21348

Минимально фазовые и неминимально фазовые звенья

Реферат

Математика и математический анализ

Если в передаточной функции произвести замену то получаем называемое частотной характеристикой звена частотный коэффициент передачи звена. Общая фаза выходного сигнала звена будет складываться из частичных фаз определяемых каждым двучленом числителя и знаменателя. Если хотя бы один из корней звена расположен справа то такое звено не минимально фазовое звено.

Русский

2013-08-02

1.64 MB

62 чел.

Минимально фазовые и неминимально фазовые звенья

Передаточную функцию звена (элемента системы автоматического управления)  можно преобразовать, разложив на множители полиномы ее числителя и знаменателя. Конечно, если известны корни уравнений  (нули) и   (полюса).

.

Если в передаточной функции произвести замену  , то получаем   , называемое частотной характеристикой звена (частотный коэффициент передачи звена).

Общая фаза выходного сигнала звена будет складываться из частичных фаз, определяемых каждым двучленом числителя и знаменателя. Об этом будет более подробно в соответствующем разделе ниже.

Корни полиномов числителя и знаменателя можно изобразить на плоскости.

 Комплексная плоскость корней    и   :

Отсюда:

1. Корень  расположен в правой полуплоскости, то есть  ReSe0 .

2. Корень  расположен в левой полуплоскости, то есть  ReSk0 .

3. Углы наклона векторов  и  таковы, что   ke, причем , .

Звено, у которого все корни (полюса и нули) расположены в левой полуплоскости (являются левыми) называется минимально фазовым звеном.

Если хотя бы один из корней звена расположен справа, то такое звено - не минимально фазовое звено.

У минимально фазовых звеньев существует однозначная зависимость между частотными характеристиками.

То есть, располагая одной частотной характеристикой, можно построить остальные. Другими словами, в любой частотной характеристике заключена вся информация о поведении звена.

Неустойчивые звенья - всегда не минимально фазовые.

Типовые звенья. Характеристики звеньев

Все многообразие звеньев может быть по математическому описанию представлено лишь несколькими характерными (типовыми) звеньями.

Минимально фазовые звенья:

  1.  Идеальное усилительное звено (пропорциональное безинерционное, усилительное, звено нулевого порядка);

Реальное усилительное звено (апериодическое, генерационное первого порядка);

Идеальное дифференцирующее звено;

Реальное дифференцирующее звено;

Идеальное интегральное звено;

Идеальное формирующее звено;

Звенья второго порядка:

Апериодическое;

Колебательное;

Консервативное.

Не минимально фазовые звенья:

  1.  Звено чистого запаздывания;

Квазипериодическое звено;

Квазиколебательное звено.

Идеальное усилительное звено

Это рычаг - идеальное звено, если пренебречь весом и потерями в подшипниках.

 Получим частотные характеристики идеального усилительного звена. Заменяем в передаточной функции :    ;   

Тогда ВЧХ и МЧХ звена будут определяться как  ;  ;

Фазовая частотная характеристика  ФЧХ звена:    ;

Амплитудная частотная характеристика АЧХ: ;

Логарифмическая амплитудная характеристика ЛАХ звена: .

Переходная характеристика  .

Весовая функция .

Все характеристики идеального усилительного звена изображены на рисунках:

Реальное усилительное звено

Математические модели данного звена имеют вид:

дифференциальное уравнение:   ; соответствующая ему передаточная функция: ; частотные характеристики:

- АФЧХ;

- ВЧХ;     - МЧХ;   причем  ,    .

Следовательно,  (АФЧХ) располагается в четвертом квадранте координатной плоскости.  Кроме того (выполнили деление).  Если подставить  в , то получим , откуда после преобразований:

;  ;  .

Имеем окружность радиусом ,  сдвинутую на  вправо по оси абсцисс.

Можно утверждать, что АФЧХ расположена:

Амплитудно-частотная характеристика  реального усилительного звена имеет вид:     

Фазово-частотная характеристика: , причем ,     .

На графиках представлены все полученные зависимости:

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ):

.

Для ее построения выполним исследования.

а) Зона низкой частоты. Н.Ч.

,     .

б) Зона высокой частоты. В.Ч.    

,      ;     ;

Наклон характеристики в области высоких частот .

Определим погрешность в точке  = 1/T.

.

Это соответствует ошибке по коэффициенту усиления в  раз.  Но ошибка с изменением частоты быстро уменьшается (смотри на рисунок). Значит, имеет смысл пользоваться асимптотическими характеристиками.

Для определения переходной характеристики звена можно выполнить  обратное преобразование Лапласа: .

Весовая функция реального усилительного звена: .

По переходной характеристике  h(t) можно определить характеристики звена (постоянную времени и коэффициент усиления).

Аналогично те же величины можно определить и из весовой функции звена

Идеальное дифференцирующее звено

Дифференциальное уравнение, передаточная функция и АФЧХ звена имеют вид:   ;      .                                  

ВЧХ, МЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАХ звена соответственно равны:

;  ;  ; ;  .   

 Ниже представлены графики этих зависимостей:

Переходная характеристика и весовая функция звена равны:

ℒℒℒ;   .

Примеры дифференцирующих звеньев:     

1)

2)      .

y = Ic ; x = Uc .

3) ;   .  

y = UL ; x = IL .

Во всех трех случаях имеет место идеальное дифференцирование.

Дифференцирующие  звенья - лучшее средство коррекции!

Реальное дифференцирующее звено

Дифференциальное уравнение и передаточная функция такого звена имеют вид:           .

Примером реального дифференцирующего звена может служить RC - цепочка:

с передаточной функцией  .

Амплитудно-фазовая частотная характеристика реального дифференцирующего звена:  ;

ВЧХ и МЧХ:       

Причем, при ,             .  Вся АФЧХ расположится в первом квадранте. Так же, как для апериодического звена, можно показать, что это уравнение окружности.

АЧХ:  ;   ЛАХ:   

Для построения ЛАХ рассматриваются две частотные области - низкочастотная и высокочастотная:

Н.Ч.:   ;

В.Ч.:    .

 

ФЧХ:   

  

Переходная характеристика:

;

Весовая функция:.

 Это звено также опережающее и его можно применять для коррекции.

Интегрирующее звено

Данному звену соответствует интегральное уравнение  и передаточная функция .

Ниже приведены частотные характеристики интегрирующего звена.

АФЧХ:;  ВЧХ: ;   МЧХ:  ; АЧХ: ;   ФЧХ: ;

 ЛАХ:   .

Построение их не вызывает сложностей. ЛАХ интегрирующего звена изображена на рисунке:

Форсирующее звено

Данное звено используется в системах автоматического управления для целей коррекции. Его передаточная функция имеет вид:

;

Частотные характеристики:

АФЧХ:   ;     ВЧХ: ;

МЧХ: ;   ФЧХ:  ; ;  при   .

АЧХ:  .

ЛАХ:  ;

Для построения ЛАХ форсирующего звена рассматриваются области низких частот НЧ и высоких частот ВЧ:

НЧ:  ;   ;

ВЧ:  ;   .

Точка пересечения ЛАХ оси ординат определяется как:

.

Квазиинерционное звено

Имеется две разновидности квазиинерционного звена, представленные передаточными функциями    и .  В обоих случаях корни полинома знаменателя передаточной функции (полюса звена) - положительные. Следовательно, звено является не минимально фазовым.

Для первого звена его АФЧХ: .

Соответственно ВЧХ и МЧХ: ,       .

АЧХ:     (такая же, как  у инерционного звена).

ФЧХ:   , причем   , а . Следовательно, фазовая характеристика поменяла знак по сравнению с фазовой характеристикой инерционного звена.

Для построения АФЧХ звена выполним следующие преобразования:

 ,      ,     ,

,     - получили уравнение окружности.   А так как  и , то графиком АФЧХ является полуокружность, расположенная в первом квадранте:

Получим частотные характеристики для второй разновидности квазиинерционного звена.   

АФЧХ: ;  

ВЧХ:   ;    МЧХ:      ;     ФЧХ:  

   

Для построения АФЧХ выполняются аналогичные преобразования:

;    ;  .

АЧХ:   - совпадает с характеристикой предыдущего звена и реального усилительного звена.

Звенья  второго  порядка. Передаточные функции

Математически модели данных звеньев могут быть представлены дифференциальным уравнением    и передаточной функцией   .

В зависимости от величины коэффициентов  это звено может быть апериодическим второго порядка, колебательным, либо консервативным.

Примером звена второго порядка является RLC-цепочка:

Получим передаточную функцию RLC-цепочки. На основании законов Кирхгофа имеем:  ;   ;  .  Далее, после соответствующих подстановок и преобразований, получаем дифференциальное уравнение в операторной форме:  и передаточную функцию:

.

 где  постоянные времени      .

Другим примером может служить двигатель постоянного тока независимого возбуждения

Если составить уравнение якорной цепи и уравнение движения:

,    ;  ,  то можно получить передаточную функцию:

   где      .

В зависимости от постоянных времени Тм и Тя двигатель может являться либо колебательным, либо апериодическим звеном второго порядка:

Если , то звено апериодическое 2 порядка;

Если  , - колебательное звено;

Если , - граничный случай.

Представим передаточную функция звена второго порядка в виде:    

    где ;    .

Характеристическое уравнение (смотри знаменатель передаточной функции):  , корни которого: .

  1.  Если  постоянные таковы, что   , то корни .   Такому звену соответствует апериодическое движение 2 порядка. Передаточная функция трансформируется к виду:  .
  2.  Если    ,  тогда  корни  -  движение колебательное.
  3.  Если      -  граничный случай: .
  4.  Если ,  - консервативное звено. Физически это означает, что в данном звене отсутствует рассеяние энергии.  Звено теряет свойство диссипативности. При этом     .

Передаточную функцию колебательного звена можно привести к виду:

,

где  - частота собственных, недемифированных колебаний  (при ).

,    откуда ,     - коэффициент затухания.

1)  0 < <1  - звено колебательное.

2)   > 1 - апериодическое звено.

Частотные характеристики звеньев второго порядка

АФЧХ:

ВЧХ:  ;   МЧХ:   ;  

АЧХ:  ;  

ЛАХ:  .

Ниже приводится изображение частотных характеристик

 

Для построения логарифмической амплитудной характеристики рассматриваются области частот:

Н. Ч.           ;    .

В. Ч.   ;   ;    .

Асимптотической ЛАХ пользоваться нельзя. Очень велика погрешность. При =1  она составляет 6 дб. На практике пользуются нормированными кривыми поправок (добавок).

ФЧХ: ,       

,

при < 1/T1,

при > 1/T1.

ЛФХ:  Логарифмическую фазовую характеристику, как и амплитудную, также можно брать нормированную (из соответствующего справочника):

Переходная характеристика звена:

-1.

Весовая функция звена определяется путем дифференцирования переходной характеристики.

Звено чистого запаздывания

.

Упрощения: 1) пусть волна идет только в сторону возрастания r;

    2) если r = 0, то ;

        если r = l, то .

Передаточная функция:  .

 В качестве примера звена чистого запаздывания может служить транспортер:  

;     .

         - время чистого запаздывания.

   

 Другим примером являются длинные линии.

;    .

Чистое запаздывание имеет место в тиристорных преобразователях. Здесь  . m -пульсность управления. Характеризует число пульсаций или гармоник на периоде сетевого напряжения. Пусть . Тогда при частоте  .

 Ввиду важности звена тиристорного преобразователя в системах автоматического управления электроприводами звено чистого запаздывания имеет несколько видов аппроксимации.

1)  .

- коэффициент передачи тиристорного преобразователя.

  - информационная постоянная времени системы управления (постоянная входного фильтра).

Если первая гармоника входного сигнала одного порядка с частотой питающего напряжения, то сильно сказывается свойство полууправляемости тиристоров и чистое запаздывание необходимо принимать в рассмотрение. Данный эффект имеет место при наличии на входе системы высокочастотных помех. Заканчивается в течение периода питающего напряжения тиристорного преобразователя.

2)      где .  Получается в результате разложения  в ряд Тейлора:  .  Если учесть только  один член разложения, тогда .

3)  - тиристорный преобразователь представляется пропорциональным звеном.

Решение уравнения  дает бесконечное число нулей и полюсов.

 

Получили первый признак неминимальной фазовости – нули оказались в правой полуплоскости.

Рассмотрим частотные характеристики звена чистого запаздывания.

; ;   ;   .

Одному и тому же значению А() соответствует несколько k.  Следовательно АЧХ - неоднозначная частотная характеристика.

Рассмотрим очень медленный процесс. Переходная характеристика

-1-1.

Весовая функция .

20


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33064. Канонічні джерела, провідні ідеї та напрями філософії Стародавнього Китаю 57.41 KB
  Давньокитайська філософія порівняно з давньоіндійською виглядає стрункішою, деталізованішою (аж до нумерології та побудови вичерпних систем комбінаторики подвійних символічних елементів світобудови) та більше зануреною у глибину суперечливого, парадоксального мислення.
33065. Натурфілософія 13.62 KB
  ntur природа філософія природи умоглядне тлумачення природи що розглядається в її цілісності що спирається на абстрактні поняття що виробляються в ході виникнення і розвитку філософії. фюсис природа або фюсиологами а перші філософські трактати як правило були присвячені дослідженню природи її пристрої трактати Про природу були написані і Фалесом і Гераклитом і Анаксимандром і Анаксименом і Парменидом. філософія ще не існувала окремо від пізнання природи а знання про природу окремо від філософії. У центрі уваги усієї...
33066. Філософія Сократа 15.29 KB
  Платон. Платон 427347 рр. Учень Сократа Платон у 397 р. Платон долає проблему що зафіксована Сократом завдяки створенню гіпотези про існування специфічних предметів відмінних від речей навколишнього світу.
33067. Філософія Середньовіччя, її особливості 19.96 KB
  Фома Аквінський спрямовує свої зусилля на розмежування суті того у що віримо і що знаємо. Фома описує Бога як першопричину і конечну мету сущого як âчисту формуâ âчисту актуальністьâ або буття. Фома називає таке буття субстанцією. У своїх працях Фома розділяє догмати віри на такі що осягаються розумом Бог існує Бог єдиний душа людини безсмертна і такі що розумом не можуть бути осягнені творення світу трійця першородний гріх тощо.
33068. Основні напрями в середньовічній філософії /номіналізм та реалізм/ 15.02 KB
  Однією з особливостей середньовічної філософії є боротьба між реалістами та номіналістами. Слід зазначити, що реалізм у його середньовічному розумінні не має нічого спільного з сучасним значенням цього терміна. Реалізм - це вчення, згідно з яким об'єктивна реальність
33069. Гуманізм 14.01 KB
  Гуманізм епохи Відродження це сукупність навчань що представляють людини мислячої що вміє не тільки плисти за течією але і здатного пручатися і діяти самостійно. Саме гуманізм епохи Відродження проголосив інші принципи формування особистості. Гуманізм епохи Відродження прочинив цю завісу.
33070. Філософія Нового часу 17.08 KB
  Як і більшість мислителів Нового часу він вважав що завдання філософії створити новий метод наукового пізнання переосмислити завдання науки. Він вказував що правильно знати це знати опосередковано причинами і закликав застосовувати такі нові методи пізнання як індукція дедукція експеримент. Такий метод на думку Бекона мало придатний до пізнання. Усяке пізнання і усякий винахід повинні спиратися на досвід тобто повинні рухатися від вивчення поодиноких фактів до загальних положень.
33071. Рене Декарт 13.65 KB
  У теорії пізнання він розвиває раціоналізм тобто вчення згідно з яким розум думка визнаються найвищою цінністю. Метод наукового пізнання який Декарт розглядає в своїх працях Міркування про метод Правила для керівництва розумом називається аналітичним. Цей метод вимагає ясності і чіткості пізнання розчленування об'єкту на складові частини і вивчення їх руху думки від простого до складного. У теорії пізнання Спіноза розвиває раціоналізм.
33072. Просвітництво 13.8 KB
  Класичним філософом французького Просвітництва був Вольтер 16941778 головні ідеї якого викладені у працях: Філософські листи 1734 Метафізичний трактат 1734 Роздуми про людину 1737 Філософський словник 1764 Філософія історії 1765 та ін. Головне завдання своєї філософії Вольтер вбачає в розвінчуванні релігійної догматики що заважає людям будувати щасливе життя культивуючи неуцтво неосвіченість фанатизм брехню. У філософії природи Вольтер послідовник Ньютона. У теорії пізнання Вольтер прагнув поєднати сенсуалістичний...