21189

Криві другого порядку

Реферат

Математика и математический анализ

Як було показано в попередній лекції загальне рівняння другого порядку в системі координат побудованій на власних векторах матриці квадратичної форми рівняння має вид 18.1 Спочатку розглянемо випадок коли це рівняння еліптичного або гіперболічного типу тобто . Якщо то рівняння 19. Якщо маємо два рівняння прямих що проходять через новий початок координат .

Украинкский

2013-08-02

454.5 KB

16 чел.

Криві другого порядку.

Як було показано в попередній лекції, загальне рівняння другого порядку в системі координат, побудованій на власних векторах матриці квадратичної форми рівняння, має вид (18.21)

. (19.1)

Спочатку розглянемо випадок, коли це рівняння еліптичного або гіперболічного типу, тобто .

Тоді в (19.1) можна виділити повні квадрати відносно координат  та  і перейти до нових змінних

 (19.2)

що означає переніс початку координат (Рис.19.1)

Мал. 19.1. Переніс початку системи координат.

В результаті одержимо

, (19.3)

де .

Тепер можливі такі випадки

I) . Якщо , то рівняння

 (19.4)

може описувати тільки одну точку .

Якщо , маємо два рівняння прямих, що проходять через новий початок координат . Наприклад, у випадку , :

. (19.5)

II) . Тепер мають значення знаки чисел  і .

1) , . Рівняння (19.3) неможливе ні для яких точок. Кажуть, що рівняння описує уявну лінію.

2) , . Рівняння (19.3) зводиться до канонічного рівняння еліпса

, (19.6)

де

З (19.6) витікає, що еліпс є обмежена лінія, бо з виразу

 (19.7)

маємо, що змінна  може приймати найбільше по модулю значення , а найбільше значення . Лінія замкнена і симетрична відносно обох осей. Її загальний вигляд такий (Рис.19.2)

Мал.19.2 Еліпс.

Числа  і  позначають точки перетину еліпса з осями координат (вершини еліпса) і називаються півосями еліпса. Осі координат являються головними осями симетрії еліпса, а точка  - центром еліпса. Відрізок, який відсікає еліпс на будь-якій прямій, проведеній через його центр називається діаметром еліпса. Як видно величина діаметра може приймати значення від 2 до 2.

В середені еліпса існують дві особливі точки  - фокуси еліпса, координати яких визначаються як , якщо , або , якщо . Ці точки характерні тим, що сума відстаней від них до будь-якої точки  еліпса є величина стала. Дійсно

 (19.8)

якщо . В цьому випадку .

Для еліпса можна також вказати дві прямі, які називаютьься директрисами еліпса, і які володіють такою властивістю, що відношення відстаней від будь-якої точки еліпса до фокуса і до директриси є величина стала (Рис.19.3). Директриси паралельні малій осі еліпса і перетинають велику вісь на відстані  від центру. Число , яке у випадку > визначається як

, (19.9)

називається ексцентриситетом еліпса.

Мал.19.3. Директриси еліпса.

Так як , то

. (19.10)

Ексцентриситет показує міру витягнутості еліпса. Якщо , тобто =, то рівняння еліпса переходить у рівняння кола . Якщо , тобто =0, то еліпс вироджується у відрізок прямої , .

Рівняння еліпса можна задати за допомогою параметра

 (19.11)

Легко перевірити, що так задані координати точки задовольняють рівнянню (19.6).

Параметр  зв"язаний з полярним кутом відношенням .

3) . Рівняння (19.3) описує гіперболу. Якщо , то її канонічне рівняння буде мати вид

, (19.12)

де . В цьому випадку  - дійсна піввісь,  - уявна, бо ця гіпербола не перетинає вісь у. На Рис.19.4 суцільна лінія.

Мал.19.4. Гіпербола.

Якщо , то рівняння гіперболи буде

, (19.13)

а її розположення показано на мал.19.4 штриховою лінією.

Координати фокусів гіперболи визначаються формулою . На відміну від еліпса різниця відстаней від точки  до фокусів є величина стала

. (19.14)

Гіпербола - лінія необмежена, складається з двох гілок, які наближаються до прямих  при віддаленні точки до нескінченності. Ці прямі називаються асимптотами гіперболи. Для гіперболи також вводиться ексцентриситет , який характеризує відношення відстаней від точки  до фокусів і до директрис

. (19.15)

Мал. 19.5. Директриси гіперболи.

Рівняння гіперболи теж можна задати параметрично за допомогою формул

 (19.16)

що легко перевіряється підстановкою (19.16) в (19.12). Функції

 (19.17)

назаваються гіперболічним синусом та косинусом.

Якщо =, то одержимо рівнобічну гіперболу , рівняння якої при повороті системи координат на , ,  приймає вид .

4) . Хай . Тоді рівняння перетвориться до  

, (19.18)

де .

Якщо , то введення нової змінної  приведе (19.18) до канонічного рівняння параболи

, (19.19)

де . Її форма показана на Рис.19.6.

Мал.19.6. Парабола.

Точка  є фокус параболи, пряма  - її директриса, причому відстані  і  рівні:

. (19.20)

Таким чином, відношення  є величина стала. Як видно, ексцентриситет параболи дорівнює одиниці, тобто займає граничне положення між ексцентриситетами еліпсу та гіперболи.

Якщо , то з (19.18) маємо або дві прямі  якщо , або уявну лінію, якщо .

Таким чином, рівняння другого порядку на площині може описувати такі об"єкти: уявну лінію, точку, пару прямих, або одну з кривих другого порядку: еліпс, гіперболу, параболу. Можна показати, що криві другого порядку утворюються при перетині кругового конуса площиною, тому їх називають ще конічними перерізами.

Контрольні питання.

1. Наведіть канонічне рівняння еліпса.

2. Сформулюйте фокальну властивість еліпса.

3. Що таке директриси еліпса?

4. Наведіть канонічне рівняння гіперболи.

5. Напишіть рівняння асимптот гіперболи.

6. Напишіть параметричні рівняння еліпса та гіперболи.

7. Дайте означення гіперболічних синуса та косинуса.

8. Наведіть канонічне рівняння параболи.

9. Сформулюйте фокальні властивості гіперболи та параболи.

10. Дайте числові значення ексцентриситету кривих другого порядку.

PAGE  69


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40676. Эффективность использования основных фондов (основного капитала) на предприятии. Амортизация 24 KB
  Эффективность использования основных фондов основного капитала на предприятии. Амортизация основных фондов есть форма возмещения износа основных фондов путем постепенного переноса ими своей стоимости на произведенный продукт то есть амортизация это денежное выражение физического и морального износа основных фондов. Накапливаемые амортизационные отчисления составляют амортизационный фонд за счет которого производится полное или частичное возмещение стоимости основных фондов. Амортизационный фонд делится на : 1 Часть идущая на...
40677. Оборотный капитал предприятия и эффективность его использования 34.5 KB
  Наличие у предприятия собственного оборотного капитала его состав и структура скорость оборота и эффективность использования оборотного капитала во многом предопределяют финансовое состояние предприятия и устойчивость его положения на рынке. Эффективное использование оборотного капитала играет большую роль в обеспечении нормальной работы предприятия повышении рентабельности хозяйственной деятельности и зависит от множества факторов. Обобщающим показателем эффективности использования оборотного капитала является его рентабельность Рок...
40678. Прибыль предприятия, ее формирование и использование 53.5 KB
  Прибыль предприятия ее формирование и использование. Прибыль в рыночном хозяйстве является вознаграждением такого специфического фактора как предпринимательство. Вовторых мы не можем трактовать прибыль как своеобразную равновесную цену по аналогии с рынком труда капитала и земли. Предприниматель в результате выполнения этих функций вправе претендовать на определенный доход прибыль.
40679. Организационно-правовые формы предприятия и их развитие в современных условиях 44.5 KB
  Организационноправовые формы предприятия и их развитие в современных условиях Фирма хозяйствующий субъект обладающий экономической самостоятельностью для осуществления производственной деятельности с целью получения прибыли. В настоящее время наибольшее распространение получили следующие формы предприятий организаций: индивидуальные предприятия; товарищества; акционерные общества; объединения предприятий ФПГ; государственные предприятия; смешанные предприятия. Преимущества: быстрая организация предприятия открытие и закрытие;...
40680. Эффективность производственно-хозяйственной деятельности предприятия. Показатели экономической эффективности 38.5 KB
  Эффективность производства – важнейшая качественная характеристика хозяйствования на всех уровнях. Под экономической эффективностью производства понимается степень использования производственного потенциала которая выявляется соотношением результатов и затрат общественного производства. Чем выше результат при тех же затратах чем быстрее он растет в расчете на единицу затрат общественно необходимого труда или чем меньше затрат на единицу полезного эффекта тем выше эффективность производства. Эффективность производства – это показатель...
40681. Производительность труда и ее показатели 27.5 KB
  Под ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬЮ ТРУДА понимается рациональная созидательная производительность людей эффективность которой определяется отношением затраченного рабочего времени и количества произведенной продукции. Производительность труда измеряется количеством продукции вырабатываемой работником в сфере материального производства за единицу рабочего времени или количеством времени которое затрачивается на производство единицы продукции. Повышение производительности труда ведет к увеличению количества продукции производимой в единицу времени...
40682. Себестоимость: структура и пути снижения 29 KB
  Под себестоимостью продукции понимают выраженные в денежной форме текущие затраты предприятия на производство и реализацию продукции. Себестоимость продукции является одним из важнейших качественных показателей эффективности производства который позволяет осуществлять контроль над затратами живого и овеществленного труда и оценивать результаты производственной и хозяйственной деятельности предприятия. Снижение себестоимости продукции способствует увеличению внутрипроизводственных накоплений ускорению расширенного воспроизводства росту...
40683. Трудовые ресурсы и трудовой потенциал страны, региона 36.5 KB
  Подавляющую часть трудовых ресурсов составляет население в трудоспособном возрасте. Основное пополнение трудовых ресурсов происходит и будет происходить в будущем за счет населения моложе трудоспособного возраста. Трудовой потенциал есть совокупность всех трудовых возможностей как отдельного человека так и различных групп работников общества в целом. В отличие от трудовых ресурсов определяющих количество и структуру труда трудовой потенциал характеризует его качество и потенциальные возможности.
40684. Трудовые ресурсы предприятия и эффективность их использования 31.5 KB
  Более развернутое представление о возможностях и способностях рабочей силы дает понятие трудового потенциала как обобщающая характеристика человеческого фактора производства. Вместе с тем понятия трудовых ресурсов рабочей силы и трудового потенциала по существу не нацелены на изучение индивидуальных качеств человека как работника и личности. Поэтому более естественным понятием является человек труда как индивидуализированный элемент трудовых ресурсов владелец рабочей силы обладатель трудового потенциала. ...