21185

Векторний та змішаний добутки векторів. Площина та пряма в просторі

Реферат

Математика и математический анализ

У множині геометричних векторів можна ввести так званий векторний добуток двох векторів коли кожній парі векторів співставляється третій вектор який і називається їх добутком: . Вектор направлений перпендикулярно площині в якій лежать вектори і і в таку сторону щоб трійка векторів складала праву трійку інакше кажучи щоб ці вектори були орієнтовані по правилу правої руки Рис.1 Векторний добуток векторів Довжина вектора визначається за формулою 15.

Украинкский

2013-08-02

522 KB

2 чел.

Векторний та змішаний добутки векторів. Площина та пряма в просторі.

Векторний добуток. У множині геометричних векторів можна ввести так званий векторний добуток двох векторів, коли кожній парі векторів ,  співставляється третій вектор , який і називається їх добутком: . Це співставлення задається таким чином. Вектор  направлений перпендикулярно площині, в якій лежать вектори  і , і в таку сторону, щоб трійка векторів , ,  складала праву трійку, інакше кажучи щоб ці вектори були орієнтовані по правилу правої руки (Рис.15.1)

Рис.15.1 Векторний добуток векторів

Довжина вектора  визначається за формулою

, (15.1)

згідно якій модуль векторного добутку дорівнює площі паралелеграма, побудованого на векторах  і .

Таке означення векторного добутку має своє походження в механіці, де таким чином визначається момент  сили , прикладеної до плеча, яке задається вектором :

. (15.2)

Поняття векторного добутку було введено У. Гамільтоном (1853). Г. Грассман застосовував термін “зовнішній добуток”, він же ввів позначення  (1844). Позначення  ввів Дж. Гіббс.

З означення векторного добутку витікають його властивості:

1)

2) ,  (15.3)

3) ,

4) .

Варто звернути увагу на першу властивість, де ми знову зустрічаємось, як і при множенні матриць, з властивістю, відмінною від властивостей чисел, а саме: перестановка місцями двох множників змінює результат, а саме в даному разі змінює знак добутку на протилежний.

З третьої та четвертої властивостей витікає, що для двох колінеарних, відмінних від нуля векторів  і , маємо . Цю рівність можна назвати умовою колінеарності векторів. Дійсно, в даному випадку ця рівність може бути тільки при , тобто . А це і є умова колінеарності векторів.

Обчислення векторного добутку в декартовій системі координат зручно робити за допомогою детермінанта. Хай вектори задані у виді розкладень по ортах: , . Тоді векторний добуток дорівнює

 (15.4)

де використані властивості (15.3). Векторні добутки ортів дорівнюють.

, (15.5)

Якщо скористатися визначенням детермінанту другого порядку, то в результаті одержимо

, (15.6)

або

. (15.7)

Враховуючи властивості детермінанта по формулі (15.7) легко перевірити наявність всіх властивостей (15.3).

 Приклад.

 .

Змішаний добуток векторів. Тепер ми маємо два вида добутків векторів, скалярний та векторний. З трьох векторів можна створювати різні комбінації добутків, які будуть давати різні результати. Наприклад,  дає вектор, колінеарний вектору , який відрізняється від нього скалярним множником . Добуток  називають подвійним векторним добутком, і його можна представити у виді

. (15.8)

Добуток  називають змішаним, і ми його розглянемо докладніше, що зумовлено наочністю його геометричного смислу. Змішаний добуток зручно обчислювати за допомогою детермінанта

 

=. (15.9)

Звідси легко одержати такі властивості змішаного добутку векторів.

1) Добуток дорівнює нулю, якщо з двох векторів хоча б два колінеарні. Це значить, що у детермінанті два рядки лінійно залежні.

2) Добуток дорівнює нулю , якщо три вектори компланарні. У цьому разі всі три вектори, а значить і всі рядки лінійно залежні.

3) Циклічна перестановка векторів не впливає на результат змішаного добутку. Дійсно, циклічна перестановка рядків детермінанта не впливає на його величину. Отже, в змішаному добутку не має значення, які два вектори перемножають векторно. Головне, щоб не змінювався їх порядок. Тому часто змішаний добуток записують просто так

. (15.10)

4) Якщо в змішаному добутку поміняти місцями два вектори , то його знак змінюється на протилежний. (знак детермінанта змінюється при перестановці місцями двох рядків)

, або . (15.11)

Геометричний смисл змішаного добутку стає ясним, якщо його записати у виді

, (15.12)

де  - об”єм паралелепіпеда, побудованого на векторах ,  і ,  - площа паралелограма, побудованого на векторах  і ,  (Рис.15.2).

Рис.15.2 Геометричний смисл змішаного добутку векторів

Знак (+) буде , якщо трійка векторів  права, і (-) - якщо ліва.

Приклад. Знайти об”єм тетраедра з вершинами у точках (Рис.15.3).

Рис.15.3 Знаходження об”єму тетраедра

Об”єм тетраедра дорівнює:

.

Так як  то

.

З властивостей всіх трьох видів добутків векторів витікають умови взаємного розположення векторів:

1) , ортогональність векторів,

2) , колінеарність векторів,

3) , компланарність векторів.

 Площина та пряма в просторі. Як було розглянуто раніше , векторне рівняння з нормальним вектором  описує пряму на площині і площину у просторі.. Векторне рівняння з направляючим вектором  описує пряму як на площині, так і в просторі. Таким чином рівняння на площині

 та  (15.13)

описують один і той же об”єкт - пряму. Але аналогічні рівняння у просторі

 (15.14)

та

 (15.15)

описують уже два різних об”єкта - площину та пряму. Таким чином, зменшення розмірності простору приводить до виродження описання геометричних об”єктів, тобто один і той же об”єкт описується двома різними видами рівнянь. Треба замітити, що рівняння (15.13) приводяться одне до одного за допомогою алгебраїчних перетворень, а рівняння (15.14) та (15.15) уже не можна привести одне до одного. Дійсно вираз (15.15) насправді містить два рівняння, кожне з яких можна розглядати як рівняння площини, наприклад

,  .

Значить, канонічне рівняння прямої у просторі рівносильне двом рівнянням площини. Це є відображенням того геометричного факту, що будь-які площини, що перетинаються, однозначно задають пряму. Таким чином, з двох рівнянь площин, що перетинаються можна одержати канонічне рівняння прямої, по якій вони перетинаються. Знайдемо це рівняння. Розглянемо дві площини

 (15.16)

Так як вони перетинаються, то їх нормальні вектори  і  неколінеарні, тобто рядки матриці

 (15.17)

лінійно незалежні. Отже ранг матриці дорівнює двом, а значить система (15.16) має безліч розв”язків, які дадуть точки прямої перетину площин. Виберемо один з цих розв”язків як координати точки .

Направляючий вектор прямої перетину площин перпендикулярний векторам  і , отже його можна взяти як векторний добуток (Рис.15.4)

. (15.18)

Рис.15.4 Пряма як перетин двох площин

Таким чином всі необхідні дані для канонічного рівняння прямої одержано.

Через цю пряму можна провести безліч площин. Їх рівняння можна одержати з (15.16) по аналогії з пучком прямих на площині

, (15.19)

де  і  - довільні числа. Рівняння (15.19) називається рівнянням пучка площин.

Приклад. Написати рівняння перетину площин

 

Візьмемо  за вільну невідому і покладемо . Тоді розв”язок системи буде

. Направляючий вектор знайдемо з векторного добутку нормальних векторів площин

.

Тепер маємо рівняння прямої перетину цих двох площин

.

Кутом  між прямою та площиною є кут, доповнюючий до кута  між направляючим вектором прямої і нормальним вектором площини. Його можна знайти за формулою

. (15.20)

Умова паралельності прямої і площини , умова перпендикулярності - .

 Задача лінійного програмування. Одержані співвідношення аналітичної геометрії використовують не лише для описання геометричних об”єктів, а й для розв”язання задач зовсім другого типу, наприклад задач лінійного програмування. Типова задача лінійного програмування може бути сформульована на прикладі підприємства таким чином. Хай на підприємстві система  вхідних інгредієнтів, заданих об”ємами ресурсів , перетворються в нову систему продуктів. Перетворення здійснюється за технологією, яка характеризується матрицею , , , де  означає затрати -го ресурсу при використанні -го технологічного способу. Позначимо  величину цінності, яка міститься в кінцевих продуктах, виготовлених за способом . Поставимо задачу знаходження такого плана використання технологічних способів, щоб сумарна ціна виробленої цінності була максимальною.

Позначимо  величини інтенсивностей використання  -го технологічного способу. Тоді для плану виробництва  загальні затрати  -го ресурса будуть

. (15.21)

Так як наявна величина -го ресурса визначена як , то має задовольнятись нерівність . Сумарна цінність , яка називається цільовою функцією задачі, визначається величиною

. (15.22)

Величини  є лінійні функції (звідси і назва лінійного програмування). План , якому відповідає максимальне значення цільової функції , називається оптимальним планом, або розв”язком задачі.

Тепер задача формулюється таким чином: знайти

. (15.23)

при обмеженнях

, . (15.24)

Розглянемо приклад для . Треба знайти

 (15.25)

при умовах

 (15.26)

На площині умови (15.26) будуть визначати деякий многокутник (Рис.15.5) (але може бути і такий випадок, що вони не визначають ніякого многокутника - тоді задача не має розв”язку)

Рис.15.5 Задача лінійного програмування

Неважко бачити, що лінійна функція збільшується максимальним чином вздовж нормального вектора . Звідси витікає геометричний метод розв”язання задачі. Пряму  треба пересувати вздовж нормального вектора до тих пір поки вона буде мати хоча б одну спільну точку з многокутником. В даному випадку пряма  ще має одну спільну точку з многокутником, а саме точку А. Координати цієї точки задовольняють нерівності (15.26), і тому величина  є максимальне значення цільової функції .

Таким чином оптимальний план - це координати точки .

Контрольні питання.

1. Дайте означення векторного добутку векторів.

2. Як обчислюється векторний добуток за допомогою детермінанта?

3. Який геометричний смисл модуля векторного добутку?

4. Як обчислюється змішаний добуток векторів?

5. Дайте геометричну інтерпретацію змішаного добутку векторів.

6. Наведіть аналогію між описом площини та прямої у просторі.

7. Наведіть алгоритм переходу від задання прямої двома площинами до канонічного рівняння.

8. Напишіть рівняння пучка площин.

9. Наведіть приклад застосування аналітичної геометрії у задачах лінійного програмування.

PAGE  23


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63854. Гендерные стереотипы в меняющемся обществе 21.85 KB
  Гендерные стереотипы в меняющемся обществе Взаимодействие между людьми не строится на общепризнанных в соответствующей культуре образцах не может протекать вне закономерностей социального восприятия. Гендерные стереотипы представляют собой культурно и социально-обусловленные мнения...
63855. Коммуникации в социокультурной динамике: коммуникативные практики посткризисного региона Дагестан как зеркало социокультурных изменений 177 KB
  Затем мы провели контент-анализ на основании заголовков и общего содержания записей. При этом мы ограничились лишь последними 10 записями каждого блога так как этого количества с одной стороны достаточно для того чтобы определить соотношение предметов обсуждения по их содержанию а с другой стороны это именно...
63856. Трансформация ритуалов в современном обществе 30.67 KB
  Ритуалы это своеобразные камни для строительства упорядоченного образа жизни. Соблюдение повседневных ритуалов помогает нам структурировать свой день и делит трудные периоды на мелкие части. Но всегда ли мы задумываемся об истинном смысле ритуалов На первый взгляд не так уж много ритуалов наполняют нашу жизнь...
63857. Трансформация социокультурного пространства в рамках экономической системы 52.5 KB
  На современном этапе развития социально-экономической формации возникает потребность в изучении и анализе социального пространства с междисциплинарных позиций в силу возрастающего влияния на все сферы жизни общества. Базовыми характеристиками современного общества выступают...
63858. Социальная идентичность: гендерный аспект 54 KB
  Социологическое определение идентичности отражает в свою очередь ее непосредственное отношение к личности и обществу. В своей книге Детство и общество Эриксон писал: Я могу попытаться более явно представить суть идентичности только рассмотрев ее с разных точек зрения.
63859. Экономические условия и политические аспекты трансформации социокультурного пространства в истории России 59.5 KB
  Если говорить о категориях институциональной жизни общества то можно выделить множество сфер которые подвергаются изменениям. Оно определяет общие ориентиры поведения людей совокупность социокультурных норм и ценностей общества которые и определяют это поведение.
63860. Анализ организационно-экономических основ инвестиционной деятельности муниципального образования 24.12 KB
  В условиях ограниченности собственных финансовых средств требующихся для реализации планов социально-экономического развития муниципальных образований а также отдельных целевых программ необходимо привлекать инвестиции аккумулировать сбережения и накопления граждан...
63861. Проблемы защиты коренных народов 44 KB
  В Приангарье проживает 1950 человек которые относятся к категории коренных малочисленных народов КМН 1272 эвенка и 678 тофаларов по переписи населения 2010 года. Постановлением Правительства Иркутской области от 1 апреля 2013 года № 106пп утверждена долгосрочная целевая программа...
63862. Причины изменения языка в разных социальных группах 47.5 KB
  Эти слова прижились и использует в повседневной речи. Часто употребляемые молодыми людьми слова и выражения не понятны взрослым нашим родителям бабушкам дедушкам. От слова €œботать учиться эти и многие другие слова и выражения привносят собой в язык особый смысловой оттенок.