21193

Властивості детермінантів

Реферат

Математика и математический анализ

Детермінант транспонованої матриці дорівнює детермінанту даної. З очевидної рівності випливає що детермінант можна записати також у вигляді == =.2 Після транспонування одержимо детермінант в добутках якого індекси множників помінялись місцями.

Украинкский

2013-08-02

220.5 KB

14 чел.

Властивості детермінантів.

1. Детермінант транспонованої матриці дорівнює детермінанту даної.

З очевидної рівності  випливає, що детермінант можна записати також у вигляді

==

=. (5.1)

Якщо в добутках, які входять в цю суму, множники попереставляти місцями, то при кожній зміні множників місцями одночасно поміняються місцями і числа в перестановках індексів. Але при кожній транспозиції число інверсій в кожній перестановці змінюється на непарне число, а значить їх сума на парне, таким чином добутки в (5.1) можна записати так

. (5.2)

Після транспонування одержимо детермінант , в добутках якого індекси множників помінялись місцями.

Оскільки сам добуток від порядку множників не залежить, а знак, згідно (5.2) теж не змінюється, то в результаті отримаємо те, що потрібно довести

. (5.3)

 Висновок: рядки та стовпці детермінанта рівноправні за своїми властивостями.

2. Загальний множник будь-якого рядка детермінанта можна виносити за знак детермінанта.

 Дійсно,

== = =  (5.4)

 Висновок: детермінант з нульовим рядком дорівнює нулю. Для доведення достатньо покласти .

3. Правило складання детермінантів.

Нехай у детермінанті елементи i-ого рядка становлять суму двох доданків: . Такий детермінант є сумою двох детермінантів, з яких в першому детермінанті на місці i-ого рядка стоять доданки , а в другому - доданки . Доведення:

=   

 (5.5)

Приклад:

 

4. Детермінант, у якого два рядки рівні, дорівнює нулю.

Для доведення розіб"ємо суму на дві частини, які відповідають парним та непарним перестановкам:

-

- (5.6)

Нехай рядки  та  однакові: ,  j= 1,2,... Замінемо місцями числа з -ого та -ого рядка, , , в кожному добутку суми з непарними перестановками. Це приведе до однієї транспозиції в усіх непарних перестановках, в результаті чого вони стануть парними. Оскільки сам добуток при цьому не зміниться, то одержимо, що з першої суми (з парними перестановками) віднімається така ж друга сума. В результаті маємо .

Приклад:

 .

5. Зміна місцями будь-яких двох рядків детермінанта не змінює його величини, але змінює його знак на протилежний.

 Доведення: Для коротшого запису позначимо рядок жирним шрифтом: . На основі властивості 4 маємо:

 (5.7)

Звідси одержимо:

. (5.8)

6. Якщо до будь-якого рядка детермінанта додати другий рядок, помножений на будь-яке число, величина детермінанта не зміниться.

Доведення:

 (5.9)

Висновок 1: До будь-якого рядка детермінанта можна додати довільну лінійну комбінацію інших рядків. При цьому величина детермінанта не зміниться.

Висновок 2: Детермінант, в якому є лінійно залежні рядки, дорівнює нулю.

Доведення: Нехай у детермінанті n-го порядку  перші k рядків лінійно залежні. Це означає, що існують такі числа, сума добутку яких на елементи цих рядків дорівнює нулю:  . При цьому де хоча б одне з чисел  відмінне від нуля. Нехай . Тоді  Віднявши від першого рядка детермінанта таку комбінацію інших рядків отримаємо в пешому рядку нулі. Отже, детермінант дорівнює нулю.

Приклад: , так як третій рядок є лінійною комбінацією перших двох: . У зв"язку з цим, віднімаючи від нього цю комбінацію, отримаємо в третьому рядку нулі  Отже, детермінант буде дорівнювати нулю.

7. Детермінант добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку детермінантів множників:

, (5.10)

де A і В - квадратні матриці порядка . Схематичне доведення проведемо в декілька етапів.

1) Перш за все замітимо, що детермінант трикутної матриці, наприклад, верхньої трикутної

 (5.11)

дорівнює добутку елементів головної діагоналі, бо цей добуток буде єдиним доданком в сумі (5.1), відмінним від нуля. Отже,

. (5.12)

2) Розглянемо матрицю А, яку запишемо у виді

, (5.13)

де  - рядки матриці.

Помножимо її зліва на верхню унітрикутну матрицю

. (5.14)

Маємо

. (5.15)

В цій матриці перший рядок утворений з першого рядка матриці А добавленням всіх останніх рядків, помножених на числа , другий - з другого рядка добавленням всіх наступних, помножених на відповідні числа, і т. д. Згідно властивості 6 величина детермінанта матриці при цьому не зміниться, отже

. (5.16)

3) Розглянемо тепер так звану блочну матрицю  порядка , де A і В задані матриці, E - одинична матриця.

Скористаємося аналогією з формулою (5.12). Одержимо

. (5.17)

Цей результат може бути доведений строго, але в наслідок складності доведення воно тут не приводиться.

Помножимо зліва блочну матрицю на унітрикутну матрицю . При цьому детермінант, як це показано вище, не зміниться.

. (5.18)

Переставимо блоки  і  місцями, що рівносильно перестановці місцями  стовпців

 (5.19)

Звідси маємо

. (5.20)

Співставляючи цей результат з (5.18) маємо

. (5.21)

Контрольні питання.

1. Чим відрізняється властивість транспонування детермінанту від транспонування матриці?

2. Чому дорівнює детермінант з нульовим стовпцем?

3. Чим відрізняється властивість додавання детермінантів від додавання матриць?

4. Як змінюється детермінант при перестановці стовпців?

5. Сформулюйте властивість лінійного комбінування рядків або стовпців детермінанту.

6. Чому дорівнює добуток детермінантів?

PAGE  40


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20365. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ГЕНЕРИРОВАНИЯ И УСИЛЕНИЯ ВЧ И СВЧ КОЛЕБАНИЙ 209 KB
  ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ГЕНЕРИРОВАНИЯ И УСИЛЕНИЯ ВЧ И СВЧ КОЛЕБАНИЙ Классификация и физический механизм работы ВЧ и СВЧ генераторов Генератор на электровакуумном приборе Генератор на биполярном транзисторе Генератор на полевом транзисторе Генератор на диоде Клистронный генератор Генератор на лампе бегущей волны Время взаимодействия носителей заряда с электромагнитным полем Принципы синхронизма и фазировки носителей заряда с электромагнитным полем Мощность взаимодействия носителей заряда с электромагнитным полем 3. В основе работы всех типов...
20366. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ВЧ ГВВ 136 KB
  ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ВЧ ГВВ 10. Согласующие цепи в узкополосных ВЧ транзисторных генераторах 10. Согласующие цепи в широкополосных ВЧ генераторах 10. Обобщенная схема ГВВ Назначение входной цепи состоит в согласовании входного сопротивления транзистора Zвх с источником возбуждения.
20367. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ широкополосных генераторов 63 KB
  Согласующие электрические цепи в широкополосных ВЧ генераторах 11. Согласующие электрические цепи в широкополосных ВЧ генераторах Предельная возможность согласования генератора с нагрузкой в полосе частот. На одной частоте можно произвести оптимальное согласование генератора с нагрузкой при любых параметрах последней выполнив условие 5. при создании широкополосного генератора.
20368. СВЧ ТРАНЗИСТОРНЫЕ ГВВ 97.5 KB
  СВЧ ТРАНЗИСТОРНЫЕ ГВВ 13. СВЧ транзисторный генератор балансного типа 13. Линейный режим работы транзисторного СВЧ генератора 13. Режим перелива мощности в транзисторных СВЧ генераторах 13.
20369. Устройства генерирования и формирования сигналов (УГФС) в системах подвижной радиосвязи (СПРС) 93.5 KB
  Место и функции радиопередающих устройств РпдУ в системах подвижной связи Радиопередающими устройствами более коротко радиопередатчиками называются радиотехнические аппараты служащие для генерирования усиления по мощности и модуляции высокочастотных ВЧ и сверхвысокочастотных СВЧ колебаний подводимых к антенне и излучаемых в пространство. Третья из названных функций модуляция есть процесс наложения исходного сообщения например речи или телевизионного изображения на ВЧ или СВЧ колебания. В зависимости от назначения...
20370. КЛАССИФИКАЦИЯ, КАСКАДЫ, СТРУКТУРНАЯ СХЕМА и параметры РАДИОПЕРЕДАТЧИКОВ 228 KB
  Для характеристики типа радиопередатчика следует указать к какому виду он относится в каждом из пяти названных разрядов.1 Наименование диапазона Длина волны Частота Назначение системы и радиопередатчика Мириаметровые сверхдлинные волны 100. В зависимости от полосы пропускания различают узко и широкополосные генераторы; умножитель частоты служащий для умножения частоты колебаний; преобразователь частоты предназначенный для смещения частоты колебаний на требуемую величину; делитель частоты служащий для деления частоты колебаний; частотный...
20371. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЧ ГЕНЕРАТОРА С ВНЕШНИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ 372.5 KB
  ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЧ ГЕНЕРАТОРА С ВНЕШНИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ 4. Обобщенная схема генератора с внешним возбуждением и ее анализ 4. Динамические характеристики ВЧ генератора и максимально отдаваемая им мощность 4. Нагрузочные амплитудные и частотные характеристики ВЧ генератора 4.
20372. Ламповые высокочастотные генераторы с внешним возбуждением 433.5 KB
  4 а для анодного тока при при ; при 5. Для анодного тока рис.7 где крутизна линии граничного режима проводимая через точки резкого спада анодного тока см.4а для сеточного тока при запишем: при ; при 5.
20373. Юридичні терміни. Тлумачний словник 1.71 MB
  Рекомендовано Міністерством освіти і науки України лист№ 14 18. У роботі над словником взяли участь викладачі Академії адвокатури України та юридичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Законодавство України на відміну від законодавства деяких країн напр. АГРАРНЕ ПРАВО одна з важливих галузей права України що є правонаступником колгоспного та сільськогосподарського права.