21192

Множення матриць. Поняття детермінанта

Реферат

Математика и математический анализ

Множення матриць. Розглянемо якісно нову відмінну від введених в попередній лекції операцій а саме нелінійну операцію множення матриць. Визначити операцію множення матриць це означає вказати яким чином даній парі матриць ставиться у відповідність третя матриця яка і буде їх добутком.

Украинкский

2013-08-02

255.5 KB

2 чел.

Множення матриць. Поняття детермінанта.

Множення матриць. Розглянемо якісно нову, відмінну від введених в попередній лекції операцій, а саме нелінійну операцію - множення матриць. Визначити операцію множення матриць - це означає вказати, яким чином даній парі матриць ставиться у відповідність третя матриця, яка і буде їх добутком. Щоб ввести таке визначення, повернемось до системи рівнянь (3.1), з якої було вилучено поняття матриці . Нехай кожна величина  в цій системі залежить від змінних , , які можуть визначати кількість виробів, випущених -тим цехом кожного з заводів.

 (4.1)

Ця залежність характеризується матрицею , де , , тобто матриця B має розмірність . Якщо підставити відношення (4.1) в систему (3.1) і призвести подібні члени, то отримаємо формули, які виражають величини через величини :

 (4.2)

Таким чином, величини  та  зв”язані системою рівнянь (4.2). Тільки тепер ця система характеризується матрицею C з елементами:

 (4.3)

Природно вважати цю матрицю добутком матриць A та B: . Більш детально. Якщо

, , (4.4)

то  

. (4.5)

Елементи матриці  визначаються за формулами (4.3), які можна розглядати як множення m-го рядка матриці А на j-й стовпець матриці В. З цього витікає, що для можливості множення матриць кількісь стовпців в лівій матриці А повинна дорівнювати кількості рядків в правій матриці В, тобто можна множити матрицю mn тільки на матрицю . З цього також витікає, що якщо добуток  можливий, то добуток  може бути і неможливим, а якщо він і можливий, то матиме інший результат.

Приклад 1:

, .

Тоді одержимо добуток:

=

Добуток  неможливий.

Приклад 2:

 В цьому випадку можливі обидва добутки, але результати будуть різні:

 

 З визначення добутку випливають властивості множення матриць:

1)  AB  BA,

2)  (AB)C = A(BC),

3)  (A+B)C = AC+BC,   (4.6)

4)  AE = A, де E - одинична матриця.

Приклад 3. ,  ,  .

Знайти і .

1)

.

2)

.

 Слід підкреслити, що множення матриць є нелінійною операцією, якісно відмінною від додавання матриць та множення на число, які є лінійними операціями. Якісна відмінність цих операцій виявляється в тому, що лінійні операції переносяться без змін з цілого на складові частини, а нелінійні операції такою властивістю не володіють. Наприклад, хай маємо матриці  та , кожна з яких являє собою суму двох інших матриць. Множення матриць  та  на числа  та  зведеться до множення їх складових:

, . (4.7)

Сума матриць  та  рівносильна сумі їх складових:

 (4.8)

Множення матриць таких властивостей не мають. Дійсно, в добутку  крім добутку однойменних складових з”явились і перехресні добутки. Особливо наочно це проявляється при піднесенні до квадрату:

 (4.9)

Введення добутку элементів множини дозволяє визначити більш складні математичні структури, ніж лінійні простори, а саме алгебри. Більш точно, множина елементів лінійного простору, де введено операцію множення двох елементів, яка задовольняє властивостям, аналогічним властивостям дійсних чисел (1-9) (Лекція 2) називають алгеброю. Приклад: Множина квадратних матриць одинакової розмірності.

Поняття детермінанта. З квадратною матрицею можна зв”язати дуже важливу числову характеристику. Ця характеристика обчислюється за элементами матриці, але походження процедури обчислення цієї характеристики зв”язано з розв”язанням системи лінійних рівнянь. Розглянемо. наприклад, систему трьох рівнянь

 (4.10)

Розв”язуючи цю систему за допомогою підстановок знайдемо, що , де

     (4.11)

 (4.12)

Права частина в формулі (4.11) складається з елементів матриці А системи рівнянь, причому в кожний добуток входить по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпця цієї матриці. Перші індекси елементів знаходяться в порядку зростання, а другі утворюють всі можливі перестановки, причому добуток входить із знаком (+), якщо другі індекси складають парну перестановку, і з знаком (-), якщо непарну. Формула (4.12) утворюється по тому ж правилу з матриці, яка відрізняється від А тим, що її перший стовпець замінено на стовпець з вільних членів  системи (4.10).

Число, яке обчислюється за елементами матриці таким чином, називається детермінантом (визначником) матриці: .

Термін детермінант в сучасному значенні ввів О. Коші в 1815р. (Cauchy Augustin, 1789-1857, Франція) Ідея детермінанта належить Г Лейбніцу, який в 1693р. застосував його для розв”язання системи рівнянь. Потім в 1750р. метод детермінантів знову був розроблений Г. Крамером (Cramer Gabriel, 1704-1752, Швейцарія). А. Вандермонд (Vandermonde A.T., 1735-1796, Франція) в 1772 опублікував перше широке вивчення детермінантів, а повну їх теорію дали в 1812р. Ж. Біне (Binet J.F.M., 1786-1856, Франція) і О. Коші.

Детермінант можна записати за допомогою квадратної таблиці елементів , позначивши її, на відміну від матриці, прямими дужками (таке позначення ввів А. Кєлі в 1841р.)

(4.13)

Кількість рядків, чи стовпців, визначає порядок детермінанту. (4.13) є детермінант 3-го порядку. Для розкриття цієї таблиці існує зручне мнемонічне правило Саррюса.

 (4.14)

Тут лінії з’єднують елементи, які потрібно помножити. Аналогічно обчислюється детермінант другого порядку:

,  (4.15)

або застосовуючи мнемонічне правило

.

Приклад 4.

.

Узагальнюючи формули (4.13) та (4.15) можна сформулювати поняття детермінанта n-го порядка: - це є таблиця з n рядків та n стовпців, яка розкривається за правилом

== (4.16)

де сума береться за всіма можливими перестановками другого індексу, а  позначає число інверсій в цих перестановках. Ця сума є сума доданків, кожне з яких являє собою добуток n чисел, взятих по одному з кожного рядка та кожного стовпця детермінанта та розташованих таким чином, що перший індекс множника утворює основну перестановку (натуральний порядок), а другий індекс утворює всі можливі перестановки. Знак перед добутком визначається парністю перестановки другого індекса.

Контрольні питання.

1. Сформулюйте правило множення матриць.

2. Які матриці називаються комутуючими?

3. Як розкриваються детермінанти другого та третього порядку?

4. Сформулюйте поняття детермінанту довільного порядку.

PAGE  39


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38026. Элементарные таблицы 60 KB
  Если значение ноль то рамка не требуется; cellpdding= cellspcing= добавляют свободное пространство между данными ячейки и ее границами и между ячейками таблицы соответственно. th т th контейнер ячейки Заголовок : заголовок столбца или строки. Значения: left заголовок прижать к левому краю ячейки center заголовок расположить по центру ячейки right заголовок прижать к правому краю ячейки; vlign= задает положение данных в ячейке Заголовок по вертикали. Значения: bottom заголовок прижать к нижнему краю ячейки middle заголовок...
38027. Продолжение разговора о ссылках 63.5 KB
  Способ первый с помощью атрибута nme имя закладки тэга : Заголовки стих первый стих второй стих третий в нашем примере мы сделали закладками использовав атрибут тэга nme: Заметьте href= stih3 символ решетки перед именем закладки на которую мы ссылаемся обязателен.
38028. Создание форм 45.5 KB
  Помимо атрибута type большинство элементов управления требуют указания атрибутов nme и vlue для идентификации имени и исходного значения если таковое имеется. Вот пример кода создающего текстовое поле: input type=âtextâ nme=âusernmeâ vlue=ââ Этот код может пригодиться при создании текстового поля для ввода имени пользователя при подключении к Webузлу. Для полноты картины можно дополнить его полем пароля: input type=âpsswordâ nme =âuserpssâ vlue=ââ обратите внимание что атрибуту vlue в обоих случаях присвоено...
38029. Создание фреймов 729 KB
  HTML программа имеющая структуру кадров не должна содержать контейнеры body и наоборот. Обычно это файл HTML программы из того же каталога папки что и сам контейнер но может быть и абсолютный адрес файла с любого компьютера. nofrmes т nofrmes контейнер HTML текста для броузеров которые не поддерживают аппарат кадров. Левый фрейм Верхний правый фрейм Нижний правый фрейм Листинг: главный файл html hed title фреймы title hed frmeset cols= 4 frme frmeborder=yes src= left.
38030. Каскадные таблицы стилей 63.5 KB
  Каскадные таблицы стилей Основным понятием CSS является стиль т. CSS действует другим более удобным и экономичным способом. Кроме того CSS позволяет работать со шрифтовым оформлением страниц на гораздо более высоком уровне чем стандартный HTML избегая излишнего утяжеления страниц графикой. Практическое освоение CSS Как вам уже известно информация о стилях может располагаться либо в отдельном файле либо непосредственно в коде Webстранички.
38032. Структура HTML-документа. Создание элементарной WEB-страницы 502 KB
  Для работы с этими текстами был создан специальный протокол HTTP Hyper Text Trnsfer Protocol были обозначены основные элементы языка разметки HTML. Язык HTML развился из стандартного обобщенного языка описания документов SGML и является его производной созданной для разметки текстовых документов. Существуют разные суждения о том считать HTML языком программирования или нет. С точки зрения программистов он имеет достаточно простой синтаксис и довольно легок в изучении но с другой стороны для простого пользователя иногда постижение...
38033. Форматирование текста 44.5 KB
  Форматирование текста Цель работы: используя теги разбивки текста логического и физического форматирования текста создать страницу по данному образцу. Теги разбивки текста h1 т h1 h2 т h2 h3 т h3 h4 т h4 h5 т h5 h6 т h6 заголовки стилей 1 2 3 4 5 6. Атрибут: lign= задает положение текста абзаца на строке. Значения: left выровнять текст по левому краю center выровнять текст по центру right выровнять текст по правому краю.
38034. Работа с цветом фона страницы и цветом шрифта. Задание бегущей строки 159.5 KB
  Работа с цветом фона страницы и цветом шрифта. Контейнер описания шрифта может быть помещен в любой другой контейнер. задает имя шрифта или несколько возможных шрифтов. Броузер берет последующий шрифт если у него нет предыдущего; size= задает размер шрифта.