21192

Множення матриць. Поняття детермінанта

Реферат

Математика и математический анализ

Множення матриць. Розглянемо якісно нову відмінну від введених в попередній лекції операцій а саме нелінійну операцію множення матриць. Визначити операцію множення матриць це означає вказати яким чином даній парі матриць ставиться у відповідність третя матриця яка і буде їх добутком.

Украинкский

2013-08-02

255.5 KB

2 чел.

Множення матриць. Поняття детермінанта.

Множення матриць. Розглянемо якісно нову, відмінну від введених в попередній лекції операцій, а саме нелінійну операцію - множення матриць. Визначити операцію множення матриць - це означає вказати, яким чином даній парі матриць ставиться у відповідність третя матриця, яка і буде їх добутком. Щоб ввести таке визначення, повернемось до системи рівнянь (3.1), з якої було вилучено поняття матриці . Нехай кожна величина  в цій системі залежить від змінних , , які можуть визначати кількість виробів, випущених -тим цехом кожного з заводів.

 (4.1)

Ця залежність характеризується матрицею , де , , тобто матриця B має розмірність . Якщо підставити відношення (4.1) в систему (3.1) і призвести подібні члени, то отримаємо формули, які виражають величини через величини :

 (4.2)

Таким чином, величини  та  зв”язані системою рівнянь (4.2). Тільки тепер ця система характеризується матрицею C з елементами:

 (4.3)

Природно вважати цю матрицю добутком матриць A та B: . Більш детально. Якщо

, , (4.4)

то  

. (4.5)

Елементи матриці  визначаються за формулами (4.3), які можна розглядати як множення m-го рядка матриці А на j-й стовпець матриці В. З цього витікає, що для можливості множення матриць кількісь стовпців в лівій матриці А повинна дорівнювати кількості рядків в правій матриці В, тобто можна множити матрицю mn тільки на матрицю . З цього також витікає, що якщо добуток  можливий, то добуток  може бути і неможливим, а якщо він і можливий, то матиме інший результат.

Приклад 1:

, .

Тоді одержимо добуток:

=

Добуток  неможливий.

Приклад 2:

 В цьому випадку можливі обидва добутки, але результати будуть різні:

 

 З визначення добутку випливають властивості множення матриць:

1)  AB  BA,

2)  (AB)C = A(BC),

3)  (A+B)C = AC+BC,   (4.6)

4)  AE = A, де E - одинична матриця.

Приклад 3. ,  ,  .

Знайти і .

1)

.

2)

.

 Слід підкреслити, що множення матриць є нелінійною операцією, якісно відмінною від додавання матриць та множення на число, які є лінійними операціями. Якісна відмінність цих операцій виявляється в тому, що лінійні операції переносяться без змін з цілого на складові частини, а нелінійні операції такою властивістю не володіють. Наприклад, хай маємо матриці  та , кожна з яких являє собою суму двох інших матриць. Множення матриць  та  на числа  та  зведеться до множення їх складових:

, . (4.7)

Сума матриць  та  рівносильна сумі їх складових:

 (4.8)

Множення матриць таких властивостей не мають. Дійсно, в добутку  крім добутку однойменних складових з”явились і перехресні добутки. Особливо наочно це проявляється при піднесенні до квадрату:

 (4.9)

Введення добутку элементів множини дозволяє визначити більш складні математичні структури, ніж лінійні простори, а саме алгебри. Більш точно, множина елементів лінійного простору, де введено операцію множення двох елементів, яка задовольняє властивостям, аналогічним властивостям дійсних чисел (1-9) (Лекція 2) називають алгеброю. Приклад: Множина квадратних матриць одинакової розмірності.

Поняття детермінанта. З квадратною матрицею можна зв”язати дуже важливу числову характеристику. Ця характеристика обчислюється за элементами матриці, але походження процедури обчислення цієї характеристики зв”язано з розв”язанням системи лінійних рівнянь. Розглянемо. наприклад, систему трьох рівнянь

 (4.10)

Розв”язуючи цю систему за допомогою підстановок знайдемо, що , де

     (4.11)

 (4.12)

Права частина в формулі (4.11) складається з елементів матриці А системи рівнянь, причому в кожний добуток входить по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпця цієї матриці. Перші індекси елементів знаходяться в порядку зростання, а другі утворюють всі можливі перестановки, причому добуток входить із знаком (+), якщо другі індекси складають парну перестановку, і з знаком (-), якщо непарну. Формула (4.12) утворюється по тому ж правилу з матриці, яка відрізняється від А тим, що її перший стовпець замінено на стовпець з вільних членів  системи (4.10).

Число, яке обчислюється за елементами матриці таким чином, називається детермінантом (визначником) матриці: .

Термін детермінант в сучасному значенні ввів О. Коші в 1815р. (Cauchy Augustin, 1789-1857, Франція) Ідея детермінанта належить Г Лейбніцу, який в 1693р. застосував його для розв”язання системи рівнянь. Потім в 1750р. метод детермінантів знову був розроблений Г. Крамером (Cramer Gabriel, 1704-1752, Швейцарія). А. Вандермонд (Vandermonde A.T., 1735-1796, Франція) в 1772 опублікував перше широке вивчення детермінантів, а повну їх теорію дали в 1812р. Ж. Біне (Binet J.F.M., 1786-1856, Франція) і О. Коші.

Детермінант можна записати за допомогою квадратної таблиці елементів , позначивши її, на відміну від матриці, прямими дужками (таке позначення ввів А. Кєлі в 1841р.)

(4.13)

Кількість рядків, чи стовпців, визначає порядок детермінанту. (4.13) є детермінант 3-го порядку. Для розкриття цієї таблиці існує зручне мнемонічне правило Саррюса.

 (4.14)

Тут лінії з’єднують елементи, які потрібно помножити. Аналогічно обчислюється детермінант другого порядку:

,  (4.15)

або застосовуючи мнемонічне правило

.

Приклад 4.

.

Узагальнюючи формули (4.13) та (4.15) можна сформулювати поняття детермінанта n-го порядка: - це є таблиця з n рядків та n стовпців, яка розкривається за правилом

== (4.16)

де сума береться за всіма можливими перестановками другого індексу, а  позначає число інверсій в цих перестановках. Ця сума є сума доданків, кожне з яких являє собою добуток n чисел, взятих по одному з кожного рядка та кожного стовпця детермінанта та розташованих таким чином, що перший індекс множника утворює основну перестановку (натуральний порядок), а другий індекс утворює всі можливі перестановки. Знак перед добутком визначається парністю перестановки другого індекса.

Контрольні питання.

1. Сформулюйте правило множення матриць.

2. Які матриці називаються комутуючими?

3. Як розкриваються детермінанти другого та третього порядку?

4. Сформулюйте поняття детермінанту довільного порядку.

PAGE  39


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65527. Особливості саморегуляції курсантів у період адаптації до навчання в цивільному вищому навчальному закладі 221 KB
  Проблема психічної саморегуляції курсантів у період адаптації до навчання в цивільному вищому навчальному закладі є актуальною для підготовки військових фахівців у системі інтегрованої вищої освіти яка дозволяє разом із цивільною спеціальністю опановувати військовим фахом.
65528. ТРИВИМІРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ У ПРОМИСЛОВОМУ ДИЗАЙНІ УКРАЇНИ КІНЦЯ XX – ПОЧАТКУ XXI СТОЛІТТЯ 187 KB
  За цих умов набуває актуальності проблема підготовки фахівців з якісно новим рівнем професійного мислення основаного на знанні компютерних інструментів і сучасних технологій передусім тривимірного моделювання умінням правильного вибору компютерної системи для розробки дизайнерського продукту.
65529. АДМІНІСТРАТИВНО-ПРАВОВА ОХОРОНА АТМОСФЕРНОГО ПОВІТРЯ 168.5 KB
  Одним із таких чинників що несприятливо впливають на здоровя людей є забруднення атмосферного повітря спричинене викидами від стаціонарних і пересувних джерел а також у результаті транскордонного перенесення повітряних мас.
65530. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ В БАГАТОМАШИННИХ ШАХТНИХ ЕЛЕКТРОТЕХНІЧНИХ КОМПЛЕКСАХ 331.5 KB
  Зокрема це стосується випадку захисного вимкненні електромережі технологічної дільниці шахти в разі наявності небезпечного струму витоку на землю. Збільшення рівнів та інтервалів існування електрорушійної сили ЕРС вибігу двигунів через збільшення потужності останніх та ємності...
65531. СИСТЕМНІ ТА ФІЗИКО-МЕХАНІЧНІ ОСНОВИ ПРОЕКТУВАННЯ РОЗПУШУВАЧІВ ҐРУНТУ 411.5 KB
  Розробка комплексу нових знарядь можлива при системному підході тобто при розгляді обробітку ґрунту як доповнення до природних ґрунтоутворюючих процесів на основі більш повного урахування механічних фізичних і біологічних властивостей ґрунту.
65532. Створення адаптивних засобів обліку і аналізу якості електроенергії 391 KB
  Обсяг спожитої електричної енергії фіксується електролічильниками а її якість контролюється приладами для вимірювання показників якості. Подана робота присвячена питанням розробки адаптивних засобів обліку електроенергії вимірювання показників її якості та відтворення...
65533. МЕТОДИ, МОДЕЛІ ТА ЗАСОБИ ПРОЕКТУВАННЯ І УПРАВЛІННЯ БІЗНЕС-ПРОЦЕСАМИ ДЛЯ ОРГАНІЗАЦІЙНО-ТЕХНІЧНИХ ОБ’ЄКТІВ УПРАВЛІННЯ 721 KB
  Сучасне процесне управління підприємствами і організаціями включає в себе управління гнучкими бізнеспроцесами орієнтованими на користувача і мінливими під впливом внутрішніх і зовнішніх чинників.
65534. МАЛЕ ПІДПРИЄМНИЦТВО В СИСТЕМІ РЕГІОНАЛЬНОГО РОЗВИТКУ 322 KB
  Хоч протягом усього пeрiоду ринкових рeформ в eкономiчнiй лiтeртурi бгто увги придiлялося проблeмм розвитку в Укрїнi млого бiзнeсу лe його стн всe щe злишється нeздовiльним. Проблeм полягє нвiть нe в кiлькiсних прмeтрх функцiонувння цiєї сфeри якi поступово полiпшуються нсмпeрeд у структурi вiтчизняного...
65535. Інформаційна технологія синтезу моделей систем управління автоматизованими процесами 1.05 MB
  При створенні нових інформаційних технологій ІТ сучасні компютери та різні спеціалізовані математичні моделі слугують фундаментом побудови нових методів перетворення інформації для складних систем управління ССУ.