21443

Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка

Лекция

Математика и математический анализ

Линейным неоднородным уравнением или квазилинейным уравнением I порядка в частных производных называется уравнение вида: . 2 Это уравнение линейно относительно производных но может быть нелинейным относительно неизвестной функции Z. Если а коэффициенты Xi не зависят от z то уравнение 2 называется линейным однородным.

Русский

2013-08-02

170 KB

14 чел.

Лекция 16

Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка

    Наиболее общее уравнение с частными производными I порядка с n независимыми переменными может быть записано в виде

                                             ,                                            (1)

где F – заданная функция,  - искомая функция,  - независимые переменные.

Пример 1.   

.

Интегрируя, имеем

z(x,y) = ,

где  - произвольная функция от y.

Пример 2.

.

Интегрируя по x, получим

,

где  - произвольная функция y. Интегрируем теперь по y:

,

где  - произвольная функция от . Окончательно имеем:

z(x,y) = ,

где

                                                   -

произвольная функция.

    Из приведенных примеров видно, что общее решение дифференциального уравнения с частными производными I порядка зависит от одной произвольной функции, общее решение уравнения II порядка – от двух произвольных функций.

    Линейным неоднородным уравнением или квазилинейным уравнением I порядка в частных производных называется уравнение вида:

                   .           (2)

Это уравнение линейно относительно производных, но может быть нелинейным  относительно неизвестной функции Z.

Если , а коэффициенты Xi не зависят от z, то уравнение (2) называется линейным однородным.

    Рассмотрим вначале квазилинейное уравнение с двумя независимыми переменными

                      P(x, y, z) + Q(x, y, z) = R(x, y, z),                                       (3)

где P, Q, R непрерывны в некоторой области изменения переменных и не обращаются в нуль одновременно.

Рассмотрим непрерывное векторное поле

.

Векторные линии этого поля (т.е. линии, касательные к которым в каждой точке имеют направление, совпадающее с направлением вектора  в той же точке) определяются из условия коллинеарности вектора , направленного по касательной к искомым линиям, и вектора поля :

                                 =  = .                                  (4)

Поверхности, составленные из векторных линий, точнее, поверхности целиком содержащие векторные линии, имеющие хотя бы одну общую точку с поверхностью, называются векторными поверхностями.

Очевидно, векторные поверхности можно получить, рассматривая множество точек, лежащих на произвольно выбранном непрерывно зависящем от параметра однопараметрическом семействе векторных линий. Векторная поверхность характеризуется тем, что вектор , направленный по нормали к поверхности в любой ее точке, ортогонален вектору поля :

                                                           () = 0.                                                (5)

Если векторная поверхность задана уравнением z = f(x,y), то вектор

(, а т.к.  направлен по касательной к , то )

и условие (5) принимает вид:

                  .                                          (3)

Если же векторная поверхность задана уравнением u(x,y,z) = 0 (неявно), т.е.

    ,

то условие (5) имеет следующий вид:

                                .                     (6)

Следовательно, для нахождения векторных поверхностей надо проинтегри-ровать квазилинейное уравнение (3) или линейное однородное уравнение (6) в зависимости от того, ищем ли мы уравнение искомых векторных поверхностей в явном или неявном виде.

    Т.к. векторные поверхности могут быть составлены из векторных линий, то интегрирование уравнений (3) или (6) сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий (4).

Первые интегралы систем дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

                                                         .                                     (7)

Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием системы (7), но уже легко интегрирующееся, например, являющееся уравнением вида

dФ(t,) = 0

или уравнением, которое может быть сведено путем замены переменных к какому-нибудь интегрируемому типу уравнений с одной неизвестной функцией.

Пример 3.

.

Складывая обе части равенств, найдем интегрируемую комбинацию

,

т.е.

,

откуда

.

Вычитая, найдем вторую интегрируемую комбинацию

,

откуда

.

Итак,

,   .

Следовательно,

x =  y = .

    Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно соотношение

Ф1 (t,) = ,

связывающее неизвестные функции и независимую переменную; такое соотношение называется первым интегралом системы (7).

     Итак, первым интегралом

                                                                                           (8)

системы уравнений (7) называется соотношение, не равное тождественно постоянной, содержащее в левой части независимую переменную и искомые функции и принимающее постоянное значение, если вместо искомых функций подставить какое-нибудь решение системы (7).

     Геометрически первый интеграл (8) при фиксированном С можно интерпретировать как n-мерную поверхность в (n+1)-мерном пространстве с координатами , обладающую тем свойством, что каждая интегральная кривая, имеющая общую точку с этой поверхностью, целиком лежит на поверхности.

    При переменном С получаем семейство непересекающихся поверхностей, состоящих из точек некоторого (n-1)-параметрического семейства интегральных кривых системы (7).

    Если найдено k интегрируемых комбинаций, то получаем k первых интегралов

                                                                                    (9)

Если все эти интегралы независимы, то есть если хотя бы один из определителей

,

где  какие-нибудь k функций из ,  не равен нулю, то из системы (9) можно выразить k неизвестных функций через остальные и, подставив в систему (7), понизить ее размер. Если k=n и все интегралы независимы, то все неизвестные функции определяются из (9).

Пример 4.

где . Умножая I-е уравнение на p, II-е на q, III-е на r и складывая, получим

.

Следовательно, I-й интеграл имеет следующий вид

.

Умножая теперь I-е уравнение на Ap, II-е на Bq, III-е на Cr и складывая, имеем

.

Следовательно, второй I-й интеграл имеет следующий вид

.

За исключением случая А=В=С, при котором система интегрируется непосредственно, найденные первые интегралы независимы и, следовательно, можно исключить две неизвестные функции, а для нахождения третьей получим одно уравнение с разделяющимися переменными.

     Для нахождения интегрируемых комбинаций часто удобно переходить к так называемой симметричной форме записи системы уравнений (7)

,

где

(t,) = .

PAGE  5


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29486. ПИРАМИДА ОБЩЕСТВЕННОГО МНЕНИЯ В ЭЛЕКТОРАЛЬНОМ «ЗЕРКАЛЕ» 100 KB
  После выборов 24 опрошенных утверждали что приняли решение в последние дни а 4 на участке. При этом собственное решение сочли вполне обдуманным и взвешенным 45 скорее таковым 27 скорее эмоциональным 9 полностью эмоциональным 4 затруднились оценить свое решение 15 опрошенных. Таблица 1 Мера обдуманности и время принятия решения о голосовании в от числа опрошенных Насколько обдуманным было принятое решение Задолго до начала избирательной кампании В начале осени Примерно в октябре Примерно в ноябре В последние дни перед...
29487. СОЦИАЛЬНО-ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СТРУКТУРА РОССИЙСКОГО ОБЩЕСТВА: ЦЕНТР И РЕГИОНЫ 80.5 KB
  Кроме того постоянные попытки союзного а потом российского политического руководства сохранить влияние на административные регионы в этих условиях постоянно приводили к усилению локальных элит и привилегий конституированных в частности в верхней палате нынешнего парламента.в от числа участвовавших в голосовании Регионы Реформисты Консерваторы Север и СевероЗапад области 57 49 республики 54 46 центральный 43 57 ВолгоВятский области 44 56 республики 34 66 ЦентральноЧерноземный 29 71 Приволжский области 37 64 республики 60...
29488. СТРУКТУРА РОССИЙСКОГО ЭЛЕКТОРАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА 87 KB
  Кроме того результаты всеобщих выборов могут служить средством проверки не только исследовательских данных но также моделей и гипотез относительно ряда параметров социальной и политической реальности. практически непрерывная электоральная ситуация определила не только фон и меру но в значительной мере и само содержание социальнополитической жизни характер политических решений и требований. Ваше настроение в последние дни Прекрасное 3 3 Нормальное ровное 35 31 Напряжение раздражение 40 45 Страх тоска 13 10 Затруднились ответить 9 9 С...
29489. «ЧЕЛОВЕК ПОЛИТИЧЕСКИЙ»: СЦЕНА И РОЛИ ПЕРЕХОДНОГО ПЕРИОДА 90.5 KB
  Распад этой системы привел или приводит к обособлению повседневности от официальной жизни экономической сферы от политической ценностных императивов от инструментальных и т. За эти десять лет определились характерные черты политических институтов политической сцены и политического человека переходного типа. Распад механизма централизованной мобилизации около пяти лет назад не привел ни к реальному плюрализму социальнополитического действия ни к формированию каналов массового участия в политической жизни. Действенным средством...
29490. ФАКТОРЫ И ФАНТОМЫ ОБЩЕСТВЕННОГО ДОВЕРИЯ (постэлекторальные размышления) 87 KB
  Не дорожи любовию народной Показатель массового доверия или недоверия к политическим партиям деятелям социальным институтам один из наиболее употребительных обобщенных и как будто наиболее чутких индикаторов в опросах общественного мнения. Вот некоторые парадоксы общественного доверия выявленные в опросах упомянутой серии: рост показателей доверия к Б. Ельцину на протяжении избирательной президентской кампании при сохранении резко критических оценок его деятельности; значительное расхождение между рейтингами доверия и электоральной...
29491. СОЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ПЕРЕХОДНОГО ПЕРИОДА: ПОПЫТКА ХАРАКТЕРИСТИКИ 103 KB
  Представляется общепризнанным что каждая социальная система в каждый значимый период ее существования формирует выдвигает некоторый специфический набор социальноантропологических типов. В условиях модернизационных процессов индустриализация НТР урбанизация образовательная революция в число значимых признаков социальноантропологических типов естественно попадают такие объективные индикаторы как род занятий тип расселения уровень образования и т д. Данные такого рода пригодны для описания внешних условий деятельности различных...
29492. МАССОВЫЙ ПРОТЕСТ: ПОТЕНЦИАЛ И ПРЕДЕЛЫ 95 KB
  Прежде всего это относится к характеру массовых выступлений протеста развернувшихся со второй половины 1996 г. и увенчавшихся пока организованной профсоюзным руководством акцией протеста 27 марта 1997 г. Кто заявляет о готовности протестовать Обратимся к показателям возможного декларативного участия в акциях протеста различных групп. Если как отмечалось ранее центральными фигурами в ожиданиях или опасениях протеста являются образованные люди то главный носитель настроений протеста малообразованные.
29494. ОБЩЕСТВЕННОЕ МНЕНИЕ НА ПЕРЕЛОМЕ ЭПОХ: ОЖИДАНИЯ, ОПАСЕНИЯ, РАМКИ (К социологии политического перехода) 147.5 KB
  Сама сложность такого перехода давно может считаться некой отечественной традицией: персонализация верховной власти при неразвитости формальных политических институтов в России неизменно в течении нескольких столетий приводила к тому что смена первых лиц означала смену политических эпох стилей и механизмов господства состава и роли определенных групп влияния и т. Очевидно при этом что соблюдение конституционных рамок и видимая бесконфликтность даже фактическое отсутствие конкуренции обеспечены смещением решающих политических и...