21440

Понятие об устойчивости решений дифференциальных уравнений

Лекция

Математика и математический анализ

Исследование на устойчивость некоторого решения Системы уравнений 1 может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального решения – точки покоя расположенной в начале координат. расположенной в начале координат точки покоя системы уравнений. Сформулируем условия устойчивости в применении к точке покоя . Точка покоя системы 5 устойчива в смысле Ляпунова если для каждого  можно подобрать  такое что из...

Русский

2013-08-02

673 KB

9 чел.

Лекция 13.

Понятие об устойчивости решений дифференциальных уравнений.

Исследование реальных явлений или систем обычно проводится при помощи математических моделей, при разработке которых исследуемое явление упрощается, идеализируется и т.п. При этом весьма важно, как влияют неучтенные факторы на решение.

Пусть некоторое явление или система может быть описана системой дифференциальных уравнений

                                           (1)

с начальными условиями , которые обычно задаются с некоторой погрешностью, т.к. получены на основе эксперимента.

Если окажется, что сколь угодно малые изменения начальных данных могут сильно изменить решение, то такое решение не имеет никакой  ценности, т.к. оно не может описывать изучаемое явление.

Если параметр t изменяется на конечном отрезке , то в условиях справедливости теоремы существования и единственности решение непрерывно зависит от начальных значений и, следовательно, при малом изменении начальных значений решение изменится также мало.

Если же t может быть сколь угодно большим, то на соответствующие вопросы ответ дает теория устойчивости.

Решение  системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для  можно подобрать такое , что для всякого решения , той же системы, начальные значения которого удовлетворяют неравенствам

                  ,

для всех  справедливы неравенства

                                                              (2)

т.е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими при всех .

Если при сколь угодно малом  хотя бы для одного решения  неравенства (2) не выполняются, то решение  называется неустойчивым.

Если решение  не только устойчиво, но также удовлетворяет условию

                        ,                                  (3)

когда , то решение  называется асимптотически устойчивым.

Заметим, что из одного условия (3) ещё не следует устойчивости решения .

 

         Пример.

Исследовать на устойчивость решение дифференциального уравнения , определенное начальным условием .

Решение

асимптотически устойчиво, т.к.

               

при , если , и .

Исследование на устойчивость некоторого решения

              

Системы уравнений

                                           (1)

может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального решения – точки покоя, расположенной в начале координат.

Действительно, преобразуем систему уравнений (1) к новым переменным

                                                            (4)

где  – решение системы (1) с начальным условием . Новыми неизвестными функциями  являются отклонения  “возмущенных” известных функций  от функций, определяющих исследуемое на устойчивость решение.

При этом система (1) преобразуется к виду

                              (5)

или

                                                     (5а)

Очевидно, что исследуемому на устойчивость решению  системы (1), в силу зависимости  соответствует тривиальное решение , системы (5), причем исследование на устойчивость решения  системы (1) может быть заменено исследованием на устойчивость тривиального решения системы (5), т.е. расположенной в начале координат точки покоя системы уравнений.

Сформулируем условия устойчивости в применении к точке покоя .

Точка покоя  системы (5) устойчива в смысле Ляпунова, если для каждого  можно подобрать  такое, что из неравенства

 

следует

                при .

Иначе: точка покоя  устойчива в смысле Ляпунова, если для    , такое, что из неравенства

                     

следует

                       

при , т.е. траектория, начальная точка которой находится в -окрестности начала координат, при  не выходит за пределы -окрестности начала координат.

Простейшие типы точек покоя.

    

    Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя x=0, y=0 системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

                                                                             (6)

где

                            

Решение ищем в виде . Тогда имеем характеристическое уравнение

                           

т.е.

            

а и с точностью до постоянного множителя определяются из одного из уравнений

                                                                                           (7)

Рассмотрим следующие случаи.

а) Корни характеристического уравнения  и  действительны и различны.

Общее решение имеет вид

                                                                              (8)  

где  – постоянные, определяемые из уравнений (7) соответственно при  и при , а  – произвольные постоянные.

При этом возможны следующие случаи.

  1.  1) Если , то точка покоя x=0, y=0 асимптотически устойчива, т.к. из-за множителей  и  в (8) все точки, находящиеся в начальный момент  в любой - окрестности начала координат при достаточно большом t переходят в точки,

лежащие в сколь угодно малой –окрестности  начала координат, а при t стремятся к началу  координат. Точка покоя рассматриваемого типа   называется устойчивым  узлом.

2) Пусть  и . Этот случай переходит в предыдущий при замене t на -t . Следовательно, траектории имеют такой же вид, как и  в предыдущем случае, но только точки по траекториям движутся в противоположном направлении. Очевидно, что с возрастанием t точки, сколь угодно близкие к началу координат, удаляются из –окрестности    начала  координат – точка покоя неустойчива в смысле Ляпунова. Такая точка покоя называется неустойчивым узлом.

3) Если , то точка покоя тоже неустойчива, т.к. движущаяся по траектории

                                                                   (9)

точка при сколь угодно малых значениях  с возрастанием t выходит из – окрестности начала координат.

                                 В рассматриваемом случае существуют движения, приближающиеся к началу координат, а именно

         .

При различных значениях  получаем различные движения по одной и той же прямой . При возрастании t точки на этой прямой движутся по направлению к началу координат. Точки траектории (9) движутся с возрастанием t по прямой , удаляясь от начала координат. Если же  и , то как при , так и при  траектория покидает окрестность точки покоя. Точка покоя рассматриваемого типа называется   седлом, т.к. траектории в окрестности такой точки напоминают линии уровня в окрестности седловой точки поверхности z=f(x,y).

б) Корни характеристического уравнения комплексные.

  

Общее решение системы (6) в этом случае можно представить в виде

                                                                   (10)

где  – произвольные постоянные, а  – некоторые линейные комбинации  и . При этом возможны 3 случая:

1)                   

Множитель , а второй - периодический множитель в соотношении (10) - ограничен. При p=0 траектории в силу периодичности вторых множителей в (10) были бы замкнутыми кривыми, окружающими точку покоя . Из-за наличия множителя   при  замкнутые кривые превращаются в спирали (направление закручивания траекторий определяется по вектору скорости  в какой-либо точке (x,y)), асимптотически приближающиеся при  к началу координат, причем при достаточно большом t точки, находившиеся при  в любой – окрестности начала координат, попадают в заданную - окрестность точки покоя x=0, y=0, а при дальнейшем увеличении t стремятся к точке покоя. Следовательно, точка покоя асимптотически устойчива - это устойчивый фокус. Фокус отличается от узла тем, что касательная к траектории не стремится к определенному пределу при приближении точки касания к точке покоя.

2)    

Этот случай переходит в предыдущий при замене t на –t. Следовательно, траектории имеют тот же вид, что и в предыдущем случае, но движение по ним при возрастании t происходит в противоположном направлении (стрелки направлены от центра). Из-за наличия возрастающего множителя  точки, находившиеся в начальный момент сколь угодно близко к началу координат, с возрастанием t удаляются из -окрестности начала координат. Точка покоя неустойчива – это неустойчивый фокус.

3)    

В этом случае траекториями являются, как отмечалось в пункте б)1), замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку покоя, называемую в этом случае центром. Центр является устойчивой точкой покоя, т.к. для данного  можно подобрать  такое, что замкнутые траектории, начальные точки которых лежат в -окрестности начала координат, не выходят за пределы -окрестности начала координат или что то же самое, можно подобрать столь малые  и , что решения

                                                           (11)

будут удовлетворять неравенству  .

Однако асимптотической устойчивости в рассматриваемом случае нет, т.к. x(t) и y(t) в (11) не стремятся к нулю при .

в) Корни кратные: .

1)      .

Общее решение имеет вид

                                    

причем может быть , но тогда  и  будут произвольными постоянными, чтобы удовлетворить произвольным начальным условиям.

Напомним, что в этом случае (кратных корней) в жордановом базисе система (6) будет иметь следующий вид:

                                                  

и иметь решение , либо .

Из-за наличия множителя  при произведения  стремятся к нулю при , причем при достаточно большом t все точки любой – окрестности начала координат попадают в заданную – окрестность начала

координат и, следовательно, точка покоя, асимптотически устойчива. Точка покоя рассматриваемого типа так же, как и в случае а)1) называется вырожденным устойчивым узлом. Этот узел занимает промежуточное положение между узлом а)1) и фокусом б)1), т.к. при сколь угодно малом изменении действительных коэффициентов  он может превратиться как в устойчивый фокус, так и в устойчивый узел типа а)1), ибо при сколь угодно малом изменении коэффициентов кратный корень может перейти как в пару комплексно сопряженных корней, так и в пару действительных различных корней. Если , то тоже получается устойчивый узел - дикритический узел.

2) Если , то замена t на –t приводит к предыдущему cлучаю, т.е. вид траекторий тот же, но движение происходит в противоположном направлении. В этом случае точка покоя, так же,  как и в случае а)2) – неустойчивый узел.

         Таким образом, исчерпаны все возможности, возникающие в случае , т.к. при этом характеристическое уравнение

                            

не имеет корней =0.


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26918. СОЦИАЛЬНЫЕ НОРМЫ 3.86 KB
  Соотношение социальных и технических н СОЦИАЛЬНЫЕ НОРМЫправила поведенияиспользуемые для регулирования общественных отношений.К ним относятся правовыеморальныекорпоративные нормы и др. Социальные нормы это правила социально значимого поведения людей. ТЕХНИЧЕСКИЕ НОРМЫэто совокупность нормопределяющих правила рационального обращения с орудиями труда предметами материального мира в целом.
26919. Предмет, метод и функции теории государства и права 7.59 KB
  Предмет метод и функции теории государства и права.философия праваметодологические проблемы правоведения; 2.социология прававопросы эффективного действия законодательства; 3.Специальная юридическая теорияпроблемы источников права классификацию юридических норм юридических фактов коллизии норм толкование и применение юридических норм.
26920. Власть в первобытном обществе и его социально-нормативная сфера 4.44 KB
  Власть в первобытном обществе и его социальнонормативная сфера. Обществосовокупность индивидов имеющих общие интересы которые носят постоянный и объективный характер взаимодействующих и сотрудничающих на основе этих интересов имеющих организованную силувласть. Власть это явление социальное. Власть заключается в том что один субъект дает указания а второй их выполняет.
26921. Основные причины возникновения государства. Пути возникновения государства 10.15 KB
  Именно там впервые были созданы условия для возникновения государственности: появилась материальная возможность содержать ничего непроизводящий но необходимый для успешного развития общества аппарат управления.расслоению общества появление частной собственности на орудия и продукты трудачто привело к соц.классовому расслоению общества В таких условиях первобытнообщинный строй был не в состоянии управлять делами обществав которых интересы индивидов перестали быть общимиболее тогостали несовместимыми. а в основании пирамиды с х...
26922. Основные теории происхождения государства 13.33 KB
  Основные теории происхождения государства. Еще в глубокой древности люди стали задумываться над вопросами о причинах и путях возникновения государства. Она отстаивает идеи незыблемости вечности государства необходимости всеобщего подчинения государственной воле как власти от Бога но вместе с тем и зависимости самого государства от божественной воли которая проявляется через церковь и другие религиозные организации. Глава этой семьи становится главой государства монархом.
26923. Понятие и признаки государства 9.9 KB
  Государство – это властнополитическая организация общества которая распространяет свою власть на все население в пределах территории страны издает юридически значимые веления имеет специальный аппарат управления и принуждения и обладает суверенитетом. Территория есть пространство государства занятое его населением на которое распространяется власть. На своей территории государство поддерживает свою суверенную власть и имеет право защищать ее от внешнего вторжения со стороны других государств и частных лиц. также говорит о...
26924. Научные подходы к типологии государства 9.81 KB
  Научные подходы к типологии государства. Государство явление исключительно разностороннее многогранное обладающее самыми разнообразными чертами и признаками. Одним из вариантов такой классификации является типология государства основанная на наиболее важных сущностных его признаках. За основу смены циклов брал смену характера взаимоотношений гос власти и человека.
26925. Типы государств 9.74 KB
  типы государств Восточный тип государства. В некоторых государствах рабство носило семейный характер 5. В некоторых государствах складывается кастовая организация общества. Восточные государства выполняли следующие функции: 1.
26926. Сущность и функции государства 11.29 KB
  сущность и функции государства. Основные подходы к определению государства : 1. Сущность государства – это то что определяет его содержание цели характер его функционирования. Функции государства – главные основные направления деятельности государства по решению стоящих перед ним задач обусловленных его сущностью и социальным назначением.