21184

Пряма на площині. Рівняння площини

Реферат

Математика и математический анализ

Це є вектор перпендикулярний до прямої. Задання прямої за допомогою нормального вектора базується на теоремі про те що через задану точку можна провести лише одну пряму перпендикулярну заданій прямій. Пряма з нормальним вектором Умовою перпендикулярності прямої і вектора є рівність нулю скалярного добутку 14.3 повністю задає пряму тобто кожна поточна точка прямої відповідає цьому рівнянню.

Украинкский

2013-08-02

385.5 KB

32 чел.

Пряма на площині. Рівняння площини.

Як і у просторі пряму на площині можна задати за допомогою параметричного або канонічного рівняння:

    , (14.1)

де , , , або

, (14.2)

Але на площині пряму можна задати ще і інакше, використовуючи так званий нормальний вектор . Це є вектор, перпендикулярний до прямої. Задання прямої за допомогою нормального вектора базується на теоремі про те, що через задану точку можна провести лише одну пряму, перпендикулярну заданій прямій. Отже, маємо (Рис.14.1)

Рис.14.1. Пряма з нормальним вектором

Умовою перпендикулярності прямої і вектора  є рівність нулю скалярного добутку

, (14.3)

де . Рівняння (14.3) повністю задає пряму, тобто кожна поточна точка  прямої відповідає цьому рівнянню.

Хай вектор  має координати . Тоді, розкриваючи скалярний добуток, маємо

. (14.4)

Це так зване рівняння прямої, що проходить через задану точку .

Якщо в (14.4) позначити , то одержимо так зване загальне рівняння прямої

. (14.5)

Слід підкреслити, що коефіцієнти ,  в цьому рівнянні є координати нормального вектора прямої.

Отже, пряма на площині може описуватись двома типами векторних (14.1) і (14.3) або скалярних (14.2) і (14.5) рівнянь.

Уже по коефіцієнтах рівняння (14.5) можна одержати інформацію про положення прямої. Наприклад, якщо =, тобто рівняння прямої має вид , то це значить, що вектор  паралельний осі y, а сама пряма паралельна осі x.

Якщо , то пряма не проходить через початок координат. Тоді її рівняння можна записати у вигляді

, (14.6)

де числа ,  мають смисл координат кінців відрізків, що пряма відсікає на осях координат (Рис.14.2).

Рис.14.2 До рівняння прямої у відрізках

Рівняння (14.6) так і зветься: рівняння прямої у відрізках.

З (14.2) маємо , де  - кутовий коефіцієнт прямої (Рис.14.3).

Рис.14.3 До рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Якщо переписати рівняння так

, (14.7)

то одержимо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, яка проходить через задану точку. Його звичайно записують у виді

, (14.8)

де  - величина відрізка, який пряма відсікає на осі у.

Рівняння прямих дозволяють легко визначити їх взаємне положення. Хай маємо дві прямі:

,

. (14.9)

Якщо вони паралельні, то їх нормальні вектори теж паралельні, тобто , або , . Цю умову паралельності частіше записують так

. (14.10)

Якщо прямі перетинаються, то вони повинні мати загальну точку, координати якої будуть розв”язком системи (14.9) . Умовою того, що ця система має тільки один розв”язок є відмінність від нуля її детермінанта

, або

. (14.11)

Порівнюючи з (14.10), бачимо, що це є умова непаралельності прямих.

Через точку перетину можна провести безліч прямих, рівняння кожної з яких можна одержати за допомогою (14.9) у вигляді

, (14.12)

де  і  - довільні числа. Всі ці прямі проходять через точку перетину, бо вона задовольняє рівняння (14.12). Напрямок нормального вектору кожної прямої буде визначатися числами  і . (14.12) - є рівняння пучка прямих.

Кут між прямими (14.9) в разі їх перетину можна знайти як кут між їх нормальними векторами

. (14.13)

Звідси витікає, що для перпендикулярних прямих

. (14.14)

Кут можна знайти і через направляючі вектори

. (14.15)

Умова перпендикулярності , або , що через кутові коефіцієнти запишеться так

. (14.16)

Відхилення точки від прямої. Розглянемо взаємне положення заданої прямої  та заданої точки . Хай ця точка і початок координат лежать по різні сторони прямої (Рис.14.4).

Рис.14.4. Відхилення точки від прямої

На Рис. 14.4 позначено:  - одиничний нормальний вектор, направляючі конуси якого дорівнюють

,  . (14.17)

- відстань від початку координат до прямої,  - відстань від точки  до прямої,  - проекція точки  на нормаль до прямої. Очевидно, що . З другого боку . Отже

. (14.18)

Легко довести, що в разі, коли  і початок координат лежать по одну сторону прямої, то

. (14.19)

Число  називають відхиленням точки від прямої. Його обчислення проводиться за формулою

. (14.20)

Знак відхилення вказує, в яку сторону порівняно з початком координат відхиляється ця точка.

Якщо точка  лежить на прямій, то , і з (14.20) одержуємо так зване нормоване рівняння прямої

. (14.21)

Його можна одержати з загального рівняння (14.5), якщо останнє помножити на нормуючий множник , де треба брати знак, протилежний знаку .

Приклади: 1) Знайти відхилення точки  від прямої . Знайдемо нормуючий множник: . Тоді нормоване рівняння прямої має вид

.

З нього находимо відхилення точки :

.

Точка  і початок координат лежать по одну сторону від прямої.

2) Написати рівняння бісектриси кута, утвореного прямими (Рис.14.5)

 

Рис.14.5 До задачі 2

Будь-яка точка бісектриси рівновіддалена від прямих, але для однієї бісектриси її відхилення від обох прямих буде мати однакові знаки, а для другої - різні. Записуючи рівність відхилень з однаковими та протилежними знаками одержимо рівняння бісектрис

 

або

 

Підбиваючи підсумок, можна зробити висновок, що пряма на площині може задаватись як рівнянням з направляючим вектором (14.1), або (14.2), так і рівнянням з нормальним вектором (14.3), або (14.5). Перший спосіб придатний і для опису прямої в просторі, а другий ні, бо в просторі через задану точку перпендикулярно заданій прямій можна провести безліч прямих. Всі вони будуть належати одній і тій же площині, що відповідає теоремі однозначності, згідно якій через задану точку перпендикулярно заданій прямій можна провести тільки одну площину. Отже, другий спосіб у просторі дає вже описання не прямої, а площини. Таким чином, рівняння (14.3) у просторі є рівняння площини. Легко простежити, що з цого витікають майже всі аналоги рівнянь прямої на площині, а саме; якщо координати нормального вектора є , то:

а) рівняння площини, яка проходить через задану точку , має вид

; (14.22)

б) загальне рівняння площини

; (14.23)

в) рівняння площини у відрізках  (Рис.14.6)

, (14.24)

де ;

Рис.14.6 До рівняння площини у відрізках

г) нормоване рівняння площини

, (14.25)

де , , ,

,

і знак береться протилежним знаку .

З цих рівнянь також маємо:

а) умову паралельності площин

; (14.26)

б) кут між нормальними векторами площин

; (14.27)

в) умову перпендикулярності площин

; (14.28)

г) відхилення точки  від площини

. (14.29)

Узагальнення на п - вимірний простір. Рівняння

 (14.30)

описує множину точок, яку називають гіперплощиною і яка є аналогом площини у тривімірному просторі. Числа  є координати -вимірного вектора, нормального до площини.

Контрольні питання.

1. Напишіть векторне рівняння прямої на площині з нормальним вектором.

2. Який смисл мають коефіцієнти у загальному рівнянні прямої?

3. Напишіть рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

4. Дайте умови паралельності та перпендикулярності прямих.

5. Виведіть формулу для відхилення точки від прямої.

6. Наведіть рівняння площини.

7. Співставте рівняння площини і прямої на площині.

8. Дайте формулу для відхилення точки від площини.

PAGE  14


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62154. Простые задачи на сложение и вычитание 15.29 KB
  Решая задачи учся приобретают новые математические знания готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию логического мышления. Поэтому важно чтобы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче о её структуре умел решать задачи различными способами.
62156. Профильные курсы как средство дифференциации обучения информатике на старшей ступени школы 22.84 KB
  Однако истинная дифференциация курса информатики связана не с методическими различиями в изложении одного и того же материала как в базовом курсе а с реальными различиями в содержании дифференцированных курсов.