21188

Ортогональні оператори. Квадратичні формию. Криві другого порядку

Реферат

Математика и математический анализ

2 то одержимо друге означення ортогонального оператора або .3 Звідси маємо для матриці ортогонального оператора або 18.5 показує що рядки стовпці матриці ортогонального оператора ортогональні.1 витікають властивості ортогонального оператора: 1 Якщо ортогональний то і ортогональні.

Украинкский

2013-08-02

282 KB

15 чел.

Ортогональні оператори. Квадратичні формию. Криві другого порядку.

 Ортогональні оператори. Оператор  називається ортогональним, якщо задовольняє співвідношенню

 (18.1)

Оскільки скалярний добуток визначає кути між елементами, то (18.1) означає, що ортогональний оператор не міняє кути між елементами. До речі, ортогональний базис такий оператор переводить знову в ортогональний.

Якщо (18.1) переписати так

, (18.2)

то одержимо друге означення ортогонального оператора

, або . (18.3)

Звідси маємо для матриці ортогонального оператора

, або  (18.4)

Зокрема рівність (18.4), записана у явному виді по елементах

, (18.5)

показує, що рядки (стовпці) матриці ортогонального оператора - ортогональні.

З означення (18.1) витікають властивості ортогонального оператора:

1) Якщо  - ортогональний, то і  - ортогональні.

Доведення: , що й доводить згідно з (18.3).

2) Добуток двох ортогональних операторів теж є ортогональний оператор.

.

3) .

Дійсно, . З другого боку маємо

.

4) Квадрат власного числа оператора дорівнює одиниці. Хай  - власний вектор ортогонального оператора, а  - власне число. Тоді

 

Приклад. Яка дія ортогонального оператора у двовимірному просторі.

Хай . З  знаходимо ,

або .

Звідси маємо: . Хай . Тоді маємо два типа матриць

.

Матриця  визначає поворот на кут  проти годинникової стрілки. Матриця  - поворот і відбиття.

 Квадратичні форми. У попередніх лекціях вже йшла мова про квадратичні форми, які за допомогою самоспряженого оператора означаються в ортонормованому базисі як

, (18.6)

де  - елементи матриці оператора , яка називається також матрицею квадратичної форми. Слід зауважити, що ця матриця симетрична, , оскільки оператор  самоспряжений. В базисі із власних векторів оператора квадратична форма приймає канонічний вид

, (18.7)

де  -власні числа оператора,  - координати елемента  в базисі із власних векторів.

Приклад. Знайти базис, у якому квадратична форма  має канонічний вид. Матриця форми

.

Власні числа знаходимо з рівняння

.

 Власні вектори знаходимо з системи

.

Маємо . Матриця переходу . Матриця квадратичної форми в новому базисі

.

Канонічний вид форми: .

 Терема: Якщо детермінант симетричної матриці не дорівнює нулю, то всі власні числа матриці відмінні від нуля. Дійсно , завжди знайдеться базис, у якому матриця прийме діагональний вид, при чому діагональними елементами будуть власні числа. Тоді маємо, що . Але

. (18.8)

З цієї теореми витікає класифікація квадратичних форм.

1) Якщо всі власні числа більше нуля, , то квадратична форма - строго додатньо означена.

Дійсно

. (18.9)

2) Якщо всі , то квадратична форма - строго від”ємно означена.

. (18.10)

3) Якщо , то квадратична форма - додатньо означена. Причому вздовж напрямку, який задається власним вектором , що відповідає нульовому власному числу , квадратична форма дорівнює нулю, тобто .

4) Якщо , то квадратична форма від”ємно означена.

5) Якщо власні числа мають різні знаки, то квадратична форма неозначена. Це значить, що вздовж одних векторів вона додатня, а вздовж других - від”ємна.

Для квадратичних форм справедливий закон інерції: якщо квадратична форма приводиться до канонічного виду в двох різних базисах, то число додатніх і від”ємних членів буде одне і те ж.

Класифікацію квадратичних форм зручно проводити за допомогою критерія Сільвестра (Sylvester James Joseph, 1814-1897, Англія), який полягає у слідуючому.

Визначимо у матриці квадратичної форми

 (18.11)

кутові детермінанти:

.і т. д. (18.12)

Тоді: 1) Якщо всі  - квадратична форма строго додатньо означена;

2) Якщо , тобто , то квадратична форма строго від”ємно означена.

3) Якщо у попередніх двох випадках є детермінанти рівні нулю, то квадратична форма просто додатня або від”ємно означена.

4) У всіх останніх випадках квадратична форма неозначена.

Приклад. Визначити квадратичну форму .

Її матриця дорівнює . Кутові детермінанти дорівнюють:

Форма неозначена.

 Криві другого порядку. Як було показано раніше, лінійний вираз , де  коокрдинати точок площини, описує пряму лінію. Лінійний вираз в тривимірному просторі  описує площину. Лінійність виразів дає назву цим геометричним об”єктам - прямій і площині, які називається лінійними геометричними об”єктами.

Наступний за складністю вираз для геометричних об”єктів має квадратичні доданки, а саме квадрати координат та їх попарні добутки. Аналіз геометричних об”єктів, яким відповідають такі вирази, зручно робити за допомогою квадратичних форм.

Спочатку розглянемо квадратичне рівняння на площині (двовимірний простір). Найбільш загальний вираз такого рівняння в декартовій системі координат  має вид

. (18.13)

Ліва частина цього рівняння містить дві частини: квадратичну форму - перші три доданки, і лінійну форму - останні доданки.

Розглянемо докладніше квадратичну частину

. (18.14)

Матриця цієї форми

 (18.15)

має власні дійсні числа

 (18.16)

яким відповідають ортогональні власні вектори.

 (18.17)

Добуток власних чисел

 (18.18)

визначає класифікацію форми (18.14) і рівняння (18.13) . Якщо , то маємо форму (і рівняння) еліптичного типу, якщо  - то гіперболічного типу, якщо  - параболічного типу.

З попереднього відомо, що у базисі з власних векторів квадратична форма приймає канонічний вид, тобто зникає перехресний добуток координат. Для переходу до цього базису з стопців (18.17) складемо матрицю переходу

, (18.19)

яка зв"яже координати в старому і новому базисах

 (18.20)

Формули (18.20) означають перехід до повернутої навколо початку координат системи, яка теж буде прямокутною згідно з тим, що власні вектори самоспряженого оператора ортогональні (Рис. 18.1).

Мал.18.1 Поворот системи координат.

Підставляючи тепер формули (18.20) в рівняння (18.13), одержимо

, (18.21)

де .

Подальший аналіз буде залежати від значень власних чисел .

Контрольні питання.

1. Дайте означення ортогонального оператора.

2. Доведіть властивість ортогональності рядків (стовпців) матриці ортогонального оператора.

3. Чому дорівнюють власні числа ортогонального оператора?

4. Дайте означення квадратичної форми.

5. Як знайти канонічний вид квадратичної форми?

6. Наведіть класифікацію квадратичних форм.

7. Сформулюйте закон інерції квадратичних форм.

8. Сформулюйте критерій Сільвестра.

9. Напишіть загальне рівняння кривої другого порядку на площині.

10. Дайте класифікацію рівнянь другого порядку.

11. При якому перетворенні системи координат квадратична частина рівняння приймає канонічний вид?

PAGE  61


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70116. Формирование и развитие организаций 553.5 KB
  Факторы влияющие на развитие организаций № Факторы Способствуют Затрудняют 1 Природные ресурсы России 2 Трудовые ресурсы России 3 Территория страны 4 Национальный менталитет 5 Международные отношения 6 Государственно-политическое устройство страны...
70117. Подсчет суммы элементов квадратной матрицы, полученной из клавиатуры 55.5 KB
  Написать одну программу, с помощью которой можно задать размер квадратной матрицы. При этом размер должен быть нечётным числом и больше 7. При помощи генератора случайных чисел инициализировать матрицу целыми числами в диапазоне от -20 до +5.
70118. Изучение оператора цикла For 53 KB
  Это условие проверяется перед началом выполнения цикла, а затем—после каждого прибавления шага к счётчику цикла в операторе Next. Если оно выполнено, управление передается на оператор, следующий за Next, нет—выполняются операторы из тела цикла.
70119. Применение текстовых и календарных функций 40.5 KB
  Дан список сотрудников фирмы, содержащий паспортные данные (фамилию, имя, отчество, дату рождения, дату зачисления в состав фирмы). По этому списку составить список, содержащй следующие данные (фамилию и инициалы, возраст, рабочий стаж в фирме).
70121. ЭЛЕКТРОННАЯ ТАБЛИЦА EXCEL. ДИАГРАММЫ. ЗАДАЧА О ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА 2.07 MB
  Перед вызовом Мастера диаграмм предпочтительно выделить диапазоны ячеек содержащих информацию которая должна использоваться при создании диаграммы.2 Мастер диаграмм осуществляет пошаговое руководство процессом создания диаграммы.
70124. Плагины 162 KB
  Плагины стали неотъемлемой частью больших коммерческих приложений. С их помощью можно наращивать функциональность приложений без повторной компиляции или быстро изменять бизнес-правила, на основе которых работает приложение.