21347

Теория автоматического управления

Другое

Математика и математический анализ

Постановка задачи автоматического управления. Типовые звенья систем автоматического управления все виды математических моделей построение частотных характеристик: Идеальное и реальное усилительные идеальное и реальное дифференцирующие идеальное формирующее идеальное интегрирующее звено второго порядка апериодическое колебательное консервативное минимально фазовые звенья. Устойчивость систем автоматического управления: Анализ устойчивости САУ по корням характеристического уравнения Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Русский

2013-08-02

720 KB

59 чел.

Теория автоматического управления

Курс лекций. Часть 1.

Программа курса

  1.  Введение. Предмет ТАУ. Постановка задачи автоматического управления. Классификация САУ. Основные понятия и определения.

Математическое описание САУ и ее элементов. Виды математических моделей. Линеаризация характеристик. Динамические характеристики звена (дифференциальное уравнение, уравнение вход-выход, уравнение в операторной форме).

Понятие изображения. Свойства преобразования Лапласа. Передаточная функции звена. Частотные характеристики звеньев. АЧХ. ФЧХ. АФЧХ. ВЧХ. МЧХ. Логарифмические частотные характеристики звена.

Регулярные сигналы. Переходная характеристика и весовая функция.

Звенья минимально фазовые и неминимально фазовые.

Типовые звенья систем автоматического управления (все виды математических моделей, построение частотных характеристик):

  1.  Идеальное и реальное усилительные, идеальное и реальное дифференцирующие, идеальное формирующее, идеальное интегрирующее, звено второго порядка (апериодическое, колебательное, консервативное) - минимально фазовые звенья.
  2.  Звенья неминимально фазовые: звено чистого запаздывания и квазиинерционное звено.
  3.  Преобразование структурных схем. Последовательное соединение звеньев. Параллельное соединение. Встречно-параллельное соединение. Правила переноса.
  4.  Системы с обратной связью. Виды обратной связи. Получение различных ПФ замкнутой системы.
  5.  Устойчивость систем автоматического управления:
  6.  Анализ устойчивости САУ по корням характеристического уравнения
  7.  Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. О критическом коэффициенте усиления.
  8.  Алгебраический критерий устойчивости Раусса.
  9.  Частотный критерий устойчивости Михайлова. Принцип аргумента.
  10.  Частотный критерий устойчивости Найквиста. Разомкнутая система а)устойчива, б)неустойчива, в)нейтральная. Обобщенная формулировка критерия Найквиста.
  11.  Логарифмический критерий устойчивости Найквиста. Общая формулировка.
  12.  Понятие о структурной неустойчивости САУ.
  13.  Запас устойчивости систем автоматического управления.
  14.  Построение области устойчивости систем. А) на основе критерия Гурвица. Б) Д-разбиение.
  15.  Оценка качества регулирования:
  16.  Показатели качества переходных характеристик. Интегральные оценки качества.
  17.  Точность в установившихся режимах. Системы статические и астатические.
  18.  Оценка качества переходного процесса по расположению нулей и полюсов передаточной функции.


Введение

Цели и задачи теории автоматического управления

 

Теория автоматического управления изучает методы математического моделирования, анализа и синтеза систем автоматического управления (САУ).

Под САУ понимается совокупность объекта управления (ОУ) и управляющего устройства (УУ).

Под объектом управления понимается некий механизм, агрегат, устройство, некий технологический, энергетический, экономический, социальный процесс, желаемое поведение или протекание которого должно быть обеспечено.

Поведение объекта управления, результат его функционирования определяется некоторыми показателями. Чаще всего ими являются значения физических (или другой природы) величин, называемых выходными величинами.

В реальных условиях на каждый объект управления многочисленные воздействия оказывает окружающая (внешняя) среда. Из всего многообразия воздействий в поле зрения оставляют лишь те, которые оказывают наибольшее влияние на выходные величины, и называют их входными воздействиями.

Входные воздействия с точки зрения их влияния на ОУ разделяются на две принципиально отличные группы. Некоторые из них обеспечивают желаемое изменение поведения объекта, достижение поставленных целей. Такие входные воздействия называются управляющими, при их отсутствии задача управления вообще не имеет места. Другие входные воздействия мешают достижению цели управления и называются возмущающими или помехами.

Задача управления заключается в формировании такого закона изменения управляющих воздействий, при которых достигается желаемое поведение объекта независимо от наличия возмущений.

Классификация систем автоматического управления

  1.  По принципу управления (регулирования):

разомкнутые;

замкнутые;

комбинированные.

По цели управления:

системы стабилизации;

системы программного управления;

следящие системы;

адаптивные (самонастраивающиеся) системы.

По количеству регулируемых величин:

одномерные;

многомерные.

По характеру сигналов в регуляторе (устройстве управления):

непрерывные (аналоговые);

с гармоническим модулированным сигналом;

дискретные (релейные, импульсные, цифровые).

По характеру параметров:

стационарные;

нестационарные;

с распределенными параметрами.

По идеализации математического описания:

линейные;

нелинейные.

Терминология. Основные понятия

  1.  Объект управления: Объект, для достижения желаемых результатов функционирования которого необходимы и допустимы специальные органические воздействия. Объект управления, подвергаемый управляющим воздействиям, называется управляемым объектом.

Цель управления: Значения, соотношения значений координат процессов в объекте управления или их изменения во времени, при которых обеспечивается достижение желаемых результатов функционирования объекта.

Управляющее воздействие: Воздействие на объект управления, предназначенное для достижения цели управления.

Управление: Процесс выработки и осуществления управляющих воздействий. Выработка управляющих воздействий включает сбор, передачу и обработку  необходимой информации, принятие решений, обязательно включающее определение управляющих воздействий. Осуществление управляющих воздействий включает передачу управляющих воздействий и при необходимости преобразование их в форму, непосредственно воспринимаемую объектом управления.

Управляющий объект: Объект, предназначенный для осуществления управления.

Система управления: Система, состоящая из управляющего объекта и объекта управления.

Функция управляющего объекта: Совокупность действий управляющего объекта, относительно однородная по некоторому признаку, направленная на достижение частной цели, подчиненной общей цели управления. Примеры: функция сбора, передачи и преобразования исходной информации, функция принятия решений, функция осуществления управляющих воздействий; функция документирования и т.д.

Структура системы управления: Совокупность и характер связей и отношений между элементами (подсистемами) системы управления.

Управляющая координата: Координата управляющего воздействия.

Управляемая координата: Координата объекта управления, значения которой зависят от управляющих воздействий и показывают степень достижения цели управления.

Возмущение: Воздействие извне на любой элемент (подсистему) системы управления, включая объект управления, затрудняющее, как правило, достижение цели управления.

Задающее воздействие: Воздействие на управляющий объект, предназначенное для изменения цели управления.

Обратная связь: Зависимость текущих воздействий на объект от его состояния, обусловленного предшествующими воздействиями на этот же объект. Обратная связь может быть естественной и искусственно организуемой. Различают отрицательную и положительную обратные связи, действующие в первом случае в сторону уменьшения, а во втором - в сторону увеличения отклонений текущих значений координат объекта от их предшествующих значений.

Закон управления: Математическая форма преобразования задающих воздействий, возмущений, воздействий обратных связей, определяющих управляющие воздействия.

Алгоритм управления: Алгоритм, определяющий управление в реальном времени.

Качество управления: Совокупность характеристик управления, принятая для оценки полезности управления.

Показатель качества управления: Количественная оценка качества управления.


Математическое описание САУ и ее элементов

Для анализа и синтеза САУ необходимо иметь математическое описание систем. Для этой цели системы разделяются на отдельные элементы (звенья, подсистемы) и составляются уравнения, описывающие поведение этих элементов. Уравнения составляются на основании анализа физических, химических, технологических, экономических, социальных и иных процессов, происходящих в конкретных  элементах. Используются соответствующие законы (закон сохранения массы, энергии, вещества и пр.), применяются специальные исследования и экспериментальные методы для получения математического описания звеньев систем.

Все математические модели (ММ) разделяются на:

  1.  ММ стационарных и нестационарных САУ;

ММ САУ с распределенными и сосредоточенными параметрами;

Статические характеристики;

Динамические ММ в виде

  1.  Дифференциальные уравнения;
  2.  Разностные уравнения (для дискретных САУ);
  3.  Передаточные функции (ММ в виде структурной схемы);
  4.  Временные и частотные характеристики.

Линеаризация статических характеристик

Статическая характеристика - связывает входную величину с выходной звена, когда все остальные величины постоянны (при установившихся внутренних процессах):   Y = F(X);

Линеаризация проводится, если в окрестности некоторой рабочей точки 0,y0) линеаризованная функция непрерывна:

 

     

если члены старших порядков отбросить, то получаем:

 или  

Отсюда:    ;      ;    ;     ;   .                

Линеаризация проводится с погрешностью! обязательно в окрестности некоторой (рабочей) точки.

Динамические характеристики звена

Позволяют описать поведение звена (системы) во времени. Разделяются на дифференциальные и разностные уравнения. Для случая многомерного звена данные уравнения связывают входные и выходные переменные и их производные (сколь угодно большого порядка). Данные математические модели могут быть как в виде одного уравнения, так и в виде систем уравнений. В одномерном случае имеет место связь между одной входной и одной выходной переменными и их производными:

.

Применяя формулу Тейлора и отбрасывая старшие производные (2-й степени и выше) получаем:

,

или линейное уравнение с постоянными коэффициентами, с учетом того, что

:

.

Такое уравнение описывает поведение звена только в окрестности некоторой точки  .

При значительном удалении от точки линеаризации данное уравнение как правило несправедливо. Полученное уравнение также называется уравнением в отклонениях или уравнением вариации.  Практически    и   заменяют  на  x и y. Тогда окончательно имеем дифференциальное уравнение:

,

или в операторной форме .

Откуда  получается :  .

Можно обозначить  Q(p) =- собственный полином,

R(p) =  - входной полином.

При наличии возмущений уравнение, описывающее звено, усложняется:

,

а в операторной форме:

, или

, где    - полином возмущения.

Полученные уравнения носят названия уравнения вход-выход.

Уравнения исследуются методами:

  1.  аналитическим,

численным,

операторным,

частотным.

Аналитические и численные методы решения дифференциальных уравнений исследуются в соответствующих разделах математического анализа и вычислительной математики.

 Операторный метод базируется на использовании оператора Лапласа (или Карлсона). Преобразование Лапласа-Карлсона основано на применении понятий оригинала и изображения .

Оригинал - функция вещественного аргумента.

Изображение - функция комплексного аргумента.

Для того, чтобы функция была оригиналом, она должны удовлетворять условиям Дирихле:

  1.  Функция  f(t) растет ограниченно в рассматриваемом промежутке:

.

  1.  На рассматриваемом промежутке времени функция ограничена  сверху и снизу (имеет max и min).

На рассматриваемом промежутке функция имеет конечное число разрывов первого рода. Разрывы второго рода отсутствуют.

При соблюдении всех этих условий функция является оригиналом.

Для получения изображения используется прямое преобразование Лапласа:       .

С помощью данного преобразования переходят к изображению:

;   =;

;  =;

Обратное преобразование по Лапласу:  .

Свойства преобразования Лапласа

  1.  Линейность  ;   .   

2. Теорема смещения :  .

  1.  Дифференцирование          ,

                                                .

  1.  Интегрирование                   ;   ;
  2.  Теорема умножений (свертка) ,

где ;   .

  1.  Теорема подобия     .
  2.  Теорема о начальном значении     .
  3.  Теорема о предельном значении    .

Примеры преобразования Лапласа для некоторых функций:

     Оригинал           Изображение

                ;

      ;

  ;

 ;

   ;

  ;

  ;

                             (ступенчатая функция);

                                      (импульсный сигнал).

Передаточная функция звена

Передаточной функцией звена называется отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала звена.                  

                   

Иногда для описания передаточных функций звена используется обозначение  K(s).

Связь оператора S с физикой

В линейной системе переходный процесс, описываемый дифференциальным уравнением, может быть очень сложной функцией времени, но весь он состоит из линейной комбинации двух видов кривых – экспонент и синусоид.

При этом в устойчивой системе все экспоненты затухающие. Оператор Лапласа s - число комплексное:  .

с – свидетельствует о величине экспоненты;

- характеризует частоту.

Частотные характеристики звеньев

Переход  от  передаточной  функции звена осуществляется простой заменой    .

То есть из рассматриваемого процесса как бы исключается экспонента. Физически частотные характеристики звена имеют очень простую интерпретацию.

                       

Пусть - синосоидальное входное воздействие.

Тогда в установившемся режиме  выходной сигнал также будет синусоидальным:     .   

Комплексный коэффициент усиления .

может быть  получен экспериментально, либо путем подстановки  в передаточную функцию звена вместо .        .

- АЧХ – амплитудно-частотная характеристика звена;

- ФЧХ – фазо-частотная характеристика звена.

Таким образом  - АФЧХ - амплитудно-фазовая частотная характеристика.      

- ВЧХ – вещественная частотная характеристика;

- МЧХ – мнимая частотная характеристика.

Можно по ВЧХ и МЧХ определить АЧХ и ФЧХ:

;         

Логарифмические частотные характеристики   ЛАХ  и  ЛФХ

По оси ординат откладываются в логарифмическом масштабе значения .   .

Из разделов физики известно, что  (мощность)   и  .          

 - [Белл],

 - [децибелл].

По оси абсцисс откладывается угловая частота  (относительное значение). Если  откладывается в логарифмическом масштабе по основанию 10 (как на рисунке), то единицей измерения является декада. Если  (в логарифмическом масштабе по основанию 2),то вместо декады будет октава.

Логарифмические характеристики применяются из-за их удобства, так как при последовательном соединении звеньев характеристики этих звеньев, построенные в логарифмическом масштабе, складываются. Поэтому методы анализа и синтеза с помощью ЛАХ очень просты.

Если АЧХ чаще всего очень сложные функции от , то ЛАХ  легко аппроксимируются отрезками прямых.

Регулярные сигналы

Сигналы на входе звена – произвольная временные функции. Чтобы иметь возможность изучать поведение звеньев при прочих равных условиях вводится 3 вида регулярных сигналов:

  1.  Единичное ступенчатое воздействие

  1.  Импульсный сигнал

Реально  - импульс достаточно короткий с крутыми фронтами.

  1.  Гармоничный сигнал   .

Каждый из трех названных сигналов позволяет изобразить сигнал произвольной формы.

Эти регулярные сигналы сами по себе являются удачными для исследования статических и динамических свойств звеньев и систем, так как в спектре   и  содержатся частоты от самых малых до очень больших значений, а гармонический сигнал сам может принимать любые значения частот.

Переходная характеристика звена

Под переходной характеристикой понимается реакция звена на единичное ступенчатое воздействие

-вынужденная составляющая реакции звена;

-свободная составляющая.

;    ;     =.

Весовая функция

 w(t)- реакция звена на единичный импульс.    w(t) .     

Если   (t)=1(t),  то    w(t)=h(t).

Функции h(t) и w(t) могут быть определены, если воспользоваться функцией разложения.

Пусть передаточная функция звена имеет вид:    .

Тогда по формуле Хависайде:

,    ,

где n –порядок полинома Q(s),   Sk –корни полинома Q(s)=0.

.

10

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65067. СУЩЕСТВОВАЛ ЛИ ГОРОД ФАРАБ? 42 KB
  Топоним Фараб или Бараб (обе формы отражают арабскую графическую передачу и восходят к Параб согдийского происхождения со значением «заречье, место переправы») известен по многим средневековым сочинениям арабских и персидских (а позднее и тюркских) географов и историков...
65069. Вопрос о существовании двух Сараев и проблема локализации Гюлистана 344 KB
  Целью данной работы является исследование вопроса о возможности существования двух столиц в Золотой Орде и связанного с ним вопроса о местоположении города Гюлистана. Хотя, последние примерно 40 лет считается доказанным факт существования двух столиц...
65070. Источники обычного права монгольских народов 69 KB
  На основе анализа обычного права монгольских племен делается вывод о его трансформации в нормы позитивного права. Делается концептуальный вывод о том что в праве монгольских племен часто нормы позитивного права становились нормами обычного права.
65071. События эпохи Монгольской империи в бурятских письменных памятниках XVIII – начала XX веков 125.5 KB
  Укажем только на тот факт что в продолжительной полемике материалы бурятских письменных памятников и фольклора почти не привлекались хотя вопрос об этнической принадлежности туматов был интересен прежде всего тем что изначально господствовало мнение...
65072. Золотоордынские ханы 60—70-х годов XIV в. Хронология правлений 419.5 KB
  Одним из важнейших источников сведений по теме являются сохранившиеся до наших дней серебряные и медные золотоордынские монеты того времени на которых выбивалось имя правившего хана отмечались место и время год по хиджре их чекана.
65074. Клятва на золоте: тюркский вклад в монгольскую дипломатию 105.5 KB
  Ритуал клятвы относится к культурным универсалиям. История клятвы такова. Петахия описывает два обычая клятвы скреплявших отношения между половцем и чужестранцем проводником и путешественником: В этой земле не ходят иначе как с провожатым.