21183

Нормовані простори. Ортонормований базис. Процес ортогоналізації

Реферат

Математика и математический анализ

Ортонормований базис. А значить в пмірному просторі п попарно ортогональних елементів можна брати як базис. Такий базис називається ортогональним. Ортонормований базис.

Украинкский

2013-08-02

336.5 KB

47 чел.

Нормовані простори. Ортонормований базис. Процес ортогоналізації.

Нормовані простори. Як кожному геометричному вектору відповідає певна довжина, що виражається додатнім числом, так і кожному елементу  лінійного простору можна співставити додатнє число, яке буде відігравати роль довжини. Таке число, будемо позначати його , називають нормою елементу лінійного простору, якщо це співвідношення відповідає умовам:

1) ,

2) ,

3) .

Остання умова виражає нерівність Мінковського (1896 р.) (Minkowski H., 1864-1909, Німеччина) (нерівність трикутника).

Лінійний простір, в якому введення поняття норми називають нормованим лінійним простором. 

В кожному евклідовому просторі можна ввести норму за допомогою формули

. (12.1)

Дійсно, така норма задовольняє всі наведені вище три умови. Це очевидно для першої умови, якщо під квадратним корнем розуміти арифметичний корень, тобто додатнє число. Тоді для другої умови маємо:

. (12.2)

Для перевірки третьої умови використаємо нерівність Коші-Буняковського.

 

. (12.3)

Приклади нормованих просторів.

1) Простір геометричних векторів. Норма геометричного вектора співпадає з його довжиною.

, (12.4)

2) Арифметичний простір елементів , в якому скалярний добуток введено за допомогою формули:

. (12.5)

Тоді норма буде вставлена як

. (!2.6)

Кут між елементами нормованого евклідового простору. Знову використовуючи аналогію з геометричними векторами, визначимо кут між двома елементами  та  нормованого евклідового простору через скалярний добуток

. (12.7)

Визначений таким чином косинус має смисл, бо величина дробу не перевищує одиниці по модулю. Дійсно, згідно нерівності Коші-Буняковського чисельник менше або дорівнює знаменнику:

, (12.8)

Приклади введення кута між елементами евклідового простору:

1) В просторі геометричних векторів маємо тотожність

. (12.9)

2) В арифметичному просторі

. (12.10)

Означення. Якщо для двох даних елементів , то такі елементи називають ортогональними. Отже умова ортогональності двох елементів, якщо ні один з них не дорівнює нулю, має вид

. (12.11)

Теорема: Хай система елементів  попарно ортогональна, тобто

,  (12.12)

Тоді ці елементи лінійно незалежні. Доведемо від противного. Допустимо, що вони лінійно залежні. Значить є такі числа, з яких хоча б одне відмінне від нуля, що

. (12.13)

Помножимо цю рівність скалярно на .

   , (12.14)

так як .

Домножаючи послідовно на  одержимо, що , тобто рівність можлива тільки при нульових коефіцієнтах. Значить, елементи лінійно незалежні. А значить, в п-мірному просторі п попарно ортогональних елементів можна брати як базис. Такий базис називається ортогональним.

Ортонормований базис. Якщо кожний елемент ортогонального базису помножити на число, обернене його нормі, одержимо ортонормований базис:

. (12.15)

Елементи цого базису попарно-ортогональні, бо

, (12.16)

якщо ,

і по нормі дорівнюють одиниці, бо

. (12.17)

За допомогою символа Кронекера ці дві умови можна записати так:

 (12.18)

Будь-який елемент евклідового простору розмірності п може бути розкладений по цьому базису

. (12.19)

Як було показано раніше скалярний добуток двох елементів, заданих в довільному базисі , має вид

, (12.20)

де

. (12.21)

Якщо ж базис ортонормований, то цей вид значно спрощується, бо тоді , і

. (12.22)

(Як запишеться скалярний добуток, якщо базис ортогональний, але ненормований?).

До речі, якщо норма елемента в довільному базисі записується через координати як

, (12.23)

то в ортонормованому базисі вона буде мати значно простіший вид

. (12.24)

Приклад: В просторі геометричних векторів репер  є ортонормований базис. Тому скалярний добуток векторів  і  через їх координати в цьому базисі запишеться як

. (12.25)

Ортонормування базиса. В силу його зручності завжди бажано мати ортонормований базис. Його можна побудувати на основі будь-якого базису . Це робиться за допомогою процедури ортонормування, яка полягає в слідуючому. Як перший елемент нового базису візьмемо :

. (12.26)

За основу другого елемента візьмемо ,

, (12.27)

таким чином, щоб  був ортогональний : .

З цього витікає, що , тобто

. (12.28)

За основу третього елементу візьмемо ,

, (12.29)

таким чином, щоб  був ортогональний  і : ,  .

Приймаючи  до уваги, що , маємо

,

.

Таким чином

,  . (12.30)

Продовжуючи цей процес одержимо всі п ортогональних елементів:

,   . (12.31)

де

,  (12.32)

причому  .

Нормуючи тепер цю систему одержимо ортонормований базис:

. (12.33)

Приклад: Хай в чотиривимірному арифметичному просторі введено скалярний добуток

.

Візьмем базис

           

          .

Ці елементи лінійно незалежні, в чому легко переконатись, якщо скласти з цих рядків матрицю і знайти її ранг. Він дорівнює чотирьом. Ці елементи не ортогональні. Наприклад: .

Проведемо процес ортогоналізації.

.

,

,

,   .

,

 

.

Норми елементів дорівнюють:

 

В підсумку маємо ортонормований базис

, , ,

.

В подальшому як базис будемо використовувати тільки ортонормований базис.

Проекція елемента. Важливим поняттям є проекція елемента  на заданий елемент :

. (12.34)

Якщо , то

. (12.35)

Якщо  співпадає з одним із базисних елементів , то

, (12.36)

де  - координата  в цьому базисі.

Приклад: проекції вектора  на вісь  в просторі геометричних векторів (Рис. 12.1),

 (12.37)

Рис.12.1 Проекція елемента на заданий елемент

Зокрема, , , .

Контрольні питання.

1. Дайте означення норми елемента лінійного простору.

2. Чому дорівнює норма елемента евклідового простору? Доведіть нерівність Мінковського.

3. Як визначається кут між елементами нормованого простору?

4. Який базис називається ортонормованим?

5. Наведіть алгоритм ортонормування базису.


ЗМІСТ

ПРОГРАМА РОЗДІЛУ “ЛІНІЙНА АЛГЕБРА ТА

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ”................................................................................................3

ЩО СТУДЕНТ ПОВИНЕН ЗНАТИ ТА ВМІТИ.....................................................5

ЛІТЕРАТУРА.........................................................................................................................................7

ГРЕЦЬКА ТА ЛАТИНСЬКА АБЕТКИ............................................................................9

ВСТУП........................................................................................................................................................10

Лекція 1.  Множини. Перестановки, розміщення, сполучення..........10

Лекція 2. Комплексні числа.........................................................................18

ЕЛЕМЕНТИ АЛГЕБРИ МАТРИЦЬ. ДЕТЕРМІНАНТИ.

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.......................................26

Лекція 3. Матриці, лінійні дії з матрицями. Поняття

лінійного простору.........................................................................................26

Лекція 4.  Множення матриць. Поняття детермінанта...................33

Лекція 5. Властивості детермінантів.....................................................40

Лекція 6. Алгебраїчні доповнення. Обчислення детермінантів..........47

Лекція 7. Теорема Крамера. Матрична форма системи

рівнянь. Обернена матриця..........................................................................57

Лекція 8. Ранг матриці. Елементарні

перетворення матриці..................................................................................64

Лекція 9. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь загального

виду. Теорія Кронекера-Капеллі. Метод Гаусса......................................72

ЛІНІЙНІ ПРОСТОРИ......................................................................................................................79

Лекція 10. Лінійні простори. Базис. Розмірність.

Ізоморфізм просторів.....................................................................................79

Лекція 11. Перехід до нового базису. Орієнтація базиса.

Скалярний добуток. Евклідовий простір..................................................88

Лекція 12. Нормовані простори. Ортонормований базис.

Процес ортогоналізації...................................................................................96

PAGE  96


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65431. Історія наукової думки з механізації подрібнення кормів у тваринництві 190.5 KB
  Актуальність полягає у систематизації поповненні та висвітленні історичного досвіду з механізації подрібнення кормів який був би корисним для розвитку тваринницької галузі аграрного виробництва в майбутньому.
65432. Місцеві бюджети і міжбюджетні стосунки як основа ресурсного забезпечення планування розвитку міста 362 KB
  Проблема місцевих бюджетів до цього дня залишається відкритою відсутня чітка стратегія підвищення якості регіонального фінансового менеджменту не створений механізм підвищення взаємної відповідальності окремих ланок бюджетної системи і звичайно ж не враховуються регіональні особливості.
65433. ФОРМУВАННЯ МЕДІАКУЛЬТУРИ МАЙБУТНЬОГО ВЧИТЕЛЯ МУЗИКИ ЗАСОБАМИ АУДІОВІЗУАЛЬНИХ МИСТЕЦТВЬОГО ВЧИТЕЛЯ МУЗИКИ ЗАСОБАМИ АУДІОВІЗУАЛЬНИХ МИСТЕЦТВ 167 KB
  Аналіз сучасної професійної підготовки вчителя музики дав змогу виявити ряд суперечностей: між традиційним змістом мистецької освіти та потребами часу учні значну кількість інформації у т. музичної одержують з медіапростору...
65434. МЕТОДИ Й ЗАСОБИ ІДЕНТИФІКАЦІЇ ТА АНАЛІЗУ СИГНАЛІВ В ІНФОРМАЦІЙНО-ВИМІРЮВАЛЬНИХ КОМПОНЕНТАХ КОМП’ЮТЕРНИХ СИСТЕМ 348 KB
  Ситуація при транспортуванні ОМ ускладнюється можливістю зміни маси або коефіцієнту поверхневого тертя ОМ під впливом внутрішніх або зовнішніх факторів що потребує своєчасної корекції величини стискального зусилля з забезпеченням мінімального проковзування ОМ в захватному пристрої ЗП комплексу.
65435. ВЛАСТИВОСТІ І ТЕХНОЛОГІЯ ПІНОБЕТОНУ, МОДИФІКОВАНОГО ОКСИДАМИ ЗАЛІЗА 234.5 KB
  Метою досліджень є одержання пінобетону з високою міцністю при стиску і зниженими усадкою та проникністю шляхом удосконалювання його структури складу властивостей і параметрів виробництва за рахунок застосування комплексної добавки що складається із поліспирту та речовини що містить залізо.
65436. БАНКІВСЬКІ ВАЛЮТНІ ОПЕРАЦІЇ ПРИ ОБСЛУГОВУВАННІ СУБ’ЄКТІВ АГРАРНОЇ СФЕРИ 828 KB
  Ринкова економіка розширила горизонти здійснення валютних та експортноімпортних операцій які в якісно нових економічних реаліях набувають особливої вагомості та виняткового значення не лише на макро а й на мікрорівні.
65437. УДОСКОНАЛЕННЯ МЕХАНІЗМІВ ДЕРЖАВНОГО УПРАВЛІННЯ МІГРАЦІЙНИМИ ПРОЦЕСАМИ 548.5 KB
  Участь України в світових міграційних процесах є надзвичайно активною. Загальновідомо, що вона є одним з найбільших донорів трудової міграції в сучасному світі та країною транзиту, через яку проходять більше 10 маршрутів міграції.
65438. УДОСКОНАЛЕННЯ ТЕХНІКО-ТАКТИЧНИХ ДІЙ ВИСОКОКВАЛІФІКОВАНИХ ФЕХТУВАЛЬНИКІВ НА ШПАГАХ З ВИКОРИСТАННЯМ КОМП’ЮТЕРНОГО МОДЕЛЮВАННЯ 361 KB
  Проблема удосконалення технікотактичної підготовки фехтувальників на сучасному етапі вивчалася багатьма авторами й по даному питанню накопичений достатньо великий обсяг інформації. Турецький 1983 запропоновані програми техніко тактичного удосконалення...
65439. Закономірності гідромеханічних процесів утилізації твердих відходів содового виробництва 4.99 MB
  Вирішенням проблеми позбавлення шкідливої дії відходів содових виробництв може стати їх накопичування у підземних порожнинах які утворюються в процесі вилуговування солі у відпрацьованих розсільних свердловинах.