21183

Нормовані простори. Ортонормований базис. Процес ортогоналізації

Реферат

Математика и математический анализ

Ортонормований базис. А значить в пмірному просторі п попарно ортогональних елементів можна брати як базис. Такий базис називається ортогональним. Ортонормований базис.

Украинкский

2013-08-02

336.5 KB

47 чел.

Нормовані простори. Ортонормований базис. Процес ортогоналізації.

Нормовані простори. Як кожному геометричному вектору відповідає певна довжина, що виражається додатнім числом, так і кожному елементу  лінійного простору можна співставити додатнє число, яке буде відігравати роль довжини. Таке число, будемо позначати його , називають нормою елементу лінійного простору, якщо це співвідношення відповідає умовам:

1) ,

2) ,

3) .

Остання умова виражає нерівність Мінковського (1896 р.) (Minkowski H., 1864-1909, Німеччина) (нерівність трикутника).

Лінійний простір, в якому введення поняття норми називають нормованим лінійним простором. 

В кожному евклідовому просторі можна ввести норму за допомогою формули

. (12.1)

Дійсно, така норма задовольняє всі наведені вище три умови. Це очевидно для першої умови, якщо під квадратним корнем розуміти арифметичний корень, тобто додатнє число. Тоді для другої умови маємо:

. (12.2)

Для перевірки третьої умови використаємо нерівність Коші-Буняковського.

 

. (12.3)

Приклади нормованих просторів.

1) Простір геометричних векторів. Норма геометричного вектора співпадає з його довжиною.

, (12.4)

2) Арифметичний простір елементів , в якому скалярний добуток введено за допомогою формули:

. (12.5)

Тоді норма буде вставлена як

. (!2.6)

Кут між елементами нормованого евклідового простору. Знову використовуючи аналогію з геометричними векторами, визначимо кут між двома елементами  та  нормованого евклідового простору через скалярний добуток

. (12.7)

Визначений таким чином косинус має смисл, бо величина дробу не перевищує одиниці по модулю. Дійсно, згідно нерівності Коші-Буняковського чисельник менше або дорівнює знаменнику:

, (12.8)

Приклади введення кута між елементами евклідового простору:

1) В просторі геометричних векторів маємо тотожність

. (12.9)

2) В арифметичному просторі

. (12.10)

Означення. Якщо для двох даних елементів , то такі елементи називають ортогональними. Отже умова ортогональності двох елементів, якщо ні один з них не дорівнює нулю, має вид

. (12.11)

Теорема: Хай система елементів  попарно ортогональна, тобто

,  (12.12)

Тоді ці елементи лінійно незалежні. Доведемо від противного. Допустимо, що вони лінійно залежні. Значить є такі числа, з яких хоча б одне відмінне від нуля, що

. (12.13)

Помножимо цю рівність скалярно на .

   , (12.14)

так як .

Домножаючи послідовно на  одержимо, що , тобто рівність можлива тільки при нульових коефіцієнтах. Значить, елементи лінійно незалежні. А значить, в п-мірному просторі п попарно ортогональних елементів можна брати як базис. Такий базис називається ортогональним.

Ортонормований базис. Якщо кожний елемент ортогонального базису помножити на число, обернене його нормі, одержимо ортонормований базис:

. (12.15)

Елементи цого базису попарно-ортогональні, бо

, (12.16)

якщо ,

і по нормі дорівнюють одиниці, бо

. (12.17)

За допомогою символа Кронекера ці дві умови можна записати так:

 (12.18)

Будь-який елемент евклідового простору розмірності п може бути розкладений по цьому базису

. (12.19)

Як було показано раніше скалярний добуток двох елементів, заданих в довільному базисі , має вид

, (12.20)

де

. (12.21)

Якщо ж базис ортонормований, то цей вид значно спрощується, бо тоді , і

. (12.22)

(Як запишеться скалярний добуток, якщо базис ортогональний, але ненормований?).

До речі, якщо норма елемента в довільному базисі записується через координати як

, (12.23)

то в ортонормованому базисі вона буде мати значно простіший вид

. (12.24)

Приклад: В просторі геометричних векторів репер  є ортонормований базис. Тому скалярний добуток векторів  і  через їх координати в цьому базисі запишеться як

. (12.25)

Ортонормування базиса. В силу його зручності завжди бажано мати ортонормований базис. Його можна побудувати на основі будь-якого базису . Це робиться за допомогою процедури ортонормування, яка полягає в слідуючому. Як перший елемент нового базису візьмемо :

. (12.26)

За основу другого елемента візьмемо ,

, (12.27)

таким чином, щоб  був ортогональний : .

З цього витікає, що , тобто

. (12.28)

За основу третього елементу візьмемо ,

, (12.29)

таким чином, щоб  був ортогональний  і : ,  .

Приймаючи  до уваги, що , маємо

,

.

Таким чином

,  . (12.30)

Продовжуючи цей процес одержимо всі п ортогональних елементів:

,   . (12.31)

де

,  (12.32)

причому  .

Нормуючи тепер цю систему одержимо ортонормований базис:

. (12.33)

Приклад: Хай в чотиривимірному арифметичному просторі введено скалярний добуток

.

Візьмем базис

           

          .

Ці елементи лінійно незалежні, в чому легко переконатись, якщо скласти з цих рядків матрицю і знайти її ранг. Він дорівнює чотирьом. Ці елементи не ортогональні. Наприклад: .

Проведемо процес ортогоналізації.

.

,

,

,   .

,

 

.

Норми елементів дорівнюють:

 

В підсумку маємо ортонормований базис

, , ,

.

В подальшому як базис будемо використовувати тільки ортонормований базис.

Проекція елемента. Важливим поняттям є проекція елемента  на заданий елемент :

. (12.34)

Якщо , то

. (12.35)

Якщо  співпадає з одним із базисних елементів , то

, (12.36)

де  - координата  в цьому базисі.

Приклад: проекції вектора  на вісь  в просторі геометричних векторів (Рис. 12.1),

 (12.37)

Рис.12.1 Проекція елемента на заданий елемент

Зокрема, , , .

Контрольні питання.

1. Дайте означення норми елемента лінійного простору.

2. Чому дорівнює норма елемента евклідового простору? Доведіть нерівність Мінковського.

3. Як визначається кут між елементами нормованого простору?

4. Який базис називається ортонормованим?

5. Наведіть алгоритм ортонормування базису.


ЗМІСТ

ПРОГРАМА РОЗДІЛУ “ЛІНІЙНА АЛГЕБРА ТА

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ”................................................................................................3

ЩО СТУДЕНТ ПОВИНЕН ЗНАТИ ТА ВМІТИ.....................................................5

ЛІТЕРАТУРА.........................................................................................................................................7

ГРЕЦЬКА ТА ЛАТИНСЬКА АБЕТКИ............................................................................9

ВСТУП........................................................................................................................................................10

Лекція 1.  Множини. Перестановки, розміщення, сполучення..........10

Лекція 2. Комплексні числа.........................................................................18

ЕЛЕМЕНТИ АЛГЕБРИ МАТРИЦЬ. ДЕТЕРМІНАНТИ.

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.......................................26

Лекція 3. Матриці, лінійні дії з матрицями. Поняття

лінійного простору.........................................................................................26

Лекція 4.  Множення матриць. Поняття детермінанта...................33

Лекція 5. Властивості детермінантів.....................................................40

Лекція 6. Алгебраїчні доповнення. Обчислення детермінантів..........47

Лекція 7. Теорема Крамера. Матрична форма системи

рівнянь. Обернена матриця..........................................................................57

Лекція 8. Ранг матриці. Елементарні

перетворення матриці..................................................................................64

Лекція 9. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь загального

виду. Теорія Кронекера-Капеллі. Метод Гаусса......................................72

ЛІНІЙНІ ПРОСТОРИ......................................................................................................................79

Лекція 10. Лінійні простори. Базис. Розмірність.

Ізоморфізм просторів.....................................................................................79

Лекція 11. Перехід до нового базису. Орієнтація базиса.

Скалярний добуток. Евклідовий простір..................................................88

Лекція 12. Нормовані простори. Ортонормований базис.

Процес ортогоналізації...................................................................................96

PAGE  96


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36464. Трансформация экономики в рамках индустриальной цивилизации 31.5 KB
  Без постоянно изобретения и совершенствования машин существование такой цивилизации уже становится невозможным. Технический прогресс становится основой жизни цивилизации. И в то же время в процессе монополизации уже были заложены противоречия ярко проявившиеся в ходе развития индустриальном цивилизации.
36465. Трансформация социально-политических отношений в рамках индустриальной цивилизации 46.5 KB
  Средоточием политической власти является государство опирающееся на систему правовых норм органы власти и управления армию аппарат идеологического воздействия на свою экономическую силу. когда впервые по приговору парламента был казнен король как символ абсолютной власти. Восстановившаяся после власти Кромвеля монархия получила чисто представительские полномочия. Провозглашение императором Наполеона восстановившего ряд признаков абсолютной власти имело иную социальную подоплеку: это была форма диктатуры победившей буржуазии.
36467. Утверждение капитализма в России 53.5 KB
  промышленный переворот в России начался позднее чем в Западной Европе только в 30 40е гг. Витте один из крупнейших преобразователей в истории России занимал пост министра финансов с 1892 по 1903 гг. Открытие России иностранным капиталом произошло в 50е гг.
36468. Мировые войны и кризис индустриального общества 46.5 KB
  германские войска в конечном счете потерпели тяжелое поражение и правительство Германии обратилось к США с предложением о перемирии. Но еще до подписания перемирия в Германии началась революция. Этот кризис способствовал обострению внутриполитической ситуации в Германии Италии и Испании что привело к возникновению в этих странах фашистских партий захвативших власть в 192030 гг.
36470. Основные прогнозируемые характеристики постиндустриальной цивилизации 31 KB
  Человек: Произойдут изменения в численности населения. 2 Благодаря планированию семьи повышается образовательный уровень и рост уровня жизни темпы роста населения стабилизируются. Сократится разрыв между странами а в обществе сильно вырастит доля пожилого населения но и в этом случае нагрузка на ресурсы будет чрезмерной. В этом случае стабилизация численности населения позволит вкладывать больше средств в производство и улучшения качества жизни.
36471. Глобальные риски в рамках перехода к постиндустриальной цивилизации 31.5 KB
  Эти проблемы ресурсноэкономические 2 демографические 3мирохозяйственные проявляются через кризисы в том числе в области здравоохранения образования культуры в растущей преступности что позволяет многим ученым говорить о глобальном кризисе цивилизации.Среди ученых нет единства во взглядах на перспективы современной цивилизации на ее способность решить угрожающие ей противоречия. Опираясь на исторический опыт многие из них справедливо полагают что возможен вариант гибели современной цивилизации В качестве основы для столь...
36472. Древняя Греция 36.5 KB
  ранняя Греция возникают общества разделенные на классы Архаическим периодом в истории Греции обычно называют VIII VI вв. По мнению некоторых исследователей это время наиболее интенсивного развития античного общества. Действительно в течение трех столетий были сделаны многие важнейшие открытия определившие характер технической основы античного общества развились те социальноэкономические и политические явления которые придали античному обществу определенную специфику по сравнению с другими рабовладельческими обществами:...