21442

Исследование на устойчивость по первому приближению

Лекция

Математика и математический анализ

Напомним что исследование на устойчивость точки покоя системы 1 эквивалентно исследованию на устойчивость некоторого решения системы дифференциальных уравнений 2 т. при правые части системы 1 обращаются в нуль:. Будем исследовать на устойчивость точку покоя линейной системы 5 называемой системой уравнений первого приближения для системы 4. система 1 стационарна в первом приближении то исследование на...

Русский

2013-08-02

209.5 KB

23 чел.

Лекция 15.

Исследование на устойчивость по первому приближению.

Рассмотрим нелинейную нормальную систему дифференциальных уравнений

                                       (1)

где  – дифференцируемые в окрестности начала координат  функции.

Напомним, что исследование на устойчивость точки покоя  системы (1) эквивалентно исследованию на устойчивость некоторого решения  системы дифференциальных уравнений

           (2)

т.к. система (1) следует из (2) после замены

 

в результате, которой из (2) имеем

                          (3)

Обозначив правую часть в (3) через  получим систему (1). Из (3) и (2) видно, что в точке покоя, т.е. при  правые части системы (1) обращаются в нуль:.

Теперь, с учетом этого обстоятельства и пользуясь дифференциру-емостью функций , представим систему (1) в окрестности начала координат  в следующем виде

                            (4)

где  имеют порядок выше первого относительно .

Будем исследовать на устойчивость точку покоя  линейной системы

                                                 (5)

называемой системой уравнений первого приближения для системы (4).

Если все коэффициенты , т.е. система (1) стационарна в первом приближении, то исследование на устойчивость линейной системы (5) не представляет принципиальных затруднений (см. лекцию 14). В отношении системы (4) имеют место следующие теоремы.

 Теорема 1. Если система уравнений (4) стационарна в первом приближении, все члены  в достаточно малой окрестности начала координат (при ) удовлетворяют неравенствам , где N и - постоянные, причем  и все корни характеристического уравнения

                                                                                    (6)

имеют отрицательную действительную часть, то тривиальное решение  системы (4) и системы уравнений (5) асимптотически устойчивы, следовательно, в этом случае возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

 Теорема 2. Если система уравнений (4) стационарна в I приближении, все функции  удовлетворяют условиям предыдущей теоремы, и хотя бы один корень характеристического уравнения (6) имеет положительную действительную часть, то точки покоя  системы (4) и системы (5) неустойчивы, следовательно, и в этом случае возможно исследование на устойчивость по I приближению.

В так называемом критическом случае, когда все действительные части корней характеристического уравнения неположительны, причем действительная часть хотя бы одного корня равна нулю, на устойчивость тривиального решения системы (4) начинают влиять нелинейные члены , и исследование на устойчивость по первому приближению, вообще говоря, невозможно.

Докажем теорему 1 в предположении, что все корни  характери-стического уравнения (6) действительны и различны

  при .

В векторных обозначениях системы (4) и (5) примут соответственно следующий вид

                                                                    (4а)

                    ,                                                                         (5а)

где

С помощью невырожденного линейного преобразования с постоянными коэффициентами X=BY, где

 

преобразуем систему (5а) к виду   или в котором матрица  диагональна

 

т.е. система (5) примет вид

 

а система (4) при том же преобразовании переходит в

                                                   (7)

где ,  - постоянная величина,  (т.к. ).

Для системы (7) функцией Ляпунова, удовлетворяющей условиям теоремы об асимптотической устойчивости, является

Действительно,

1)

2)

при достаточно малых , т.к. все , а величина  при достаточно малых  может быть сделана по модулю меньше суммы .

(В самом деле, пусть , тогда , а т.к. , то

, т.е. . Если     достаточно малы, то , тогда ).

Наконец, вне некоторой окрестности начала координат . Таким образом, тривиальные решения системы (7), а, следовательно, и (4), как и системы (5), асимптотически устойчивы. Ч.т.д.

Пример 1.

Исследовать на устойчивость точку покоя x=0, y=0 системы

                                                  (8)

    Здесь , т.е. . Удовлетворяются условию теорем 1 и 2. Поэтому исследуем на устойчивость точку покоя x=0, y=0 системы первого приближения.

                                                                        (9)

Характеристическое уравнение  имеет корни , следовательно, в силу теоремы 2 точка покоя систем (8) и (9) неустойчива (т.к. ).

Пример 2.

Исследовать на устойчивость точку покоя x=0, y=0 системы

                                                   (10)

Имеем:

                                             (10a)

т.е.   удовлетворяют условиям теорем 1 и 2. Характеристическое уравнение для системы первого приближения

                                                                  (11)

т.е.                   

имеет корни  с отрицательными действительными частями. Поэтому точки покоя систем (10) и(11) асимптотически устойчивы.

Пример 3.

Исследовать на устойчивость точку покоя x=0, y=0 системы

                                                                (12)

Характеристическое уравнение  имеет чисто мнимые корни  - критический случай. Исследование по I приближению невозможно. В данном случае легко подбирается функция Ляпунова

 

1)

2)

причем вне некоторой окрестности начала координат , следовательно, точка покоя x=0, y=0 по теореме Ляпунова асимптотически устойчива.

Система уравнений первого приближения

                                                          (13)

имела в точке покоя центр. Наличие нелинейных членов в системе (12) превратило этот центр в устойчивый фокус.

Рассмотрим ситуацию последнего примера в общем виде. Пусть система I приближения для системы

                                                 (14)

имеет точку типа центра в начале координат. Предположим, что нелинейные члены  имеют порядок выше первого относительно . Эти нелинейные члены в достаточно малой окрестности начала координат малы по сравнению с линейными членами, но всё же они несколько искажают поле направлений, определяемое линейной системой первого приближения, поэтому выходящая из некоторой точки  траектория после обхода начала координат, вообще говоря, не попадет в точку  - траектория не замыкается.

Если после такого обхода начала координат все траектории приближаются к нему, то в начале координат возникает устойчивый фокус, если же траектории удаляются от начала координат, то возникает неустойчивый фокус.

В виде исключения возможен также случай, когда все траектории нелинейной системы, расположенные в окрестности начала координат, остаются замкнутыми, однако наиболее типична ситуация, при которой лишь некоторые (может быть и ни одной) замкнутые кривые останутся замкну-тыми, а остальные превращаются в спирали. Такие замкнутые траектории, в окрестности которых все траектории являются спиралями, называются предельными циклами.

Если близкие к предельному циклу траектории являются спиралями, приближающиеся при  к предельному циклу, то предельный цикл называется устойчивым (аттрактором); если близкие к предельному циклу траектории являются спиралями, удаляющимися от предельного цикла при , то предельный цикл называется неустойчивым (репеллером); если же с одной стороны предельного цикла при  спирали приближаются к предельному циклу, а с другой стороны удаляются от него (рис. 2), то предельный цикл называется полу устойчивым.

Итак, переход от системы I приближения (5) к системе (14) приводит, вообще говоря, к превращению центра в фокус, окруженный p (может быть и p=0) предельными циклами.

В приложениях устойчивым предельным циклам обычно соответству-ют автоколебательные процессы, т.е. периодические процессы, в которых малые возмущения практически не изменяют амплитуды и частоты колебаний.

Следовательно, решение  асимптотически устойчиво.

Пример 2.

Исследовать на устойчивость точку покоя системы.

     

Функция  удовлетворяет условиям теоремы Четаева:

1) V>0 при ; 2) при , причем при V, . Следовательно, точка покоя  неустойчива.

и иметь решение , либо .

Из-за наличия множителя  при произведения  стремятся к нулю при , причем при достаточно большом t все точки любой – окрестности начала координат попадают в заданную – окрестность начала

координат и, следовательно, точка покоя, асимптотически устойчива. Точка покоя рассматриваемого типа так же, как и в случае а)1) называется вырожденным устойчивым узлом. Этот узел занимает промежуточное положение между узлом а)1) и фокусом б)1), т.к. при сколь угодно малом изменении действительных коэффициентов  он может превратиться как в устойчивый фокус, так и в устойчивый узел типа а)1), ибо при сколь угодно малом изменении коэффициентов кратный корень может перейти как в пару комплексно сопряженных корней, так и в пару действительных различных корней. Если , то тоже получается устойчивый узел - дикритический узел.

2) Если , то замена t на –t приводит к предыдущему cлучаю, т.е. вид траекторий тот же, но движение происходит в противоположном направлении. В этом случае точка покоя, так же,  как и в случае а)2) – неустойчивый узел.

         Таким образом, исчерпаны все возможности, возникающие в случае , т.к. при этом характеристическое уравнение

                            

не имеет корней =0.


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24943. Наследование по завещанию 59.5 KB
  Запрет на распоряжение имуществом на случай смерти какимлибо образом кроме совершения завещания предотвращает также заключение притворных сделок или обход строгих правил о форме завещания и т. Составление завещания через представителей поверенных опекунов попечителей не допускается. Не допускаются и совместные завещания известные за рубежом. Взаимные завещания также исключаются.
24944. Наследование по закону 50.5 KB
  Рождение самого наследодателя в это число не входит. Наследниками первой очереди по закону являются дети супруг и родители наследодателя. Внуки наследодателя и их потомки наследуют по праву представления. Наследниками второй очереди являются полнородные и неполнородные братья и сестры наследодателя его дедушка и бабушка как со стороны отца так и со стороны матери.
24945. Принятие наследства и отказ от наследства 67 KB
  Принятие наследства и отказ от наследства Принятие наследства Принятие наследства как и отказ от наследства односторонние сделки совершаемые наследником. И принятие и отказ от наследства действуют с обратной силой во времени. Это означает что наследник принявший наследство приобретает право не только на то имущество которое оказалось в наличии в момент принятия наследства но и на все то имущество которое было в наличии в момент открытия наследства. Принятие наследства под условием и с оговорками не допускается ст.
24946. Ипотека. Отдельные объекты ипотеки 39 KB
  Ипотека Законодательное регулирование: ГК глава 23 3 Залог ФЗ Об ипотеке залоге недвижимости от 16 июля 1998 г. Общие правила о залоге содержащиеся в ГК применяются к отношениям по договору об ипотеке в случаях когда ГК или ФЗ об ипотеке не установлены иные правила. Определение: по договору о залоге недвижимого имущества договору об ипотеке одна сторона залогодержатель являющийся кредитором по обязательству обеспеченному ипотекой имеет право получить удовлетворение своих денежных требований к должнику по этому обязательству...
24947. Право на товарный знак (знак обслуживания) 38.5 KB
  В настоящее время регулируется Законом О товарных знаках знаках обслуживания и наименовании мест происхождения товаров который теряет силу с 1 января 2008 в связи с вступлением в силу ГК 4 части не вносит существенных изменений в правовое регулирование этого института. Правовая охрана товарному знаку предоставляется при наличии регистрации в Патентном ведомстве в Государственном реестре товарных знаков и знаков обслуживания Российской Федерации в подтверждение которой выдается свидетельство удостоверяющее приоритет знака и...
24948. Гражданско-правовая охрана программных средств для электронно-вычислительной техники 32 KB
  Гражданскоправовая охрана программных средств для электронновычислительной техники Программа для ЭВМ как объект авторского права выступает в качестве объективной формы представления совокупности данных и команд предназначенных для функционирования ЭВМ и других компьютерных устройств с целью получения определенного результата включая подготовительные материалы полученные в ходе разработки программы для ЭВМ и порождаемые ею аудиовизуальные отображения. Независимо от формы своего объективного выражения программы для ЭВМ с точки зрения их...
24949. Виды обязательств. Обязательства с участием третьих лиц 42.5 KB
  Обязательства с участием третьих лиц. В соответствии со сложившейся системой обязательственного права обязательства разделяются по различным группам видам т. При такой классификации эти сделки относят к внедоговорному виду что неправильно так как это искусственно разделяет однородные по сути обязательства из различных сделок действий а с другой объединяют в одну группу обязательства из правомерных действий сделок и из правонарушений. Вывод: правильная классификация на регулятивные договорные и иные обязательства правомерной...
24950. Обязательства из односторонних действий 48.5 KB
  Обязательства из односторонних действий Для реализации обязанностей составляющих содержание рассматриваемых обязательств необходимы односторонние сделки дополнительные юридические факты несколькими последовательно совершаемыми односторонними сделками центральное место среди которых занимает первоначальная сделка определяющая содержание обязательства. Но заключенная в ней обязанность реализуется при условии совершения других действий иными лицами поэтому она является условной под отлагательным условием п. 3 вида обязательств из...
24951. Субъекты обязательства. Обязательства со множественностью лиц 38.5 KB
  Субъекты обязательства. Обязательства со множественностью лиц. Но обязательства могут различаться по своему субъектному составу. Возможны обязательства со множественностью лиц на стороне должника пассивная множественность либо на стороне кредитора активная множественность либо с обеих сторон конкретного обязательства при участии не одного а нескольких лиц например несколько наследников.