21189

Криві другого порядку

Реферат

Математика и математический анализ

Як було показано в попередній лекції загальне рівняння другого порядку в системі координат побудованій на власних векторах матриці квадратичної форми рівняння має вид 18.1 Спочатку розглянемо випадок коли це рівняння еліптичного або гіперболічного типу тобто . Якщо то рівняння 19. Якщо маємо два рівняння прямих що проходять через новий початок координат .

Украинкский

2013-08-02

454.5 KB

19 чел.

Криві другого порядку.

Як було показано в попередній лекції, загальне рівняння другого порядку в системі координат, побудованій на власних векторах матриці квадратичної форми рівняння, має вид (18.21)

. (19.1)

Спочатку розглянемо випадок, коли це рівняння еліптичного або гіперболічного типу, тобто .

Тоді в (19.1) можна виділити повні квадрати відносно координат  та  і перейти до нових змінних

 (19.2)

що означає переніс початку координат (Рис.19.1)

Мал. 19.1. Переніс початку системи координат.

В результаті одержимо

, (19.3)

де .

Тепер можливі такі випадки

I) . Якщо , то рівняння

 (19.4)

може описувати тільки одну точку .

Якщо , маємо два рівняння прямих, що проходять через новий початок координат . Наприклад, у випадку , :

. (19.5)

II) . Тепер мають значення знаки чисел  і .

1) , . Рівняння (19.3) неможливе ні для яких точок. Кажуть, що рівняння описує уявну лінію.

2) , . Рівняння (19.3) зводиться до канонічного рівняння еліпса

, (19.6)

де

З (19.6) витікає, що еліпс є обмежена лінія, бо з виразу

 (19.7)

маємо, що змінна  може приймати найбільше по модулю значення , а найбільше значення . Лінія замкнена і симетрична відносно обох осей. Її загальний вигляд такий (Рис.19.2)

Мал.19.2 Еліпс.

Числа  і  позначають точки перетину еліпса з осями координат (вершини еліпса) і називаються півосями еліпса. Осі координат являються головними осями симетрії еліпса, а точка  - центром еліпса. Відрізок, який відсікає еліпс на будь-якій прямій, проведеній через його центр називається діаметром еліпса. Як видно величина діаметра може приймати значення від 2 до 2.

В середені еліпса існують дві особливі точки  - фокуси еліпса, координати яких визначаються як , якщо , або , якщо . Ці точки характерні тим, що сума відстаней від них до будь-якої точки  еліпса є величина стала. Дійсно

 (19.8)

якщо . В цьому випадку .

Для еліпса можна також вказати дві прямі, які називаютьься директрисами еліпса, і які володіють такою властивістю, що відношення відстаней від будь-якої точки еліпса до фокуса і до директриси є величина стала (Рис.19.3). Директриси паралельні малій осі еліпса і перетинають велику вісь на відстані  від центру. Число , яке у випадку > визначається як

, (19.9)

називається ексцентриситетом еліпса.

Мал.19.3. Директриси еліпса.

Так як , то

. (19.10)

Ексцентриситет показує міру витягнутості еліпса. Якщо , тобто =, то рівняння еліпса переходить у рівняння кола . Якщо , тобто =0, то еліпс вироджується у відрізок прямої , .

Рівняння еліпса можна задати за допомогою параметра

 (19.11)

Легко перевірити, що так задані координати точки задовольняють рівнянню (19.6).

Параметр  зв"язаний з полярним кутом відношенням .

3) . Рівняння (19.3) описує гіперболу. Якщо , то її канонічне рівняння буде мати вид

, (19.12)

де . В цьому випадку  - дійсна піввісь,  - уявна, бо ця гіпербола не перетинає вісь у. На Рис.19.4 суцільна лінія.

Мал.19.4. Гіпербола.

Якщо , то рівняння гіперболи буде

, (19.13)

а її розположення показано на мал.19.4 штриховою лінією.

Координати фокусів гіперболи визначаються формулою . На відміну від еліпса різниця відстаней від точки  до фокусів є величина стала

. (19.14)

Гіпербола - лінія необмежена, складається з двох гілок, які наближаються до прямих  при віддаленні точки до нескінченності. Ці прямі називаються асимптотами гіперболи. Для гіперболи також вводиться ексцентриситет , який характеризує відношення відстаней від точки  до фокусів і до директрис

. (19.15)

Мал. 19.5. Директриси гіперболи.

Рівняння гіперболи теж можна задати параметрично за допомогою формул

 (19.16)

що легко перевіряється підстановкою (19.16) в (19.12). Функції

 (19.17)

назаваються гіперболічним синусом та косинусом.

Якщо =, то одержимо рівнобічну гіперболу , рівняння якої при повороті системи координат на , ,  приймає вид .

4) . Хай . Тоді рівняння перетвориться до  

, (19.18)

де .

Якщо , то введення нової змінної  приведе (19.18) до канонічного рівняння параболи

, (19.19)

де . Її форма показана на Рис.19.6.

Мал.19.6. Парабола.

Точка  є фокус параболи, пряма  - її директриса, причому відстані  і  рівні:

. (19.20)

Таким чином, відношення  є величина стала. Як видно, ексцентриситет параболи дорівнює одиниці, тобто займає граничне положення між ексцентриситетами еліпсу та гіперболи.

Якщо , то з (19.18) маємо або дві прямі  якщо , або уявну лінію, якщо .

Таким чином, рівняння другого порядку на площині може описувати такі об"єкти: уявну лінію, точку, пару прямих, або одну з кривих другого порядку: еліпс, гіперболу, параболу. Можна показати, що криві другого порядку утворюються при перетині кругового конуса площиною, тому їх називають ще конічними перерізами.

Контрольні питання.

1. Наведіть канонічне рівняння еліпса.

2. Сформулюйте фокальну властивість еліпса.

3. Що таке директриси еліпса?

4. Наведіть канонічне рівняння гіперболи.

5. Напишіть рівняння асимптот гіперболи.

6. Напишіть параметричні рівняння еліпса та гіперболи.

7. Дайте означення гіперболічних синуса та косинуса.

8. Наведіть канонічне рівняння параболи.

9. Сформулюйте фокальні властивості гіперболи та параболи.

10. Дайте числові значення ексцентриситету кривих другого порядку.

PAGE  69


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28738. Первые письменные свидетельства о славянах 18.87 KB
  славяне окончательно выделяются из индоевропейской общности. Древнейшим известным местом обитания славян в Европе было нижнее и среднее течение Дуная. славяне стали столь значительны по численности влиянию в окружающем их мире что о них стали сообщать греческие римские арабские византийские авторы римский писатель Плиний Старший См.