21442

Исследование на устойчивость по первому приближению

Лекция

Математика и математический анализ

Напомним что исследование на устойчивость точки покоя системы 1 эквивалентно исследованию на устойчивость некоторого решения системы дифференциальных уравнений 2 т. при правые части системы 1 обращаются в нуль:. Будем исследовать на устойчивость точку покоя линейной системы 5 называемой системой уравнений первого приближения для системы 4. система 1 стационарна в первом приближении то исследование на...

Русский

2013-08-02

209.5 KB

23 чел.

Лекция 15.

Исследование на устойчивость по первому приближению.

Рассмотрим нелинейную нормальную систему дифференциальных уравнений

                                       (1)

где  – дифференцируемые в окрестности начала координат  функции.

Напомним, что исследование на устойчивость точки покоя  системы (1) эквивалентно исследованию на устойчивость некоторого решения  системы дифференциальных уравнений

           (2)

т.к. система (1) следует из (2) после замены

 

в результате, которой из (2) имеем

                          (3)

Обозначив правую часть в (3) через  получим систему (1). Из (3) и (2) видно, что в точке покоя, т.е. при  правые части системы (1) обращаются в нуль:.

Теперь, с учетом этого обстоятельства и пользуясь дифференциру-емостью функций , представим систему (1) в окрестности начала координат  в следующем виде

                            (4)

где  имеют порядок выше первого относительно .

Будем исследовать на устойчивость точку покоя  линейной системы

                                                 (5)

называемой системой уравнений первого приближения для системы (4).

Если все коэффициенты , т.е. система (1) стационарна в первом приближении, то исследование на устойчивость линейной системы (5) не представляет принципиальных затруднений (см. лекцию 14). В отношении системы (4) имеют место следующие теоремы.

 Теорема 1. Если система уравнений (4) стационарна в первом приближении, все члены  в достаточно малой окрестности начала координат (при ) удовлетворяют неравенствам , где N и - постоянные, причем  и все корни характеристического уравнения

                                                                                    (6)

имеют отрицательную действительную часть, то тривиальное решение  системы (4) и системы уравнений (5) асимптотически устойчивы, следовательно, в этом случае возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

 Теорема 2. Если система уравнений (4) стационарна в I приближении, все функции  удовлетворяют условиям предыдущей теоремы, и хотя бы один корень характеристического уравнения (6) имеет положительную действительную часть, то точки покоя  системы (4) и системы (5) неустойчивы, следовательно, и в этом случае возможно исследование на устойчивость по I приближению.

В так называемом критическом случае, когда все действительные части корней характеристического уравнения неположительны, причем действительная часть хотя бы одного корня равна нулю, на устойчивость тривиального решения системы (4) начинают влиять нелинейные члены , и исследование на устойчивость по первому приближению, вообще говоря, невозможно.

Докажем теорему 1 в предположении, что все корни  характери-стического уравнения (6) действительны и различны

  при .

В векторных обозначениях системы (4) и (5) примут соответственно следующий вид

                                                                    (4а)

                    ,                                                                         (5а)

где

С помощью невырожденного линейного преобразования с постоянными коэффициентами X=BY, где

 

преобразуем систему (5а) к виду   или в котором матрица  диагональна

 

т.е. система (5) примет вид

 

а система (4) при том же преобразовании переходит в

                                                   (7)

где ,  - постоянная величина,  (т.к. ).

Для системы (7) функцией Ляпунова, удовлетворяющей условиям теоремы об асимптотической устойчивости, является

Действительно,

1)

2)

при достаточно малых , т.к. все , а величина  при достаточно малых  может быть сделана по модулю меньше суммы .

(В самом деле, пусть , тогда , а т.к. , то

, т.е. . Если     достаточно малы, то , тогда ).

Наконец, вне некоторой окрестности начала координат . Таким образом, тривиальные решения системы (7), а, следовательно, и (4), как и системы (5), асимптотически устойчивы. Ч.т.д.

Пример 1.

Исследовать на устойчивость точку покоя x=0, y=0 системы

                                                  (8)

    Здесь , т.е. . Удовлетворяются условию теорем 1 и 2. Поэтому исследуем на устойчивость точку покоя x=0, y=0 системы первого приближения.

                                                                        (9)

Характеристическое уравнение  имеет корни , следовательно, в силу теоремы 2 точка покоя систем (8) и (9) неустойчива (т.к. ).

Пример 2.

Исследовать на устойчивость точку покоя x=0, y=0 системы

                                                   (10)

Имеем:

                                             (10a)

т.е.   удовлетворяют условиям теорем 1 и 2. Характеристическое уравнение для системы первого приближения

                                                                  (11)

т.е.                   

имеет корни  с отрицательными действительными частями. Поэтому точки покоя систем (10) и(11) асимптотически устойчивы.

Пример 3.

Исследовать на устойчивость точку покоя x=0, y=0 системы

                                                                (12)

Характеристическое уравнение  имеет чисто мнимые корни  - критический случай. Исследование по I приближению невозможно. В данном случае легко подбирается функция Ляпунова

 

1)

2)

причем вне некоторой окрестности начала координат , следовательно, точка покоя x=0, y=0 по теореме Ляпунова асимптотически устойчива.

Система уравнений первого приближения

                                                          (13)

имела в точке покоя центр. Наличие нелинейных членов в системе (12) превратило этот центр в устойчивый фокус.

Рассмотрим ситуацию последнего примера в общем виде. Пусть система I приближения для системы

                                                 (14)

имеет точку типа центра в начале координат. Предположим, что нелинейные члены  имеют порядок выше первого относительно . Эти нелинейные члены в достаточно малой окрестности начала координат малы по сравнению с линейными членами, но всё же они несколько искажают поле направлений, определяемое линейной системой первого приближения, поэтому выходящая из некоторой точки  траектория после обхода начала координат, вообще говоря, не попадет в точку  - траектория не замыкается.

Если после такого обхода начала координат все траектории приближаются к нему, то в начале координат возникает устойчивый фокус, если же траектории удаляются от начала координат, то возникает неустойчивый фокус.

В виде исключения возможен также случай, когда все траектории нелинейной системы, расположенные в окрестности начала координат, остаются замкнутыми, однако наиболее типична ситуация, при которой лишь некоторые (может быть и ни одной) замкнутые кривые останутся замкну-тыми, а остальные превращаются в спирали. Такие замкнутые траектории, в окрестности которых все траектории являются спиралями, называются предельными циклами.

Если близкие к предельному циклу траектории являются спиралями, приближающиеся при  к предельному циклу, то предельный цикл называется устойчивым (аттрактором); если близкие к предельному циклу траектории являются спиралями, удаляющимися от предельного цикла при , то предельный цикл называется неустойчивым (репеллером); если же с одной стороны предельного цикла при  спирали приближаются к предельному циклу, а с другой стороны удаляются от него (рис. 2), то предельный цикл называется полу устойчивым.

Итак, переход от системы I приближения (5) к системе (14) приводит, вообще говоря, к превращению центра в фокус, окруженный p (может быть и p=0) предельными циклами.

В приложениях устойчивым предельным циклам обычно соответству-ют автоколебательные процессы, т.е. периодические процессы, в которых малые возмущения практически не изменяют амплитуды и частоты колебаний.

Следовательно, решение  асимптотически устойчиво.

Пример 2.

Исследовать на устойчивость точку покоя системы.

     

Функция  удовлетворяет условиям теоремы Четаева:

1) V>0 при ; 2) при , причем при V, . Следовательно, точка покоя  неустойчива.

и иметь решение , либо .

Из-за наличия множителя  при произведения  стремятся к нулю при , причем при достаточно большом t все точки любой – окрестности начала координат попадают в заданную – окрестность начала

координат и, следовательно, точка покоя, асимптотически устойчива. Точка покоя рассматриваемого типа так же, как и в случае а)1) называется вырожденным устойчивым узлом. Этот узел занимает промежуточное положение между узлом а)1) и фокусом б)1), т.к. при сколь угодно малом изменении действительных коэффициентов  он может превратиться как в устойчивый фокус, так и в устойчивый узел типа а)1), ибо при сколь угодно малом изменении коэффициентов кратный корень может перейти как в пару комплексно сопряженных корней, так и в пару действительных различных корней. Если , то тоже получается устойчивый узел - дикритический узел.

2) Если , то замена t на –t приводит к предыдущему cлучаю, т.е. вид траекторий тот же, но движение происходит в противоположном направлении. В этом случае точка покоя, так же,  как и в случае а)2) – неустойчивый узел.

         Таким образом, исчерпаны все возможности, возникающие в случае , т.к. при этом характеристическое уравнение

                            

не имеет корней =0.


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57422. МУЗЫКА В КИНОФИЛЬМАХ 1.41 MB
  Цель: показать роль музыки в кинофильмах: музыка помимо наших желаний вызывает эмоциональный отклик, дать понятие «тапер»; показать что литература и музыка не иллюстрируют одна другую, а по разному изображают мир, дополняя, обогащая и усиливая наши переживания...
57423. Женщина – хозяйка мира 54.92 KB
  Цели: дать представление о жизни русской женщины в старинной деревенской семье; развивать чувство прекрасного; воспитывать чувство патриотизма уважения к матери Оборудование: мультимедиапроектор, компьютер, рецепты блюд русской кухни...
57424. Строим мосты, не стены. Урок обществознания 135.5 KB
  Цель урока: на основе документального кино, видео и текстовой информации расширить знания учащихся о правах детей, а также способах защиты прав в случаях их нарушения; сформировать критическое отношение обучаемых к толерантности в национальном аспекте на примере Палестины в сравнении с Россией...
57428. Маринистический жанр. Композиция «Путешествие парусника» 58 KB
  Цель урока: расширить представление о живописи как виде изобразительного искусства дать понятие о выразительных средствах живописи маринистическом жанре познакомить с творчеством И. Тип урока: интерактивный.