21184

Пряма на площині. Рівняння площини

Реферат

Математика и математический анализ

Це є вектор перпендикулярний до прямої. Задання прямої за допомогою нормального вектора базується на теоремі про те що через задану точку можна провести лише одну пряму перпендикулярну заданій прямій. Пряма з нормальним вектором Умовою перпендикулярності прямої і вектора є рівність нулю скалярного добутку 14.3 повністю задає пряму тобто кожна поточна точка прямої відповідає цьому рівнянню.

Украинкский

2013-08-02

385.5 KB

33 чел.

Пряма на площині. Рівняння площини.

Як і у просторі пряму на площині можна задати за допомогою параметричного або канонічного рівняння:

    , (14.1)

де , , , або

, (14.2)

Але на площині пряму можна задати ще і інакше, використовуючи так званий нормальний вектор . Це є вектор, перпендикулярний до прямої. Задання прямої за допомогою нормального вектора базується на теоремі про те, що через задану точку можна провести лише одну пряму, перпендикулярну заданій прямій. Отже, маємо (Рис.14.1)

Рис.14.1. Пряма з нормальним вектором

Умовою перпендикулярності прямої і вектора  є рівність нулю скалярного добутку

, (14.3)

де . Рівняння (14.3) повністю задає пряму, тобто кожна поточна точка  прямої відповідає цьому рівнянню.

Хай вектор  має координати . Тоді, розкриваючи скалярний добуток, маємо

. (14.4)

Це так зване рівняння прямої, що проходить через задану точку .

Якщо в (14.4) позначити , то одержимо так зване загальне рівняння прямої

. (14.5)

Слід підкреслити, що коефіцієнти ,  в цьому рівнянні є координати нормального вектора прямої.

Отже, пряма на площині може описуватись двома типами векторних (14.1) і (14.3) або скалярних (14.2) і (14.5) рівнянь.

Уже по коефіцієнтах рівняння (14.5) можна одержати інформацію про положення прямої. Наприклад, якщо =, тобто рівняння прямої має вид , то це значить, що вектор  паралельний осі y, а сама пряма паралельна осі x.

Якщо , то пряма не проходить через початок координат. Тоді її рівняння можна записати у вигляді

, (14.6)

де числа ,  мають смисл координат кінців відрізків, що пряма відсікає на осях координат (Рис.14.2).

Рис.14.2 До рівняння прямої у відрізках

Рівняння (14.6) так і зветься: рівняння прямої у відрізках.

З (14.2) маємо , де  - кутовий коефіцієнт прямої (Рис.14.3).

Рис.14.3 До рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Якщо переписати рівняння так

, (14.7)

то одержимо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, яка проходить через задану точку. Його звичайно записують у виді

, (14.8)

де  - величина відрізка, який пряма відсікає на осі у.

Рівняння прямих дозволяють легко визначити їх взаємне положення. Хай маємо дві прямі:

,

. (14.9)

Якщо вони паралельні, то їх нормальні вектори теж паралельні, тобто , або , . Цю умову паралельності частіше записують так

. (14.10)

Якщо прямі перетинаються, то вони повинні мати загальну точку, координати якої будуть розв”язком системи (14.9) . Умовою того, що ця система має тільки один розв”язок є відмінність від нуля її детермінанта

, або

. (14.11)

Порівнюючи з (14.10), бачимо, що це є умова непаралельності прямих.

Через точку перетину можна провести безліч прямих, рівняння кожної з яких можна одержати за допомогою (14.9) у вигляді

, (14.12)

де  і  - довільні числа. Всі ці прямі проходять через точку перетину, бо вона задовольняє рівняння (14.12). Напрямок нормального вектору кожної прямої буде визначатися числами  і . (14.12) - є рівняння пучка прямих.

Кут між прямими (14.9) в разі їх перетину можна знайти як кут між їх нормальними векторами

. (14.13)

Звідси витікає, що для перпендикулярних прямих

. (14.14)

Кут можна знайти і через направляючі вектори

. (14.15)

Умова перпендикулярності , або , що через кутові коефіцієнти запишеться так

. (14.16)

Відхилення точки від прямої. Розглянемо взаємне положення заданої прямої  та заданої точки . Хай ця точка і початок координат лежать по різні сторони прямої (Рис.14.4).

Рис.14.4. Відхилення точки від прямої

На Рис. 14.4 позначено:  - одиничний нормальний вектор, направляючі конуси якого дорівнюють

,  . (14.17)

- відстань від початку координат до прямої,  - відстань від точки  до прямої,  - проекція точки  на нормаль до прямої. Очевидно, що . З другого боку . Отже

. (14.18)

Легко довести, що в разі, коли  і початок координат лежать по одну сторону прямої, то

. (14.19)

Число  називають відхиленням точки від прямої. Його обчислення проводиться за формулою

. (14.20)

Знак відхилення вказує, в яку сторону порівняно з початком координат відхиляється ця точка.

Якщо точка  лежить на прямій, то , і з (14.20) одержуємо так зване нормоване рівняння прямої

. (14.21)

Його можна одержати з загального рівняння (14.5), якщо останнє помножити на нормуючий множник , де треба брати знак, протилежний знаку .

Приклади: 1) Знайти відхилення точки  від прямої . Знайдемо нормуючий множник: . Тоді нормоване рівняння прямої має вид

.

З нього находимо відхилення точки :

.

Точка  і початок координат лежать по одну сторону від прямої.

2) Написати рівняння бісектриси кута, утвореного прямими (Рис.14.5)

 

Рис.14.5 До задачі 2

Будь-яка точка бісектриси рівновіддалена від прямих, але для однієї бісектриси її відхилення від обох прямих буде мати однакові знаки, а для другої - різні. Записуючи рівність відхилень з однаковими та протилежними знаками одержимо рівняння бісектрис

 

або

 

Підбиваючи підсумок, можна зробити висновок, що пряма на площині може задаватись як рівнянням з направляючим вектором (14.1), або (14.2), так і рівнянням з нормальним вектором (14.3), або (14.5). Перший спосіб придатний і для опису прямої в просторі, а другий ні, бо в просторі через задану точку перпендикулярно заданій прямій можна провести безліч прямих. Всі вони будуть належати одній і тій же площині, що відповідає теоремі однозначності, згідно якій через задану точку перпендикулярно заданій прямій можна провести тільки одну площину. Отже, другий спосіб у просторі дає вже описання не прямої, а площини. Таким чином, рівняння (14.3) у просторі є рівняння площини. Легко простежити, що з цого витікають майже всі аналоги рівнянь прямої на площині, а саме; якщо координати нормального вектора є , то:

а) рівняння площини, яка проходить через задану точку , має вид

; (14.22)

б) загальне рівняння площини

; (14.23)

в) рівняння площини у відрізках  (Рис.14.6)

, (14.24)

де ;

Рис.14.6 До рівняння площини у відрізках

г) нормоване рівняння площини

, (14.25)

де , , ,

,

і знак береться протилежним знаку .

З цих рівнянь також маємо:

а) умову паралельності площин

; (14.26)

б) кут між нормальними векторами площин

; (14.27)

в) умову перпендикулярності площин

; (14.28)

г) відхилення точки  від площини

. (14.29)

Узагальнення на п - вимірний простір. Рівняння

 (14.30)

описує множину точок, яку називають гіперплощиною і яка є аналогом площини у тривімірному просторі. Числа  є координати -вимірного вектора, нормального до площини.

Контрольні питання.

1. Напишіть векторне рівняння прямої на площині з нормальним вектором.

2. Який смисл мають коефіцієнти у загальному рівнянні прямої?

3. Напишіть рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

4. Дайте умови паралельності та перпендикулярності прямих.

5. Виведіть формулу для відхилення точки від прямої.

6. Наведіть рівняння площини.

7. Співставте рівняння площини і прямої на площині.

8. Дайте формулу для відхилення точки від площини.

PAGE  14


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26824. Общие закономерности строения, хода и ветвления кровеносных сосудов 5.4 KB
  Строение кровеносных сосудов: Кровеносные сосуды по функции и строению разделяются на проводящие сосуды артерии и вены и питающие сосуды капилляры. Сосуды vasa vasorum и нервы nervi vasorum. Артерии arteria сосуды по которым кровь выносится из сердца. Соединяет сосуды с органами и мышцами По строению стенок различают артерии эластического переходного и мышечного типов.
26825. Основные данные фило- и онтогенеза сердечно -сосудистой системы 3.41 KB
  У амфибий на ряду с жаберным дыханием появляется легочное с образованием легочного круга кровообращения: из жаберной артерии появл. У рептилий 2 круга кровообращения: легочной и соматический. Следовательно 2 круга кровообращения. Одновременно с ними закладывается сердце которое на 7 неделе становится 4хкамерным устанавливается желточный круг кровообращения который заменяется на плацентарное кровообращещение связанное со стенкой матки.
26826. Круги кровообращения 2.55 KB
  круги кровообращения Большой или системный круг кровообращения начинается от левого желудочка сердца из которого кровь поступает в аорту. Путь крови от левого желудочка до правого предсердия составляет большой круг кровообращения. Из правого предсердия кровь поступает в правый желудочек который служит началом малого круга кровообращения. Малый или легочный круг кровообращения начинается из правого желудочка легочной Артерией которая в легких распадается на многочисленные капилляры что способствует освобождению крови от углекислого...
26827. Анатомическое строение сердца 4.15 KB
  анатомическое строение сердца Сердце cor гр. Предсердия располагаются в основании сердца и снаружи от желудочков отделены венечной бороздой sulcus coronarius. Желудочки образуют большую часть сердца.Обе борозды сходятся на краниальной поверхности сердца не достигая его верхушки.
26828. Деление общего плечеголовного ствола 4.3 KB
  Он делится на: Самая верхняя межреберная артерия a. intercostalis suprema отдающая 25 дорсальные межреберные артерии для питания грудной стенки холки и спинного мозга Дорсальная лопаточная артерия a. Глубокая шейная артерия a. Позвоночная артерия a.
26829. Общие закономерности строения внутренних органов (трубкообразного и паренхиматозного) 8.4 KB
  Паренхима рабочая часть органа тканевомягкая субстанция. Вторая часть органа строма каркас это соединительнотканная часть органа в ее состав входят все элементы которые обеспечивают нормальное функционирование паренхимы: соединительнотканные прослойки трабекулы которые делят орган на доли; кровеносные и лимфатические сосуды; нервные элементы. Характерные черты паренхиматозных органов: Наличие большого количества мягкой податливой субстанции паренхимы составляющей основу органа. Компактность и крупные размеры органа.
26830. Полости тела. Серозные оболочки и их производные 10.07 KB
  В opганизме животго имеются следующие полости: грудная включающая и себя 2 плевральные полости для правого и левого легкого 1 перикардиальную полость брюшная и тазовая. ГРУДНАЯ ПОЛОСТЬ cavum thoracis распознается в грудной клетке образованной костнохрящевым остовом с покрывающими его мышцами.Эта полость изнутри выстлана внутригрудной фасцией fascia cndolhoracica и серозной оболочкой или плеврой pleura далее следует дыхательная мускулатура. Грудную полость нельзя отождествлять с грудной клеткой поскольку последняя длиннее.
26831. Деление брюшной полости на отделы 4.45 KB
  Фронтальной плоскостью проведенной вдоль правой и левой реберных дуг отделяется нижний участок прилежащий к мечевидному хрящу в силу чего он и называется областью мечевидного хряща regio xiphoidea . Верхний участок средней сагиттальной плоскостью; делится на правое и левое подреберья regio hypohondrica dextra el sinistra . I ]режде всего боковыми парасагитальным плоскостями условно проходящими в правой и левой половинах в виде касательных к концам поперечных отростков поясничных позвонков отделяются правая и левая подвздошные области...
26832. Общая морфофункциональная характеристика органов пищеварения в связи с их функцией 2.85 KB
  И жидкой пищи воды осущ губами зубами и языком.2предварительная механич обработка пищи в ротовой полости формирования пищевого канала а также начало ферментативного расщепления углеводов. Время прохожден пищи в ЖКТ: лошадь 4дня свинья12 днясобака1215 часов чел от 25 часов до 23 дней.