21192

Множення матриць. Поняття детермінанта

Реферат

Математика и математический анализ

Множення матриць. Розглянемо якісно нову відмінну від введених в попередній лекції операцій а саме нелінійну операцію множення матриць. Визначити операцію множення матриць це означає вказати яким чином даній парі матриць ставиться у відповідність третя матриця яка і буде їх добутком.

Украинкский

2013-08-02

255.5 KB

2 чел.

Множення матриць. Поняття детермінанта.

Множення матриць. Розглянемо якісно нову, відмінну від введених в попередній лекції операцій, а саме нелінійну операцію - множення матриць. Визначити операцію множення матриць - це означає вказати, яким чином даній парі матриць ставиться у відповідність третя матриця, яка і буде їх добутком. Щоб ввести таке визначення, повернемось до системи рівнянь (3.1), з якої було вилучено поняття матриці . Нехай кожна величина  в цій системі залежить від змінних , , які можуть визначати кількість виробів, випущених -тим цехом кожного з заводів.

 (4.1)

Ця залежність характеризується матрицею , де , , тобто матриця B має розмірність . Якщо підставити відношення (4.1) в систему (3.1) і призвести подібні члени, то отримаємо формули, які виражають величини через величини :

 (4.2)

Таким чином, величини  та  зв”язані системою рівнянь (4.2). Тільки тепер ця система характеризується матрицею C з елементами:

 (4.3)

Природно вважати цю матрицю добутком матриць A та B: . Більш детально. Якщо

, , (4.4)

то  

. (4.5)

Елементи матриці  визначаються за формулами (4.3), які можна розглядати як множення m-го рядка матриці А на j-й стовпець матриці В. З цього витікає, що для можливості множення матриць кількісь стовпців в лівій матриці А повинна дорівнювати кількості рядків в правій матриці В, тобто можна множити матрицю mn тільки на матрицю . З цього також витікає, що якщо добуток  можливий, то добуток  може бути і неможливим, а якщо він і можливий, то матиме інший результат.

Приклад 1:

, .

Тоді одержимо добуток:

=

Добуток  неможливий.

Приклад 2:

 В цьому випадку можливі обидва добутки, але результати будуть різні:

 

 З визначення добутку випливають властивості множення матриць:

1)  AB  BA,

2)  (AB)C = A(BC),

3)  (A+B)C = AC+BC,   (4.6)

4)  AE = A, де E - одинична матриця.

Приклад 3. ,  ,  .

Знайти і .

1)

.

2)

.

 Слід підкреслити, що множення матриць є нелінійною операцією, якісно відмінною від додавання матриць та множення на число, які є лінійними операціями. Якісна відмінність цих операцій виявляється в тому, що лінійні операції переносяться без змін з цілого на складові частини, а нелінійні операції такою властивістю не володіють. Наприклад, хай маємо матриці  та , кожна з яких являє собою суму двох інших матриць. Множення матриць  та  на числа  та  зведеться до множення їх складових:

, . (4.7)

Сума матриць  та  рівносильна сумі їх складових:

 (4.8)

Множення матриць таких властивостей не мають. Дійсно, в добутку  крім добутку однойменних складових з”явились і перехресні добутки. Особливо наочно це проявляється при піднесенні до квадрату:

 (4.9)

Введення добутку элементів множини дозволяє визначити більш складні математичні структури, ніж лінійні простори, а саме алгебри. Більш точно, множина елементів лінійного простору, де введено операцію множення двох елементів, яка задовольняє властивостям, аналогічним властивостям дійсних чисел (1-9) (Лекція 2) називають алгеброю. Приклад: Множина квадратних матриць одинакової розмірності.

Поняття детермінанта. З квадратною матрицею можна зв”язати дуже важливу числову характеристику. Ця характеристика обчислюється за элементами матриці, але походження процедури обчислення цієї характеристики зв”язано з розв”язанням системи лінійних рівнянь. Розглянемо. наприклад, систему трьох рівнянь

 (4.10)

Розв”язуючи цю систему за допомогою підстановок знайдемо, що , де

     (4.11)

 (4.12)

Права частина в формулі (4.11) складається з елементів матриці А системи рівнянь, причому в кожний добуток входить по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпця цієї матриці. Перші індекси елементів знаходяться в порядку зростання, а другі утворюють всі можливі перестановки, причому добуток входить із знаком (+), якщо другі індекси складають парну перестановку, і з знаком (-), якщо непарну. Формула (4.12) утворюється по тому ж правилу з матриці, яка відрізняється від А тим, що її перший стовпець замінено на стовпець з вільних членів  системи (4.10).

Число, яке обчислюється за елементами матриці таким чином, називається детермінантом (визначником) матриці: .

Термін детермінант в сучасному значенні ввів О. Коші в 1815р. (Cauchy Augustin, 1789-1857, Франція) Ідея детермінанта належить Г Лейбніцу, який в 1693р. застосував його для розв”язання системи рівнянь. Потім в 1750р. метод детермінантів знову був розроблений Г. Крамером (Cramer Gabriel, 1704-1752, Швейцарія). А. Вандермонд (Vandermonde A.T., 1735-1796, Франція) в 1772 опублікував перше широке вивчення детермінантів, а повну їх теорію дали в 1812р. Ж. Біне (Binet J.F.M., 1786-1856, Франція) і О. Коші.

Детермінант можна записати за допомогою квадратної таблиці елементів , позначивши її, на відміну від матриці, прямими дужками (таке позначення ввів А. Кєлі в 1841р.)

(4.13)

Кількість рядків, чи стовпців, визначає порядок детермінанту. (4.13) є детермінант 3-го порядку. Для розкриття цієї таблиці існує зручне мнемонічне правило Саррюса.

 (4.14)

Тут лінії з’єднують елементи, які потрібно помножити. Аналогічно обчислюється детермінант другого порядку:

,  (4.15)

або застосовуючи мнемонічне правило

.

Приклад 4.

.

Узагальнюючи формули (4.13) та (4.15) можна сформулювати поняття детермінанта n-го порядка: - це є таблиця з n рядків та n стовпців, яка розкривається за правилом

== (4.16)

де сума береться за всіма можливими перестановками другого індексу, а  позначає число інверсій в цих перестановках. Ця сума є сума доданків, кожне з яких являє собою добуток n чисел, взятих по одному з кожного рядка та кожного стовпця детермінанта та розташованих таким чином, що перший індекс множника утворює основну перестановку (натуральний порядок), а другий індекс утворює всі можливі перестановки. Знак перед добутком визначається парністю перестановки другого індекса.

Контрольні питання.

1. Сформулюйте правило множення матриць.

2. Які матриці називаються комутуючими?

3. Як розкриваються детермінанти другого та третього порядку?

4. Сформулюйте поняття детермінанту довільного порядку.

PAGE  39


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26711. Китай на мировой арене 11.44 KB
  Идет довольно интенсивный процесс образования так называемого Большого Китая включающего собственно континентальный Китай Гонконг Макао Тайвань Сингапур. Конкурируя между собой субъекты элементы потенциального €œБольшого Китая€ идут по пути тесной интеграции. Она сможет регулировать жизнь не только этносов проживающих на территории €œБольшого Китая€ но и многочисленных китайских общин разбросанных по всему миру. Митрофанов считает что антиамериканизм основа сближения Китая и России так как нам следует крепить фронт против...
26712. Роль и место России в современном мире 20.42 KB
  Большая протяженность России в Евразии давно способствовала тому чтобы элита мыслила геополитически. Первый министр иностранных дел постимперской и посткоммунистической России Андрей Козырев вновь подтвердил этот образ мышления в одной из своих первых попыток определить как новая Россия должна вести себя на международной арене. Вообще говоря как реакция на крушение Советского Союза возникли три общих и частично перекрывающихся геостратегических варианта каждый из которых в конечном счете связан с озабоченностью России своим статусом по...
26713. Геополитическое положение России в структуре современного мира 15.8 KB
  Роль и место России в современном мире во многом определяется ее геополитическим положением т. Геополитическое положение России специалисты рассматривают с учетом географических политических военных экономических и других факторов. После распада СССР в России осталось 17 из 22 млн кв.
26714. Украина 28.85 KB
  Приходится признавать что Россия сделала ставку на победу Виктора Януковича и проиграла проиграла в силу множества факторов – это и политическая пассивность восточной части населения Украины и успешные действия европейских государств и США в оказании поддержки Виктору Ющенко и неумелые попытки России и украинского правительства стабилизировать ситуацию и т. Итак это следующие факторы: В Украине в отличие от России в 1993 году не было расстрела парламента что с самого начала задало совершенно иные условия формирования партийной...
26715. «Левый уклон» 15.02 KB
  Почти наверняка отказ от поддержки Абхазии Осетий и Приднестровья сложный вопрос так ли уж это убыточно но суть в том что сфера интересов России будет ужата. Возможно – размещение баз НАТО в России или даже вступление в блок если пустят. Потому что есть большие подозрения что ЕЭП ляжет тяжким бременем на экономику России а братская семья народов заставит еще более стремительно почернеть русские регионы. Благородный срединный путь Юмор ситуации в том что третьим пунктом нашей схемы должен был бы идти центризм но в роли...
26716. Мировой финансово – экономический кризис 27.56 KB
  Утверждение этой модели в качестве основной для мировой экономики сменило или серьезно поколебало философский смысл человеческого бытия. Кризис отвлек на некоторое время внимание мировой общественности от драматических событий на планете. Но уже в 20х числах сентября 2009 года из штаб квартиры ООН зазвучали предупреждения о природном апокалипсисе: убытки мировой экономики изза стихийных бедствий в 2008 году составили более 200 млрд.
26717. Геополитика 12.04 KB
  Геоэкономика в отличие от традиционной геополитики делает акцент на экономической мощи государства. Предмет изучения Основной объект изучения геополитики геополитическая структура мира представленная множеством территориальных моделей. Исследование механизмов и форм контроля над территорией одна из основных задач геополитики. Историческим ядром геополитики выступает география ставящая во главу угла исследование прямых и обратных связей между свойствами территории и балансом соперничеством или сотрудничеством мировых силовых полей.
26718. Основные направления и разделы геополитики 13.61 KB
  Геополитика будучи преимущественно политикой наоборот концентрирует свое внимание на политических явлениях и стремится дать географическую интерпретацию и анализ географических аспектов этих явлений. В рамках самой геополитики различают два достаточно четко обозначенных направления: геополитика предписывающая или доктринальнонормативная к ней можно причислить не боясь ошибиться всю немецкую школу связанную с именем Хаусхофера; геополитика оценочноконцептуальная типичные представители Маккиндер Спикмен Коэн. Геополитика...
26719. Сфера глобальных взаимоотношений между государствами 11.55 KB
  Сфера глобальных взаимоотношений между государствами является предметом анализа комплекса исторических наук истории внешней политики национальных государств взаимоотношений между отдельными государствами и группами государств дипломатической истории истории международных отношений имеющих устойчивую традицию. Третье понятие сфера международных отношений например экономические дипломатические политические военные идеологические позволяет определять предмет и направление исследования привлекать или отбрасывать те или иные...