21192

Множення матриць. Поняття детермінанта

Реферат

Математика и математический анализ

Множення матриць. Розглянемо якісно нову відмінну від введених в попередній лекції операцій а саме нелінійну операцію множення матриць. Визначити операцію множення матриць це означає вказати яким чином даній парі матриць ставиться у відповідність третя матриця яка і буде їх добутком.

Украинкский

2013-08-02

255.5 KB

2 чел.

Множення матриць. Поняття детермінанта.

Множення матриць. Розглянемо якісно нову, відмінну від введених в попередній лекції операцій, а саме нелінійну операцію - множення матриць. Визначити операцію множення матриць - це означає вказати, яким чином даній парі матриць ставиться у відповідність третя матриця, яка і буде їх добутком. Щоб ввести таке визначення, повернемось до системи рівнянь (3.1), з якої було вилучено поняття матриці . Нехай кожна величина  в цій системі залежить від змінних , , які можуть визначати кількість виробів, випущених -тим цехом кожного з заводів.

 (4.1)

Ця залежність характеризується матрицею , де , , тобто матриця B має розмірність . Якщо підставити відношення (4.1) в систему (3.1) і призвести подібні члени, то отримаємо формули, які виражають величини через величини :

 (4.2)

Таким чином, величини  та  зв”язані системою рівнянь (4.2). Тільки тепер ця система характеризується матрицею C з елементами:

 (4.3)

Природно вважати цю матрицю добутком матриць A та B: . Більш детально. Якщо

, , (4.4)

то  

. (4.5)

Елементи матриці  визначаються за формулами (4.3), які можна розглядати як множення m-го рядка матриці А на j-й стовпець матриці В. З цього витікає, що для можливості множення матриць кількісь стовпців в лівій матриці А повинна дорівнювати кількості рядків в правій матриці В, тобто можна множити матрицю mn тільки на матрицю . З цього також витікає, що якщо добуток  можливий, то добуток  може бути і неможливим, а якщо він і можливий, то матиме інший результат.

Приклад 1:

, .

Тоді одержимо добуток:

=

Добуток  неможливий.

Приклад 2:

 В цьому випадку можливі обидва добутки, але результати будуть різні:

 

 З визначення добутку випливають властивості множення матриць:

1)  AB  BA,

2)  (AB)C = A(BC),

3)  (A+B)C = AC+BC,   (4.6)

4)  AE = A, де E - одинична матриця.

Приклад 3. ,  ,  .

Знайти і .

1)

.

2)

.

 Слід підкреслити, що множення матриць є нелінійною операцією, якісно відмінною від додавання матриць та множення на число, які є лінійними операціями. Якісна відмінність цих операцій виявляється в тому, що лінійні операції переносяться без змін з цілого на складові частини, а нелінійні операції такою властивістю не володіють. Наприклад, хай маємо матриці  та , кожна з яких являє собою суму двох інших матриць. Множення матриць  та  на числа  та  зведеться до множення їх складових:

, . (4.7)

Сума матриць  та  рівносильна сумі їх складових:

 (4.8)

Множення матриць таких властивостей не мають. Дійсно, в добутку  крім добутку однойменних складових з”явились і перехресні добутки. Особливо наочно це проявляється при піднесенні до квадрату:

 (4.9)

Введення добутку элементів множини дозволяє визначити більш складні математичні структури, ніж лінійні простори, а саме алгебри. Більш точно, множина елементів лінійного простору, де введено операцію множення двох елементів, яка задовольняє властивостям, аналогічним властивостям дійсних чисел (1-9) (Лекція 2) називають алгеброю. Приклад: Множина квадратних матриць одинакової розмірності.

Поняття детермінанта. З квадратною матрицею можна зв”язати дуже важливу числову характеристику. Ця характеристика обчислюється за элементами матриці, але походження процедури обчислення цієї характеристики зв”язано з розв”язанням системи лінійних рівнянь. Розглянемо. наприклад, систему трьох рівнянь

 (4.10)

Розв”язуючи цю систему за допомогою підстановок знайдемо, що , де

     (4.11)

 (4.12)

Права частина в формулі (4.11) складається з елементів матриці А системи рівнянь, причому в кожний добуток входить по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпця цієї матриці. Перші індекси елементів знаходяться в порядку зростання, а другі утворюють всі можливі перестановки, причому добуток входить із знаком (+), якщо другі індекси складають парну перестановку, і з знаком (-), якщо непарну. Формула (4.12) утворюється по тому ж правилу з матриці, яка відрізняється від А тим, що її перший стовпець замінено на стовпець з вільних членів  системи (4.10).

Число, яке обчислюється за елементами матриці таким чином, називається детермінантом (визначником) матриці: .

Термін детермінант в сучасному значенні ввів О. Коші в 1815р. (Cauchy Augustin, 1789-1857, Франція) Ідея детермінанта належить Г Лейбніцу, який в 1693р. застосував його для розв”язання системи рівнянь. Потім в 1750р. метод детермінантів знову був розроблений Г. Крамером (Cramer Gabriel, 1704-1752, Швейцарія). А. Вандермонд (Vandermonde A.T., 1735-1796, Франція) в 1772 опублікував перше широке вивчення детермінантів, а повну їх теорію дали в 1812р. Ж. Біне (Binet J.F.M., 1786-1856, Франція) і О. Коші.

Детермінант можна записати за допомогою квадратної таблиці елементів , позначивши її, на відміну від матриці, прямими дужками (таке позначення ввів А. Кєлі в 1841р.)

(4.13)

Кількість рядків, чи стовпців, визначає порядок детермінанту. (4.13) є детермінант 3-го порядку. Для розкриття цієї таблиці існує зручне мнемонічне правило Саррюса.

 (4.14)

Тут лінії з’єднують елементи, які потрібно помножити. Аналогічно обчислюється детермінант другого порядку:

,  (4.15)

або застосовуючи мнемонічне правило

.

Приклад 4.

.

Узагальнюючи формули (4.13) та (4.15) можна сформулювати поняття детермінанта n-го порядка: - це є таблиця з n рядків та n стовпців, яка розкривається за правилом

== (4.16)

де сума береться за всіма можливими перестановками другого індексу, а  позначає число інверсій в цих перестановках. Ця сума є сума доданків, кожне з яких являє собою добуток n чисел, взятих по одному з кожного рядка та кожного стовпця детермінанта та розташованих таким чином, що перший індекс множника утворює основну перестановку (натуральний порядок), а другий індекс утворює всі можливі перестановки. Знак перед добутком визначається парністю перестановки другого індекса.

Контрольні питання.

1. Сформулюйте правило множення матриць.

2. Які матриці називаються комутуючими?

3. Як розкриваються детермінанти другого та третього порядку?

4. Сформулюйте поняття детермінанту довільного порядку.

PAGE  39


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30755. Состав арматурных работ на строительной площадке. Классификация арматуры. Арматурные изделия. Устройство защитного слоя арматуры 17.79 KB
  Классификация арматуры. Устройство защитного слоя арматуры. При монтаже сборных железобетонных конструкций выполняются сварка выпусков арматуры и закладных деталей натяжение проволоки и канатов преднапряженных конструкциях а также создание каркаса или внешнего армирования при усилении конструкции реконструируемых зданий и сооружений. В состав арматурных работ на строительной площадке входят: разгрузка приемка и складирование поступающих арматурных изделий и товарной арматуры; изготовление нестандартных арматурных изделий; укрупнительная...
30756. Сущность зимнего бетонирования. Модуль поверхности конструкций, его влияние на выбор метода бетонирования. Понятие критической прочности 17.93 KB
  Продолжительность твердения и конечные свойства бетона в значительной степени зависят от температурного режима и состава бетона в том числе от вида цемента. Для твердения бетона наиболее благоприятной температурой является 1528гр. Кроме того вода образует вокруг крупного заполнителя обволакивающую ледяную пленку которая при оттаивании нарушает сцепление монолитность бетона. При раннем замораживании по тем же причинам резко снижается сцепление бетона с арматурой увеличивается пористость что влечёт за собой снижение прочности...
30757. Классификация методов зимнего бетонирования. Выбор метода зимнего бетонирования 16.24 KB
  Беспрогревные – основаны на сохранении начального тепла введённого в бетонную смесь при изготовлении тепла выделяющегося в результате гидратации цемента экзотермия а также тепла введённого в бетонную смесь до укладки в опалубку: термос предварительный электроразогрев бетонной смеси использование хим. Термос – основан на использовании тепла введённого в бетон до укладки его в опалубочную форму – в момент приготовления на РБУ растворобетонный узел и тепла выделяемого цементом в процессе твердения бетона. Mn 3 – термос до 15...
30758. Сущность метода термоса. График температурного режима 15.31 KB
  Термос – основан на использовании тепла введённого в бетон до укладки его в опалубочную форму – в момент приготовления на РБУ растворобетонный узел и тепла выделяемого цементом в процессе твердения бетона. модуль поверхности^2 tв Температура бетоной смеси поступающей на объёкт и температура после укладки рассчитываются согласно эмпирическим зависимостям.
30759. Сущность метода предварительного электроразогрева бетонной смеси. График 15 KB
  Сущность метода предварительного электроразогрева бетонной смеси. Предварительный электроразогрев – основан на кратковременном электроразогреве бетонной смеси от 05градусов до 7090 градусов в специальных установках бункер кузов опалубка от сети 380 В. Назначаем температуру приготовления бетонной смеси. Если прочность ниже требуемой – повышаем температуру разогрева бетонной смеси.
30760. Прогревные методы зимнего бетонирования. Режимы электропрогрева. Область применения 18.23 KB
  Подведение электрической энергии к бетону: Пластинчатые электроды 2фазы Полосовые электроды 2 фазы сквозной прогрев 3 фазы – периферийный прогрев Стержневые электроды 3 фазы в виде плоских групп3 фазы – одиночные стержневые Струнные 2 фазы – по периметру.
30761. Анализ доходов организации, направления его совершенствования 396 KB
  Рыночная экономика определяет конкретные требования к системе управления организациями. Необходимо более быстрое реагирование на изменение хозяйственной ситуации с целью поддержания устойчивого финансового состояния и постоянного совершенствования продаваемого продукта в соответствии с изменением конъюнктуры рынка.
30762. Индукционный метод прогрева. Прогрев греющим проводом. Греющая опалубка 16.25 KB
  Прогревные – основаны на введение тепла в бетон в процессе его твердения: электропрогрев электрод греющий провод индукция термоактивная опалубка воздухопрогрев инфракрасный тепляки паропрогрев. Сущность метода искусственного прогрева и нагрева заключается в повышении температуры уложенного бетона до максимально допустимой и поддержании её в течении времени за которое бетон набирает критическую или заданную прочность. Искусственный прогрев и нагрев бетона применяют при бетонировании конструкции с модулем поверхности больше или...
30763. Бетонирование с использованием химических добавок 15.91 KB
  вва введённые в бетон ускоряют процесс твердения в начальный период выдерживания бетона. За счет ускорения твердения бетона можно снизить расход цемента пара увеличить оборачиваемость форм. Такие добавки как хлорид кальция хлориднитритнитрат кальция хлорид алюминия сульфат натрия при естественном твердении бетона при положительной температуре увеличивают скорость набора прочности в 3–4 раза что позволяет через 24 часа с момента окончания формования получать бетон с 50–60 отпускной прочностью. Применение бетонов с противоморозными...