21188

Ортогональні оператори. Квадратичні формию. Криві другого порядку

Реферат

Математика и математический анализ

2 то одержимо друге означення ортогонального оператора або .3 Звідси маємо для матриці ортогонального оператора або 18.5 показує що рядки стовпці матриці ортогонального оператора ортогональні.1 витікають властивості ортогонального оператора: 1 Якщо ортогональний то і ортогональні.

Украинкский

2013-08-02

282 KB

14 чел.

Ортогональні оператори. Квадратичні формию. Криві другого порядку.

 Ортогональні оператори. Оператор  називається ортогональним, якщо задовольняє співвідношенню

 (18.1)

Оскільки скалярний добуток визначає кути між елементами, то (18.1) означає, що ортогональний оператор не міняє кути між елементами. До речі, ортогональний базис такий оператор переводить знову в ортогональний.

Якщо (18.1) переписати так

, (18.2)

то одержимо друге означення ортогонального оператора

, або . (18.3)

Звідси маємо для матриці ортогонального оператора

, або  (18.4)

Зокрема рівність (18.4), записана у явному виді по елементах

, (18.5)

показує, що рядки (стовпці) матриці ортогонального оператора - ортогональні.

З означення (18.1) витікають властивості ортогонального оператора:

1) Якщо  - ортогональний, то і  - ортогональні.

Доведення: , що й доводить згідно з (18.3).

2) Добуток двох ортогональних операторів теж є ортогональний оператор.

.

3) .

Дійсно, . З другого боку маємо

.

4) Квадрат власного числа оператора дорівнює одиниці. Хай  - власний вектор ортогонального оператора, а  - власне число. Тоді

 

Приклад. Яка дія ортогонального оператора у двовимірному просторі.

Хай . З  знаходимо ,

або .

Звідси маємо: . Хай . Тоді маємо два типа матриць

.

Матриця  визначає поворот на кут  проти годинникової стрілки. Матриця  - поворот і відбиття.

 Квадратичні форми. У попередніх лекціях вже йшла мова про квадратичні форми, які за допомогою самоспряженого оператора означаються в ортонормованому базисі як

, (18.6)

де  - елементи матриці оператора , яка називається також матрицею квадратичної форми. Слід зауважити, що ця матриця симетрична, , оскільки оператор  самоспряжений. В базисі із власних векторів оператора квадратична форма приймає канонічний вид

, (18.7)

де  -власні числа оператора,  - координати елемента  в базисі із власних векторів.

Приклад. Знайти базис, у якому квадратична форма  має канонічний вид. Матриця форми

.

Власні числа знаходимо з рівняння

.

 Власні вектори знаходимо з системи

.

Маємо . Матриця переходу . Матриця квадратичної форми в новому базисі

.

Канонічний вид форми: .

 Терема: Якщо детермінант симетричної матриці не дорівнює нулю, то всі власні числа матриці відмінні від нуля. Дійсно , завжди знайдеться базис, у якому матриця прийме діагональний вид, при чому діагональними елементами будуть власні числа. Тоді маємо, що . Але

. (18.8)

З цієї теореми витікає класифікація квадратичних форм.

1) Якщо всі власні числа більше нуля, , то квадратична форма - строго додатньо означена.

Дійсно

. (18.9)

2) Якщо всі , то квадратична форма - строго від”ємно означена.

. (18.10)

3) Якщо , то квадратична форма - додатньо означена. Причому вздовж напрямку, який задається власним вектором , що відповідає нульовому власному числу , квадратична форма дорівнює нулю, тобто .

4) Якщо , то квадратична форма від”ємно означена.

5) Якщо власні числа мають різні знаки, то квадратична форма неозначена. Це значить, що вздовж одних векторів вона додатня, а вздовж других - від”ємна.

Для квадратичних форм справедливий закон інерції: якщо квадратична форма приводиться до канонічного виду в двох різних базисах, то число додатніх і від”ємних членів буде одне і те ж.

Класифікацію квадратичних форм зручно проводити за допомогою критерія Сільвестра (Sylvester James Joseph, 1814-1897, Англія), який полягає у слідуючому.

Визначимо у матриці квадратичної форми

 (18.11)

кутові детермінанти:

.і т. д. (18.12)

Тоді: 1) Якщо всі  - квадратична форма строго додатньо означена;

2) Якщо , тобто , то квадратична форма строго від”ємно означена.

3) Якщо у попередніх двох випадках є детермінанти рівні нулю, то квадратична форма просто додатня або від”ємно означена.

4) У всіх останніх випадках квадратична форма неозначена.

Приклад. Визначити квадратичну форму .

Її матриця дорівнює . Кутові детермінанти дорівнюють:

Форма неозначена.

 Криві другого порядку. Як було показано раніше, лінійний вираз , де  коокрдинати точок площини, описує пряму лінію. Лінійний вираз в тривимірному просторі  описує площину. Лінійність виразів дає назву цим геометричним об”єктам - прямій і площині, які називається лінійними геометричними об”єктами.

Наступний за складністю вираз для геометричних об”єктів має квадратичні доданки, а саме квадрати координат та їх попарні добутки. Аналіз геометричних об”єктів, яким відповідають такі вирази, зручно робити за допомогою квадратичних форм.

Спочатку розглянемо квадратичне рівняння на площині (двовимірний простір). Найбільш загальний вираз такого рівняння в декартовій системі координат  має вид

. (18.13)

Ліва частина цього рівняння містить дві частини: квадратичну форму - перші три доданки, і лінійну форму - останні доданки.

Розглянемо докладніше квадратичну частину

. (18.14)

Матриця цієї форми

 (18.15)

має власні дійсні числа

 (18.16)

яким відповідають ортогональні власні вектори.

 (18.17)

Добуток власних чисел

 (18.18)

визначає класифікацію форми (18.14) і рівняння (18.13) . Якщо , то маємо форму (і рівняння) еліптичного типу, якщо  - то гіперболічного типу, якщо  - параболічного типу.

З попереднього відомо, що у базисі з власних векторів квадратична форма приймає канонічний вид, тобто зникає перехресний добуток координат. Для переходу до цього базису з стопців (18.17) складемо матрицю переходу

, (18.19)

яка зв"яже координати в старому і новому базисах

 (18.20)

Формули (18.20) означають перехід до повернутої навколо початку координат системи, яка теж буде прямокутною згідно з тим, що власні вектори самоспряженого оператора ортогональні (Рис. 18.1).

Мал.18.1 Поворот системи координат.

Підставляючи тепер формули (18.20) в рівняння (18.13), одержимо

, (18.21)

де .

Подальший аналіз буде залежати від значень власних чисел .

Контрольні питання.

1. Дайте означення ортогонального оператора.

2. Доведіть властивість ортогональності рядків (стовпців) матриці ортогонального оператора.

3. Чому дорівнюють власні числа ортогонального оператора?

4. Дайте означення квадратичної форми.

5. Як знайти канонічний вид квадратичної форми?

6. Наведіть класифікацію квадратичних форм.

7. Сформулюйте закон інерції квадратичних форм.

8. Сформулюйте критерій Сільвестра.

9. Напишіть загальне рівняння кривої другого порядку на площині.

10. Дайте класифікацію рівнянь другого порядку.

11. При якому перетворенні системи координат квадратична частина рівняння приймає канонічний вид?

PAGE  61


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68008. Марк Порций Катон Старший 51.13 KB
  Марк Порций Катон Старший (234-149 гг. до н. э.) – римский политический деятель, полководец, писатель. Он сумел подняться от мелкого плебея, да крупного землевладельца, обладающего огромным влиянием на своих современников. Почвоведам Катон известен своим трактатом «О земледелии».
68009. Сімейне виховання у Франції на початку ХХ ст 57 KB
  Питання сімейного виховання тісно пов’язане з питанням про суспільне виховання, оскільки з першого дня народження дитина у Франції могла виховуватися не в своїй сім’ї. Як тільки діти народжувалися, їх відправляли на виховання в село. Залишалася вона там до 1,5, 2х, а часто і до 3-х років.
68010. Контрольно-вимірювальні прилади 307.71 KB
  Оцінюють температуру за допомогою перерахованого показника потужності теплового випромінювання. Якщо пірометр вимірює в широкій смузі спектрального випромінювання то такий пірометр називають пірометром повного випромінювання. Колірні інші назви: мультиспектральні спектрального відношення дозволяють...
68011. Виховання і освіта в ранніх цивілізаціях 66.5 KB
  З історії відомо декілька етапів становлення первісної людини. Зокрема, приблизно за 100 тис. років до нашої ери з'являється людина неандертальського типу, котра приблизно у 40 тис. році до н.е., трансформувалася у кроманьйонця. Період між 100 тис. і 40 тис. років до н.е.
68012. Анализ «Что-если» 178.5 KB
  Подбор параметра является удобным средством для решения задач которые имеют точное целевое значение зависящее от одного неизвестного параметра. С помощью Подбор параметра можно определить значение которое будет давать желаемый результат. Есть значение x от которого зависит формула...
68013. Поиск решения 991 KB
  Прежде чем обращаться к инструменту Поиск решения нужно проанализировать задачу и построить математическую модель. Элементы диалогового окна Поиск решения После построения математической модели можно обратиться к средству Поиск решения. Для этого нужно воспользоваться...
68014. Виды магнитопроводов 456.5 KB
  Магнитопровод, или сердечник, однофазного стержневого трансформатора (рис. 12-2, а) имеет два стержня С, на которых размещаются обмотки, и два ярма Я, которые служат для создания замкнутого магнитопровода. Каждая из двух обмоток (/ и 2) состоит из двух частей, расположенных на двух стержнях...
68015. Политика и право при обеспечении информационно-психологической безопасности 68.17 KB
  В истории науки и практики обеспечения информационной безопасности различают несколько этапов. Традиционно эта область безопасности отождествлялась с защитой информации. С появлением и распространением компьютерных сетей в качестве самостоятельного объекта защиты стали рассматривать информационные системы.
68016. Первая медицинская помощь при кровотечениях 21.04 KB
  Кровотечения могут быть внешними когда кровь изливается наружу и внутренними когда целостность кожных покровов не нарушена и кровь изливается в органы или в межтканевые промежутки. При небольших поверхностных поражениях сосудов кровь обычно вытекает в рыхлую клетчатку возникает гематома синяк.