21187

Власні числа та власні вектори оператора. Самоспряжені оператори

Реферат

Математика и математический анализ

1 то він називається власним вектором оператора а число його власним числом. Таким чином дія оператора на власний вектор дає той же вектор помножений на власне число. Це алгебраїчне рівняння степені називається характеристичним рівнянням оператора .

Украинкский

2013-08-02

822 KB

9 чел.

Власні числа та власні вектори оператора. Самоспряжені оператори.

Власні числа та власні вектори. Якщо існує такий ненульовий елемент , що

, (17.1)

то він називається власним вектором оператора , а число  - його власним числом. Таким чином, дія оператора на власний вектор дає той же вектор, помножений на власне число. Щоб знайти ці вектори і числа перепишемо (17.1) у виді , або

. (17.2)

Згідно теореми про обернений оператор такому рівнянню буде задовольняти ненульовий вектор  тоді і тільки тоді, коли оператор  не буде мати оберненого. З цього витікає, що і його матриця не буде мати оберненої, критерієм чого є рівність нулю її детермінанта

. (17.3)

Таким чином, власне число повинно бути корнем рівняння (17.3). Це алгебраїчне рівняння степені  називається характеристичним рівнянням оператора . Згідно основної теореми алгебри алгебраїчне рівняння степені  має  коренів , серед яких можуть бути кратні корені, а також і комплексні корені.

Теорема. Характеристичні рівняння для одного і того ж оператора в різних базисах еквівалентні. Дійсно, хай матриці оператора  в двох різних базисах будуть відповідно  і , і хай  є матриця переходу від одного базиса до другого. Тоді, згідно правил перетворення матриці оператора, маємо

 (17.4)

Для кожного власного числа  рівняння (17.2) визначає власний вектор

. (17.5)

Приклади. 1) Знайти власні вектори і числа оператора, матриця якого в деякому базисі має вид

. Маємо .

Характеристичне рівняння

.

Корені рівняння будуть .

Тепер знайдемо власні вектори. Для  власний вектор буде розв”язком рівняння

 

Звідси маємо

.

де  - довільне число.

Для числа  рівняння для векторів буде мати вид

, або

Звідси маємо

,

де  - довільне число. Власний вектор для числа  відрізнятиметься знаком перед уявною одиницею.

2) Знайти власні числа і вектори оператора проектування на площину. Його матриця

.

Характеристичне рівняння

 

має корні , . Власні вектори

 

3) Знайти власні числа і вектори оператора повороту на кут  навколо осі . Матриця оператора

.

Характеристичне рівняння

 

має корні . Власні вектори

 

Власні вектори і числа оператора являються дуже важливими його характеристиками. Особливе значення придають цьому слідуючі дві теореми.

Теорема 1. Власні вектори оператори, які відповідають різним власним числам є лінійно незалежні.

Доведення. Хай оператор  має власні числа  і відповідні їм власні вектори . Хай всі власні числа різні, . Використаємо метод математичної індукції. Один вектор завжди лінійно незалежний. Хай тепер  лінійно незалежні. Доведемо, що і  лінійно незалежні. Для цього припустимо, що це не так, тобто припустимо, що існують такі числа , серед яких є і ненульові, що

. (17.6)

Подіємо спочатку на (17.6) оператором

. (17.7)

Тепер помножимо (17.6) на  і віднімемо від (17.7)

.

Так як всі , , то із лінійної незалежності векторів  витікає, що . Але тоді із (17.6) слідує, що і , тобто рівняння (17.6) можливе тільки в тому разі, коли всі коефацієнти дорівнюють нулю, а це значить всі вектори лінійно незалежні.

 Теорема 2. Матриця оператора в базисі з власних векторів має діагональний вид.

Доведення. Хай набір власних векторів  оператора  достатній для того, щоб утворювати базис. Знайдемо матрицю оператора. Для цього подіємо на кожний базисний вектор, який до того ж є і власним, оператором

 (17.9)

Звідси маємо діагональну матрицю

, (17.10)

по діагоналі якої стоять власні числа оператора.

Висновок. Якщо оператор  має  різних власних чисел, то в деякому базисі, а саме в базисі з власних векторів, матриця цього оператора має діагональний вид.

 Самоспряжені оператори. Розглянемо евклідовий простір (лінійний простір, в якому введено скалярний добуток). Два оператора  і  називаються спряженими, якщо

, (17.11)

де  і  довільні елементи простору. Спряжений оператор позначиють так: . З визначення слідують властивості:

1) ,

2) ,

3) , (17.12)

4) ,

5) .

Доведемо останню властивість. Маємо, згідно (17.11), . Застосовуючи (17.11) послідовно для кожного оператора, одержимо другий результат. . Прирівнюючи праві частини одержимо властивісь 5).

Знайдемо тепер матрицю спряженого оператора в ортонормованому базисі. Хай дія операторів на вектори запишеться як

, (17.13)

і  . (17.14)

Тоді для скалярних добутків одержимо

. (17.15)

. (17.16)

Прирівнюючи (17.15) і (17.16) згідно (17.11) маємо

, (17.17)

тобто матриця спряженого оператора  є транспонована матриця оператора . Звідси, зокрема витікає, що .

Оператор називається самоспряженим, якщо , тобто якщо

. (17.18)

Приклади. 1) Довести, що оператор , де , самоспряжений. Перевіримо безпосередньо:

.

.

2) Хай у просторі многочленів не вище другої степені, елементи якого мають вид  скалярний добуток означено, як , де .

а) Дія оператора - зміна знака у аргумента: . Тоді  

.

.

Оператор самоспряжений.

б) Довести, що оператор  теж самоспряжений.

3) Оператор проектування на площину хОу. У базисі  його матриця

. Тоді  і

;

.

Отже оператор  самоспряжений.

Матриця самоспряженого оператора симетрична, , що зразу ж витікає з (17.17). В ортонормованому бозисі скалярний добуток

. (17.19)

має вид квадратичної форми, де коефіцієнти  є елементи матриці оператора . Якщо матриця має діагональний вид, то квадратична форма приймає канонічний вид

, (17.20)

де  - діагональні елементи матриці оператора .

Очевидно, що в базисі з власних векторів оператора квадратична форма буде мати канонічній вид, причому коефіцієнтами будуть власні числа оператора.

Для самоспряжених операторів дуже велике значення має

Теорема: самоспряжений оператор в -вимірному просторі має  дійсних власних чисел, яким відповідають взаємно ортогональні власні вектори.

Дія самоспряженого оператора зводиться до розтягування  або стискання вздовж напрямків, які задаються власними векторами. Дійсно, хай власні вектори  утворюють базис. Тоді розкладення вектора х в цьому базисі буде мати вид .

Дія оператора дасть результат

, (17.21)

звідки видно, що координати образу вектора  змінились у  раз.

Приклад: Хай оператор  в деякому базисі тривимірного простору породжає квадратичну форму

.

Знайти базис, у якому квадратична форма буде мати канонічний вид і виписати її.

Для того, щоб виписати матрицю оператора, треба прийняти до уваги, що матриця самоспряженого оператора симетрична, отже коефіцієнти у квадратичній формі при перехресних добутках координат треба брати вдвічі меншими, бо

. Таким чином матриця оператора має вид . Характеристичне рівняння

 .

Власні числа: , . Власні вектори:

1) .   нормований вектор .

2) .  нормований вектор .

3), нормований вектор .

Так як всі власні числа різні, то вектори  лінійно незалежні і утворюють базис. Легко перевірити, що він ортонормований. Матриця переходу до цього базису має вид

.

Матриця оператора в новому базисі

 

має діагональний вид, де на діагоналі стоять власні числа. Квадратична форма в новому базисі має канонічний вид

,

де координати в старому і новому базисі зв”язані формулами

 

 

 

Контрольні питання.

1. Дайте означення власних векторів та власних чисел оператора.

2. Яке рівняння називається характеристичним?

3. Доведіть теорему про лінійно незалежні власні вектори оператора.

4. Які оператори називаються спряженими?

5. Доведіть теорему про діагональність матриці оператора.

6. Сформулюйте теорему про власні числа самоспряженого оператора.

PAGE  44


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35003. Сущность заработной платы и ее формы 22.5 KB
  Коротко можно определить зарплату как цену уплачиваемую за единицу времени услуг труда. По мере развития общества растет и та часть общественного богатства которая затрачивается на оплату труда работников в рынок труда в конечном счете определяет дифференциацию заработной платы различных категорий работников. Верхняя граница зарплаты определяется темпами роста производительности труда.
35004. Необходимость, государственного регулирования экономики 26 KB
  Государство выправляя известное несовершенство рыночной системы берет на себя организацию предложения центральных денег и в обозримом будущем без государственной помощи не обойтись. Взаимодействия участников системы свободного предпринимательства многообразны по формам и социальным последствиям. Здесь основной задачей государства является создание правовой базы и общественной атмосферы для поддержания и облегчения функционирования рыночной системы перераспределение дохода н богатства и стабилизация экономики.
35005. Экономические функции, государства 31 KB
  Государство берет на себя задачу обеспечения правовой базою и некоторых важнейших услуг являющихся предпосылкой эффективного функционирования рыночной экономики. Государство устанавливает также законные правила игры регулирующие отношения между предприятиями поставщиками ресурсов и потребителями. Основные услуги обеспечиваемые государством включают применение полицейских сил для поддержания общественного порядка введение стандартов измерения веса и качества продуктов создание денежной системы облегчающей Обмен товаров и услуг....
35006. Методы воздействия государства на экономику 29.5 KB
  Государственное регулирование это форма целенаправленного воздействия государства на функционирующую экономическую систему с целью обеспечения пли поддержания определенных процессов изменений экономических явлений или их связей. В развитых странах есть два пути сокращения государственных расходов: уменьшение расточительства государственных органов и сужение сферы деятельности государства. Другая форма денежнокредитных отношений активное участие государства в операциях на рынке ценных бумаг с целью регулирования количества обращающихся...
35007. Роль, макроэкономических показателей 33.5 KB
  В мире успешно функционирует система национальных счетов СНС приспособленная к условиям рыночной экономики. В тот период она была связана прежде всего с обслуживанием интересов органов государственного уиравления а сегодня СНС проникла во все сферы экономической и общественнополитической жизни общества. В феврале 1993 года на очередной сессии Статистической комиссии ООН в НьюЙорке была принята новая усовершенствованная СНС. В конце 1992 года Верховный Совет Российской Федерации одобрил государственную программу перехода...
35008. ВНП и его расчет по доходам и расходам 35.5 KB
  При расчете ВНП учитывается только рыночная стоимость конечных продуктов и исключается промежуточная продукция. Поскольку в стоимость конечных продуктов входят все уже имевшие место промежуточные сделки покупка покрышек ткани производителями конечной продукции то отдельный учет промежуточной продукции означал бы двойной счет и завышенную оценку ВНП. Следует подчеркнуть одну из особенностей ВНП: он измеряет стоимость продукции произведенной факторами производства находящимися в собственности граждан данной страны даже если они живут...
35009. ВНП 31.5 KB
  Различают индекс потребительских цен ИПЦ и индекс цен ВНП или дефлятор ВНП который отражает не только цены потребительских товаров и услуг но и инвестиционных товаров. Дефлятор ВНП помогает проводить корректировку объема ВНП за определенное время измерять рост его реального объема по сравнению с номинальным. Номинальный ВНП измеряется в текущих ценах реальный в постоянных базовых ценах.
35010. Экономический цикл 26.5 KB
  Развитие экономики в режиме циклических колебаний прослеживается уже более 170 лет. Период движения экономики от одного кризиса к другому называется экономическим циклом. Вместе с тем подъем выводящий экономику на новый уровень в ее поступательном развитии заканчивается новой бездной краха Для сглаживания пиков экономической конъюнктуры государство использует разнообразные экономические инструментарии от льгот по налогообложению доходов до прямых вложений государственных средств в развитие экономики. Несмотря на определенные успехи...