21191

Матриці. Лінійні дії з матрицями. Поняття лінійного простору

Реферат

Математика и математический анализ

Лінійні дії з матрицями. Вона характеризується таблицею чисел яку можна записати окремо і розглядати як суцільний об€єкт що має назву €œматриця€ лат.2 Очевидно що матриця є узагальненням як числа так і вектора. Дійсно при m=1 n=1 матриця зводиться до числа при m=1 n=3 вона є векторрядок а при m=3 n=1 векторстовпець.

Украинкский

2013-08-02

207 KB

0 чел.

ЕЛЕМЕНТИ АЛГЕБРИ МАТРИЦЬ. ДЕТЕРМІНАНТИ.

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.

Матриці. Лінійні дії з матрицями. Поняття лінійного простору.

Матриці. З фізики відомі більш складні математичні об”єкти, ніж числа, серед таких об"єктів добре відомі вектори. Ці величини описують швидкість, силу, момент сили і т.п., і характеризуються не тільки числовим значенням, а й напрямком. Вектор, як математичний об”єкт, описується  трьома числами, які записують або у вигляді рядка, або у вигляді стовпця:

 чи .

Неважко навести приклад ще більш складного об”єкту. Нехай маємо систему n заводів, які випускають m видів продукції . Кожний вид продукції складається з n деталей, причому кожна з них випускається одним із заводів в кількості  штук, де  штук. При існуючій технології для випуску i-го виду продукції  необхідна деяка доля продукції k-го заводу, величину якої позначимо . Таким чином маємо систему рівностей для кількостей деталей:

  (3.1)

Ці рівності складають систему рівнянь. Вона характеризується таблицею чисел , яку можна записати окремо і розглядати як суцільний об”єкт, що має назву “матриця” (лат. matrix - матка, початок, джерело). Вперше це поняття з"явилося в середині XIX ст. у У. Гамільтона, А. Келі (Cayley Arthur, 1821-1895, Англія) і Дж. Сільвестра (Sylvester J.J., 1814-1897, Англія). Основи теорії матриць були створені К. Вейерштрасом (Wierstras Karl, 1815-1897, Німеччина) і Г. Фробеніусом (Frobenius Georg, 1849-1917, Німеччина) Будемо позначати матрицю одним символом:

 (3.2)

Очевидно, що матриця є узагальненням як числа, так і вектора. Дійсно, при m=1, n=1 матриця зводиться до числа, при m=1, n=3 вона є вектор-рядок, а при m=3, n=1 - вектор-стовпець.

Таким чином, матриця є таблиця чисел, розміщених в заданому порядку. Числа , які складають матрицю, називаються її елементами. Щоб показати це, матриці записують також у вигляді . Положення кожного елементу в матриці задається двома індексами ij. Перший індекс і визначає номер рядка, другий j - номер стовпця.. Елементи, які стоять на діагоналі, що проходить з лівого верхнього кута матриці утворюють головну діагональ матриці. Елементи, які стоять на діагоналі, що проходить з правого верхнього кута - бічну.

Формула (1.2) визначає матрицю загального виду. Матриця А називається прямокутною, якщо , та квадратною, якщо m=n . Виділяють також окремі види матриць. Нульова матриця - це матриця, яка складається з нулів. Верхня ступінчата матриця - це матриця, всі числа якої, що розміщені нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю:

. (1.3)

Якщо всі елементи вище головної дїагоналі рівні нулю, матриця називається нижньою ступінчатою.

У випадку квадратної матриці верхня ступінчата називається верхньою трикутною, нижня ступінчата - нижньою трикутною.

Квадратна матриця, у якої відмінні від нуля тільки елементи на головній діагоналі, називається діагональною.

Одинична матриця Е - це діагональна матриця, у якої всі елементи на головній діагоналі дорівнюють одиниці.

Якщо матриця складається з одного рядка , то вона називається матрицею-рядком. Аналогічно, матриця

називається матрицею-cтовпцем.

Лінійні дії з матрицями.

1) Транспонування - дія, в результаті якої рядки і стовпці матриці міняються місцями із зберіганням порядку їх розміщення.

В результаті дії утрворюється нова матриця, яка називається транспонованою по відношенню до даної і позначається AT.

,    . (3.4)

Звідси видно, що елементи транспонованої матриці зв"язані з елементами вихідної матриці А формулою: .

Наприклад, матриця-стовпець  після транспонування перетворюється на матрицю-рядок AT = .  

Якщо транспонувати матрицю AT, то знову отримаємо початкову матрицю A, тобто (AT)T=A.

2) Рівність матриць. Порівнюють тільки матриці однакового розміру. Дві матриці однакового разміру рівні тоді і тільки тоді, коли їх елементи з одинаковими індексами рівні. Таким чином

 A = B , якщо , де i=1,2...m, j=1,2...n. (3.5)

3) Додавання матриць. Матриця С називається сумою матриць А та В, якщо

, (3.6)

де aij - елементи матриці A розміром mn, bij - елементи матриці B розміром mn та cij - елементи матриці С того ж розміру.

Приклад 1. Нехай , . Тоді сума дорівнює:

 =

Приклад 2.  Нехай

, . Тоді

 

 Властивості додавання матриць аналогічні властивостям додавання чисел (1-4) (Лекція 2) і являються їх наслідком:

1) A+B = B+A,

2) A+(B+C) = (A+B)+C,

3) А+О = А, де О - нульова матриця

4) A+(-A) = O, де елементи -A дорівнюють . Матриця -A називається протилежною матриці A.

4) Множення матриці на число: Матриця С розміру  називається добутком матриці А на число  ( - будь-яке дійсне число), якщо

. (3.8)

Приклад 3: Хай ,  .

Тоді +=.

Приклад 4:

.

Властивості множення  матриці на число:

5) (A) = ()A,

6) 1A = A,

7) (+)A = A+ A                                                        (3.9)

8) (A+B) = A +B.

Ці властивості є наслідком властивостей (7,8 та 11) дійсних чисел.

Таким чином, в розглянутих множинах математичних об”єктів - в множинах чисел, векторів та матриць можна ввести дві лінійні операції, а саме додавання та множення на число, які мають властивості, загальні для всіх цих об”єктів. Це дозволяє сформулювати нове поняття - поняття лінійного простору.

Поняття лінійного простору. Множина елементів, в якій введені операції додавання двох елементів та множення елемента на число, які не виводять за межі цієї множини та задовольняють властивостям додавання матриць та множення матриці на число, називається лінійним простором. Елементи лінійного простору називають також векторами.

Важливим поняттям в математиці і, в першу чергу, в теорії лінійних просторів, є поняття лінійної залежності елементів (векторів) лінійного простору. Сформулюємо означення цього поняття.

 Лінійною комбінацією елементів  називається сума , де  - деякі, в загальному випадку довільні числа.

Якщо є такі числа , серед яких хоча б одне відмінне від нуля, що лінійна комбінація елементів  дорівнює нулю,

, (3.10)

то ці елементи називають лінійно залежними.

Якщо таких чисел не існує, то елементи називають лінійно незалежними.

Важливі властивості, які пов”язані з лінійною залежністю:

1) Якщо  лінійно незалежні, то і будь-яка їх частина також лінійно незалежна. Доведення від протилежного: нехай частина елементів , де , лінійно залежна, тобто існують числа , серед яких хоча б одне відмінне від нуля, такі, що лінійна комбінація дорівнює нулю.

. (3.11)

Тоді дорівнює нулю і лінійна комбінація всіх k елементів, бо

.

А так як серед чисел  є відмінне від нуля, то це означає, що всі елементи  лінійно залежні, що суперечить умові.

2) Якщо елементи  лінійно залежні, то і поповнена система елементів ,, де , буде лінійно залежною. Дійсно, з лінійної залежності маємо, що існують такі числа, серед яких є відмінні від нуля, що

.

Домножаючи тепер елементи  на нулі і додаючи до попереднього рівняння одержимо

.

Таким чином, лінійна комбінація елементів , дорівнює нулю, і так як серед коефіцієнтів є відмінні від нуля, то ці елементи є лінійно залежними.

Контрольні питання.

1. Що таке матриця? Які є види матриць?

2. Чи змінюється матриця при транспонуванні?

3. Які матриці вважаються рівними?

4. Які ви знаєте лінійні дії над матрицями?

5. Які елементи називаються лінійно незалежними?

PAGE  26


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40205. Концепция стоимости капитала. Понятие и виды стоимости 48.5 KB
  Концепция стоимости капитала. Концепция стоимости капитала. Факторы определяющие цену капитала предприятия Одной из важнейших предпосылок эффективного управления капиталом предприятия является оценка его стоимости. Стоимость капитала представляет собой цену которую предприятие платит за его привлечение из различных источников.
40206. Подходы к оптимизации структуры капитала 24 KB
  Подходы к оптимизации структуры капитала. ОПТИМИЗАЦИЯ СТРУКТУРЫ КАПИТАЛА процесс определения соотношения использования собственного и заемного капитала при котором обеспечиваются оптимальные пропорции между уровнем рентабельности собственного капитала и уровнем финансовой устойчивости т. Оптимизация структуры капитала предприятия осуществляется различными методами. Метод оптимизации структуры капитала по критерию политики финансирования активов.
40207. Состав и структура активов предприятия 39.5 KB
  Основные фонды представляют собой наиболее значимую составную часть имущества предприятия и его внеоборотных активов. Основные средства это основные фонды выраженные в стоимостном измерении. Основные средства средства труда которые неоднократно участвуют в производственном процессе сохраняя свою натуральную форму а их стоимость переносится на производимую продукцию частями по мере снашивания. Сроком полезного использования признается период в течение которого основные средства приносят экономические выгоды доход организации.
40208. Социально-экономическая сущность оборотных активов. Состав и структура оборотных средств 26 KB
  В хозяйственной деятельности предприятия необходимо участие не только основных но и оборотных средств необходимых для своевременного выполнения всех хозяйственных операций. Оборотный капитал предприятия его финансовые ресурсы инвестируемые в оборотные активы. Оборотные фонды часть производственных фондов предприятия вещественные элементы которых в процессе производства в отличие от основных фонды расходуются в течение данного производственного цикла и их стоимость переносится на продукт труда целиком и сразу при этом они теряют...
40209. Организация и управление оборотными средствами 38 KB
  Организация оборотных средств на предприятии включает определение потребности в оборотных средствах их состава структуры источников формирования а также регулирование и управление использованием оборотных средств. Одним из основных принципов организации оборотных средств является нормирование Реализация этого принципа позволяет экономически обоснованно установить необходимый размер оборотных средств и тем самым обеспечить условия для успешного осуществления ими своих функций. Ошибочная практика отказа от нормирования оборотных средств...
40210. Оценка эффективности использования оборотных средств 53.5 KB
  Оценка эффективности использования оборотных средств. Эффективность использования оборотных средств характеризуется системой показателей. Важнейшим критерием интенсивности использования оборотных средств является скорость их оборачиваемости. Чем короче период оборота средств и чем меньше они находятся на различных стадиях оборота тем эффективнее они используются тем больше денежных средств может быть направлено на другие цели предприятия тем ниже себестоимость продукции.
40211. Дебиторская задолженность виды, подходы к оценке и управлению 35.5 KB
  Дебиторская задолженность виды подходы к оценке и управлению.ру: Дебиторская задолженность сумма долгов причитающихся предприятию от юридических или физических лиц в итоге хозяйственных взаимоотношений с ними. В бухгалтерском учете под дебиторской задолженностью как правило понимаются имущественные права представляющие собой один из объектов гражданских прав. Следовательно право на получение дебиторской задолженности является имущественным правом а сама дебиторская задолженность является частью имущества организации.
40212. это краткосрочные высоколиквидные финансовые вложения которые можно легко конвертировать в известную сум 24.5 KB
  При составлении отчета о движении денежных средств денежные средства и их эквиваленты суммируются и учитываются общей суммой. Это делается потому что покупка и продажа финансовых вложений в форме денежных эквивалентов считаются частью общего процесса управления денежными средствами предприятия а не источником или способом использования денег. Переводы денежных средств предприятия в инвестиции и обратно не рассматриваются в отчете о движении средств как выплаты и поступления. Денежные средства и их эквиваленты отраженные в отчете о движении...
40213. Понятие и классификация ценных бумаг. Основные виды ценных бумаг 49 KB
  Ценные бумаги имеют упрощенный порядок правопередачи что является их отличительной особенностью. Ценные бумаги можно хранить многие годы рассчитываться ими оставлять в качестве залога дарить и т. Согласно статье 145 Гражданского Кодекса правом удостоверенном ценной бумагой может владеть: предъявитель ценной бумаги владелец ценной бумаги на предъявителя; лицо названное в ценной бумаге владелец именной ценной бумаги; лицо названное в ценной бумаге или распорядитель назначенный таким лицом владелец или распорядитель...