21190

Поверхні другого порядку

Реферат

Математика и математический анализ

Розглянемо більш загальне рівняння яке містить в собі і квадратичний вираз на предмет того який геометричний обєкт воно описує.1 перетвориться у рівняння 20. В новій системі координат рівняння 20. Перепишемо рівняння 20.

Украинкский

2013-08-02

575 KB

10 чел.

Поверхні другого порядку.

Лінійний вираз відносно координат точки тривимірного простору  описує площину. Розглянемо більш загальне рівняння, яке містить в собі і квадратичний вираз, на предмет того, який геометричний об”єкт воно описує.

, (20.1)

де . Згідно загальної теорії, викладеної раніше, матриця квадратичної форми цього виразу , як симетрична матриця, має три дійсних власних числа , яким відповідають три ортогональних власних вектора , . В базисі, побудованому на цих векторах, перехід до якого здійснюється за допомогою формул

, (20.2)

квадратична форма прийме канонічнний вид. Перетворення (20.2) означає поворот і, можливо, відбиття системи координат навколо початку координат (Рис.20.1).

Рис.20.1. Поворот системи координат

В результаті (20.1) перетвориться у рівняння

, (20.3)

де .

Подальший аналіз залежить від значень власних чисел .

I. Хай всі числа відмінні від нуля, . Тоді в (20.3) по кожній змінній можна виділити повні квадрати за допомогою формул

, (20.4)

які означають паралельний перенос осей координат. В новій системі координат  рівняння (20.3) прийме вид

, (20.5)

де .

Значення числа  і його знак, як і знаки чисел , можуть бути довільними.

1) Всі  мають однаковий знак.

а) . Рівнянню (20.5) відповідає тільки одна точка .

в) , . Всі доданки в (20.5) позитивні, тому цьому рівнянню не відповідає жодна точка - маємо уявну поверхню.

с) , . Перепишемо рівняння (20.5) у виді

, (20.6)

де . Переріз цієї поверхні координатними площинами дає еліпс, в чому легко переконатись, покладаючи в (20.6) , або , або . Тому така поверхня називається триосним еліпсоїдом (Рис.20.2).

Рис.20.2 Триосний еліпсоїд

Якщо дві півосі рівні, то одержимо еліпсоїд обертання. Наприклад, якщо , то маємо еліпсоїд обертання навколо осі . Переріз будь-якою площиною , перпендикулярною осі , дасть коло . Якщо всі три півосі рівні , то маємо рівняння сфери .

З рівняння (20.6) також витікає, що воно описує обмежену поверхню, бо переріз її з будь-якою площиною дає або пусту множину або, еліпс. Дійсно, наприклад, при  маємо

. (20.7)

Якщо , то (20.7) є рівняння еліпса з півосями , . Якщо , то (20.7) не має смислу, тобто площина  не перетинає цієї поверхні.

2) З трьох чисел  два мають один знак, а третє - протилежний.

а) . Хай . Тоді маємо

, (20.8)

де . Якщо це рівняння переписати так

, (20.9)

то видно, що (20.8) еквівалентно парі лінійних рівнянь

, (20.10)

або

, (20.11)

де  і  - довільні числа.

Кожна пара рівнянь описує пучок прямих в просторі. Таким чином, рівняння (20.8) описує поверхню, яка складається з прямих ліній, які всі перетинаються в одній точці - початку координат. Така поверхня називається лінійчатою поверхнею.

Перетин цієї поверхні площиною =h, перпендикулярною осі , дає еліпс

. (20.12)

Так як рівняння (20.12) має смисл при будь-якому значенні h, то це значить, що поверхня (20.8) нескінченна. При довільних  і  - це еліптичний конус (Рис.20.3), при  маємо круговий конус.

Рис. 20.3 Конус

в) . Хай  і  мають однаковий знак,  і  - їм пртилежний. Тоді з (20.5) маємо рівняння однопорожнинного гіперболоїда

, (20.13)

де . Назва поверхні зумовлена тим, що переріз будь-якою площиною  або  дає гіперболу, а площиною  дає еліпс. Конус (20.8) (на Рис.20.4 показаний штриховою лінією) для цієї поверхні є асимптотикою, до якої вона наближається на нескінченності (Рис.20.4).

Рис.20.4. Однопорожнинний гіперболоїд

Ця поверхня також є лінійчатою поверхнею, бо складається з двох систем прямих ліній, рівняння яких легко одержати з (20.13)

, (20.14)

та

. (20.15)

с) . Хай ,  і  мають однаковий знак, а  - їм протилежний. Тоді з (20.5) маємо рівняння двопорожнинного гіперболоїда

, (20.16)

де . Конус (20.8) також є асимптотичною поверхнею для цього гіперболоїда (Рис.20.5)

Рис.20.5. Двопорожнинний гіперболоїд

Переріз площинами  або  дає гіперболи, а площиною , якщо , - еліпс.

II. Хай одне власне число дорівнює нулю, наприклад, . Тоді при паралельному переносі осей  та : , з (20.3) маємо

, (20.17)

1)  . . (20.18)

а) , . З (20.18) маємо пару площин , або .

б) . Якщо , , то (20.18) не описує ні однієї точки.

в) , , . Рівняння (20.18) описує поверхню так званого еліптичного циліндра (Рис.20.6),

Рис.20.6. Еліптичний циліндр

бо в перерізі  маємо еліпс. Цей еліпс називається направляючою (лінією), бо вся поверхня циліндра утворюється при переміщенні по цьому еліпсу паралельно самій собі прямої лінії. До речі, рівняння (20.18) взагалі не залежить від цієї координати, тобто для будь-якої координати  воно одне і те ж. В перерезі площиною, паралельною осі , маємо прямі лінії (так звані твірні лінії).

d) , , . Рівняння (20.18) описує гіперболічний циліндр (Рис.20.7).

Рис.20.7. Гіперболічний циліндр

Циліндри є також лінійчатими поверхнями.

2)  Перенос вздовж осі ,  дасть

. (20.19)

a) . Маємо поверхню еліптичного параболоїда (Рис.20.8)

, (20.20)

де . В перерізі площинами  або  маємо параболи, площиною  - еліпс для рівняння з верхнім знаком, і порожню множиину для рівняння з нижнім знаком (при  - навпаки).

Рис.20.8. Еліптичний параболоїд, верхній знак

в) . Маємо поверхню гіперболічного параболоїда (Рис.20.9)

. (20.21)

Рис.20.9. Гіперболічний параболоїд, верхній знак

 Переріз площинами  або  дає параболи, площиною  - гіперболу, або спряжену гіперболу при .

Незважаючи на складність цієї поверхні, вона також є лінійчатою поверхнею, що легко видно з рівняння (20.21), яке можна записати у виді двох систем рівнянь прямих ліній

, (20.22)

або

. (20.23)

III. Тільки одне власне число відмінне від нуля, хай . Тоді з (20.3) при заміні , маємо

. (20.24)

1) Хоч одне з чисел  або  відмінне від нуля. Якщо зробити заміну

 (20.25)

де , , то з (20.24) одержимо рівняння параболічного циліндру

, (20.26)

з твірною, паралельною осі .

2) . Якщо , то маємо пару площин, якщо , то рівняння (20.24) не описує ніяких точок.

Таким чином, на відміну від лінійного рівняння, квадратичне рівняння (20.1) може описувати значно багатший набір геометричних об"єктів. Це може бути одна з поверхонь другого порядку: еліпсоїд, гіперболоїди, параболоїди або циліндри; це може бути пара площин; це може бути одна точка, або взагалі рівнянню (20.1) не буде відповідати жодна точка.

Контрольні питання.

1. При яких перетвореннях системи координат рівняння другого порядку приймає найпростіший вид?

2. Напишіть канонічне рівняння еліпсоїда.

3. Напишіть канонічні рівняння гіперболоїдів.

4. Напишіть канонічні рівняння параболоїдів.

5. Покажіть, що однопорожнинний гіперболоїд та гіперболічний параболоїд є лінійчаті поверхні.

6. Напишіть рівняння конуса.

7. Напишіть рівняння гіперболічного циліндра.

8. Наведіть приклад дослідження поверхні другого порядку методом перерізів.


ЗМІСТ

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ.......................................................................................................3

Лекція 13. Поняття аналітичної геометрії. Лінійні

геометричні  об”єкти.......................................................................................3

Лекція 14. Пряма на площині. Рівняння площини..................................14

Лекція 15. Векторний та змішаний добутки векторів. Площина

та пряма в просторі......................................................................................23

ЛІНІЙНІ ОПЕРАТОРИ. КРИВІ ТА ПОВЕРХНІ

ДРУГОГО ПОРЯДКУ...................................................................................................................... .34

Лекція 16. Лінійні оператори. Матриця оператора..............................34

Лекція 17. Власні числа та власні вектори оператора.

Самоспряжені оператори...............................................................................44

Лекція 18. Ортогональні оператори. Квадратичні форми.

Криві другого порядку.....................................................................................54

Лекція 19. Криві другого порядку................................................................62

Лекція 20. Поверхні другого порядку..........................................................70

PAGE  70


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61745. Пришиваем пуговицу 22.68 KB
  Метапредметные: Уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; понимать учебную задачу урока; высказывать своё предположение; контролировать свои действия в процессе выполнения задания и исправлять ошибки делать выводы...
61746. Работа с бумагой. Практический урок 28.06 KB
  Раз мы будем работать с ножницами а это острые предметы и клеем надо вспомнить правила работы с острыми предметами. Вспомним правила с ножницами: во время работы удерживай материал левой рукой так чтобы пальцы были в стороне от лезвий ножниц. Оформление работы. Как называется изделие которое мы будем выполнять кошка в технике оригами Какую оно имеет форму объемную форму Какие материалы вам необходимы для работы цветная бумага Какие инструменты будете использовать ножницы Какие способы обработки бумаги будете...
61747. Прикладное программное обеспечение и его место в структуре программного обеспечения компьютера. Технология обработки текстов. Основные приемы редактирования: работа с символом, со строкой и фрагментом 64.33 KB
  На экране отображается схема-классификация ПО Все программы которые есть в компьютере то есть ПО компьютера можно разделить на три группы: прикладное ПО; системное ПО; системы программирования.
61748. Компьютерная графика и ее изучение. Графический редактор как средство иллюстративной графики 18.28 KB
  Цель: Познакомиться с основными понятиями компьютерной графики и с ее применением. Для того чтобы лучше понять полученные результаты человек брал бумагу карандаши линейки и чертил графики диаграммы.
61751. Аппликация. Новогодняя открытка 15.6 KB
  Показ образца новогодней открытки: Что на ней изображено Из каких составных частей она состоит Какие цвета были использованы при изготовлении открытки Сегодня для работы нам понадобятся цветной картон цветная бумага ножницы простой карандаш клей.
61752. спользование документов письменного инструктирования на уроках производственного обучения по профессии Повар, кондитер 67.17 KB
  Исследования показали при длительности урока производственного обучения 6 часов на индивидуальную работу мастера с каждым из 25 учащихся приходится всего 810 мин.; втретьих невозможностью использовать на рабочих местах учащихся изданные в виде книг руководства для подготовки квалифицированных рабочих ряда профессий в том числе по профессии Повар-кондитер. Вместе с тем необходимо отметить что несмотря на явные достоинства письменное инструктирование к сожалению пока не нашло широкого применения в практике производственного...