21183

Нормовані простори. Ортонормований базис. Процес ортогоналізації

Реферат

Математика и математический анализ

Ортонормований базис. А значить в пмірному просторі п попарно ортогональних елементів можна брати як базис. Такий базис називається ортогональним. Ортонормований базис.

Украинкский

2013-08-02

336.5 KB

39 чел.

Нормовані простори. Ортонормований базис. Процес ортогоналізації.

Нормовані простори. Як кожному геометричному вектору відповідає певна довжина, що виражається додатнім числом, так і кожному елементу  лінійного простору можна співставити додатнє число, яке буде відігравати роль довжини. Таке число, будемо позначати його , називають нормою елементу лінійного простору, якщо це співвідношення відповідає умовам:

1) ,

2) ,

3) .

Остання умова виражає нерівність Мінковського (1896 р.) (Minkowski H., 1864-1909, Німеччина) (нерівність трикутника).

Лінійний простір, в якому введення поняття норми називають нормованим лінійним простором. 

В кожному евклідовому просторі можна ввести норму за допомогою формули

. (12.1)

Дійсно, така норма задовольняє всі наведені вище три умови. Це очевидно для першої умови, якщо під квадратним корнем розуміти арифметичний корень, тобто додатнє число. Тоді для другої умови маємо:

. (12.2)

Для перевірки третьої умови використаємо нерівність Коші-Буняковського.

 

. (12.3)

Приклади нормованих просторів.

1) Простір геометричних векторів. Норма геометричного вектора співпадає з його довжиною.

, (12.4)

2) Арифметичний простір елементів , в якому скалярний добуток введено за допомогою формули:

. (12.5)

Тоді норма буде вставлена як

. (!2.6)

Кут між елементами нормованого евклідового простору. Знову використовуючи аналогію з геометричними векторами, визначимо кут між двома елементами  та  нормованого евклідового простору через скалярний добуток

. (12.7)

Визначений таким чином косинус має смисл, бо величина дробу не перевищує одиниці по модулю. Дійсно, згідно нерівності Коші-Буняковського чисельник менше або дорівнює знаменнику:

, (12.8)

Приклади введення кута між елементами евклідового простору:

1) В просторі геометричних векторів маємо тотожність

. (12.9)

2) В арифметичному просторі

. (12.10)

Означення. Якщо для двох даних елементів , то такі елементи називають ортогональними. Отже умова ортогональності двох елементів, якщо ні один з них не дорівнює нулю, має вид

. (12.11)

Теорема: Хай система елементів  попарно ортогональна, тобто

,  (12.12)

Тоді ці елементи лінійно незалежні. Доведемо від противного. Допустимо, що вони лінійно залежні. Значить є такі числа, з яких хоча б одне відмінне від нуля, що

. (12.13)

Помножимо цю рівність скалярно на .

   , (12.14)

так як .

Домножаючи послідовно на  одержимо, що , тобто рівність можлива тільки при нульових коефіцієнтах. Значить, елементи лінійно незалежні. А значить, в п-мірному просторі п попарно ортогональних елементів можна брати як базис. Такий базис називається ортогональним.

Ортонормований базис. Якщо кожний елемент ортогонального базису помножити на число, обернене його нормі, одержимо ортонормований базис:

. (12.15)

Елементи цого базису попарно-ортогональні, бо

, (12.16)

якщо ,

і по нормі дорівнюють одиниці, бо

. (12.17)

За допомогою символа Кронекера ці дві умови можна записати так:

 (12.18)

Будь-який елемент евклідового простору розмірності п може бути розкладений по цьому базису

. (12.19)

Як було показано раніше скалярний добуток двох елементів, заданих в довільному базисі , має вид

, (12.20)

де

. (12.21)

Якщо ж базис ортонормований, то цей вид значно спрощується, бо тоді , і

. (12.22)

(Як запишеться скалярний добуток, якщо базис ортогональний, але ненормований?).

До речі, якщо норма елемента в довільному базисі записується через координати як

, (12.23)

то в ортонормованому базисі вона буде мати значно простіший вид

. (12.24)

Приклад: В просторі геометричних векторів репер  є ортонормований базис. Тому скалярний добуток векторів  і  через їх координати в цьому базисі запишеться як

. (12.25)

Ортонормування базиса. В силу його зручності завжди бажано мати ортонормований базис. Його можна побудувати на основі будь-якого базису . Це робиться за допомогою процедури ортонормування, яка полягає в слідуючому. Як перший елемент нового базису візьмемо :

. (12.26)

За основу другого елемента візьмемо ,

, (12.27)

таким чином, щоб  був ортогональний : .

З цього витікає, що , тобто

. (12.28)

За основу третього елементу візьмемо ,

, (12.29)

таким чином, щоб  був ортогональний  і : ,  .

Приймаючи  до уваги, що , маємо

,

.

Таким чином

,  . (12.30)

Продовжуючи цей процес одержимо всі п ортогональних елементів:

,   . (12.31)

де

,  (12.32)

причому  .

Нормуючи тепер цю систему одержимо ортонормований базис:

. (12.33)

Приклад: Хай в чотиривимірному арифметичному просторі введено скалярний добуток

.

Візьмем базис

           

          .

Ці елементи лінійно незалежні, в чому легко переконатись, якщо скласти з цих рядків матрицю і знайти її ранг. Він дорівнює чотирьом. Ці елементи не ортогональні. Наприклад: .

Проведемо процес ортогоналізації.

.

,

,

,   .

,

 

.

Норми елементів дорівнюють:

 

В підсумку маємо ортонормований базис

, , ,

.

В подальшому як базис будемо використовувати тільки ортонормований базис.

Проекція елемента. Важливим поняттям є проекція елемента  на заданий елемент :

. (12.34)

Якщо , то

. (12.35)

Якщо  співпадає з одним із базисних елементів , то

, (12.36)

де  - координата  в цьому базисі.

Приклад: проекції вектора  на вісь  в просторі геометричних векторів (Рис. 12.1),

 (12.37)

Рис.12.1 Проекція елемента на заданий елемент

Зокрема, , , .

Контрольні питання.

1. Дайте означення норми елемента лінійного простору.

2. Чому дорівнює норма елемента евклідового простору? Доведіть нерівність Мінковського.

3. Як визначається кут між елементами нормованого простору?

4. Який базис називається ортонормованим?

5. Наведіть алгоритм ортонормування базису.


ЗМІСТ

ПРОГРАМА РОЗДІЛУ “ЛІНІЙНА АЛГЕБРА ТА

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ”................................................................................................3

ЩО СТУДЕНТ ПОВИНЕН ЗНАТИ ТА ВМІТИ.....................................................5

ЛІТЕРАТУРА.........................................................................................................................................7

ГРЕЦЬКА ТА ЛАТИНСЬКА АБЕТКИ............................................................................9

ВСТУП........................................................................................................................................................10

Лекція 1.  Множини. Перестановки, розміщення, сполучення..........10

Лекція 2. Комплексні числа.........................................................................18

ЕЛЕМЕНТИ АЛГЕБРИ МАТРИЦЬ. ДЕТЕРМІНАНТИ.

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.......................................26

Лекція 3. Матриці, лінійні дії з матрицями. Поняття

лінійного простору.........................................................................................26

Лекція 4.  Множення матриць. Поняття детермінанта...................33

Лекція 5. Властивості детермінантів.....................................................40

Лекція 6. Алгебраїчні доповнення. Обчислення детермінантів..........47

Лекція 7. Теорема Крамера. Матрична форма системи

рівнянь. Обернена матриця..........................................................................57

Лекція 8. Ранг матриці. Елементарні

перетворення матриці..................................................................................64

Лекція 9. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь загального

виду. Теорія Кронекера-Капеллі. Метод Гаусса......................................72

ЛІНІЙНІ ПРОСТОРИ......................................................................................................................79

Лекція 10. Лінійні простори. Базис. Розмірність.

Ізоморфізм просторів.....................................................................................79

Лекція 11. Перехід до нового базису. Орієнтація базиса.

Скалярний добуток. Евклідовий простір..................................................88

Лекція 12. Нормовані простори. Ортонормований базис.

Процес ортогоналізації...................................................................................96

PAGE  96


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57478. У искусства есть два самых опасных врага: ремесленник не озаренный талантом и талант, не владеющий ремеслом 14.65 KB
  Что такое искусство? У этого слова несколько значений. Искусством называют воспроизведение действительности в художественных образах; умение, мастерство, знание дела - например, искусство вязания; само дело - например, военное искусство
57479. Современные цифровые системы коммутации AXE – 10 5.13 MB
  AXE – 10 обеспечивает постоянное и всестороннее наблюдение за порядком и результатом установления соединений, контроль поступающей нагрузки. Наличие значительного объема абонентских данных управления в памяти позволяет изменить конфигурацию системы
57482. Жеміс-жидекті айран өндіру технологиясы 79.3 KB
  Жұмыстың мақсаты, сүт қышқылды өнімдердің түрлері, соның ішінде айран өндірудің технологиялық үрдісін игеру, айран алудың термостатты және резервуарлы тәсілдері, айранның адам денсаулығына әсерін көрсету, жеміс-жидекті айран өнімін өндіргендегі технологиялық үрдістің барлық сатыларын бақылау.
57483. Виховна година, Моя Батьківщина - Україна 59 KB
  Мета: поглибити знання учнів про Україну; прищеплювати любов до рідного краю; розширити зміст поняття громадянин України; розвивати мовлення учнів; виховувати патріотичні почуття приналежності до українського народу.
57484. Сценарій літературного вечора «З Україною в серці» 1.31 MB
  Ведучі. Петриненко Ведучі. Україна Ти для мене диво І нехай пішов за роками рік буду завжди я горда і вродлива з тебе дивуватися навік На екрані карта України Ведучі. Ведучі.
57485. Welcome to Ukraine 55 KB
  The aims: Practical aims: to teach the new vocabulary, by the end of the lesson pupils will have revised the information they have learned about Ukraine, will have recollected some facts about our country by doing different tasks...
57486. Ukraine is our native country 73.5 KB
  The aims: to repeat the learnt vocabulary; to revise the information pupils have learnt about Ukraine; to recollect some facts about our country by doing different tasks: making up sentences and monologues, writing pass-letters;