21192

Множення матриць. Поняття детермінанта

Реферат

Математика и математический анализ

Множення матриць. Розглянемо якісно нову відмінну від введених в попередній лекції операцій а саме нелінійну операцію множення матриць. Визначити операцію множення матриць це означає вказати яким чином даній парі матриць ставиться у відповідність третя матриця яка і буде їх добутком.

Украинкский

2013-08-02

255.5 KB

3 чел.

Множення матриць. Поняття детермінанта.

Множення матриць. Розглянемо якісно нову, відмінну від введених в попередній лекції операцій, а саме нелінійну операцію - множення матриць. Визначити операцію множення матриць - це означає вказати, яким чином даній парі матриць ставиться у відповідність третя матриця, яка і буде їх добутком. Щоб ввести таке визначення, повернемось до системи рівнянь (3.1), з якої було вилучено поняття матриці . Нехай кожна величина  в цій системі залежить від змінних , , які можуть визначати кількість виробів, випущених -тим цехом кожного з заводів.

 (4.1)

Ця залежність характеризується матрицею , де , , тобто матриця B має розмірність . Якщо підставити відношення (4.1) в систему (3.1) і призвести подібні члени, то отримаємо формули, які виражають величини через величини :

 (4.2)

Таким чином, величини  та  зв”язані системою рівнянь (4.2). Тільки тепер ця система характеризується матрицею C з елементами:

 (4.3)

Природно вважати цю матрицю добутком матриць A та B: . Більш детально. Якщо

, , (4.4)

то  

. (4.5)

Елементи матриці  визначаються за формулами (4.3), які можна розглядати як множення m-го рядка матриці А на j-й стовпець матриці В. З цього витікає, що для можливості множення матриць кількісь стовпців в лівій матриці А повинна дорівнювати кількості рядків в правій матриці В, тобто можна множити матрицю mn тільки на матрицю . З цього також витікає, що якщо добуток  можливий, то добуток  може бути і неможливим, а якщо він і можливий, то матиме інший результат.

Приклад 1:

, .

Тоді одержимо добуток:

=

Добуток  неможливий.

Приклад 2:

 В цьому випадку можливі обидва добутки, але результати будуть різні:

 

 З визначення добутку випливають властивості множення матриць:

1)  AB  BA,

2)  (AB)C = A(BC),

3)  (A+B)C = AC+BC,   (4.6)

4)  AE = A, де E - одинична матриця.

Приклад 3. ,  ,  .

Знайти і .

1)

.

2)

.

 Слід підкреслити, що множення матриць є нелінійною операцією, якісно відмінною від додавання матриць та множення на число, які є лінійними операціями. Якісна відмінність цих операцій виявляється в тому, що лінійні операції переносяться без змін з цілого на складові частини, а нелінійні операції такою властивістю не володіють. Наприклад, хай маємо матриці  та , кожна з яких являє собою суму двох інших матриць. Множення матриць  та  на числа  та  зведеться до множення їх складових:

, . (4.7)

Сума матриць  та  рівносильна сумі їх складових:

 (4.8)

Множення матриць таких властивостей не мають. Дійсно, в добутку  крім добутку однойменних складових з”явились і перехресні добутки. Особливо наочно це проявляється при піднесенні до квадрату:

 (4.9)

Введення добутку элементів множини дозволяє визначити більш складні математичні структури, ніж лінійні простори, а саме алгебри. Більш точно, множина елементів лінійного простору, де введено операцію множення двох елементів, яка задовольняє властивостям, аналогічним властивостям дійсних чисел (1-9) (Лекція 2) називають алгеброю. Приклад: Множина квадратних матриць одинакової розмірності.

Поняття детермінанта. З квадратною матрицею можна зв”язати дуже важливу числову характеристику. Ця характеристика обчислюється за элементами матриці, але походження процедури обчислення цієї характеристики зв”язано з розв”язанням системи лінійних рівнянь. Розглянемо. наприклад, систему трьох рівнянь

 (4.10)

Розв”язуючи цю систему за допомогою підстановок знайдемо, що , де

     (4.11)

 (4.12)

Права частина в формулі (4.11) складається з елементів матриці А системи рівнянь, причому в кожний добуток входить по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпця цієї матриці. Перші індекси елементів знаходяться в порядку зростання, а другі утворюють всі можливі перестановки, причому добуток входить із знаком (+), якщо другі індекси складають парну перестановку, і з знаком (-), якщо непарну. Формула (4.12) утворюється по тому ж правилу з матриці, яка відрізняється від А тим, що її перший стовпець замінено на стовпець з вільних членів  системи (4.10).

Число, яке обчислюється за елементами матриці таким чином, називається детермінантом (визначником) матриці: .

Термін детермінант в сучасному значенні ввів О. Коші в 1815р. (Cauchy Augustin, 1789-1857, Франція) Ідея детермінанта належить Г Лейбніцу, який в 1693р. застосував його для розв”язання системи рівнянь. Потім в 1750р. метод детермінантів знову був розроблений Г. Крамером (Cramer Gabriel, 1704-1752, Швейцарія). А. Вандермонд (Vandermonde A.T., 1735-1796, Франція) в 1772 опублікував перше широке вивчення детермінантів, а повну їх теорію дали в 1812р. Ж. Біне (Binet J.F.M., 1786-1856, Франція) і О. Коші.

Детермінант можна записати за допомогою квадратної таблиці елементів , позначивши її, на відміну від матриці, прямими дужками (таке позначення ввів А. Кєлі в 1841р.)

(4.13)

Кількість рядків, чи стовпців, визначає порядок детермінанту. (4.13) є детермінант 3-го порядку. Для розкриття цієї таблиці існує зручне мнемонічне правило Саррюса.

 (4.14)

Тут лінії з’єднують елементи, які потрібно помножити. Аналогічно обчислюється детермінант другого порядку:

,  (4.15)

або застосовуючи мнемонічне правило

.

Приклад 4.

.

Узагальнюючи формули (4.13) та (4.15) можна сформулювати поняття детермінанта n-го порядка: - це є таблиця з n рядків та n стовпців, яка розкривається за правилом

== (4.16)

де сума береться за всіма можливими перестановками другого індексу, а  позначає число інверсій в цих перестановках. Ця сума є сума доданків, кожне з яких являє собою добуток n чисел, взятих по одному з кожного рядка та кожного стовпця детермінанта та розташованих таким чином, що перший індекс множника утворює основну перестановку (натуральний порядок), а другий індекс утворює всі можливі перестановки. Знак перед добутком визначається парністю перестановки другого індекса.

Контрольні питання.

1. Сформулюйте правило множення матриць.

2. Які матриці називаються комутуючими?

3. Як розкриваються детермінанти другого та третього порядку?

4. Сформулюйте поняття детермінанту довільного порядку.

PAGE  39


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82323. Развитие промышленности, сельского хозяйства современного Казахстана 31.59 KB
  К числу таких успехов определяющих облик современного Казахстана за годы независимости относится гармоничное развитие как сырьевой так и обрабатывающей составляющих экономики республики. Ресурсный потенциал Казахстана в СНГ уступает лишь России. Из стран Каспийского бассейна Казахстан располагает наиболее значительными запасами углеводородов от 2 до 6 млрд.
82324. Международное положение современного Казахстана 33.2 KB
  Казахстан вышел на мировую арену как полноценный субъект международного права За две недели до конца 1991 г. независимость Казахстана признали 18 государств среди них: Турция США. В первый год независимости Казахстан признали 108 стран мира 70 из них открыли дипломатические представительства.
82325. Главные достижения страны за годы независимости 30.23 KB
  30 августа 1995 года на всенародном референдуме принимается ныне действующая Конституция Республики Казахстан. Акмола связанное с геополитическими экономическими причинами развития Казахстана. Разработана и принята к реализации Программа О мерах по реализации стратегического развития Казахстана до 2030 года.
82326. Принятие государственных документов независимости и государственных символов Казахстана. Авторы государственных символов 29.68 KB
  Самостоятельно определяет и проводит внутреннюю и внешнюю политику. С государствами мира строит свои взаимоотношения на принципах международного права. Главой РК и ее исполнительной власти является Президент. Высшая законодательная власть принадлежит Парламенту РК.
82327. Саки. Территория их расселения. Хозяйство, общественное устройство и культура 36.53 KB
  В эпоху раннего железного века на территории Казахстана были сформированы первые племенные союзы, которые известны под именем саков. Саки это группа племен, в которую входила: даха (массагеты), саки - рауки (тиграхауда), исседоны, аримаспы и другие.
82328. Казахстан в послевоенный период (1946-1950). Социально- политическое развитие 29.84 KB
  Из войны Советский Союз вышел экономически значительно ослабленным. За время войны было разрушено 1710 населенных пунктов городского типа и 70 тысяч деревень и селений 25 млн. Последствия войны оказались нелегкими и для Казахстана. Рабочие и специалисты эвакуированные в годы войны в Казахстан вернулись на родину.
82329. Казахстан в период завоевательных подходов Чингиз хана 41.46 KB
  Чингисхан родился на берегу реки Онон в Монголии около 1155 г. (по другим источникам 1162), первоначально носил имя Темучин (Темуджин). Согласно монгольскому преданию, Темучин происходил из рода кият. Его мать была из племени конграт
82330. Освоение целинных земель в Казахстане – 1954-1956гг. Цели, результаты, последствия 30.79 KB
  В период массового освоения целинных земель много говорилось об интенсификации процесса, укреплении материально-технической базы. Но в условиях экстенсивного земледелия это зачастую не соблюдалось. В результате нарушался экологический баланс (эрозия почв, выветривание почв).
82331. Образование Казахского ханства 29.72 KB
  Вхождение отдельных казахских племен в разные государства, войны и раздоры между родами и племенами стали преградой на пути их объединения в единую народность. Преодолеть эту раздробленность, политическую разобщенность выпало на долю султанов Жаныбека и Керея