21193

Властивості детермінантів

Реферат

Математика и математический анализ

Детермінант транспонованої матриці дорівнює детермінанту даної. З очевидної рівності випливає що детермінант можна записати також у вигляді == =.2 Після транспонування одержимо детермінант в добутках якого індекси множників помінялись місцями.

Украинкский

2013-08-02

220.5 KB

14 чел.

Властивості детермінантів.

1. Детермінант транспонованої матриці дорівнює детермінанту даної.

З очевидної рівності  випливає, що детермінант можна записати також у вигляді

==

=. (5.1)

Якщо в добутках, які входять в цю суму, множники попереставляти місцями, то при кожній зміні множників місцями одночасно поміняються місцями і числа в перестановках індексів. Але при кожній транспозиції число інверсій в кожній перестановці змінюється на непарне число, а значить їх сума на парне, таким чином добутки в (5.1) можна записати так

. (5.2)

Після транспонування одержимо детермінант , в добутках якого індекси множників помінялись місцями.

Оскільки сам добуток від порядку множників не залежить, а знак, згідно (5.2) теж не змінюється, то в результаті отримаємо те, що потрібно довести

. (5.3)

 Висновок: рядки та стовпці детермінанта рівноправні за своїми властивостями.

2. Загальний множник будь-якого рядка детермінанта можна виносити за знак детермінанта.

 Дійсно,

== = =  (5.4)

 Висновок: детермінант з нульовим рядком дорівнює нулю. Для доведення достатньо покласти .

3. Правило складання детермінантів.

Нехай у детермінанті елементи i-ого рядка становлять суму двох доданків: . Такий детермінант є сумою двох детермінантів, з яких в першому детермінанті на місці i-ого рядка стоять доданки , а в другому - доданки . Доведення:

=   

 (5.5)

Приклад:

 

4. Детермінант, у якого два рядки рівні, дорівнює нулю.

Для доведення розіб"ємо суму на дві частини, які відповідають парним та непарним перестановкам:

-

- (5.6)

Нехай рядки  та  однакові: ,  j= 1,2,... Замінемо місцями числа з -ого та -ого рядка, , , в кожному добутку суми з непарними перестановками. Це приведе до однієї транспозиції в усіх непарних перестановках, в результаті чого вони стануть парними. Оскільки сам добуток при цьому не зміниться, то одержимо, що з першої суми (з парними перестановками) віднімається така ж друга сума. В результаті маємо .

Приклад:

 .

5. Зміна місцями будь-яких двох рядків детермінанта не змінює його величини, але змінює його знак на протилежний.

 Доведення: Для коротшого запису позначимо рядок жирним шрифтом: . На основі властивості 4 маємо:

 (5.7)

Звідси одержимо:

. (5.8)

6. Якщо до будь-якого рядка детермінанта додати другий рядок, помножений на будь-яке число, величина детермінанта не зміниться.

Доведення:

 (5.9)

Висновок 1: До будь-якого рядка детермінанта можна додати довільну лінійну комбінацію інших рядків. При цьому величина детермінанта не зміниться.

Висновок 2: Детермінант, в якому є лінійно залежні рядки, дорівнює нулю.

Доведення: Нехай у детермінанті n-го порядку  перші k рядків лінійно залежні. Це означає, що існують такі числа, сума добутку яких на елементи цих рядків дорівнює нулю:  . При цьому де хоча б одне з чисел  відмінне від нуля. Нехай . Тоді  Віднявши від першого рядка детермінанта таку комбінацію інших рядків отримаємо в пешому рядку нулі. Отже, детермінант дорівнює нулю.

Приклад: , так як третій рядок є лінійною комбінацією перших двох: . У зв"язку з цим, віднімаючи від нього цю комбінацію, отримаємо в третьому рядку нулі  Отже, детермінант буде дорівнювати нулю.

7. Детермінант добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку детермінантів множників:

, (5.10)

де A і В - квадратні матриці порядка . Схематичне доведення проведемо в декілька етапів.

1) Перш за все замітимо, що детермінант трикутної матриці, наприклад, верхньої трикутної

 (5.11)

дорівнює добутку елементів головної діагоналі, бо цей добуток буде єдиним доданком в сумі (5.1), відмінним від нуля. Отже,

. (5.12)

2) Розглянемо матрицю А, яку запишемо у виді

, (5.13)

де  - рядки матриці.

Помножимо її зліва на верхню унітрикутну матрицю

. (5.14)

Маємо

. (5.15)

В цій матриці перший рядок утворений з першого рядка матриці А добавленням всіх останніх рядків, помножених на числа , другий - з другого рядка добавленням всіх наступних, помножених на відповідні числа, і т. д. Згідно властивості 6 величина детермінанта матриці при цьому не зміниться, отже

. (5.16)

3) Розглянемо тепер так звану блочну матрицю  порядка , де A і В задані матриці, E - одинична матриця.

Скористаємося аналогією з формулою (5.12). Одержимо

. (5.17)

Цей результат може бути доведений строго, але в наслідок складності доведення воно тут не приводиться.

Помножимо зліва блочну матрицю на унітрикутну матрицю . При цьому детермінант, як це показано вище, не зміниться.

. (5.18)

Переставимо блоки  і  місцями, що рівносильно перестановці місцями  стовпців

 (5.19)

Звідси маємо

. (5.20)

Співставляючи цей результат з (5.18) маємо

. (5.21)

Контрольні питання.

1. Чим відрізняється властивість транспонування детермінанту від транспонування матриці?

2. Чому дорівнює детермінант з нульовим стовпцем?

3. Чим відрізняється властивість додавання детермінантів від додавання матриць?

4. Як змінюється детермінант при перестановці стовпців?

5. Сформулюйте властивість лінійного комбінування рядків або стовпців детермінанту.

6. Чому дорівнює добуток детермінантів?

PAGE  40


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27348. Воспитательные функции детского коллектива 20 KB
  Воспитательные функции детского коллектива. Функции коллектива. Выделяют три воспитательные функции коллектива: организационную детский коллектив становится субъектом управления своей общественно полезной деятельностью; воспитательную детский коллектив становится носителем и пропагандистом определенных идейнонравственных убеждений; стимулирования коллектив способствует формированию нравственноценных стимулов всех общественно полезных дел регулирует поведение своих членов их взаимоотношения. Типы и структура детского коллектива.
27349. Понятие «педагогическая технология» 19.97 KB
  Структура педагогического общения представляет собой развернутые во времени этапы взаимодействия педагога со своими учениками. Учитель вначале продумывает ход урока и особенности своего общения с классом а затем входит в класс и начинает свое взаимодействие с учениками. Он сначала осуществляет коммуникативную атаку это своеобразная борьба за инициативу в общении и управление процессом общения в ходе урока и только после этого проводит анализ состоявшегося взаимодействия с учащимися. В структуре педагогического общения можно выделить ряд...
27350. Школа как объект управления 18.37 KB
  Школа как объект управления. Школа это целостная социальная организация. Школа сложная многокомпонентная система. Школа открытая система.
27351. Школа и педагогика в России конца XVIII-XX вв 20.98 KB
  Вестернизация российского образования в XVIII веке. были изданы Предварительные правила народного просвещения а затем Устав учебных заведений подведомых университетам 1804 в которых определялась структура образования в стране и система управления учебными заведениями. Создается единая система общего образования. Новая система образования предусматривала 4е ступени: высшая университеты в каждом округе средняя гимназии в каждом губернском городе промежуточная уездные училища по одному в каждом уезде низшая приходские...
27352. Личность в психологии 24.28 KB
  Индивидуальность одна из сторон личности. Представление о структуре личности в различных психологических теориях Существует ряд психологических теорий описывающих структуру личности. В советской психологии сложилась традиция различения индивида и личности. При некоторых различиях в понимании личности и при общих различиях или подходах эти авторы определяли природу и свойства индивида и проводили линию различия демаркационную линию в одном и том же месте.
27353. ормально-динамическое направление 24.61 KB
  Соотношение а темперамента и успешности учебной деятельности б темперамента и характера. А Тип темперамента влияет не столько на успешность учебной деятельности обучающегося сколько на выбор способов исполнения учебной деятельности. Особенности темперамента человека не только проявляются в его поведении но и определяют своеобразие динамики познавательной деятельности и сферы чувств отражаются в побуждениях и действиях человека а также в характере интеллектуальной деятельности особенностях речи и т. Тип темперамента есть прирожденный...
27354. Проблема деятельности в психологии образования 24.13 KB
  Проблема деятельности в психологии образования. О деятельности как об объяснительном принципе говорят в том случае если понятия и положения теории деятельности применяют к анализу психических процессов сознания личности Ю. Так можно вести речь о деятельности восприятия деятельности мышления. Психология наука о законах порождения и функционирования психического отражения индивидом объективной реальности в деятельности человека и поведении животных.
27355. Психическое развитие ребенка до поступления в школу 23.71 KB
  Психическое развитие ребенка до поступления в школу. У детей этого возраста уже сформирована достаточно высокая компетентность в различных видах деятельности и в сфере отношений например: у ребенка развито устойчивое положительное отношение к себе уверенность в своих силах; умеет учитывать интересы других детей в некоторой степени сдерживать свои эмоциональные порывы; умеет следовать инструкции взрослого придерживаться игровых правил; новый этап развития познавательных способностей; преобладание общественно значимых мотивов над...
27356. Проблема готовности ребенка к обучению в школе 18.85 KB
  Проблема готовности ребенка к обучению в школе. Готовности ребенка к обучению в школе желания учиться умения общаться со сверстниками и взрослыми способности решать сложные задачи стремления к достижениям самостоятельности и ответственности. Под психологической готовностью к школьному обучению понимается необходимый и достаточный уровень психологического развития ребенка для усвоения школьной программы при определенных условиях обучения. Основные компоненты готовности ребенка к школе.