21193

Властивості детермінантів

Реферат

Математика и математический анализ

Детермінант транспонованої матриці дорівнює детермінанту даної. З очевидної рівності випливає що детермінант можна записати також у вигляді == =.2 Після транспонування одержимо детермінант в добутках якого індекси множників помінялись місцями.

Украинкский

2013-08-02

220.5 KB

14 чел.

Властивості детермінантів.

1. Детермінант транспонованої матриці дорівнює детермінанту даної.

З очевидної рівності  випливає, що детермінант можна записати також у вигляді

==

=. (5.1)

Якщо в добутках, які входять в цю суму, множники попереставляти місцями, то при кожній зміні множників місцями одночасно поміняються місцями і числа в перестановках індексів. Але при кожній транспозиції число інверсій в кожній перестановці змінюється на непарне число, а значить їх сума на парне, таким чином добутки в (5.1) можна записати так

. (5.2)

Після транспонування одержимо детермінант , в добутках якого індекси множників помінялись місцями.

Оскільки сам добуток від порядку множників не залежить, а знак, згідно (5.2) теж не змінюється, то в результаті отримаємо те, що потрібно довести

. (5.3)

 Висновок: рядки та стовпці детермінанта рівноправні за своїми властивостями.

2. Загальний множник будь-якого рядка детермінанта можна виносити за знак детермінанта.

 Дійсно,

== = =  (5.4)

 Висновок: детермінант з нульовим рядком дорівнює нулю. Для доведення достатньо покласти .

3. Правило складання детермінантів.

Нехай у детермінанті елементи i-ого рядка становлять суму двох доданків: . Такий детермінант є сумою двох детермінантів, з яких в першому детермінанті на місці i-ого рядка стоять доданки , а в другому - доданки . Доведення:

=   

 (5.5)

Приклад:

 

4. Детермінант, у якого два рядки рівні, дорівнює нулю.

Для доведення розіб"ємо суму на дві частини, які відповідають парним та непарним перестановкам:

-

- (5.6)

Нехай рядки  та  однакові: ,  j= 1,2,... Замінемо місцями числа з -ого та -ого рядка, , , в кожному добутку суми з непарними перестановками. Це приведе до однієї транспозиції в усіх непарних перестановках, в результаті чого вони стануть парними. Оскільки сам добуток при цьому не зміниться, то одержимо, що з першої суми (з парними перестановками) віднімається така ж друга сума. В результаті маємо .

Приклад:

 .

5. Зміна місцями будь-яких двох рядків детермінанта не змінює його величини, але змінює його знак на протилежний.

 Доведення: Для коротшого запису позначимо рядок жирним шрифтом: . На основі властивості 4 маємо:

 (5.7)

Звідси одержимо:

. (5.8)

6. Якщо до будь-якого рядка детермінанта додати другий рядок, помножений на будь-яке число, величина детермінанта не зміниться.

Доведення:

 (5.9)

Висновок 1: До будь-якого рядка детермінанта можна додати довільну лінійну комбінацію інших рядків. При цьому величина детермінанта не зміниться.

Висновок 2: Детермінант, в якому є лінійно залежні рядки, дорівнює нулю.

Доведення: Нехай у детермінанті n-го порядку  перші k рядків лінійно залежні. Це означає, що існують такі числа, сума добутку яких на елементи цих рядків дорівнює нулю:  . При цьому де хоча б одне з чисел  відмінне від нуля. Нехай . Тоді  Віднявши від першого рядка детермінанта таку комбінацію інших рядків отримаємо в пешому рядку нулі. Отже, детермінант дорівнює нулю.

Приклад: , так як третій рядок є лінійною комбінацією перших двох: . У зв"язку з цим, віднімаючи від нього цю комбінацію, отримаємо в третьому рядку нулі  Отже, детермінант буде дорівнювати нулю.

7. Детермінант добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку детермінантів множників:

, (5.10)

де A і В - квадратні матриці порядка . Схематичне доведення проведемо в декілька етапів.

1) Перш за все замітимо, що детермінант трикутної матриці, наприклад, верхньої трикутної

 (5.11)

дорівнює добутку елементів головної діагоналі, бо цей добуток буде єдиним доданком в сумі (5.1), відмінним від нуля. Отже,

. (5.12)

2) Розглянемо матрицю А, яку запишемо у виді

, (5.13)

де  - рядки матриці.

Помножимо її зліва на верхню унітрикутну матрицю

. (5.14)

Маємо

. (5.15)

В цій матриці перший рядок утворений з першого рядка матриці А добавленням всіх останніх рядків, помножених на числа , другий - з другого рядка добавленням всіх наступних, помножених на відповідні числа, і т. д. Згідно властивості 6 величина детермінанта матриці при цьому не зміниться, отже

. (5.16)

3) Розглянемо тепер так звану блочну матрицю  порядка , де A і В задані матриці, E - одинична матриця.

Скористаємося аналогією з формулою (5.12). Одержимо

. (5.17)

Цей результат може бути доведений строго, але в наслідок складності доведення воно тут не приводиться.

Помножимо зліва блочну матрицю на унітрикутну матрицю . При цьому детермінант, як це показано вище, не зміниться.

. (5.18)

Переставимо блоки  і  місцями, що рівносильно перестановці місцями  стовпців

 (5.19)

Звідси маємо

. (5.20)

Співставляючи цей результат з (5.18) маємо

. (5.21)

Контрольні питання.

1. Чим відрізняється властивість транспонування детермінанту від транспонування матриці?

2. Чому дорівнює детермінант з нульовим стовпцем?

3. Чим відрізняється властивість додавання детермінантів від додавання матриць?

4. Як змінюється детермінант при перестановці стовпців?

5. Сформулюйте властивість лінійного комбінування рядків або стовпців детермінанту.

6. Чому дорівнює добуток детермінантів?

PAGE  40


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68137. ДОСЛІДЖЕННЯ СПОЖИВНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ, ЯКОСТІ І ЗБЕРЕЖЕНОСТІ ПРЯНИКІВ ПОЛІПШЕНОГО СКЛАДУ 5.06 MB
  Основна сировина для пряників не забезпечує високої харчової і біологічної цінності готової продукції. Для оптимізації складу і поліпшення споживних властивостей пряників важливим завданням постає раціональне поєднання різних видів сировини натурального походження.
68138. ПІДВИЩЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ ЛОКАЛІЗАЦІЇ ПОЖЕЖ НАФТОПРОДУКТІВ НА ЗАЛІЗНИЧНОМУ ТРАНСПОРТІ 318 KB
  Аналіз статистики аварій на залізничному транспорті пов’язаних з пожежами показує що близько 80 складають пожежі нафтопродуктів. Такі пожежі характеризуються підвищеною складністю викликаною скупченням легкозаймистих і горючих рідин і небезпекою поширення пожежі на сусідні цистерни.
68139. АДМІНІСТРАТИВНО-ПРАВОВЕ РЕГУЛЮВАННЯ ПРИРОДНИХ МОНОПОЛІЙ В УКРАЇНІ 171.5 KB
  До них відносяться в першу чергу сфери діяльності суб’єктів природних монополій: транспортування газу по трубопроводах; послуги з передачі електричної і теплової енергії; залізничні перевезення; послуги транспортних терміналів портів аеропортів. Відносини між державою і суб'єктами природних монополій мають величезне значення.
68140. Морфологічні особливості дифузної нейроендокринної системи тонкої кишки при високій гострій тонкокишковій непрохідності та її корекції в експерименті 208 KB
  В останні роки встановлено що після резекції тонкої кишки значну функцію нейроендокринної регуляції бере на себе товста кишка Jeppesen P. Визначені загальні закономірності структурнофункціональної організації ендокринного апарату слизової оболонки тонкої кишки...
68141. КОНСТРУКТИВНО-ГЕОГРАФІЧНІ ЗАСАДИ ОПТИМІЗАЦІЇ ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ В БАСЕЙНІ РІКИ ЗАХІДНИЙ БУГ У МЕЖАХ ВОЛИНСЬКОЇ ОБЛАСТІ 1.11 MB
  Геосистема річкового басейну є найбільш чутливим індикатором змін довкілля та значною мірою відображає його стан що є особливо актуальним на сучасному етапі розвитку суспільства. Лише за комплексного й глибокого вивчення можливі науково обґрунтовані аналіз і прогнозування стану...
68142. ЛОГІСТИЧНЕ УПРАВЛІННЯ ПОЗИКОВИМ ПОТЕНЦІАЛОМ ПІДПРИЄМСТВ 260.5 KB
  Проте ряд питань пов’язаних з формуванням позикового потенціалу підприємств ще не знайшли належного відображення в наукових дослідженнях. Не менш важливим є визначення сутності та складових позикового потенціалу підприємства узгодження його складових обґрунтування особливостей логістичного...
68143. НАЦІОНАЛЬНЕ БАГАТСТВО УКРАЇНИ ЯК ПОТЕНЦІАЛ ЕКОНОМІЧНОГО РОЗВИТКУ 464.5 KB
  Національне багатство країни формує базові умови стратегії розвитку країни та створює підґрунтя для гармонізації стратегічних пріоритетів з новими закономірностями економічного зростання та завданнями формування збалансованих соціально- та екологічно-орієнтованих господарських систем.
68144. ТРАДИЦІЯ АРИСТОТЕЛІЗМУ У ФІЛОСОФІЇ ТОМІЗМУ 130.5 KB
  Сковороду і загалом кордоцентризм – ця традиція прагне не так зрозуміти як €œпізнати осягнути шукає не розгадки а пережиття натомість у відповідності до аристотелізму томізм акцентував увагу на раціональній методиці пізнання як світу речей так і Бога. Отож поворотним пунктом вивчення аристотелізму...
68145. ВІДТВОРЕННЯ ОБРАЗНОЇ СВОЄРІДНОСТІ ПОЕЗІЙ АНГЛІЙСЬКИХ ТА АМЕРИКАНСЬКИХ РОМАНТИКІВ В УКРАЇНСЬКИХ ПЕРЕКЛАДАХ 173 KB
  Реферована дисертація присвячена аналізу відтворення художніх образів в українських перекладах англійських та американських романтичних поезій. Інтерпретація художніх образів відноситься до важливих завдань у царині перекладознавчих досліджень. Однак інтерпретація образів романтичних поезій в англо-українських...