21189

Криві другого порядку

Реферат

Математика и математический анализ

Як було показано в попередній лекції загальне рівняння другого порядку в системі координат побудованій на власних векторах матриці квадратичної форми рівняння має вид 18.1 Спочатку розглянемо випадок коли це рівняння еліптичного або гіперболічного типу тобто . Якщо то рівняння 19. Якщо маємо два рівняння прямих що проходять через новий початок координат .

Украинкский

2013-08-02

454.5 KB

16 чел.

Криві другого порядку.

Як було показано в попередній лекції, загальне рівняння другого порядку в системі координат, побудованій на власних векторах матриці квадратичної форми рівняння, має вид (18.21)

. (19.1)

Спочатку розглянемо випадок, коли це рівняння еліптичного або гіперболічного типу, тобто .

Тоді в (19.1) можна виділити повні квадрати відносно координат  та  і перейти до нових змінних

 (19.2)

що означає переніс початку координат (Рис.19.1)

Мал. 19.1. Переніс початку системи координат.

В результаті одержимо

, (19.3)

де .

Тепер можливі такі випадки

I) . Якщо , то рівняння

 (19.4)

може описувати тільки одну точку .

Якщо , маємо два рівняння прямих, що проходять через новий початок координат . Наприклад, у випадку , :

. (19.5)

II) . Тепер мають значення знаки чисел  і .

1) , . Рівняння (19.3) неможливе ні для яких точок. Кажуть, що рівняння описує уявну лінію.

2) , . Рівняння (19.3) зводиться до канонічного рівняння еліпса

, (19.6)

де

З (19.6) витікає, що еліпс є обмежена лінія, бо з виразу

 (19.7)

маємо, що змінна  може приймати найбільше по модулю значення , а найбільше значення . Лінія замкнена і симетрична відносно обох осей. Її загальний вигляд такий (Рис.19.2)

Мал.19.2 Еліпс.

Числа  і  позначають точки перетину еліпса з осями координат (вершини еліпса) і називаються півосями еліпса. Осі координат являються головними осями симетрії еліпса, а точка  - центром еліпса. Відрізок, який відсікає еліпс на будь-якій прямій, проведеній через його центр називається діаметром еліпса. Як видно величина діаметра може приймати значення від 2 до 2.

В середені еліпса існують дві особливі точки  - фокуси еліпса, координати яких визначаються як , якщо , або , якщо . Ці точки характерні тим, що сума відстаней від них до будь-якої точки  еліпса є величина стала. Дійсно

 (19.8)

якщо . В цьому випадку .

Для еліпса можна також вказати дві прямі, які називаютьься директрисами еліпса, і які володіють такою властивістю, що відношення відстаней від будь-якої точки еліпса до фокуса і до директриси є величина стала (Рис.19.3). Директриси паралельні малій осі еліпса і перетинають велику вісь на відстані  від центру. Число , яке у випадку > визначається як

, (19.9)

називається ексцентриситетом еліпса.

Мал.19.3. Директриси еліпса.

Так як , то

. (19.10)

Ексцентриситет показує міру витягнутості еліпса. Якщо , тобто =, то рівняння еліпса переходить у рівняння кола . Якщо , тобто =0, то еліпс вироджується у відрізок прямої , .

Рівняння еліпса можна задати за допомогою параметра

 (19.11)

Легко перевірити, що так задані координати точки задовольняють рівнянню (19.6).

Параметр  зв"язаний з полярним кутом відношенням .

3) . Рівняння (19.3) описує гіперболу. Якщо , то її канонічне рівняння буде мати вид

, (19.12)

де . В цьому випадку  - дійсна піввісь,  - уявна, бо ця гіпербола не перетинає вісь у. На Рис.19.4 суцільна лінія.

Мал.19.4. Гіпербола.

Якщо , то рівняння гіперболи буде

, (19.13)

а її розположення показано на мал.19.4 штриховою лінією.

Координати фокусів гіперболи визначаються формулою . На відміну від еліпса різниця відстаней від точки  до фокусів є величина стала

. (19.14)

Гіпербола - лінія необмежена, складається з двох гілок, які наближаються до прямих  при віддаленні точки до нескінченності. Ці прямі називаються асимптотами гіперболи. Для гіперболи також вводиться ексцентриситет , який характеризує відношення відстаней від точки  до фокусів і до директрис

. (19.15)

Мал. 19.5. Директриси гіперболи.

Рівняння гіперболи теж можна задати параметрично за допомогою формул

 (19.16)

що легко перевіряється підстановкою (19.16) в (19.12). Функції

 (19.17)

назаваються гіперболічним синусом та косинусом.

Якщо =, то одержимо рівнобічну гіперболу , рівняння якої при повороті системи координат на , ,  приймає вид .

4) . Хай . Тоді рівняння перетвориться до  

, (19.18)

де .

Якщо , то введення нової змінної  приведе (19.18) до канонічного рівняння параболи

, (19.19)

де . Її форма показана на Рис.19.6.

Мал.19.6. Парабола.

Точка  є фокус параболи, пряма  - її директриса, причому відстані  і  рівні:

. (19.20)

Таким чином, відношення  є величина стала. Як видно, ексцентриситет параболи дорівнює одиниці, тобто займає граничне положення між ексцентриситетами еліпсу та гіперболи.

Якщо , то з (19.18) маємо або дві прямі  якщо , або уявну лінію, якщо .

Таким чином, рівняння другого порядку на площині може описувати такі об"єкти: уявну лінію, точку, пару прямих, або одну з кривих другого порядку: еліпс, гіперболу, параболу. Можна показати, що криві другого порядку утворюються при перетині кругового конуса площиною, тому їх називають ще конічними перерізами.

Контрольні питання.

1. Наведіть канонічне рівняння еліпса.

2. Сформулюйте фокальну властивість еліпса.

3. Що таке директриси еліпса?

4. Наведіть канонічне рівняння гіперболи.

5. Напишіть рівняння асимптот гіперболи.

6. Напишіть параметричні рівняння еліпса та гіперболи.

7. Дайте означення гіперболічних синуса та косинуса.

8. Наведіть канонічне рівняння параболи.

9. Сформулюйте фокальні властивості гіперболи та параболи.

10. Дайте числові значення ексцентриситету кривих другого порядку.

PAGE  69


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4976. Экономика и экономическая теория. Учебник 269 KB
  Введение Цель изучения данного курса заключается в усвоении студентами основных положений экономической теории для перспективного ее использования при формировании объективных экономических оценок и формирования рационального экономического мышления...
4977. Бухгалтерское дело. Организация бухгалтерского дела на предприятии 133.57 KB
  Бухгалтерское дело Сущность бухгалтерского дела, его содержание формирование профессии современного бухгалтера и аудитора профессиональные организации бухгалтеров и аудиторов правовой статус бухгалтерской службы, ее место в структуре управления о...
4978. Общие допуски размеров, формы и расположения поверхностей 908 KB
  Общие допуски размеров, формы и расположения поверхностей Ограничение всех геометрических параметров деталей на чертеже должно быть полным и пониматься однозначно: не должно быть разночтений и произвольного истолкования требований при изготовлении и...
4979. Проблематика осмысления прошлого в совместных исследованиях ученых России и Германии 1.02 MB
  Одна из актуальных тем, волнующих российское и германское общество – осмысление недавнего прошлого. Примечательная особенность этого процесса – данную тематику рассматривали на многочисленных конференциях, круглых столах, в совместных изда...
4980. Стилистика. Современный английский язык 1.85 MB
  Основная задача книги - научить сознательно подходить к художественному тексту как целому, рассматривая его в единстве формы и идейного содержания. Все аспекты стилистики, изучаемые современными учеными, нашли свое отражение в данной книге. Функцион...
4981. Оптимальное проектирование процессов транспортировки 118.5 KB
  По картографическому материалу составить: а) граф сложного перекрестка с фиктивными дугами б) модель транспортной сети (ст. метро Курская - ст. метро Чистые пруды) Определить кратчайшее расстояние для модели трансп...
4982. Источниковедение новой и новейшей истории. Курс лекций 218.51 KB
  Источниковедческое исследование является основой любого серьезного исторического исследования С середины XX в наблюдалось возрастание интереса к теоретическому источниковедению, стало больше уделяться внимания проблемам оптимизации научного исследов...
4983. Экономика нефтяной и газовой промышленности. Конспект лекций 706.5 KB
  В данном учебном пособии излагаются методические подходы к выделению отраслевого товарного рынка, его границ, а также методы определения концентрации и рыночной власти продавцов-производителей нефтегазовой промышленности на товарном рынке. ...
4984. Прогнозирование производства продукции скотоводства в племенном репродукторе ОНО Архангельская опытно-мелиоративная станция 488.5 KB
  Товарное хозяйство на 200 голов крупного рогатого скота черно-пестрой породы. Валовой надой на корову – 4500 кг с жирностью 3.8 %. Средняя живая масса коров – 500 кг. Выход телят на 100 коров составляет 80 %. Применяется стойлово-пастбищна...