21192

Множення матриць. Поняття детермінанта

Реферат

Математика и математический анализ

Множення матриць. Розглянемо якісно нову відмінну від введених в попередній лекції операцій а саме нелінійну операцію множення матриць. Визначити операцію множення матриць це означає вказати яким чином даній парі матриць ставиться у відповідність третя матриця яка і буде їх добутком.

Украинкский

2013-08-02

255.5 KB

2 чел.

Множення матриць. Поняття детермінанта.

Множення матриць. Розглянемо якісно нову, відмінну від введених в попередній лекції операцій, а саме нелінійну операцію - множення матриць. Визначити операцію множення матриць - це означає вказати, яким чином даній парі матриць ставиться у відповідність третя матриця, яка і буде їх добутком. Щоб ввести таке визначення, повернемось до системи рівнянь (3.1), з якої було вилучено поняття матриці . Нехай кожна величина  в цій системі залежить від змінних , , які можуть визначати кількість виробів, випущених -тим цехом кожного з заводів.

 (4.1)

Ця залежність характеризується матрицею , де , , тобто матриця B має розмірність . Якщо підставити відношення (4.1) в систему (3.1) і призвести подібні члени, то отримаємо формули, які виражають величини через величини :

 (4.2)

Таким чином, величини  та  зв”язані системою рівнянь (4.2). Тільки тепер ця система характеризується матрицею C з елементами:

 (4.3)

Природно вважати цю матрицю добутком матриць A та B: . Більш детально. Якщо

, , (4.4)

то  

. (4.5)

Елементи матриці  визначаються за формулами (4.3), які можна розглядати як множення m-го рядка матриці А на j-й стовпець матриці В. З цього витікає, що для можливості множення матриць кількісь стовпців в лівій матриці А повинна дорівнювати кількості рядків в правій матриці В, тобто можна множити матрицю mn тільки на матрицю . З цього також витікає, що якщо добуток  можливий, то добуток  може бути і неможливим, а якщо він і можливий, то матиме інший результат.

Приклад 1:

, .

Тоді одержимо добуток:

=

Добуток  неможливий.

Приклад 2:

 В цьому випадку можливі обидва добутки, але результати будуть різні:

 

 З визначення добутку випливають властивості множення матриць:

1)  AB  BA,

2)  (AB)C = A(BC),

3)  (A+B)C = AC+BC,   (4.6)

4)  AE = A, де E - одинична матриця.

Приклад 3. ,  ,  .

Знайти і .

1)

.

2)

.

 Слід підкреслити, що множення матриць є нелінійною операцією, якісно відмінною від додавання матриць та множення на число, які є лінійними операціями. Якісна відмінність цих операцій виявляється в тому, що лінійні операції переносяться без змін з цілого на складові частини, а нелінійні операції такою властивістю не володіють. Наприклад, хай маємо матриці  та , кожна з яких являє собою суму двох інших матриць. Множення матриць  та  на числа  та  зведеться до множення їх складових:

, . (4.7)

Сума матриць  та  рівносильна сумі їх складових:

 (4.8)

Множення матриць таких властивостей не мають. Дійсно, в добутку  крім добутку однойменних складових з”явились і перехресні добутки. Особливо наочно це проявляється при піднесенні до квадрату:

 (4.9)

Введення добутку элементів множини дозволяє визначити більш складні математичні структури, ніж лінійні простори, а саме алгебри. Більш точно, множина елементів лінійного простору, де введено операцію множення двох елементів, яка задовольняє властивостям, аналогічним властивостям дійсних чисел (1-9) (Лекція 2) називають алгеброю. Приклад: Множина квадратних матриць одинакової розмірності.

Поняття детермінанта. З квадратною матрицею можна зв”язати дуже важливу числову характеристику. Ця характеристика обчислюється за элементами матриці, але походження процедури обчислення цієї характеристики зв”язано з розв”язанням системи лінійних рівнянь. Розглянемо. наприклад, систему трьох рівнянь

 (4.10)

Розв”язуючи цю систему за допомогою підстановок знайдемо, що , де

     (4.11)

 (4.12)

Права частина в формулі (4.11) складається з елементів матриці А системи рівнянь, причому в кожний добуток входить по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпця цієї матриці. Перші індекси елементів знаходяться в порядку зростання, а другі утворюють всі можливі перестановки, причому добуток входить із знаком (+), якщо другі індекси складають парну перестановку, і з знаком (-), якщо непарну. Формула (4.12) утворюється по тому ж правилу з матриці, яка відрізняється від А тим, що її перший стовпець замінено на стовпець з вільних членів  системи (4.10).

Число, яке обчислюється за елементами матриці таким чином, називається детермінантом (визначником) матриці: .

Термін детермінант в сучасному значенні ввів О. Коші в 1815р. (Cauchy Augustin, 1789-1857, Франція) Ідея детермінанта належить Г Лейбніцу, який в 1693р. застосував його для розв”язання системи рівнянь. Потім в 1750р. метод детермінантів знову був розроблений Г. Крамером (Cramer Gabriel, 1704-1752, Швейцарія). А. Вандермонд (Vandermonde A.T., 1735-1796, Франція) в 1772 опублікував перше широке вивчення детермінантів, а повну їх теорію дали в 1812р. Ж. Біне (Binet J.F.M., 1786-1856, Франція) і О. Коші.

Детермінант можна записати за допомогою квадратної таблиці елементів , позначивши її, на відміну від матриці, прямими дужками (таке позначення ввів А. Кєлі в 1841р.)

(4.13)

Кількість рядків, чи стовпців, визначає порядок детермінанту. (4.13) є детермінант 3-го порядку. Для розкриття цієї таблиці існує зручне мнемонічне правило Саррюса.

 (4.14)

Тут лінії з’єднують елементи, які потрібно помножити. Аналогічно обчислюється детермінант другого порядку:

,  (4.15)

або застосовуючи мнемонічне правило

.

Приклад 4.

.

Узагальнюючи формули (4.13) та (4.15) можна сформулювати поняття детермінанта n-го порядка: - це є таблиця з n рядків та n стовпців, яка розкривається за правилом

== (4.16)

де сума береться за всіма можливими перестановками другого індексу, а  позначає число інверсій в цих перестановках. Ця сума є сума доданків, кожне з яких являє собою добуток n чисел, взятих по одному з кожного рядка та кожного стовпця детермінанта та розташованих таким чином, що перший індекс множника утворює основну перестановку (натуральний порядок), а другий індекс утворює всі можливі перестановки. Знак перед добутком визначається парністю перестановки другого індекса.

Контрольні питання.

1. Сформулюйте правило множення матриць.

2. Які матриці називаються комутуючими?

3. Як розкриваються детермінанти другого та третього порядку?

4. Сформулюйте поняття детермінанту довільного порядку.

PAGE  39


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85804. Створення кінематичних елементів 492.45 KB
  Щоб описати рух тіла, треба встановити закон зміни в часі координат чи швидкостей тіла відносно інших тіл. Зміна положення тіла в просторі з плином часу характеризується переміщенням. Це векторна величина, яка визначає не лише зміну положення тіла, а й напрям, у якому відбувався рух.
85805. Створення 3D-моделі за допомогою «операції обертання» по її плоскому кресленню 1.66 MB
  Розглянемо алгоритм створення деталі Маточина по її плоскому кресленнюмал. Проаналізувавши креслення ви помітите що деталь складається з тіл обертаннядвох циліндрів усіченого конуса і вирізаного отвору по центру деталі різного діаметру що складається з двох циліндрів мал.
85806. Відсікання частин деталей площиною та за ескізом 1.67 MB
  Проаналізуйте її геометричну форму, визначте симетричність. Ви переконалися в тому, що зовнішня, видима частина деталі читається легко, а внутрішня, зображена штриховими лініями, значно важче. Щоб полегшити сприйняття внутрішньої будови деталі, його треба зробити видимим.
85807. Створення елементів по перерізам 1.1 MB
  Мета: Отримати практичні навички по роботі з САПР КОМПАС-3D та навчитись створювати елементи по перерізам. Теоретичні відомості: Перш ніж художник приступає до зображення глека (мал. 255), він аналізує, з яких геометричних тіл складається цей предмет. Перший етап. Визначення просторового положення глека...
85808. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ФОРМИРОВАНИЯ ХУДОЖЕСТВЕННО-ТВОРЧЕСКИХ УМЕНИЙ У ШКОЛЬНИКОВ ПОСРЕДСТВОМ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ДОСУГОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ (НА ПРИМЕРЕ КРУЖКОВОЙ РАБОТЫ ПО ТЕХНОЛОГИИ) 4.59 MB
  Внеклассная работа  органическая часть всей учебно-воспитательной деятельности школы. Она является продолжением и развитием процесса, осуществляемого на уроках, и подчинена общим учебно-воспитательным задачам. Человечество подошло к черте, когда деятельность оценивается, прежде всего, по её социальным, экологическим, экономическим и другим последствиям. Главная цель преобразования «Трудового обучения» в «Технологию»
85809. ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ МЕЖДУ «1С» И «ST-МОБИЛЬНАЯ ТОРГОВЛЯ» 1.8 MB
  В последнее время подавляющее большинство работников сферы торговли стали использовать методы работы с торговыми точками посредством торговых представителей. Торговые представители в свою очередь обладают планшетными компьютерами с установленным на них программным продуктом «ST-Мобильная Торговля». В офисной части компании-поставщика, в частности супервайзеры, аналитики или руководители, используют «1С: Управление торговлей» с установленной подсистемой мобильной торговли.
85810. ОПТИМАЛЬНОЕ НЕПРОИЗВОДСТВЕНННОЕ ПОТРЕБЛЕНИЯ В ОДНОСЕКТОРНОЙ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА 6.04 MB
  Целью работы является разработка математической модели оптимизации потребления в односекторной модели Экономического роста, выявление факторов, влияющих на экономический рост, разработка механизмов их применения их в процессе, обеспечения стабилизации при возникновении кризисных ситуаций в экономике.
85811. ОБЩЕСТВЕННО-ПОЛИТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ В ЯПОНИИ ВО ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ XIX ВЕКА 341.5 KB
  События, происшедшие в Японии в 1853 – 1869 гг., их анализ и место в развитии страны стали почти сразу же одной из главных, к тому же дискуссионных тем в японской исторической науке, актуальность и острота которой сохраняются и в наши дни. Так же тема является актуальной и потому, что в Японии происходили процессы, которые были похожи на ситуацию, сложившуюся в России в результате Октябрьской революции
85812. ОНТОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ГОСУДАРСТВА ПЛАТОНА 268.5 KB
  В раннем возрасте Платон был учеником Кратила, который был последователем Гераклита, потом Платон стал учеником Сократа. В 399 г. Сократа осудили на смерть демократы, и Платон стал держаться подальше от политики воинствующих невежд. Он отправился в Мегару вместе с другими учениками Сократа, где они были приняты Евклидом, но Платон там надолго не задержался. В 388 г., в свои 40 лет, он посетил Италию.