21186

Лінійні оператори. Матриця оператора

Реферат

Математика и математический анализ

Лінійні оператори. Матриця оператора. Лінійні оператори.

Украинкский

2013-08-02

476.5 KB

28 чел.

ЛІНІЙНІ ОПЕРАТОРИ. КРИВІ ТА ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ.

Лінійні оператори. Матриця оператора.

 Лінійні оператори. Хай задані два лінійні простори,  і . Якщо кожному елементу  поставлено у відповідність певний елемент , то кажуть, що задано відображення , або оператор , який здійснює це відображення: . Сучасне означення оператора дав Дж. Пеано (Peano G., 1858-1932, Італія) в 1888 р.

Оператор  лінійний, якщо  

 (16.1)

тобто дія оператора на суму двох елементів рівносильна складанню результатів дії оператора на кожний з елементів доданків, а дія оператора на елемент, помножений на число рівносильна  помноженню на це число результату дії оператора на самий елемент. Доречі, з цього витікає, що .

Оператор не обов”язково переводить елементи одного простору в інший, він може діяти і в межах одного простору, переводячи елементи даного простору в елементи цього ж простору. В цьому разі можна виділити три специфічних оператора:

1) нульовий оператор ,

2) тотожній оператор ,

3) протилежний оператор .

Приклади. 1) Оператор  проектування геометричних векторів на задану вісь :  (Рис.16.1).

Рис.16.1 Проектування вектора на вісь

2) Оператор  дзеркального відображення геометричних векторів відносно заданої площини:  (Рис.16.2).

Рис.16.2 Дзеркальне відображення відносно площини

3) Оператор  повороту геометричних векторів на кут  навколо осі 0z:  (Рис.16.3).

Рис.16.3. Поворот векторів навколо осі

4) Оператор  векторного добутку на вектор зліва: .

5) Оператор  диференціювання функції в просторі функцій, які мають похідну:  .

Над операторами можна виконувати арифметичні дії додавання, множення на число, множення оператора на оператор. При цьому одержують нові оператори.

1) Сума двох операторів , це є оператор, дія якого дорівнює сумі результатів дії на кожний з доданків

. (16.3)

Сума операторів має такі ж властивості, як і сума чисел, а саме:

а) ,

 б) ,             (16.4)

 в) .

Доведемо, наприклад, справедливість першої властивості:

.

2) Оператор , помножений на число  це є новий оператор , який діє по правилу

 (16.5)

Властивості дії множення на число

а) ,

 б) .              (16.6)

Доведення проводиться так само, як і у випадку дії додавання.

3) Добуток операторів  визначається так

, (16.7)

тобто на елемент  спочатку діє оператор , а потім на результат діє оператор . З цього визначення витікає, що добуток операторів залежить від порядку множників. В загальному випадку

. (16.8)

Оператори, для яких справедлива рівність

. (16.9)

називаються комутуючими операторами.

Другі властивості добутку аналогічні властивостям добутків чисел (якщо не міняти порядок множників):

а) ,

б) ,

 в) .            (16.10)

 Для операторів можна також ввести поняття оберненого оператора, а саме: для даного оператора  існує обернений оператор , якщо виповнюються рівності

, (16.11)

де  - тотожній оператор. Якщо даний оператор  має обернений, то із співвідношення  витікає . Не всякий оператор має обернений. Існування оберненого оператора визначається слідуючими теоремами.

 Теорема 1. Якщо оператор  має обернений, то із рівності  витікає, що . Дійсно, хай . Тоді . Так як , то звідси маємо , або .

Теорема 2. Для того, щоб оператор  мав обернений, необхідно і достатньо, щоб оператор  діяв з простору  в простір  взаємно однозначно, тобто два різних елемента  і  цей оператор відображав у два різних елемента  і .

Доведення необхідності. Хай оператор має обернений, але діє не однозначно, тобто  і . Тоді , звідки, згідно з теоремою 1, маємо  або . Значить, припущення було невірним.

Доведення достатності. Хай оператор діє однозначно. Тоді кожному елементу  відповідає свій елемент , такий, що . Значить, існує такий оператор , що , або , тобто . З другого боку , тобто . Таким чином , що згідно визначенню означає, що оператор  є обернений: .

Множина елементів , таких, що , називається ядром оператора і позначається як . Якщо , то оператор  має обернений.

Множина елементів , таких, що , де  пробігає весь простір , називається областю визначення оператора і позначається як . Якщо , то . В загальному випадку .

На підставі теореми 2 можна зробити висновок, що оператор проектування  не має оберненого, а оператори дзеркального відображення  і повороту  - мають. Це очевидно з геометричних образів. Але в загальному випадку виявити властивості оператора зручніше за допомогою його матриці.

 Матриця оператора. Виберемо в даному лінійному просторі  базис . Подіємо на кожний елемент базиса даним оператором  і результат дії розкладемо по цьому ж базису:

,

 (16.12)

.

Розташуємо коефіцієнти  у стовпці і побудуємо з них матрицю , яка і називається матрицею оператора. Тоді дія оператора на будь-який вектор може бути описана так:

. (16.13)

Таким чином, координати образа  легко знаходяться через координати прообраза  за допомогою матриці оператора:

, (16.14)

де  і  - матриці-стовпці з координат  і .

Таким чином, кожному оператору  при вибраному базисі відповідає матриця . Справедливе і обернене. Кожній квадратній матриці можна співставити  оператор. Дійсно,

. (16.15)

Ранг матриці оператора називають рангом оператора. Він дорівнює розмірности області визначення оператора.

Приклади. 1) Побудувати матрицю оператора проектування на площину х0у. Виберемо базис . Тоді (Рис.16.4)

 

Рис.16.4 До побудови матриці оператора пректування

Звідси маємо матрицю

.

Слід звернути увагу, що як оператор так і матриця не мають обернених.

2) Побудувати матрицю оператора повороту навколо осі 0z на кут  (Рис.16.5).

 

Рис.16.5 До побудови матриці оператора повороту

Матриця

.

Як матриця, так і оператор мають обернені.

Тепер для будь-якого вектора маємо

.

3) Хай оператор  означає векторний добуток  на вектор  зліва: . Знайти матрицю. Маємо дію оператора на базисні вектори.

 

Матриця оператора має вид

.

4) Хай в лінійному просторі многочленів степені не вище  діє оператор диференціювання. Знайти його матрицю в базисі .

 

 

 

 

.

Матриця оператора дорівнює

.

В останніх двох прикладах, як матриці, так і відповідні оператори не мають обернених.

З самого визначення матриці оператора витікає, що величина її елементів залежить від базиса і буде мінятись при переході до нового базису. Знайдемо формули переходу. Хай оператор  в базисі  має матрицю , а в базисі  - матрицю .

Це значить, що , .

Хай  є матриця переходу від одного базису до другого, тобто . Тоді можна записати

 . (16.16)

Цю ж дію можна записати по другому:

 (16.17)

Прирівнюючи розкладення в (16.16) і (16.17) одержимо

 , (16.18)

або в матричному запису

. (16.19)

Таким чином, матриця оператора в новому базисі зв”язана з матрицею в старому базисі формулою

. (16.20)

Використовуючи властивість матриць , легко довести, що детермінант матриці оператора при переході до нового базису не змінюється. Дійсно з (16.20) маємо

, (16.21)

де взято до уваги, що .

Контрольні питання.

1. Дайте означення лінійного оператора.

2. Наведіть приклади лінійних операторів.

3. Сформулюйте правила арифметичних дій над операторами.

4. Сформулюйте теорему про існування оберненого оператора.

5. Дайте алгоритм побудови матриці оператора.

6. Виведіть формулу перетворення матриці оператора при переході до нового базису.

PAGE  43


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77101. Единство и многообразие общественной жизни 110 KB
  Представление о мире как о замкнутой сфере перенесенное на развитие общества привело к идеям согласно которым общество развивается не бесконечно а в ограниченном круге повторяя уже пройденные в определенном ритме этапы Пифагор.
77104. Отбор кадров 25.56 KB
  Чтобы правильно определить критерии отбора, следует ясно сформулировать качества работника, необходимые для соответствующего вида деятельности. Критерии следует формировать так, чтобы они всесторонне характеризовали работника: опыт, здоровье и личностные характеристики