21191

Матриці. Лінійні дії з матрицями. Поняття лінійного простору

Реферат

Математика и математический анализ

Лінійні дії з матрицями. Вона характеризується таблицею чисел яку можна записати окремо і розглядати як суцільний об€єкт що має назву €œматриця€ лат.2 Очевидно що матриця є узагальненням як числа так і вектора. Дійсно при m=1 n=1 матриця зводиться до числа при m=1 n=3 вона є векторрядок а при m=3 n=1 векторстовпець.

Украинкский

2013-08-02

207 KB

0 чел.

ЕЛЕМЕНТИ АЛГЕБРИ МАТРИЦЬ. ДЕТЕРМІНАНТИ.

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.

Матриці. Лінійні дії з матрицями. Поняття лінійного простору.

Матриці. З фізики відомі більш складні математичні об”єкти, ніж числа, серед таких об"єктів добре відомі вектори. Ці величини описують швидкість, силу, момент сили і т.п., і характеризуються не тільки числовим значенням, а й напрямком. Вектор, як математичний об”єкт, описується  трьома числами, які записують або у вигляді рядка, або у вигляді стовпця:

 чи .

Неважко навести приклад ще більш складного об”єкту. Нехай маємо систему n заводів, які випускають m видів продукції . Кожний вид продукції складається з n деталей, причому кожна з них випускається одним із заводів в кількості  штук, де  штук. При існуючій технології для випуску i-го виду продукції  необхідна деяка доля продукції k-го заводу, величину якої позначимо . Таким чином маємо систему рівностей для кількостей деталей:

  (3.1)

Ці рівності складають систему рівнянь. Вона характеризується таблицею чисел , яку можна записати окремо і розглядати як суцільний об”єкт, що має назву “матриця” (лат. matrix - матка, початок, джерело). Вперше це поняття з"явилося в середині XIX ст. у У. Гамільтона, А. Келі (Cayley Arthur, 1821-1895, Англія) і Дж. Сільвестра (Sylvester J.J., 1814-1897, Англія). Основи теорії матриць були створені К. Вейерштрасом (Wierstras Karl, 1815-1897, Німеччина) і Г. Фробеніусом (Frobenius Georg, 1849-1917, Німеччина) Будемо позначати матрицю одним символом:

 (3.2)

Очевидно, що матриця є узагальненням як числа, так і вектора. Дійсно, при m=1, n=1 матриця зводиться до числа, при m=1, n=3 вона є вектор-рядок, а при m=3, n=1 - вектор-стовпець.

Таким чином, матриця є таблиця чисел, розміщених в заданому порядку. Числа , які складають матрицю, називаються її елементами. Щоб показати це, матриці записують також у вигляді . Положення кожного елементу в матриці задається двома індексами ij. Перший індекс і визначає номер рядка, другий j - номер стовпця.. Елементи, які стоять на діагоналі, що проходить з лівого верхнього кута матриці утворюють головну діагональ матриці. Елементи, які стоять на діагоналі, що проходить з правого верхнього кута - бічну.

Формула (1.2) визначає матрицю загального виду. Матриця А називається прямокутною, якщо , та квадратною, якщо m=n . Виділяють також окремі види матриць. Нульова матриця - це матриця, яка складається з нулів. Верхня ступінчата матриця - це матриця, всі числа якої, що розміщені нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю:

. (1.3)

Якщо всі елементи вище головної дїагоналі рівні нулю, матриця називається нижньою ступінчатою.

У випадку квадратної матриці верхня ступінчата називається верхньою трикутною, нижня ступінчата - нижньою трикутною.

Квадратна матриця, у якої відмінні від нуля тільки елементи на головній діагоналі, називається діагональною.

Одинична матриця Е - це діагональна матриця, у якої всі елементи на головній діагоналі дорівнюють одиниці.

Якщо матриця складається з одного рядка , то вона називається матрицею-рядком. Аналогічно, матриця

називається матрицею-cтовпцем.

Лінійні дії з матрицями.

1) Транспонування - дія, в результаті якої рядки і стовпці матриці міняються місцями із зберіганням порядку їх розміщення.

В результаті дії утрворюється нова матриця, яка називається транспонованою по відношенню до даної і позначається AT.

,    . (3.4)

Звідси видно, що елементи транспонованої матриці зв"язані з елементами вихідної матриці А формулою: .

Наприклад, матриця-стовпець  після транспонування перетворюється на матрицю-рядок AT = .  

Якщо транспонувати матрицю AT, то знову отримаємо початкову матрицю A, тобто (AT)T=A.

2) Рівність матриць. Порівнюють тільки матриці однакового розміру. Дві матриці однакового разміру рівні тоді і тільки тоді, коли їх елементи з одинаковими індексами рівні. Таким чином

 A = B , якщо , де i=1,2...m, j=1,2...n. (3.5)

3) Додавання матриць. Матриця С називається сумою матриць А та В, якщо

, (3.6)

де aij - елементи матриці A розміром mn, bij - елементи матриці B розміром mn та cij - елементи матриці С того ж розміру.

Приклад 1. Нехай , . Тоді сума дорівнює:

 =

Приклад 2.  Нехай

, . Тоді

 

 Властивості додавання матриць аналогічні властивостям додавання чисел (1-4) (Лекція 2) і являються їх наслідком:

1) A+B = B+A,

2) A+(B+C) = (A+B)+C,

3) А+О = А, де О - нульова матриця

4) A+(-A) = O, де елементи -A дорівнюють . Матриця -A називається протилежною матриці A.

4) Множення матриці на число: Матриця С розміру  називається добутком матриці А на число  ( - будь-яке дійсне число), якщо

. (3.8)

Приклад 3: Хай ,  .

Тоді +=.

Приклад 4:

.

Властивості множення  матриці на число:

5) (A) = ()A,

6) 1A = A,

7) (+)A = A+ A                                                        (3.9)

8) (A+B) = A +B.

Ці властивості є наслідком властивостей (7,8 та 11) дійсних чисел.

Таким чином, в розглянутих множинах математичних об”єктів - в множинах чисел, векторів та матриць можна ввести дві лінійні операції, а саме додавання та множення на число, які мають властивості, загальні для всіх цих об”єктів. Це дозволяє сформулювати нове поняття - поняття лінійного простору.

Поняття лінійного простору. Множина елементів, в якій введені операції додавання двох елементів та множення елемента на число, які не виводять за межі цієї множини та задовольняють властивостям додавання матриць та множення матриці на число, називається лінійним простором. Елементи лінійного простору називають також векторами.

Важливим поняттям в математиці і, в першу чергу, в теорії лінійних просторів, є поняття лінійної залежності елементів (векторів) лінійного простору. Сформулюємо означення цього поняття.

 Лінійною комбінацією елементів  називається сума , де  - деякі, в загальному випадку довільні числа.

Якщо є такі числа , серед яких хоча б одне відмінне від нуля, що лінійна комбінація елементів  дорівнює нулю,

, (3.10)

то ці елементи називають лінійно залежними.

Якщо таких чисел не існує, то елементи називають лінійно незалежними.

Важливі властивості, які пов”язані з лінійною залежністю:

1) Якщо  лінійно незалежні, то і будь-яка їх частина також лінійно незалежна. Доведення від протилежного: нехай частина елементів , де , лінійно залежна, тобто існують числа , серед яких хоча б одне відмінне від нуля, такі, що лінійна комбінація дорівнює нулю.

. (3.11)

Тоді дорівнює нулю і лінійна комбінація всіх k елементів, бо

.

А так як серед чисел  є відмінне від нуля, то це означає, що всі елементи  лінійно залежні, що суперечить умові.

2) Якщо елементи  лінійно залежні, то і поповнена система елементів ,, де , буде лінійно залежною. Дійсно, з лінійної залежності маємо, що існують такі числа, серед яких є відмінні від нуля, що

.

Домножаючи тепер елементи  на нулі і додаючи до попереднього рівняння одержимо

.

Таким чином, лінійна комбінація елементів , дорівнює нулю, і так як серед коефіцієнтів є відмінні від нуля, то ці елементи є лінійно залежними.

Контрольні питання.

1. Що таке матриця? Які є види матриць?

2. Чи змінюється матриця при транспонуванні?

3. Які матриці вважаються рівними?

4. Які ви знаєте лінійні дії над матрицями?

5. Які елементи називаються лінійно незалежними?

PAGE  26


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12165. КЛАССЫ ОБЩЕГО НАЗНАЧЕНИЯ 51 KB
  Классы общего назначения Как показывает практика в большинстве задач приходится использовать однотипные структуры данных: списки массивы множества и т.д. От задачи к задаче изменяются только их элементы а методы работы сохраняются. Например для любого списка нужны п...
12166. Основные объекты в Delphi 84 KB
  События формы OnCreate происходит сразу после создания формы. Обработчик этого события может установить начальные значения для свойств формы и ее компонентов запросить у операционной системы необходимые ресурсы создать служебные объекты а также выполнить другие д
12167. Рекомендации по оформлению исходного кода Delphi 95.72 KB
  Рекомендации по оформлению исходного кода Delphi Цель Повысить читаемость исходного кода разрабатываемого программистами. Сфера приложения и определения Рассматриваются файлы содержащие исходный код на языке Object Pascal то есть файлы проекта и файлы модулей. Даютс
12168. Свойства в Delphi 83 KB
  Свойства Понятие свойства Помимо полей и методов в объектах существуют свойства. При работе с объектом свойства выглядят как поля: они принимают значения и участвуют в выражениях. Но в отличие от полей свойства не занимают места в памяти а операции их чтения и записи а
12169. Быстродействие процессора 17.54 KB
  Быстродействие процессора Быстродействие процессора это одна из важнейших его характеристик определяющая эффективность работы всей микропроцессорной системы в целом. Быстродействие процессора зависит от множества факторов что затрудняет сравнение быстродействи...
12170. Установка основных компонентов ПК 284.24 KB
  Лабораторная работа №14 Установка основных компонентов ПК 1. Цель работы Научиться собирать все компоненты ПК 2. Теоретические сведения Сборка компьютера подобна игре в Кубик Рубика: пока вы не собрали его в первый раз это кажется невозможным но когда вам покажут...
12171. Изучение конструкции блока питания АТ и АТХ 132.85 KB
  Лабораторная работа №15 Изучение конструкции блока питания АТ и АТХ 1. Цель работы Изучения конструкции блока питания АТ и АТХ 2. Теоретические сведения Назначение и принципы работы блоков питания Главное назначение блоков питания преобразование электрической...
12172. Диагностика работоспособности материнской карты с помощью POST card 35.25 KB
  Лабораторная работа № 16 Диагностика работоспособности материнской карты с помощью POST card 1. Цель работы Научиться пользоваться POST картой 2. Теоретические сведения POST карта тестер для диагностики и ремонта материнских плат ...
12173. Строение, принцип действия и тех.обеспечение ИБП 116.11 KB
  Лабораторная работа №19 Строение принцип действия и тех.обеспечение ИБП 1. Цель работы Изучение принципа работы ИБП 2. Теоретические сведения Составные части ИБП Реализация основной функции достигается работой устройства от аккумуляторов установленных в корпу...