21191

Матриці. Лінійні дії з матрицями. Поняття лінійного простору

Реферат

Математика и математический анализ

Лінійні дії з матрицями. Вона характеризується таблицею чисел яку можна записати окремо і розглядати як суцільний обєкт що має назву матриця лат.2 Очевидно що матриця є узагальненням як числа так і вектора. Дійсно при m=1 n=1 матриця зводиться до числа при m=1 n=3 вона є векторрядок а при m=3 n=1 векторстовпець.

Украинкский

2013-08-02

207 KB

0 чел.

ЕЛЕМЕНТИ АЛГЕБРИ МАТРИЦЬ. ДЕТЕРМІНАНТИ.

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.

Матриці. Лінійні дії з матрицями. Поняття лінійного простору.

Матриці. З фізики відомі більш складні математичні об”єкти, ніж числа, серед таких об"єктів добре відомі вектори. Ці величини описують швидкість, силу, момент сили і т.п., і характеризуються не тільки числовим значенням, а й напрямком. Вектор, як математичний об”єкт, описується  трьома числами, які записують або у вигляді рядка, або у вигляді стовпця:

 чи .

Неважко навести приклад ще більш складного об”єкту. Нехай маємо систему n заводів, які випускають m видів продукції . Кожний вид продукції складається з n деталей, причому кожна з них випускається одним із заводів в кількості  штук, де  штук. При існуючій технології для випуску i-го виду продукції  необхідна деяка доля продукції k-го заводу, величину якої позначимо . Таким чином маємо систему рівностей для кількостей деталей:

  (3.1)

Ці рівності складають систему рівнянь. Вона характеризується таблицею чисел , яку можна записати окремо і розглядати як суцільний об”єкт, що має назву “матриця” (лат. matrix - матка, початок, джерело). Вперше це поняття з"явилося в середині XIX ст. у У. Гамільтона, А. Келі (Cayley Arthur, 1821-1895, Англія) і Дж. Сільвестра (Sylvester J.J., 1814-1897, Англія). Основи теорії матриць були створені К. Вейерштрасом (Wierstras Karl, 1815-1897, Німеччина) і Г. Фробеніусом (Frobenius Georg, 1849-1917, Німеччина) Будемо позначати матрицю одним символом:

 (3.2)

Очевидно, що матриця є узагальненням як числа, так і вектора. Дійсно, при m=1, n=1 матриця зводиться до числа, при m=1, n=3 вона є вектор-рядок, а при m=3, n=1 - вектор-стовпець.

Таким чином, матриця є таблиця чисел, розміщених в заданому порядку. Числа , які складають матрицю, називаються її елементами. Щоб показати це, матриці записують також у вигляді . Положення кожного елементу в матриці задається двома індексами ij. Перший індекс і визначає номер рядка, другий j - номер стовпця.. Елементи, які стоять на діагоналі, що проходить з лівого верхнього кута матриці утворюють головну діагональ матриці. Елементи, які стоять на діагоналі, що проходить з правого верхнього кута - бічну.

Формула (1.2) визначає матрицю загального виду. Матриця А називається прямокутною, якщо , та квадратною, якщо m=n . Виділяють також окремі види матриць. Нульова матриця - це матриця, яка складається з нулів. Верхня ступінчата матриця - це матриця, всі числа якої, що розміщені нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю:

. (1.3)

Якщо всі елементи вище головної дїагоналі рівні нулю, матриця називається нижньою ступінчатою.

У випадку квадратної матриці верхня ступінчата називається верхньою трикутною, нижня ступінчата - нижньою трикутною.

Квадратна матриця, у якої відмінні від нуля тільки елементи на головній діагоналі, називається діагональною.

Одинична матриця Е - це діагональна матриця, у якої всі елементи на головній діагоналі дорівнюють одиниці.

Якщо матриця складається з одного рядка , то вона називається матрицею-рядком. Аналогічно, матриця

називається матрицею-cтовпцем.

Лінійні дії з матрицями.

1) Транспонування - дія, в результаті якої рядки і стовпці матриці міняються місцями із зберіганням порядку їх розміщення.

В результаті дії утрворюється нова матриця, яка називається транспонованою по відношенню до даної і позначається AT.

,    . (3.4)

Звідси видно, що елементи транспонованої матриці зв"язані з елементами вихідної матриці А формулою: .

Наприклад, матриця-стовпець  після транспонування перетворюється на матрицю-рядок AT = .  

Якщо транспонувати матрицю AT, то знову отримаємо початкову матрицю A, тобто (AT)T=A.

2) Рівність матриць. Порівнюють тільки матриці однакового розміру. Дві матриці однакового разміру рівні тоді і тільки тоді, коли їх елементи з одинаковими індексами рівні. Таким чином

 A = B , якщо , де i=1,2...m, j=1,2...n. (3.5)

3) Додавання матриць. Матриця С називається сумою матриць А та В, якщо

, (3.6)

де aij - елементи матриці A розміром mn, bij - елементи матриці B розміром mn та cij - елементи матриці С того ж розміру.

Приклад 1. Нехай , . Тоді сума дорівнює:

 =

Приклад 2.  Нехай

, . Тоді

 

 Властивості додавання матриць аналогічні властивостям додавання чисел (1-4) (Лекція 2) і являються їх наслідком:

1) A+B = B+A,

2) A+(B+C) = (A+B)+C,

3) А+О = А, де О - нульова матриця

4) A+(-A) = O, де елементи -A дорівнюють . Матриця -A називається протилежною матриці A.

4) Множення матриці на число: Матриця С розміру  називається добутком матриці А на число  ( - будь-яке дійсне число), якщо

. (3.8)

Приклад 3: Хай ,  .

Тоді +=.

Приклад 4:

.

Властивості множення  матриці на число:

5) (A) = ()A,

6) 1A = A,

7) (+)A = A+ A                                                        (3.9)

8) (A+B) = A +B.

Ці властивості є наслідком властивостей (7,8 та 11) дійсних чисел.

Таким чином, в розглянутих множинах математичних об”єктів - в множинах чисел, векторів та матриць можна ввести дві лінійні операції, а саме додавання та множення на число, які мають властивості, загальні для всіх цих об”єктів. Це дозволяє сформулювати нове поняття - поняття лінійного простору.

Поняття лінійного простору. Множина елементів, в якій введені операції додавання двох елементів та множення елемента на число, які не виводять за межі цієї множини та задовольняють властивостям додавання матриць та множення матриці на число, називається лінійним простором. Елементи лінійного простору називають також векторами.

Важливим поняттям в математиці і, в першу чергу, в теорії лінійних просторів, є поняття лінійної залежності елементів (векторів) лінійного простору. Сформулюємо означення цього поняття.

 Лінійною комбінацією елементів  називається сума , де  - деякі, в загальному випадку довільні числа.

Якщо є такі числа , серед яких хоча б одне відмінне від нуля, що лінійна комбінація елементів  дорівнює нулю,

, (3.10)

то ці елементи називають лінійно залежними.

Якщо таких чисел не існує, то елементи називають лінійно незалежними.

Важливі властивості, які пов”язані з лінійною залежністю:

1) Якщо  лінійно незалежні, то і будь-яка їх частина також лінійно незалежна. Доведення від протилежного: нехай частина елементів , де , лінійно залежна, тобто існують числа , серед яких хоча б одне відмінне від нуля, такі, що лінійна комбінація дорівнює нулю.

. (3.11)

Тоді дорівнює нулю і лінійна комбінація всіх k елементів, бо

.

А так як серед чисел  є відмінне від нуля, то це означає, що всі елементи  лінійно залежні, що суперечить умові.

2) Якщо елементи  лінійно залежні, то і поповнена система елементів ,, де , буде лінійно залежною. Дійсно, з лінійної залежності маємо, що існують такі числа, серед яких є відмінні від нуля, що

.

Домножаючи тепер елементи  на нулі і додаючи до попереднього рівняння одержимо

.

Таким чином, лінійна комбінація елементів , дорівнює нулю, і так як серед коефіцієнтів є відмінні від нуля, то ці елементи є лінійно залежними.

Контрольні питання.

1. Що таке матриця? Які є види матриць?

2. Чи змінюється матриця при транспонуванні?

3. Які матриці вважаються рівними?

4. Які ви знаєте лінійні дії над матрицями?

5. Які елементи називаються лінійно незалежними?

PAGE  26


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21847. Управление качеством проекта 88 KB
  В чем же здесь роль управления проектами и чем новая система может помочь Оказывается весьма многим прежде всего потому что обеспечение требуемого уровня качества есть задача организационноэкономическая и проектменеджер оказался именно той фигурой которая в состоянии вооружившись методологией управления проектами навести должный порядок в сложном и потому зачастую хаотичном мире среды и окружения проекта. Задача обеспечения качества на должном уровне пронизывает весь жизненный цикл проекта. А потому задача этой главы показать не...
21848. Человеческие аспекты в управлении проектами 49 KB
  Создание проектной команды. В практике проектменеджмента используются два основных вида структуры проектной команды. Матричная форма структуры команды Эта форма применяется как правило для малых и средних проектов продолжительность жизненного цикла которых до двух лет этот критерий в разных странах варьируется от 05 до 2 лет. Преимущества: гибкость в организации и развитии команды; полномочия функциональных отделов фирмы не дублируются; наличие у членов команды уверенности в завтрашнем дне .
21849. Эффективность проекта 139.5 KB
  Эффективность проекта. Разработка концепции проекта. Любой инвестор прежде чем вложить деньги задается вопросом: в какой проект стоит вложить деньги средства сколько хотя бы примерно этих средств будет нужно когда вложенные средства начнут приносить доход сколько прибыли на вложенные средства можно получить и наконец если средства ограничены а они зачастую ограничены то где взять деньги для проекта Разработка концепции состоит из двух этапов: Формирование инвестиционного замысла идеи проекта; Анализ инвестиционных...
21850. Мир управления проектами 121 KB
  Мир управления проектами. Определение проекта. Проект является целенаправленной ориентированной во времени последовательностью как правило однократных комплексных и нерегулярно повторяющихся действий мероприятий или работ со следующими специфическими признаками: однократность и комплексность структуры проекта; сложность структуры проекта; специфичность содержательных и финансовых результатов; заданность сроков начала и окончания и тем самым заданность временной цели; нерегулярность осуществления. Проект это одноразовая совокупность...
21851. Разработка и планирование проекта 130 KB
  Разработка и планирование проекта. Планирование проекта. Сущность планирования состоит в обосновании целей и способов их удовлетворения на основе выявления детального комплекса работ определения эффективных методов и способов ресурсов всех видов необходимых для их выполнения и установления взаимодействия между организациямиучастниками проекта. Основная цель планирования интеграция всех участников проекта для выполнения комплекса работ обеспечивающих достижение конечных результатов проекта.
21852. Управление геомеханическими процессами при системах с искусственным поддержанием выработанного пространства: с магазинированием руды и креплением очистного пространства 433 KB
  Магазинирование полезного ископаемого накопление отбитого полезного ископаемого очистной выработке. Различают полное магазинирование полезного ископаемого если оно ведётся на всю высоту этажа блока или частичное слоевое если оно ведётся в пределах отдельных частей блока. Магазинирование полезного ископаемого составляет технологическую основу специального класса систем разработки. Отличительной особенностью этого класса систем: выемка полезного ископаемого в восходящем порядке; выпуск 3040 отбитой руды; поддержание боков...
21853. Управление геомеханическими процессами при системах с обрушением руды и вмещающих пород 854 KB
  Управление геомеханическими процессами при системах с обрушением руды и вмещающих пород. Факторы определяющие характер сдвижения и обрушения пород. Закономерности сдвижения горных пород. Последовательность обрушения пород.
21854. Управление геомеханическими процессами при подработке водных объектов 776.5 KB
  Подработка переходных и специфических водных объектов системами с обрушением налегающих пород. гравитационной воды в порах и трещинах скальных горных пород или их отвалов пленочной воды в порах глинистых и песчаноглинистых пород и техногенных отложений. Линейные Сели ледники Подземные Площадные Псевдоплывунные породы. Линейные Разломы зоны дробления заполненные водой и псевдоплывунными породами Специфические Поверхностные Площадные Торфяники золоотвалы отвалы песчаноглинистых пород.
21855. Управление геомеханическими процессами при комбинированной разработке месторождений полезных ископаемых 474.5 KB
  Особенности напряжённодеформированного состояния опорных и потолочных целиков в зоне влияния карьера. Погашение подземных пустот в бортах и под дном карьера. Важно также знать допустимые вертикальные обнажения пород в пустотах выходящих на уступы карьера. Определение безопасной толщины потолочного целика над подземными пустотами между уступами карьера и подземными пустотами.