21182

Перехід до нового базису. Орієнтація базиса. Скалярний добуток. Евклідовий простір

Реферат

Математика и математический анализ

Орієнтація базиса. Перехід до нового базиса. Хай в пвимірному лінійному просторі вибрані два базиса: та .2 Таким же чином і кожний вектор базиса можна розкласти по базису : .

Украинкский

2013-08-02

361.5 KB

24 чел.

Перехід до нового базису. Орієнтація базиса. Скалярний добуток. Евклідовий простір

Базис геометричних векторів. Розглянемо в лінійному просторі геометричних векторів деякий базис , за який можна взяти будь-які три некомпланарні вектори, які не лежать в одній площині. Тоді будь-який вектор можна записати у вигляді розкладу по цьому базису, наприклад, , . Таким чином, кожному вектору відповідає рядок із його координат в даному базисі, наприклад: , . Оскільки всі лінійні простори одинакової розмірності ізоморфні, то звідси випливають правила дій над координатами вектора, а саме: а) при множенні вектора на число, його координати домножаються на це число; б) при додаванні векторів їх координати теж додаються. Дійсно:

;

  (11.1)

В цих перетвореннях використані правила множення рядків на число та додавання рядків.

Найчастіше в просторі геометричних векторів за базис беруть вектори довжиною одиниця, які спрямовані по осях декартової прямокутної системи координат (Рис. 11.1).

Рис.11.1. Репер

Їх стандартне позначення: . Ці вектори називають ортами, а вся трійка в цілому називається репером.

Якщо взяти другий базис, то координати вектора міняються. Очевидно, нові координати пов”язані із старими певними відношеннями. Розглянемо це питання в загальному вигляді для п-вимірного простору.

Перехід до нового базиса. Хай в п-вимірному лінійному просторі вибрані два базиса:  та . Довільний елемент  можна розкласти по кожному з цих базисів:

 

. (11.2)

Таким же чином і кожний вектор базиса  можна розкласти по базису :

 . (11.3)

Складемо із коефіцієнтів  матрицю і транспонуємо її. Одержимо так звану матрицю переходу від базиса  до базиса :

. (11.4)

Так як вектори  лінійно незалежні (чому?), то стовпці цієї матриці лінійно незалежні. Значить її ранг дорівнює п і тому . Значить ця матриця невироджена і має обернену матрицю.

Знайдемо формули, які зв”язують координати вектора в різних базисах. Очевидно

. (11.5)

Підставимо сюди розкладення векторів  .

. (11.6)

Зліва і справа одержали розкладення по одному і тому ж базису. Отже

. (11.7)

Це і є формула перетворення координат вектора при переході від базиса  до базиса . В матричному виді цю формулу можна переписати так

, (11.8)

де та  - стовпці координат, а  - матриця переходу. З цього ж рівняння маємо

. (11.9)

До речі, елементи оберненої матриці  є коефіцієнти розкладення базисних векторів  по базису . Дійсно, розглянемо систему рівнянь

  

 (11.10)

 

Домножимо ці рівняння на алгебраїчні доповнення елементів k - го рядка детермінанта detP і складемо їх. Враховуючи властивості детермінантів будемо мати

 (11.11)

Звідси

, (11.12)

де  - елементи оберненої матриці.

Орієнтація базиса. Будемо вважати, що в кожному вибраному базисі порядок розташування елементів строго заданий, тобто, якщо в даному наборі базисних елементів поміняти місцями хоча б два елемента, то одержимо новий базис. Другими словами набори базисних елементів є упорядковані підмножини елементів. Тоді всі базиси можна розділити на два класи.

Якщо detP>0, де Р матриця переходу від одного базиса до іншого, то такі базиси будемо називати однаково орієнтованими. Якщо detP<0, то протилежно орієнтованими. Звичайно, базиси одного класу називають право орієнтованими, а другого - ліво орієнтованими.

Розглянемо два репера:  та . Матриця переходу знаходиться з розкладень:

 

 

 

  ,

тобто це базиси різної орієнтації. Перший називають правим репером, а другий - лівим. Це пов”язано з правилом правої руки. Якщо вектор  направити по середньому пальцю правої руки,  - по великому пальцю, а  - по вказівному, то найкоротший поворот від першого до другого, від другого до третього і від третього до першого буде проти годинникової стрілки (Рис.11.2).

Рис.11.2 Правостороння орієнтація базиса

Для другого базису таке ж правило справедливе відповідно лівої руки, і обертання за годинниковою стрілкою (Рис.11.3),

Рис.11.3 Лівостороння орієнтація базиса

тобто, якщо  направити по середньому,  - по великому,  - по вказівному пальцю лівої руки, то найкоротший поворот буде за годинниковою стрілкою.

Кажуть, що вектори , ,  утворюють праву трійку, а вектори , ,  - ліву.

Скалярний добуток елементів лінійного простору. Евклідовий простір. В лінійному просторі можна ввести так званий скалярний (внутрішній) добуток двох елементів, якщо кожній парі елементів поставити у відповідність число. Це позначають так: . Ця відповідність повинна підкорятись правилам:

1)

2)

3)   (11.13)

4) .

Наприклад, для арифметичного простору введемо скалярний добуток як суму добутків елементів рядків, а саме: для , та , скалярний добуток можна визначити як

. (11.14)

Неважко перевірити, що всі чотири правила (11.13) виконуються, тобто скалярний добуток введено вірно.

Другий приклад - простір геометричних векторів. Введемо скалярний добуток, як

, (11.15)

де  - кут між векторами  та . Також неважко показати, що правила (11.13) виконуються. Розглянемо, наприклад, друге. Для його доказу замітимо, що добуток можна записати і по іншому. а саме

, (11.16)

де  - є проекція вектора  на напрямок вектора  (Рис. 11.4). Проекція виражається скалярним дійсним числом, яке є додатнім коли напрям проекції  співпадає з напрямком осі , і від”ємним, коли напрям проекції протилежний напрямку осі .

Рис.11.4 Проекція вектора на напрямок

Тоді, як видно з рисунка Рис.11.5:

Рис.11.5 До правил скалярного добутку

 

=. (11.17)

Поняття скалярного добутку і назва були введені У.Гамільтоном у 1853 р. Термін внутрішній добуток застосовував Г.Грассман (1864) (Grassmann H., 1809-1877, Німеччина). Позначення  вперше зустрічається у О.Хенрічі (1903),  - у Дж. Гіббса у 1881 р. (Gibbs J.W., 1839-1903, Америка). Лінійний простір, у якому введено скалярний добуток елементів, називається евклідовим простором.

У подальшому буде використовуватись нерівність Коші-Буняковського (Коші довів нерівність для одного випадку у 1821 р., Буняковський (Буняковський В.Я., 1804 1889, Росія) у 1859 р.) :

. (11.18)

Доведення: Згідно четвертого правила скалярного добутку

. (11.19)

Розкриємо добуток зліва, використовуючи перші три правила:

. (11.20)

Його можна розглядати як квадратичний тричлен відносно . Так як , то квадратичний тричлен буде задовольняти нерівність тільки тоді, коли його дискримінант від”ємний або дорівнює нулю

. (11.21)

Звідси і випливає нерівність Коші-Буняковського.

Для геометричних векторів ця нерівність очевидна:

, (11.22)

тому, що .

Якщо в евклідовому просторі вибрано базис, то скалярний добуток можна записати через координати в цьому базисі. Хай

. (11.23)

Тоді

 = = , (11.24)

де .

Ця сума має  доданків.

Якщо в (11.24) , то маємо

, (11.25)

Така сума називається квадратичною формою.

Контрольні питання.

1. Що таке матриця переходу від одного базиса до іншого?

2. Запишіть координати елемента лінійного простору в новому базисі?

3. Дайте означення орієнтації базиса.

4. Дайте означення скалярного добутку елементів лінійного простору.

5. Дайте означення скалярного добутку геометричних векторів.

6. Дайте означення проекції вектора на заданий напрямок.

7. Сформулюйте нерівність Коші-Буняковського.

8. Дайте запис скалярного добутку через координати елементів в довільному базисі.

PAGE  88


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14784. Қылқобыздың қос қыраны 62 KB
  Қылқобыздың қос қыраны Қылқобыздың шығу тарихын сонау атам заманнан белгілі бақсы балгерлерді жебеп жасқаушы түркілердің бабасы тұңғыш қобызшы Қорқыт ата есімімен байланыстырып аңыз етіп айтады. Халық арасына кең тараған аңызда былай дейді: – Қорқыт 20 жасқа тол...
14785. Манарбек Ержанов 97 KB
  Манарбек Ержанов Ержанов Манарбек 1901-1966 әнші актер композитор. Қазақстанның халық артисі. Ол Ақан сері Біржан сал және басқалары сияқты композиторлар әншілердің композиторлықәншілік мектебін лайықты тұрақты жалғастырушы болып табылады. Ол белгілі әнші жә...
14786. Музыкалық білім және музыкалық ғылымның өзекті мәселелері 38.5 KB
  Музыкалық білім және музыкалық ғылымның өзекті мәселелері Төл музыка дәстүр тереңінен тамыр тартып біліктілік пен кәсіпқойлық деңгейде шыңдалса ғана өрге шабады. Қазақтың дәстүрлі музыкасын жоғары кәсіптік деңгейде өркендету мәселесіне түбегейлі бет бұрылып ұл...
14787. Мусин Қапан Әубәкірұлы 249 KB
  Мусин Қапан Әубәкірұлы. 1921 жылы Батыс Қазақстан обылысы Жәнібек ауданының Ақоба ауылында дүниеге келген. 1970 жылдың 21 сәуірінде Алматы қаласында қайтыс болған. Қазақ композиторы. 19391941 жылдары Мәскеу консерваториясының қазақ студиясында дәріс алған. Ұлы Отан соғысыны
14788. Нұрғиса Тілендиев 56 KB
  Нұрғиса Тілендиев Тілендіұлы Нұрғиса 1925-1998 – қазақтың әйгілі күйші композиторы дирижер дәулескер домбырашы. Туып өскен жері Алматы облысының Іле ауданына қарасты Шилікемер ауылы. Топырқ бұйырған жері Жамбыл кесенесінің іргесі. Москваның П.И.Чайковский атын...
14789. Саз әлемінің сардары 55 KB
  Саз әлемінің сардары А.Жұбановтың қазақ мәдениетіне қосқан үлесі ұшантеңіз. 1933 жылдың ақпанынан басталған еңбек жолы қазақ өнері мен мәдениетінің қалыптасуы дамуы және өркендеуі жолында алтын әріптермен жазылған жемісті беттеріне айналды. Бұл кезең жаңадан қаулап ...
14790. Үкілі Ыбырай. Тайгадағы түс. “Қалдырған” әні 41 KB
  Үкілі Ыбырай. Тайгадағы түс. €œҚалдырған€ әні Смағұл РАХЫМБЕК журналист. Тайга ішінің аязы бүгін ерекше шаңытып тұр. Барактан барынша жылы киініп шыққан қария қуаты қайта бастағанын бойының лезде қалтырап қоя бергенінен аңғарғандай болды. Қалың оппа қардан ма
14791. ГӘККУ 80.5 KB
  ГӘККУ Қай заманда қазақ үшін ән өнердің ұшар басында тұрды. Көшпелілердің сахнасын өлеңмен ашу ата дәстүрі болса сол рухани азығымыздың өрісі өрлеп өркендей түсті. Сұлу саз көркем сөз асқақ ән дегенде қазақтың салсерілерінің бейнелері көзге елестейді. Бұл орайда
14792. ФАРАБИ ЖӘНЕ МУЗЫКА МӘСЕЛЕЛЕРІ 87.25 KB
  ФАРАБИ ЖӘНЕ МУЗЫКА МӘСЕЛЕЛЕРІ ФАРАБИДІҢ МУЗЫКАЛЫҚ ІЛІМІ Фарабидің ғылым мен өнердегі үлкен де кесек дүниесі оның музыкасы. Ол ең әуелі музыканын аса ұлы теоретигі саналады. Фарабидің музыка теориясын дамытудағы тарихтан алатын орнын анықтамастан бұрын музыка те...