21443

Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка

Лекция

Математика и математический анализ

Линейным неоднородным уравнением или квазилинейным уравнением I порядка в частных производных называется уравнение вида: . 2 Это уравнение линейно относительно производных но может быть нелинейным относительно неизвестной функции Z. Если а коэффициенты Xi не зависят от z то уравнение 2 называется линейным однородным.

Русский

2013-08-02

170 KB

14 чел.

Лекция 16

Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка

    Наиболее общее уравнение с частными производными I порядка с n независимыми переменными может быть записано в виде

                                             ,                                            (1)

где F – заданная функция,  - искомая функция,  - независимые переменные.

Пример 1.   

.

Интегрируя, имеем

z(x,y) = ,

где  - произвольная функция от y.

Пример 2.

.

Интегрируя по x, получим

,

где  - произвольная функция y. Интегрируем теперь по y:

,

где  - произвольная функция от . Окончательно имеем:

z(x,y) = ,

где

                                                   -

произвольная функция.

    Из приведенных примеров видно, что общее решение дифференциального уравнения с частными производными I порядка зависит от одной произвольной функции, общее решение уравнения II порядка – от двух произвольных функций.

    Линейным неоднородным уравнением или квазилинейным уравнением I порядка в частных производных называется уравнение вида:

                   .           (2)

Это уравнение линейно относительно производных, но может быть нелинейным  относительно неизвестной функции Z.

Если , а коэффициенты Xi не зависят от z, то уравнение (2) называется линейным однородным.

    Рассмотрим вначале квазилинейное уравнение с двумя независимыми переменными

                      P(x, y, z) + Q(x, y, z) = R(x, y, z),                                       (3)

где P, Q, R непрерывны в некоторой области изменения переменных и не обращаются в нуль одновременно.

Рассмотрим непрерывное векторное поле

.

Векторные линии этого поля (т.е. линии, касательные к которым в каждой точке имеют направление, совпадающее с направлением вектора  в той же точке) определяются из условия коллинеарности вектора , направленного по касательной к искомым линиям, и вектора поля :

                                 =  = .                                  (4)

Поверхности, составленные из векторных линий, точнее, поверхности целиком содержащие векторные линии, имеющие хотя бы одну общую точку с поверхностью, называются векторными поверхностями.

Очевидно, векторные поверхности можно получить, рассматривая множество точек, лежащих на произвольно выбранном непрерывно зависящем от параметра однопараметрическом семействе векторных линий. Векторная поверхность характеризуется тем, что вектор , направленный по нормали к поверхности в любой ее точке, ортогонален вектору поля :

                                                           () = 0.                                                (5)

Если векторная поверхность задана уравнением z = f(x,y), то вектор

(, а т.к.  направлен по касательной к , то )

и условие (5) принимает вид:

                  .                                          (3)

Если же векторная поверхность задана уравнением u(x,y,z) = 0 (неявно), т.е.

    ,

то условие (5) имеет следующий вид:

                                .                     (6)

Следовательно, для нахождения векторных поверхностей надо проинтегри-ровать квазилинейное уравнение (3) или линейное однородное уравнение (6) в зависимости от того, ищем ли мы уравнение искомых векторных поверхностей в явном или неявном виде.

    Т.к. векторные поверхности могут быть составлены из векторных линий, то интегрирование уравнений (3) или (6) сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий (4).

Первые интегралы систем дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

                                                         .                                     (7)

Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием системы (7), но уже легко интегрирующееся, например, являющееся уравнением вида

dФ(t,) = 0

или уравнением, которое может быть сведено путем замены переменных к какому-нибудь интегрируемому типу уравнений с одной неизвестной функцией.

Пример 3.

.

Складывая обе части равенств, найдем интегрируемую комбинацию

,

т.е.

,

откуда

.

Вычитая, найдем вторую интегрируемую комбинацию

,

откуда

.

Итак,

,   .

Следовательно,

x =  y = .

    Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно соотношение

Ф1 (t,) = ,

связывающее неизвестные функции и независимую переменную; такое соотношение называется первым интегралом системы (7).

     Итак, первым интегралом

                                                                                           (8)

системы уравнений (7) называется соотношение, не равное тождественно постоянной, содержащее в левой части независимую переменную и искомые функции и принимающее постоянное значение, если вместо искомых функций подставить какое-нибудь решение системы (7).

     Геометрически первый интеграл (8) при фиксированном С можно интерпретировать как n-мерную поверхность в (n+1)-мерном пространстве с координатами , обладающую тем свойством, что каждая интегральная кривая, имеющая общую точку с этой поверхностью, целиком лежит на поверхности.

    При переменном С получаем семейство непересекающихся поверхностей, состоящих из точек некоторого (n-1)-параметрического семейства интегральных кривых системы (7).

    Если найдено k интегрируемых комбинаций, то получаем k первых интегралов

                                                                                    (9)

Если все эти интегралы независимы, то есть если хотя бы один из определителей

,

где  какие-нибудь k функций из ,  не равен нулю, то из системы (9) можно выразить k неизвестных функций через остальные и, подставив в систему (7), понизить ее размер. Если k=n и все интегралы независимы, то все неизвестные функции определяются из (9).

Пример 4.

где . Умножая I-е уравнение на p, II-е на q, III-е на r и складывая, получим

.

Следовательно, I-й интеграл имеет следующий вид

.

Умножая теперь I-е уравнение на Ap, II-е на Bq, III-е на Cr и складывая, имеем

.

Следовательно, второй I-й интеграл имеет следующий вид

.

За исключением случая А=В=С, при котором система интегрируется непосредственно, найденные первые интегралы независимы и, следовательно, можно исключить две неизвестные функции, а для нахождения третьей получим одно уравнение с разделяющимися переменными.

     Для нахождения интегрируемых комбинаций часто удобно переходить к так называемой симметричной форме записи системы уравнений (7)

,

где

(t,) = .

PAGE  5


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35077. Змішана економіка та її типи 229 KB
  Змішана економіка та її типи План Сутність і ознаки змішаної економікиумови і принципи виникнення. Особливості становлення ринкової економіки в Україні. Моделі і шляхи переходу до ринкової економіки. Сутність і ознаки змішаної економікиумови і принципи виникнення.
35078. Франчайзинг, проблемы его развития в России 216.5 KB
  Развитие франчайзинга как системы организации бизнеса насчитывает уже полтора века с тех пор когда Зингер впервые применил его для сбыта швейных машин. В России интерес к этому экономическому инструменту возродился около двадцати лет назад когда практически одновременно возникло несколько франчайзинговых систем отечественных и с участием иностранного капитала. Однако надежды на быстрое развитие франчайзинга не оправдались. В 2011 году когда российское правительство делает упор на развитие инновационных идей и переходу от поставщика...
35079. СВОЙСТВА ЛИЧНОСТИ 235.5 KB
  Из истории учений о типах темперамента. Физиологическая основа темперамента. Психологическая характеристика типов темперамента. Несмотря на то что предпринимались неоднократные и постоянные попытки исследовать проблему темперамента до сих пор эта проблема относится к разряду спорных и до конца не решенных проблем современной психологической науки.
35080. Инвестиции. Понятие и классификация инвестиций 103 KB
  Понятие и классификация инвестиций Экономическая деятельность отдельных хозяйствующих субъектов и страны в целом в значительной мере характеризуется объемом и формами осуществляемых инвестиций. Источником прироста капитала и движущим мотивом осуществления инвестиций является получаемая от них прибыль. Чистые инвестиции представляют собой сумму валовых инвестиций уменьшенную на сумму амортизационных отчислений в определенном периоде. Факторы влияющие на объемы инвестиций довольно многочисленны.
35081. Теория государства и права. Конспект лекций 1.58 MB
  Предмет и методология теории государства и права. Место и роль теории государства и права в системе других наук. Основные категории и структура курса теории государства и права.
35082. Туристско-рекреационные районы, их иерархия и типология 634.5 KB
  Чаще всего аттрактивиость обусловливается всем комплексом факторов и в этом случае такие комплексноаттрактивные районы особенно привлекательны для туристов и туристского бизнеса. Задача рекреационной географии и туристского рерсурсоведения заключается сейчас не только в том чтобы найти и оцепить новые ресурсы в местах до сих пор не освоенных туристской отраслью а обогатить туристский потенциал уже освоенных мест обустроенных туристскими учреждениями доступными для потенциальных туристов. Нахождение в них туристов носит скорее...
35083. ПРАВО ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ 562 KB
  ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПРАВА ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ. Понятие предмет и функции права интеллектуальной собственности. Система права интеллектуальной собственности. Источники права интеллектуальной собственности.
35084. Управление человеческими ресурсами. Конспект лекций 143.75 KB
  Структура персонала организации определяется по категориям руководители специалисты служащие рабочие. Все категории персонала разделяются по профессиям специальностям квалификационным признакам и характеризуются специфическим местом в системе управления особенностями профессиональной подготовки. Разработка и проведение кадровой политики Оплата и стимулирование труда Групповое управление взаимоотношение в коллективе и с профсоюзами Социально психологические аспекты управления Принципы подбора и расстановки персонала Формы оплаты...
35085. Управлінське документування: Кредитно – модульний курс 292.5 KB
  Важливим завданням є створення і функціонування системи документів як робочого інструменту будьякої сфери. Зараз перед державою та суспільством постало багато нових завдань і значно зріс обсяг інформації стали жорстокішими вимоги до якості документів термінів їх виконання та доведення до виконавців.1 Призначення та класифікація документів Документ це засіб закріплення різними способами на відповідному матеріалі інформації про факти події явища обєктивної дійсності та розумову діяльність людини. Під час...