21193

Властивості детермінантів

Реферат

Математика и математический анализ

Детермінант транспонованої матриці дорівнює детермінанту даної. З очевидної рівності випливає що детермінант можна записати також у вигляді == =.2 Після транспонування одержимо детермінант в добутках якого індекси множників помінялись місцями.

Украинкский

2013-08-02

220.5 KB

14 чел.

Властивості детермінантів.

1. Детермінант транспонованої матриці дорівнює детермінанту даної.

З очевидної рівності  випливає, що детермінант можна записати також у вигляді

==

=. (5.1)

Якщо в добутках, які входять в цю суму, множники попереставляти місцями, то при кожній зміні множників місцями одночасно поміняються місцями і числа в перестановках індексів. Але при кожній транспозиції число інверсій в кожній перестановці змінюється на непарне число, а значить їх сума на парне, таким чином добутки в (5.1) можна записати так

. (5.2)

Після транспонування одержимо детермінант , в добутках якого індекси множників помінялись місцями.

Оскільки сам добуток від порядку множників не залежить, а знак, згідно (5.2) теж не змінюється, то в результаті отримаємо те, що потрібно довести

. (5.3)

 Висновок: рядки та стовпці детермінанта рівноправні за своїми властивостями.

2. Загальний множник будь-якого рядка детермінанта можна виносити за знак детермінанта.

 Дійсно,

== = =  (5.4)

 Висновок: детермінант з нульовим рядком дорівнює нулю. Для доведення достатньо покласти .

3. Правило складання детермінантів.

Нехай у детермінанті елементи i-ого рядка становлять суму двох доданків: . Такий детермінант є сумою двох детермінантів, з яких в першому детермінанті на місці i-ого рядка стоять доданки , а в другому - доданки . Доведення:

=   

 (5.5)

Приклад:

 

4. Детермінант, у якого два рядки рівні, дорівнює нулю.

Для доведення розіб"ємо суму на дві частини, які відповідають парним та непарним перестановкам:

-

- (5.6)

Нехай рядки  та  однакові: ,  j= 1,2,... Замінемо місцями числа з -ого та -ого рядка, , , в кожному добутку суми з непарними перестановками. Це приведе до однієї транспозиції в усіх непарних перестановках, в результаті чого вони стануть парними. Оскільки сам добуток при цьому не зміниться, то одержимо, що з першої суми (з парними перестановками) віднімається така ж друга сума. В результаті маємо .

Приклад:

 .

5. Зміна місцями будь-яких двох рядків детермінанта не змінює його величини, але змінює його знак на протилежний.

 Доведення: Для коротшого запису позначимо рядок жирним шрифтом: . На основі властивості 4 маємо:

 (5.7)

Звідси одержимо:

. (5.8)

6. Якщо до будь-якого рядка детермінанта додати другий рядок, помножений на будь-яке число, величина детермінанта не зміниться.

Доведення:

 (5.9)

Висновок 1: До будь-якого рядка детермінанта можна додати довільну лінійну комбінацію інших рядків. При цьому величина детермінанта не зміниться.

Висновок 2: Детермінант, в якому є лінійно залежні рядки, дорівнює нулю.

Доведення: Нехай у детермінанті n-го порядку  перші k рядків лінійно залежні. Це означає, що існують такі числа, сума добутку яких на елементи цих рядків дорівнює нулю:  . При цьому де хоча б одне з чисел  відмінне від нуля. Нехай . Тоді  Віднявши від першого рядка детермінанта таку комбінацію інших рядків отримаємо в пешому рядку нулі. Отже, детермінант дорівнює нулю.

Приклад: , так як третій рядок є лінійною комбінацією перших двох: . У зв"язку з цим, віднімаючи від нього цю комбінацію, отримаємо в третьому рядку нулі  Отже, детермінант буде дорівнювати нулю.

7. Детермінант добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку детермінантів множників:

, (5.10)

де A і В - квадратні матриці порядка . Схематичне доведення проведемо в декілька етапів.

1) Перш за все замітимо, що детермінант трикутної матриці, наприклад, верхньої трикутної

 (5.11)

дорівнює добутку елементів головної діагоналі, бо цей добуток буде єдиним доданком в сумі (5.1), відмінним від нуля. Отже,

. (5.12)

2) Розглянемо матрицю А, яку запишемо у виді

, (5.13)

де  - рядки матриці.

Помножимо її зліва на верхню унітрикутну матрицю

. (5.14)

Маємо

. (5.15)

В цій матриці перший рядок утворений з першого рядка матриці А добавленням всіх останніх рядків, помножених на числа , другий - з другого рядка добавленням всіх наступних, помножених на відповідні числа, і т. д. Згідно властивості 6 величина детермінанта матриці при цьому не зміниться, отже

. (5.16)

3) Розглянемо тепер так звану блочну матрицю  порядка , де A і В задані матриці, E - одинична матриця.

Скористаємося аналогією з формулою (5.12). Одержимо

. (5.17)

Цей результат може бути доведений строго, але в наслідок складності доведення воно тут не приводиться.

Помножимо зліва блочну матрицю на унітрикутну матрицю . При цьому детермінант, як це показано вище, не зміниться.

. (5.18)

Переставимо блоки  і  місцями, що рівносильно перестановці місцями  стовпців

 (5.19)

Звідси маємо

. (5.20)

Співставляючи цей результат з (5.18) маємо

. (5.21)

Контрольні питання.

1. Чим відрізняється властивість транспонування детермінанту від транспонування матриці?

2. Чому дорівнює детермінант з нульовим стовпцем?

3. Чим відрізняється властивість додавання детермінантів від додавання матриць?

4. Як змінюється детермінант при перестановці стовпців?

5. Сформулюйте властивість лінійного комбінування рядків або стовпців детермінанту.

6. Чому дорівнює добуток детермінантів?

PAGE  40


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28531. Гаммирование с обратной связью 16.05 KB
  Данный режим очень похож на режим гаммирования и отличается от него только способом выработки элементов гаммы очередной элемент гаммы вырабатывается как результат преобразования по циклу 32З предыдущего блока зашифрованных данных а для зашифрования первого блока массива данных элемент гаммы вырабатывается как результат преобразования синхропосылки по тому же циклу 32З. Как видно из соответствующего уравнения при расшифровании блока данных в режиме гаммирования с обратной связью блок открытых данных зависит от соответствующего и...
28532. Выработка имитовставки к массиву данных 15.64 KB
  Ранее мы обсудили влияние искажения шифрованных данных на соответствующие открытые данные. Мы установили что при расшифровании в режиме простой замены соответствующий блок открытых данных оказывается искаженным непредсказуемым образом а при расшифровании блока в режиме гаммирования изменения предсказуемы. Означает ли это что с точки зрения защиты от навязывания ложных данных режим гаммирования является плохим а режимы простой замены и гаммирования с обратной связью хорошими Ни в коем случае.
28533. Криптографические средства 24 KB
  Они имеют своей задачей защиту информации при передаче по линиям связи хранении на магнитных носителях а так же препятствуют вводу ложной информации имитостойкость. Основные задачи криптографии Криптографические методы защиты информации используются как самостоятельно так и в качестве вспомогательного средства для решения задач не имеющих на первый взгляд отношения к криптографии. Интересы криптографии сосредоточены на двух задачах: обеспечение конфиденциальности при хранении и передаче информации когда никто кроме владельца...
28534. Характер криптографической деятельности 68.5 KB
  Вместе с тем большую если не центральную роль в защите информации играет ранее сверх засекреченная область деятельности криптография. Криптография в переводе с греческого означает тайнопись как систему изменения правил написания текстов с целью сделать эти тексты непонятными для непосвященных лиц не путать с тайнописью основанной на сокрытии самого факта написания текста например симпатическими чернилами и т. Шифровались религиозные тексты прорицания жрецов медицинские рецепты использовалась криптография и в государственной сфере....
28535. Защита данных с помощью шифрования 44.5 KB
  Защита данных с помощью шифрования одно из возможных решений проблемы безопасности. Зашифрованные данные становятся доступными только тем кто знает как их расшифровать и поэтому похищение зашифрованных данных абсолютно бессмысленно для несанкционированных пользователей. Основные направления использования криптографических методов передача конфиденциальной информации по каналам связи например электронная почта установление подлинности передаваемых сообщений хранение информации документов баз данных на носителях в...
28536. Требования к криптосистемам 29 KB
  Независимо от способа реализации для современных криптографических систем защиты информации сформулированы следующие общепринятые требования: стойкость шифра противостоять криптоанализу должна быть такой чтобы вскрытие его могло быть осуществлено только решением задачи полного перебора ключей и должно либо выходить за пределы возможностей современных компьютеров с учетом возможности организации сетевых вычислений или требовать создания использования дорогих вычислительных систем; криптостойкость обеспечивается не секретностью...
28537. Имитостойкость и помехоустойчивость шифров 13.41 KB
  Они имеют своей задачей защиту информации при передаче по линиям связи хранении на магнитных носителях а так же препятствуют вводу ложной информации имитостойкость. Различают стойкость ключа сложность раскрытия ключа наилучшим известным алгоритмом стойкость бесключевого чтения имитостойкость сложность навязывания ложной информации наилучшим известным алгоритмом и вероятность навязывания ложной информации. Аналогично можно различать стойкость собственно криптоалгоритма стойкость протокола стойкость алгоритма генерации и...
28538. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О КРИПТОАНАЛИЗЕ 39.5 KB
  Нарушителю доступны все зашифрованные тексты. Нарушитель может иметь доступ к некоторым исходным текстам для которых известны соответствующие им зашифрованные тексты. Его применение осложнено тем что в реальных криптосистемах информация перед шифрованием подвергается сжатию превращая исходный текст в случайную последовательность символов или в случае гаммирования используются псевдослучайные последовательности большой длины. Дифференциальный или разностный криптоанализ основан на анализе зависимости изменения шифрованного текста...
28539. Получение случайных чисел 45 KB
  Последовательности случайных чисел найденные алгоритмически на самом деле не являются случайными т. Однако при решении практических задач программно получаемую последовательность часто все же можно рассматривать как случайную при условии что объем выборки случайных чисел не слишком велик. В связи с этим для случайных чисел найденных программным путем часто применяют название псевдослучайные числа.