21193

Властивості детермінантів

Реферат

Математика и математический анализ

Детермінант транспонованої матриці дорівнює детермінанту даної. З очевидної рівності випливає що детермінант можна записати також у вигляді == =.2 Після транспонування одержимо детермінант в добутках якого індекси множників помінялись місцями.

Украинкский

2013-08-02

220.5 KB

14 чел.

Властивості детермінантів.

1. Детермінант транспонованої матриці дорівнює детермінанту даної.

З очевидної рівності  випливає, що детермінант можна записати також у вигляді

==

=. (5.1)

Якщо в добутках, які входять в цю суму, множники попереставляти місцями, то при кожній зміні множників місцями одночасно поміняються місцями і числа в перестановках індексів. Але при кожній транспозиції число інверсій в кожній перестановці змінюється на непарне число, а значить їх сума на парне, таким чином добутки в (5.1) можна записати так

. (5.2)

Після транспонування одержимо детермінант , в добутках якого індекси множників помінялись місцями.

Оскільки сам добуток від порядку множників не залежить, а знак, згідно (5.2) теж не змінюється, то в результаті отримаємо те, що потрібно довести

. (5.3)

 Висновок: рядки та стовпці детермінанта рівноправні за своїми властивостями.

2. Загальний множник будь-якого рядка детермінанта можна виносити за знак детермінанта.

 Дійсно,

== = =  (5.4)

 Висновок: детермінант з нульовим рядком дорівнює нулю. Для доведення достатньо покласти .

3. Правило складання детермінантів.

Нехай у детермінанті елементи i-ого рядка становлять суму двох доданків: . Такий детермінант є сумою двох детермінантів, з яких в першому детермінанті на місці i-ого рядка стоять доданки , а в другому - доданки . Доведення:

=   

 (5.5)

Приклад:

 

4. Детермінант, у якого два рядки рівні, дорівнює нулю.

Для доведення розіб"ємо суму на дві частини, які відповідають парним та непарним перестановкам:

-

- (5.6)

Нехай рядки  та  однакові: ,  j= 1,2,... Замінемо місцями числа з -ого та -ого рядка, , , в кожному добутку суми з непарними перестановками. Це приведе до однієї транспозиції в усіх непарних перестановках, в результаті чого вони стануть парними. Оскільки сам добуток при цьому не зміниться, то одержимо, що з першої суми (з парними перестановками) віднімається така ж друга сума. В результаті маємо .

Приклад:

 .

5. Зміна місцями будь-яких двох рядків детермінанта не змінює його величини, але змінює його знак на протилежний.

 Доведення: Для коротшого запису позначимо рядок жирним шрифтом: . На основі властивості 4 маємо:

 (5.7)

Звідси одержимо:

. (5.8)

6. Якщо до будь-якого рядка детермінанта додати другий рядок, помножений на будь-яке число, величина детермінанта не зміниться.

Доведення:

 (5.9)

Висновок 1: До будь-якого рядка детермінанта можна додати довільну лінійну комбінацію інших рядків. При цьому величина детермінанта не зміниться.

Висновок 2: Детермінант, в якому є лінійно залежні рядки, дорівнює нулю.

Доведення: Нехай у детермінанті n-го порядку  перші k рядків лінійно залежні. Це означає, що існують такі числа, сума добутку яких на елементи цих рядків дорівнює нулю:  . При цьому де хоча б одне з чисел  відмінне від нуля. Нехай . Тоді  Віднявши від першого рядка детермінанта таку комбінацію інших рядків отримаємо в пешому рядку нулі. Отже, детермінант дорівнює нулю.

Приклад: , так як третій рядок є лінійною комбінацією перших двох: . У зв"язку з цим, віднімаючи від нього цю комбінацію, отримаємо в третьому рядку нулі  Отже, детермінант буде дорівнювати нулю.

7. Детермінант добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку детермінантів множників:

, (5.10)

де A і В - квадратні матриці порядка . Схематичне доведення проведемо в декілька етапів.

1) Перш за все замітимо, що детермінант трикутної матриці, наприклад, верхньої трикутної

 (5.11)

дорівнює добутку елементів головної діагоналі, бо цей добуток буде єдиним доданком в сумі (5.1), відмінним від нуля. Отже,

. (5.12)

2) Розглянемо матрицю А, яку запишемо у виді

, (5.13)

де  - рядки матриці.

Помножимо її зліва на верхню унітрикутну матрицю

. (5.14)

Маємо

. (5.15)

В цій матриці перший рядок утворений з першого рядка матриці А добавленням всіх останніх рядків, помножених на числа , другий - з другого рядка добавленням всіх наступних, помножених на відповідні числа, і т. д. Згідно властивості 6 величина детермінанта матриці при цьому не зміниться, отже

. (5.16)

3) Розглянемо тепер так звану блочну матрицю  порядка , де A і В задані матриці, E - одинична матриця.

Скористаємося аналогією з формулою (5.12). Одержимо

. (5.17)

Цей результат може бути доведений строго, але в наслідок складності доведення воно тут не приводиться.

Помножимо зліва блочну матрицю на унітрикутну матрицю . При цьому детермінант, як це показано вище, не зміниться.

. (5.18)

Переставимо блоки  і  місцями, що рівносильно перестановці місцями  стовпців

 (5.19)

Звідси маємо

. (5.20)

Співставляючи цей результат з (5.18) маємо

. (5.21)

Контрольні питання.

1. Чим відрізняється властивість транспонування детермінанту від транспонування матриці?

2. Чому дорівнює детермінант з нульовим стовпцем?

3. Чим відрізняється властивість додавання детермінантів від додавання матриць?

4. Як змінюється детермінант при перестановці стовпців?

5. Сформулюйте властивість лінійного комбінування рядків або стовпців детермінанту.

6. Чому дорівнює добуток детермінантів?

PAGE  40


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15458. Зовнішня політика та значення Галицько-Волинської держави 40.5 KB
  Зовнішня політика та значення ГалицькоВолинської держави. По смерті Ярослава Мудрого з початком феодальної роздробленості Галицьке князівство відокремилося від Києва. Першими галицькими князями були нащадки онуків Ярослава Мудрого Ростиславичі а на Волині Мстисла...
15459. Шляхи та причини входження українських земель до Великого князівства Литовського, мовний та культурно-релігійний склад держави 40.5 KB
  Шляхи та причини входження українських земель до Великого князівства Литовського мовний та культурнорелігійний склад держави. В 40х роках ХІV ст. українські землі зазнали розчленування. Після війни 13511352 рр. між Польщею і Литвою Галичина залишилась під владою Польщі а Бе...
15460. Кревська унія 37.5 KB
  Кревська унія. У XIV ст. українські землі роздроблені на окремі князівства й ослаблені зопотоординським ігом підпали під владу кількох феодальних держав. Після смерті 1340 р. галицьковолинського князя Юрія II Польща й Угорщина напали на Галичину яка внаслідок довгої та
15461. Українські землі в складі Речі Посполитої. Люблінська унія та стан справ в українських землях після унії 35 KB
  Українські землі в складі Речі Посполитої. Люблінська унія та стан справ в українських землях після унії. Польські феодали почали наступ на українські землі відразу після монголотатарської навали. Особливо активізувався цей процес у другій половині XVI першій чверт...
15462. Загарбання турками і татарами Південної України і їх наслідки на інші українські землі (друга половина 15 ст.) 27 KB
  Загарбання турками і татарами Південної України і їх наслідки на інші українські землі друга половина 15 ст. Середина XIV ст. стала початком розпаду Золотої Орди. Нескінченні чвари та суперечки суттєво ослабили центральну владу посилили відценіроеі тенденції в Орді що ...
15463. Виникнення і початкова історія українського козацтва 39 KB
  Виникнення і початкова історія українського козацтва. Головною причиною виникнення козацтва на українських землях став дедалі зростаючий соціальний національний та релігійний гніт українського народу. На захист його прав стало козацтво. Козацтво в Україні набуло ш...
15464. Військово-адміністративний устрій Запорозької Січі 44.5 KB
  Військовоадміністративний устрій Запорозької Січі. Питання про утворення Запорозької Січі історики і досі продовжують досліджувати. Вони не дійшли спільної думки чи можна хортицькі укріплення вважати Січчю а князя Дмитра Вишневецького Байду старосту канівського і...
15465. Українське Козацтво в 2ій половині 16 ст. у першій половині 17.ст 42.5 KB
  Українське Козацтво в 2ій половині 16 ст. у першій половині 17.ст. Колоніальна політика Польщі посилення кріпацтва покатоличення викликали активний протест українського населення і зумовили шерег потужних повстань які мали антифеодальний та національновизвольний хар
15466. Соціально-економічний розвиток в Україні в 2-ій половині 16- поч. 17 ст. Посилення феодальної експансії Польщі 42.5 KB
  Соціальноекономічний розвиток в Україні в 2ій половині 16 поч. 17 ст. Посилення феодальної експансії Польщі. Захопивши у XIVXV ст. Галичину Західну Волинь і Поділля Польща прагнула оволодіти й українськими землями які входили до складу Великого князівства Литовського. А...