21192

Множення матриць. Поняття детермінанта

Реферат

Математика и математический анализ

Множення матриць. Розглянемо якісно нову відмінну від введених в попередній лекції операцій а саме нелінійну операцію множення матриць. Визначити операцію множення матриць це означає вказати яким чином даній парі матриць ставиться у відповідність третя матриця яка і буде їх добутком.

Украинкский

2013-08-02

255.5 KB

2 чел.

Множення матриць. Поняття детермінанта.

Множення матриць. Розглянемо якісно нову, відмінну від введених в попередній лекції операцій, а саме нелінійну операцію - множення матриць. Визначити операцію множення матриць - це означає вказати, яким чином даній парі матриць ставиться у відповідність третя матриця, яка і буде їх добутком. Щоб ввести таке визначення, повернемось до системи рівнянь (3.1), з якої було вилучено поняття матриці . Нехай кожна величина  в цій системі залежить від змінних , , які можуть визначати кількість виробів, випущених -тим цехом кожного з заводів.

 (4.1)

Ця залежність характеризується матрицею , де , , тобто матриця B має розмірність . Якщо підставити відношення (4.1) в систему (3.1) і призвести подібні члени, то отримаємо формули, які виражають величини через величини :

 (4.2)

Таким чином, величини  та  зв”язані системою рівнянь (4.2). Тільки тепер ця система характеризується матрицею C з елементами:

 (4.3)

Природно вважати цю матрицю добутком матриць A та B: . Більш детально. Якщо

, , (4.4)

то  

. (4.5)

Елементи матриці  визначаються за формулами (4.3), які можна розглядати як множення m-го рядка матриці А на j-й стовпець матриці В. З цього витікає, що для можливості множення матриць кількісь стовпців в лівій матриці А повинна дорівнювати кількості рядків в правій матриці В, тобто можна множити матрицю mn тільки на матрицю . З цього також витікає, що якщо добуток  можливий, то добуток  може бути і неможливим, а якщо він і можливий, то матиме інший результат.

Приклад 1:

, .

Тоді одержимо добуток:

=

Добуток  неможливий.

Приклад 2:

 В цьому випадку можливі обидва добутки, але результати будуть різні:

 

 З визначення добутку випливають властивості множення матриць:

1)  AB  BA,

2)  (AB)C = A(BC),

3)  (A+B)C = AC+BC,   (4.6)

4)  AE = A, де E - одинична матриця.

Приклад 3. ,  ,  .

Знайти і .

1)

.

2)

.

 Слід підкреслити, що множення матриць є нелінійною операцією, якісно відмінною від додавання матриць та множення на число, які є лінійними операціями. Якісна відмінність цих операцій виявляється в тому, що лінійні операції переносяться без змін з цілого на складові частини, а нелінійні операції такою властивістю не володіють. Наприклад, хай маємо матриці  та , кожна з яких являє собою суму двох інших матриць. Множення матриць  та  на числа  та  зведеться до множення їх складових:

, . (4.7)

Сума матриць  та  рівносильна сумі їх складових:

 (4.8)

Множення матриць таких властивостей не мають. Дійсно, в добутку  крім добутку однойменних складових з”явились і перехресні добутки. Особливо наочно це проявляється при піднесенні до квадрату:

 (4.9)

Введення добутку элементів множини дозволяє визначити більш складні математичні структури, ніж лінійні простори, а саме алгебри. Більш точно, множина елементів лінійного простору, де введено операцію множення двох елементів, яка задовольняє властивостям, аналогічним властивостям дійсних чисел (1-9) (Лекція 2) називають алгеброю. Приклад: Множина квадратних матриць одинакової розмірності.

Поняття детермінанта. З квадратною матрицею можна зв”язати дуже важливу числову характеристику. Ця характеристика обчислюється за элементами матриці, але походження процедури обчислення цієї характеристики зв”язано з розв”язанням системи лінійних рівнянь. Розглянемо. наприклад, систему трьох рівнянь

 (4.10)

Розв”язуючи цю систему за допомогою підстановок знайдемо, що , де

     (4.11)

 (4.12)

Права частина в формулі (4.11) складається з елементів матриці А системи рівнянь, причому в кожний добуток входить по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпця цієї матриці. Перші індекси елементів знаходяться в порядку зростання, а другі утворюють всі можливі перестановки, причому добуток входить із знаком (+), якщо другі індекси складають парну перестановку, і з знаком (-), якщо непарну. Формула (4.12) утворюється по тому ж правилу з матриці, яка відрізняється від А тим, що її перший стовпець замінено на стовпець з вільних членів  системи (4.10).

Число, яке обчислюється за елементами матриці таким чином, називається детермінантом (визначником) матриці: .

Термін детермінант в сучасному значенні ввів О. Коші в 1815р. (Cauchy Augustin, 1789-1857, Франція) Ідея детермінанта належить Г Лейбніцу, який в 1693р. застосував його для розв”язання системи рівнянь. Потім в 1750р. метод детермінантів знову був розроблений Г. Крамером (Cramer Gabriel, 1704-1752, Швейцарія). А. Вандермонд (Vandermonde A.T., 1735-1796, Франція) в 1772 опублікував перше широке вивчення детермінантів, а повну їх теорію дали в 1812р. Ж. Біне (Binet J.F.M., 1786-1856, Франція) і О. Коші.

Детермінант можна записати за допомогою квадратної таблиці елементів , позначивши її, на відміну від матриці, прямими дужками (таке позначення ввів А. Кєлі в 1841р.)

(4.13)

Кількість рядків, чи стовпців, визначає порядок детермінанту. (4.13) є детермінант 3-го порядку. Для розкриття цієї таблиці існує зручне мнемонічне правило Саррюса.

 (4.14)

Тут лінії з’єднують елементи, які потрібно помножити. Аналогічно обчислюється детермінант другого порядку:

,  (4.15)

або застосовуючи мнемонічне правило

.

Приклад 4.

.

Узагальнюючи формули (4.13) та (4.15) можна сформулювати поняття детермінанта n-го порядка: - це є таблиця з n рядків та n стовпців, яка розкривається за правилом

== (4.16)

де сума береться за всіма можливими перестановками другого індексу, а  позначає число інверсій в цих перестановках. Ця сума є сума доданків, кожне з яких являє собою добуток n чисел, взятих по одному з кожного рядка та кожного стовпця детермінанта та розташованих таким чином, що перший індекс множника утворює основну перестановку (натуральний порядок), а другий індекс утворює всі можливі перестановки. Знак перед добутком визначається парністю перестановки другого індекса.

Контрольні питання.

1. Сформулюйте правило множення матриць.

2. Які матриці називаються комутуючими?

3. Як розкриваються детермінанти другого та третього порядку?

4. Сформулюйте поняття детермінанту довільного порядку.

PAGE  39


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61876. Ивритский алфавит – печатные буквы 441.5 KB
  Буквы алфавита Чтобы облегчить запоминание разделим буквы алфавита на 3 группы. Начните с первой: попробуйте переписать буквы несколько раз и старайтесь запомнить их название. Обратите внимание что буквы...
61878. Робота з папером. Композиція до української народної казки «Ріпка» 37.91 MB
  Мета: вчити аналізувати ілюстрації казки, відтворювати її зміст;закріпити вміння різати папір по кривих лініях; розвивати зв’язне мовлення, уяву, фантазії; виховувати акуратність у ході виконання робіт, любов до народної творчості.
61879. Условное форматирование 39.5 KB
  Применение таких параметров формата ячейки, как шрифт, наличие границы и цвет заливки ячейки, можно поставить в зависимость от ряда условий, например, пока значения в этих ячейках не достигнут некоторых контрольных значений.
61880. Организация физического воспитания 262.5 KB
  Влажная уборка проводится ежедневно 2 раза в день после 3 урока физкультуры первой смены и перед началом первого урока физкультуры второй смены при открытых фрамугах силами преподавателей физкультуры. Подвижные игры на переменах физкультурные минутки на уроках проводятся но не во всех классах.
61881. Финансовый анализ в ms excel. Функции для анализа инвестиций 1.29 MB
  Функция П3 вычисляет текущую стоимость ряда равных по величине периодических выплат или единовременной выплаты периодические выплаты постоянной величины называют обыкновенной рентой.