21345

Устойчивость систем автоматического управления

Реферат

Математика и математический анализ

Оценить устойчивость системы можно в результате исследования ее математической модели то есть решить соответствующую систему дифференциальных уравнений. Для разомкнутой системы математическая модель в операторной форме: или где оператор дифференцирования. Для замкнутой системы: или .

Русский

2013-08-02

1.15 MB

34 чел.

Устойчивость систем автоматического управления

Понятие устойчивости системы

Свойства устойчивости проявляются в способности системы возвращаться в первоначальное состоянии или близкое к нему при приложении к системе или снятии воздействия. В связи с этим различают три ситуации: 1) система устойчива; 2) система неустойчива; 3) система "безразличная", нейтральная.

Оценить устойчивость системы можно в результате исследования ее математической модели, то есть решить соответствующую систему дифференциальных уравнений.

Для разомкнутой системы математическая модель в операторной форме:

,   или     ,   где    - оператор дифференцирования.

Для замкнутой системы:

,  или    .  Если  (единичная обратная связь),   то .

Рассмотрим замкнутую систему. Если подать на ее вход единичное ступенчатое воздействие  , то реакция системы на данный сигнал:

- переходная характеристика системы.    n - порядок системы (старшая степень полинома D(p)).

Весовая функция системы:   - реакция системы на импульсное воздействие.

Рассмотрим составляющую весовой функции, обусловленную i-м корнем:

.

Пусть    (вещественный

корень).  

Если , тогда

возрастает, смотри рисунок:

То есть, если хотя бы одно звено "расходящееся", то вся система - неустойчива.

Если  ,  тогда , как

следует из рисунка, асимптотически

убывает:

Если все корни характеристического уравнения  вещественные отрицательные: ,   то система устойчива.

 

Если хотя бы один  

при всех остальных отрицательных

,

то система - "безразличная":

В случае пары комплексных корней, , , соответствующие составляющие весовой функции имеют вид:

       

Если вещественная часть комплексных корней  отрицательна (),то система устойчива.

Если   - система неустойчива.

Если (чисто мнимые корни) при всех остальных "устойчивых" корнях система "безразличная". 

Если все вещественные корни и вещественные части всех комплексных корней характеристического уравнения системы отрицательны, тогда система - устойчива.

Распространение устойчивости на линеаризованные системы. 1892г. Ляпунов А.М.

  1.  Для устойчивости линеаризованных систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения системы (полюса) были либо отрицательными вещественными, либо имели отрицательные вещественные части. При этом никакие отброшенные при линеаризации члены высших порядков не сделают систему неустойчивой.
  2.  Если в линеаризованный системе хотя бы один корень характеристического уравнения будет положительным вещественным, либо иметь положительную вещественную часть, то система будет неустойчива, и никакие отброшенные члены высших порядков не сделают ее устойчивой.
  3.  Если один или пара корней характеристического уравнения системы находятся на мнимой оси, а остальные корни все левые,  то система находится на границе устойчивости. Ее реальная устойчивость целиком определяется отброшенными при линеаризации малыми высших порядков.

Поскольку для установления факта устойчивости системы необходимо знать только знак вещественной части корня, то желательно иметь какие-то критерии, которые бы позволяли определять этот знак без нахождения корней характеристического уравнения, тем более без процедуры решения дифференциального уравнения, соответствующего исследуемой системе.

Критерии устойчивости

Различают алгебраические и частотные критерии.

Алгебраические:  критерий Раусса;

критерий Гурвица;

критерий Вышнеградского;

Частотные:  критерий Михайлова;

  критерий Найквиста;

  логарифмический критерий Найквиста.

Алгебраический критерий устойчивости Раусса. 1875г.

Раусс выразил его в форме таблицы. Элементами первой строки являются четные коэффициенты характеристического уравнения (полинома), начиная с . Элементы второй - нечетные коэффициенты, начиная с . Элементы последующих строк вычисляются по приведенным формулам.

Итак, характеристический полином   , где .

=…

=…

=…

=…

=…

=…

и так далее

В данной таблице должна быть n+1 строка.

Ниже приведены формулы, используемые при заполнении таблицы.

;     ;

   ;

Если все элементы первого столбца таблицы Раусса положительны (одного знака), то система устойчива. Если хотя бы один элемент отрицателен, то система неустойчива. При этом число перемен знака равно числу правых корней характеристического уравнения.

Если один из элементов первого столбца равен нулю, то система находится  на границе устойчивости, а характеристическое уравнение имеет пару мнимых корней.

В случае, когда последний элемент равен нулю, то корень уравнения – нулевой  вещественный. При нескольких нулевых последних элементах первого столбца таблицы имеется соответствующее количество нулевых корней характеристического уравнения.

Критерий устойчивости Гурвица. 1895 г.

На основании характеристического уравнения системы

  .

строится определитель Гурвица (при ).

     Свободные места заполняются нулями.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы определитель  Гурвица и все его диагональные миноры были положительны.

Диагональные миноры:

;  ;   ;     .  .  .

Пример 1. Пусть имеется система первого порядка,   .

;   (или );   ;       .

Здесь не абсолютная величина, а определитель!!!

Вывод. Для устойчивости системы первого порядка необходима положительность коэффициентов характеристического уравнения.

Пример 2. Система второго порядка,  n = 2.  ; ;        должно быть.     Откуда     .

Вывод. Для устойчивости системы второго порядка достаточно положительности коэффициентов характеристического уравнения.

Пример 3. Система третьего порядка;   n = 3.

Вывод: Для устойчивости системы третьего порядка необходимо и достаточно кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения выполнение неравенства: .

О критическом коэффициенте усиления

;    ;    ;

;

.

               (так как К > 0).

Неравенство     .

Откуда ;     При   KКРИТ = 8 .     

Следовательно, в системе для обеспечения ее устойчивости должно выполняться неравенство    К <  KКРИТ .

Частотные критерии устойчивости

Основаны на использовании записи уравнений в форме Лапласа, когда в характеристическом полиноме системы (полиноме знаменателя передаточной функции)  оператор Лапласа s заменяется на j.

Первоначально рассмотрим принцип аргумента.

Принцип аргумента

Полином     можно разложить на множители, тогда . Корни  находятся из уравнения .

Среди n корней уравнения n-m - левых, m- правых. Граничные корни можно отнести к правым корням.

1)  Пусть все корни уравнения - вещественные.

Значит, находятся на вещественной оси.

При изменении   от 0 до

аргумент (угол вектора ) изменится на  - для левого корня, на - - для правого корня.

2)  В случае пары комплексных корней при изменении    от 0 до  суммарное изменение аргумента составит:

для правых корней  и :

;

для левых корней  и

.

В целом приращение аргумента  (по правилу перемножения комплексных чисел) составит:    .

Для устойчивости системы необходимо потребовать, чтобы корни были только левые (m = 0).

Тогда система будет устойчива, если при изменении   от 0 до  приращение аргумента  будет равно:       .

Критерий устойчивости Михайлова

Характерной особенностью данного метода является то, что об устойчивости системы судят по поведению годографа Михайлова исследуемой системы:

  •   - для разомкнутой системы;
  •   - для замкнутой системы.

Под годографом понимается кривая, которую описывает конец вектора  или   на комплексной плоскости при изменении от 0 до . Здесь  и   - полиномы знаменателей соответствующих передаточных функций.

На основании принципа аргумента формулируется критерий Михайлова:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора Михайлова  для замкнутой и  для разомкнутой системы) при изменении от 0 до + повернулся в положительном направлении на угол (/2)n или, иначе, пересек по очереди n квадратов без пропусков.

Все эти годографы (и системы соответственно) устойчивы.

Эти системы неустойчивы, так как вектор годографа Михайлова вращается в отрицательном направлении.

Система неустойчива, так как квадранты проходятся непоследовательно.

Система находиться на границе устойчивости.  При подсчете порядка системы каждое прохождение годографа через 0 повышает порядок на 1.

Следствие из критерия Михайлова:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни мнимой и вещественной частей годографа Михайлова перемежались.

Если корни не перемежаются, то система неустойчива.

Если характеристическое уравнение  не имеет какого либо члена, то система также неустойчива.

Частотный критерий устойчивости Найквиста

Частотный критерий Найквиста дает возможность определить устойчивость замкнутой системы по АФЧХ ее разомкнутой цепи (разомкнутой системы) . Ниже показано, как определяется передаточная функция разомкнутой системы для случая единичной и неединичной обратной связи.

Следовательно, об устойчивости замкнутой системы с передаточной функцией  будем судить по  передаточной функции разомкнутой системы , а именно по поведению годографа .

Рассмотрим  вспомогательную передаточную функцию

   , где обозначено .

Пусть порядок полинома   равен n и порядок полинома ,  причем  (в основном так и бывает). Тогда порядок полинома   также будет равен n.  Различают три возможных ситуации:

  1.  не содержит правых или нулевых корней, то есть разомкнутая система устойчива.
  2.  имеет хотя бы один правый корень, следовательно, система в разомкнутом состоянии неустойчива.
  3.  Все корни левые, но есть и корни на мнимой оси (нейтральная система).

Задача. Определить условия, при которых в замкнутом состоянии система будет устойчива в каждом из трех случаев.

 

Случай 1. Число правых корней равно 0. Все корни - левые.  Разомкнутая система устойчива.

            .   Для устойчивости замкнутой системы (это наше требование) необходимо, что все корни полинома  - левые, то есть   .

 Применим к  принцип аргумента. При изменении  от 0 до  изменение величины фазового сдвига составляет (в соответствии с правилами деления комплексных чисел):

          .

При устойчивой замкнутой системе приращение  .

Получили кривую , не охватывающую начало координат:

Если учесть, что , следовательно , или . Таким образом в плоскости получаем:

Точка () на плоскости  преобразовалась в точку ( ) на плоскости  .

 Вывод. Для устойчивости замкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы при изменении   от 0 до  не охватывал критическую точку с координатой ().

 На рисунке приведены годографы разомкнутых систем, устойчивых и в замкнутом состоянии.

Характеристики, обозначенные цифрами 1 и 2, соответствуют системам, устойчивым как в разомкнутом, так и в замкнутом состоянии. Для этих систем уменьшение коэффициента усиления отодвигает характеристику от опасной зоны. Характеристика 3 - условно устойчивая система. В условно устойчивой системе уменьшение коэффициента усиления может привести к неустойчивости замкнутой системы.

На следующем рисунке приведен годограф системы, неустойчивой в замкнутом состоянии.

При   выходной сигнал отстает от сигнала на входе системы на 1800, то есть находится с ним в противофазе. Если =1 (как на рисунке), то при замыкании системы с ООС сигнал x0, равный алгебраической сумме q и y, не будет ни усиливаться, ни ослабляться. Система будет находиться на границе устойчивости.

Если , то сигнал будет циклически усиливаться. Система становится неустойчивой, даже если снять входной сигнал.

Случай 2. Система в разомкнутом состоянии неустойчива.

Полином  имеет  m1 правых корней,  n-m1 - левых. На основании принципа аргумента:

.

Следовательно, для устойчивости замкнутой системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы при изменении    от 0 до , двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки),  раз охватил критическую точку .

Случай 3. В разомкнутом состоянии имеются корни на мнимой оси (нулевые корни).

Передаточная функция разомкнутой системы  причем , или  . Пусть r =1.  Если нулевой корень сдвинуть влево на малую величину , тогда передаточная функция примет вид   , а частотная характеристика будет определяться выражением .  Дальнейшие рассуждения при получении критерия устойчивости базируются на рассмотренном выше случае 1:

Начальный радиус точки при     есть  .  Если устремить , то начальное значение АФЧХ также изменится: . Следовательно, предельное стягивание корня на свое исходное положение обеспечивает увеличение начального радиуса до , но интегрирующее звено обеспечивает сдвиг по фазе на угол -900.

 

Вывод. Для устойчивости замкнутой системы, имеющем в разомкнутом состоянии все левые точки, а также 1 или несколько нулевых корней, необходимо и достаточно, чтобы при изменении  от 0 до  критическая точка  не охватывалась годографом АФЧХ разомкнутой системы вместе с ее дополнением.

Дополнением является дуга с , повернутая от оси вещественных корней на угол  .

Обобщенная формулировка критерия Найквиста

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы при изменении  от 0 до  сделал число положительных переходов действительной оси левее точки () больше числа отрицательных переходов на  раз.

Считаем слева направо -, +, -, +. Сумма переходов равна нулю. Переходы справа от точки (-1,j0) не считаем. Замкнутая система будет устойчива, если  m1=0 (в разомкнутой системе все корни левые).

Логарифмический критерий устойчивости (Найквиста)

Это разновидность частотного критерия Найквиста, позволяющего выяснить устойчивость системы по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы.

Для устойчивости замкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии (или нейтральной), необходимо и достаточно, чтобы критическая частота, соответствующая переходу ЛФХ через линию (-1800) была больше, чем частота среза.

Общая формулировка логарифмического критерия:

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов кривой линии   в области  равнялась  , где  - число правых корней разомкнутой системы.

 

О применении критериев устойчивости

Если имеется дифференциальное уравнение системы в канонической форме или операторное уравнение вида , (), то в этом случае предпочтительно использовать алгебраические критерии. Если порядок уравнения  , то лучше критерий Гурвица. Кроме того критерий Гурвица можно рекомендовать, когда необходимо решить задачу нахождения границы устойчивости. Для этого приравнивают к нулю минор  и находят из данного уравнения граничные условия.

Если  , то лучше применять критерий Раусса.

Частотные критерии предпочтительнее, когда имеются соответствующие частотные характеристики. Частотные характеристики применяются при исследовании систем, которые невозможно описать дифференциальными уравнениями (черный ящик).

47


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17791. Векторний добуток двох векторів 2.87 MB
  Лекція 5. Векторний добуток двох векторів Векторним добутком двох векторів і називається вектор такий що: а де; 2.60 б і ; в якщо то вектори утворюють праву трійку. Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою якщо з кін
17792. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ 71.09 KB
  Лекція 6. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ Лінійні алгебраїчні рівняння. Теорема Кронекера Капеллі Нехай задано систему лінійних рівнянь в якій коефіцієнти і вільні члени відомі а – невідомі. Розв’язати систему– це означає знайти впорядкован
17793. Дробово-лінійна функція і її геометричний зміст 59.31 KB
  Лекція 8. Дробоволінійна функція і її геометричний зміст. Дробоволінійною називається функція Якщо с = 0 і d 0 то дробоволінійна функція називається цілою лінійною функцією. При adbc= 0 дробоволінійна функція є сталою величиною. Доведемо що при с0 і аd bс0 графіком др...
17794. Лінійні і квадратичні форми. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду 38.84 KB
  Лекція 9 Лінійні і квадратичні форми. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду. Лінійні форми Розглянемо nвимірний евклідів простір. Поставимо у відповідність до nвимірного вектора з цього простору певне дійсне число . Дістанемо числову функцію векторн
17795. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ 5.7 MB
  Лекція 10. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ Аналітична геометрія це розділ математики в якому геометричним обєктам ставлять у відповідність певні рівняння таким чином що властивості обєктів виражаються у властивостях цих рівнянь. Рівняння записуються відносно вибраної сис...
17796. ПРЯМА ЛІНІЯ У ТРИВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ 244.53 KB
  Лекція 12. ПРЯМА ЛІНІЯ У ТРИВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ Канонічні і параметричні рівняння прямої у тривимірному просторі Пряма лінія у тривимірному просторі може бути задана різними способами: двома точками точкою і напрямом перетином двох площин та ін. Нехай пряма пр
17797. Криві другого порядку 662.09 KB
  Лекція 13. Криві другого порядку Загальне рівняння кривої другого порядку Нагадаємо загальне рівняння поверхні другого порядку 1.5: a11x2 a22y2 a33z2 2a12xy 2a13xz 2a23yz a10x a20y a00 = 0 5.1 Якщо поверхню другого порядку перетинає яканебудь площина поверхня першо
17798. Парабола 1021.92 KB
  Лекція 14 Парабола Нехай на площині дано точку F і пряму d яка не проходить через F. Геометричне місце точок площини рівновіддалених від фіксованої точки F та фіксованої прямої d що не проходить через точку F називається параболою. Точка F називається