2128

Автоматизовані системи наукових досліджень (АСНІ)

Конспект

Информатика, кибернетика и программирование

Формальне визначення системи. Методологічні відмінності на рівні змінних і параметрів. Системи даних з нечіткими каналами спостереження. Особливості переходів, залежно від властивостей параметричної множини. Системи із станами, що змінюються. Дослідження і проектування за допомогою АСНІ.

Украинкский

2013-01-06

907.68 KB

36 чел.

АСНІ - конспект лекцій

Лекція 1

Введення 2

Завдання наукових досліджень 2

Систем і їх типи 3

1. Загальні поняття і визначення

Лекція 2

1.1 Об'єкти і системи об'єктів 4

1.2 Базові властивості 5

1.3 Обмеження на вибір баз 5

1.4 Формальне визначення системи 6

Лекція 3

1.5 Змінні і параметри 6

1.6 Узагальнені змінні і параметри. Формалізація. 7 

Лекція 4

1.7 Канали спостереження 8

1.8 Нечіткі канали спостереження 9

Лекція 5

1.9 Методологічні відмінності 11

1.10 Методологічні відмінності на рівні змінних і параметрів 13

2. Представляючі і початкові системи

Лекція 6

2.1 Формалізація представляючих і початкових систем 14

2.2 Системи з вхідними і вихідними змінними 16

Лекція 7

2.3 Вироджені типи направлених систем 17

3. Системи даних

Лекція 8

3.1 Формалізація систем даних 21

3.2 Системи даних з нечіткими каналами спостереження 22

3.3 Представлення даних 22

4. Породжуючі системи

Лекція 9

4.1 Системи з поведінкою 23

4.2 Вибіркові змінні і маски 24

4.3 Маски у разі повністю впорядкованих параметричних множин 25

Лекція 10

4.4 Функції поведінки. Змінні, що породжують і породжувані. 26

4.5 Особливості процедури породження даних 27

Лекція 11

4.6 Функції породження для недетермінованих систем 30

4.7 Направлені системи з поведінкою 31

Лекція 12

4.8 Перехід від систем даних, до систем з поведінкою 32

4.9 Особливості переходів, залежно від властивостей параметричної множини 33

4.10 Особливості побудови масок 34

4.11 Змістовні підмаски 34

Лекція 13

4.12 Заходи нечіткості 35

4.13 Методи обчислень нечіткості 36

Лекція 14

4.14 Вибір відповідних систем з поведінкою 40

4.15 Впорядкування по складності і нечіткості 41

Лекція 15

4.16 Системи із станами, що змінюються 45

Лекція 16

4.17 Взаємозв'язок ST-систем і систем з поведінкою 49

Лекція 17

4.18 Види систем, що породжують 52

4.19 Спрощення систем, що породжують 53

Лекція 18

Дослідження і проектування за допомогою АСНІ 56


Лекція 1

Введення

Наукові дослідження дозволяють виявляти і досліджувати неявні якості і закономірності властиві досліджуваним об'єктам. До таких об'єктів, найчастіше відносяться певні системи і процеси. Особливий інтерес для науки і прикладних завдань представляє автоматизація наукових досліджень, тобто створення автоматизованих систем наукових досліджень (АСНІ).

В курсі будуть розглянуті загальні принципи формалізації довільних систем, отримання емпіричних даних в ході моделювання, основи дослідження систем. Тобто принципи побудови і застосування АСНІ.

 

Завдання наукових досліджень

Предметом завдань наукових досліджень в прикладному сенсі є системи. Оскільки поняття системи охоплює всі об'єкти матеріального світу.

Таким чином, класифікація завдань наукових досліджень може бути визначена відповідно до класифікації систем. Як відомо, система в загальному випадку є впорядкованою парою, де - A безліч елементів системи, а R- безліч відносин між ними. Тепер вводячи певні класи впорядкованих пар можна виділити деякі класи завдань наукових досліджень. Вказані класи можна ввести за наступними ознаками:

а) виділення завдань, в яких розглядаються певні типи елементів систем;

б) виділення завдань, в яких розглядаються певні типи відносин між елементами систем.

Завдання, що розрізняються за ознакою а), детально розглядаються в різних прикладних курсах. Тут нас цікавить класифікація переважно за ознакою. б). Оскільки саме цей шлях дозволяє автоматизувати системи наукових досліджень, в найбільш загальному сенсі. Тобто створити АСНІ, які можна застосовувати до будь-яких областей людської діяльності, у тому числі і до завдань гнучких роботизованих систем.

У принципі безліч всіляких завдань наукових досліджень є нескінченною, але такою, що зводиться до кінцевого числа добре певних типів завдань. Що означає, можливість розробки методів рішення того або іншого типу завдань. У загальному випадку схема роботи АСНІ може бути представлена таким чином (мал. 1).

На схемі видно два альтернативні процеси - абстрагування і інтерпретації, які пов'язують АСНІ із зовнішнім світом, тобто конкретною наочною областю. Абстрагування, означає формування моделі досліджуваного об'єкту, використовуючи поняття характерні для АСНІ. Інтерпретація, означає трактування отриманих результатів, використовуючи поняття характерні для досліджуваного об'єкту. Підкреслимо, що ця схема є загальною схемою для наукових досліджень будь-якого характеру.

Рис.1 Загальна схема роботи АСНІ

Систем і їх типи

Під типами систем розуміємо кількості використовуваних знань про ці системи. Чим старший тип, тим точніше модель (система) описує реальний об'єкт і тим більше глибокі наукові дослідження можуть бути проведені. Всі типи систем будуть розглянуті надалі. Їх вивчення буде нашим основним завданням.

Типи систем можуть бути зображені на наступній ієрархічній схемі, мал. 2. Початкові системи є формальним описом об'єктів зовнішнього світу. Системи даних, припускають засоби для опису даних різної природи, одержаних від об'єкту. Системи, що породжують, включають засоби породження даних адекватних об'єкту дослідження. Структуровані системи складаються з наборів систем нижчого рівня.

У системах вищого рівня використовуються знання нижчих рівнів, і, крім того, міститися знання недоступні нижчим рівням. Таким чином, початкова система міститься у всіх вищих рівнях.

Рис.2 Ієрархічна схема типів систем

К.Р. № 1

Охарактеризуйте загальну схему роботи АСНІ, і ієрархічні типи систем.

Лекція 2

1. Загальні поняття і визначення

1.1 Об'єкти і системи об'єктів

У даному курсі під об'єктом розуміємо частину світу, що виділяється як єдине ціле протягом відчутного проміжку часу.

Згідно цьому визначенню об'єкти можуть бути як

а) матеріальними, так і

б) абстрактними.

Потім, можна матеріальні об'єкти розділити на природні (такі, як шматок скелі, клітка організму, сонце) і створені людиною (такі, як аеропорт, обчислювальний центр). Абстрактні об'єкти (такі, як музичний твір, конспект або конституція України) звичайно створюються людиною, проте деякі з них можна розглядати і як природні, принаймні, до деякої міри (наприклад, український або будь-яка інша природна мова).

В більшості випадків об'єкти володіють практично нескінченним числом властивостей, будь-яке з яких можна цілком осмислено вивчати. Отже, будь-який об'єкт неможливо вивчити повністю. Це означає, що необхідно відібрати обмежене (і звичайно досить мале) число характеристик, що найкращим чином описують даний об'єкт як явище. Після того, як такий відбір зроблений, необхідно визначити процедуру кількісного вимірювання кожної властивості. Що позначає, введення якихось абстрактних змінних, що представляють певні властивості.

На об'єкті, що цікавить нас, система задається набором відповідних властивостей об'єкту. Кожному з яких призначаємо певну змінну, яка може бути зафіксована і зміряна.

Таким чином, система завжди розглядається не як реальний об'єкт, а як абстрагування або відображення деяких властивостей об'єкту.

Тепер потрібно пояснити те, як слід задавати систему. Наприклад, розглянемо мідний дріт, як систему. Реальний дріт, характеризується не тільки завдовжки і положенням, але і масою, температурою, електропровідністю, кристалічною структурою, хімічними домішками, радіоактивністю, швидкістю, межею міцності на розтягування, поглинанням світла, пружністю, формою, питомою вагою і т.д. і т.п. Нереально було б досліджувати всі ці параметри одночасно, так такі спроби ніколи і не робляться. Потрібно виділити і вивчити параметри, що відносяться до якоїсь головної проблеми, яка вже визначена. Таким чином, можна охарактеризувати систему таким чином, система - це не предмет, а список змінних.

Нагадаємо, що термін «змінна» використовується тут для позначення деякої властивості. Тому, щоб можна було визначити його точно, потрібно спочатку розібратися, що ж така властивість.

1.2 Базові властивості

Відмітимо, що з кожною властивістю пов'язано безліч його проявів. Так, наприклад, якщо властивістю є успішність студента, то проявом цієї властивості можуть бути відповідні характеристики.

При одиничному спостереженні властивість має один конкретний прояв. Для визначення можливих проявів цієї властивості, потрібно реалізовувати безліч спостережень цієї властивості. Для того, щоб розрізняти спостереження, здійснювані за допомогою однієї і тієї ж процедури, потрібне щоб кожне спостереження чимось відрізнялося від інших. Будь-яку властивість, використовувану для визначення відмінностей в спостереженнях однієї і тієї ж властивості, називатимемо базою.

Наприклад, в машинному експерименті одержуємо емпіричну вибірку, прояви деякої змінної, шляхом отримання набору випадкових чисел. Кожен конкретний досвід можна відрізнити від іншого за часом почала проведення досвіду.

Слід підкреслити, що поняття якоїсь базової властивості завжди супроводить вивченню деякої основної властивості.

В деяких випадках різні спостереження однієї і тієї ж ознаки за часом невиразні (тобто або зроблені одночасно, або час взагалі не має значення), зате відрізняються положення в просторі, в яких зроблені спостереження. Наприклад, різні властивості, що характеризують стан різних промислових роботів деякого автоматизованого виробництва, розташованих в різних точках простору.

Час і простір не єдино можливі бази. Множинні спостереження однієї і тієї ж властивості можуть розрізнятися один від одного по індивідах якоїсь групи, на якій визначено дану властивість. Це може бути соціальна група, наприклад група студентів, на якій розглядається властивість успішності; група вироблюваних товарів певного типа, безліч слів в якомусь тексті і т.д.

Бази трьох основних типів - час, простір, група - можна комбінувати. Хоча у принципі можливі будь-які комбінації, особливо важливі і поширені комбінації час - простір і час - група.

Приклад часу-групи: властивості, що характеризують положення в економіці, політиці і суспільстві різних країн, спостерігаються різними організаціями.

Крім особливого використання часу, простору і груп як бази, вони можуть виступати і як властивості. Наприклад, щоденне спостереження максимального часу запізнення студентів на пари.

1.3 Обмеження на вибір баз

Приведені приклади показують, що вибір відповідних баз достатньо гнучкий, проте абсолютно не довільний. Обмеження при цьому виборі достатньо точно виражені в описаних нижче вимогах, яким повинні задовольняти правильно вибрані бази.

Перше, бази повинні бути застосовні до всіх властивостей системи, для якої вони визначені. Наприклад, простір не застосовно для характеристики властивостей музичного твору.

Друге, бази системи повинні відповідати призначенню, для якого визначається дана система. Так, наприклад, при спостереженні за студентами після введення нових учбових нормативів спостерігають за відповідними ознаками. Ясно, що єдиної відповідними для цього базами є час і група.

Третє, спостереження всіх властивостей системи повинні однозначно визначатися базами системи, тобто кожен елемент базової множини (значення певного моменту часу, точка простору, елемент групи або відповідна комбінація елементів) визначає одне і лише один прояв будь-якої з властивостей. Наприклад, при дослідженні властивостей слів тексту цілком розумною базою є група слів, що входять в цей текст. Очевидно, що така база застосовна до цих властивостей і відповідає меті дослідження. Проте вона не задовольняє вимозі однозначного розрізнення спостережень. Насправді, одне і те ж слово може знаходитися в одній і тій же позиції і мати ту ж функцію в декількох пропозиціях в даному тексті. Для того, щоб відрізнити будь-яке спостереження, нам потрібно звернутися в даному випадку до одновимірного абстрактного простору, точкою якого є положення слова в тексті.

1.4 Формальне визначення системи

Виходячи зі всього вищесказаного, система може бути визначена як безліч властивостей, з кожним з яких пов'язано безліч його проявів, і безліч баз, з кожною з яких пов'язано безліч її проявів.

Формально система

     ,(1.1)

де Nn={1, 2 ., n}, а Nm={1, 2 ., m} (буквою N з позитивним цілим індексом тут завжди позначається безліч значень цілих позитивних чисел від 1 до значення цього індексу); через ai і Ai позначені відповідно властивість і безліч його проявів; bj і Bj- база і безліч її проявів, а O - система об'єкту.

Для деяких ознак і баз безлічі Ai і Bj з рівняння (1.1) визначаються досить добре. У науці, проте, у багатьох випадках ці множини невідомі і можуть бути визначені тільки за допомогою філософських побудов. Проте, незалежно від обставин їх можна пов'язати з добре певними множинами за допомогою конкретних процедур спостереження або вимірювання.

К.Р. № 2

Охарактеризуйте поняття базової властивості, приведіть докладний приклад.

Виберіть деяку систему, і формалізуйте її.

Лекція 3

1.5 Змінні і параметри

Змінною називається представлення властивості, тобто образ властивості, визначуваний конкретною процедурою спостереження або вимірювання. Кожна змінна має певне ім'я, що відрізняє її від інших даних змінних, і зв'язується з певною безліччю величин, через які вона себе проявляє. Ці величини звичайно називають станами, (або значеннями) змінною, а вся множина - безліччю станів.

Аналогічно параметром називається операційне представлення бази. Кожен параметр має унікальне ім'я, і з ним зв'язується якась множина; називатимемо його параметричною множиною, а його елементи - значеннями параметра.

По аналогії з властивостями і базами передбачається, що різні спостереження однієї і тієї ж змінної розрізняються по значеннях параметрів. Якщо використовуються два і більш параметра, то їх загальною параметричною множиною є декартовий твір окремих параметричних множин. Необхідно, щоб кожне конкретне значення параметра (із загальної параметричної множини) ідентифікувало одне і лише одне спостереження відповідних змінних.

На окремій безлічі станів або параметричних множинах можуть бути визначені деякі математичні відносини, скажімо, відношення порядку або відстань. Простим прикладом відношення порядку, є відношення між числами розташованими на звичайній числовій осі. Подібні відносини відображають фундаментальні характеристики властивостей і баз в тому ступені, в якій вони властиві відповідним вимірювальним процедурам.

Відмінності в подібних властивостях серед змінних або параметрів, які мають істотне методологічне значення, тобто впливають на методи досліджень, називатимемо методологічними відмінностями. Вони розглядаються пізніше.

На додаток до конкретних, змінним і параметрам, що представляють відповідно певну ознаку або базу, також розглядатимемо узагальнені змінні і параметри. Останні є абстрактними величинами, тобто величини, не визначені через які-небудь властивості або бази. Їх безліч станів і параметричні множини, а також різні відносини, визначені на цих множинах, представляються якимсь відповідним стандартним чином.

1.6 Узагальнені змінні і параметри. Формалізація.

На додаток до конкретних, змінним і параметрам, що представляють відповідно певну ознаку або базу, також розглядатимемо узагальнені змінні і параметри. Останні є абстрактними величинами, тобто величини, не визначені через які-небудь властивості або бази. Їх безліч станів і параметричні множини, а також різні відносини, визначені на цих множинах, представляються якимсь відповідним стандартним чином.

Введення узагальнених змінних, в основному, обумовлене поліпшенням представлення деяких даних. Наприклад, хай деяка змінна визначена на безлічі цілих чисел. Тоді деяким інтервалам цілих чисел, можуть бути поставлені у відповідність деякі якісні характеристики. Останні і представлятимуть узагальнені змінні. Сенс узагальнених змінних уточнюється нижче.

Узагальненій змінній дається інтерпретація, коли безліч її станів відображається ізоморфно (тобто відображається взаэмнооднозначно один до одного із збереженням всіх істотних математичних відносин, визначених на ньому) в елементи безлічі станів конкретної змінної; те ж відноситься до узагальнених і конкретних параметрів і їх параметричних множин. Будь-яке ізоморфне відображення такого роду називатимемо конкретизацією узагальненої змінної (або узагальненого параметра), а зворотне відображення назвемо абстрагуванням конкретної змінної (або конкретного параметра).

 Для формалізації понять узагальнених і конкретних змінних і їх параметрів введемо наступні позначення на додаток до введених в попередньому розділі.

vi, Vi,  - що означають відповідно узагальнену змінну, її безліч станів і безліч математичних властивостей, визначених для неї;

 , , - ті ж характеристики конкретної змінної, що є конкретизацією змінної vi;

  і -відповідно узагальнений параметр, його безліч станів і безліч математичних властивостей, визначених на параметрі wj;

 і - ті ж характеристики конкретного параметра, одержані конкретизацією параметра wj.

АСНІ працює, в основному, тільки з узагальненими змінними і параметрами. Задана узагальнена змінна vi, конкретизується змінній тоді і тільки тоді, коли функція

ei : Vi,(1.2)

існує і ізоморфна щодо математичних властивостей . Аналогічно узагальнений параметр wj конкретизується параметром тоді і тільки тоді, коли функція

εj : Wj, (1.3)

існує і ізоморфна відносно .

Кожен конкретний ізоморфізм ei (або εj) задає конкретизацію vi з допомогою (або відповідно wj з допомогою ).

Функції, зворотні ei і εj,, тобто

e-1i : Vi ,(1.4)

ε-1 j : ,(1.5)

задають абстрагування відповідно і

К.Р. № 3

Для деякої системи опишіть конкретні і узагальнені змінні і параметри.

Лекція 4

1.7 Канали спостереження

Назвемо каналом спостереження розуміємо будь-яку операцію, що вводить конкретну змінну як відображення (або конкретизацію) властивості.

Канал спостереження, за допомогою якого властивість ai представляється змінною, реалізується функцією

Oi : Ai, (1.6)

Ця функція гомоморфна щодо передбачуваної свойстві безлічі Ai і .

Аналогічна функція, скажімо

ωj : Bj , (1.7)

задає представлення бази bj, параметром , вона також повинна бути гомоморфной щодо відповідних властивостей бази (наприклад, часу) і множини

Для деяких властивостей і баз канали спостереження можуть бути явно заданими функціями oi і ωj. Проте в інших випадках, коли множини А і В невідомі. При цьому представлення властивостей і баз вводяться фізично (операційно), а не за допомогою математичних визначень.

За винятком тривіальних випадків, коли функції oi і ωj, визначені ясно, канал спостереження є фізичним пристроєм і процедурою, що описує його застосування. Цей пристрій звичайно називається вимірювальним приладом або інструментом. Процедура є набором команд, що визначають те, як слід використовувати інструмент в різних умовах.

Будь-який вимірювальний інструмент повинен уміти взаємодіяти з вимірюваною властивістю і перетворювати цю взаємодію у вигляд, що безпосередньо представляє стани відповідної змінної (наприклад, свідчення покажчика на шкалі буквено-цифрового дисплея або просто запис значень).

Не дивлячись на те, що вимірювальні інструменти і процедури, створюючі канали спостереження, повинні відповідати деяким загальним принципам вимірювання, вони істотно залежать від того, що вони вимірюють. Тому їх вивченням, створенням і використанням займаються, головним чином, в рамках традиційних наукових дисциплін.

Канали спостереження враховуються в схемі АСНІ тільки як компоненти, необхідні для повного визначення будь-якої реально існуючої системи. У АСНІ вони достатньо часто не включаються.

Приклад 1.1. Для ілюстрації введених понять покладемо, що ai - це встановлений щорічний дохід платника податків деякої країни за останній рік, як повідомляється в його податковій декларації за цей рік. Тоді Ai - це всілякі суми грошей від нуля до максимально уявної суми, скажемо до 100000.00 одиниць. Ця множина звичайно, оскільки мінімальна грошова величина, що має ходіння, - 0.1 одиниці. Ми розуміємо також, що ця множина повністю (лінійно) впорядкована. Для обчислення прибуткового податку досить розглядати тільки діапазони оподатковуваного податком доходу, де кожному діапазону відповідає певний відсоток доходу, який слід виплатити як прибутковий податок. Для спрощення будемо цими діапазонами рахувати діапазони 0-4999.99, 5000.00 - 9999.99, .... 90000.00 -94999.99, 95000.00-100000.00 і хай безліччю станів , конкретної змінної, що представляє властивість ai, буде безліч мінімальних значень цих діапазонів. Змістовне представлення ai з допомогою можна ввести за допомогою функції ai, яка для кожного діапазону будь-якому значенню з діапазону привласнює мінімальне значення в цьому діапазоні, наприклад оi (52357) =50 000 або оi (796) =0. Очевидно, що функція оi гомоморфна щодо повного впорядкування Ai, оскільки для будь-якої пари

би, в Ai, якщо б в, оi(би) оi (в) . З методичних міркувань узагальнена змінна vi може бути для конкретної змінної визначена за допомогою абстрагуючої функції e-1i : m Vi . Ця функція повинна бути ізоморфною щодо впорядкування на . Припустимо, що потрібне, щоб безліч Vi була набором значень цілих чисел. Тоді e-1i можна, ймовірно, найбільш природним чином, задати наступним рівнянням:

     e-1i (5000k)=k (k=0,1,., 19) 

Базою в даному прикладі є безліч платників податків певної категорії, скажемо безліч жителів міста Х. Данноє множина не володіє ніякими математичними властивостями. Таким чином,  ωj : Bj може бути будь-який взаємно однозначною функцією, яка кожному платнику податків ставить у відповідність унікальний ідентифікатор. Методологічно зручно абстрагування ε-1j:Wj представити у вигляді взаємно однозначної функції, що ставить у відповідність цілим числам

з безлічі Nn, де n - число платників податків в цій групі.

1.8 Нечіткі канали спостереження

Зупинимося детальніше на понятті каналу спостереження. Дотепер ми його визначали через функції оi і щj, визначені відповідно в рівняннях (1.6) і (1.7). Ці функції припускають розбиття безлічі Ai і Bj на деякі підмножини, позначимо їх відповідно Ai/оi і Bj/щj. Елементи будь-якої підмножини в цьому розбитті еквівалентні в тому сенсі, що вони не розрізняються з погляду введеної процедури спостереження. У такому розбитті кожна підмножина цілком представляє один стан змінної або одне значення параметра . Коли спостереження властивості ai, проводиться при деякому значенні параметра, тієї спостережуваної властивості набуває певний прояв (значення) з безлічі Ai. Цей прояв є елементом одного і лише однієї підмножини Ai/оi. Функція оi привласнює його певному стану змінної . Таким чином, передбачається, що будь-яке спостереження дозволяє нам визначити, до якої підмножини Ai/оi належить даний прояв, навіть якщо окремий прояв і не можна ідентифікувати.

Припущення про те, що відмінність підмножин Ai/оi може бути виявлена за наслідками спостережень, виправдовується тільки у тому випадку, коли помилки спостереження виключені. Подібні випадки, як показано в прикладі 1.1, зустрічаються, але відносно нечасто. При цьому підмножина Ai/оi правильно визначається у всіх випадках, окрім тих, коли фактичний прояв виявляється близько від межі між підмножинами, тобто в межах очікуваної помилки спостереження.

Оскільки властивості (принаймні деякі з них) не контролюються дослідником, неможливо запобігти прояву властивостей в небажаній близькості від меж між підмножинами Ai/оi і, отже, можна тільки скоротити можливість визначення неправильних підмножин за спостереженнями завдяки правильному вибору каналу спостереження оi . Виключити таку можливість повністю не можна.

В результаті появи можливості помилок вимірювання з проявами біля меж між підмножинами A/оi зв'язана певна невірогідність спостереження. Є два варіанти інтерпретації цієї невірогідності. Тут ми розглянемо, і дотримуватимемося одного з них.

Розбиття безлічі Ai задається функцією оi. Це те ж саме розбиття Ai/оi, що розглядалося вище. Достовірно невідомо, до якої підмножини Ai/оi належить заданий елемент Ai.. Ця невірогідність може бути задана функцією, що зіставляє будь-якій парі (елемент Ai, підмножина Ai /оi) число (звичайно між 0 і 1 - якийсь аналог вірогідності).

Визначене таким чином число в заданому контексті виражає міру достовірності того, що даний елемент належить даній підмножині.

Іншими словами все вище сказане означає, що, роблячи якесь спостереження, ми можемо стверджувати, що ми спостерігали, саме такі факти, лише з деякою вірогідністю.

Формально вищезазначена функція достовірності спостережень може бути записана таким чином

 : Ai Ai /оi → [0, 1], (1.8)

О днако, оскільки кожна підмножина Ai/оi однозначно представляється (позначається) станом з множини (відповідно до функції оi), функциюможно задати в зручнішому вигляді

 : Ai  → [0, 1], (1.9)

Визначена в рівнянні (1.9) функцияхарактерізуєт спостереження властивості ai в сенсі їх невірогідності. У цьому сенсі можна назвати нечітким каналом спостереження. Щоб уникнути непорозумінь оi називатимемо чітким каналом спостереження.

Ясно, що для визначення нечіткого каналу спостереження необхідно спочатку задати чіткий канал спостереження оi. Чіткий канал спостереження можна також розглядати як окремий випадок нечіткого. Насправді, якщо

      

      

то задає чітку функцію з Ai в, ідентичну оi .

При розгляді баз можна ввести функцію

  : Bj   → [0, 1], (1.10)

подібну функції (1.9) і засновану на співвідношенні (1.7). Тут (x, у) - міра достовірності того, що х належить підмножині Bj/щj, який представлений значенням у параметра . На практиці, проте, ця функція не використовується.

Для будь-яких практичних потреб досить використовувати чіткий канал спостереження щj для баз, будь то група, час або простір. Проте для властивостей застосовні як чіткі, так і нечіткі канали спостереження (оi і ), і при різних обставинах більш відповідним може бути той або інший тип каналу.

Приклад 1.2. Хай властивістю ai є вік людини з групи Bj. І хай елементами Ai будуть номери років в діапазоні від 0 до 100. Покладемо, що . = { дуже молодий, молодий, середніх років, старий, дуже старий}, і хай оi - це взаємно однозначна функція Ai /оi ‹, визначена наступним

образом:

{0, 1 ..., 14} - дуже молодий

{15, 16 ..., 29} - молодий

{30, 31 …, 49} - середніх років

{50, 51 …, 74} - старий

{75, 76 …, 100} - дуже старий.

При використанні чіткого каналу спостереження дуже погано описуються люди, чий вік близький до меж між блоками Ai /оi. Наприклад, 49-річна людина позначається як людина середніх років, а 50-річний, як старий. При використанні нечіткого каналу оi, наприклад такого, який описаний на мал. 1.1, приведений виявляється більш відповідним, оскільки не дає таких різких стрибків. Важливо відзначити, що нечіткий канал спостереження дає не один стан для одного спостереження, як чіткий канал, а набір значень для всіх . Так, наприклад, при спостереженні 25-річної людини через нечіткий канал будуть набуті наступного 5 значення:

( (25, дуже молодий) = 0.1

( (25, молодий) = 0.97

( (25, старий) = 0

( (25, дуже старий) = 0.

Мал. 1.1. Чіткий і нечіткий канали спостереження для повністю впорядкованої ознаки «вік людини»

К.Р. № 4

Приведіть приклад систем з чіткими і нечіткими каналами спостереження, формалізуйте їх.

Лекція 5

1.9 Методологічні відмінності

Термін методологічна відмінність використовується тут для опису особливостей системних завдань, по яких розрізняються рівні типи завдань усередині одного типу моделей систем. Методологічні відмінності стосуються як систем, так і вимог до них.

Типи завдань, що відрізняються тільки деякими методологічними відмінностями, вимагають різних методів рішення, але мають один і той же статус в ієрархії типів моделей систем. Таким чином, методологічні відмінності є вторинними критеріями класифікації завдань наукових досліджень.

У даному розділі розглядаються методологічні відмінності, що відносяться до змінних і їх параметрів. Оскільки змінні і параметри є компонентами будь-якої системи незалежно від її типа, ці відмінності застосовні до систем всіх типів моделей.

Методологічні відмінності для змінних і параметрів - це характеристики їх безлічі станів і, відповідно, параметричних множин. Якщо змінна (або параметр) представляє властивість (або базу), то ці властивості не можуть бути довільними.

Всяка змінна пов'язана з одним або декількома параметрами, і зміни станів змінної спостерігаються на повній параметричній множині. Таким чином, комбінація властивостей безлічі станів і повної параметричної множини визначає самий елементарний тип методологічних відмінностей.

Якщо є більше одного параметра, то повна параметрична множина є декартовий твір окремих параметричних множин. Для представлення розпізнаваних властивостей цього декартова твори, властивості окремих параметрів повинні поєднуватися відповідним чином. Будемо спочатку для простоти вважати, що ми маємо справу з однією параметричною множиною незалежно від тієї, є воно окремою параметричною множиною або декартовим твором декількох, і що виділеними властивостями володіють вся ця множина.

Однією з фундаментальних методологічних відмінностей є відсутність математичних властивостей у безлічі станів або відповідної параметричної множини. Це крайній випадок, і він погано підходить для змінної (або параметра), що призначеної для представлення властивості (або бази) і має явно виражені і істотні для завдання характеристики. У літературі по вимірюваннях змінні такого роду звичайно називають змінними з номінальною шкалою.

Найбільш фундаментальною з властивостей безлічі станів і параметричних множин, що виділяються, є впорядкованість. Методологічно слід розрізняти два типу впорядкованості - часткову і лінійну.

Часткова впорядкованість - це бінарне відношення на множині (у нашому випадку на безлічі станів або параметричному), що є рефлексією, антисиметричною і транзитивною. Лінійна впорядкованість сильніше за часткову, оскільки це часткова впорядкованість, що володіє властивістю зв'язності (тобто будь-яка пара елементів множини так або інакше впорядкована).

Формально часткова впорядкованість Q, наприклад, безліч Vi - це бінарне відношення

         Q  Vi  Vi ,(1.11)

що задовольняє наступним вимогам:

1. (x, x)  Q (рефлексія);

2. якщо (x, y)  Q і (y, x)  Q, то х = у (антисиметричність);

3.якщо x, y)  Q і (y, z)  Q, то ( x, z )  Q (транзитивність).

Якщо (x , y)  Q те х називається попередником у, а у - наступником х. Якщо (x , y)  Q і не існує, z  Q, такого, що ( x, z )  Q і (z, x)  Q, то х називається безпосереднім попередником у, а у - безпосереднім наступником х. На додаток до вимог рефлексії, антисиметричності і транзитивності відношення лінійної впорядкованості задовольняє наступній вимозі зв'язності: для всіх х, y  Vi, якщо , то або (x, y)  Q або (y, x)  Q. ▲

Прекрасним прикладом впорядкованості параметричної множини є час. Змінні з лінійно впорядкованою безліччю станів називаються змінними з впорядкованою шкалою.

Однією з найбільш істотних властивостей є відстань між парою елементів множини, що вивчається. Цей захід визначається функцією, що зіставляє будь-якій парі елементів цієї множини число, що визначає, на якій відстані один від одного знаходяться ці елементи з погляду деякого фундаментального впорядкування.

 Для даної множини, скажемо множини, відстань визначається функцією вигляду

: R , (1.12)

Однако для того, щоб ця функція відповідала інтуїтивному уявленню про відстань, вона повинна задовольняти наступним умовам для всіх х, у, z :

(1) (x, y) 0 (умова позитивності);

(2) (x, y) = 0 тоді і тільки тоді, коли х = у (умова нульової відстані, звана також умовою невирожденності);

(3) (x, y) = (y, x) (симетричність);

(4) (x, y)  (x, y) +(y, z) (нерівність трикутника).

Будь-яка функція, що задовольняє умовам (1) - (4), називається метричною відстанню на множині , а пара(, ) - метричним простором. Метрична відстань можна, зрозуміло, визначити як на безлічі станів, так і на параметричній множині.

Прикладами змінних з вираженими і істотними метричними відстанями є майже всі змінні у фізиці, наприклад довжина, маса. Абсолютно очевидно, що і простір, і час - це параметри, до яких цілком природно застосовно поняття метричної відстані. Проте рідко вдається визначити метричну відстань на групах. Одним з таких прикладів є група студентів, лінійно впорядкована за показниками їх успішності. Змінні, з безліччю станів яких зв'язано метричну відстань, звичайно називаються метричними змінними.

Ще однією властивістю безлічі станів і параметричних множин, що має велике значення як методологічну відмінність, є безперервність. Це поняття добре відоме з математичного аналізу, і немає необхідності розглядати його тут детально.

Якнайкращим прикладом безперервного часткового впорядкування є відношення «менше або рівно», визначене на безлічі дійсних чисел або на його декартових творах. Фактично саме поняття безперервної змінної (або безперервного параметра) спирається на вимогу, щоб відповідна безліч станів (або параметрична множина) була ізоморфно безлічі дійсних чисел.

З цього виходить, що безліч станів будь-якої безперервної змінної або параметрична безліч будь-якого параметра нескінченно і незліченно. Тим самим альтернативою безперервним змінним і параметрам є змінні і параметри, задані на кінцевих множинах або, можливо, на нескінченних рахункових множинах. Останні називаються дискретними змінними або параметрами.

1.10 Методологічні відмінності на рівні змінних і параметрів

Для нас такі властивості, як впорядкованість, метрична відстань і безперервність безлічі станів і параметричних множин, представляють основу для визначення найбільш істотних методологічних відмінностей на рівні змінних і параметрів. Приведемо список перенумерованих альтернатив для цих властивостей:

       0 - впорядкованості немає

Впорядкованість:    1 - часткова впорядкованість

       2 - лінійна впорядкованість

 Відстань:      0 - не визначено

       1 - визначено

 Безперервність:     0 - дискретно

       1 - безперервно

Статус будь-якої змінної (або параметра) для цих трьох властивостей може бути однозначно охарактеризований триплетом

(впорядкованість, відстань, безперервність),

у якому кожна властивість представляється його певним значенням (або його ідентифікатором). Так, наприклад, триплет (2, 1, 0) описує дискретну змінну з лінійно впорядкованою безліччю станів, на якій визначено метричну відстань.

Мал. 1.2. Грати методологічних типів змінних або параметрів

Хоча дані три властивості у принципі визначають 12 можливих комбінацій, три з них (0, 0, 1), (0, 1, 0) і (0, 1, 1) сенсу не мають. Насправді, якщо на множині не визначена впорядкованість, то на ньому не можна ні змістовно визначити метричну відстань, ні розглядати його як безперервне. Таким чином, є дев'ять осмислених комбінацій. Називатимемо ці комбінації методологічними типами змінних і параметрів.

Вони можуть бути частково впорядковані за допомогою відношення «бути методологічно визначенішим чим». На мал. 1.2,а цього часткового впорядкування, створюючого грати

представлено у вигляді діаграми Хассе. Спрощені грати на мал. 1.2,б задають схему для властивостей впорядкованості і відстані, але без безперервності.

Тепер припустимо, що є m параметрів. Вони можуть бути одного, двох, трьох (незалежно від порядку) і т.д. типів. Припустимо, що (це задоволене розумне припущення), тоді загальне число методологічних типів повного параметра визначається сумою

(1.13)

При поєднанні цієї суми з дев'ятьма методологічними типами змінних ми одержимо загальне число можливих методологічних відмінностей однієї змінної і її параметра, це число визначається формулою.

(1.14)

Алгоритм формалізації систем об'єкту

1. Визначаються властивості ai і безліч їх проявів Ai .

2. Визначаються бази bj і безліч їх проявів Bj .

3. Визначається система об'єкту , де Nn={1, 2 ., n}, а Nm={1, 2 ., m}.

К.Р. № 5

 Опишіть дві системи з різними методологічними відмінностями.

Лекція 6

2. Представляючі і початкові системи

2.1 Формалізація представляючих і початкових систем

Властивості, конкретні і загальні змінні, а також бази, конкретні і загальні параметри є компонентами відповідно трьох примітивних систем - системи об'єкту, що конкретної представляє системи і що загальної представляє системи, які разом з відносинами між ними утворюють початкову систему.

Одна з цих трьох систем введена раніше і формально визначається рівнянням (.1). Що залишилися дві примітивні системи мають той же вигляд, що і система об'єкту, але їх компонентами є змінні і параметри, а не властивості і бази.

 Хай і - це, відповідно конкретна і загальна представляюча системи. Тоді

(2.1)

(2.2)

де відповідні символи мають той же сенс, що і раніше.

Тепер потрібно визначити відносини між трьома примітивними системами . Для спрощення нотації умовимося, що для будь-яких і властивість відповідає змінним ,, а база - параметрам , .

Відношення між системою об'єкту і конкретною представляючою системою задається у вигляді повного каналу спостереження, що складається з окремих каналів спостереження, поодинці для кожної властивості або бази з системи об'єкту. Позначимо через Q чіткий повний канал спостереження. Тоді

визначається рівнянням (1.6) і повинні бути гомоморфни щодо властивостей і }, {(,,определяются рівнянням (1.7) і повинні бути гомоморфни щодо властивостей і }) (2.3)

де всі символи мають той же сенс, що і раніше.

Нечіткий повний канал спостереження, скажімо, можна одержати, замінивши з (1.6) на , визначене рівнянням (1.9). Функції також можна було б замінити на функції , задані рівнянням (1.10), проте така заміна, по певних міркуваннях, тут опущених, схемою АСНІ не передбачається.

Відношення між конкретною і загальною представляючими системами задаються набором відображень конкретизації (абстрагування, поодинці для кожної змінної і параметра з цих систем). Називатимемо цей набір каналом конкретизації абстрагування і позначати його . Тоді визначаються рівнянням (1.2) і повинні бути ізоморфни щодо властивостей і }, визначаються рівнянням (1.3) і повинні бути ізоморфни щодо властивостей (2.4)

Можна розглянути канал спостереження з системи об'єкту безпосередньо в загальну представляючу систему. Проте цей канал можна одержати з двох каналів, визначуваних рівнянням (2.3) і (2.4). Він складається з триплетів

і ,(2.5)

Де символ O позначає композицію.

Тепер можна визначити початкову систему, як п'ятірку

(2.6)

На мал. 1.3 зображені ці п'ять компонентів, а також їх зв'язки з дометодологичеськімі посилками (дослідник, об'єкт, мета дослідження і т. д.) і з системами вищих рівнів.


Рис 2.1. Концептуальні елементи, використовувані для визначення початкової системи.

2.2 Системи з вхідними і вихідними змінними

 Вихідні змінні початкової системи розглядаються дослідником як змінні, значення яких при відповідних значеннях параметрів визначаються усередині системи, на відміну від вхідних змінних, значення яких задаються ззовні. Всі чинники, що впливають на визначення вхідних змінних, звичайно називаються середовищем системи.

Системи з вхідними і вихідними змінними називатимемо направленими системами, а системи, у яких змінні не класифіковані таким чином, нейтральними.

Хай, наприклад, для деякої системи зроблено оголошення за допомогою функції

(2.7)

такий, що якщо або , то це означає , що змінна є відповідно вхідною або вихідною. Будь-який n-мірний вектор-рядок

(2.8)

задаючий певний статус для всіх змінних системи, назвемо визначником входу-виходу. Ясно, що для п змінних всього може бути оголошень входів-виходів.

Позначимо направлені аналоги нейтральних систем тими ж символами, але з додаванням знаку ^. Тоді

(2.9)

(2.10)

(2.11)

де -направленные аналоги нейтральних систем . Направлена початкова система визначається п'ятіркою.

(2.12)

Відмінність вхідних і вихідних змінних на рівні початкових систем виражено не дуже яскраво. Воно стає явнішим для вищих типів, на яких описуються різного роду відношення між змінними.

К.Р. № 6

Опишіть формально деякі що представляє і результатну системи з вхідними і вихідними змінними.

Лекція 7

2.3 Вироджені типи направлених систем

Вихідні змінні направленої системи також можуть впливати на її вхідні змінні, але цей вплив, якщо воно має місце, здійснюється не через систему, через середовище.

Існує два типу вироджених направлених систем.

1. Направлені системи без вихідних змінних, т е. системи з . Ці системи методологічно даремні. Насправді, будь-хто така система має тільки вхідні змінні, які за визначенням повністю задаються середовищем, і, отже, їх властивості неможливо представити і дослідити усередині самої системи. Таким чином, в системі нічого описувати і вивчати будь-яке твердження, яке можна сформулювати усередині системи, безглуздо, оскільки воно містить тільки умову, але не слідство. Отже, для п змінних є тільки осмислених оголошень входу-виходу.

2. Направлені системи без вхідних змінних, тобто системи з .Эти системи методологічно цікаві, оскільки для них можна сформулювати змістовні твердження. Проте ці твердження не можуть бути умовними, оскільки в таких системах немає вхідних змінних, на яких можна було б сформулювати ці умови.

Для нейтральних систем ніякого середовища немає. При заміні нейтральної системи на направлену вводиться середовище, і якщо , якась інформація, що містилася в системі, переміщається в середу. Таким чином, одержана направлена система містить менше інформації, ніж початкова нейтральна.

Відмінності між нейтральними і направленими системами і між чіткими і нечіткими каналами спостереження - це ще дві методологічні відмінності початкових систем. Будь-яка початкова система є або нейтральною, або направленою, а канали спостереження її змінних або всі чіткі, або всі нечіткі, або різних типів. Таким чином, нові відмінності дають 2х3=6 можливостей. Крім того, в початкову систему можуть входити змінні різних методологічних типів. Позначимо загальне число методологічних відмінностей, визначених для рівня початкових систем, через #S. Тоді при цілком розумному припущенні, що число параметрів не перевищує 9 , ми одержимо

(2.13)

де

Методологічні відмінності, визначені для початкових систем, вельми важливі, оскільки вони можуть бути застосовані і до всіх систем вищих типів.

Приклад 2.1. Хай об'єктом дослідження є деякий обчислювальний центр, що здійснює розподілені обчислення. Кожен елемент даного обчислювального центру характеризується певними властивостями. Припустимо, що якісні показники якоїсь обчислювальної процедури залежать від набору задіяних обчислювальних засобів із заданого комплексу. Для поточних обчислень використовуються елементи, що є оптимальними з погляду спеціально підготовленого обслуговуючого персоналу.

Мета визначення початкової системи для даного об'єкту - отримання характеристик комплексу в цілому, їх оцінка і розробка більш відповідного і точного керівництва для якнайкращого використання обчислювальних засобів. Базою в даному прикладі є група елементів, здатних здійснювати деякі операції з даними. Хай кожен досліджуваний елемент позначається цілим числом. Тоді функція дає відображення «один в один», рівно як і функція .

Хай для дослідження об'єкту було відібрано чотири властивості. Приведемо їх описи і визначимо відповідні змінні.

Сукупність (множина) елементів, на які покладені функції контролю обчислювальних операцій: властивість  . Для дослідження в даному обчислювальному комплексі, виділено тільки чотири класи множин. Отже, для представлення цієї властивості потрібна конкретна змінна з чотирма станами. На мал. 2.3,а визначена функція , що пов'язує властивість з цією змінною. На тому ж малюнку визначається функція , яка, як завжди, є простою схемою переобозначенія. Множини і ніякими властивостями не володіють, і, отже, всілякі властивості цілих чисел з множини не можуть бути використані. Канал спостереження є чітким, тобто безпосередньо представляється функцією .

Мал. 2.3, а. Визначення змінних для ознак .

Максимально можлива ефективність елементарних обчислювальних операцій (у відносних одиницях): властивість . Припустимо, що для даного уявлення досить дати якісну характеристику, тобто розбити кількісний критерій всього на п'ять категорій. Вони визначаються на мал. 2.3,б разом з функціями і . Не дивлячись на те, що біля меж блоків розбиття може мати місце деяка нечіткість вимірювання, канал спостереження о2 можна розглядати як чіткий, оскільки ця нечіткість для даного дослідження не істотна. Множини можна розглядати як лінійно впорядковані з метричною відстанню, і, отже, якщо потрібно, то можна для множини скористатися властивостями цілих чисел.


Мал. 2.3, б. Визначення змінних для ознак .

Завантаженість центру в цілому: властивість . Оцінюється за допомогою деяких кількісних характеристик. Проте в даному розгляді передбачається деяка неточність, одержаних оцінок. Тобто нечіткий канал спостереження. Множина володіє властивістю лінійної впорядкованості з метричною відстанню.

Ефективність центру для даної обчислювальної процедури: властивість . Виходить на базі наукової підготовки обслуговуючого персоналу. Властивість припускає тільки два стани. Тобто або істинність, або його помилковість. Множина ніякими властивостями не володіє.

Ми бачимо, що визначена в даному прикладі початкова система є нейтральною. Проте для формулювання правил оптимального використання обчислювальних засобів, система повинна бути перевизначена як направлена з вхідними змінними і вихідною змінною і . Один канал спостереження нечіткий, а решта чітких, тому в початковій системі змішані чіткі і нечіткі змінні. Безліч параметрів властивостями не володіє, а безліч станів має два, а, можливо, і три типи: без властивостей, лінійно впорядковані і, лінійно впорядковані з метричною відстанню.

Алгоритм формалізації представляючих систем

1. Визначаються vi, Vi, , що означають відповідно узагальнену змінну, її безліч станів і безліч математичних властивостей, визначених для неї.

2. Визначаються, , , , ті ж характеристики конкретної змінної, що є конкретизацією змінної vi .

3. Визначаються  і  відповідно узагальнений параметр, його безліч станів і безліч математичних властивостей, визначених на параметрі wj.

4. Визначаються і  - ті ж характеристики конкретного параметра, одержані конкретизацією параметра wj.

5. Визначаються і - відповідно конкретна і загальна представляюча системи:

.

Для направлених систем, додатково

1. Визначається , якщо або , то це означає, що змінна є відповідно вхідною або вихідною.

2. Направлені аналоги нейтральних систем:

.

Алгоритм формалізації початкових систем

1. Визначається канал спостереження, за допомогою якого властивість ai представляється змінною : Oi : Ai.

2. Визначається представлення бази bj, параметром : ωj : Bj .

3. Визначається функція eii, що конкретизує узагальнену змінну vi, ізоморфна щодо математичних властивостей : ei : Vi.

4. Визначається функція еj, що конкретизує узагальнений параметр wj, ізоморфна щодо математичних властивостей: : εj : Wj.

5.пределяется О чіткого повного каналу спостереження: повинні бути гомоморфни щодо властивостей и }, {(,, }, {(,, повинні бути гомоморфни щодо властивостей і }).

6. Визначається каналом конкретизації абстрагування:  повинні бути ізоморфни щодо властивостей і }, повинні бути ізоморфни щодо властивостей .

7. Визначається початкова система:  . Для направлених систем .

К.Р. № 7

 Приведіть докладний приклад виродженої системи.

Лекція 8

3. Системи даних

3.1 Формалізація систем даних

Початкова система - це схема, по якій можуть бути зроблені спостереження відібраних ознак. Якщо канал спостереження чіткий, то будь-яке реальне спостереження представляється у вигляді впорядкованої пари, що складається із значення повного параметра, при якому було зроблене спостереження, і зафіксованого повного стану змінних.

У АСНІ передбачається, що дані повинні бути представлені як узагальнені параметри і змінні. Отже, при формалізації поняття даних ми можемо обмежитися розглядом тільки узагальненої направляючої системи , як вона визначена (2.11). Хай

(3.1)

(3.2)

Тоді чіткі дані представляються функцією

(3.3)

Функція d будь-якому значенню повного параметра ставить у відповідність один повний стан змінних.

Представляюча система описує тільки потенційні стани змінних, тоді як функція d дає інформацію про їх дійсні стани при необмеженій параметричній множині. Тобто фактично відповідає досвідченим даним. Систему з функцією d можна розглядати як систему вищого типа (рівня 1). Називатимемо таку систему системою даних, і позначати D. Тоді

(3.4)

Проте для будь-якого конкретного застосування у формулюванні повинен бути відображений і сенс даних d. Це можна зробити, замінивши представляючу систему в рівнянні (3.4) відповідною початковою системою S. Систему, що вийшла в результаті цієї заміни, назвемо системою даних з семантикою і позначимо SD. Таким чином

(3.5)

В даному випадку функція d пов'язана з системою S таким чином: якщо спостереження, що описується з допомогою

для всіх (де -предполагаемое прояв властивості, а - відповідний стан змінної ), зв'язується із значенням повного параметра, то

(3.7)

де

Залежно від даного завдання функція d може бути визначена трьома способами. По-перше, вона може бути результатом спостережень або вимірювань. По-друге, її можна вивести з систем вищих рівнів. По-третє, вона може бути визначена самим дослідником (у завданнях проектування систем).

Системи даних D і SD нейтральні. Перетворення цих систем в їх направлені аналоги і праці не представляє. Потрібно тільки замінити на, а S на .Таким образом

(3.8)

(3.9)

- це направлені системи даних без представлення сенсу даних і з останнім відповідно.

3.2 Системи даних з нечіткими каналами спостереження

Якщо змінні визначаються через нечіткі канали спостереження, то кожне спостереження записується як впорядкована пара, що складається із значення повного параметра, з яким пов'язано спостереження, і вектора функцій

(3.10)

де виражає ступінь упевненості в тому, чтоявляєтся наблюденним станом змінної .

Формалізуємо поняття нечітких даних. Хай

.(3.11)

Тоді нечіткі дані представляються функцією

. (3.12)

Для будь-якого значення повного параметра

(3.13)

де

3.3 Представлення даних

_ З яким типом даних - чітким або нечітким - ми маємо справу, завжди ясно по контексту. Чіткі дані можуть бути представлені в самому різному вигляді. Хай стандартною формою представлення дискретних змінних і параметрів буде матриця

(3.14)

елементами якої є стани змінних, наблюденниє при відповідних значеннях повного параметра w (мал. 3.1,а). Кожен стовпець матриці d задає повний стан, наблюденноє при даному w, а кожен рядок - всі спостереження однієї змінної на параметричній безлічі W. Якщо W лінійно впорядковане, то і стовпці в матриці d повинні бути впорядковані таким самим чином. Якщо використовуються декілька параметрів, то може опинитися зручніше використовувати інші форми уявлення.

Для нечітких даних стандартною формою уявлення, подібній матриці, є тривимірний масив (3.15)

елементами якого є значення ступеня упевненості в тому, що при заданому значенні параметра w спостерігався стан змінної , а . Масив є набором матриць (мал. 3.1,б), по одній для кожної змінної. Стовпець в матриці змінної задає функцію, визначувану рівнянням (3.10).

Рис. 3.1. Стандартне представлення данних для дискретних змінних. А) Чіткі дані. Б) Нечіткі дані.

К.Р. № 8

Опишіть формально деяку систему даних з нечіткими каналами спостереження.

Приведіть приклад представлення даних.

Алгоритм формалізації систем даних

1.Визначається функція , де , .

2.Визначається система даних.Система даних з семантикою . Направлені аналоги , .

Для систем даних з нечіткими каналами спостереження

1. Визначаються функції , де виражає ступінь упевненості в тому, чтоявляєтся наблюденним станом змінної .

2.Нечіткі дані представляються функцією , де .

Лекція 9

4. Породжуючі системи

4.1 Системи з поведінкою

Термін поведінка використовується для характеристики загального параметрично інваріантного обмеження на змінні узагальненої представляючої системи і, можливо, на деякі додаткові абстрактні змінні. Додаткові змінні визначаються на параметричній множині за допомогою правил зрушення.

Оскільки опис параметрично інваріантного обмеження на дані змінні може бути використано для породження станів змінних при даній параметричній множині, системи, такі обмеження, що містять, називаються системами, що породжують. Поведінка є однією з форм завдання цього обмеження.

Для заданої узагальненої представляючої системи діапазон можливих типів параметрично інваріантних обмежень залежить від властивостей, що приписуються параметричній множині. Якщо на цій безлічі ніяких властивостей не визначено (як це часто буває для груп), то стани змінних можуть обмежувати тільки один одного. Проте якщо параметрична множина впорядкована, стани змінних можуть обмежуватися не тільки іншими станами, але і станами вибраного сусідства для кожного конкретного значення параметра.

Сусідство на впорядкованій параметричній множині звичайно називається маскою і визначається через змінні, параметричну множину і набір правил зрушення на параметричній множині. Правило зрушення, скажемо правило,- це однозначна функція

(4.1)

яка кожному елементу W ставить у відповідність інший (причому єдиний) елемент W. Якщо, наприклад, параметрична множина повністю впорядкована (як у випадках, коли розглядається час або одночасний простір) і є безліччю послідовних цілих позитивних чисел, то будь-яке правило зрушення може бути задано простим рівнянням

(4.2)

де - ціла константа (позитивна, негативна або нуль). При називається тотожним правилом зрушення.

Все вище сказане, можна пояснити таким чином. Для того, щоб система, була здатна генерувати дані, з початкових даних, потрібно визначити деякі правила по яких виходитимуть нові дані. У вузькому сенсі це будуть деякі функції. Наприклад, лінійна функція однієї змінної - геометрично пряма. Ця функція перетворить значення аргументу, в деяке значення. У ширшому сенсі це параметрично інваріантне обмеження.

4.2 Вибіркові змінні і маски

Хай задана узагальнена представляюча система I, визначувана рівнянням (2.12). Позначимо через V безліч змінних з I, а через R набір правил зрушення, що розглядаються для цих змінних. Тоді безліч змінних

(4.3)

званих вибірковими змінними, може бути введено за допомогою рівнянь

(4.4)

для деяких змінних і правил зрушення ; позначає стан вибіркової змінної при значенні параметра w, а - стан змінної при значенні параметра, тобто при значенні, одержаному для заданого w, при застосуванні правила зрушення . Для повністю впорядкованої параметричної множини, правила зрушення якого мають вигляд (4.2), рівняння (4.4) може бути переписано в певнішому вигляді

(4.5)

Оскільки будь-яке правило зрушення з набору R може бути застосовано до будь-якої змінної з множини V, та безліч всіх можливих вибіркових змінних представляється декартовим твором . Насправді розглядаються вибіркові змінні, що характеризуються відношенням

(4.6)

так, що всякій парі відповідає одне рівняння з (4.4). Відношення М представляє схему сусідства на параметричній множині, в термінах якої визначені вибіркові змінні. Ця схема звичайно називається маскою.

Для введення ідентифікаторів вибіркових змінних до повинна бути введена якась однозначна функція (кодування).

(4.7)

де - це кількість елементів множини М.

Якщо вибіркова змінна визначена через змінну і деяке правило зрушення згідно рівнянню (4.4), то безліч станів, очевидно, То ж саме, що і безліч станів тобто . Проте для зручності позначень безліч станів вибіркової змінної позначатимемо ; сенс будь-якого однозначно визначається маскою в термінах однієї з множин. Таким чином, декартовий твір (4.8)

є повною безліччю станів вибіркових змінних.

4.3 Маски у разі повністю впорядкованих параметричних множин

Розглянемо спочатку поняття маски і пов'язана з ним поведінка представляючих систем для повністю впорядкованих параметричних множин, а потім розповсюдимо його на частково впорядковані параметричні множини. Позначимо повністю впорядковані параметричні множини, а їх елементи . При цьому рівняння (4.4) трохи зміниться:

(4.9)

Для повністю впорядкованих параметричних множин маска може бути зображена у вигляді вирізки з матриці, що представляє декартовий твір .Это показано на рис.4.1,а, на якому рядки помічені ідентифікаторами

Рис.4.1. Пояснення поняття маски для повністю впорядкованих параметричних множин.

змінних з множини V, а стовпці - цілими константами, пов'язаними з правилами зрушення вигляду (4.2). Елементи матриці або порожні, або є ідентифікаторами до вибіркових змінних, приписані парам згідно (4.6); порожні елементи матриці відповідають елементам, що не входять в маску. У візуальному уявленні стає ясно, чому використовується термін «маска».

Часто буває зручно розбити маску М на підмаски М„ кожна з яких пов'язана з однією змінною і, з подібної системи. Формально

(4.10)

У візуальному (матричному) представленні підмаски є рядками. У будь-якій масці один стовпець відповідає тотожному правилу зрушення . Цей стовпець має особливе значення, оскільки пов'язані з ним вибіркові змінні ідентичні базовим змінним заданої представляючої системи. Будемо цей стовпець в масках називати довідником. Якщо маска поміщена на матрицю даних таким чином, що довідник співпадає з певним значенням t, то маска виділить тільки деяку підмножину елементів, а саме елементи, що представляють повний стан вибіркових змінних при даному значенні t. Так, наприклад, на мал. 4.1,б зображена маска (визначена на мал. 4.1,а), поміщена на матрицю даних d при t=7 (довідник маски співпадає з t=7). Повний стан вибіркових змінних для цього положення маски показаний на мал. 4.1,в. Стану довідника вибіркових змінних в точності ті ж (для будь-якого t), що і стан базових змінних відповідно . Решта вибіркових змінних є станами з параметричного сусідства в t. Для будь-якої маски при будь-якому t схема сусідства зберігається. Якщо t - час, то змінна представлятиме майбутній (щодо даного значення t) стан змінної, а змінні і представлятимуть, минулі стани змінної будь-яка маска представляє певну точку зору, відповідно до якої представляються обмеження на базові змінні.

К.Р. № 9

Опишіть систему з поведінкою у разі повністю впорядкованих параметричних множин. (Обов'язково необхідно вказати маски і вибіркові змінні.)

Лекція 10

4.4 Функції поведінки. Змінні, що породжують і породжувані.

Найпростіший спосіб завдання певної маски - це перелік всіх повних станів відповідних вибіркових змінних. У загальному вигляді подібний перелік є підмножиною декартова твори З, тобто багатовимірним відношенням, визначеним на С. Это відношення визначається функцією

такий, що, якщо стан з входить в перелік, і інакше. Така функція дає деякі відомості про поведінку вибіркових змінних, функцію звичайно називають функцією поведінки. Функція, визначувана рівнянням (4.11), задає тільки одного з існуючих типів функцій поведінки, що різними способами описують обмеження на змінні.

Функція визначає стани, що зустрічаються, з, але не визначає значення параметра, при якому вони мають місце. Таким чином, ця функція є параметрично інваріантною.

Система, що характеризує параметрично інваріантне обмеження на безліч змінних через функції поведінки, визначається трійкою

(4.12)

де I - узагальнена представляюча система; М - маска, визначена на I; -функция поведінки, визначена через М і I. Таку систему називатимемо системою з поведінкою

Не дивлячись на те, що будь-яка система з поведінкою, визначувана (4.12), якимсь конкретним параметричні інваріантно описує обмеження на змінні представляючої системи, вона не містить опису того, як використовувати це обмеження для породження даних. Для розробки такого опису потрібно розбити вибіркові змінні на дві підмножини:

1) змінні, стани яких породжуються з обмеження; назвемо їх породжуваними змінними;

2) змінні, стани яких використовуються як умови в процесі генерації, назвемо їх змінними, що породжують.

Для заданої системи з поведінкою одним із способів визначення породжених змінних, що породжують, є визначення для даної маски М двох підмасок і . Будемо

(4.13)

Де

називати маскою породження, тобто це маска М і її розбиття на породжувану підмаску і що породжує підмаску .

По аналогії з розбиттям на і безліч ідентифікаторів вибіркових змінних можна розбити на дві підмножини, скажемо і, що представляють ідентифікатори відповідно породжуваних змінних, що породжують. Для зручності позначень кодуюча функція (4.7) може бути замінена двома функціями

(4.15)

за допомогою яких безліч станів і відповідно породжуваних змінних, що породжують, задаються декартовими творами

(4.16)

Тепер спосіб представлення стану породжуваних змінних (скажімо ), визначуваного за станом змінних (скажімо ), що породжують, можна виразити функцією

(4.17)

де

(4.18)

Назвемо цю функцію функцією поведінки, що породжує.

Якщо маску М і функцію з (4.11) замінити відповідно на і функцію, то вийде альтернативна система

. (4.19)

Називатимемо таку систему системою, що породжує, з поведінкою.

Використання системи, що породжує, з поведінкою для породження даних включає наступні два етапи:

а) для деякого значення задано стан ; для визначення стану при тому ж значенні використовується функція ;

б) значення t замінюється на нове і повторюється етап а).

4.5 Особливості процедури породження даних

1. На етапі а) неявно передбачається, що при заданому значенні t стан відомий. Цей стан називається початкова умова. Проте після цього все повністю визначається самим процесом породження, тобто станами і g, пов'язаними з попереднім значенням t. При цьому передбачається, що значення t повинні на етапі (б) змінюватися відповідно до порядку, заданого на множині Т. Таким чину, значення t замінюються або на t+l, або на t-1. У першому варіанті початкова умова повинна бути визначена для найменшого можливого значення t, а в другому - для найбільшого можливого значення t.

2. З необхідності породження даних в одному з двох порядків витікає, що існує тільки два змістовне розбиття маски М на і, кожне з яких відповідає одному з двох порядків породження. Якщо дані породжуються у порядку зростання (убування) t, то містить рівно по одному елементу кожної підмаски, визначеної (4.10), елемент з найбільшим (найменшим) значенням ; решта елементів М входить в . Таким чином, графічно виходить, що - це безліч найправіших елементів М (правий край цієї маски) або, навпаки, безліч найлівіших елементів М (лівий край маски).

3. Передбачається, що для будь-якого стану є принаймні один стан, допустимий функцією [тобто ] Якщо допускається тільки один стан, то для будь-якої початкової умови дані породжуються однозначно; такі системи називаються детермінованими. Якщо допускається більш ніж один стан, то породження даних проблематично, оскільки породжуваний стан не завжди однозначний визначено. Для таких систем вибираючі функції поведінки не підходять. Змістовніше вони описуються функціями поведінки інших типів, що розглядаються нижче. Для детермінованих систем представлення (4.17) функції поведінки, що породжує, може бути замінено простішим

. (4.20)

Приклад 4.1. Для пояснення процесу породження даних системою, що породжує, з поведінкою типа, визначуваного рівнянням (4.12), покладемо, що подібна система складається з впорядкованої параметричної безлічі і п'яти змінних, стани яких будуть визначені нижче. Скористаємося маскою, заданою на мал. 4.2. Дані можуть породжуватися або у порядку зростання, або у порядку убування значень параметра t. Обидва ці варіанти показані відповідно на мал. 4.2 і 4.3.

У першому випадку (мал. 4.2) породжувані вибіркові переменниє- це змінні, відповідні правому краю маски, тобто ; решта вибіркових змінних є такими, що породжують. Породження даних в матриці даних відбувається зліва направо. Хай функція поведінки, що породжує, представлена у вигляді (4.20), визначається рівняннями

При , Безліч станів породжуваних змінних визначається цими рівняннями, а безліч станів змінних, що породжують, - їх положенням в масці. Наприклад, безліч станів породжуваної змінної - це 0, 1, 2, 3, оскільки рівняння для береться по модулю 4; змінна, що породжує, має ту ж безліч станів, що і s4, оскільки обидві ці змінні визначені через одну і ту ж змінну представляючої системи (тобто ).

Мал. 4.2. Дані, породжені у порядку зростання значення параметра t (Приклад 3.1).

Першою осмисленою позицією маски на матриці даних (позиція визначається положенням довідника маски) є позиція t=3; позиції t=1 і t=2 сенсу не мають, оскільки стани деяких вибіркових змінних для цих позицій не визначені ( не входить в безліч Т). Початкова умова складається з шести елементів матриці даних:  . Хай, наприклад, всі ці елементи рівні 1. Ще п'ять елементів матриці даних - - не можуть бути породжені, а можуть бути задані користувачем, але для породження даних ці змінні не потрібні. На мал. 4.2,а,б,в,г детально показано породження станів відповідно для t = 3, 4, 5, 6; кухлями обведені породжені стани. На мал. 4.2.д показане початкова умова і дещо більший фрагмент породженої матриці даних.

Мал. 4.3. Дані, породжені у порядку убування значення параметра t (Приклад 3.1).

Якщо дані породжуються у порядку убування t (див. мал. 4.3), то породжуваними змінними є змінні , представляючі лівий край маски, тобто змінні . Дані в матриці даних породжуються справа наліво. Припустимо тепер, що визначається рівняннями

при до = 1, 3, 5, 8, 10. Породження даних при t = 98, 97, 96, 95 детально показане на рис.4.3,а, би, в і р. На мал. 4.3,д показано початкову умову і дещо більший фрагмент породженої матриці.

К.Р. № 10

Для деякої системи з поведінкою, опишіть функції поведінки. Приведіть приклад процедури породження даних.

Лекція 11

4.6 Функції породження для недетермінованих систем

Параметрично інваріантне обмеження на безліч вибіркових змінних може бути охарактеризовано різними способами. Простий опис, розглянутий в разд. 3.3, може обмежитися завданням функції вибору, визначеної на відповідній безлічі станів. Хоча функція вибору є, ймовірно, найбільш відповідним формальним апаратом для завдання обмежень в детермінованих системах, в яких породження даних зручно описувати за допомогою функції (4.20), для роботи з недетермінованими системами функції вибору не годяться.

Традиційно з недетермінованими системами працюють методами теорії вірогідності. При цьому основним поняттям при описі обмежень на змінні є поняття імовірнісної міри.

З теорії вірогідності добре відомо, що будь-яка імовірнісна міра, скажемо міра р, однозначно визначається функцією розподілу

(4.21)

Функція поведінки, що при цьому породжує, має вигляд

(4.22)

де - умовна вірогідність за умови . Щоб підкреслити, що задає умовну вірогідність, для позначення вірогідності при заданому використовується стандартне позначення .

4.7 Направлені системи з поведінкою

Дотепер ми розглядали тільки нейтральні системи з поведінкою (базові і такі, що породжують). Для опису їх направлених аналогів необхідно розбити відповідну безліч вибіркових змінних на дві підмножини:

1) вибіркові змінні, визначувані середовищем, тобто вхідні змінні [змінні, для яких ];

2) решта вибіркових змінних, пов'язаних з даною маскою.

Ці дві підмножини вибіркових змінних можна визначити, розбивши задану маску М на дві підмаски. Хай підмаска визначає вибіркові змінні, що задаються середовищем, а підмаска - інші. Тоді трійка

(4.23)

для якої справедливо, що

(4.24)

визначає маску направленої системи з поведінкою.

Згідно розбиття на і безліч ідентифікаторів вибіркових змінних, визначуваних М, розіб'ється на підмножини і . Кодуюча функція (3.6) буде замінена відповідно на дві функції

(4.25)

і будуть визначені наступна дві безліч станів:

(4.26)

необхідні для направлених систем. Функція поведінки направлених систем має вигляд

де - це умовна вірогідність і, отже, замість запису можна використовувати стандартну форму . Тепер можна визначити направлену систему з поведінкою як трійку

.  (4.28)

Функція поведінки, що породжує, для направлених систем може бути введена за допомогою розбиття на дві підмножини і, відповідних породжуваним змінним, що породжують. Робиться це точно так, як і було описано для М. Таким образом, маска, що породжує, для направлених систем задається четвіркою

(4.29)

де - це розбиття М. Знову визначаються кодуючі функції (4.15), але розглядається тепер як розбиття . Множини і визначаються формулами (4.16).

Мал. 4.4. Розбиття маски для направленої представляючої системи з повністю впорядкованою параметричною множиною і для обох можливих порядків породження даних

Тепер

(4.30)

де - це умовна вірогідність, і, отже, відповідно до традиції її можна записати у вигляді . Для детермінованих систем можна переписати в зручнішому вигляді

(4.31)

який є направленим аналогом функції поведінки, що породжує, визначеної (4.20). Якщо припустити, що сенс визначений, то направлена система, що породжує, з поведінкою визначається трійкою

. (4.32) а

На мал. 4.4 показане розбиття маски на три підмаски,, (і відповідне розбиття ідентифікаторів вибіркових змінних) в припущенні, що і - це вхідні змінні. На мал. 4.4,а і б показані два варіанти, відповідні породженню даних у порядку зростання і убування значень параметра.

К.Р. № 11

Опишіть функції поведінки для недетермінованих направлених систем.

Лекція 12

4.8 Перехід від систем даних до систем з поведінкою

Важливий клас системних завдань, часто званий індуктивним моделюванням систем. Всі завдання цього класу характеризуються наступним загальним описом:

1. дана конкретна система х, певного ієрархічного типа;

2. безліч всіх конкретних систем вищого ієрархічного типа, сумісних з системою х (тобто заснованих на тій же представляючій системі, з тими ж методологічними відмінностями) позначимо Y;

3. набір відповідних вимог Q щодо якихось властивостей систем з безлічі Y, причому однією з цих вимог є вимога, щоб дана система х була апроксимована якомога точніше системою вищого типа і потрібно визначити YQ - підмножина Y, таке, щоб будь-яка система з YQ задовольняла всім вимогам, визначеним в наборі Q.

Набір вимог Q може складатися з:

1) підмножини безлічі Y, визначеної АСНІ (як вибір за умовчанням);

2) вимоги, щоб неузгодженість між відповідними змінними заданої системи даних і системи з поведінкою з YQ була як можна меншою;

3) вимога, щоб ступінь невизначеності при породженні даних системою з поведінкою з підмножини YQ була як можна меншою;

4) вимогою, щоб система з підмножини YQ була якомога простішою;

5) переваги вимоги 2 вимогам 3 і 4.

У цьому загальному формулюванні вимога 1 зводиться до визначення безлічі допустимих масок.

4.9 Особливості переходів, залежно від властивостей параметричної множини

Якщо параметрична множина не впорядкована, то поняття параметричного сусідства не визначене, і, отже, існує тільки одна осмислена маска. Ця маска, визначувана тотожним правилом зрушення; вона називається маскою без пам'яті. Оскільки в цьому випадку є тільки одна прийнятна маска, завдання виявляється досить тривіальним [вимоги 3, 4 і 5 просто непридатні]. Це завдання зводиться до визначення для заданих даних функції розподілу вірогідності, що задовольняє вимозі 2. Вона розв'язується повним перебором даних за допомогою маски без пам'яті (в даному випадку порядок вибору не важливий) і визначення для кожного стану вибіркових змінних з (в даному випадку вони співпадають з основними змінними) числа N(c) їх появ в даних. Числа N (с) для всіх звичайно називаються частотами станів з. Вони використовуються для обчислення за деякими правилами відповідних функцій вірогідності або можливостей.

Обчислювати розподіл вірогідності по частотах можна різними способами. Так, наприклад, якщо вірогідність розглядається як характеристики даних, то звичайно обчислюються відносні частоти, тобто відносини N(c) до загального числа наявних вибірок з даних по використовуваній масці. Звідси

. (4.33)

Крім реалізації різних варіантів обчислення розподілу вірогідності необхідно також включати в обчислення якусь додаткову інформацію, пов'язану з обмеженнями на змінні. Будемо цю інформацію, що не входить у власне дані, називати додатковою. Вона може приймати самі різні форми.

Припустимо тепер, що параметрична множина повністю впорядкована. В цьому випадку з однієї і тієї ж системи даних можна одержати безліч систем з поведінкою, що відрізняється масками. Якщо для заданих даних вони визначені достатньо коректно, то вони однаково добре відповідають вимозі узгодженості. Точніше, вираз «достатньо коректний» означає, що функція поведінки добре узгоджується з даними (і, можливо, з деякою додатковою інформацією) з погляду маски і типу вибраних обмежень.

Як вже пояснювалося вище, для маски без пам'яті функцію поведінки, що добре узгоджується з даними і додатковою інформацією, можна одержати з частот станів (тобто відповідних вибіркових змінних) для даних, відображених за допомогою даної маски. Всяка маска є деяким вікном, через яке відбираються дані дані з матриці даних (або з масиву вищого порядку). При русі цього вікна уздовж всієї матриці даних частоти станів відповідних вибіркових змінних визначаються підрахунком того, як часто спостерігається кожен стан. Якщо всі вибіркові позиції перебираються, то напрям руху маски по матриці даних не має значення, проте зручніше здійснювати цей рух відповідно до встановленого на параметричній множині порядку (зліва направо або навпаки).

Для конкретних цілей одні маски можуть підходити краще, ніж інші, але ніяка маска не є правильною або неправильною.

4.10 Особливості побудови масок

Якщо дана маска є одним стовпцем (маска без пам'яті), то вибірки по всіх значеннях параметра є повними. Проте, якщо маска полягає із понад одного стовпця, то деякі вибірки на початку і кінці параметричної множини (лівий і правий краї матриці даних) виявляться неповними (див. мал. 4.2 і 4.3). Точніше, число неповних вибірок для кожного краю матриці даних рівне числу стовпців в масці мінус 1. Число стовпців в масці М називатимемо завглибшки маски і позначати . Тоді

(4.34)

де оператори max і min застосовані до всіх цілих . Так, наприклад, для маски, визначеної на мал. 4.1,, для масок без пам'яті .

Є два міркування, по яких застосування масок з великою глибиною в загальному випадку небажано.

1. якщо маска використовується для породження даних, то чим більша її глибина, тим більше потрібна початкова умова. Це, взагалі кажучи, не бажано.

2. якщо маска використовується для вибірки даних, то число неповних вибірок рівне . Це означає, що із зростанням глибини маски все менше наявних даних використовується для визначення функції поведінки. Отже, із збільшенням глибини маски звужується емпірична основа, на якій будується функція поведінки. Це, зрозуміло, також небажано.

Обидва ці міркування, а також практичні міркування, пов'язані з складністю обчислень, призводять до того, що глибина маски звичайно вибирається не дуже великою. Таким чином, представляється доцільним визначити обмеженість глибини маски як вимогу 1 для даного типа завдань. Це можна зробити, визначивши найбільшу допустиму маску, скажемо маску М як декартовий твір

(4.35)

де .

Подібна маска може бути представлена у вигляді повної матриці з п рядками і стовпцями. Називатимемо її М-матрицею. Якщо спочатку задано тільки, але не конкретні значення і, то доцільно вибирати для них якісь стандартні значення, наприклад, .

4.11 Змістовні підмаски

При заданій найбільшій допустимій масці М всі її змістовні підмаски утворюють обмежену безліч Yr систем з поведінкою. Термін «змістовна підмаска» характеризує підмаски М, що задовольняють наступним вимогам:

(ml) у підмаску входить принаймні один елемент з кожної підмаски, визначеної рівнянням (4.10) (тобто один елемент з кожного рядка М-матриці);

(m2) у підмаску повинен бути включений принаймні один елемент з правилом зрушення (крайній правий елемент з М-маски).

Вимога ml необхідна для покриття заданої системи даних, тобто для того, щоб гарантувати, що будь-яка базова змінна із заданої системи даних була б включена в будь-яку з систем з поведінкою з обмеженої безлічі Yr. Вимога m2 перешкоджає дублюванню еквівалентних підмасок, тобто підмасок, що перетворюються одна в іншу тільки за допомогою додавання константи до правила зрушення (зрушення ряду в М-масці).

Можна легко одержати формулу для числа змістовних підмасок найбільшої допустимої маски, де n - число базових змінних, а - глибина маски М:

.  (4.36)

Перший член виразу (4.36) задає число підмасок М, що задовольняють умові ml, а другий член - число масок, що порушують умову m2. У табл. 4.1 приведені значення при п .


Ця таблиця розділена на три області, для яких розміри найбільшої допустимої маски представляються: а) що легко піддаються обчислювальній обробці (ліва верхня область); би) що у принципі піддаються обробці, що зажадає тривалої роботи дуже могутнього комп'ютера (середня область); у) що не піддаються обчислювальній обробці (права нижня область). Ці області показані тільки для найбільш типового випадку. Так, наприклад, якщо є в розпорядженні могутня система паралельних обчислень, то область випадків, що піддаються обчислювальній обробці, може бути розширена майже удвічі.

Якщо число змістовних масок виявляється дуже велике, щоб піддаватися обчислювальній обробці, АСНІ повинні враховувати можливі додаткові обмеження, що накладаються на найбільшу допустиму маску. Такими обмеженнями можуть бути, наприклад, наступні:

1. фіксація безлічі породжуваних вибіркових змінних;

2. фіксація числа вибіркових змінних;

3. фіксація верхньої межі числа вибіркових змінних;

4. обмеження, при якому розглядаються талько маски без пропусків (прикладом пропуску є елемент, що ідентифікується координатами, в масці, зображеній на мал. 4.1,а).

Подібні обмеження або їх комбінації істотно скорочують множину, і таким чином, збільшують розмір найбільших допустимих масок, що піддаються обчислювальній обробці.

К.Р. № 12

Виходячи з деякої системи даних, побудувати функцію поведінки, у разі масок без пам'яті.

Лекція 13

4.12 Заходи нечіткості

Ступінь недетермінованої повинен вимірюватися узагальненою нечіткістю, супутньою породженню даних. А значить, вона повинна бути визначена через функції поведінки, що породжують, і для нейтральних і направлених систем з поведінкою. Якщо ці функції є функціями розподілу вірогідності, то міра узагальненої нечіткості добре відома - це шенноновськая ентропія

Вона вимірює нечіткість в одиницях, званих бітами.

Якщо припустити, що будь-яка кінцева множина X дані альтернативні вихідні значень характеризується певним розподілом вірогідності, то зручніше спростити позначення і писати замість .

Легко бачити, що

(4.38)

Нижня межа досягається у тому випадку, коли вірогідність всіх вихідних значень, за винятком одного, рівна 0; верхня межа досягається тоді, коли вірогідність всіх подій однакова, тобто рівні . Відношення ентропії до її верхньої межі

(4.39)

називається нормалізованою ентропією; зрозуміло, що

(4.40)

У нашому випадку безліччю виходів є множини а розподіли вірогідності представляються функціями поведінки, визначуваними відповідно формулами (4.11) (4.17) (4.27) (4.30). Для спрощення запису опустимо індекси В і GB, а також знак ^ . Таким чином

(4.41)

позначає вірогідність, визначувана відповідно формулами (4.11) (4.17) (4.27) (4.30); сенс будь-якого з цих позначень однозначно визначається укладеними в дужки аргументами. Крім того, визначимо безумовну вірогідність

(4.42)

де указує на те, що є підмножиною стану з (підстаном з); формально, якщо

(4.43)

(4.44)

то тоді і тільки тоді, коли для всіх . Для направлених систем безумовна вірогідність обчислюється по небагато зміненій формулі

(4.45)

Умовна вірогідність, що характеризує процес породження даних, пов'язана з основною (сумісними) і безумовною вірогідністю таким чином:

(4.46)

.  (4.47)

Перша формула описує цей зв'язок для нейтральних, а друга - для направлених систем.

4.13 Методи обчислень нечіткості

При заданій масці, що породжує, для нейтральної системи, через яку визначається безліч станів вибіркових змінних, що генеруються і генеруючих, нечіткість, що породжує, визначається як середня нечіткість, що базується на вірогідності, зважених вірогідністю умов, що породжують:

. (4.48)

Це значення визначає ступінь недетермінованої системи, що даної нейтральної породжує, з поведінкою.

Для направлених систем нечіткість, що породжує, обчислюється за формулою

(4.49)

яку можна безпосередньо застосовувати у тому випадку, коли можна і має сенс визначати вірогідність, тобто коли направлена система одержана з нейтральної. Якщо ми не маємо в своєму розпорядженні вірогідності станів елементів безлічі Е або ця вірогідність неістотні, тоді як базова вірогідність береться вірогідність [аналог вірогідності f(c) для нейтральних систем], виходячи з якої обчислюється решта необхідної вірогідності. В цьому випадку нечіткість обчислюється формулі (4.50)

де вірогідність і обчислюються по заданій вірогідності згідно формулам (4.45) і (4.47).

Формули (4.48), (4.49) і (4.50) можна замінити іншими, зручнішими для обчислення. Наприклад, рівняння (4.48) можна модифікувати таким чином:

Таким чином, можна обчислити, не використовуючи умовну вірогідність, по формулі

(4.52)

Так само рівняння (3.49) і (3.50) можна замінити відповідно рівняннями

(4.53)

Максимальне значення нечіткості будь-якого типа, що породжує, рівне; отже, нормалізована нечіткість, що породжує, виходить діленням нечіткості, що породжує, на її максимальне значення. Наприклад

 

Приклад 4.2. На мал. 4.5,а показана імовірнісна функція поведінки для чотирьох вибіркових змінних кожна з двома станами - 0 і 1. Стани з нульовою вірогідністю в таблиці не приводяться. Вибіркові змінні визначені через дві базові змінні за допомогою маски, зображеної на мал. 3.7,а. Оскільки вибіркові змінні суть зрушення однієї і тієї ж базової змінної, розподіли вірогідності їх станів повинні бути однакові; вони і справді однакові; обидва мають вірогідність 0.7 і 0.3 відповідно для станів 0 і 1. Аналогічно змінні (зрушення) мають однаковий розподіл вірогідності: 0.6 і 0,4 відповідно для станів 0 і 1. Отже, для даної маски приведена функція розподілу вірогідності є коректною функцією поведінки.

Якщо дана система інтерпретується як нейтральна, її нечіткість, що породжує, може бути обчислена за формулою (4.52). Для першого члена формули ми маємо

Значення другого члена залежить від порядку породження і від відповідної маски. На мал. 4.5,в і г показані два можливі порядки породження. Для породження зліва направо маємо

Мал. 4.5 Імовірнісна нейтральна система

Для іншого порядку породження (мал. 4.5,г) ми одержимо

Отже, нам можна вибрати один з двох порядків породження; перший порядок переважно, оскільки має нижчу породжувану нечіткість. Оскільки в даному прикладі, то нормалізовані значення тих, що обчислювальних породжують нечеткостей виходять діленням їх на два.

В деяких випадках застосуємо тільки один порядок породження. Якщо, наприклад, параметром є час, то у кожному випадку має сенс тільки один з порядків, визначуваний метою використання системи з поведінкою. Якщо вона використовується для прогнозу, то стани повинні породжуватися у порядку зростання часу (зліва направо); якщо ж вона використовується для ретроспекциі, то стани повинні породжуватися у порядку убування часу. У даному прикладі, якщо параметром є час, то виявляється легшим передбачати майбутні стани системи, чим визначати минулі.

Припустимо тепер, що інтерпретується як вхідна змінна і що по функції поведінки на мал. 4.5,а визначена відповідна направлена система. Тепер для обчислення нечіткості, що породжує, можна скористатися формулою (4.53). Нечіткість вже була обчислена раніше;зависит від порядку породження. У будь-якому випадку безліч Е представляється станами переменнихпредставляєтся або станами (у порядку зростання параметра) або станами (у порядку убування параметра). У першому випадку нечеткостьсвязана із змінними

У другому випадку вона представляє нечіткість змінних:

Таким чином, знову виявляється, що передбачати майбутні стани легше, ніж визначати минулі.

Припустимо тепер, що ми не маємо в своєму розпорядженні ніякої інформації щодо вхідної змінної або що ця інформація неістотна (наприклад, у тому випадку, коли контролюється користувачем). Тоді всі обчислення повинні проводитися для приведеної на мал. 4.6,а умовної вірогідності. Як показано на цьому малюнку, список вірогідності разбітна чотири частини, відповідні різним станам е. Нечіткості для кожного стану також приведені на мал. 4.6,а. Тут же показано розбиття маски на

Ситуація при породженні станів зліва направо, включаючи значення для кожного стану е, показана на мал. 4.6,в.

З формули (4.53) одержимо

Інший порядок породження зображений на мал. 4.8,г. Для нього маємо

Мал. 4.6 Імовірнісна направлена система

К.Р. № 13

Розрахувати ту, що породжує нечіткість для випадку направленої і нейтральної системи з поведінкою. Розглянути обидва порядки породження.

Лекція 14

4.14 Вибір відповідних систем з поведінкою

Дана система даних D з повністю впорядкованою параметричною множиною і з найбільшою допустимою маскою М, сумісною з D; потрібно визначити всі системи з поведінкою, що задовольняють вимогам узгодженості, детермінованої і простоти, причому вимога узгодженості пріоритетніше, ніж інші два.

Будь-яка найбільша допустима маска М містить набір коректних масок, кожна з яких є підмножиною М. Для кожної маски може бути визначена функція поведінки, що добре узгоджується з даними, за допомогою розрідженої вибірки даних. Проте на практиці досить провести вибірку тільки для маски М. Функциі поведінки для її підмасок можуть бути одержані обчисленням проекцій функції поведінки відповідної маски М.

Для заданої функції, визначеної через повні стани якихось вибіркових змінних, будь-яка з її проекцій також є функцією поведінки, відповідною, заснованою на певній підмножині вибіркових змінних. Хай - вибіркові змінні, через які визначаються состоянія- маска, через яку вибираються значення вибіркових змінних. Хай - проекція, де підмножина множестваїдентіфікаторов вибіркових змінних, т. е.. Тоді

(4.55)

отже

(4.56)

де а - якась агрегуюча функція, визначувана характером функції. Наприклад

(4.57)

де - розподіл вірогідності.

Будемо в контексті будь-якого конкретного завдання черезобозначать функцію поведінки для найбільшої прийнятної маски . Через позначатимемо функції поведінки для її різних осмислених підмасок, кожна з яких зв'язана з множествомідентіфікаторов вибіркових змінних.

За винятком дуже невеликих наборів даних, з погляду обчислень простіше визначати функції поведінки за допомогою проекцій, а не через вибірки даних. Таким чином, краще проводити вибірку тільки одного разу для найбільшої прийнятної маски, а потім визначати функції поведінки для всіх змістовних підмасок як відповідні проекції.

Приклад 4.3. Визначимо проекцію імовірнісної функції поведінки, приведеної на мал. 4.5,а для . Застосувавши формулу (4.57) для імовірнісної функції, одержимо:

4.15 Впорядкування по складності і нечіткості

Для заданої системи даних D і найбільшої допустимої маски М вимога відповідності приводить до обмеженої множини

(4.58)

що містить по одній системі з поведінкою для кожної осмисленої маски ; хай для зручності . Наступним кроком рішення даної задачі повинне бути обчислення ступенів недетермінованої і складності для всіх систем з множини.

Як було показано ступінь недетермінованої задається відповідною мірою нечіткості, що породжує, визначуваною для імовірнісних систем шенноновськой ентропією.

Що стосується міри складності, то тут можливо багато варіантів. Візьмемо для прикладу просту, але змістовну міру, яку часто використовують в АСНІ - розмір (потужність) маски.

Хай - значення тих, що відповідних породжують нечеткостей для систем з поведінкою з обмеженої множини Оскільки будь-яка система однозначно ідентифікується своєю маскою М, потужність якої задає її складність, статус системи в сенсі нечіткості, що породжує, і складності зручно описувати парою .

Чисельне впорядкування масок, що ідентифікують системи з по їх потужності, задає впорядкування складності на множині . Чисельне впорядкування значень визначає впорядкування по нечіткості на безлічі Yr. В той час, як впорядкування по складності повністю визначається самими масками, впорядкування по нечіткості може бути визначено тільки після оцінки масок. Для будь-якої безлічі масок, що породжують, ми можемо визначити часткове впорядкування тоді і тільки тоді, коли

  (4.59)

(ілідля направлених систем), яке ми називатимемо впорядкуванням підмасок.

Приклад впорядкованості по складності і впорядкованості підмасок для найбільшої допустимої маски М при n=3 і приведений на мал. 3.10. При цьому передбачається, що дані породжуються зліва направо. Всі змістовні підмаски зображаються своїми матрицями і помічені в лівому верхньому кутку своїми ідентифікаторами i. По складності вони розбиті на чотири групи. Маски з однаковою складністю розташовані на одному рівні. Наприклад, маски з ідентифікаторами 2-7 утворюють групу з складністю 5, маски 8-19 - іншу групу з складністю 4 і т.д. З погляду впорядкованості по складності будь-яка маска деякого рівня є безпосереднім наступником будь-якої маски найближчого вищого рівня і безпосереднім попередником будь-якої маски найближчого нижчого рівня. На мал. 4.7 стрілками показано впорядкування по підмасках. З цього прикладу видно, що впорядкування по складності - це зв'язне квазівпорядкування (і транзитивної відношення, рефлексії, визначене для будь-якої пари систем).

Впорядкування по підмасках - це часткове впорядкування, але грати воно не утворює. Проте воно є набором грат по одній для кожної безлічі породжуваних вибіркових змінних (у нашому прикладі це крайні праві елементи масок).

Впорядкування по нечіткості зв'язне, але через те, що декілька різних систем можуть мати ту, що однакову породжує нечіткість, це відношення не є антисиметричним. Отже, в загальному випадку це зв'язне квазівпорядкування, яке в деяких окремих випадках опиняється повним впорядкуванням.

Таким чином, на множині визначені два зв'язкових квазівпорядкування - по складності і по нечіткості. Оскільки для даного типа завдань потрібний, щоб і складність, і що породжує нечіткість систем в безлічі рішень YQ була мінімізована, відповідне об'єднане впорядкування визначається таким чином: тоді і тільки тоді, коли

(4.60)

де. Це впорядкування не є зв'язковим, оскільки пари, для яких іїлі (подібні пари, зрозуміло, можуть існувати), незрівняні. Воно також неантисиметрично, оскільки не виключена можливість того, що

(4.6ё)

для деяких . Отже, об'єднане впорядкування - це загального вигляду квазівпорядкування (і транзитивної відношення, рефлексії) на .


Мал. 4.7 Змістовні маски для класифіковані згідно впорядкованості по складності підмасок


Мал. 4.8

Тепер безліч рішень можна визначити як безліч всіх систем з, які або еквівалентні, або незрівняні щодо об'єднаного впорядкування (4.60). Дві системи з, скажемо системи і, незрівняні в сенсі об'єднаного впорядкування, якщо виконано одну з наступних умов:

(а) складніша і більш детермінована, чим або менш складна і менш детермінована, чим. Формально

(4.62)

Системи з безлічі рішень називатимемо відповідними системами з поведінкою для даного типа завдань.

Приклад 4.4. Щоб пояснити різні питання, що вивчаються в даному розділі, розглянемо деяку систему даних. Визначимо всі відповідні в сенсі (4.62) системи з поведінкою для цієї системи даних в припущенні, що необхідно одержати опису імовірнісних систем з поведінкою і використовувати їх для прогнозу.

Припустимо спочатку, що . Тоді є вісім змістовних масок, які разом з їх впорядкуванням підмасок і вказівкою трьох рівнів складності зображені на мал. 4.8,а. Після виконання вичерпної вибірки для найбільшої прийнятної маски по певній формулі, по частотах N(c) обчислюється вірогідність, а нечіткість, що породжує, обчислюється або за формулою (4.48). Якщо для обчислення вірогідності використовується формула (4.31), то нечіткість, що породжує, рівна 1.11. Потім для решти семи змістовних масок по формулі (4.57) визначаються відповідні проекції і обчислюються їх породжують нечіткості. Результати цих обчислень показані на мал. 4.8,б (у правому нижньому кутку масок). На мал. 4.8,б також зображено впорядкування масок по нечіткості. В даному прикладі впорядкування є повним, оскільки значення нечіткості у всіх різні. Об'єднане впорядкування по складності і нечіткості (3.60) зображене на мал. 4.8,в. Як ми бачимо, мінімальними з погляду об'єднаного впорядкування є маски


Мал. 4.9 Відповідні системи з поведінкою з прикладу 4.4

з ідентифікаторами 1, 2, 6. Отже . Припустимо тепер, що =3. Тоді згідно формулі (4.36) є 40 змістовних масок. Після їх обробки, аналогічній обробці для випадку, ми одержимо п'ять відповідних систем з поведінкою, маски яких, значення складності і що породжують нечіткості приведені на мал. 4.9,а. 35 масок, що Залишилися, гірше з погляду їх складності, як і з погляду чіткості, і, отже, їх зовсім не потрібно розглядати. Мал. 4.9,а - це типовий приклад відповіді АСНІ. При відповідних запитах можуть також видаватися різні додаткові характеристики, безліч рішень, такі, як графік залежності нечіткості від складності, зображений на мал. 4.9,б.

Описаний тут пошук відповідних систем з поведінкою може бути реалізований самими різними способами. Основний принцип полягає в тому, що змістовні маски виходять за допомогою деякого алгоритму з найбільшої прийнятної маски у порядку складності, що зменшується. Серед масок однакової складності вибираються тільки маски з мінімальною нечіткістю, що породжує. При цьому якщо значення цієї мінімальної нечіткості менше або рівно значенню нечіткості для попереднього рівня складності, то всі раніше прийняті системи відкидаються. В результаті застосування цієї процедури у нас залишаються тільки відповідні системи.

К.Р. № 14

Для деякої системи даних упорядкувати маски по складності і нечіткості.

Лекція 15

4.16 Системи із станами, що змінюються

Припустимо, що знову задана система даних з повністю впорядкованою параметричною множиною. Як було показано, система даних може бути описана параметрично інваріантно через безліч відповідних систем з поведінкою, даних, що узгоджуються з системою, і що задовольняють висунутим вимогам. Не дивлячись на те, що системи з поведінкою абсолютно адекватно описують повне обмеження на досліджувані вибіркові змінні, існує і інша форма представлення цього обмеження, що часто представляється кінцевому досліднику більш відповідної. Ця форма звичайно називається відношенням зміни стану або скорочено ST-відношенням. Це відношення визначається не на окремих станах, а на послідовних парах станів; що породжують системи, в яких використовується ця формула представлення станів, називаються системами із станами, що змінюються, або ST-системами.

Для ST-систем маски вибіркові змінні, безліч станів вибіркових змінних і їх декартовий твір З визначаються точно так, як і для систем з поведінкою, за винятком двох відмінностей

(1) до ST-систем непридатне розділення вибіркових змінних на породжувані і такі, що породжують, і

(2) змістовні маски в ST-системах мають додаткові обмеження. Аналогами функцій поведінки в ST-системах є функції зміни стану (або ST-функції). Для нейтральних систем вони визначені, а не на З, а для направлених систем на, а не на .

Для нейтральних систем аналогами функцій поведінки визначаємо формулами (4.11), (4.20), (4.17), є наступні ST-функції:

(4.63)

де -это вірогідність стану, наступного безпосередньо за станом з (згідно вибраному порядку породження);

(4.64)

де -условная вірогідність того, що при поточному стані з наступним станом буде стан ; тому використовуватимемо загальноприйнятий запис :   

(4.65)

де, тобто наступний стан однозначно визначається текущимсостоянієм з; функція спеціального вигляду (4.65) застосовна, зрозуміло, тільки до детермінованих систем. Називатимемо ST-функціями, що породжують.

Аналогами нейтральних систем з поведінкою є відповідно ST-система

(4.66)

і ST-система, що породжує

(4.67)

де I, M іїмеют той же сенс, що в системах з поведінкою.

Для заданих системи даних і маски ST-функція fST що добре узгоджується з системою даних і маскою, може бути визначена за допомогою повної вибірки даних аналогічно тому, як це робилося для функції поведінки fB. Єдина відмінність полягає в тому, що в результаті вибірки виходять частоти пар послідовних станів, а не частоти N(c) окремих станів.

Пара називається переходом із стану з в іншому состоянієсогласно оголошеному на параметричній множині порядку породження. Однією з найважливіших властивостей ST-функцій є те, що переходи в деякий стан повинні знаходитися в рівновазі з переходами з цього стану. Якщо використовується вірогідність, то для будь-якого стану маємо

  (4.68)

і, отже

  (4.69)

що і визначає рівновагу переходів.

Стани з, з' можуть розглядатися як стани, визначувані двома взаємозв'язаними масками М, М'. Маски зв'язані між собою простим зрушенням відповідно до наступних правил зрушення:

тоді і тільки тоді, коли (4.70)

якщо дані породжуються у порядку зростання параметра, або

тоді і тільки тоді, коли (4.71)

якщо дані породжуються в зворотному порядку.

Маски використовуються разом для опису пар станів.

Щоб уникнути суперечностей і неповноти при породженні даних, змістовні маски в ST-системах повинні задовольняти наступній вимозі (на додаток до вимог для масок в системах з поведінкою):

для заданої маски М, якщо і і, то для всіх цілих, таких, що

Це означає, що маски в ST-системах не повинні містити «пропуски», подібні елементам на мал. 4.1. Маски, що задовольняють цій додатковій вимозі, називатимемо компактними масками.

Для обгрунтування цієї вимоги припустимо, що маска М ST-системи некомпактна. Тоді існує принаймні одна пара елементів з маски М, скажемо пара,, така, що

(4.72)

ідля всіх. З (4.70) маємо

(4.73)

Позначимо вибіркові змінні, що базуються на цих елементах, через і . Стани, є компонентами . Тим самим вони повинні бути або визначені для кожного значення параметра по стану з, або породжуватися відповідно до розподілу вірогідності або можливостей для кожного конкретного. Проте жоден з цих варіантів неможливий. Із-за (4.72) його не може бути визначено по стану з, не може бути і коректно породжено при будь-якому значенні параметра t, оскільки

>,(4.74)

і, таким чином, визначається станом s2 при значенні параметра . Немає ніякої гарантії, що породжений стан відповідатиме цьому раніше певному стану. З іншого боку, якщо стан породжується, то стає неповним, оскільки раніше певний стан

Мал. 4.10. Приклад неузгодженості або неповноти ST-систем з некомпактними масками

невідомо (тобто воно не є компонентом з). Отже, при будь-якому значенні t стан не може бути ні визначено, ні породжено за допомогою ST-функції, що породжує.

Ілюстрацією до доказу того, що маски з «пропусками» недопустимі в ST-системах, служить мал. 4.10; компоненту наступного стану з' при значенні параметра t+1 не може бути ні визначений із стану з у момент часу t (мал. 4.10,в), ні породжений за допомогою ST-функції, оскільки вже породжений при значенні параметра t-3 (мал. 4.10,а).

Зручно представляти ST-функції (4.63) і (4.64) у вигляді квадратних матриць, рядки і стовпці яких пов'язані відповідно із з і. Елементами цих матриць є значення відповідно або

Приклад 4.5. Одним з підходів до оцінки продуктивності обчислювальної техніки є постійний контроль за апаратним забезпеченням. Значення цього підходу зростатиме у міру зростання складності оцінюваних обчислювальних систем. При контролі апаратного забезпечення спостерігаються певні ключові змінні, що звичайно описують стан окремих компонентів обчислювальної системи. Робиться це протягом певного часу обслуговування системи користувачами за допомогою так званих апаратних моніторів. Дані обробляються апаратним монітором і аналізуються з метою виявлення вузьких місць в системі і пошуку способів підвищення продуктивності, яка також повинна бути яким-небудь чином визначена.

Звичайно до складу апаратних моніторів входять лічильники, які в процесі збору даних або рахують число подій (режим рахунку), що відбулися, або вимірюють тривалість подій (часовий режим). Це означає, що звичайно апаратний монітор надає досліднику не фактичні дані, а узагальнені. Наприклад, монітор визначає, що центральний процесор (ЦП) обчислювальної системи був завантажений протягом 43% часу спостереження, що канал був зайнятий в 15% всіх спостережень, але не дає фактичної послідовності подій, які б можна було потім обробляти і аналізувати.

При цьому часто втрачається важлива інформація, сприяюча кращому розумінню питань, пов'язаних з продуктивністю комп'ютера. Наприклад, абсолютно випадають з аналізу динамічні аспекти роботи комп'ютера.

Згідно концепції АСНІ всі спостереження повинні бути зафіксовані, а потім оброблені будь-яким відповідним способом. У даному прикладі за часом було зроблено 409610 спостережень для чотирьох змінних v1, v2, v3, v4. Кожна змінна мала два стани 0 і 1, що характеризують стан конкретного компоненту апаратного забезпечення: 0 означає, що компонент був неактивний під час спостереження, а 1 - що активний. Змінна описує роботу ЦП, а інші три змінних - роботу трьох важливих каналів зв'язку системи. Для отримання імовірнісної ST-функції з цього величезного набору даних, 1,6 млн. біт, що перевищують, за допомогою маски без пам'яті була зроблена вибірка для двох послідовних станів. Це дало 15 станів (див. табл. 4.2,а) і 11З переходів. Стани 7-15 з'являються дуже рідко: вірогідність того, що система знаходиться в одному з цих станів 0.009. Якщо для спрощення ST-функції, об'єднати ці стани в одне, що зручне для дослідника, вийде матричне представлення ST-функції, що породжує, приведене в табл. 4.2,б. Елементами матриці є умовна вірогідність . Позначення ~0 використовується для вірогідності, якою можна нехтувати; через 0 позначені переходи, які взагалі не спостерігалися. У матриці підкреслені елементи, відповідні переходу із стану знову в цей стан. У табл. 4.2,б також приведений вектор-стовпець значень функції поведінки при тій же масці (маска без пам'яті)


Таблиця 4.2 ST-функція для дослідження за оцінкою продуктивності обчислювальної системи

яка звичайно і є результатом контролю роботи апаратного забезпечення. Зрозуміло, що

(4.75)

В деяких випадках переважно представляти ST-функції у вигляді діаграм. Така діаграма є набором вузлів, поодинці для кожного стану наблюденних вибіркових змінних, і орієнтованих зв'язків між вузлами, відповідних реально існуючим переходам. Вузли на діаграмі повинні бути помічені відповідними ідентифікаторами стану з, а зв'язки помічені значеннями або ; у останньому випадку бажано також помітити вузли значеннями так, щоб значення можна було обчислити при необхідності з рівняння (4.75).

К.Р. № 15

 Опишіть ST-функцію для системи із станами, що змінюються.

Лекція 16

4.17 Взаємозв'язок ST-систем і систем з поведінкою

Будь-яку ST-систему легко можна перетворити в ізоморфну систему з поведінкою. Щоб показати, як це робиться, візьмемо довільну ST-систему

(4.76)

де М, зрозуміло, компактна маска. Припустимо, що будь-який наступний стан відповідає більшому значенню параметра, чим передування.

Розглянемо тепер систему з поведінкою

(4.77)

гдеопределяєтся через М таким чином:

(4.78)

Тоді для будь-якого набору даних із загальної представляючої системи I всі вибірки даних, що дають одну пару станів для маски М, скажемо пару, дають і один і той же стан для маски, скажемо стан с+. Якщо дані повністю вибираються за допомогою обох масок, то частоти і повинні бути однакові. Отже

(4.79)

де стан складається із з і породжуваної частини, назвемо її. Таким чином, функція поведінки еквівалентна ST-функції при однозначній відповідності

(4.80)

де тоді і тільки тоді, коли .

Маску (4.78) називатимемо розширеною маскою М. Она визначена в припущенні, що стани породжуються у порядку зростання параметра. При зворотному порядку альтернативна розширена маска, скажемо маска, визначається трохи інакше:

(4.79)

Можна аналогічно тому, як це було показано для М+, показати, що система з поведінкою

ізоморфна ST-системі, визначеній для тієї ж представляючої системи I і маски М.

Відповідність між масками М, і масками М, показана відповідно на мал. 4.11а і б. На малюнку також показано однозначну відповідність і його аналог для маски і

Для заданої системи з поведінкою

(4.81)

Ізоморфна ST-система при тій же представляючій системі I існує тільки тоді, коли М - компактна маска і для будь-якої підмаски . Якщо ці умови виконані, то зрозуміло, що ST-система (4.82)

де - породжувана частина (згідно певному порядку породження), яка ізоморфна при відповідній однозначній відповідності між безліччю станів З (заснованому на М) і (заснованому ). Дане перетворення з системи з поведінкою в ізоморфну ST-систему для одного з порядків породження показано на мал. 4.11,в.

Для направлених систем змінюючими стан аналогами функцій поведінки будуть відповідно наступні ST-функції:

(4.83)

де Е має той же сенс, що і для систем з поведінкою, і - умовна вірогідність, сенс якої однозначно визначається її загальноприйнятим позначенням

(4.84)

де - що породжують умовну вірогідність;

(4.85)

де.

Змінюючими стани аналогами для направлених систем з поведінкою будуть відповідно направлена ST-система

  (4.86)

і направлена ST-система, що породжує

(4.87)

де і визначаються так само, як і для систем з поведінкою.

Мал. 4.11. Ізоморфізм між системами з поведінкою і ST-системами

Мал. 4.12. Тривимірний масив, що представляє направлену ST-систему

Функції (4.83) і (4.84) зручно представляти у вигляді масивів квадратних матриць (тривимірних масивів) по одній матриці для кожної умови . Зручні також діаграми, подібні діаграмам для нейтральних ST-систем. Для направлених систем зв'язку на діаграмах позначаються не тільки значеннями відповідної ST-функції, але і умовами . Функції (4.85) можна представляти у вигляді матриць, рядки яких відповідають станам е, стовпці - станам, а елементами є відповідні стани . Ці функції представляються також у вигляді діаграм, таблиць і в деяких випадках за допомогою формул, алгебри. з

Приклад 4.6. На мал. 4.12 приведена проста направлена ST-система (без інтерпретації). Її представляюча система складається з вхідної змінної і вихідної змінної, кожна має два стани 0 і 1. Маска системи М показана на мал. 4.12,а, а на мал. 4.12,б приведені відповідні компоненти станів, породжені двома її послідовними положеннями на матриці даних. На мал. 4.12,в і г показані відповідно функції і у вигляді тривимірних масивів. У даному прикладі масив складається з двох матриць.

К.Р. № 16

Приведіть приклад переходу від деякої ST-системи до ізоморфоной системи з поведінкою.

Лекція 17

4.18 Види систем, що породжують

системи з поведінкою

1. базовиє-

а. рівняння (4.12) -нейтральные;

b. рівняння (4.28) -направленные;

2. що породжують:

а. рівняння (4.19) -нейтральные;

b. рівняння (4.32) -направленные;

ST-системи

1. базові:

а. рівняння (4.66) -нейтральные

b. рівняння (3.93) -направленные;

2. що породжують:

а. рівняння (4.86) - нейтральні;

b. рівняння (4.87) -направленные.

Як було показано, будь-яка ST-система може бути перетворена в ізоморфну систему з поведінкою, тоді як зворотне перетворення можливо тільки при певному типі масок. Отже, системи з поведінкою більш загальні, ніж ST-системи.

Два основні недоліки ST-систем очевидні: обмеженість із-за використання тільки компактних масок і власна надмірність, що виникає з накладення поточного і наступного станів.

ST-системи, коли вони застосовні, представляють для дослідників певні переваги. Мабуть, ST-функції зрозуміліше людині, чим аналогічні функції поведінки.

Для систем, що породжують, виділені різні відмінності. Це відмінності, виділені для систем нижчих рівнів, і деякі нові. Серед перших найбільш істотними є:

1. впорядкованість параметричної множини, що дозволяє ввести важливе поняття маски;

2. впорядкованість безлічі станів, що грає істотну роль в спрощенні процедур для систем, що породжують, і при роботі з не повністю певними наборами даних;

3. відмінність чітких і нечітких каналів спостереження, що дають відповідно чіткі або нечіткі дані і вимагаючих застосування різних методів обробки даних;

4. відмінність між нейтральними і направленими системами, з якими слід поводитися по-різному.

Відмінностями, що відносяться до систем, що породжують, але не до систем даних і початкових систем, є:

1. детермінована і недетермінована систем;

2. по використовуваній масці розрізняються системи без пам'яті і системи, що породжують, залежні від минулого.

Зрозуміло, ці методологічні відмінності характеризують і системи вищих рівнів.

4.19 Спрощення систем, що породжують

На деякому етапі обробки заданої системи даних часто бажано буває спростити відповідні цій системі даних системи, що породжують.

Існує два основні методи одночасного спрощення систем даних і відповідних систем, що породжують:

1) спрощення за рахунок виключення деяких змінних з відповідної подібної системи;

2) спрощення за рахунок визначення класів еквівалентності станів деяких змінних.

Хай безліч змінних тієї, що породжує системи V складається з п змінних і будь-якої підмножини V, за винятком порожньої множини, представляє змістовне спрощення першого роду. Отже, є нетривіальних спрощення першого роду. Вони частково впорядковані по відношенню «підмножина». Якщо для зручності включити початкову множину V і порожня множина, то безліч спрощень з частковим впорядкуванням утворює грати. Назвемо ці грати гратами змінних або V-гратами і позначимо . Зрозуміло, що V -решетка може бути описана або як

або як

  (4.88)

Позначимо через fB функцію поведінки заданої системи з поведінкою із змінними, що становлять множину V. При спрощенні цієї системи за допомогою скорочення множини V до підмножини нова (спрощена) функція поведінки fB визначається проекцією

(4.89)

визначеної рівнянням (4.57).

Скорочення другого роду зводяться до зменшення числа станів, що виділяються для окремих змінних. Одним із способів їх опису є визначення функції

(4.90)

де - задана безліч станів (змінною ); - спрощена (скорочене) безліч станів тієї ж змінної; - новий стан, привласнений початковому стану, а - це ідентифікатори, за допомогою яких розрізняються різні функції вигляду (4.90), застосовані до безлічі станів однієї і тієї ж змінної. Якщо, то стани х і у ізпрі спрощенні виявляються невиразними. Функція (4.90) повинна бути голоморфна щодо всіх математичних властивостей початкової безлічі Vi, які вважаються істотними з погляду даного завдання. Будемо функцію (4.90), що є гомоморфізмом в описаному вище сенсі, називати спрощуючою функцією.

Будь-яка спрощуюча функція індукує розбиття на множині. Будь-яке розбиття складається з груп станів V,, які неотлічими при даному спрощенні. Таке розбиття (яке зберігає істотні властивості ) називатимемо вирішуючою формою.

Що вирішують форми, визначені на якійсь безлічі станів, можуть бути впорядковані за допомогою звичайного відношення уточнення, визначеного на розбитті даної множини. Добре відомо, що таке відношення уточнення є відношенням часткового порядку і утворює грати. Для двох заданого розбиття, скажемо X і У, визначених на одній і тій же множині, говоритимемо, що X є уточненим розбиттям Y тоді і тільки тоді, коли для будь-якої групи х з X існує група у з У, така, що . Якщо X, що уточнює розбиття У, то У називається укрупненим розбиттям X. Грати вирішуючих форм, визначених на безлічі станів, називатимемо вирішуючими гратами і позначати . Будь-які вирішуючі грати безлічі станів можуть бути визначені або у вигляді

(4.91)

або у вигляді

(4.92)

де і позначають відповідно твір і суму розбиття.

Якщо дана безліч станів не володіє математичними властивостями, які повинні бути збережені, то як вирішуюча форма прийнятно будь-яке розбиття.

В цьому випадку вирішуючі грати містять все розбиття, яке може бути визначені на цій безлічі станів. Якщо безліч станів складається з m станів, то число вирішуючих форм в гратах, визначається формулою

(4.93)

Нижче показано величезне число вирішуючих форм навіть для невеликого числа станів:

Оскільки найменша уточнена вирішуюча форма (всі стани в одному блоці) сенсу не має, а найбільше уточнення дає спрощення, те число осмислених спрощень рівне.

Якщо безліч станів повністю впорядкована і потрібно зберегти цю впорядкованість при спрощеннях, то число вирішуючих форм істотно менше за число, що задається формулою. Хай - це стани і . Тоді для будь-якого і або об'єднуються в одну групу чи ні. Тільки ці рішення визначають конкретне розбиття. Таким чином, для т станів приймається m-1 бінарне рішення. Отже, для повністю впорядкованої безлічі станів

(4.94)

Очевидно, що ці грати для m станів ізоморфна булевим гратам для впорядкування підмножин будь-якої множини з m-1 елементу. У наступній таблиці приводяться значення, обчислені за формулою (3.94); в цьому випадку число вирішуючих форм істотно менше, ніж у разі неврегульованої безлічі станів: 

Число змістовних спрощень знову рівне

Приклад 4.7. Розглянемо змінну, станами якої є кольори світлофора: червоний, жовтий, зелений. Оскільки вони не впорядковані, все розбиття безлічі станів прийнятне як вирішуючі форми. Діаграма Хассе для цих грат приведена на мал. 4.13. Букви до, же, з означають відповідно червоний, жовтий і зелений кольори. Групам в окремих вирішуючих формах показані рисками над відповідними буквами. Стрілка на діаграмі указують напрям уточнення розбиття. Для спрощення початкової системи потрібно рухатися в напрямі, зворотному стрілкам. 

Мал. 4.13. Грати вирішуючих форм.

Якщо вибрано дещо змінних, то будь-яка вирішуюча форма для однієї змінної може бути об'єднана з будь-якою вирішуючою формою іншої змінної. Всі ці комбінації можна включити в одні грати, що представляють вибраний набір змінних. Називатимемо її об'єднаними вирішуючими гратами. Математично вона є твором окремих вирішуючих грат.

Хай - безліч елементів окремих вирішуючих грат вибраних змінних, а X - безліч елементів відповідних вирішуючих грат. Зрозуміло, що загальне число елементів об'єднаних вирішуючих грат рівне твору числа елементів окремих вирішуючих грат, тобто

(4.95)

проте тільки деякі з них є змістовними спрощеннями. Зокрема, будь-яка комбінація, в яку входить найменша уточнена вирішуюча форма (розбиття на одну групу) однієї з вирішуючих грат, є безглуздою. Комбінація всіх найбільш уточнених вирішуючих форм також не представляє спрощення. Отже, загальне число елементів об'єднаних грат, що представляють змістовні спрощення, визначається по формулі

(4.96)

У окремому випадку, коли всі окремі грати однакові і кожна складається з вирішуючих форм, ми одержуємо

(4.97)

Більш того, якщо всі вирішуючі грати побудовані на повністю впорядкованій множині з т станами, то

(4.98)

 

Вимоги, що спрощуючі породжують системи:

1) щоб системи були якомога простіші;

2) щоб ступінь нечіткості систем, що породжує, був якомога менше.

Називатимемо вимогу 1 вимогою простоти, а вимога 2 вимогою чіткості.

Щоб конкретизувати вимогу простоти для систем з поведінкою слід задати певну міру складності. Хай, наприклад, складність системи з поведінкою оцінюється числом реальних станів системи, тобто числом станів, що мають ненульову вірогідність або можливості. Це дуже проста міра, але, можливо, найбільш змістовна.

Алгоритми формалізації систем, що породжують

Системи з поведінкою

1. Визначається правило зрушення (Якщо параметрична множина повністю впорядкована ).

2. Визначаються вибіркові змінні, де . позначає стан вибіркової змінної при значенні параметра w, а - стан змінної при значенні параметра .

3. Визначається маска . Для введення вибіркових змінних визначається функція .

4. Визначається функція поведінки, де ., якщо стан з має місце бути, і інакше.

5. Визначається система з поведінкою .

Що породжують системи з поведінкою

1. Визначаються підмаски і маски М. Порождаємая підмаска і підмаска, що породжує . - маска породження.

2. Для зручності визначаються функції . Безліч станів і відповідно породжуваних змінних, що породжують

3. Визначається функція поведінки, що породжує .

4. Визначається система, що породжує, з поведінкою .

Для недетермінованих систем з поведінкою

Функція поведінки приймає вид закону розподілу вірогідності. У разі систем, що породжують, з поведінкою .

Направлені системи з поведінкою

1. Визначаються підмаски і маски М. Пусть підмаска визначає вибіркові змінні, що задаються середовищем, а підмаска - інші. - маска направленої системи з поведінкою.

2. Для зручності визначаються функції. Також .

3. Визначається функція поведінки .

4. Визначається направлена система з поведінкою .

Що направлені породжують системи з поведінкою

1. Маска, що породжує, для направленої системи з поведінкою . розглядається як розбиття .

2. Визначається функція поведінки .

3. Визначається направлена система, що породжує, з поведінкою .

Системи із станами, що змінюються

1. Визначаються функциігде - це вірогідність стану, наступного безпосередньо за станом (згідно вибраному порядку породження); де - умовна вірогідність того, що при поточному стані наступним станом буде стан.

2. Визначаються аналоги нейтральних систем з поведінкою, ST-система, і ST-система, що породжує . Де, і мають той же сенс, що в системах з поведінкою.

К.Р. № 17

Для деякої системи, що породжує, приведіть приклади можливих спрощень.

Лекція 18

Дослідження і проектування за допомогою АСНІ

В цілому АСНІ призначені для вирішення завдань наступних двох типів. Завданням дослідження систем є накопичення знань про різні набори змінних і параметрів, визначених з конкретною метою на існуючих об'єктах. Завданням проектування систем є використання накопичених знань для створення нових об'єктів, для яких на певні змінні накладені відомі обмеження. Вся розглянута вище теорія формалізує і надає можливі шляхи створення АСНІ загального вигляду для довільної наочної області.

Існує два основні підходи використання АСНІ. При одному системи (або системи вищих рівнів), що відповідні породжують, базуються на певних вимогах, виводяться із заданої системи даних. Цей підхід звичайно називається методом відкриття.

При іншому підході гіпотетична система (або система вищого рівня) постуліруєтся, що породжує, а потім її правильність перевіряється порівнянням породжуваних нею (за відповідних початкових умов) даних з емпіричними даними. Якщо система не проходить перевірки, заснованої на конкретному критерії правильності (критерії збігу), то вона відкидається і постуліруєтся нова система. Цей підхід до дослідження систем звичайно називається методом того, що постулювало.

При використанні методу відкриття будь-яка система, що породжує, одержана безпосередньо з системи даних, є якимсь економним представленням якихось аспектів системи даних. Те, які саме аспекти представляються системою, що породжує, залежить від її маски і характеру функції поведінки або ST-функції. Якщо система, що породжує, детермінована, то цей економний опис всієї системи даних свого роду «стенографічний» опис.

Таким чином, проектування систем в запропонованому варіанті АСНІ завжди є процесом підйому за ієрархією систем. Він починається з визначення або що породжує системи, або системи даних і набору вимог щодо структури систем. Дослідження за допомогою АСНІ здійснюється з допомогою:

1. підйому за ієрархією за допомогою виявлення систем вищих рівнів, для яких системи нижчих рівнів володіють певними властивостями (метод відкриття);

2. постулювали систем, що породжують, або систем вищого рівня і відкидання тих з них, які не задовольняють перевірці на відповідність між емпіричними і породженими даними (метод того, що постулювало);

3. будь-якої комбінації методу відкриття і методу того, що постулювало, наприклад підйому за ієрархією до певного рівня і постулювало систем на більш високому рівні.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8106. Электрофильтры. Тиристорные пускатели. Козловые краны. Портальные краны 3.16 MB
  Электрофильтры Электрическая очистка(электрофильтры) - один из наиболее совершенных видов очистки газов от взвешенных в них частиц пыли и тумана. Электрофильтры - это высоковольтное электротехническое оборудование, в кот...
8107. Детали машин. Конспект лекций 3.63 MB
  Детали машин Содержание курса Механические передачи Элементы, обеспечивающие вращательное движение (валы и подшипники) Соединения Муфты приводов Цель курса ДМ и ОК: изучение, расчёт и проектирование деталей общемашиностроител...
8108. Организационно-экономическая характеристика хозяйства 212 KB
  Организационно-экономическая характеристика хозяйства Общие сведения о предприятии, его специализация Коммунальное сельскохозяйственное унитарное предприятие Коленское Житковичского района Гомельской области образовано на базе со...
8109. Экспертиза наличных денежных средств, определение платежеспособности валюты РФ, обмен денежных купюр, виды приборов, с помощью которых определяют подлинность денежных знаков 4.2 MB
  Введение История возникновение денег. Деньги появились как некий необходимый при возникновении товарообмена универсальный измеритель. Деньги за свою историю принимали самые различные и необычные формы. Постепенно люди перешли к деньгам в виде металл...
8110. Разработка комплекта полиграфической продукции для индивидуального заказчика 2.24 MB
  Разработка комплекта полиграфической продукции для индивидуального заказчика Введение Реклама за последние годы стала частью нашей жизни. Она нужна бизнесу для повышения своей известности и популярности, продвижения товаров и услуг. Реклама...
8111. CASE - технологии 64.5 KB
  CASE- технологии CASE-системами или CASE-технологиями называют реализованные в виде программных продуктов технологические системы, ориентированные на создание сложных программных систем и поддержку их полного жизненного цикла или его основных этапов...
8112. Особенности организации и управления малых предприятий (на примере ООО CSoft Воронеж) 202.99 KB
  Особенности организации и управления малых предприятий (на примере ООО CSoft Воронеж) Введение Программное обеспечение как рыночный продукт занимает специфическое место. С одной стороны, это товар не производственного назначения, объемы которого дол...
8113. Система доходов и расходов федерального бюджета 374.5 KB
  Система доходов и расходов федерального бюджета Введение. В любой стране государственный бюджет - ведущее звено финансовой системы, единство основных финансовых категорий: налогов, государственных расходов, государственного кредита...
8114. Краткая история ИИ. Понятие интеллектуального агента 63.5 KB
  Лекция 1. Краткая история ИИ. Понятие интеллектуального агента (Конспект) Машинный перевод: 1954 г. Джорджтаунский эксперимент - переведено 60 фраз. 1-й этап - информация о языках, между которыми выполнялся перевод, и описание самих...