21193

Властивості детермінантів

Реферат

Математика и математический анализ

Детермінант транспонованої матриці дорівнює детермінанту даної. З очевидної рівності випливає що детермінант можна записати також у вигляді == =.2 Після транспонування одержимо детермінант в добутках якого індекси множників помінялись місцями.

Украинкский

2013-08-02

220.5 KB

14 чел.

Властивості детермінантів.

1. Детермінант транспонованої матриці дорівнює детермінанту даної.

З очевидної рівності  випливає, що детермінант можна записати також у вигляді

==

=. (5.1)

Якщо в добутках, які входять в цю суму, множники попереставляти місцями, то при кожній зміні множників місцями одночасно поміняються місцями і числа в перестановках індексів. Але при кожній транспозиції число інверсій в кожній перестановці змінюється на непарне число, а значить їх сума на парне, таким чином добутки в (5.1) можна записати так

. (5.2)

Після транспонування одержимо детермінант , в добутках якого індекси множників помінялись місцями.

Оскільки сам добуток від порядку множників не залежить, а знак, згідно (5.2) теж не змінюється, то в результаті отримаємо те, що потрібно довести

. (5.3)

 Висновок: рядки та стовпці детермінанта рівноправні за своїми властивостями.

2. Загальний множник будь-якого рядка детермінанта можна виносити за знак детермінанта.

 Дійсно,

== = =  (5.4)

 Висновок: детермінант з нульовим рядком дорівнює нулю. Для доведення достатньо покласти .

3. Правило складання детермінантів.

Нехай у детермінанті елементи i-ого рядка становлять суму двох доданків: . Такий детермінант є сумою двох детермінантів, з яких в першому детермінанті на місці i-ого рядка стоять доданки , а в другому - доданки . Доведення:

=   

 (5.5)

Приклад:

 

4. Детермінант, у якого два рядки рівні, дорівнює нулю.

Для доведення розіб"ємо суму на дві частини, які відповідають парним та непарним перестановкам:

-

- (5.6)

Нехай рядки  та  однакові: ,  j= 1,2,... Замінемо місцями числа з -ого та -ого рядка, , , в кожному добутку суми з непарними перестановками. Це приведе до однієї транспозиції в усіх непарних перестановках, в результаті чого вони стануть парними. Оскільки сам добуток при цьому не зміниться, то одержимо, що з першої суми (з парними перестановками) віднімається така ж друга сума. В результаті маємо .

Приклад:

 .

5. Зміна місцями будь-яких двох рядків детермінанта не змінює його величини, але змінює його знак на протилежний.

 Доведення: Для коротшого запису позначимо рядок жирним шрифтом: . На основі властивості 4 маємо:

 (5.7)

Звідси одержимо:

. (5.8)

6. Якщо до будь-якого рядка детермінанта додати другий рядок, помножений на будь-яке число, величина детермінанта не зміниться.

Доведення:

 (5.9)

Висновок 1: До будь-якого рядка детермінанта можна додати довільну лінійну комбінацію інших рядків. При цьому величина детермінанта не зміниться.

Висновок 2: Детермінант, в якому є лінійно залежні рядки, дорівнює нулю.

Доведення: Нехай у детермінанті n-го порядку  перші k рядків лінійно залежні. Це означає, що існують такі числа, сума добутку яких на елементи цих рядків дорівнює нулю:  . При цьому де хоча б одне з чисел  відмінне від нуля. Нехай . Тоді  Віднявши від першого рядка детермінанта таку комбінацію інших рядків отримаємо в пешому рядку нулі. Отже, детермінант дорівнює нулю.

Приклад: , так як третій рядок є лінійною комбінацією перших двох: . У зв"язку з цим, віднімаючи від нього цю комбінацію, отримаємо в третьому рядку нулі  Отже, детермінант буде дорівнювати нулю.

7. Детермінант добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку детермінантів множників:

, (5.10)

де A і В - квадратні матриці порядка . Схематичне доведення проведемо в декілька етапів.

1) Перш за все замітимо, що детермінант трикутної матриці, наприклад, верхньої трикутної

 (5.11)

дорівнює добутку елементів головної діагоналі, бо цей добуток буде єдиним доданком в сумі (5.1), відмінним від нуля. Отже,

. (5.12)

2) Розглянемо матрицю А, яку запишемо у виді

, (5.13)

де  - рядки матриці.

Помножимо її зліва на верхню унітрикутну матрицю

. (5.14)

Маємо

. (5.15)

В цій матриці перший рядок утворений з першого рядка матриці А добавленням всіх останніх рядків, помножених на числа , другий - з другого рядка добавленням всіх наступних, помножених на відповідні числа, і т. д. Згідно властивості 6 величина детермінанта матриці при цьому не зміниться, отже

. (5.16)

3) Розглянемо тепер так звану блочну матрицю  порядка , де A і В задані матриці, E - одинична матриця.

Скористаємося аналогією з формулою (5.12). Одержимо

. (5.17)

Цей результат може бути доведений строго, але в наслідок складності доведення воно тут не приводиться.

Помножимо зліва блочну матрицю на унітрикутну матрицю . При цьому детермінант, як це показано вище, не зміниться.

. (5.18)

Переставимо блоки  і  місцями, що рівносильно перестановці місцями  стовпців

 (5.19)

Звідси маємо

. (5.20)

Співставляючи цей результат з (5.18) маємо

. (5.21)

Контрольні питання.

1. Чим відрізняється властивість транспонування детермінанту від транспонування матриці?

2. Чому дорівнює детермінант з нульовим стовпцем?

3. Чим відрізняється властивість додавання детермінантів від додавання матриць?

4. Як змінюється детермінант при перестановці стовпців?

5. Сформулюйте властивість лінійного комбінування рядків або стовпців детермінанту.

6. Чому дорівнює добуток детермінантів?

PAGE  40


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34505. Искусство этрусков. Архитектура. Отличие этрусского храма от греческого. Скульптура. Роспись гробниц 15.34 KB
  Искусство этрусков. и в которой наиболее интересным и развитым было искусство этрусков. Происхождение и язык этрусков до сих пор полностью не выяснены. Города этрусков были прекрасно укреплены соединялись благоустроенными дорогами и мостами.
34506. Искусство Древнего Рима. Значение, особенности художественной культуры Древнего Рима. Хронология. Отличия римского искусства от греческого. Основные типы римской архитектуры. Римский скульптурный портрет 17.81 KB
  Росписи дома Ливии на Палатине дома на Эсквилине IIго стиля. IIIго стиля в Помпеях. Вместо перспективных архитектурных построений IIго стиля фантастические трельяжи и “канделябры†IIIго стиля. Характерные особенности декоративного стиля I в.
34507. Искусство Византии. Раннехристианское искусство. Античные образы, христианское содержание. Символика. Орнаментика. Период иконоборчества. Связь византийского искусства с религией. Символизм. Трансцендентность. Расцвет византийского искусства в эпоху Маке 19.47 KB
  Мозаики св. Софии мозаики монастыря Дафнии. Немногие дошедшие до нас иконы VI века написанные восковыми красками некоторые из них происходят из Синайского монастыря как например Христос Пантократор хранящийся на Синае Богоматерь с младенцем Мозаики церкви Успения в Никее. Эти утраченные теперь мозаики принадлежали к числу самых замечательных произведений византийской монументальной живописи.
34508. Романское искусство. Искусство эпохи развитого феодализма. Термин «романский». Романская архитектура: ведущая роль, строительные принципы, стилистические черты. Типы церквей 22.24 KB
  С развитием торговли и ремесла в XI XII вв. С XII в. XI XIII века время расцвета монументального искусства как живописи так и скульптуры. В XI XII вв.
34509. Готическое искусство Франции. Термин «готика». Ведущая роль архитектуры. Принципы готической каркасной конструкции, ее элементы. Роль скульптуры. Причины появления витражной живописи 18.95 KB
  Особое внимание уделялось сторожевой башне ратуши беффруа которая была символом независимости республики как городской собор был символом благосостояния граждан коммуны. На площади перед собором происходили диспуты лекции разыгрывались мистерии. Самым большим храмом периода ранней готики был Собор Парижской Богоматери пятинефный храм вмещал до 9000 человек. Раннеготический собор в Лане 1174 1226.
34510. Искусство Проторенессанса. Скульптура. Н. Пизано. Живопись П. Каваллини. Джотто – реформатор итальянской живописи. Принципы творчества Фрески Капеллы дель Арена в Падуе 20.03 KB
  Мозаичный цикл в церкви Санта Мариа ин Трастевере 1291. Фрагмент фрески “Страшный суд†в церкви Санта Чечилиа ин Трастевере 1293. Ассизи Житийный цикл фресок в верхней церкви Сан Франческо посвященных св. Фрески в трансепте верхней церкви св.
34511. Искусство Раннего Возрождения. Формирование новых принципов изобразительного языка. Переплетение ренессансных принципов и средневековых традиций в искусстве ХV в. Мазаччо – основоположник живописи Кватроченто. А. дель Кастаньо. П. дела Франческо. Проблема 21.58 KB
  Стефана 1425 1426 ниш церкви Ор Сан Микеле. Георгий†1415 1417 для ниш церкви Ор Сан Микеле. “Благовещение†алтаря Кавальканти в церкви Санта Кроче 1я пол. Полиптих для церкви кармелиток в Пизе 1426 ныне в различных музеях: готическая экспрессия и ее преодоление.
34512. Высокое Возрождение в Италии. Общая характеристика искусства Высокого Возрождения. Творчество Леонардо да Винчи, Рафаэля Санти, Микельанджело Буанаротти 17.58 KB
  Творчество Леонардо да Винчи Рафаэля Санти Микельанджело Буанаротти. Флорентийскоримские мастера Леонардо да Винчи 1452 1519 ученик Верроккьо универсальный гений. Непродуктивность Леонардоживописца неспособность довести вещь до конца следствия опережающей работы интеллекта. Леонардо в Милане 1482 1499.
34513. Позднее Возрождение в Венеции. Творчество Тициана, Тинторетто, Веронезе 16.52 KB
  1509 Дрезден Картинная галерея “Три философа†ок. “Любовь небесная и земная†1514 Рим галерея Боргезе. Импозантность и демонстрация жизненного амплуа модели в портретах Федериго II Гонзага 1529 Мадрид Прадо и Ипполито Медичи 1533 Флоренция галерея Питти. Работы среднего периода: “Введение во храм†1534 1538 Венеция Академия “Венера Урбинская†1538 Флоренция Уффици “Даная†1544 1546 Неаполь галерея Каподимонте.