21190

Поверхні другого порядку

Реферат

Математика и математический анализ

Розглянемо більш загальне рівняння яке містить в собі і квадратичний вираз на предмет того який геометричний об€єкт воно описує.1 перетвориться у рівняння 20. В новій системі координат рівняння 20. Перепишемо рівняння 20.

Украинкский

2013-08-02

575 KB

10 чел.

Поверхні другого порядку.

Лінійний вираз відносно координат точки тривимірного простору  описує площину. Розглянемо більш загальне рівняння, яке містить в собі і квадратичний вираз, на предмет того, який геометричний об”єкт воно описує.

, (20.1)

де . Згідно загальної теорії, викладеної раніше, матриця квадратичної форми цього виразу , як симетрична матриця, має три дійсних власних числа , яким відповідають три ортогональних власних вектора , . В базисі, побудованому на цих векторах, перехід до якого здійснюється за допомогою формул

, (20.2)

квадратична форма прийме канонічнний вид. Перетворення (20.2) означає поворот і, можливо, відбиття системи координат навколо початку координат (Рис.20.1).

Рис.20.1. Поворот системи координат

В результаті (20.1) перетвориться у рівняння

, (20.3)

де .

Подальший аналіз залежить від значень власних чисел .

I. Хай всі числа відмінні від нуля, . Тоді в (20.3) по кожній змінній можна виділити повні квадрати за допомогою формул

, (20.4)

які означають паралельний перенос осей координат. В новій системі координат  рівняння (20.3) прийме вид

, (20.5)

де .

Значення числа  і його знак, як і знаки чисел , можуть бути довільними.

1) Всі  мають однаковий знак.

а) . Рівнянню (20.5) відповідає тільки одна точка .

в) , . Всі доданки в (20.5) позитивні, тому цьому рівнянню не відповідає жодна точка - маємо уявну поверхню.

с) , . Перепишемо рівняння (20.5) у виді

, (20.6)

де . Переріз цієї поверхні координатними площинами дає еліпс, в чому легко переконатись, покладаючи в (20.6) , або , або . Тому така поверхня називається триосним еліпсоїдом (Рис.20.2).

Рис.20.2 Триосний еліпсоїд

Якщо дві півосі рівні, то одержимо еліпсоїд обертання. Наприклад, якщо , то маємо еліпсоїд обертання навколо осі . Переріз будь-якою площиною , перпендикулярною осі , дасть коло . Якщо всі три півосі рівні , то маємо рівняння сфери .

З рівняння (20.6) також витікає, що воно описує обмежену поверхню, бо переріз її з будь-якою площиною дає або пусту множину або, еліпс. Дійсно, наприклад, при  маємо

. (20.7)

Якщо , то (20.7) є рівняння еліпса з півосями , . Якщо , то (20.7) не має смислу, тобто площина  не перетинає цієї поверхні.

2) З трьох чисел  два мають один знак, а третє - протилежний.

а) . Хай . Тоді маємо

, (20.8)

де . Якщо це рівняння переписати так

, (20.9)

то видно, що (20.8) еквівалентно парі лінійних рівнянь

, (20.10)

або

, (20.11)

де  і  - довільні числа.

Кожна пара рівнянь описує пучок прямих в просторі. Таким чином, рівняння (20.8) описує поверхню, яка складається з прямих ліній, які всі перетинаються в одній точці - початку координат. Така поверхня називається лінійчатою поверхнею.

Перетин цієї поверхні площиною =h, перпендикулярною осі , дає еліпс

. (20.12)

Так як рівняння (20.12) має смисл при будь-якому значенні h, то це значить, що поверхня (20.8) нескінченна. При довільних  і  - це еліптичний конус (Рис.20.3), при  маємо круговий конус.

Рис. 20.3 Конус

в) . Хай  і  мають однаковий знак,  і  - їм пртилежний. Тоді з (20.5) маємо рівняння однопорожнинного гіперболоїда

, (20.13)

де . Назва поверхні зумовлена тим, що переріз будь-якою площиною  або  дає гіперболу, а площиною  дає еліпс. Конус (20.8) (на Рис.20.4 показаний штриховою лінією) для цієї поверхні є асимптотикою, до якої вона наближається на нескінченності (Рис.20.4).

Рис.20.4. Однопорожнинний гіперболоїд

Ця поверхня також є лінійчатою поверхнею, бо складається з двох систем прямих ліній, рівняння яких легко одержати з (20.13)

, (20.14)

та

. (20.15)

с) . Хай ,  і  мають однаковий знак, а  - їм протилежний. Тоді з (20.5) маємо рівняння двопорожнинного гіперболоїда

, (20.16)

де . Конус (20.8) також є асимптотичною поверхнею для цього гіперболоїда (Рис.20.5)

Рис.20.5. Двопорожнинний гіперболоїд

Переріз площинами  або  дає гіперболи, а площиною , якщо , - еліпс.

II. Хай одне власне число дорівнює нулю, наприклад, . Тоді при паралельному переносі осей  та : , з (20.3) маємо

, (20.17)

1)  . . (20.18)

а) , . З (20.18) маємо пару площин , або .

б) . Якщо , , то (20.18) не описує ні однієї точки.

в) , , . Рівняння (20.18) описує поверхню так званого еліптичного циліндра (Рис.20.6),

Рис.20.6. Еліптичний циліндр

бо в перерізі  маємо еліпс. Цей еліпс називається направляючою (лінією), бо вся поверхня циліндра утворюється при переміщенні по цьому еліпсу паралельно самій собі прямої лінії. До речі, рівняння (20.18) взагалі не залежить від цієї координати, тобто для будь-якої координати  воно одне і те ж. В перерезі площиною, паралельною осі , маємо прямі лінії (так звані твірні лінії).

d) , , . Рівняння (20.18) описує гіперболічний циліндр (Рис.20.7).

Рис.20.7. Гіперболічний циліндр

Циліндри є також лінійчатими поверхнями.

2)  Перенос вздовж осі ,  дасть

. (20.19)

a) . Маємо поверхню еліптичного параболоїда (Рис.20.8)

, (20.20)

де . В перерізі площинами  або  маємо параболи, площиною  - еліпс для рівняння з верхнім знаком, і порожню множиину для рівняння з нижнім знаком (при  - навпаки).

Рис.20.8. Еліптичний параболоїд, верхній знак

в) . Маємо поверхню гіперболічного параболоїда (Рис.20.9)

. (20.21)

Рис.20.9. Гіперболічний параболоїд, верхній знак

 Переріз площинами  або  дає параболи, площиною  - гіперболу, або спряжену гіперболу при .

Незважаючи на складність цієї поверхні, вона також є лінійчатою поверхнею, що легко видно з рівняння (20.21), яке можна записати у виді двох систем рівнянь прямих ліній

, (20.22)

або

. (20.23)

III. Тільки одне власне число відмінне від нуля, хай . Тоді з (20.3) при заміні , маємо

. (20.24)

1) Хоч одне з чисел  або  відмінне від нуля. Якщо зробити заміну

 (20.25)

де , , то з (20.24) одержимо рівняння параболічного циліндру

, (20.26)

з твірною, паралельною осі .

2) . Якщо , то маємо пару площин, якщо , то рівняння (20.24) не описує ніяких точок.

Таким чином, на відміну від лінійного рівняння, квадратичне рівняння (20.1) може описувати значно багатший набір геометричних об"єктів. Це може бути одна з поверхонь другого порядку: еліпсоїд, гіперболоїди, параболоїди або циліндри; це може бути пара площин; це може бути одна точка, або взагалі рівнянню (20.1) не буде відповідати жодна точка.

Контрольні питання.

1. При яких перетвореннях системи координат рівняння другого порядку приймає найпростіший вид?

2. Напишіть канонічне рівняння еліпсоїда.

3. Напишіть канонічні рівняння гіперболоїдів.

4. Напишіть канонічні рівняння параболоїдів.

5. Покажіть, що однопорожнинний гіперболоїд та гіперболічний параболоїд є лінійчаті поверхні.

6. Напишіть рівняння конуса.

7. Напишіть рівняння гіперболічного циліндра.

8. Наведіть приклад дослідження поверхні другого порядку методом перерізів.


ЗМІСТ

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ.......................................................................................................3

Лекція 13. Поняття аналітичної геометрії. Лінійні

геометричні  об”єкти.......................................................................................3

Лекція 14. Пряма на площині. Рівняння площини..................................14

Лекція 15. Векторний та змішаний добутки векторів. Площина

та пряма в просторі......................................................................................23

ЛІНІЙНІ ОПЕРАТОРИ. КРИВІ ТА ПОВЕРХНІ

ДРУГОГО ПОРЯДКУ...................................................................................................................... .34

Лекція 16. Лінійні оператори. Матриця оператора..............................34

Лекція 17. Власні числа та власні вектори оператора.

Самоспряжені оператори...............................................................................44

Лекція 18. Ортогональні оператори. Квадратичні форми.

Криві другого порядку.....................................................................................54

Лекція 19. Криві другого порядку................................................................62

Лекція 20. Поверхні другого порядку..........................................................70

PAGE  70


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40559. КОРПОРАТИВНЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ 19.36 MB
  Рассматриваются современные технологии корпоративной сети как транспортной подсистемы КИС принципы построения сетей основное сетевое оборудование протоколы прикладного уровня варианты технической реализации корпоративных подключений а также возможности и функциональный состав подсистемы интеллектуального здания. Корпоративная сеть является ключевым элементом КИС и поэтому она должна удовлетворять следующим важным требованиям: надежность является одним из факторов определяющих непрерывность деятельности организации;...
40560. Разработка и эксплуатация автоматизированных информационных систем 1.52 MB
  Козлова Методические рекомендации по выполнению курсового проекта по дисциплине: Разработка и эксплуатацияавтоматизированных информационных систем для специальности: Автоматизированные системы обработки информации и управления Самара 2011 Содержание [1] 1. Структура курсового проекта [2.2 Структура глав проекта основная часть0 [3] 3. Требования по оформлению курсового проекта [3.
40561. Факторный Анализ 35.5 KB
  Основной задачей лабораторной работы является выделение наиболее показательных системных счётчиков которые косвенно могут давать нам информацию об остальных параметрах системы Теоретическая часть: Факторный анализ совокупность методов многомерного статистического анализа применяемых для изучения взаимосвязей между значениями переменных. Цели факторного анализа: сокращение числа переменных; определение взаимосвязей между переменными их классификация. Методики факторного анализа: Анализ главных компонент.
40562. Деревья решений 263 KB
  Известно что обучающий контент делится на несколько категорий по виду аудитории пользователей. В данном случае для исследования аудитории пользователей была взята статистика Портала на 1000 человек. Категории пользователей: По возрасту: Младше 18 лет 651; Старше 18 лет 349; По виду учебного заведения: Из пользователей младше 18 лет учащимися школы являются 721; Из пользователей младше 18 лет учащимися ССУЗов являются 279; Из пользователей старше 18 лет учащиеся ССУЗов 72; Из пользователей старше 18 лет студенты ВУЗов...
40563. Деревья решений. Принятие решений 500 KB
  Экспертные системы класс близкий к системам поддержки принятия решений которые представляют собой компьютерные автоматизированные системы целью которых является помощь людям принимающим решение в каких-либо определенных условиях для полного и объективного анализа предметной деятельности. Теория принятия решений область исследования включающая в себя понятия и методы математики статистики экономики менеджмента и психологии которая изучает закономерности выбора людьми путей решения разного рода задач а также исследует способы...
40564. Компоновка поперечной рамы здания 1.2 MB
  Расстояние от оси подкрановой балки до оси колоны l1B1hBa75 B1 размер части кранового моста выступающей за ось рельса 75мм зазор между краном и колонной l1300100050075=875 мм l1 должен быть кратным 250 мм значит l1=1000 мм Высота сечения нижней части колонны hH=l1a hH= 1000500=1500 мм Пролёт мостового крана lк =l 2 l1 =3600021000=34000 Сечения верхней части колонны назначаем сплошно стенчатым двутавровым нижней сквозным. Вертикальные усилия от мостового крана Расчётное давление на...
40565. Расчёт пространственного одноэтажного промышленного здания 1.31 MB
  Расстояние от оси подкрановой балки до оси колоны l1B1hBa75 B1 размер части кранового моста выступающей за ось рельса 75мм зазор между краном и колонной l1300100050075=875 мм l1 должен быть кратным 250 мм значит l1=1000 мм Высота сечения нижней части колонны hH=l1a hH= 1000500=1500 мм Пролёт мостового крана lк =l 2 l1 =3000021000=28000 Сечения верхней части колонны назначаем сплошного сечения двутавровым нижней сквозным.8 Тип фермы Пролет фермы L = 300 м Высота фермы H = 315 м Количество панелей верхнего пояса 10...
40567. Качество ПО 586.5 KB
  Эффективность Ошибки анализа необходимого количества ресурсов обычно проявляются только в определенных ситуациях Задачи обеспечения качества Обеспечение качества Измерение оценка качества программы Применение методов повышения качества Повышение качества Обнаружение ошибок и неудовлетворительных мест в программе Исправление ошибок и другие изменения программы Необходимость оценки качества Контроль текущего прогресса Оценка эффективности затрат на повышение качества Выбор наиболее эффективных методов повышения качества Основа...