геометричних векторів

Таким чином,  - базис, розмірність простору дорівнюе 1.

4) Лінійний простір геометричних векторів, парелельних заданій площині.

Виберемо два неколінеарних вектора , . Будь-який вектор можна записати як . Це очевидно із Рис. 10.2.

Рис.10.2. Двовимірний простір геометричних векторів

Значить, ,  - базис, розмірність простору - 2.

5) Множина просторових геометричних векторів утворює тривимірний простір, і будь-які три вектори, що не лежать в одній площині (некомпланарні) складають базис.

Наслідок. Будь- які чотири геометричні вектори - лінійно залежні.

Ізоморфізм лінійних просторів. Хай маємо два лінійних простори, Е, елементи якого позначимо , та R - елементи позначимо .

Хай між ними є взаємно-однозначна відповідність, тобто кожному  відповідає один елемент  і навпаки.

Припустимо тепер, що відповідність між просторами така, що з відповідності  і

витікає відповідність  і , тобто елементу , помноженому на число , відповідає елемент , помножений на те ж число, а сумі елементів  відповідає сума їм відповідних елементів . Тоді такі два простори називаються ізоморфними. Як лінійні простори вони еквівалентні, незалежно від елементів, з яких вони утворені.

Теорема. Для того, щоб два простори були ізоморфні, необхідно і достатньо, щоб вони мали однакову розмірність.

Висновок. Всі простори однакової розмірності ізоморфні. Тобто як лінійні простори мають однакові властивості. Це значить, що можна вивчати властивості одного простору даної розмірності. Найбільш зручно вивчати простір рядків, так званий арифметичний лінійний простір.

Означення підпростору. Хай множина А утворює лінійний простір Е. Якщо підмножина  по відношенню до тих же операцій сама утворює лінійний простір R, то він називається підпростором простору Е. Очевидно .

Приклади: 1) Множина дійсних чисел утворює підпростір простору комплексних чисел.

2) Множина рядків від  довжиною  елементів є підпростір простору рядків довжиною  елементів. Очевидно, що розмірність підпростору дорівнює .

3) Множина геометричних векторів, паралельних заданій площоні, є підпростір простору геометричних векторів. Розмірність підпростору дорівнює 2.

Контрольні питання.

1. Сформулюйте поняття лінійного простору.

2. Наведіть приклади лінійних просторів.

3. Сформулюйте поняття лінійної залежності елементів простору.

4. Дайте означення базису та розмірності лінійного простору.

5. У якому відношенні знаходяться базис та розмірность лінійного простору?

6. Чому дорівнює розмірність лінійного простору розв”язків однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь?

7. Чому дорівнює розмірність множини геометричних векторів, паралельних даній площині?

8. Сформулюйте поняття ізоморфізму лінійних просторів.

PAGE  

PAGE  79


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79463. Технология формирования имиджа учреждений социально-культурной сферы 28.15 KB
  В последнее время учреждения культуры все чаще обращаются к переосмыслению своей деятельности что связано с изменением их роли в обществе. Следовательно они важны сегодня и для учреждения культуры как его руководства так и каждого сотрудника. Репутация это уже созданное общее мнение о достоинствах и недостатках учреждения. Кроме того существует внутренний имидж учреждения то есть представление о нем персонала.
79464. Методологические характеристики исследований СКД 28.54 KB
  Методы исследования делятся на 2 большие группы: теоретические и эмпирические. Теоретические методы исследования всегда существуют в паре. Абстрагирование мысленное вычленение и обращение в самостоятельный объект исследования отдельных сторон свойств или состояний объекта. Наблюдение это наиболее информативный метод исследования.
79465. Фандрейзинг в социально-культурной сфере: источники и организационное обеспечение 28.45 KB
  Источники финансирования некоммерческих организаций социальнокультурной сферы: Привлеченные Государственные Собственные; Благотворительные средства; Прямое финансирование: Доходы от основной; Спонсорские средства содержание госсети учреждений деятельности; Гранты программы федеральные Доходы от; Членские взносы региональные отраслевые предпринимательской; Резервные взносы межотраслевые деятельности; Заемные средства кредиты Финансирование потребителя; Косвенное финансирование. НКО некоммерческие организации отличаются высокой...
79466. Основные этапы и противоречия развития самодеятельной общности; социально-психологические типы самодеятельных обществ 26.51 KB
  В процессе своего развития возникают связи и группа становится группойассоциацией. Группа прекратила свое существование. Формирование внутригрупповых норм: без норм не может жить ни одна группа. Чем больше существует группа тем больше норм чем больше норм тем больше внутригрупповое давление на личность.
79467. Социально-культурные функции рекламы 28.34 KB
  Реклама – это особый вид создания и распространения информации, имеющий четкого заказчика, передаваемый опосредованно имеющий целью – повышение спроса и повышение интереса к товарам и услугам.
79468. Методы организации СКД 27.68 KB
  Методы социальнокультурной деятельности система информационного и идейноэмоционального воздействия; совокупность способов совместных действий организаторов и участников социальнокультурной деятельности направленных на решение конкретных просветительных воспитательных и иных культуросозидающих задач. Методы СКД: Методы формирования культурных знаний которые в свою очередь подразумеваются на методы: информирования сообщения внушения заражения убеждения. Методы стимулирования в этой группе рассматриваются соревнования метод...
79469. Деятельность некоммерческих организаций в становлении и развитии гражданского общества 26.77 KB
  Роль ОО в становлении гражданского общества. Общественные объединения являются субъектами социально-культурной деятельности в условиях становления гражданского общества их влияние на социально-культурную политику и взаимодействие с государственными органами по решению социальных проблем имеет существенное значение. Основной ролью общественных организаций в условиях демократии является активное участие в формировании гражданского общества с привлечением творческого потенциала населения.
79470. Средства социально-культурной деятельности и примеры их использования в различных досуговых программах 27.32 KB
  Множество социальных проблем с которыми мы сталкиваемся в процессе этой деятельности так или иначе неизменно приобретает статус педагогических задач. Социально педагогические критерии к средствам культурнодосуговой деятельности соотносятся с критериями предъявляемыми к культурнодосуговой деятельности в целом. Это: критерий социально значимой направленности культурнодосуговой деятельности; критерий соответствия методики работы современным требованиям обеспечения педагогического влияния на сознание поведение и отношения людей в условиях...
79471. Деловой этикет и культура делового общения в учреждениях социально-культурной сферы 28.48 KB
  Особое место в искусстве поведения занимает деловой этикет. Деловой этикет здесь значительно упрощается становится несравненно более свободным и естественным приобретает смысл повседневного благожелательного и уважительного отношения ко всем людям безотносительно к их должности и общественному положению. Менеджеру важно владеть правилами этикета ибо служебный этикет регламентирует поведение людей и при личных контактах в текущей работе разговорах по телефону в деловой переписке на совещаниях и при проведении различных официальных...