21441

Замечания по поводу классификации точек покоя

Лекция

Математика и математический анализ

Следовательно при достаточно большом t точки траекторий начальные значения которых находятся в любой окрестности начала координат попадают в сколь угодно малую окрестность начала координат а при неограниченно приближаются к началу координат т. точки расположенные в начальный момент в окрестности начала координат при возрастании t покидают любую заданную окрестность начала координат т. Если существует дифференцируемая функция называемая функцией Ляпунова удовлетворяющая в окрестности начала координат условиям: 1 причем...

Русский

2013-08-02

340.5 KB

4 чел.

Лекция 14.

Замечания по поводу классификации точек покоя.

  1.  Если         

то характеристическое уравнение

                       

имеет нулевой корень .

Предположим, что , а . Тогда общее решение системы

                                                               (1)

Имеет вид

     

Исключая t, получим семейство параллельных прямых

                          .

При  получаем однопараметрическое семейство точек покоя, расположенных на прямой . Если , то при  на каждой траектории точки приближаются к лежащей на этой траектории точке покоя . Точка покоя  устойчива, но асимптотической устойчивости нет. Если же , то траектории – те же, но движение по ним происходит в противоположном направлении – точка покоя  неустойчива.

  1.  Если , то возможны два случая:
  2.  Общее решение имеет вид  – все точки являются точками покоя, т.е. все решения устойчивы.
  3.  Общее решение имеет вид

где  – линейные комбинации постоянных  и . Точка покоя  неустойчива.

         Классификация точек покоя тесно связана с классификацией особых точек. Действительно, в рассматриваемом случае система (1), в которой  путем исключения t могла быть сведена к уравнению

                                                              (2)

Интегральные кривые которого совпадают с траекториями движения системы (1). При этом точка покоя x=0, y=0 системы (1) является особой точкой уравнения (2).

Итак, если оба корня характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть (случаи а)1); б)1); в)1)), то точка покоя асимптотически устойчива.

Если же хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную действительную часть (случаи а)2); а)3); б)2); в)2)), то точка покоя неустойчива.

Однородная система n линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Для системы n линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

                                                (3)

проведенный в предыдущей лекции анализ переносится почти без изменений.

Если действительные части всех корней характеристического уравнения системы (3) отрицательны, то тривиальное решение  асимптотически устойчиво.

В самом деле, частные решения, соответствующие некоторому корню  характеристического уравнения, имеют вид

 

если , и

                     

если , и, наконец, в случае кратных корней – решения того же вида, но ещё умноженные на некоторые многочлены . Очевидно, что все решения такого вида при  или  (если ) стремятся к нулю при  не медленнее, чем , где С – постоянный множитель, а  –m<0 и больше наибольшей действительной части корней характеристического уравнения. Следовательно, при достаточно большом t точки траекторий, начальные значения которых находятся в любой -окрестности начала координат, попадают в сколь угодно малую -окрестность начала координат, а при  - неограниченно приближаются к началу координат, т.е. точка покоя  асимптотически устойчива.

Если же хотя бы для одного корня характеристического уравнения , то соответствующее этому корню решение вида  или в случае комплексного  - его действительная (или мнимая) часть  при сколь угодно малых по модулю С неограниченно возрастает по модулю при , т.е. точки, расположенные в начальный момент в -окрестности начала координат при возрастании t покидают любую заданную -окрестность начала координат, т.е. в этом случае точка покоя  системы (3) неустойчива.

Теоремы Ляпунова об устойчивости.

 

      Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида

                                            (4)

 Теорема 1. Если существует дифференцируемая функция , называемая функцией Ляпунова, удовлетворяющая в окрестности начала координат условиям:

1) , причем V=0 лишь при , т.е. функция V имеет строгий минимум в начале координат (положительно определенная функция),

2)  при ,

то точка покоя  устойчива.

Производная в условии 2) взята вдоль интегральной кривой, т.е. в предположении, что аргументы  функции  заменены решением  системы (4). При этом

 

 Доказательство. В окрестности начала координат как в окрестности точки строгого минимума поверхности уровня  являются замкнутыми поверхностями, внутри которых находится точка минимума – начало координат. Зададим . При достаточно малом C>0 поверхность уровня V=C целиком лежит в -окрестности начала координат (точнее, по крайней мере одна замкнутая компонента поверхности V=C лежит в -окрестности начала координат), но не проходит через него, следовательно, можно выбрать такое , что -окрестность начала координат целиком лежит внутри поверхности V=C, причем в этой окрестности V<C. Если начальная точка с координатами  выбрана в -окрестности начала координат, т.е. , то при  точка траектории, определяемой этими начальными условиями, не может выйти за пределы поверхности уровня V=C, т.к. в силу условия 2) теоремы, функция V вдоль траектории не возрастает и, следовательно, при

 

Что и требовалось доказать.

 Теорема 2 (об асимптотическтй устойчивости). Если существует дифференцируемая функция Ляпунова , удовлетворяющая в некоторой окрестности начала координат условиям:

  1.  и имеет строгий минимум в начале  координат: ;
  2.  производная функции V, вычисленная вдоль интегральной кривой системы (4)

причем вне сколь угодно малой окрестности начала координат, т.е. при , производная , где , то точка покоя  системы (4) асимптотически устойчива.

Доказательство. Так как условия теоремы 1 выполнены, то для  можно подобрать такое , что траектория, начальная точка которой находится в -окрестности начала координат, при  не выходит за пределы -окрестности начала координат. Следовательно, вдоль такой траектории при  выполнено условие 2), поэтому вдоль траектории функция V монотонно убывает с возрастанием t и ограничена снизу, и вдоль траектории существует предел функции V при :

                  

Если , то из условия 1) будет следовать, что , т.е. точка покоя  асимптотически устойчива.

Допустим, что , тогда траектория при  находится в области , следовательно, вне некоторой  – окрестности начала координат, т.е. там, где по условию 2)  при . Умножая неравенство  на dt и, интегрируя вдоль траектории в пределах от  до t, получим

 

или

 

При достаточно большом t правая часть становится отрицательной, т.е. , что противоречит условию 1). Ч.т.д.

Теорема 3 (Четаева) о неустойчивости.

 

      Если существует дифференцируемая функция , удовлетворяющая в замкнутой h-окрестности начала координат следующим условиям:

1)  и в окрестности начала координат существует область (), в которой ;

2)  причем в области , где >0 – любое, , то точка покоя  системы (4) неустойчива.

Доказательство. Начальную точку  возьмем в области . Т.к. вдоль траектории , то функция V вдоль траектории возрастает. Допустим, что траектория не покидает h-окрестности начала координат. Тогда умножая неравенство  на dt и интегрируя, имеем

 

т.е. при  функция V вдоль траектории неограниченно возрастает, что невозможно, т.к. дифференцируемая в замкнутой области функция V ограничена. Таким образом, траектория покидает h-окрестность точки покоя, т.е. точка покоя неустойчива. Ч.т.д.

Общего метода построения функции Ляпунова не существует. Часто её можно построить в виде квадратичной формы . 

Пример 1.

Исследовать на устойчивость тривиальное решение системы

 

Рассмотрим функцию  она удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова:

1)

2)

Решение устойчиво.

Вне окрестности начала координат

Следовательно, решение  асимптотически устойчиво.

Пример 2.

Исследовать на устойчивость точку покоя системы.

     

Функция  удовлетворяет условиям теоремы Четаева:

1) V>0 при ; 2) при , причем при V, . Следовательно, точка покоя  неустойчива.

и иметь решение , либо .

Из-за наличия множителя  при произведения  стремятся к нулю при , причем при достаточно большом t все точки любой – окрестности начала координат попадают в заданную – окрестность начала

координат и, следовательно, точка покоя, асимптотически устойчива. Точка покоя рассматриваемого типа так же, как и в случае а)1) называется вырожденным устойчивым узлом. Этот узел занимает промежуточное положение между узлом а)1) и фокусом б)1), т.к. при сколь угодно малом изменении действительных коэффициентов  он может превратиться как в устойчивый фокус, так и в устойчивый узел типа а)1), ибо при сколь угодно малом изменении коэффициентов кратный корень может перейти как в пару комплексно сопряженных корней, так и в пару действительных различных корней. Если , то тоже получается устойчивый узел - дикритический узел.

2) Если , то замена t на –t приводит к предыдущему cлучаю, т.е. вид траекторий тот же, но движение происходит в противоположном направлении. В этом случае точка покоя, так же,  как и в случае а)2) – неустойчивый узел.

         Таким образом, исчерпаны все возможности, возникающие в случае , т.к. при этом характеристическое уравнение

                            

не имеет корней =0.


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush