21188

Ортогональні оператори. Квадратичні формию. Криві другого порядку

Реферат

Математика и математический анализ

2 то одержимо друге означення ортогонального оператора або .3 Звідси маємо для матриці ортогонального оператора або 18.5 показує що рядки стовпці матриці ортогонального оператора ортогональні.1 витікають властивості ортогонального оператора: 1 Якщо ортогональний то і ортогональні.

Украинкский

2013-08-02

282 KB

12 чел.

Ортогональні оператори. Квадратичні формию. Криві другого порядку.

 Ортогональні оператори. Оператор  називається ортогональним, якщо задовольняє співвідношенню

 (18.1)

Оскільки скалярний добуток визначає кути між елементами, то (18.1) означає, що ортогональний оператор не міняє кути між елементами. До речі, ортогональний базис такий оператор переводить знову в ортогональний.

Якщо (18.1) переписати так

, (18.2)

то одержимо друге означення ортогонального оператора

, або . (18.3)

Звідси маємо для матриці ортогонального оператора

, або  (18.4)

Зокрема рівність (18.4), записана у явному виді по елементах

, (18.5)

показує, що рядки (стовпці) матриці ортогонального оператора - ортогональні.

З означення (18.1) витікають властивості ортогонального оператора:

1) Якщо  - ортогональний, то і  - ортогональні.

Доведення: , що й доводить згідно з (18.3).

2) Добуток двох ортогональних операторів теж є ортогональний оператор.

.

3) .

Дійсно, . З другого боку маємо

.

4) Квадрат власного числа оператора дорівнює одиниці. Хай  - власний вектор ортогонального оператора, а  - власне число. Тоді

 

Приклад. Яка дія ортогонального оператора у двовимірному просторі.

Хай . З  знаходимо ,

або .

Звідси маємо: . Хай . Тоді маємо два типа матриць

.

Матриця  визначає поворот на кут  проти годинникової стрілки. Матриця  - поворот і відбиття.

 Квадратичні форми. У попередніх лекціях вже йшла мова про квадратичні форми, які за допомогою самоспряженого оператора означаються в ортонормованому базисі як

, (18.6)

де  - елементи матриці оператора , яка називається також матрицею квадратичної форми. Слід зауважити, що ця матриця симетрична, , оскільки оператор  самоспряжений. В базисі із власних векторів оператора квадратична форма приймає канонічний вид

, (18.7)

де  -власні числа оператора,  - координати елемента  в базисі із власних векторів.

Приклад. Знайти базис, у якому квадратична форма  має канонічний вид. Матриця форми

.

Власні числа знаходимо з рівняння

.

 Власні вектори знаходимо з системи

.

Маємо . Матриця переходу . Матриця квадратичної форми в новому базисі

.

Канонічний вид форми: .

 Терема: Якщо детермінант симетричної матриці не дорівнює нулю, то всі власні числа матриці відмінні від нуля. Дійсно , завжди знайдеться базис, у якому матриця прийме діагональний вид, при чому діагональними елементами будуть власні числа. Тоді маємо, що . Але

. (18.8)

З цієї теореми витікає класифікація квадратичних форм.

1) Якщо всі власні числа більше нуля, , то квадратична форма - строго додатньо означена.

Дійсно

. (18.9)

2) Якщо всі , то квадратична форма - строго від”ємно означена.

. (18.10)

3) Якщо , то квадратична форма - додатньо означена. Причому вздовж напрямку, який задається власним вектором , що відповідає нульовому власному числу , квадратична форма дорівнює нулю, тобто .

4) Якщо , то квадратична форма від”ємно означена.

5) Якщо власні числа мають різні знаки, то квадратична форма неозначена. Це значить, що вздовж одних векторів вона додатня, а вздовж других - від”ємна.

Для квадратичних форм справедливий закон інерції: якщо квадратична форма приводиться до канонічного виду в двох різних базисах, то число додатніх і від”ємних членів буде одне і те ж.

Класифікацію квадратичних форм зручно проводити за допомогою критерія Сільвестра (Sylvester James Joseph, 1814-1897, Англія), який полягає у слідуючому.

Визначимо у матриці квадратичної форми

 (18.11)

кутові детермінанти:

.і т. д. (18.12)

Тоді: 1) Якщо всі  - квадратична форма строго додатньо означена;

2) Якщо , тобто , то квадратична форма строго від”ємно означена.

3) Якщо у попередніх двох випадках є детермінанти рівні нулю, то квадратична форма просто додатня або від”ємно означена.

4) У всіх останніх випадках квадратична форма неозначена.

Приклад. Визначити квадратичну форму .

Її матриця дорівнює . Кутові детермінанти дорівнюють:

Форма неозначена.

 Криві другого порядку. Як було показано раніше, лінійний вираз , де  коокрдинати точок площини, описує пряму лінію. Лінійний вираз в тривимірному просторі  описує площину. Лінійність виразів дає назву цим геометричним об”єктам - прямій і площині, які називається лінійними геометричними об”єктами.

Наступний за складністю вираз для геометричних об”єктів має квадратичні доданки, а саме квадрати координат та їх попарні добутки. Аналіз геометричних об”єктів, яким відповідають такі вирази, зручно робити за допомогою квадратичних форм.

Спочатку розглянемо квадратичне рівняння на площині (двовимірний простір). Найбільш загальний вираз такого рівняння в декартовій системі координат  має вид

. (18.13)

Ліва частина цього рівняння містить дві частини: квадратичну форму - перші три доданки, і лінійну форму - останні доданки.

Розглянемо докладніше квадратичну частину

. (18.14)

Матриця цієї форми

 (18.15)

має власні дійсні числа

 (18.16)

яким відповідають ортогональні власні вектори.

 (18.17)

Добуток власних чисел

 (18.18)

визначає класифікацію форми (18.14) і рівняння (18.13) . Якщо , то маємо форму (і рівняння) еліптичного типу, якщо  - то гіперболічного типу, якщо  - параболічного типу.

З попереднього відомо, що у базисі з власних векторів квадратична форма приймає канонічний вид, тобто зникає перехресний добуток координат. Для переходу до цього базису з стопців (18.17) складемо матрицю переходу

, (18.19)

яка зв"яже координати в старому і новому базисах

 (18.20)

Формули (18.20) означають перехід до повернутої навколо початку координат системи, яка теж буде прямокутною згідно з тим, що власні вектори самоспряженого оператора ортогональні (Рис. 18.1).

Мал.18.1 Поворот системи координат.

Підставляючи тепер формули (18.20) в рівняння (18.13), одержимо

, (18.21)

де .

Подальший аналіз буде залежати від значень власних чисел .

Контрольні питання.

1. Дайте означення ортогонального оператора.

2. Доведіть властивість ортогональності рядків (стовпців) матриці ортогонального оператора.

3. Чому дорівнюють власні числа ортогонального оператора?

4. Дайте означення квадратичної форми.

5. Як знайти канонічний вид квадратичної форми?

6. Наведіть класифікацію квадратичних форм.

7. Сформулюйте закон інерції квадратичних форм.

8. Сформулюйте критерій Сільвестра.

9. Напишіть загальне рівняння кривої другого порядку на площині.

10. Дайте класифікацію рівнянь другого порядку.

11. При якому перетворенні системи координат квадратична частина рівняння приймає канонічний вид?

PAGE  61


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11582. Информационная безопасность в телекоммуникационных системах 420 KB
  Лабораторный практикум по дисциплине Информационная безопасность в телекоммуникационных системах / Уфимск. гос. авиац. техн. унт; Сост.:Ж.А. Сухинец А.И. Гулин. –Уфа2011. –20 с. Приводится описание двух лабораторных работ для исследования студентами основных методов к...
11583. Устройства на операционных усилителях 472 KB
  Лабораторная работа № 5 Устройства на операционных усилителях Цель работы Изучить назначение принцип действия свойства и возможные схемотехнические решения устройств на операционных усилителях. 2. Задание 1. Ознако...
11584. Знакомство с Маткадом 83.95 KB
  Лабораторная работа № 1. Тема: Знакомство с Маткадом. Цель: Ознакомить студентов с интерфейсом пакета Маткад особенностями работы в пакете научить производить простейшие вычисления. Ход работы. Задача 1. Войдите в Маткад. 1.Поиграйте красным крестиком на экране...
11585. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1. ЗНАКОМСТВО С МАТКАДОМ 231.29 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1. ЗНАКОМСТВО С МАТКАДОМ Найдите на рабочем столе ярлык Маткад щелкните мышью и войдите в пакет. Обратите внимание на то что вся работа в Маткаде должна проводиться на латинском английском алфавите. Рис.1 Окна после запуска После за
11586. ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ 39.75 KB
  Лабораторная работа Векторы и матрицы Общие сведения Задачи линейной алгебры решаемые в MathCAD можно условно разделить на два класса. Первый это простейшие матричные операции которые сводятся к определенным арифметическим действиям над элементами матрицы. Они реал...
11587. Форматирование текста в HTML-документах 66 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 21 Тема: Форматирование текста в HTMLдокументах Цель: ознакомить студентов с HTML – основными понятиями структурой документа. Задание Подготовьте бланк для HTMLкода Вашего резюме. Для этого следует: выполнить команду Пуск Програм
11588. Исследование транзисторного генератора с внешним возбуждением 396.42 KB
  Исследование транзисторного генератора с внешним возбуждением Цель работы: Ознакомление с принципом работы и расчетом электронного режима транзисторного генератора с внешним возбуждением; изучение формы импульсов коллекторного тока при различных значениях нап...
11589. Дифференцирующие и интегрирующие RC-цепи 459.22 KB
  Дифференцирующие и интегрирующие RCцепи Цель работы: Анализ переходных процессов в простейших RCцепях а также условий дифференцирования и интегрирования сигналов с помощью этих цепей. Изучение методов расчета и анализа данных цепей. Исходные данные: Принимаем р
11590. Исследование температурной зависимости сопротивления металла и полупроводника 185.5 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 Исследование температурной зависимости сопротивления металла и полупроводника. Цель работы: экспериментально проверить основной закон динамики вращательного движения. Построить график зависимости углового ускорения от вращающего моме...