21191

Матриці. Лінійні дії з матрицями. Поняття лінійного простору

Реферат

Математика и математический анализ

Лінійні дії з матрицями. Вона характеризується таблицею чисел яку можна записати окремо і розглядати як суцільний об€єкт що має назву €œматриця€ лат.2 Очевидно що матриця є узагальненням як числа так і вектора. Дійсно при m=1 n=1 матриця зводиться до числа при m=1 n=3 вона є векторрядок а при m=3 n=1 векторстовпець.

Украинкский

2013-08-02

207 KB

0 чел.

ЕЛЕМЕНТИ АЛГЕБРИ МАТРИЦЬ. ДЕТЕРМІНАНТИ.

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.

Матриці. Лінійні дії з матрицями. Поняття лінійного простору.

Матриці. З фізики відомі більш складні математичні об”єкти, ніж числа, серед таких об"єктів добре відомі вектори. Ці величини описують швидкість, силу, момент сили і т.п., і характеризуються не тільки числовим значенням, а й напрямком. Вектор, як математичний об”єкт, описується  трьома числами, які записують або у вигляді рядка, або у вигляді стовпця:

 чи .

Неважко навести приклад ще більш складного об”єкту. Нехай маємо систему n заводів, які випускають m видів продукції . Кожний вид продукції складається з n деталей, причому кожна з них випускається одним із заводів в кількості  штук, де  штук. При існуючій технології для випуску i-го виду продукції  необхідна деяка доля продукції k-го заводу, величину якої позначимо . Таким чином маємо систему рівностей для кількостей деталей:

  (3.1)

Ці рівності складають систему рівнянь. Вона характеризується таблицею чисел , яку можна записати окремо і розглядати як суцільний об”єкт, що має назву “матриця” (лат. matrix - матка, початок, джерело). Вперше це поняття з"явилося в середині XIX ст. у У. Гамільтона, А. Келі (Cayley Arthur, 1821-1895, Англія) і Дж. Сільвестра (Sylvester J.J., 1814-1897, Англія). Основи теорії матриць були створені К. Вейерштрасом (Wierstras Karl, 1815-1897, Німеччина) і Г. Фробеніусом (Frobenius Georg, 1849-1917, Німеччина) Будемо позначати матрицю одним символом:

 (3.2)

Очевидно, що матриця є узагальненням як числа, так і вектора. Дійсно, при m=1, n=1 матриця зводиться до числа, при m=1, n=3 вона є вектор-рядок, а при m=3, n=1 - вектор-стовпець.

Таким чином, матриця є таблиця чисел, розміщених в заданому порядку. Числа , які складають матрицю, називаються її елементами. Щоб показати це, матриці записують також у вигляді . Положення кожного елементу в матриці задається двома індексами ij. Перший індекс і визначає номер рядка, другий j - номер стовпця.. Елементи, які стоять на діагоналі, що проходить з лівого верхнього кута матриці утворюють головну діагональ матриці. Елементи, які стоять на діагоналі, що проходить з правого верхнього кута - бічну.

Формула (1.2) визначає матрицю загального виду. Матриця А називається прямокутною, якщо , та квадратною, якщо m=n . Виділяють також окремі види матриць. Нульова матриця - це матриця, яка складається з нулів. Верхня ступінчата матриця - це матриця, всі числа якої, що розміщені нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю:

. (1.3)

Якщо всі елементи вище головної дїагоналі рівні нулю, матриця називається нижньою ступінчатою.

У випадку квадратної матриці верхня ступінчата називається верхньою трикутною, нижня ступінчата - нижньою трикутною.

Квадратна матриця, у якої відмінні від нуля тільки елементи на головній діагоналі, називається діагональною.

Одинична матриця Е - це діагональна матриця, у якої всі елементи на головній діагоналі дорівнюють одиниці.

Якщо матриця складається з одного рядка , то вона називається матрицею-рядком. Аналогічно, матриця

називається матрицею-cтовпцем.

Лінійні дії з матрицями.

1) Транспонування - дія, в результаті якої рядки і стовпці матриці міняються місцями із зберіганням порядку їх розміщення.

В результаті дії утрворюється нова матриця, яка називається транспонованою по відношенню до даної і позначається AT.

,    . (3.4)

Звідси видно, що елементи транспонованої матриці зв"язані з елементами вихідної матриці А формулою: .

Наприклад, матриця-стовпець  після транспонування перетворюється на матрицю-рядок AT = .  

Якщо транспонувати матрицю AT, то знову отримаємо початкову матрицю A, тобто (AT)T=A.

2) Рівність матриць. Порівнюють тільки матриці однакового розміру. Дві матриці однакового разміру рівні тоді і тільки тоді, коли їх елементи з одинаковими індексами рівні. Таким чином

 A = B , якщо , де i=1,2...m, j=1,2...n. (3.5)

3) Додавання матриць. Матриця С називається сумою матриць А та В, якщо

, (3.6)

де aij - елементи матриці A розміром mn, bij - елементи матриці B розміром mn та cij - елементи матриці С того ж розміру.

Приклад 1. Нехай , . Тоді сума дорівнює:

 =

Приклад 2.  Нехай

, . Тоді

 

 Властивості додавання матриць аналогічні властивостям додавання чисел (1-4) (Лекція 2) і являються їх наслідком:

1) A+B = B+A,

2) A+(B+C) = (A+B)+C,

3) А+О = А, де О - нульова матриця

4) A+(-A) = O, де елементи -A дорівнюють . Матриця -A називається протилежною матриці A.

4) Множення матриці на число: Матриця С розміру  називається добутком матриці А на число  ( - будь-яке дійсне число), якщо

. (3.8)

Приклад 3: Хай ,  .

Тоді +=.

Приклад 4:

.

Властивості множення  матриці на число:

5) (A) = ()A,

6) 1A = A,

7) (+)A = A+ A                                                        (3.9)

8) (A+B) = A +B.

Ці властивості є наслідком властивостей (7,8 та 11) дійсних чисел.

Таким чином, в розглянутих множинах математичних об”єктів - в множинах чисел, векторів та матриць можна ввести дві лінійні операції, а саме додавання та множення на число, які мають властивості, загальні для всіх цих об”єктів. Це дозволяє сформулювати нове поняття - поняття лінійного простору.

Поняття лінійного простору. Множина елементів, в якій введені операції додавання двох елементів та множення елемента на число, які не виводять за межі цієї множини та задовольняють властивостям додавання матриць та множення матриці на число, називається лінійним простором. Елементи лінійного простору називають також векторами.

Важливим поняттям в математиці і, в першу чергу, в теорії лінійних просторів, є поняття лінійної залежності елементів (векторів) лінійного простору. Сформулюємо означення цього поняття.

 Лінійною комбінацією елементів  називається сума , де  - деякі, в загальному випадку довільні числа.

Якщо є такі числа , серед яких хоча б одне відмінне від нуля, що лінійна комбінація елементів  дорівнює нулю,

, (3.10)

то ці елементи називають лінійно залежними.

Якщо таких чисел не існує, то елементи називають лінійно незалежними.

Важливі властивості, які пов”язані з лінійною залежністю:

1) Якщо  лінійно незалежні, то і будь-яка їх частина також лінійно незалежна. Доведення від протилежного: нехай частина елементів , де , лінійно залежна, тобто існують числа , серед яких хоча б одне відмінне від нуля, такі, що лінійна комбінація дорівнює нулю.

. (3.11)

Тоді дорівнює нулю і лінійна комбінація всіх k елементів, бо

.

А так як серед чисел  є відмінне від нуля, то це означає, що всі елементи  лінійно залежні, що суперечить умові.

2) Якщо елементи  лінійно залежні, то і поповнена система елементів ,, де , буде лінійно залежною. Дійсно, з лінійної залежності маємо, що існують такі числа, серед яких є відмінні від нуля, що

.

Домножаючи тепер елементи  на нулі і додаючи до попереднього рівняння одержимо

.

Таким чином, лінійна комбінація елементів , дорівнює нулю, і так як серед коефіцієнтів є відмінні від нуля, то ці елементи є лінійно залежними.

Контрольні питання.

1. Що таке матриця? Які є види матриць?

2. Чи змінюється матриця при транспонуванні?

3. Які матриці вважаються рівними?

4. Які ви знаєте лінійні дії над матрицями?

5. Які елементи називаються лінійно незалежними?

PAGE  26


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17312. ЗАХИСТ GRID-ТЕХНОЛОГІЙ 134.5 KB
  Лекція 24. Захист Gridтехнологій Загальні положення Технологія Grid призначена для створення географічно розподіленої обчислювальної інфраструктури що об'єднує ресурси різних типів з колективним доступом до цих ресурсів в рамках віртуальних організацій що складаютьс...
17313. ЗАСОБИ БЕЗПЕКИ GRID - ТЕХНОЛОГІЙ 124 KB
  Лекція 24. Засоби безпеки Grid технологій Сучасний стан програмного забезпечення інфраструктури GRID На сьогодняшній день розроблено нове покоління програмного забезпечення GRID ГПЗ. Представниками цього покоління є дві основні розробки: Globus Alliance випустив версію 4.0 комп...
17314. Візуальне програмування – робота з БД Компонентне програмування – робота з об'єктами БД 881.96 KB
  Парадигми програмування Кредит 1 Лабораторна робота 2. Візуальне програмування – робота з БД Компонентне програмування – робота з обєктами БД. 2 год Практикум прикладного программирования на C в среде VS.NET 2008...
17315. Створення DLL-бібліотеки 63.99 KB
  Лабораторна робота 1. Створення DLLбібліотеки Мета роботи: 1. Створення DLLбібліотеки 2. Створення рішення з кількох проектів модулів 3. Створення DLLбібліотеки як окремого рішення. 4. Вивчення структури збірки метаданих збірки В платформі Microsoft .NET реалізовано ком...
17316. Візуальне програмування – робота з БД Компонентне програмування – робота з обєктами БД 215.38 KB
  Лабораторна робота 3. Візуальне програмування – робота з БД Компонентне програмування – робота з об'єктами БД. 2 год Мета роботи: Зв'язування даних з елементами управління ListBox і TextBox У палітрі компонентів Toolbox відкрийте вкладку Data і перетягніть на форму компонент...
17318. Візуальне програмування – робота з БД Компонентне програмування – робота з обєктами БД 67 KB
  Лабораторна робота 4. Візуальне програмування – робота з БД Компонентне програмування – робота з об'єктами БД. 2 год Мета роботи: Додавання оновлення і видалення даних Розмістіть на формі дві кнопки Button які налаштуйте відповідно до таблиці властивостей ...
17319. Компонентне програмування – робота з обєктами БД 1.17 MB
  Лабораторна робота 5 Компонентне програмування – робота з об'єктами БД. Мета роботи: 1. Розробка інформаційної моделі схеми бази даних 2. Відображення даних із зв'язаних таблиць 1. Розробка інформаційної моделі схеми бази даних Розробка діаграми дозволяє візуа...
17320. Робота з XML-документами 22.45 KB
  Парадигми програмування Кредит 2 Лабораторна робота 6. Робота з XMLдокументами Мета роботи: Створення і обробка XMLдокументів Завдання для самостійної роботи 1. Виконати приклади лекцій 910 і продемонструвати їхню роботу. 2. Створити проекти з аналогічною функц...