21347

Теория автоматического управления

Другое

Математика и математический анализ

Постановка задачи автоматического управления. Типовые звенья систем автоматического управления все виды математических моделей построение частотных характеристик: Идеальное и реальное усилительные идеальное и реальное дифференцирующие идеальное формирующее идеальное интегрирующее звено второго порядка апериодическое колебательное консервативное минимально фазовые звенья. Устойчивость систем автоматического управления: Анализ устойчивости САУ по корням характеристического уравнения Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Русский

2013-08-02

720 KB

59 чел.

Теория автоматического управления

Курс лекций. Часть 1.

Программа курса

  1.  Введение. Предмет ТАУ. Постановка задачи автоматического управления. Классификация САУ. Основные понятия и определения.

Математическое описание САУ и ее элементов. Виды математических моделей. Линеаризация характеристик. Динамические характеристики звена (дифференциальное уравнение, уравнение вход-выход, уравнение в операторной форме).

Понятие изображения. Свойства преобразования Лапласа. Передаточная функции звена. Частотные характеристики звеньев. АЧХ. ФЧХ. АФЧХ. ВЧХ. МЧХ. Логарифмические частотные характеристики звена.

Регулярные сигналы. Переходная характеристика и весовая функция.

Звенья минимально фазовые и неминимально фазовые.

Типовые звенья систем автоматического управления (все виды математических моделей, построение частотных характеристик):

  1.  Идеальное и реальное усилительные, идеальное и реальное дифференцирующие, идеальное формирующее, идеальное интегрирующее, звено второго порядка (апериодическое, колебательное, консервативное) - минимально фазовые звенья.
  2.  Звенья неминимально фазовые: звено чистого запаздывания и квазиинерционное звено.
  3.  Преобразование структурных схем. Последовательное соединение звеньев. Параллельное соединение. Встречно-параллельное соединение. Правила переноса.
  4.  Системы с обратной связью. Виды обратной связи. Получение различных ПФ замкнутой системы.
  5.  Устойчивость систем автоматического управления:
  6.  Анализ устойчивости САУ по корням характеристического уравнения
  7.  Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. О критическом коэффициенте усиления.
  8.  Алгебраический критерий устойчивости Раусса.
  9.  Частотный критерий устойчивости Михайлова. Принцип аргумента.
  10.  Частотный критерий устойчивости Найквиста. Разомкнутая система а)устойчива, б)неустойчива, в)нейтральная. Обобщенная формулировка критерия Найквиста.
  11.  Логарифмический критерий устойчивости Найквиста. Общая формулировка.
  12.  Понятие о структурной неустойчивости САУ.
  13.  Запас устойчивости систем автоматического управления.
  14.  Построение области устойчивости систем. А) на основе критерия Гурвица. Б) Д-разбиение.
  15.  Оценка качества регулирования:
  16.  Показатели качества переходных характеристик. Интегральные оценки качества.
  17.  Точность в установившихся режимах. Системы статические и астатические.
  18.  Оценка качества переходного процесса по расположению нулей и полюсов передаточной функции.


Введение

Цели и задачи теории автоматического управления

 

Теория автоматического управления изучает методы математического моделирования, анализа и синтеза систем автоматического управления (САУ).

Под САУ понимается совокупность объекта управления (ОУ) и управляющего устройства (УУ).

Под объектом управления понимается некий механизм, агрегат, устройство, некий технологический, энергетический, экономический, социальный процесс, желаемое поведение или протекание которого должно быть обеспечено.

Поведение объекта управления, результат его функционирования определяется некоторыми показателями. Чаще всего ими являются значения физических (или другой природы) величин, называемых выходными величинами.

В реальных условиях на каждый объект управления многочисленные воздействия оказывает окружающая (внешняя) среда. Из всего многообразия воздействий в поле зрения оставляют лишь те, которые оказывают наибольшее влияние на выходные величины, и называют их входными воздействиями.

Входные воздействия с точки зрения их влияния на ОУ разделяются на две принципиально отличные группы. Некоторые из них обеспечивают желаемое изменение поведения объекта, достижение поставленных целей. Такие входные воздействия называются управляющими, при их отсутствии задача управления вообще не имеет места. Другие входные воздействия мешают достижению цели управления и называются возмущающими или помехами.

Задача управления заключается в формировании такого закона изменения управляющих воздействий, при которых достигается желаемое поведение объекта независимо от наличия возмущений.

Классификация систем автоматического управления

  1.  По принципу управления (регулирования):

разомкнутые;

замкнутые;

комбинированные.

По цели управления:

системы стабилизации;

системы программного управления;

следящие системы;

адаптивные (самонастраивающиеся) системы.

По количеству регулируемых величин:

одномерные;

многомерные.

По характеру сигналов в регуляторе (устройстве управления):

непрерывные (аналоговые);

с гармоническим модулированным сигналом;

дискретные (релейные, импульсные, цифровые).

По характеру параметров:

стационарные;

нестационарные;

с распределенными параметрами.

По идеализации математического описания:

линейные;

нелинейные.

Терминология. Основные понятия

  1.  Объект управления: Объект, для достижения желаемых результатов функционирования которого необходимы и допустимы специальные органические воздействия. Объект управления, подвергаемый управляющим воздействиям, называется управляемым объектом.

Цель управления: Значения, соотношения значений координат процессов в объекте управления или их изменения во времени, при которых обеспечивается достижение желаемых результатов функционирования объекта.

Управляющее воздействие: Воздействие на объект управления, предназначенное для достижения цели управления.

Управление: Процесс выработки и осуществления управляющих воздействий. Выработка управляющих воздействий включает сбор, передачу и обработку  необходимой информации, принятие решений, обязательно включающее определение управляющих воздействий. Осуществление управляющих воздействий включает передачу управляющих воздействий и при необходимости преобразование их в форму, непосредственно воспринимаемую объектом управления.

Управляющий объект: Объект, предназначенный для осуществления управления.

Система управления: Система, состоящая из управляющего объекта и объекта управления.

Функция управляющего объекта: Совокупность действий управляющего объекта, относительно однородная по некоторому признаку, направленная на достижение частной цели, подчиненной общей цели управления. Примеры: функция сбора, передачи и преобразования исходной информации, функция принятия решений, функция осуществления управляющих воздействий; функция документирования и т.д.

Структура системы управления: Совокупность и характер связей и отношений между элементами (подсистемами) системы управления.

Управляющая координата: Координата управляющего воздействия.

Управляемая координата: Координата объекта управления, значения которой зависят от управляющих воздействий и показывают степень достижения цели управления.

Возмущение: Воздействие извне на любой элемент (подсистему) системы управления, включая объект управления, затрудняющее, как правило, достижение цели управления.

Задающее воздействие: Воздействие на управляющий объект, предназначенное для изменения цели управления.

Обратная связь: Зависимость текущих воздействий на объект от его состояния, обусловленного предшествующими воздействиями на этот же объект. Обратная связь может быть естественной и искусственно организуемой. Различают отрицательную и положительную обратные связи, действующие в первом случае в сторону уменьшения, а во втором - в сторону увеличения отклонений текущих значений координат объекта от их предшествующих значений.

Закон управления: Математическая форма преобразования задающих воздействий, возмущений, воздействий обратных связей, определяющих управляющие воздействия.

Алгоритм управления: Алгоритм, определяющий управление в реальном времени.

Качество управления: Совокупность характеристик управления, принятая для оценки полезности управления.

Показатель качества управления: Количественная оценка качества управления.


Математическое описание САУ и ее элементов

Для анализа и синтеза САУ необходимо иметь математическое описание систем. Для этой цели системы разделяются на отдельные элементы (звенья, подсистемы) и составляются уравнения, описывающие поведение этих элементов. Уравнения составляются на основании анализа физических, химических, технологических, экономических, социальных и иных процессов, происходящих в конкретных  элементах. Используются соответствующие законы (закон сохранения массы, энергии, вещества и пр.), применяются специальные исследования и экспериментальные методы для получения математического описания звеньев систем.

Все математические модели (ММ) разделяются на:

  1.  ММ стационарных и нестационарных САУ;

ММ САУ с распределенными и сосредоточенными параметрами;

Статические характеристики;

Динамические ММ в виде

  1.  Дифференциальные уравнения;
  2.  Разностные уравнения (для дискретных САУ);
  3.  Передаточные функции (ММ в виде структурной схемы);
  4.  Временные и частотные характеристики.

Линеаризация статических характеристик

Статическая характеристика - связывает входную величину с выходной звена, когда все остальные величины постоянны (при установившихся внутренних процессах):   Y = F(X);

Линеаризация проводится, если в окрестности некоторой рабочей точки 0,y0) линеаризованная функция непрерывна:

 

     

если члены старших порядков отбросить, то получаем:

 или  

Отсюда:    ;      ;    ;     ;   .                

Линеаризация проводится с погрешностью! обязательно в окрестности некоторой (рабочей) точки.

Динамические характеристики звена

Позволяют описать поведение звена (системы) во времени. Разделяются на дифференциальные и разностные уравнения. Для случая многомерного звена данные уравнения связывают входные и выходные переменные и их производные (сколь угодно большого порядка). Данные математические модели могут быть как в виде одного уравнения, так и в виде систем уравнений. В одномерном случае имеет место связь между одной входной и одной выходной переменными и их производными:

.

Применяя формулу Тейлора и отбрасывая старшие производные (2-й степени и выше) получаем:

,

или линейное уравнение с постоянными коэффициентами, с учетом того, что

:

.

Такое уравнение описывает поведение звена только в окрестности некоторой точки  .

При значительном удалении от точки линеаризации данное уравнение как правило несправедливо. Полученное уравнение также называется уравнением в отклонениях или уравнением вариации.  Практически    и   заменяют  на  x и y. Тогда окончательно имеем дифференциальное уравнение:

,

или в операторной форме .

Откуда  получается :  .

Можно обозначить  Q(p) =- собственный полином,

R(p) =  - входной полином.

При наличии возмущений уравнение, описывающее звено, усложняется:

,

а в операторной форме:

, или

, где    - полином возмущения.

Полученные уравнения носят названия уравнения вход-выход.

Уравнения исследуются методами:

  1.  аналитическим,

численным,

операторным,

частотным.

Аналитические и численные методы решения дифференциальных уравнений исследуются в соответствующих разделах математического анализа и вычислительной математики.

 Операторный метод базируется на использовании оператора Лапласа (или Карлсона). Преобразование Лапласа-Карлсона основано на применении понятий оригинала и изображения .

Оригинал - функция вещественного аргумента.

Изображение - функция комплексного аргумента.

Для того, чтобы функция была оригиналом, она должны удовлетворять условиям Дирихле:

  1.  Функция  f(t) растет ограниченно в рассматриваемом промежутке:

.

  1.  На рассматриваемом промежутке времени функция ограничена  сверху и снизу (имеет max и min).

На рассматриваемом промежутке функция имеет конечное число разрывов первого рода. Разрывы второго рода отсутствуют.

При соблюдении всех этих условий функция является оригиналом.

Для получения изображения используется прямое преобразование Лапласа:       .

С помощью данного преобразования переходят к изображению:

;   =;

;  =;

Обратное преобразование по Лапласу:  .

Свойства преобразования Лапласа

  1.  Линейность  ;   .   

2. Теорема смещения :  .

  1.  Дифференцирование          ,

                                                .

  1.  Интегрирование                   ;   ;
  2.  Теорема умножений (свертка) ,

где ;   .

  1.  Теорема подобия     .
  2.  Теорема о начальном значении     .
  3.  Теорема о предельном значении    .

Примеры преобразования Лапласа для некоторых функций:

     Оригинал           Изображение

                ;

      ;

  ;

 ;

   ;

  ;

  ;

                             (ступенчатая функция);

                                      (импульсный сигнал).

Передаточная функция звена

Передаточной функцией звена называется отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала звена.                  

                   

Иногда для описания передаточных функций звена используется обозначение  K(s).

Связь оператора S с физикой

В линейной системе переходный процесс, описываемый дифференциальным уравнением, может быть очень сложной функцией времени, но весь он состоит из линейной комбинации двух видов кривых – экспонент и синусоид.

При этом в устойчивой системе все экспоненты затухающие. Оператор Лапласа s - число комплексное:  .

с – свидетельствует о величине экспоненты;

- характеризует частоту.

Частотные характеристики звеньев

Переход  от  передаточной  функции звена осуществляется простой заменой    .

То есть из рассматриваемого процесса как бы исключается экспонента. Физически частотные характеристики звена имеют очень простую интерпретацию.

                       

Пусть - синосоидальное входное воздействие.

Тогда в установившемся режиме  выходной сигнал также будет синусоидальным:     .   

Комплексный коэффициент усиления .

может быть  получен экспериментально, либо путем подстановки  в передаточную функцию звена вместо .        .

- АЧХ – амплитудно-частотная характеристика звена;

- ФЧХ – фазо-частотная характеристика звена.

Таким образом  - АФЧХ - амплитудно-фазовая частотная характеристика.      

- ВЧХ – вещественная частотная характеристика;

- МЧХ – мнимая частотная характеристика.

Можно по ВЧХ и МЧХ определить АЧХ и ФЧХ:

;         

Логарифмические частотные характеристики   ЛАХ  и  ЛФХ

По оси ординат откладываются в логарифмическом масштабе значения .   .

Из разделов физики известно, что  (мощность)   и  .          

 - [Белл],

 - [децибелл].

По оси абсцисс откладывается угловая частота  (относительное значение). Если  откладывается в логарифмическом масштабе по основанию 10 (как на рисунке), то единицей измерения является декада. Если  (в логарифмическом масштабе по основанию 2),то вместо декады будет октава.

Логарифмические характеристики применяются из-за их удобства, так как при последовательном соединении звеньев характеристики этих звеньев, построенные в логарифмическом масштабе, складываются. Поэтому методы анализа и синтеза с помощью ЛАХ очень просты.

Если АЧХ чаще всего очень сложные функции от , то ЛАХ  легко аппроксимируются отрезками прямых.

Регулярные сигналы

Сигналы на входе звена – произвольная временные функции. Чтобы иметь возможность изучать поведение звеньев при прочих равных условиях вводится 3 вида регулярных сигналов:

  1.  Единичное ступенчатое воздействие

  1.  Импульсный сигнал

Реально  - импульс достаточно короткий с крутыми фронтами.

  1.  Гармоничный сигнал   .

Каждый из трех названных сигналов позволяет изобразить сигнал произвольной формы.

Эти регулярные сигналы сами по себе являются удачными для исследования статических и динамических свойств звеньев и систем, так как в спектре   и  содержатся частоты от самых малых до очень больших значений, а гармонический сигнал сам может принимать любые значения частот.

Переходная характеристика звена

Под переходной характеристикой понимается реакция звена на единичное ступенчатое воздействие

-вынужденная составляющая реакции звена;

-свободная составляющая.

;    ;     =.

Весовая функция

 w(t)- реакция звена на единичный импульс.    w(t) .     

Если   (t)=1(t),  то    w(t)=h(t).

Функции h(t) и w(t) могут быть определены, если воспользоваться функцией разложения.

Пусть передаточная функция звена имеет вид:    .

Тогда по формуле Хависайде:

,    ,

где n –порядок полинома Q(s),   Sk –корни полинома Q(s)=0.

.

10

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45146. Думская монархия 15.57 KB
  Всего было 4 созыва Государственной думы. Новой основой законодательной компетенции Государственной думы стал п. установивший как незыблемое правило чтобы никакой закон не мог восприять силу без одобрения Государственной думы. 86 Основных законов Российской империи в редакции 23 апреля 1906: Никакой новый закон не может последовать без одобрения Государственного совета и Государственной думы и восприять силу без утверждения Государя Императора.
45147. Кризисы государственного управления периода правления Николая II 12.86 KB
  Первая русская революция ставшая ярким показателем необходимости реформ так и не стала для императора той ступенью которая могла бы направить страну на путь преобразования и развития. Вступление императора на должность главнокомандующего в условиях войны было бесполезным шагом так как Николай не обладал даром командования войсками и этот шаг был простой формальностью которая тем не менее не принесла никаких положительных результатов. Ситуация внутри страны продолжает накаляться и вместе с тяжелым положением во внешней политике ставит...
45148. Формирование партийно-государственной системы большевиков 1917-1921 гг 26.46 KB
  Съезд принял постановление О федеральных учреждениях Российской Республики и оформил создание Российской Социалистической Федеративной Советской Республики РСФСР. РСФСР учреждалась на основе свободного союза народов как федерация советских национальных республик. Весной 1918 года начался процесс оформления государственности народов населявших РСФСР. Советская Россия неофициальное наименование[7] самостоятельного социалистического российского государства в период после Октябрьской революции 1917 года и до образования СССР в 1922 году с...
45150. Учреди́тельное собра́ние 14.65 KB
  Отказалось рассматривать Декларацию прав трудящегося и эксплуатируемого народа которая наделяла советы рабочих и крестьянских депутатов государственной властью. Распущено Всероссийским Центральным Исполнительным Комитетом советов рабочих и крестьянских депутатов роспуск подтверждён III Всероссийским Съездом Советов рабочих и крестьянских депутатов. Из 715 депутатов присутствовало около 410. Большевистских депутатов было около 120.
45151. Образование СССР 8.3 KB
  В то время на долю РСФСР приходилось 92 площади страны население которой в дальнейшем составило 70 новообразованного СССР. Причины образования СССР Образование СССР произошло не только благодаря инициативе руководства коммунистической партии. Год образования СССР Официально дата образования СССР – это 30 декабря 1922 года.
45152. Государственный аппарат в годы Великой Отечественной войны (1941—1945) 16.84 KB
  В 65 городах СССР в период 1941 1942 гг. эти органы реорганизовали в Управление по делам эвакуации при СНК СССР. В соответствии с обстановкой изменилось положение Госплана СССР эвакуированного в Куйбышев. Проблема обеспечения народного хозяйства кадрами потребовала создания при СНК СССР Комитета по учету и распределению рабочей силы июнь 1941.
45153. Хрущевская государственная реорганизация 19.23 KB
  Хрущевская государственная реорганизация Период правления Хрущёва иногда называют оттепелью: были выпущены на свободу многие политические заключённые активность репрессий значительно снизилась по сравнению с периодом правления Сталина. Борьба с культом личности Сталина: массовая десталинизация вынос тела Сталина из Мавзолея в 1961 году переименование названных в честь Сталина городов снесение памятников Сталину остался только памятник в Гори демонтирован только в 2010 году[18]. Силовой разгон митингов в Тбилиси против осуждения...