21184

Пряма на площині. Рівняння площини

Реферат

Математика и математический анализ

Це є вектор перпендикулярний до прямої. Задання прямої за допомогою нормального вектора базується на теоремі про те що через задану точку можна провести лише одну пряму перпендикулярну заданій прямій. Пряма з нормальним вектором Умовою перпендикулярності прямої і вектора є рівність нулю скалярного добутку 14.3 повністю задає пряму тобто кожна поточна точка прямої відповідає цьому рівнянню.

Украинкский

2013-08-02

385.5 KB

33 чел.

Пряма на площині. Рівняння площини.

Як і у просторі пряму на площині можна задати за допомогою параметричного або канонічного рівняння:

    , (14.1)

де , , , або

, (14.2)

Але на площині пряму можна задати ще і інакше, використовуючи так званий нормальний вектор . Це є вектор, перпендикулярний до прямої. Задання прямої за допомогою нормального вектора базується на теоремі про те, що через задану точку можна провести лише одну пряму, перпендикулярну заданій прямій. Отже, маємо (Рис.14.1)

Рис.14.1. Пряма з нормальним вектором

Умовою перпендикулярності прямої і вектора  є рівність нулю скалярного добутку

, (14.3)

де . Рівняння (14.3) повністю задає пряму, тобто кожна поточна точка  прямої відповідає цьому рівнянню.

Хай вектор  має координати . Тоді, розкриваючи скалярний добуток, маємо

. (14.4)

Це так зване рівняння прямої, що проходить через задану точку .

Якщо в (14.4) позначити , то одержимо так зване загальне рівняння прямої

. (14.5)

Слід підкреслити, що коефіцієнти ,  в цьому рівнянні є координати нормального вектора прямої.

Отже, пряма на площині може описуватись двома типами векторних (14.1) і (14.3) або скалярних (14.2) і (14.5) рівнянь.

Уже по коефіцієнтах рівняння (14.5) можна одержати інформацію про положення прямої. Наприклад, якщо =, тобто рівняння прямої має вид , то це значить, що вектор  паралельний осі y, а сама пряма паралельна осі x.

Якщо , то пряма не проходить через початок координат. Тоді її рівняння можна записати у вигляді

, (14.6)

де числа ,  мають смисл координат кінців відрізків, що пряма відсікає на осях координат (Рис.14.2).

Рис.14.2 До рівняння прямої у відрізках

Рівняння (14.6) так і зветься: рівняння прямої у відрізках.

З (14.2) маємо , де  - кутовий коефіцієнт прямої (Рис.14.3).

Рис.14.3 До рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Якщо переписати рівняння так

, (14.7)

то одержимо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, яка проходить через задану точку. Його звичайно записують у виді

, (14.8)

де  - величина відрізка, який пряма відсікає на осі у.

Рівняння прямих дозволяють легко визначити їх взаємне положення. Хай маємо дві прямі:

,

. (14.9)

Якщо вони паралельні, то їх нормальні вектори теж паралельні, тобто , або , . Цю умову паралельності частіше записують так

. (14.10)

Якщо прямі перетинаються, то вони повинні мати загальну точку, координати якої будуть розв”язком системи (14.9) . Умовою того, що ця система має тільки один розв”язок є відмінність від нуля її детермінанта

, або

. (14.11)

Порівнюючи з (14.10), бачимо, що це є умова непаралельності прямих.

Через точку перетину можна провести безліч прямих, рівняння кожної з яких можна одержати за допомогою (14.9) у вигляді

, (14.12)

де  і  - довільні числа. Всі ці прямі проходять через точку перетину, бо вона задовольняє рівняння (14.12). Напрямок нормального вектору кожної прямої буде визначатися числами  і . (14.12) - є рівняння пучка прямих.

Кут між прямими (14.9) в разі їх перетину можна знайти як кут між їх нормальними векторами

. (14.13)

Звідси витікає, що для перпендикулярних прямих

. (14.14)

Кут можна знайти і через направляючі вектори

. (14.15)

Умова перпендикулярності , або , що через кутові коефіцієнти запишеться так

. (14.16)

Відхилення точки від прямої. Розглянемо взаємне положення заданої прямої  та заданої точки . Хай ця точка і початок координат лежать по різні сторони прямої (Рис.14.4).

Рис.14.4. Відхилення точки від прямої

На Рис. 14.4 позначено:  - одиничний нормальний вектор, направляючі конуси якого дорівнюють

,  . (14.17)

- відстань від початку координат до прямої,  - відстань від точки  до прямої,  - проекція точки  на нормаль до прямої. Очевидно, що . З другого боку . Отже

. (14.18)

Легко довести, що в разі, коли  і початок координат лежать по одну сторону прямої, то

. (14.19)

Число  називають відхиленням точки від прямої. Його обчислення проводиться за формулою

. (14.20)

Знак відхилення вказує, в яку сторону порівняно з початком координат відхиляється ця точка.

Якщо точка  лежить на прямій, то , і з (14.20) одержуємо так зване нормоване рівняння прямої

. (14.21)

Його можна одержати з загального рівняння (14.5), якщо останнє помножити на нормуючий множник , де треба брати знак, протилежний знаку .

Приклади: 1) Знайти відхилення точки  від прямої . Знайдемо нормуючий множник: . Тоді нормоване рівняння прямої має вид

.

З нього находимо відхилення точки :

.

Точка  і початок координат лежать по одну сторону від прямої.

2) Написати рівняння бісектриси кута, утвореного прямими (Рис.14.5)

 

Рис.14.5 До задачі 2

Будь-яка точка бісектриси рівновіддалена від прямих, але для однієї бісектриси її відхилення від обох прямих буде мати однакові знаки, а для другої - різні. Записуючи рівність відхилень з однаковими та протилежними знаками одержимо рівняння бісектрис

 

або

 

Підбиваючи підсумок, можна зробити висновок, що пряма на площині може задаватись як рівнянням з направляючим вектором (14.1), або (14.2), так і рівнянням з нормальним вектором (14.3), або (14.5). Перший спосіб придатний і для опису прямої в просторі, а другий ні, бо в просторі через задану точку перпендикулярно заданій прямій можна провести безліч прямих. Всі вони будуть належати одній і тій же площині, що відповідає теоремі однозначності, згідно якій через задану точку перпендикулярно заданій прямій можна провести тільки одну площину. Отже, другий спосіб у просторі дає вже описання не прямої, а площини. Таким чином, рівняння (14.3) у просторі є рівняння площини. Легко простежити, що з цого витікають майже всі аналоги рівнянь прямої на площині, а саме; якщо координати нормального вектора є , то:

а) рівняння площини, яка проходить через задану точку , має вид

; (14.22)

б) загальне рівняння площини

; (14.23)

в) рівняння площини у відрізках  (Рис.14.6)

, (14.24)

де ;

Рис.14.6 До рівняння площини у відрізках

г) нормоване рівняння площини

, (14.25)

де , , ,

,

і знак береться протилежним знаку .

З цих рівнянь також маємо:

а) умову паралельності площин

; (14.26)

б) кут між нормальними векторами площин

; (14.27)

в) умову перпендикулярності площин

; (14.28)

г) відхилення точки  від площини

. (14.29)

Узагальнення на п - вимірний простір. Рівняння

 (14.30)

описує множину точок, яку називають гіперплощиною і яка є аналогом площини у тривімірному просторі. Числа  є координати -вимірного вектора, нормального до площини.

Контрольні питання.

1. Напишіть векторне рівняння прямої на площині з нормальним вектором.

2. Який смисл мають коефіцієнти у загальному рівнянні прямої?

3. Напишіть рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

4. Дайте умови паралельності та перпендикулярності прямих.

5. Виведіть формулу для відхилення точки від прямої.

6. Наведіть рівняння площини.

7. Співставте рівняння площини і прямої на площині.

8. Дайте формулу для відхилення точки від площини.

PAGE  14


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26054. Эмитерно-связанная логика(ЭСЛ) 14.42 KB
  Он состоит из двух транзисторов в коллекторную цепь которых включены резисторы нагрузки RК а в цепь эмиттеров обоих транзисторов общий резистор Rэ по величине значительно больший Rк. На вход одного из транзисторов подаётся входной сигнал Uвх а на вход другого опорное напряжение Uоп. Схема симметрична поэтому в исходном состоянии Uвх=Uоп и через оба транзистора протекают одинаковые токи. При увеличении Uвх ток через транзистор VT1 увеличивается возрастает падение напряжения на сопротивлении Rэ транзистор VT2 подзакрывается и ток...
26055. Сравнительный анализ технологий производства микросхем 18.62 KB
  Если этот дефект окажется в критической точке то последующая диффузия примеси может вызвать короткое замыкание перехода и выход из строя всей микросхемы. Одним из эффективных методов визуализации является использование сканирующего электронного микроскопа позволяющего наблюдать топографический и электрический рельеф интегральной микросхемы. Для наблюдения необходимо чтобы поверхность микросхемы была открытой. Такую аппаратуру используют для оценки качества конструкции данной микросхемы...
26056. Регистры. Связь регистров между собой и с другими источниками данных 15.3 KB
  Связь регистров между собой и с другими источниками данных Регистры это функциональные узлы на основе триггеров предназначенные для приёма кратковременного хранения на один или несколько циклов работы данного устройства передачи и преобразования многоразрядной цифровой информации. В зависимости от способа записи информации кода числа различают параллельные последовательные и параллельно последовательные регистры. Появление импульса на тактовом входе регистра сдвига вызывает перемещение записанной в нём информации на один разряд...
26057. Демультиплексоры и дешифраторы 14.69 KB
  Схемы сравнения Цифровые компараторы являются универсальными элементами сравнения которые помимо констатации равенства двух чисел могут установить какое из них больше. Простейшая задача состоит в сравнении двух одноразрядных чисел. Для сравнения многоразрядных чисел используется следующий алгоритм. Устройство обладает свойством наращиваемости разрядности сравниваемых чисел.
26058. Схемы интегральных счётчиков 15.75 KB
  Микросхема К155ИЕ2 имеет кроме того входы установки в состояние 9 при котором первый и последний разряды устанавливаются в 1 а остальные в 0 то есть 10012=9. Десятый импульс переводит триггеры МС в состояние при котором на выходах 4 и 6 МС формируются лог. Адресные дешифраторы строк ДШx и столбцов ДШy формируют сигналы выборки на соответствующих АШ которые определяют строку и столбец накопителя в котором расположен выбираемый ЭП. Если при этом сигнал на входе то СУ формирует управляющий сигнал при котором ФЗС обеспечивает...
26059. Динамическая память 17.76 KB
  В зависимости от типа ПЗУ занесение в него информации производится или в процессе изготовления или в эксплуатационных условиях путем настройки предваряющей использование ПЗУ в вычислительном процессе. В последнем случае ПЗУ называются постоянными запоминающими устройствами с изменяемым в процессе эксплуатации содержимым или программируемыми постоянными запоминающими устройствами ППЗУ. Функционирование ПЗУ можно рассматривать как выполнение однозначного преобразования kразрядного кода адреса ячейки запоминающего массива ЗМ в nразрядный...
26060. Логические элементы 14.44 KB
  МОВ логических элементах на МОПтранзисторах используется два типа транзисторов: управляющие и нагрузочные. Логические элементы на МОПтранзисторах Существенным преимуществом логических элементов на МОПтранзисторах перед логическими элементами на биполярных транзисторах является малая мощность потребляемая входной цепью. Кроме того выходное сопротивление у открытого МОПтранзистора больше чем у биполярного что увеличивает время заряда конденсаторов нагрузки и ограничивает нагрузочную способность ЛЭ. Микросхемы КМОПструктуры...
26061. Асинхронные и синхронные триггеры. Способы управления триггеров 14.12 KB
  С Особенностью синхронного триггера является то что ввиду наличия в схеме управления инвертирующих элементов происходит изменение исполнительного значения управляющих сигналов по сравнению с асинхронными. Применение синхронизации не устраняет неопределённое состояние триггера возникающее при одновременной подаче единичных сигналов на все три входа. Поэтому условием нормального функционирования является следующее неравенство: SRC ≠ 1 Кроме трёх основных входов синхронные RSтриггеры снабжаются ещё входами асинхронной установки состояния...
26062. Катаболизм и анаболизм. Биологическое значение основных метаболических путей (гликолиз, цикл трикарбоновых кислот, расщепление и синтез жирных кислот) 15.72 KB
  При катаболизме происходит расщепление и окисление в результате чего извлекается энергия из расщепившихся макромолекул. На первом этапе идут 2 необратимых реакции в результате чего тратится 2 мол АТФ. В результате этого этапа образуется 2 мол НАДНН и 4 мол АТФ. Конечным продуктом является 2 мол ПВК.