21188

Ортогональні оператори. Квадратичні формию. Криві другого порядку

Реферат

Математика и математический анализ

2 то одержимо друге означення ортогонального оператора або .3 Звідси маємо для матриці ортогонального оператора або 18.5 показує що рядки стовпці матриці ортогонального оператора ортогональні.1 витікають властивості ортогонального оператора: 1 Якщо ортогональний то і ортогональні.

Украинкский

2013-08-02

282 KB

15 чел.

Ортогональні оператори. Квадратичні формию. Криві другого порядку.

 Ортогональні оператори. Оператор  називається ортогональним, якщо задовольняє співвідношенню

 (18.1)

Оскільки скалярний добуток визначає кути між елементами, то (18.1) означає, що ортогональний оператор не міняє кути між елементами. До речі, ортогональний базис такий оператор переводить знову в ортогональний.

Якщо (18.1) переписати так

, (18.2)

то одержимо друге означення ортогонального оператора

, або . (18.3)

Звідси маємо для матриці ортогонального оператора

, або  (18.4)

Зокрема рівність (18.4), записана у явному виді по елементах

, (18.5)

показує, що рядки (стовпці) матриці ортогонального оператора - ортогональні.

З означення (18.1) витікають властивості ортогонального оператора:

1) Якщо  - ортогональний, то і  - ортогональні.

Доведення: , що й доводить згідно з (18.3).

2) Добуток двох ортогональних операторів теж є ортогональний оператор.

.

3) .

Дійсно, . З другого боку маємо

.

4) Квадрат власного числа оператора дорівнює одиниці. Хай  - власний вектор ортогонального оператора, а  - власне число. Тоді

 

Приклад. Яка дія ортогонального оператора у двовимірному просторі.

Хай . З  знаходимо ,

або .

Звідси маємо: . Хай . Тоді маємо два типа матриць

.

Матриця  визначає поворот на кут  проти годинникової стрілки. Матриця  - поворот і відбиття.

 Квадратичні форми. У попередніх лекціях вже йшла мова про квадратичні форми, які за допомогою самоспряженого оператора означаються в ортонормованому базисі як

, (18.6)

де  - елементи матриці оператора , яка називається також матрицею квадратичної форми. Слід зауважити, що ця матриця симетрична, , оскільки оператор  самоспряжений. В базисі із власних векторів оператора квадратична форма приймає канонічний вид

, (18.7)

де  -власні числа оператора,  - координати елемента  в базисі із власних векторів.

Приклад. Знайти базис, у якому квадратична форма  має канонічний вид. Матриця форми

.

Власні числа знаходимо з рівняння

.

 Власні вектори знаходимо з системи

.

Маємо . Матриця переходу . Матриця квадратичної форми в новому базисі

.

Канонічний вид форми: .

 Терема: Якщо детермінант симетричної матриці не дорівнює нулю, то всі власні числа матриці відмінні від нуля. Дійсно , завжди знайдеться базис, у якому матриця прийме діагональний вид, при чому діагональними елементами будуть власні числа. Тоді маємо, що . Але

. (18.8)

З цієї теореми витікає класифікація квадратичних форм.

1) Якщо всі власні числа більше нуля, , то квадратична форма - строго додатньо означена.

Дійсно

. (18.9)

2) Якщо всі , то квадратична форма - строго від”ємно означена.

. (18.10)

3) Якщо , то квадратична форма - додатньо означена. Причому вздовж напрямку, який задається власним вектором , що відповідає нульовому власному числу , квадратична форма дорівнює нулю, тобто .

4) Якщо , то квадратична форма від”ємно означена.

5) Якщо власні числа мають різні знаки, то квадратична форма неозначена. Це значить, що вздовж одних векторів вона додатня, а вздовж других - від”ємна.

Для квадратичних форм справедливий закон інерції: якщо квадратична форма приводиться до канонічного виду в двох різних базисах, то число додатніх і від”ємних членів буде одне і те ж.

Класифікацію квадратичних форм зручно проводити за допомогою критерія Сільвестра (Sylvester James Joseph, 1814-1897, Англія), який полягає у слідуючому.

Визначимо у матриці квадратичної форми

 (18.11)

кутові детермінанти:

.і т. д. (18.12)

Тоді: 1) Якщо всі  - квадратична форма строго додатньо означена;

2) Якщо , тобто , то квадратична форма строго від”ємно означена.

3) Якщо у попередніх двох випадках є детермінанти рівні нулю, то квадратична форма просто додатня або від”ємно означена.

4) У всіх останніх випадках квадратична форма неозначена.

Приклад. Визначити квадратичну форму .

Її матриця дорівнює . Кутові детермінанти дорівнюють:

Форма неозначена.

 Криві другого порядку. Як було показано раніше, лінійний вираз , де  коокрдинати точок площини, описує пряму лінію. Лінійний вираз в тривимірному просторі  описує площину. Лінійність виразів дає назву цим геометричним об”єктам - прямій і площині, які називається лінійними геометричними об”єктами.

Наступний за складністю вираз для геометричних об”єктів має квадратичні доданки, а саме квадрати координат та їх попарні добутки. Аналіз геометричних об”єктів, яким відповідають такі вирази, зручно робити за допомогою квадратичних форм.

Спочатку розглянемо квадратичне рівняння на площині (двовимірний простір). Найбільш загальний вираз такого рівняння в декартовій системі координат  має вид

. (18.13)

Ліва частина цього рівняння містить дві частини: квадратичну форму - перші три доданки, і лінійну форму - останні доданки.

Розглянемо докладніше квадратичну частину

. (18.14)

Матриця цієї форми

 (18.15)

має власні дійсні числа

 (18.16)

яким відповідають ортогональні власні вектори.

 (18.17)

Добуток власних чисел

 (18.18)

визначає класифікацію форми (18.14) і рівняння (18.13) . Якщо , то маємо форму (і рівняння) еліптичного типу, якщо  - то гіперболічного типу, якщо  - параболічного типу.

З попереднього відомо, що у базисі з власних векторів квадратична форма приймає канонічний вид, тобто зникає перехресний добуток координат. Для переходу до цього базису з стопців (18.17) складемо матрицю переходу

, (18.19)

яка зв"яже координати в старому і новому базисах

 (18.20)

Формули (18.20) означають перехід до повернутої навколо початку координат системи, яка теж буде прямокутною згідно з тим, що власні вектори самоспряженого оператора ортогональні (Рис. 18.1).

Мал.18.1 Поворот системи координат.

Підставляючи тепер формули (18.20) в рівняння (18.13), одержимо

, (18.21)

де .

Подальший аналіз буде залежати від значень власних чисел .

Контрольні питання.

1. Дайте означення ортогонального оператора.

2. Доведіть властивість ортогональності рядків (стовпців) матриці ортогонального оператора.

3. Чому дорівнюють власні числа ортогонального оператора?

4. Дайте означення квадратичної форми.

5. Як знайти канонічний вид квадратичної форми?

6. Наведіть класифікацію квадратичних форм.

7. Сформулюйте закон інерції квадратичних форм.

8. Сформулюйте критерій Сільвестра.

9. Напишіть загальне рівняння кривої другого порядку на площині.

10. Дайте класифікацію рівнянь другого порядку.

11. При якому перетворенні системи координат квадратична частина рівняння приймає канонічний вид?

PAGE  61


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34309. Классификационные признаки систем технологий 23 KB
  Важнейшим признаком характеризующим технологические системы является их структура. Механизированная отличается использованием различных механизмов для осуществления как рабочих так и вспомогательных процессов в элементах системы участок станков машиностроительного предприятия. Жесткая связь подсистем характеризуются немедленным прекращением функционирования технологической системы в целом при отказе хотя бы одной подсистемы. При нежесткой связи между элементами системы возможно непродолжительное функционирование системы в случае...
34310. Структура технологической системы производства 25.5 KB
  Структура технологической системы производства. Свойства элементарных технологических процессов распространяются и на технологические системы более высокого иерархического уровня которые образованы совокупностями технологических процессов. Таким образом технологическую систему производства образуют параллельные последовательные и комбинированные системы технологических процессов. Еще одним важным фактором в формировании технологических систем являются технологические связи между элементами системы а также их характер.
34311. Взаимосвязь технологических и организационных структур производства 26 KB
  Взаимосвязь технологических и организационных структур производства. Характер формирования систем технологических процессов а также связей между ними имеет определяющее значение для формирования управляющих воздействий. Поэтому можно четко проследить взаимосвязь технологических и организационных структур производства. Например ремесленный цех с его ярко выраженной параллельной системой технологических процессов на определенном этапе исторического развития видоизменился в мануфактуру с последовательными технологическими процессами.
34312. Специфика развития параллельных и последовательных технологических систем 26 KB
  Перевод слабых составляющих системы на более высокую ступень позволит улучшить характеристики системы так как в ней ликвидируются звенья которые обуславливали в наибольшей степени неудовлетворительное функционирование системы. Таким образом ориентация на два различных типа развития позволит ставить задачу определения предпочтительности одного из них применительно к составляющим элементам параллельной системы. Такое целенаправленное развитие дает больший эффект чем при одновременном развитии всех составляющих изза различной готовности...
34313. Основные закономерности и направления развития систем технологических процессов 23.5 KB
  При этом важной особенностью развития технологических систем является их тип параллельной или последовательной связи элементов системы. Технологические системы в общем случае развиваются как и технологические процессы эволюционным и революционным путем. Однако системы технологических процессов неоднородны по восприятию рационалистического и эвристического развития. Как и в случае развития технологических процессов необходимым и достаточным условием революционного развития является совершенствование рабочих процессов хотя бы в...
34314. Реальный и потенциальный уровень технологии системы 25.5 KB
  Реальный и потенциальный уровень технологии системы. Реальная технологическая система характеризуется не только величиной уровня технологии который соответствует конкретным пропорциям между производительностью и затратами прошлого труда то есть реальным уровнем технологии но и максимальным потенциальным уровнем технологии который может быть достигнут в данной технологической системе при неизменных уровнях технологии ее составляющих. Потенциальный уровень технологии является верхней границей достижение которой будет означать что...
34315. Природное сырье и его характеристика 24.5 KB
  Природное сырье и его характеристика Сырьем наз. По агрегатному состоянию сырье делится на твердое жидкое и газообразное. По составу сырье делят на органическое и неорганическое. По происхождению различают сырье минеральное растительное и животное.
34316. Пути рационального использования природного сырья 22.5 KB
  Пути рационального использования природного сырья Известно что экономика производства зависит от характера использования сырья. Наиболее важными из них являются: правильный выбор сырья комплексная его переработка повторное использование высококачественная первичная обработка и обогащение максимальное использование отходов производства. Выбор сырья определяет тип применяемого технологического оборудования характер технологии длительность производственного цикла и влияет на многие техникоэкономические показатели работы предприятий....
34317. Методы обогащения сырьевых материалов 24 KB
  Методы обогащения сырьевых материалов Качество сырья состав и свва в значительной степени характеризуют техникохимические показатели производства. Оно выражается содержанием полезных элементов в руде либо другом виде сырья. Известны такие методы обогащения сырья как физические механический термический электромагнитный метод гравитационного обогащения и др. применение более чистого концентрированного сырья позволяет получить качественную продукцию которая обладает более высокой стоимостью.