21193

Властивості детермінантів

Реферат

Математика и математический анализ

Детермінант транспонованої матриці дорівнює детермінанту даної. З очевидної рівності випливає що детермінант можна записати також у вигляді == =.2 Після транспонування одержимо детермінант в добутках якого індекси множників помінялись місцями.

Украинкский

2013-08-02

220.5 KB

14 чел.

Властивості детермінантів.

1. Детермінант транспонованої матриці дорівнює детермінанту даної.

З очевидної рівності  випливає, що детермінант можна записати також у вигляді

==

=. (5.1)

Якщо в добутках, які входять в цю суму, множники попереставляти місцями, то при кожній зміні множників місцями одночасно поміняються місцями і числа в перестановках індексів. Але при кожній транспозиції число інверсій в кожній перестановці змінюється на непарне число, а значить їх сума на парне, таким чином добутки в (5.1) можна записати так

. (5.2)

Після транспонування одержимо детермінант , в добутках якого індекси множників помінялись місцями.

Оскільки сам добуток від порядку множників не залежить, а знак, згідно (5.2) теж не змінюється, то в результаті отримаємо те, що потрібно довести

. (5.3)

 Висновок: рядки та стовпці детермінанта рівноправні за своїми властивостями.

2. Загальний множник будь-якого рядка детермінанта можна виносити за знак детермінанта.

 Дійсно,

== = =  (5.4)

 Висновок: детермінант з нульовим рядком дорівнює нулю. Для доведення достатньо покласти .

3. Правило складання детермінантів.

Нехай у детермінанті елементи i-ого рядка становлять суму двох доданків: . Такий детермінант є сумою двох детермінантів, з яких в першому детермінанті на місці i-ого рядка стоять доданки , а в другому - доданки . Доведення:

=   

 (5.5)

Приклад:

 

4. Детермінант, у якого два рядки рівні, дорівнює нулю.

Для доведення розіб"ємо суму на дві частини, які відповідають парним та непарним перестановкам:

-

- (5.6)

Нехай рядки  та  однакові: ,  j= 1,2,... Замінемо місцями числа з -ого та -ого рядка, , , в кожному добутку суми з непарними перестановками. Це приведе до однієї транспозиції в усіх непарних перестановках, в результаті чого вони стануть парними. Оскільки сам добуток при цьому не зміниться, то одержимо, що з першої суми (з парними перестановками) віднімається така ж друга сума. В результаті маємо .

Приклад:

 .

5. Зміна місцями будь-яких двох рядків детермінанта не змінює його величини, але змінює його знак на протилежний.

 Доведення: Для коротшого запису позначимо рядок жирним шрифтом: . На основі властивості 4 маємо:

 (5.7)

Звідси одержимо:

. (5.8)

6. Якщо до будь-якого рядка детермінанта додати другий рядок, помножений на будь-яке число, величина детермінанта не зміниться.

Доведення:

 (5.9)

Висновок 1: До будь-якого рядка детермінанта можна додати довільну лінійну комбінацію інших рядків. При цьому величина детермінанта не зміниться.

Висновок 2: Детермінант, в якому є лінійно залежні рядки, дорівнює нулю.

Доведення: Нехай у детермінанті n-го порядку  перші k рядків лінійно залежні. Це означає, що існують такі числа, сума добутку яких на елементи цих рядків дорівнює нулю:  . При цьому де хоча б одне з чисел  відмінне від нуля. Нехай . Тоді  Віднявши від першого рядка детермінанта таку комбінацію інших рядків отримаємо в пешому рядку нулі. Отже, детермінант дорівнює нулю.

Приклад: , так як третій рядок є лінійною комбінацією перших двох: . У зв"язку з цим, віднімаючи від нього цю комбінацію, отримаємо в третьому рядку нулі  Отже, детермінант буде дорівнювати нулю.

7. Детермінант добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку детермінантів множників:

, (5.10)

де A і В - квадратні матриці порядка . Схематичне доведення проведемо в декілька етапів.

1) Перш за все замітимо, що детермінант трикутної матриці, наприклад, верхньої трикутної

 (5.11)

дорівнює добутку елементів головної діагоналі, бо цей добуток буде єдиним доданком в сумі (5.1), відмінним від нуля. Отже,

. (5.12)

2) Розглянемо матрицю А, яку запишемо у виді

, (5.13)

де  - рядки матриці.

Помножимо її зліва на верхню унітрикутну матрицю

. (5.14)

Маємо

. (5.15)

В цій матриці перший рядок утворений з першого рядка матриці А добавленням всіх останніх рядків, помножених на числа , другий - з другого рядка добавленням всіх наступних, помножених на відповідні числа, і т. д. Згідно властивості 6 величина детермінанта матриці при цьому не зміниться, отже

. (5.16)

3) Розглянемо тепер так звану блочну матрицю  порядка , де A і В задані матриці, E - одинична матриця.

Скористаємося аналогією з формулою (5.12). Одержимо

. (5.17)

Цей результат може бути доведений строго, але в наслідок складності доведення воно тут не приводиться.

Помножимо зліва блочну матрицю на унітрикутну матрицю . При цьому детермінант, як це показано вище, не зміниться.

. (5.18)

Переставимо блоки  і  місцями, що рівносильно перестановці місцями  стовпців

 (5.19)

Звідси маємо

. (5.20)

Співставляючи цей результат з (5.18) маємо

. (5.21)

Контрольні питання.

1. Чим відрізняється властивість транспонування детермінанту від транспонування матриці?

2. Чому дорівнює детермінант з нульовим стовпцем?

3. Чим відрізняється властивість додавання детермінантів від додавання матриць?

4. Як змінюється детермінант при перестановці стовпців?

5. Сформулюйте властивість лінійного комбінування рядків або стовпців детермінанту.

6. Чому дорівнює добуток детермінантів?

PAGE  40


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26523. Объединение Германии и Италии. Общие черты и особенности 30 KB
  Малогерманский вариант во главе с Пруссией и без Австрии; 2. Бисмарк предложил Австрии и Пруссии воевать с Данией и в результате войны Шлезенгер отошел Пруссии а Гольдштейн Австрии. Здесь Бисмарк резко заявил что доводить до конца не надо а от Австрии потребовать только отказ от объединения Германии вокруг Австрии. Перед ними стояла цель – надо найти союзника для того чтобы избавиться от гнета Австрии.
26524. Движущие силы, характер, периодизация и итоги Второй Американской революции 43.5 KB
  поделили в пользу Юга территорию к западу от р. активизировалось движение против рабства – аболиционисты – они организовывали тайные маршруты для беглецов с Юга. в отличие от юга здесь индустрия работала на полную мощность на благо фронту. Осенью взяли промышл центр Юга Атланту.
26525. Франко-германская война 1870-1871 гг. и парижская Коммуна 1871 г. и их место в историческом процессе 40 KB
  – Прусская война была осознана в Германии как война за национальное существование и независимость поэтому против Фр. провозглашена республика создано Вп Нац обороны в которое вошли представители политические силы оппозиционные империи. прошли выборы в Нац Собрание которое должно было утвердить прелиминарный мирный договор формальное согласие м д воюющими государствами относительно прекращения военных действий соглашение установления условий прекращения огня в общей форме очерчивается предполагаемая территория договариваются о судьбе...
26526. Общие черты и особенности эк. и П. развития стран Западной Европы и США в конце 19- начале 20 века 61.5 KB
  Внедрение капиталистического производства вызвало ряд изменений: 1. По темпам ежегодного приращивания производства 1 место США 2 место Германия. Еще 1й закономерностью развития стран было образование монополий – добровольных объединений независимых предпринимателей обладающие исключительным правом производства или торговли. переход от независимого производства к концентрации производства: спрос = предложение = прибыль = обострение конкуренции = нерегулируемое производство = кризис перепроизводства = концентрация производства.
26527. Международные отношения в последней трети 19-нач.20 века 31 KB
  Герм. надолго была ослаблена а Герм. Германия пыталась добиться гегемонии готовила для себя плацдарм. в результате добилась союза 3х императоров1873 – Герм.
26528. Страны Европы и США в годы I мир. войны 39 KB
  Если Тарле подчеркивал агрессивность только германского империализма то его оппоненты Покровский и его школа перекладывали ответственность на страны Антанты в том числе и на Россию Причинами I мир.вернуть утраченные территории в войне с Германией играть ведущую роль на континенте Англ.сокрушить Герм. Герм.
26529. Итоги первой МВ и Версальско-Вашингтонская система договоров 43 KB
  Создав преимущество германское командование решило перейти в наступление с целью разгрома армии Антанты до того как США смогли бы увеличить своё присутствие в Европе. Победа союзников обусловила главенствующую роль Великобритании Франции и США в выработке условий мирных соглашений на Парижской мирной конференции. проходила за закрытыми дверями США Вильсон Великобритания Ллойд Джордж Фр. этой программой США прикрывали экспансионистскую политику стали претендовать на мировое господство.
26530. Соц.-экономические, культурные и идеологические, П. предпосылки формирования фашизма в Западной Европе. Критерии тоталитаризма и типология тоталитарных систем 62 KB
  существовало 3 основных идеи пангерманистов:1господствующее положение германии в Европе 2 объединение говорящих понемецки народов и нац групп в рамках герм империи 3расшир герм колон владений. немцы призваны господствовать над всем миром. тоталитарный синдром: 1 единственная массовая партия возглавляемая харизматическим лидером и вбирающая небольшую часть населения; организована по олигархическому принципу стоит над бюрократической гос организацией либо переплетена; 2 официальная идеология; 3 монополия на СМИ; 4 на средства...
26531. Особенности раскола раб. движения после 1МВ. и субъективные причины появления Коментерна и РСИ 46 KB
  Лидеры болва соцдем. Политика защиты отечества разделила социалистов стран Антанты и Герм. Левое крыло имелось почти во всех соц. партиях: борцы с капзмом за победу соц.