21346

Свойства систем автоматического управления

Реферат

Математика и математический анализ

Системы характеризуются: запасом устойчивости областями устойчивости притяжения качеством регулирования и другими характеристиками. Структурная устойчивость неустойчивость Это такое свойство замкнутой системы при наличии которого она не может быть сделана устойчивой ни при каких изменениях параметров. Годограф Найквиста для данной системы изображен на Рис. Устойчивость этой системы определяется значениями параметров и .

Русский

2013-08-02

975.5 KB

17 чел.

Свойства систем автоматического управления

Рассмотренная выше устойчивость (совместно с  критериями ее определения) не является единственным свойством систем автоматического управления. Системы характеризуются: запасом устойчивости, областями устойчивости, притяжения, качеством регулирования и другими характеристиками. Рассмотрим некоторые из них.

Структурная устойчивость (неустойчивость)

Это такое свойство замкнутой системы, при наличии которого она не может быть сделана устойчивой ни при каких изменениях параметров.

Пусть . Годограф Найквиста для данной системы изображен на Рис.А. Устойчивость этой системы определяется значениями параметров  и . Рассматриваемая система является структурно устойчивой.

Пусть    . (Рис.В). Устойчивость также зависит от параметров и . Система структурно устойчива.

Пусть    .   В любом случае (при любых значениях параметров) система будет неустойчива. То есть система является структурно неустойчивой.

В частном случае передаточная функция имеет вид  . При этом соответствующее характеристическое уравнение замкнутой системы: . Нарушен принцип перемежаемости корней и полюсов. Система неустойчива. Структурно неустойчива.

Система с передаточной функцией  - структурно неустойчива, так как для замкнутой системы , при этом коэффициенты , , , , - все положительны, но из условия   следует, что , откуда , или . То есть система неустойчива.

Система   также структурно устойчива. Здесь звено  - квазиапериодическое (статически неустойчиво). Характеристическое уравнение  замкнутой системы . Откуда можно получить два граничных условия:  и .

         Для одноконтурных систем имеют место условия (Мейеров М.В.):

Пусть одноконтурная система состоит из:

- интегрирующих звеньев,

- неустойчивых звеньев,

- консервативных звеньев. Тогда при отсутствии в системе дифференцирующих звеньев она будет структурно устойчива в том случае, если   

В случае многоконтурных систем соотношения Мейерова необходимо применять к каждому контуру, входящему в систему.

Запас устойчивости

Факт обнаружения устойчивости не дает уверенности в работоспособности системы.

Возможны неточности (погрешности), так как:

математическое описании системы идеализировано;

часто бывает произведена линеаризация звеньев;

неточность определения параметров;

изменение условий работы (по отношению к моделируемым).

Следовательно, необходим запас устойчивости.

При использовании критерия Гурвица запас определяется величиной предпоследнего минора:

Если   -  запас устойчивости отсутствует;   - запас имеется.

Запас устойчивости в системе характеризует степень устойчивости.

Запас устойчивости и степень устойчивости можно определить по расположению корней характеристического уравнения и по частотных характеристикам системы.

Аналогично можно определить запас устойчивости по логарифмическим характеристикам L() и (), применяемым при определении устойчивости по критерию Найквиста.

Область устойчивости

На практике проектировщиков систем автоматического управления интересует пространство (область, пределы, диапазон) параметров, при которых системы является устойчивой. Множество значений параметров, при которых система обладает свойством устойчивости, называется областью устойчивости системы.

Для определения областей устойчивости имеется несколько методик.

  1.  На основе алгебраического критерия устойчивости Гурвица;

Метод Д-разбиения;

Метод корневого годографа.

Область устойчивости по Гурвицу определяется с помощью использования равенств в условиях Гурвица вместо неравенств. Чаще всего определение границы искомой области может быть произведено при условии . (Смотри пункт "Определение критического коэффициента усиления"). Отсюда определяется зависимость интересующего нас параметра от параметра .  Получаемая зависимость ()- граница области устойчивости системы.

В системах более высоких порядков возникает необходимость рассмотрения других миноров. При этом область устойчивости может сужаться.

Метод Д-разбиения

Замкнутой системе автоматического управления ставится в соответствие ее характеристическое уравнение  .

.

Путем решения данного уравнения находятся корни и убеждаются, что из n корней  m1- правых, n - m1 - левых.

Можно представить, что в гиперпространстве n+1-го порядка n+1 осей, по которым откладываются значения коэффициентов характеристического уравнения .  Тогда каждому сочетанию этих конкретных параметров соответствует точка в гиперпространстве, а в плоскости корней характеристического уравнения в тоже  время их конкретное расположение.

Если изменить один или несколько коэффициентов уравнения, точка в пространстве займет новое положение, корни в плоскости корней также сместятся. При непрерывном изменении коэффициентов корни будут выписывать годограф. И при каком-то сочетании коэффициентов уравнения один из корней попадет в начало координат, либо два корня на мнимую ось. Когда это случится, то уравнение   превратится в тождество  : , потому как вещественная часть S в станет равна 0.

При дальнейшем изменении параметров может случиться, что еще какие-то корни "выедут" на мнимую ось. Этот случай также будет соответствовать уравнению .

 Таким образом, условие  представляет собой уравнение гиперповерхности в гиперпространстве, пересечение которой соответствует приобретению или потере характеристическим уравнением одного вещественного или двух комплексных правых  корней.

На практике используется Д-разбиение по одному (не очень интересно), либо по двум параметрам.

Предположим, что нужно выяснить влияние на устойчивость системы двух параметров: и , которые входят в характеристическое уравнение замкнутой системы линейно. Тогда данное уравнение может быть приведено к виду

.

После замены в уравнении s на j получается система уравнений:

        так как  ,

решение которой, например,  по правилу Крамера, позволяет получить  и   как функции :

,     ,     .

Следовательно можно построить однопараметрические зависимости  и  и отобразить их на плоскости параметров . Полученная кривая при изменении  от   до  является кривой Д-разбиения плоскости  где  откладывается по оси абсцисс, а - ординат. При движении по кривой Д-разбиения в сторону возрастания    штриховку наносят слева, если определитель положителен. Точка по кривой пробегает дважды: первый раз при изменении    от   до  0, второй - при изменении     от 0 до . Однако при  =0 определитель меняет знак, поэтому кривую оба раза штрихуют с одной стороны. Получается одна кривая с двойной штриховкой, соответствующая изменению  от 0 до .  При некотором значении  определитель может обратиться в ноль. Если при этом соответствующие миноры не обращаются одновременно в ноль, то точка  уходит в бесконечность. Если же одновременно с определителем обращаются в ноль и миноры, то рассматривается уравнение прямой линии

,

называемой особой прямой. Всем ее точкам соответствует одно и тоже значение .

Особые прямые получаются также из уравнения  при  и из уравнения   при ,  если в эти уравнения входит хотя бы один из параметров  или .

Правила штриховки следующие:

Если особая прямая и кривая Д-разбиения сближаются асимптотически - штриховка особой прямой однократная, направлена к заштрихованной стороне кривой Д-разбиения.

если особая прямая имеет общую точку с кривой Д-разбиения, но не пересекает ее - штриховка особой прямой однократная и около общей точки направлена к заштрихованной стороне Д-разбиения.

если особая прямая пересекает кривую Д-разбиения в двух точках - штриховка особой прямой двойная и направлена к заштрихованной стороне кривой Д-разбиения около той точки пересечения, в которой определитель меняет знак, около второй точки пересечения определитель знака не меняет и штриховку особой прямой не изменяют.

если особая прямая пересекает кривую Д-разбиения, но знак определителя не меняется - особую прямую не штрихуют.

После того, как кривая Д-разбиения и особые прямые построены, и на них нанесена штриховка, отыскивается область, внутрь которой направлена штриховка ее границ. Это область потенциальной устойчивости. С помощью любого критерия устойчивости проверяется, является ли система в какой-либо точке данной области устойчивой. Тогда рассматриваемая область принимается в качестве области устойчивости.  Возможны случаи, когда области устойчивости отсутствуют.

Методом Д-разбиения плоскости по двум параметрам иногда можно выяснить влияние на устойчивость одного параметра, который входит в характеристическое уравнение нелинейным образом.

Пример.   Имеется система, передаточная функция которой

.

Требуется произвести D –разбиение  по T1 и К. Обозначим .

Характеристическое уравнение замкнутой системы

.

После преобразований

.

Для построения границы области устойчивости рассмотрим уравнение

,

которое, после разделения на мнимую и комплексную части, преобразуется в систему

;    или   .

Вычисляя соответствующие определитель и миноры

,       ,

, находим параметрические зависимости     .

В точке   определитель обращается в ноль. Соответствующие кривые (), К() и К() терпят разрыв.

Особые прямые получаются из уравнений  и , которые для данного примера имеют вид:   К+1=0   и  Т2Т3=0  соответственно.

Уравнения особых прямых:

К = -1;    = 0.

Ниже на рисунке приведены зависимости (), К() и построена область устойчивости системы.

 Получили две области потенциальной устойчивости D(0). Для проверки возьмем точку из верхней области (К=0, >0).  Подставим эти значения в характеристическое уравнение:  . В данной точке система будет устойчива, так все корни уравнения отрицательны. Аналогично проверяется и вторая область.

Область устойчивости, находящаяся в первом квадранте - рабочая область. Область устойчивости, находящаяся в третьем квадранте - область математически устойчивых решений (не рабочая).

Оценка качества регулирования

Как уже было отмечено, каждая система автоматического регулирования характеризуется:

устойчивостью,

точностью в установившихся режимах,

качеством переходных характеристик (быстродействие системы).

Точность в установившихся режимах и качество переходных характеристик - качество регулирования.

Точность характеризуется наличием рассогласования в различных установившихся режимах (или его отсутствием) и коэффициентами ошибки.

Для оценки качества переходных характеристик используют прямые оценки переходного процесса, вызываемого (чаще всего) единичным ступенчатым воздействием. Применяются и приближенные косвенные оценки качества: частотные, интегральные, корневые.

Качество систем, внешние воздействия которых есть случайные функции времени, принято оценивать среднеквадратичным значением рассогласования, другими статистическими функциями.

Показатели качества переходной характеристики

Важное значение имеет переходный процесс, возникающий при быстром (мгновенном) изменении задающего воздействия или возмущения от одного значения до другого. Чем с большей скоростью и плавностью протекает такой процесс, тем меньше его продолжительность и значение рассогласования.

Одной из оценок качества регулирования служит оценка переходной характеристики системы относительно задающего воздействия. Имеется ввиду, что чем лучше переходная характеристика, тем лучше система будет отрабатывать произвольное задающее воздействие.

Переходные характеристики бывают монотонными и колебательными. (На рисунке приведена колебательная переходная характеристика). В колебательной характеристике имеют место переходы через установившееся значение - перерегулирования.

Основные показатели качества: перерегулирование , время регулирования (время процесса) , время первого согласования  .

Перерегулирование (определяется величиной первого выброса) - отношение разности максимального значения переходной характеристики и ее установившегося значения к величине установившегося значения. Измеряется обычно в процентах.

.

Время регулирования - длительность переходного процесса. Правда, в идеальной системе переходный процесс бесконечен. Поэтому временем регулирования считают тот интервал времени, по истечении которого отклонения переходной характеристики от установившегося значения не превышают . Значения    обычно принимают 5%, 2%, а иногда и 1%. Но такой выбор всегда оговаривается.

Существенным показателем служит Колебательность М, определяемая числом полных колебаний (число максимумов характеристики) за время переходного процесса. Обычно при = 5%  М = 1 ... 2 (желательно). Чем меньше эта величина, тем лучше.

Логарифмический декремент затухания характеризует скорость затухания колебательного процесса.

.

В системе кроме качества воспроизведения задающих воздействий анализируется подавление влияния возмущений. Таким образом, рассматривается переходная характеристика системы по возмущению . Особенность данной характеристики в том, что ее установившееся значение должно быть весьма малым в статической системе и равно нулю в астатической системе (об этом позднее).

Понятие перерегулирования для характеристики по возмущению не имеет смысла, и данные характеристики оценивают непосредственно максимальным значением .

Точность в установившихся режимах

В зависимости от типа входного воздействия установившиеся режимы подразделяются на статические и динамические.

,    ,   ,    .

Аналогично для возмущения f(t).

Предполагается, что изменение входных воздействий относительно медленно, когда переходной составляющей можно пренебречь. Соразмерить это можно, сопоставив темп изменения входного воздействия с наибольшей постоянной времени системы.

Основным показателем качества системы в установившемся режиме является точность. Точность характеризуется величиной ошибки.

Ниже при получении величины ошибки в системе при различных входных воздействиях использованы следующие математические заготовки:

, .

1)      ;   .

2) ;  ;     .

3) ;    ;   .

Введем обозначения:

- заданное, желаемое значение выходной переменной,

- реальное значение выходной переменной системы,

- абсолютная ошибка в системе:  .

 - относительная ошибка, может быть вычислена в процентах.

Чаще в системе вместо ошибки рассматривается рассогласование. Ошибка (рассогласование) имеет две (или более) составляющих:

                                   .

- ошибка воспроизведения задающего воздействия,

- ошибка, создаваемая возмущением. При приложенных к системе нескольких возмущениях ошибка имеет несколько слагаемых.

Значения составляющих ошибки в установившихся режимах можно определить, как ранее показано, с помощью теоремы о конечном значении:

,      ,

здесь     и  - изображения составляющих ошибки,  и     - изображения воздействий и соответственно,

 и  - передаточные функции ошибки слежения и от возмущения.

Система, в которой постоянное внешнее возмущение создает ошибку в установившемся режиме, называется статической. Если постоянное внешнее воздействие не создает установившейся ошибки, то система астатическая относительно этого воздействия.

 Пример:

ПФ разомкнутой системы  .

;   .

1) Пусть:       ,  

  -нормированные полиномы.

Тогда ,      ,    - передаточный коэффициент разомкнутой системы.

Тогда:        здесь  - коэффициент статизма.

Следовательно, в данном случае система статическая, и установившаяся ошибка пропорциональна коэффициенту статизма, который тем меньше, чем больше передаточный коэффициент К разомкнутой системы. Итак, одна из мер уменьшения ошибки - увеличение коэффициента усиления К. Но с увеличением К ухудшаются показатели качества переходных процессов системы, и при К больше граничного значения система оказывается неустойчивой. Это ограничение часто не позволяет снизить ошибку до требуемой величины. Нужны кардинальные меры. В качестве их могут рассматриваться введение астатизма или компенсация возмущений.

Введение астатизма.  

  1.  Пусть         .

Тогда    ;  ;    .

Система астатическая относительно задающего воздействия вследствие того, что на участке с передаточной функцией  имеется последовательно включенное интегрирующее звено.

3)  Пусть       .

Тогда    ;   ;    .

Система астатическая относительно задающего воздействия и возмущения, так как на участке с передаточной функцией  имеется интегрирующее звено.

Итак, при наличии интегрирующего звена в прямой цепи система с жесткой обратной связью является астатической относительно задающего воздействия. Статизм по заданию устранен! Если интегрирующее звено расположено вне участка , то статизм по возмущению равен нулю. В том случае, если интегрирующее звено расположено внутри участка , то имеет место статизм по возмущению (ошибка).

Для динамических установившихся режимов в статических системах ошибка стремится к бесконечности. Введение астатизма ограничивает установившуюся динамическую ошибку. Пусть к астатической системе приложено линейно изменяющееся задающее воздействие: . При этом создается установившаяся ошибка  , где  - передаточный коэффициент разомкнутой системы, называемый в этом случае добротностью по скорости. Добротность системы по скорости характеризует отношение скорости заданного установившегося движения к величине установившейся ошибки.

Аналогично для системы с астатизмом второго порядка (имеется два интегрирующих звена, соединенных последовательно). В такой системе можно говорить о добротности системы по ускорению, как отношении ускорения заданного установившегося движения к величине установившейся ошибки. То есть то при приложенном входном воздействии с постоянным ускорением создается установившаяся ошибка  , где - передаточный коэффициент усиления разомкнутой системы, называемый добротностью по ускорению.

 В том случае, если входное воздействие изменяется по гармоническому закону  , то установившаяся ошибка в линейной системе также будет гармонической .

Значение  определяется с помощью частотной передаточной функции  для ошибки .

Этой формулой можно пользоваться при произвольном задающем                  воздействии, разлагаемом в гармонический ряд.

 Компенсация возмущений производится для одного, максимум двух главных возмущений. Основывается на четвертой форме инвариантности.

С целью компенсации влияния возмущения вводится специальное устройство. Сами возмущения прямо или косвенно измеряются с помощью различного рода преобразователей неэлектрических величин.

 Если в рассматриваемом примере потребовать равенства нулю статической ошибки от возмущения

,

тогда коэффициент усиления корректирующего устройства определится как:

 .

Интегральные оценки качества

Отклонение регулируемой величины от установившегося значения переходного процесса и время этого процесса можно охарактеризовать одним числом. Для этого применяются интегральные оценки качества переходного процесса.

Применяются интегральные оценки качества относительно задающего воздействия и относительно возмущения.

Линейная интегральная оценка

Численно она равна площади, ограниченной кривой отклонения  x(t) и выражается через изображение по Лапласу X(s) отклонения  x(t).

x(t)=y0+y(t).

. 

Линейная интегральная оценка применяется только при монотонном переходном процессе. При колебательном процессе суммарная площадь, ограниченная кривой x(t) , не оценивает качество процесса.

Применяются также линейные интегральные оценки более общего вида

.

Может быть применена интегральная оценка .

Квадратичная интегральная оценка

.

Может применяться для оценки как монотонных, так и колебательных переходных процессов. 

 

Если выбирать параметры системы исходя из минимума квадратичной интегральной оценки , то переходный процесс может оказаться сильно колебательным. Данный факт ограничивает использование квадратичных интегральных оценок при анализе и синтезе систем автоматического управления.

Улучшенная квадратичная интегральная оценка

.

Здесь Т- некоторая постоянная. Данная формула учитывает и изменение ошибки.

Чем меньше значение , тем меньше отклонение переходной характеристики от экспоненты с постоянной времени Т, называемой экстремалью:

При инженерных расчетах применяют и еще более сложные интегральные оценки, например

,

Интегральная оценка  характеризует приближение переходной характеристики системы к экстремали, определяемой дифференциальным уравнением ,     где      и .

Существуют специальные методики выбора параметров системы исходя из минимума интегральной оценки. Решение данной задачи возможно с помощью численных методов параметрической оптимизации.

Оценка качества переходного процесса по расположению нулей и полюсов передаточной функции

Переходная характеристика системы зависит от значения нулей и полюсов ее передаточной функции. Эту зависимость можно использовать для оценки качества переходной характеристики.

В простейшем случае передаточная функция имеет вид

  ;      .

В этом случае переходная характеристика зависит только от полюсов передаточной функции. Корень, ближайший к мнимой оси - доминирующий корень. Может быть и пара доминирующих корней (если они комплексные сопряженные).

Расстояние доминирующих корней до мнимой оси - 0, - степень устойчивости системы. Степень устойчивости позволяет определить приближенно время переходного процесса.

Время переходного процесса (при = 5 % )  . Степень устойчивости не следует путать с запасом устойчивости.

Второй параметр, который определяется по плоскости корней - степень колебательности.

.

По величине степени колебательности можно приближенно определить значение перерегулирования переходной характеристики (когда комплексные корни являются доминирующими)                

.

Степень колебательности связана также с затуханием переходной характеристики  и логарифмическим декрементом затухания  следующими формулами: ;  ; .

Для оценки влияния нулей (числителя передаточной функции) на качество переходной характеристики передаточную функцию  приведем к виду: .

Тогда при ступенчатом входном сигнале  имеем

.

а  -1(y(s))=  -1(yi(s))= .

Если (на данную составляющую нули передаточной функции не влияют), тогда -1-1. Для получения остальных составляющих переходной характеристики необходимо продифференцировать необходимое количество раз  и сложить с соответствующими коэффициентами.

Влияние расположения нулей и полюсов на переходную характеристику

  1.  Близко расположенные нуль и полюс взаимно компенсируются.

Уменьшение амплитуды колебательной составляющей, создаваемой комплексными полюсами, и приближение к асимптоте экспоненциальной составляющей, создаваемой вещественным полюсом, происходит тем быстрее, чем больше модуль вещественного полюса.

Время регулирования зависит в основном от абсолютного значения вещественной части доминирующих полюсов.

Перерегулирование зависит от отношения мнимой части доминирующих комплексных полюсов к вещественной.

Близкие к началу координат нули, если они не компенсируются полюсами, и удаленные от него, но не доминирующие полюса, увеличивают время регулирования и перерегулирования.

63


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69434. Код Варшамова 157.5 KB
  Цель: Изучить код Варшамова выяснить особенности его построения и применения Краткие теоретические сведения Код предложенный Варшамовым является типичным представителем систематических кодов т. Благодаря этому возможно построить все комбинации кода...
69435. Коды Рида-Маллера 277 KB
  Эти m строк составляют векторы первого порядка b. Далее идут строки векторов второго порядка которые получаются из всех произведений двух строк первого порядка затем – строки третьего порядка являющиеся всеми произведениями трех строк первого порядка и т.
69436. Код Грея 206 KB
  Отражённые ( рефлексные ) коды строятся таким образом, что соседние кодовые комбинации, в отличии от простых двоичных кодов, различаются цифрой только в одном разряде, т.е. кодовое расстояние между соседними кодовыми комбинациями такого кода равно единице.
69437. Двоично-десятичный код 114 KB
  Цель: Изучить двоично-десятичный код выяснить особенности его построения и применения Краткие теоретические сведения. В двоично-десятичном коде каждая десятичная цифра представляется группой цифр состоящей из 4х двухпозиционных символов.
69438. Код Бергера Код Эллайеса 104 KB
  Цель: Изучить код Эллайеса выяснить особенности его построения и применения Краткие теоретические сведения Коды Бергера относятся к разряду несистематических кодов. Существует несколько вариантов построения кодов Бергера. Например сообщение 011010 закодированное кодом Бергера выглядит как 011010100.
69439. Код Шеннона-Фано 64.5 KB
  Основной принцип положенный в основу кодирования по методу ШеннонаФано заключается в том что при выборе каждой цифры кодовой комбинации следует стремится к тому чтобы содержащееся в ней количество информации было наибольшим т. Сообщениям имеющим большую вероятность...
69440. Код Хэмминга 271 KB
  Формирование r проверочных элементов в комбинации этого кода осуществляется по k информационным элементам. Таким образом длина кодовой комбинации n = r k. Проверочные элементы представляют собой линейные комбинации информационных элементов т.
69441. Количество информации и энтропия 145 KB
  Краткие теоретические сведения Количество информации Количество информации является апостериорной характеристикой и определяет количество информации которое получают после приема сообщений. Если p Xi – вероятность iого сообщения то индивидуальное количество информации...
69442. Перестройка и национальный вопрос 25 KB
  Гласность была целиком использована на расшатывание национального вопроса в СССР на Украине началась кампания пропаганды украинской культуры начали говорить о том что русская культура задавила украинскую.