21348

Минимально фазовые и неминимально фазовые звенья

Реферат

Математика и математический анализ

Если в передаточной функции произвести замену то получаем называемое частотной характеристикой звена частотный коэффициент передачи звена. Общая фаза выходного сигнала звена будет складываться из частичных фаз определяемых каждым двучленом числителя и знаменателя. Если хотя бы один из корней звена расположен справа то такое звено не минимально фазовое звено.

Русский

2013-08-02

1.64 MB

50 чел.

Минимально фазовые и неминимально фазовые звенья

Передаточную функцию звена (элемента системы автоматического управления)  можно преобразовать, разложив на множители полиномы ее числителя и знаменателя. Конечно, если известны корни уравнений  (нули) и   (полюса).

.

Если в передаточной функции произвести замену  , то получаем   , называемое частотной характеристикой звена (частотный коэффициент передачи звена).

Общая фаза выходного сигнала звена будет складываться из частичных фаз, определяемых каждым двучленом числителя и знаменателя. Об этом будет более подробно в соответствующем разделе ниже.

Корни полиномов числителя и знаменателя можно изобразить на плоскости.

 Комплексная плоскость корней    и   :

Отсюда:

1. Корень  расположен в правой полуплоскости, то есть  ReSe0 .

2. Корень  расположен в левой полуплоскости, то есть  ReSk0 .

3. Углы наклона векторов  и  таковы, что   ke, причем , .

Звено, у которого все корни (полюса и нули) расположены в левой полуплоскости (являются левыми) называется минимально фазовым звеном.

Если хотя бы один из корней звена расположен справа, то такое звено - не минимально фазовое звено.

У минимально фазовых звеньев существует однозначная зависимость между частотными характеристиками.

То есть, располагая одной частотной характеристикой, можно построить остальные. Другими словами, в любой частотной характеристике заключена вся информация о поведении звена.

Неустойчивые звенья - всегда не минимально фазовые.

Типовые звенья. Характеристики звеньев

Все многообразие звеньев может быть по математическому описанию представлено лишь несколькими характерными (типовыми) звеньями.

Минимально фазовые звенья:

  1.  Идеальное усилительное звено (пропорциональное безинерционное, усилительное, звено нулевого порядка);

Реальное усилительное звено (апериодическое, генерационное первого порядка);

Идеальное дифференцирующее звено;

Реальное дифференцирующее звено;

Идеальное интегральное звено;

Идеальное формирующее звено;

Звенья второго порядка:

Апериодическое;

Колебательное;

Консервативное.

Не минимально фазовые звенья:

  1.  Звено чистого запаздывания;

Квазипериодическое звено;

Квазиколебательное звено.

Идеальное усилительное звено

Это рычаг - идеальное звено, если пренебречь весом и потерями в подшипниках.

 Получим частотные характеристики идеального усилительного звена. Заменяем в передаточной функции :    ;   

Тогда ВЧХ и МЧХ звена будут определяться как  ;  ;

Фазовая частотная характеристика  ФЧХ звена:    ;

Амплитудная частотная характеристика АЧХ: ;

Логарифмическая амплитудная характеристика ЛАХ звена: .

Переходная характеристика  .

Весовая функция .

Все характеристики идеального усилительного звена изображены на рисунках:

Реальное усилительное звено

Математические модели данного звена имеют вид:

дифференциальное уравнение:   ; соответствующая ему передаточная функция: ; частотные характеристики:

- АФЧХ;

- ВЧХ;     - МЧХ;   причем  ,    .

Следовательно,  (АФЧХ) располагается в четвертом квадранте координатной плоскости.  Кроме того (выполнили деление).  Если подставить  в , то получим , откуда после преобразований:

;  ;  .

Имеем окружность радиусом ,  сдвинутую на  вправо по оси абсцисс.

Можно утверждать, что АФЧХ расположена:

Амплитудно-частотная характеристика  реального усилительного звена имеет вид:     

Фазово-частотная характеристика: , причем ,     .

На графиках представлены все полученные зависимости:

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ):

.

Для ее построения выполним исследования.

а) Зона низкой частоты. Н.Ч.

,     .

б) Зона высокой частоты. В.Ч.    

,      ;     ;

Наклон характеристики в области высоких частот .

Определим погрешность в точке  = 1/T.

.

Это соответствует ошибке по коэффициенту усиления в  раз.  Но ошибка с изменением частоты быстро уменьшается (смотри на рисунок). Значит, имеет смысл пользоваться асимптотическими характеристиками.

Для определения переходной характеристики звена можно выполнить  обратное преобразование Лапласа: .

Весовая функция реального усилительного звена: .

По переходной характеристике  h(t) можно определить характеристики звена (постоянную времени и коэффициент усиления).

Аналогично те же величины можно определить и из весовой функции звена

Идеальное дифференцирующее звено

Дифференциальное уравнение, передаточная функция и АФЧХ звена имеют вид:   ;      .                                  

ВЧХ, МЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАХ звена соответственно равны:

;  ;  ; ;  .   

 Ниже представлены графики этих зависимостей:

Переходная характеристика и весовая функция звена равны:

ℒℒℒ;   .

Примеры дифференцирующих звеньев:     

1)

2)      .

y = Ic ; x = Uc .

3) ;   .  

y = UL ; x = IL .

Во всех трех случаях имеет место идеальное дифференцирование.

Дифференцирующие  звенья - лучшее средство коррекции!

Реальное дифференцирующее звено

Дифференциальное уравнение и передаточная функция такого звена имеют вид:           .

Примером реального дифференцирующего звена может служить RC - цепочка:

с передаточной функцией  .

Амплитудно-фазовая частотная характеристика реального дифференцирующего звена:  ;

ВЧХ и МЧХ:       

Причем, при ,             .  Вся АФЧХ расположится в первом квадранте. Так же, как для апериодического звена, можно показать, что это уравнение окружности.

АЧХ:  ;   ЛАХ:   

Для построения ЛАХ рассматриваются две частотные области - низкочастотная и высокочастотная:

Н.Ч.:   ;

В.Ч.:    .

 

ФЧХ:   

  

Переходная характеристика:

;

Весовая функция:.

 Это звено также опережающее и его можно применять для коррекции.

Интегрирующее звено

Данному звену соответствует интегральное уравнение  и передаточная функция .

Ниже приведены частотные характеристики интегрирующего звена.

АФЧХ:;  ВЧХ: ;   МЧХ:  ; АЧХ: ;   ФЧХ: ;

 ЛАХ:   .

Построение их не вызывает сложностей. ЛАХ интегрирующего звена изображена на рисунке:

Форсирующее звено

Данное звено используется в системах автоматического управления для целей коррекции. Его передаточная функция имеет вид:

;

Частотные характеристики:

АФЧХ:   ;     ВЧХ: ;

МЧХ: ;   ФЧХ:  ; ;  при   .

АЧХ:  .

ЛАХ:  ;

Для построения ЛАХ форсирующего звена рассматриваются области низких частот НЧ и высоких частот ВЧ:

НЧ:  ;   ;

ВЧ:  ;   .

Точка пересечения ЛАХ оси ординат определяется как:

.

Квазиинерционное звено

Имеется две разновидности квазиинерционного звена, представленные передаточными функциями    и .  В обоих случаях корни полинома знаменателя передаточной функции (полюса звена) - положительные. Следовательно, звено является не минимально фазовым.

Для первого звена его АФЧХ: .

Соответственно ВЧХ и МЧХ: ,       .

АЧХ:     (такая же, как  у инерционного звена).

ФЧХ:   , причем   , а . Следовательно, фазовая характеристика поменяла знак по сравнению с фазовой характеристикой инерционного звена.

Для построения АФЧХ звена выполним следующие преобразования:

 ,      ,     ,

,     - получили уравнение окружности.   А так как  и , то графиком АФЧХ является полуокружность, расположенная в первом квадранте:

Получим частотные характеристики для второй разновидности квазиинерционного звена.   

АФЧХ: ;  

ВЧХ:   ;    МЧХ:      ;     ФЧХ:  

   

Для построения АФЧХ выполняются аналогичные преобразования:

;    ;  .

АЧХ:   - совпадает с характеристикой предыдущего звена и реального усилительного звена.

Звенья  второго  порядка. Передаточные функции

Математически модели данных звеньев могут быть представлены дифференциальным уравнением    и передаточной функцией   .

В зависимости от величины коэффициентов  это звено может быть апериодическим второго порядка, колебательным, либо консервативным.

Примером звена второго порядка является RLC-цепочка:

Получим передаточную функцию RLC-цепочки. На основании законов Кирхгофа имеем:  ;   ;  .  Далее, после соответствующих подстановок и преобразований, получаем дифференциальное уравнение в операторной форме:  и передаточную функцию:

.

 где  постоянные времени      .

Другим примером может служить двигатель постоянного тока независимого возбуждения

Если составить уравнение якорной цепи и уравнение движения:

,    ;  ,  то можно получить передаточную функцию:

   где      .

В зависимости от постоянных времени Тм и Тя двигатель может являться либо колебательным, либо апериодическим звеном второго порядка:

Если , то звено апериодическое 2 порядка;

Если  , - колебательное звено;

Если , - граничный случай.

Представим передаточную функция звена второго порядка в виде:    

    где ;    .

Характеристическое уравнение (смотри знаменатель передаточной функции):  , корни которого: .

  1.  Если  постоянные таковы, что   , то корни .   Такому звену соответствует апериодическое движение 2 порядка. Передаточная функция трансформируется к виду:  .
  2.  Если    ,  тогда  корни  -  движение колебательное.
  3.  Если      -  граничный случай: .
  4.  Если ,  - консервативное звено. Физически это означает, что в данном звене отсутствует рассеяние энергии.  Звено теряет свойство диссипативности. При этом     .

Передаточную функцию колебательного звена можно привести к виду:

,

где  - частота собственных, недемифированных колебаний  (при ).

,    откуда ,     - коэффициент затухания.

1)  0 < <1  - звено колебательное.

2)   > 1 - апериодическое звено.

Частотные характеристики звеньев второго порядка

АФЧХ:

ВЧХ:  ;   МЧХ:   ;  

АЧХ:  ;  

ЛАХ:  .

Ниже приводится изображение частотных характеристик

 

Для построения логарифмической амплитудной характеристики рассматриваются области частот:

Н. Ч.           ;    .

В. Ч.   ;   ;    .

Асимптотической ЛАХ пользоваться нельзя. Очень велика погрешность. При =1  она составляет 6 дб. На практике пользуются нормированными кривыми поправок (добавок).

ФЧХ: ,       

,

при < 1/T1,

при > 1/T1.

ЛФХ:  Логарифмическую фазовую характеристику, как и амплитудную, также можно брать нормированную (из соответствующего справочника):

Переходная характеристика звена:

-1.

Весовая функция звена определяется путем дифференцирования переходной характеристики.

Звено чистого запаздывания

.

Упрощения: 1) пусть волна идет только в сторону возрастания r;

    2) если r = 0, то ;

        если r = l, то .

Передаточная функция:  .

 В качестве примера звена чистого запаздывания может служить транспортер:  

;     .

         - время чистого запаздывания.

   

 Другим примером являются длинные линии.

;    .

Чистое запаздывание имеет место в тиристорных преобразователях. Здесь  . m -пульсность управления. Характеризует число пульсаций или гармоник на периоде сетевого напряжения. Пусть . Тогда при частоте  .

 Ввиду важности звена тиристорного преобразователя в системах автоматического управления электроприводами звено чистого запаздывания имеет несколько видов аппроксимации.

1)  .

- коэффициент передачи тиристорного преобразователя.

  - информационная постоянная времени системы управления (постоянная входного фильтра).

Если первая гармоника входного сигнала одного порядка с частотой питающего напряжения, то сильно сказывается свойство полууправляемости тиристоров и чистое запаздывание необходимо принимать в рассмотрение. Данный эффект имеет место при наличии на входе системы высокочастотных помех. Заканчивается в течение периода питающего напряжения тиристорного преобразователя.

2)      где .  Получается в результате разложения  в ряд Тейлора:  .  Если учесть только  один член разложения, тогда .

3)  - тиристорный преобразователь представляется пропорциональным звеном.

Решение уравнения  дает бесконечное число нулей и полюсов.

 

Получили первый признак неминимальной фазовости – нули оказались в правой полуплоскости.

Рассмотрим частотные характеристики звена чистого запаздывания.

; ;   ;   .

Одному и тому же значению А() соответствует несколько k.  Следовательно АЧХ - неоднозначная частотная характеристика.

Рассмотрим очень медленный процесс. Переходная характеристика

-1-1.

Весовая функция .

20


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84691. Порядок отбора кандидатов на замещение дипломатических должностей в загранучреждениях 17.24 KB
  Форма прохождения дипломатической службы в каждой стране своя; она определяется национальными особенностями и традициями этой страны а также материальными и кадровыми возможностями. Однако под влиянием глобализации происходит стандартизация дипломатической службы во всем мире. Это крайне ценимые качества на дипломатической службе. Главные требования которые предъявляются к лицам претендующим на должность дипломатической службы: сильная политологическая правовая и общегуманитарная подготовка классического образца воспитанность и хорошие...
84692. Прохождение службы в центральном аппарате МИДа и за рубежом. Ротация дипломатических кадров 14.15 KB
  Основные элементы системы прохождения дипслужбы можно представить следующим образом: А отбор на службу оценка претендентов с точки зрения их профессиональнокфалификационной психологической и духовнонравственной пригодности к работе в структурах МИД и загранучреждений РФ; Б процедура утверждения в должности замещение госдолжности дипслужбы; В профессиональная адаптация путём испытательного срока стажировок повышения квалификации и других мероприятий; Г оценка служебной деятельности формирование здоровых ценностных установок на...
84693. Основные черты современного дипломата 12.27 KB
  К числу важнейших для дипломата качеств относят: глубокое понимание целей задач и особенностей внешнеполитического курса России способность к стратегическому видению развития событий умение грамотно доходчиво и убедительно выражать свои мысли как в письменной так и в устной форме знание современных информационных технологий проницательность умение увидеть главное и определяющее в информационном потоке стрессоустойчивость способность определять приоритеты организованность ответственность обладание высоким общеобразовательным и...
84694. Сотрудники других ведомств в Посольстве (Экономические и торговые советники, специализированные атташе) 13.16 KB
  Сотрудники других ведомств в Посольстве Экономические и торговые советники специализированные атташе. А военный атташе Б старший помощник военного атташе В помощник военного атташе Г атташе по вопросам науки техники и др. ЕСотрудники других ведомств в посольстве экономические и торговые советники специализированные атташе и др. Особую категорию дипломатических кадров представляют аккредитуемые при посольстве военные военноморские военновоздушные атташе – представители военного ведомства назначившей их страны при военном...
84695. Определение дипломатии и этапы ее развития 16.33 KB
  В дипломатическом словаре изданном МИД СССР дается такое определение дипломатии: Дипломатия средство осуществления внешней политики государства представляющее собой совокупность невоенных практических мероприятий приемов и методов применяемых с учетом конкретных условий и характера решаемых задач; официальная деятельность глав государств и правительств министров иностранных дел ведомств иностранных дел дипломатических представительств за рубежом делегаций на международных конференциях по осуществлению целей и задач внешней политики...
84696. Многосторонняя и конференциальная дипломатия 16.25 KB
  Международные конференции классифицируются поразному: двусторонние многосторонние специальные обычные посвященные одному вопросу посвященные многим вопросам со специальным секретариатом без него для обмена информацией для разработки договоров по уровню гласности: открытые со СМИ полузакрытые1 2 закрытые. Повестка дня разрабатывается заранее правила утверждаются в начале конференции. Главы делегаций также имеют верительные грамоты подтверждают что они могут говорить от имени государства Права участников конференции: каждый...
84697. Универсальный характер нынешней дипломатии как отражение уровня международного общения, укрепление принципа суверенного равенства государств. Правовое закрепление этих реалий в многосторонних международных актах 16.03 KB
  Проблема обеспечения европейской безопасности – одна из ключевых проблем современности. В этой связи итоги Совещания по безопасности и сотрудничеству в Европе закрепленные в Заключительном акте подписанном 1 августа 1975 г. Хельсинкский Заключительный Акт который вобрал в себя десять основных принципов диалога и сотрудничества между государствами которые принимали участие в Совещании по Безопасности и Сотрудничеству в Европе заложил краеугольный камень большей свободы и безопасности в Европе. Заключительный акт Совещания по...
84698. Венская конвенция о дипломатических сношениях и ее значение 16.05 KB
  Так в соответствии со статьей 3 Конвенции функции дипломатического представительства состоят в частности: в представительстве аккредитующего государства в государстве пребывания; в защите в государстве пребывания интересов аккредитующего государства и его граждан в пределах допускаемых международным правом; в ведении переговоров с правительством государства пребывания; в выяснении всеми законными средствами условий и событий в государстве пребывания и сообщении о них правительству аккредитующего...
84699. Новые тенденции в развитии современной дипломатии 17.23 KB
  Новые тенденции в развитии современной дипломатии. решение международных проблем объективно стало главной функцией дипломатии. разнообразнее стали формы многосторонней дипломатии. Глобализация и взаимозависимость мира привели также к увеличению значимости дипломатии осуществляемой на высоком и высшем уровне.