21190

Поверхні другого порядку

Реферат

Математика и математический анализ

Розглянемо більш загальне рівняння яке містить в собі і квадратичний вираз на предмет того який геометричний об€єкт воно описує.1 перетвориться у рівняння 20. В новій системі координат рівняння 20. Перепишемо рівняння 20.

Украинкский

2013-08-02

575 KB

10 чел.

Поверхні другого порядку.

Лінійний вираз відносно координат точки тривимірного простору  описує площину. Розглянемо більш загальне рівняння, яке містить в собі і квадратичний вираз, на предмет того, який геометричний об”єкт воно описує.

, (20.1)

де . Згідно загальної теорії, викладеної раніше, матриця квадратичної форми цього виразу , як симетрична матриця, має три дійсних власних числа , яким відповідають три ортогональних власних вектора , . В базисі, побудованому на цих векторах, перехід до якого здійснюється за допомогою формул

, (20.2)

квадратична форма прийме канонічнний вид. Перетворення (20.2) означає поворот і, можливо, відбиття системи координат навколо початку координат (Рис.20.1).

Рис.20.1. Поворот системи координат

В результаті (20.1) перетвориться у рівняння

, (20.3)

де .

Подальший аналіз залежить від значень власних чисел .

I. Хай всі числа відмінні від нуля, . Тоді в (20.3) по кожній змінній можна виділити повні квадрати за допомогою формул

, (20.4)

які означають паралельний перенос осей координат. В новій системі координат  рівняння (20.3) прийме вид

, (20.5)

де .

Значення числа  і його знак, як і знаки чисел , можуть бути довільними.

1) Всі  мають однаковий знак.

а) . Рівнянню (20.5) відповідає тільки одна точка .

в) , . Всі доданки в (20.5) позитивні, тому цьому рівнянню не відповідає жодна точка - маємо уявну поверхню.

с) , . Перепишемо рівняння (20.5) у виді

, (20.6)

де . Переріз цієї поверхні координатними площинами дає еліпс, в чому легко переконатись, покладаючи в (20.6) , або , або . Тому така поверхня називається триосним еліпсоїдом (Рис.20.2).

Рис.20.2 Триосний еліпсоїд

Якщо дві півосі рівні, то одержимо еліпсоїд обертання. Наприклад, якщо , то маємо еліпсоїд обертання навколо осі . Переріз будь-якою площиною , перпендикулярною осі , дасть коло . Якщо всі три півосі рівні , то маємо рівняння сфери .

З рівняння (20.6) також витікає, що воно описує обмежену поверхню, бо переріз її з будь-якою площиною дає або пусту множину або, еліпс. Дійсно, наприклад, при  маємо

. (20.7)

Якщо , то (20.7) є рівняння еліпса з півосями , . Якщо , то (20.7) не має смислу, тобто площина  не перетинає цієї поверхні.

2) З трьох чисел  два мають один знак, а третє - протилежний.

а) . Хай . Тоді маємо

, (20.8)

де . Якщо це рівняння переписати так

, (20.9)

то видно, що (20.8) еквівалентно парі лінійних рівнянь

, (20.10)

або

, (20.11)

де  і  - довільні числа.

Кожна пара рівнянь описує пучок прямих в просторі. Таким чином, рівняння (20.8) описує поверхню, яка складається з прямих ліній, які всі перетинаються в одній точці - початку координат. Така поверхня називається лінійчатою поверхнею.

Перетин цієї поверхні площиною =h, перпендикулярною осі , дає еліпс

. (20.12)

Так як рівняння (20.12) має смисл при будь-якому значенні h, то це значить, що поверхня (20.8) нескінченна. При довільних  і  - це еліптичний конус (Рис.20.3), при  маємо круговий конус.

Рис. 20.3 Конус

в) . Хай  і  мають однаковий знак,  і  - їм пртилежний. Тоді з (20.5) маємо рівняння однопорожнинного гіперболоїда

, (20.13)

де . Назва поверхні зумовлена тим, що переріз будь-якою площиною  або  дає гіперболу, а площиною  дає еліпс. Конус (20.8) (на Рис.20.4 показаний штриховою лінією) для цієї поверхні є асимптотикою, до якої вона наближається на нескінченності (Рис.20.4).

Рис.20.4. Однопорожнинний гіперболоїд

Ця поверхня також є лінійчатою поверхнею, бо складається з двох систем прямих ліній, рівняння яких легко одержати з (20.13)

, (20.14)

та

. (20.15)

с) . Хай ,  і  мають однаковий знак, а  - їм протилежний. Тоді з (20.5) маємо рівняння двопорожнинного гіперболоїда

, (20.16)

де . Конус (20.8) також є асимптотичною поверхнею для цього гіперболоїда (Рис.20.5)

Рис.20.5. Двопорожнинний гіперболоїд

Переріз площинами  або  дає гіперболи, а площиною , якщо , - еліпс.

II. Хай одне власне число дорівнює нулю, наприклад, . Тоді при паралельному переносі осей  та : , з (20.3) маємо

, (20.17)

1)  . . (20.18)

а) , . З (20.18) маємо пару площин , або .

б) . Якщо , , то (20.18) не описує ні однієї точки.

в) , , . Рівняння (20.18) описує поверхню так званого еліптичного циліндра (Рис.20.6),

Рис.20.6. Еліптичний циліндр

бо в перерізі  маємо еліпс. Цей еліпс називається направляючою (лінією), бо вся поверхня циліндра утворюється при переміщенні по цьому еліпсу паралельно самій собі прямої лінії. До речі, рівняння (20.18) взагалі не залежить від цієї координати, тобто для будь-якої координати  воно одне і те ж. В перерезі площиною, паралельною осі , маємо прямі лінії (так звані твірні лінії).

d) , , . Рівняння (20.18) описує гіперболічний циліндр (Рис.20.7).

Рис.20.7. Гіперболічний циліндр

Циліндри є також лінійчатими поверхнями.

2)  Перенос вздовж осі ,  дасть

. (20.19)

a) . Маємо поверхню еліптичного параболоїда (Рис.20.8)

, (20.20)

де . В перерізі площинами  або  маємо параболи, площиною  - еліпс для рівняння з верхнім знаком, і порожню множиину для рівняння з нижнім знаком (при  - навпаки).

Рис.20.8. Еліптичний параболоїд, верхній знак

в) . Маємо поверхню гіперболічного параболоїда (Рис.20.9)

. (20.21)

Рис.20.9. Гіперболічний параболоїд, верхній знак

 Переріз площинами  або  дає параболи, площиною  - гіперболу, або спряжену гіперболу при .

Незважаючи на складність цієї поверхні, вона також є лінійчатою поверхнею, що легко видно з рівняння (20.21), яке можна записати у виді двох систем рівнянь прямих ліній

, (20.22)

або

. (20.23)

III. Тільки одне власне число відмінне від нуля, хай . Тоді з (20.3) при заміні , маємо

. (20.24)

1) Хоч одне з чисел  або  відмінне від нуля. Якщо зробити заміну

 (20.25)

де , , то з (20.24) одержимо рівняння параболічного циліндру

, (20.26)

з твірною, паралельною осі .

2) . Якщо , то маємо пару площин, якщо , то рівняння (20.24) не описує ніяких точок.

Таким чином, на відміну від лінійного рівняння, квадратичне рівняння (20.1) може описувати значно багатший набір геометричних об"єктів. Це може бути одна з поверхонь другого порядку: еліпсоїд, гіперболоїди, параболоїди або циліндри; це може бути пара площин; це може бути одна точка, або взагалі рівнянню (20.1) не буде відповідати жодна точка.

Контрольні питання.

1. При яких перетвореннях системи координат рівняння другого порядку приймає найпростіший вид?

2. Напишіть канонічне рівняння еліпсоїда.

3. Напишіть канонічні рівняння гіперболоїдів.

4. Напишіть канонічні рівняння параболоїдів.

5. Покажіть, що однопорожнинний гіперболоїд та гіперболічний параболоїд є лінійчаті поверхні.

6. Напишіть рівняння конуса.

7. Напишіть рівняння гіперболічного циліндра.

8. Наведіть приклад дослідження поверхні другого порядку методом перерізів.


ЗМІСТ

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ.......................................................................................................3

Лекція 13. Поняття аналітичної геометрії. Лінійні

геометричні  об”єкти.......................................................................................3

Лекція 14. Пряма на площині. Рівняння площини..................................14

Лекція 15. Векторний та змішаний добутки векторів. Площина

та пряма в просторі......................................................................................23

ЛІНІЙНІ ОПЕРАТОРИ. КРИВІ ТА ПОВЕРХНІ

ДРУГОГО ПОРЯДКУ...................................................................................................................... .34

Лекція 16. Лінійні оператори. Матриця оператора..............................34

Лекція 17. Власні числа та власні вектори оператора.

Самоспряжені оператори...............................................................................44

Лекція 18. Ортогональні оператори. Квадратичні форми.

Криві другого порядку.....................................................................................54

Лекція 19. Криві другого порядку................................................................62

Лекція 20. Поверхні другого порядку..........................................................70

PAGE  70


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42402. ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ В ЭКОНОМИКЕ 14.01 MB
  Напротив каждого сектора появилось значение в рублях или значение в процентах от общей суммы товарооборота соответственно. Постройте круговую диаграмму показывающую удельный вес поступлений в рублях по каждому виду товара в общей сумме по складу.03 на сумму превышающую 2000000 руб. рублей.
42404. Работа со сканером 325.5 KB
  Планшетные сканеры пригодны как для качественного сканирования цветных изображений так и для более или менее быстрого ввода текстовых документов. Для процесса сканирования необходимо задать такие параметры: Тип изображения цветное чернобелое с оттенками серого или чернобелое Разрешение сканирования DPI Яркость и контрастность Имя тип и место расположения получаемого графического файла. Нажать на кнопку настроить и: выбрать тип изображения цветной снимок затем поменять разрешение сканирования на 300 dpi....
42405. Имитация трёхмерного текста 87 KB
  Нажмите [ltBckspce] [CtrlBckspce] [ltDelete] [CtrlDelete] чтобы залить фон черным цветом. Выберите пункт меню Edit Trnsform Perspective или нажмите [CtrlT] свободная трансформация и удерживая клавишу [Ctrl] передвигайте за углы и придайте надписи вид сходный с рисунком ниже. Затем скопируйте получившийся слой [CtrlJ] путём перетаскивания его на иконку Crete New Lyer в палитре Lyers Слои. Переключитесь на слой Bckground и нажмите [CtrlShiftE] чтобы произвести слияние видимых слоёв.
42406. Создание «металлических» надписей 99 KB
  Новому каналу будет автоматически присвоено имя lph 1. Скопируйте канал lph 1 путём перетаскивания его на пиктограмму Crete New Chnnel в палитре Chnnels. Новому каналу будет присвоено имя lph 2 и он станет активным. Примените к каналу lph 2 фильтр Gussin Blur со значением 3 pixels.
42407. Работа с режимом редактирования маски 476 KB
  Нажмите [D] чтобы установить foreground цвет в черный. Нажмите [CtrlI] чтобы инвертировать выделение после чего нажмите [Del] чтобы удалить ненужное выделение. Нажмите [CtrlD] чтобы снять выделение. Нажмите OK.
42408. Работа с простыми объектами в Corel Draw 66 KB
  Порядок выполнения работы Для того чтобы нарисовать линию необходимо воспользоваться горячей клавишей [F5] или иконкой на панели инструментов. Для того чтобы вставить прямоугольник можно воспользоваться иконкой на панели инструментов или горячей клавишей [F6]. Для того чтобы вставить окружность можно воспользоваться горячей клавишей [F7] или воспользоваться иконкой на панели задач. Как и с прямоугольником можно воспользоваться дополнительными клавишами [Ctrl и или Shift].
42409. Работа с текстом и заливкой в Corel Draw 383.5 KB
  Для того чтобы залить объект заливкой можно воспользоваться одним из инструментов: Fill Color Dilog [ShiftF11] Fountin Fill Dilog [F11] Pttern Fill Dilog Texture Fill Dilog PostScript Fill Dilog Not Fill. Fill Color Dilog Fountin Fill Dilog Pttern Fill Dilog Texture Fill Dilog PostScript Fill Dilog Not Fill убирает заливку Содержание отчета Тема и цель лабораторной работы Отчет о проделанной работе Вывод Контрольные вопросы Как с помощью горячих клавиш вставить текст Какие параметры текста можно выставить на...
42410. Создаем иллюзию стекла в Corel Draw 356.5 KB
  Создайте продолговатый треугольник. Выделите созданный вами треугольник откройте панель Effects Extrude выдавливание и нажмите кнопку Edit редактирование. Под вашим треугольником пунктирной линией будет отображаться копия. Если вы точно следовали инструкциям ваш осколок должен быть похож на тот что изображен на рисунке: Теперь выделите исходный треугольник на созданном вами осколке.