21441

Замечания по поводу классификации точек покоя

Лекция

Математика и математический анализ

Следовательно при достаточно большом t точки траекторий начальные значения которых находятся в любой окрестности начала координат попадают в сколь угодно малую окрестность начала координат а при неограниченно приближаются к началу координат т. точки расположенные в начальный момент в окрестности начала координат при возрастании t покидают любую заданную окрестность начала координат т. Если существует дифференцируемая функция называемая функцией Ляпунова удовлетворяющая в окрестности начала координат условиям: 1 причем...

Русский

2013-08-02

340.5 KB

4 чел.

Лекция 14.

Замечания по поводу классификации точек покоя.

  1.  Если         

то характеристическое уравнение

                       

имеет нулевой корень .

Предположим, что , а . Тогда общее решение системы

                                                               (1)

Имеет вид

     

Исключая t, получим семейство параллельных прямых

                          .

При  получаем однопараметрическое семейство точек покоя, расположенных на прямой . Если , то при  на каждой траектории точки приближаются к лежащей на этой траектории точке покоя . Точка покоя  устойчива, но асимптотической устойчивости нет. Если же , то траектории – те же, но движение по ним происходит в противоположном направлении – точка покоя  неустойчива.

  1.  Если , то возможны два случая:
  2.  Общее решение имеет вид  – все точки являются точками покоя, т.е. все решения устойчивы.
  3.  Общее решение имеет вид

где  – линейные комбинации постоянных  и . Точка покоя  неустойчива.

         Классификация точек покоя тесно связана с классификацией особых точек. Действительно, в рассматриваемом случае система (1), в которой  путем исключения t могла быть сведена к уравнению

                                                              (2)

Интегральные кривые которого совпадают с траекториями движения системы (1). При этом точка покоя x=0, y=0 системы (1) является особой точкой уравнения (2).

Итак, если оба корня характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть (случаи а)1); б)1); в)1)), то точка покоя асимптотически устойчива.

Если же хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную действительную часть (случаи а)2); а)3); б)2); в)2)), то точка покоя неустойчива.

Однородная система n линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Для системы n линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

                                                (3)

проведенный в предыдущей лекции анализ переносится почти без изменений.

Если действительные части всех корней характеристического уравнения системы (3) отрицательны, то тривиальное решение  асимптотически устойчиво.

В самом деле, частные решения, соответствующие некоторому корню  характеристического уравнения, имеют вид

 

если , и

                     

если , и, наконец, в случае кратных корней – решения того же вида, но ещё умноженные на некоторые многочлены . Очевидно, что все решения такого вида при  или  (если ) стремятся к нулю при  не медленнее, чем , где С – постоянный множитель, а  –m<0 и больше наибольшей действительной части корней характеристического уравнения. Следовательно, при достаточно большом t точки траекторий, начальные значения которых находятся в любой -окрестности начала координат, попадают в сколь угодно малую -окрестность начала координат, а при  - неограниченно приближаются к началу координат, т.е. точка покоя  асимптотически устойчива.

Если же хотя бы для одного корня характеристического уравнения , то соответствующее этому корню решение вида  или в случае комплексного  - его действительная (или мнимая) часть  при сколь угодно малых по модулю С неограниченно возрастает по модулю при , т.е. точки, расположенные в начальный момент в -окрестности начала координат при возрастании t покидают любую заданную -окрестность начала координат, т.е. в этом случае точка покоя  системы (3) неустойчива.

Теоремы Ляпунова об устойчивости.

 

      Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида

                                            (4)

 Теорема 1. Если существует дифференцируемая функция , называемая функцией Ляпунова, удовлетворяющая в окрестности начала координат условиям:

1) , причем V=0 лишь при , т.е. функция V имеет строгий минимум в начале координат (положительно определенная функция),

2)  при ,

то точка покоя  устойчива.

Производная в условии 2) взята вдоль интегральной кривой, т.е. в предположении, что аргументы  функции  заменены решением  системы (4). При этом

 

 Доказательство. В окрестности начала координат как в окрестности точки строгого минимума поверхности уровня  являются замкнутыми поверхностями, внутри которых находится точка минимума – начало координат. Зададим . При достаточно малом C>0 поверхность уровня V=C целиком лежит в -окрестности начала координат (точнее, по крайней мере одна замкнутая компонента поверхности V=C лежит в -окрестности начала координат), но не проходит через него, следовательно, можно выбрать такое , что -окрестность начала координат целиком лежит внутри поверхности V=C, причем в этой окрестности V<C. Если начальная точка с координатами  выбрана в -окрестности начала координат, т.е. , то при  точка траектории, определяемой этими начальными условиями, не может выйти за пределы поверхности уровня V=C, т.к. в силу условия 2) теоремы, функция V вдоль траектории не возрастает и, следовательно, при

 

Что и требовалось доказать.

 Теорема 2 (об асимптотическтй устойчивости). Если существует дифференцируемая функция Ляпунова , удовлетворяющая в некоторой окрестности начала координат условиям:

  1.  и имеет строгий минимум в начале  координат: ;
  2.  производная функции V, вычисленная вдоль интегральной кривой системы (4)

причем вне сколь угодно малой окрестности начала координат, т.е. при , производная , где , то точка покоя  системы (4) асимптотически устойчива.

Доказательство. Так как условия теоремы 1 выполнены, то для  можно подобрать такое , что траектория, начальная точка которой находится в -окрестности начала координат, при  не выходит за пределы -окрестности начала координат. Следовательно, вдоль такой траектории при  выполнено условие 2), поэтому вдоль траектории функция V монотонно убывает с возрастанием t и ограничена снизу, и вдоль траектории существует предел функции V при :

                  

Если , то из условия 1) будет следовать, что , т.е. точка покоя  асимптотически устойчива.

Допустим, что , тогда траектория при  находится в области , следовательно, вне некоторой  – окрестности начала координат, т.е. там, где по условию 2)  при . Умножая неравенство  на dt и, интегрируя вдоль траектории в пределах от  до t, получим

 

или

 

При достаточно большом t правая часть становится отрицательной, т.е. , что противоречит условию 1). Ч.т.д.

Теорема 3 (Четаева) о неустойчивости.

 

      Если существует дифференцируемая функция , удовлетворяющая в замкнутой h-окрестности начала координат следующим условиям:

1)  и в окрестности начала координат существует область (), в которой ;

2)  причем в области , где >0 – любое, , то точка покоя  системы (4) неустойчива.

Доказательство. Начальную точку  возьмем в области . Т.к. вдоль траектории , то функция V вдоль траектории возрастает. Допустим, что траектория не покидает h-окрестности начала координат. Тогда умножая неравенство  на dt и интегрируя, имеем

 

т.е. при  функция V вдоль траектории неограниченно возрастает, что невозможно, т.к. дифференцируемая в замкнутой области функция V ограничена. Таким образом, траектория покидает h-окрестность точки покоя, т.е. точка покоя неустойчива. Ч.т.д.

Общего метода построения функции Ляпунова не существует. Часто её можно построить в виде квадратичной формы . 

Пример 1.

Исследовать на устойчивость тривиальное решение системы

 

Рассмотрим функцию  она удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова:

1)

2)

Решение устойчиво.

Вне окрестности начала координат

Следовательно, решение  асимптотически устойчиво.

Пример 2.

Исследовать на устойчивость точку покоя системы.

     

Функция  удовлетворяет условиям теоремы Четаева:

1) V>0 при ; 2) при , причем при V, . Следовательно, точка покоя  неустойчива.

и иметь решение , либо .

Из-за наличия множителя  при произведения  стремятся к нулю при , причем при достаточно большом t все точки любой – окрестности начала координат попадают в заданную – окрестность начала

координат и, следовательно, точка покоя, асимптотически устойчива. Точка покоя рассматриваемого типа так же, как и в случае а)1) называется вырожденным устойчивым узлом. Этот узел занимает промежуточное положение между узлом а)1) и фокусом б)1), т.к. при сколь угодно малом изменении действительных коэффициентов  он может превратиться как в устойчивый фокус, так и в устойчивый узел типа а)1), ибо при сколь угодно малом изменении коэффициентов кратный корень может перейти как в пару комплексно сопряженных корней, так и в пару действительных различных корней. Если , то тоже получается устойчивый узел - дикритический узел.

2) Если , то замена t на –t приводит к предыдущему cлучаю, т.е. вид траекторий тот же, но движение происходит в противоположном направлении. В этом случае точка покоя, так же,  как и в случае а)2) – неустойчивый узел.

         Таким образом, исчерпаны все возможности, возникающие в случае , т.к. при этом характеристическое уравнение

                            

не имеет корней =0.


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71373. Маршрутизація в мережах TCP/IP 5.23 MB
  Встановити і налаштувати відповідно до варіанта маршрутизатори для протоколу IPv4 на базі Quagga. Маршрутизатори повинен поширювати інформацію про безпосередньо приєднані мережі. Зібрати схему GNS3 представлену на рисунку 1.
71374. Засоби фільтрації пакетів та брандмауери (IPFW) 189.6 KB
  У відповідності з варіантом побудувати ланцюжок правил IPFW для stateless фільтрації, яка дозволяє проходження трафіку (тобто повноцінне функціонування) сервісів клієнтської і серверної частин вузла і особливого трафіку. Весь інший трафік повинен бути заборонений.
71375. Компіляція ядра 712.5 KB
  Відредагувати конфігураційний файл ядра відповідно до варіанту і встановленого в системі устаткування. У Ядро необхідно статично включити модулі підтримки всіх апаратних компонент комп’ютера. При цьому необхідно враховувати наявність залежностей між модулями...
71376. Трансляція мережевих адрес (NAT) 1.54 MB
  Виконати налаштування NAT відповідно до варіанту за схемою, представленою на малюнку 1. При проходженні через NAT трафіку від вузлів внутрішньої мережі, для яких задана трансляція адрес, необхідно виконати заміну адреси джерела на адресу 10.18.51.Z.
71377. Конфігурація мережевих інтерфейсів. Діагностичні утиліти TCP/IP 2.88 MB
  Відповідно до варіанту: встановити додаткову адресу для мережевого інтерфейсу; змінити MC адреса і режим роботи інтерфейсу на фізичному рівні; змінити MTU мережевого інтерфейсу; використовуючи утиліту ping перевірити досяжність вузла з адресою IP1 при цьому...