21183

Нормовані простори. Ортонормований базис. Процес ортогоналізації

Реферат

Математика и математический анализ

Ортонормований базис. А значить в пмірному просторі п попарно ортогональних елементів можна брати як базис. Такий базис називається ортогональним. Ортонормований базис.

Украинкский

2013-08-02

336.5 KB

49 чел.

Нормовані простори. Ортонормований базис. Процес ортогоналізації.

Нормовані простори. Як кожному геометричному вектору відповідає певна довжина, що виражається додатнім числом, так і кожному елементу  лінійного простору можна співставити додатнє число, яке буде відігравати роль довжини. Таке число, будемо позначати його , називають нормою елементу лінійного простору, якщо це співвідношення відповідає умовам:

1) ,

2) ,

3) .

Остання умова виражає нерівність Мінковського (1896 р.) (Minkowski H., 1864-1909, Німеччина) (нерівність трикутника).

Лінійний простір, в якому введення поняття норми називають нормованим лінійним простором. 

В кожному евклідовому просторі можна ввести норму за допомогою формули

. (12.1)

Дійсно, така норма задовольняє всі наведені вище три умови. Це очевидно для першої умови, якщо під квадратним корнем розуміти арифметичний корень, тобто додатнє число. Тоді для другої умови маємо:

. (12.2)

Для перевірки третьої умови використаємо нерівність Коші-Буняковського.

 

. (12.3)

Приклади нормованих просторів.

1) Простір геометричних векторів. Норма геометричного вектора співпадає з його довжиною.

, (12.4)

2) Арифметичний простір елементів , в якому скалярний добуток введено за допомогою формули:

. (12.5)

Тоді норма буде вставлена як

. (!2.6)

Кут між елементами нормованого евклідового простору. Знову використовуючи аналогію з геометричними векторами, визначимо кут між двома елементами  та  нормованого евклідового простору через скалярний добуток

. (12.7)

Визначений таким чином косинус має смисл, бо величина дробу не перевищує одиниці по модулю. Дійсно, згідно нерівності Коші-Буняковського чисельник менше або дорівнює знаменнику:

, (12.8)

Приклади введення кута між елементами евклідового простору:

1) В просторі геометричних векторів маємо тотожність

. (12.9)

2) В арифметичному просторі

. (12.10)

Означення. Якщо для двох даних елементів , то такі елементи називають ортогональними. Отже умова ортогональності двох елементів, якщо ні один з них не дорівнює нулю, має вид

. (12.11)

Теорема: Хай система елементів  попарно ортогональна, тобто

,  (12.12)

Тоді ці елементи лінійно незалежні. Доведемо від противного. Допустимо, що вони лінійно залежні. Значить є такі числа, з яких хоча б одне відмінне від нуля, що

. (12.13)

Помножимо цю рівність скалярно на .

   , (12.14)

так як .

Домножаючи послідовно на  одержимо, що , тобто рівність можлива тільки при нульових коефіцієнтах. Значить, елементи лінійно незалежні. А значить, в п-мірному просторі п попарно ортогональних елементів можна брати як базис. Такий базис називається ортогональним.

Ортонормований базис. Якщо кожний елемент ортогонального базису помножити на число, обернене його нормі, одержимо ортонормований базис:

. (12.15)

Елементи цого базису попарно-ортогональні, бо

, (12.16)

якщо ,

і по нормі дорівнюють одиниці, бо

. (12.17)

За допомогою символа Кронекера ці дві умови можна записати так:

 (12.18)

Будь-який елемент евклідового простору розмірності п може бути розкладений по цьому базису

. (12.19)

Як було показано раніше скалярний добуток двох елементів, заданих в довільному базисі , має вид

, (12.20)

де

. (12.21)

Якщо ж базис ортонормований, то цей вид значно спрощується, бо тоді , і

. (12.22)

(Як запишеться скалярний добуток, якщо базис ортогональний, але ненормований?).

До речі, якщо норма елемента в довільному базисі записується через координати як

, (12.23)

то в ортонормованому базисі вона буде мати значно простіший вид

. (12.24)

Приклад: В просторі геометричних векторів репер  є ортонормований базис. Тому скалярний добуток векторів  і  через їх координати в цьому базисі запишеться як

. (12.25)

Ортонормування базиса. В силу його зручності завжди бажано мати ортонормований базис. Його можна побудувати на основі будь-якого базису . Це робиться за допомогою процедури ортонормування, яка полягає в слідуючому. Як перший елемент нового базису візьмемо :

. (12.26)

За основу другого елемента візьмемо ,

, (12.27)

таким чином, щоб  був ортогональний : .

З цього витікає, що , тобто

. (12.28)

За основу третього елементу візьмемо ,

, (12.29)

таким чином, щоб  був ортогональний  і : ,  .

Приймаючи  до уваги, що , маємо

,

.

Таким чином

,  . (12.30)

Продовжуючи цей процес одержимо всі п ортогональних елементів:

,   . (12.31)

де

,  (12.32)

причому  .

Нормуючи тепер цю систему одержимо ортонормований базис:

. (12.33)

Приклад: Хай в чотиривимірному арифметичному просторі введено скалярний добуток

.

Візьмем базис

           

          .

Ці елементи лінійно незалежні, в чому легко переконатись, якщо скласти з цих рядків матрицю і знайти її ранг. Він дорівнює чотирьом. Ці елементи не ортогональні. Наприклад: .

Проведемо процес ортогоналізації.

.

,

,

,   .

,

 

.

Норми елементів дорівнюють:

 

В підсумку маємо ортонормований базис

, , ,

.

В подальшому як базис будемо використовувати тільки ортонормований базис.

Проекція елемента. Важливим поняттям є проекція елемента  на заданий елемент :

. (12.34)

Якщо , то

. (12.35)

Якщо  співпадає з одним із базисних елементів , то

, (12.36)

де  - координата  в цьому базисі.

Приклад: проекції вектора  на вісь  в просторі геометричних векторів (Рис. 12.1),

 (12.37)

Рис.12.1 Проекція елемента на заданий елемент

Зокрема, , , .

Контрольні питання.

1. Дайте означення норми елемента лінійного простору.

2. Чому дорівнює норма елемента евклідового простору? Доведіть нерівність Мінковського.

3. Як визначається кут між елементами нормованого простору?

4. Який базис називається ортонормованим?

5. Наведіть алгоритм ортонормування базису.


ЗМІСТ

ПРОГРАМА РОЗДІЛУ “ЛІНІЙНА АЛГЕБРА ТА

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ”................................................................................................3

ЩО СТУДЕНТ ПОВИНЕН ЗНАТИ ТА ВМІТИ.....................................................5

ЛІТЕРАТУРА.........................................................................................................................................7

ГРЕЦЬКА ТА ЛАТИНСЬКА АБЕТКИ............................................................................9

ВСТУП........................................................................................................................................................10

Лекція 1.  Множини. Перестановки, розміщення, сполучення..........10

Лекція 2. Комплексні числа.........................................................................18

ЕЛЕМЕНТИ АЛГЕБРИ МАТРИЦЬ. ДЕТЕРМІНАНТИ.

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.......................................26

Лекція 3. Матриці, лінійні дії з матрицями. Поняття

лінійного простору.........................................................................................26

Лекція 4.  Множення матриць. Поняття детермінанта...................33

Лекція 5. Властивості детермінантів.....................................................40

Лекція 6. Алгебраїчні доповнення. Обчислення детермінантів..........47

Лекція 7. Теорема Крамера. Матрична форма системи

рівнянь. Обернена матриця..........................................................................57

Лекція 8. Ранг матриці. Елементарні

перетворення матриці..................................................................................64

Лекція 9. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь загального

виду. Теорія Кронекера-Капеллі. Метод Гаусса......................................72

ЛІНІЙНІ ПРОСТОРИ......................................................................................................................79

Лекція 10. Лінійні простори. Базис. Розмірність.

Ізоморфізм просторів.....................................................................................79

Лекція 11. Перехід до нового базису. Орієнтація базиса.

Скалярний добуток. Евклідовий простір..................................................88

Лекція 12. Нормовані простори. Ортонормований базис.

Процес ортогоналізації...................................................................................96

PAGE  96


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84476. АНТИКРИЗИСНЫЕ ГРУНТЫ ДЛЯ УФ-ПЕЧАТИ ПО ПЛЁНКАМ И МЕТАЛЛИЗИРОВАННЫМ ОСНОВАМ 457.58 KB
  Причина возникшей проблемы была связана с необходимостью использовать более дешевые запечатываемые материалы не прошедшие специальной обработки для УФпечати. Современные машины для флексографской печати УФкрасками редко оснащены секцией для нанесения грунта на основе растворителей поэтому типографии вынуждены наносить сольвентное покрытие на плёнку отдельно. Появление эффективных УФгрунтов решило бы много проблем благодаря возможности печати в линию на стандартном оборудовании.
84477. ЗАКОНОДАТЕЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ВЫБОРА РАСХОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ ДЛЯ ПЕЧАТИ УПАКОВКИ ПРОДУКТОВ ПИТАНИЯ 46.7 KB
  Например практически каждый год пополняется список запрещенных веществ попадающих в пищевые продукты из упаковки. Часть заказчиков пищевой упаковки выдвигает свои особые требования которые могут быть более жесткими чем обычные например как это до недавнего времени делала копания Nestle. В то же время потребители упаковки заинтересованы в максимальном снижении цены на упаковку поэтому перед производителем упаковки стоит нелегкая задача создать минимальный по цене продукт соответствующий всем требованиям и при этом остаться в прибыли.
84478. ЦИФРОВАЯ ПЕЧАТЬ. ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ЦИФРОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ПОЛИГРАФИИ 302.18 KB
  По мере развития цифровых устройств скорость качество формат они получили название Цифровые Печатные Машины ЦПМ. Первые устройства офсетные печатные машины которые стали рассматриваться как ЦПМ были основаны на технологии Direct Imging прямое экспонирование. Для ясности понимания разделим ЦПМ на две группы: по признаку наличия или отсутствия какой бы то ни было формной поверхности. Виды струйных принтеров планшетные fltbed широкоформатные wide super wide рулонная Основные производители струйных принтеров: HP Scitex ...
84479. МАСЛЯНЫЕ ОФСЕТНЫЕ КРАСКИ 73.73 KB
  Критерии оценки качества краски В мире насчитывается несколько десятков фирмпроизводителей офсетных красок большая часть которых неизвестна российским полиграфистам. При выборе краски необходимо руководствоваться основными факторами ее оценки: яркость и чистота пигмента первоначальное схватывание краски на оттиске время хранения в кипсейках и не засыхания на валах обеспечивается правильным балансом связующих компонентов скорость окончательного закрепления Пигментация Печатная краска представляет собой коллоидную систему...
84480. ДЕФЕКТЫ В РАБОТЕ С ОФСЕТНЫМИ МАСЛЯНЫМИ КРАСКАМИ И СПОСОБЫ ИХ УСТРАНЕНИЯ 46.41 KB
  Дефект Возможная причина Рекомендации Деформация стопы Неправильное хранение бумаги. Чистить сопло подающее порошок Тонкая бумага Не делать высокую стопу Избыток воды в основном на краях бумаги Уменьшить или отрегулировать равномерность подачи воды Двоение Деформация основы до печати Заменить основу. Проконсультироваться с поставщиком Деформация бумаги вследствие серьезного изменения в гидрометрии Проверить разницу температур в помещении для складирования и в печатном цехе Офсетная резина недостаточно натянута Натянуть офсетную резину...
84481. КРАСКИ УФ-ОТВЕРЖДЕНИЯ 284.88 KB
  Состав красок УФотверждения Рассмотрим отличия в составе традиционной краски и краски УФотверждения. Традиционные краски Краски УФотверждения смола связующее олигомер растительные масла мономер минеральные масла пигмент разбавитель добавки пигмент фотоинициатор добавки стабилизатор сиккатив антисиккатив Компоненты краски влияют на физикохимические и технические характеристики УФкраски. Добавки в УФкраски играют ту же роль что и в традиционных красках. Соответственно вся энергия концентрируется на небольшом...
84482. ГИБРИДНЫЕ КРАСКИ 72.5 KB
  Гибридные краски часто рассматриваются как промежуточный продукт объединяющий в себе свойства обычных масляных и УФотверждаемых красок. Данная технология дает хороший результат но остается ряд проблем: необходимо качественное удаление противоотмарывающего порошка; межслоевая адгезия между краской и УФлаком может варьироваться изза различного содержания воска в краске различные субстраты и различная химия краски могут давать не всегда ожидаемый ре зультат; необходимость целого ряда дополнительных операций и дополнительных...
84483. ОСОБЕННОСТИ ПОДБОРА ЦВЕТА - ПРАКТИКА СМЕШЕНИЯ КРАСОК 41.79 KB
  Поэтому все большее количество типографий используют в своей работе смесевые краски. Смесевые краски позволяют добиться равномерной плашки без использования растра. Еще не так давно типографии смешивали краски сами используя опыт печатников. Современные типографии в основном заказывают необходимые для печати смесевые краски в фирмах специализирующихся на их изготовлении.
84484. ОФСЕТНАЯ ЛИСТОВАЯ ПЕЧАТЬ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИЗОПРОПИЛОВОГО СПИРТА 43.74 KB
  Уже более 30 лет успешно применяется технология офсетной печати без использования изопропилового спирта в США где эта технология зародилась и распространилась благодаря поддержке государства и высоких требований к экологической безопасности. Вслед за Соединенными Штатами от спирта стали отказываться типографии и в Европе. На данный момент печать без использования изопропилового спирта распространена и в Европе что наглядно видно на любой европейской выставке.