21191

Матриці. Лінійні дії з матрицями. Поняття лінійного простору

Реферат

Математика и математический анализ

Лінійні дії з матрицями. Вона характеризується таблицею чисел яку можна записати окремо і розглядати як суцільний об€єкт що має назву €œматриця€ лат.2 Очевидно що матриця є узагальненням як числа так і вектора. Дійсно при m=1 n=1 матриця зводиться до числа при m=1 n=3 вона є векторрядок а при m=3 n=1 векторстовпець.

Украинкский

2013-08-02

207 KB

0 чел.

ЕЛЕМЕНТИ АЛГЕБРИ МАТРИЦЬ. ДЕТЕРМІНАНТИ.

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.

Матриці. Лінійні дії з матрицями. Поняття лінійного простору.

Матриці. З фізики відомі більш складні математичні об”єкти, ніж числа, серед таких об"єктів добре відомі вектори. Ці величини описують швидкість, силу, момент сили і т.п., і характеризуються не тільки числовим значенням, а й напрямком. Вектор, як математичний об”єкт, описується  трьома числами, які записують або у вигляді рядка, або у вигляді стовпця:

 чи .

Неважко навести приклад ще більш складного об”єкту. Нехай маємо систему n заводів, які випускають m видів продукції . Кожний вид продукції складається з n деталей, причому кожна з них випускається одним із заводів в кількості  штук, де  штук. При існуючій технології для випуску i-го виду продукції  необхідна деяка доля продукції k-го заводу, величину якої позначимо . Таким чином маємо систему рівностей для кількостей деталей:

  (3.1)

Ці рівності складають систему рівнянь. Вона характеризується таблицею чисел , яку можна записати окремо і розглядати як суцільний об”єкт, що має назву “матриця” (лат. matrix - матка, початок, джерело). Вперше це поняття з"явилося в середині XIX ст. у У. Гамільтона, А. Келі (Cayley Arthur, 1821-1895, Англія) і Дж. Сільвестра (Sylvester J.J., 1814-1897, Англія). Основи теорії матриць були створені К. Вейерштрасом (Wierstras Karl, 1815-1897, Німеччина) і Г. Фробеніусом (Frobenius Georg, 1849-1917, Німеччина) Будемо позначати матрицю одним символом:

 (3.2)

Очевидно, що матриця є узагальненням як числа, так і вектора. Дійсно, при m=1, n=1 матриця зводиться до числа, при m=1, n=3 вона є вектор-рядок, а при m=3, n=1 - вектор-стовпець.

Таким чином, матриця є таблиця чисел, розміщених в заданому порядку. Числа , які складають матрицю, називаються її елементами. Щоб показати це, матриці записують також у вигляді . Положення кожного елементу в матриці задається двома індексами ij. Перший індекс і визначає номер рядка, другий j - номер стовпця.. Елементи, які стоять на діагоналі, що проходить з лівого верхнього кута матриці утворюють головну діагональ матриці. Елементи, які стоять на діагоналі, що проходить з правого верхнього кута - бічну.

Формула (1.2) визначає матрицю загального виду. Матриця А називається прямокутною, якщо , та квадратною, якщо m=n . Виділяють також окремі види матриць. Нульова матриця - це матриця, яка складається з нулів. Верхня ступінчата матриця - це матриця, всі числа якої, що розміщені нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю:

. (1.3)

Якщо всі елементи вище головної дїагоналі рівні нулю, матриця називається нижньою ступінчатою.

У випадку квадратної матриці верхня ступінчата називається верхньою трикутною, нижня ступінчата - нижньою трикутною.

Квадратна матриця, у якої відмінні від нуля тільки елементи на головній діагоналі, називається діагональною.

Одинична матриця Е - це діагональна матриця, у якої всі елементи на головній діагоналі дорівнюють одиниці.

Якщо матриця складається з одного рядка , то вона називається матрицею-рядком. Аналогічно, матриця

називається матрицею-cтовпцем.

Лінійні дії з матрицями.

1) Транспонування - дія, в результаті якої рядки і стовпці матриці міняються місцями із зберіганням порядку їх розміщення.

В результаті дії утрворюється нова матриця, яка називається транспонованою по відношенню до даної і позначається AT.

,    . (3.4)

Звідси видно, що елементи транспонованої матриці зв"язані з елементами вихідної матриці А формулою: .

Наприклад, матриця-стовпець  після транспонування перетворюється на матрицю-рядок AT = .  

Якщо транспонувати матрицю AT, то знову отримаємо початкову матрицю A, тобто (AT)T=A.

2) Рівність матриць. Порівнюють тільки матриці однакового розміру. Дві матриці однакового разміру рівні тоді і тільки тоді, коли їх елементи з одинаковими індексами рівні. Таким чином

 A = B , якщо , де i=1,2...m, j=1,2...n. (3.5)

3) Додавання матриць. Матриця С називається сумою матриць А та В, якщо

, (3.6)

де aij - елементи матриці A розміром mn, bij - елементи матриці B розміром mn та cij - елементи матриці С того ж розміру.

Приклад 1. Нехай , . Тоді сума дорівнює:

 =

Приклад 2.  Нехай

, . Тоді

 

 Властивості додавання матриць аналогічні властивостям додавання чисел (1-4) (Лекція 2) і являються їх наслідком:

1) A+B = B+A,

2) A+(B+C) = (A+B)+C,

3) А+О = А, де О - нульова матриця

4) A+(-A) = O, де елементи -A дорівнюють . Матриця -A називається протилежною матриці A.

4) Множення матриці на число: Матриця С розміру  називається добутком матриці А на число  ( - будь-яке дійсне число), якщо

. (3.8)

Приклад 3: Хай ,  .

Тоді +=.

Приклад 4:

.

Властивості множення  матриці на число:

5) (A) = ()A,

6) 1A = A,

7) (+)A = A+ A                                                        (3.9)

8) (A+B) = A +B.

Ці властивості є наслідком властивостей (7,8 та 11) дійсних чисел.

Таким чином, в розглянутих множинах математичних об”єктів - в множинах чисел, векторів та матриць можна ввести дві лінійні операції, а саме додавання та множення на число, які мають властивості, загальні для всіх цих об”єктів. Це дозволяє сформулювати нове поняття - поняття лінійного простору.

Поняття лінійного простору. Множина елементів, в якій введені операції додавання двох елементів та множення елемента на число, які не виводять за межі цієї множини та задовольняють властивостям додавання матриць та множення матриці на число, називається лінійним простором. Елементи лінійного простору називають також векторами.

Важливим поняттям в математиці і, в першу чергу, в теорії лінійних просторів, є поняття лінійної залежності елементів (векторів) лінійного простору. Сформулюємо означення цього поняття.

 Лінійною комбінацією елементів  називається сума , де  - деякі, в загальному випадку довільні числа.

Якщо є такі числа , серед яких хоча б одне відмінне від нуля, що лінійна комбінація елементів  дорівнює нулю,

, (3.10)

то ці елементи називають лінійно залежними.

Якщо таких чисел не існує, то елементи називають лінійно незалежними.

Важливі властивості, які пов”язані з лінійною залежністю:

1) Якщо  лінійно незалежні, то і будь-яка їх частина також лінійно незалежна. Доведення від протилежного: нехай частина елементів , де , лінійно залежна, тобто існують числа , серед яких хоча б одне відмінне від нуля, такі, що лінійна комбінація дорівнює нулю.

. (3.11)

Тоді дорівнює нулю і лінійна комбінація всіх k елементів, бо

.

А так як серед чисел  є відмінне від нуля, то це означає, що всі елементи  лінійно залежні, що суперечить умові.

2) Якщо елементи  лінійно залежні, то і поповнена система елементів ,, де , буде лінійно залежною. Дійсно, з лінійної залежності маємо, що існують такі числа, серед яких є відмінні від нуля, що

.

Домножаючи тепер елементи  на нулі і додаючи до попереднього рівняння одержимо

.

Таким чином, лінійна комбінація елементів , дорівнює нулю, і так як серед коефіцієнтів є відмінні від нуля, то ці елементи є лінійно залежними.

Контрольні питання.

1. Що таке матриця? Які є види матриць?

2. Чи змінюється матриця при транспонуванні?

3. Які матриці вважаються рівними?

4. Які ви знаєте лінійні дії над матрицями?

5. Які елементи називаються лінійно незалежними?

PAGE  26


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83404. Грамматика испанского языка: Практический курс 3.03 MB
  С момента третьего издания этой книги прошло почти десять лет. Однако цели и назначение учебника остались прежними. Книга предназначена для студентов отделений испанского языка различных университетов, специализированных гимназий, лицеев и может быть использована лицами...
83405. Теория игр. Расчётно-графическая работа 999.59 KB
  В данном разделе будет представлены методы нахождения минимакса максимина седловой точки решения игры оптимальных стратегий доминирующих стратегий графическое решение игр изоморфное и аффинное преобразования матрицы. Кроме того важно отметить не только то как решаются игры но и то что показывает...
83406. Применение статистических методов для анализа и обоснования закономерностей в эмпирических данных 609 KB
  Цель и задачи работы закрепить теоретические знания вероятностного и статистического анализа системы случайных величин направленного на выявление и описание существующих между ними зависимостей; реализовать методики создания основных видов статистических моделей вероятностных экспериментов...
83407. Современные образовательные технологии в профессиональном образовании 76.5 KB
  Личностная направленность образования сегодня является одной из основных тенденций развития профессионального образования, а на первый план образования выступает задача реализации принципа активности в обучении: создание условий для выявления и развития способностей студентов...
83408. Нетрадиционные операции банков 44.92 KB
  Целью данной работы является подробное изучение таких нетрадиционных операций коммерческого банка как лизинг факторинг и трастовые операции. В настоящее время некоторые кредитные операции проводимые российскими коммерческими банками можно отнести к косвенному нетрадиционному кредитованию...
83409. Понятие государственной налоговой службы, ее задачи и компетенция 76.5 KB
  Производить в органах в органах государственной власти и органах местного самоуправления, организациях, у граждан Российской Федерации, иностранных граждан и лиц без гражданства (далее – органы, организации и граждане) проверки документов, связанных с исчислением и уплатой обязательных платежей...
83410. Методы определения относительного возраста четвертичных отложений 763.84 KB
  Эта группа методов основана на характерной для четвертичного периода климатической ритмичности с чередованием теплых и холодных эпох. Это отражается в литологии отложений, составе заключенных в них остатков фауны и флоры, а также других особенностях.
83411. Карельские пословицы поговорки загадки. Портрет жанра. Воспитательские возможности 107 KB
  Пословицы и поговорки являются отражением мудрости многих поколений, не утратившие веками своей актуальности. Многие годы эти изречения являлись сводом законов нравственности и норм поведения, оказывали непосредственное влияние на формирование духовности нации.
83412. Актуальность государственного и муниципального управления в современных условиях 48.13 KB
  Государственное управление страной осуществляется с помощью организации государственных органов, аппарата государственных учреждений (военные, судебные, полицейские, административные). Каждое учреждение обеспечивает выполнение основных и неосновных функций государства (поддержание порядка, защита...