21193

Властивості детермінантів

Реферат

Математика и математический анализ

Детермінант транспонованої матриці дорівнює детермінанту даної. З очевидної рівності випливає що детермінант можна записати також у вигляді == =.2 Після транспонування одержимо детермінант в добутках якого індекси множників помінялись місцями.

Украинкский

2013-08-02

220.5 KB

14 чел.

Властивості детермінантів.

1. Детермінант транспонованої матриці дорівнює детермінанту даної.

З очевидної рівності  випливає, що детермінант можна записати також у вигляді

==

=. (5.1)

Якщо в добутках, які входять в цю суму, множники попереставляти місцями, то при кожній зміні множників місцями одночасно поміняються місцями і числа в перестановках індексів. Але при кожній транспозиції число інверсій в кожній перестановці змінюється на непарне число, а значить їх сума на парне, таким чином добутки в (5.1) можна записати так

. (5.2)

Після транспонування одержимо детермінант , в добутках якого індекси множників помінялись місцями.

Оскільки сам добуток від порядку множників не залежить, а знак, згідно (5.2) теж не змінюється, то в результаті отримаємо те, що потрібно довести

. (5.3)

 Висновок: рядки та стовпці детермінанта рівноправні за своїми властивостями.

2. Загальний множник будь-якого рядка детермінанта можна виносити за знак детермінанта.

 Дійсно,

== = =  (5.4)

 Висновок: детермінант з нульовим рядком дорівнює нулю. Для доведення достатньо покласти .

3. Правило складання детермінантів.

Нехай у детермінанті елементи i-ого рядка становлять суму двох доданків: . Такий детермінант є сумою двох детермінантів, з яких в першому детермінанті на місці i-ого рядка стоять доданки , а в другому - доданки . Доведення:

=   

 (5.5)

Приклад:

 

4. Детермінант, у якого два рядки рівні, дорівнює нулю.

Для доведення розіб"ємо суму на дві частини, які відповідають парним та непарним перестановкам:

-

- (5.6)

Нехай рядки  та  однакові: ,  j= 1,2,... Замінемо місцями числа з -ого та -ого рядка, , , в кожному добутку суми з непарними перестановками. Це приведе до однієї транспозиції в усіх непарних перестановках, в результаті чого вони стануть парними. Оскільки сам добуток при цьому не зміниться, то одержимо, що з першої суми (з парними перестановками) віднімається така ж друга сума. В результаті маємо .

Приклад:

 .

5. Зміна місцями будь-яких двох рядків детермінанта не змінює його величини, але змінює його знак на протилежний.

 Доведення: Для коротшого запису позначимо рядок жирним шрифтом: . На основі властивості 4 маємо:

 (5.7)

Звідси одержимо:

. (5.8)

6. Якщо до будь-якого рядка детермінанта додати другий рядок, помножений на будь-яке число, величина детермінанта не зміниться.

Доведення:

 (5.9)

Висновок 1: До будь-якого рядка детермінанта можна додати довільну лінійну комбінацію інших рядків. При цьому величина детермінанта не зміниться.

Висновок 2: Детермінант, в якому є лінійно залежні рядки, дорівнює нулю.

Доведення: Нехай у детермінанті n-го порядку  перші k рядків лінійно залежні. Це означає, що існують такі числа, сума добутку яких на елементи цих рядків дорівнює нулю:  . При цьому де хоча б одне з чисел  відмінне від нуля. Нехай . Тоді  Віднявши від першого рядка детермінанта таку комбінацію інших рядків отримаємо в пешому рядку нулі. Отже, детермінант дорівнює нулю.

Приклад: , так як третій рядок є лінійною комбінацією перших двох: . У зв"язку з цим, віднімаючи від нього цю комбінацію, отримаємо в третьому рядку нулі  Отже, детермінант буде дорівнювати нулю.

7. Детермінант добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку детермінантів множників:

, (5.10)

де A і В - квадратні матриці порядка . Схематичне доведення проведемо в декілька етапів.

1) Перш за все замітимо, що детермінант трикутної матриці, наприклад, верхньої трикутної

 (5.11)

дорівнює добутку елементів головної діагоналі, бо цей добуток буде єдиним доданком в сумі (5.1), відмінним від нуля. Отже,

. (5.12)

2) Розглянемо матрицю А, яку запишемо у виді

, (5.13)

де  - рядки матриці.

Помножимо її зліва на верхню унітрикутну матрицю

. (5.14)

Маємо

. (5.15)

В цій матриці перший рядок утворений з першого рядка матриці А добавленням всіх останніх рядків, помножених на числа , другий - з другого рядка добавленням всіх наступних, помножених на відповідні числа, і т. д. Згідно властивості 6 величина детермінанта матриці при цьому не зміниться, отже

. (5.16)

3) Розглянемо тепер так звану блочну матрицю  порядка , де A і В задані матриці, E - одинична матриця.

Скористаємося аналогією з формулою (5.12). Одержимо

. (5.17)

Цей результат може бути доведений строго, але в наслідок складності доведення воно тут не приводиться.

Помножимо зліва блочну матрицю на унітрикутну матрицю . При цьому детермінант, як це показано вище, не зміниться.

. (5.18)

Переставимо блоки  і  місцями, що рівносильно перестановці місцями  стовпців

 (5.19)

Звідси маємо

. (5.20)

Співставляючи цей результат з (5.18) маємо

. (5.21)

Контрольні питання.

1. Чим відрізняється властивість транспонування детермінанту від транспонування матриці?

2. Чому дорівнює детермінант з нульовим стовпцем?

3. Чим відрізняється властивість додавання детермінантів від додавання матриць?

4. Як змінюється детермінант при перестановці стовпців?

5. Сформулюйте властивість лінійного комбінування рядків або стовпців детермінанту.

6. Чому дорівнює добуток детермінантів?

PAGE  40


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9109. ДЕРЖАВА І ПРАВО УКРАЇНСЬКИХ ЗЕМЕЛЬ У СКЛАДІ ВЕЛИКОГО КНЯЗІВСТВА ЛИТОВСЬКОГО ТА РЕЧІ ПОСПОЛИТОЇ 306.5 KB
  ДЕРЖАВА І ПРАВО УКРАЇНСЬКИХ ЗЕМЕЛЬ У СКЛАДІ ВЕЛИКОГО КНЯЗІВСТВА ЛИТОВСЬКОГО ТА РЕЧІ ПОСПОЛИТОЇ 1. Приєднання українських земель до Великого князівства Литовського і Речі Посполитої. 2. Виникнення українського козацтва. Запорізька Січ. 3. Суспільний ...
9110. ДЕРЖАВА І ПРАВО УКРАЇНИ У ПЕРІОД НАРОДНО-ВИЗВОЛЬНОЇ ВІЙНИ 1648-1654 рр. 143 KB
  ДЕРЖАВА І ПРАВО УКРАЇНИ У ПЕРІОД НАРОДНО-ВИЗВОЛЬНОЇ ВІЙНИ 1648-1654 рр. Антикріпосницький і національно-визвольний характер народної війни. Суспільний лад України у період народно-визвольної війни. Державний устрій України періоду...
9111. ДЕРЖАВА І ПРАВО УКРАЇНИ У ПЕРІОД КОЗАЦЬКО-ГЕТЬМАНСЬКОЇ ДОБИ (СЕРЕДИНА 17 – КІНЕЦЬ 18 СТ.) 287 KB
  ДЕРЖАВА І ПРАВО УКРАЇНИ У ПЕРІОД КОЗАЦЬКО-ГЕТЬМАНСЬКОЇ ДОБИ (СЕРЕДИНА 17 - КІНЕЦЬ 18 СТ.) 1. Перерозподіли території України між іноземними державами. 2. Суспільний лад Козацько-гетьманської держави. 3. Державний устрій Козацько-гетьманської де...
9112. ДЕРЖАВА І ПРАВО УКРАЇНИ У СКЛАДІ РОСІЙСЬКОЇ ІМПЕРІЇ У ПЕРШІЙ ПОЛОВИНІ 19 СТ. 135.5 KB
  ДЕРЖАВА І ПРАВО УКРАЇНИ У СКЛАДІ РОСІЙСЬКОЇ ІМПЕРІЇ У ПЕРШІЙ ПОЛОВИНІ 19 СТ. Криза і розпад феодально-кріпосницького ладу. Суспільний лад. Державний устрій. Характеристика права. Криза і розпад феодально-кріпосницького ...
9113. ДЕРЖАВА І ПРАВО УКРАЇНИ У СКЛАДІ РОСІЙСЬКОЇ ІМПЕРІЇ У ДРУГІЙ ПОЛОВИНІ 19 СТ 208.5 KB
  ДЕРЖАВА І ПРАВО УКРАЇНИ У СКЛАДІ РОСІЙСЬКОЇ ІМПЕРІЇ У ДРУГІЙ ПОЛОВИНІ 19 СТ. Скасування кріпосного права. Суспільний лад. Державний устрій. Характеристика права. 1. Скасування кріпосного права Правову основу селянської реформ...
9114. ДЕРЖАВА І ПРАВО ЗАХІДНОУКРАЇНСЬКИХ ЗЕМЕЛЬ У СКЛАДІ АВСТРО-УГОРСЬКОЇ ІМПЕРІЇ (1772-1918 рр.) 261.5 KB
  ДЕРЖАВА І ПРАВО ЗАХІДНОУКРАЇНСЬКИХ ЗЕМЕЛЬ У СКЛАДІ АВСТРО-УГОРСЬКОЇ ІМПЕРІЇ (1772-1918 рр.) 1. Загарбання західноукраїнських земель Австрійською монархією і Угорським королівством і австро-угорська колоніальна політика. 2. Суспільний ладзахідн...
9115. ДЕРЖАВА І ПРАВО У ПЕРІОД ВІДРОДЖЕННЯ УКРАЇНСЬКОЇ ДЕРЖАВНОСТІ (1917-1920 рр.) 222.5 KB
  ДЕРЖАВА І ПРАВО У ПЕРІОД ВІДРОДЖЕННЯ УКРАЇНСЬКОЇ ДЕРЖАВНОСТІ (1917-1920 рр.) 1. Лютнева революція 1917 р. у Росії. Розпад Російської імперії і встановлення влади Тимчасового уряду. 2. Утворення Української Центральної Ради. Державний устрій і право ...
9116. ДЕРЖАВА І ПРАВО ЗАХІДНОУКРАЇНСЬКОЇ НАРОДНОЇ РЕСПУБЛІКИ (1918-1923 рр.) 90 KB
  ДЕРЖАВА І ПРАВО ЗАХІДНОУКРАЇНСЬКОЇ НАРОДНОЇ РЕСПУБЛІКИ (1918-1923 рр.) Розпад Австро-Угорщини і проголошення ЗУНР. Державний устрій ЗУНР. Законодавча діяльність ЗУНР. Злука УНР і ЗУНР. Падіння ЗУНР. 1. Розпад Австро-Уго...
9117. ЗМІНИ У ДЕРЖАВНОМУ УСТРОЇ І ПРАВІ УРСР У ПЕРІОД ДРУГОЇ СВІТОВОЇ ВІЙНИ 131.5 KB
  Зміни у державному устрої і праві УРСР у період другої світової війни. Входження Західної України і Північної Буковини до складу УРСР: Правове становище західноукраїнських земель у складі іноземних держав у період до другої світо...