21443

Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка

Лекция

Математика и математический анализ

Линейным неоднородным уравнением или квазилинейным уравнением I порядка в частных производных называется уравнение вида: . 2 Это уравнение линейно относительно производных но может быть нелинейным относительно неизвестной функции Z. Если а коэффициенты Xi не зависят от z то уравнение 2 называется линейным однородным.

Русский

2013-08-02

170 KB

14 чел.

Лекция 16

Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка

    Наиболее общее уравнение с частными производными I порядка с n независимыми переменными может быть записано в виде

                                             ,                                            (1)

где F – заданная функция,  - искомая функция,  - независимые переменные.

Пример 1.   

.

Интегрируя, имеем

z(x,y) = ,

где  - произвольная функция от y.

Пример 2.

.

Интегрируя по x, получим

,

где  - произвольная функция y. Интегрируем теперь по y:

,

где  - произвольная функция от . Окончательно имеем:

z(x,y) = ,

где

                                                   -

произвольная функция.

    Из приведенных примеров видно, что общее решение дифференциального уравнения с частными производными I порядка зависит от одной произвольной функции, общее решение уравнения II порядка – от двух произвольных функций.

    Линейным неоднородным уравнением или квазилинейным уравнением I порядка в частных производных называется уравнение вида:

                   .           (2)

Это уравнение линейно относительно производных, но может быть нелинейным  относительно неизвестной функции Z.

Если , а коэффициенты Xi не зависят от z, то уравнение (2) называется линейным однородным.

    Рассмотрим вначале квазилинейное уравнение с двумя независимыми переменными

                      P(x, y, z) + Q(x, y, z) = R(x, y, z),                                       (3)

где P, Q, R непрерывны в некоторой области изменения переменных и не обращаются в нуль одновременно.

Рассмотрим непрерывное векторное поле

.

Векторные линии этого поля (т.е. линии, касательные к которым в каждой точке имеют направление, совпадающее с направлением вектора  в той же точке) определяются из условия коллинеарности вектора , направленного по касательной к искомым линиям, и вектора поля :

                                 =  = .                                  (4)

Поверхности, составленные из векторных линий, точнее, поверхности целиком содержащие векторные линии, имеющие хотя бы одну общую точку с поверхностью, называются векторными поверхностями.

Очевидно, векторные поверхности можно получить, рассматривая множество точек, лежащих на произвольно выбранном непрерывно зависящем от параметра однопараметрическом семействе векторных линий. Векторная поверхность характеризуется тем, что вектор , направленный по нормали к поверхности в любой ее точке, ортогонален вектору поля :

                                                           () = 0.                                                (5)

Если векторная поверхность задана уравнением z = f(x,y), то вектор

(, а т.к.  направлен по касательной к , то )

и условие (5) принимает вид:

                  .                                          (3)

Если же векторная поверхность задана уравнением u(x,y,z) = 0 (неявно), т.е.

    ,

то условие (5) имеет следующий вид:

                                .                     (6)

Следовательно, для нахождения векторных поверхностей надо проинтегри-ровать квазилинейное уравнение (3) или линейное однородное уравнение (6) в зависимости от того, ищем ли мы уравнение искомых векторных поверхностей в явном или неявном виде.

    Т.к. векторные поверхности могут быть составлены из векторных линий, то интегрирование уравнений (3) или (6) сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий (4).

Первые интегралы систем дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

                                                         .                                     (7)

Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием системы (7), но уже легко интегрирующееся, например, являющееся уравнением вида

dФ(t,) = 0

или уравнением, которое может быть сведено путем замены переменных к какому-нибудь интегрируемому типу уравнений с одной неизвестной функцией.

Пример 3.

.

Складывая обе части равенств, найдем интегрируемую комбинацию

,

т.е.

,

откуда

.

Вычитая, найдем вторую интегрируемую комбинацию

,

откуда

.

Итак,

,   .

Следовательно,

x =  y = .

    Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно соотношение

Ф1 (t,) = ,

связывающее неизвестные функции и независимую переменную; такое соотношение называется первым интегралом системы (7).

     Итак, первым интегралом

                                                                                           (8)

системы уравнений (7) называется соотношение, не равное тождественно постоянной, содержащее в левой части независимую переменную и искомые функции и принимающее постоянное значение, если вместо искомых функций подставить какое-нибудь решение системы (7).

     Геометрически первый интеграл (8) при фиксированном С можно интерпретировать как n-мерную поверхность в (n+1)-мерном пространстве с координатами , обладающую тем свойством, что каждая интегральная кривая, имеющая общую точку с этой поверхностью, целиком лежит на поверхности.

    При переменном С получаем семейство непересекающихся поверхностей, состоящих из точек некоторого (n-1)-параметрического семейства интегральных кривых системы (7).

    Если найдено k интегрируемых комбинаций, то получаем k первых интегралов

                                                                                    (9)

Если все эти интегралы независимы, то есть если хотя бы один из определителей

,

где  какие-нибудь k функций из ,  не равен нулю, то из системы (9) можно выразить k неизвестных функций через остальные и, подставив в систему (7), понизить ее размер. Если k=n и все интегралы независимы, то все неизвестные функции определяются из (9).

Пример 4.

где . Умножая I-е уравнение на p, II-е на q, III-е на r и складывая, получим

.

Следовательно, I-й интеграл имеет следующий вид

.

Умножая теперь I-е уравнение на Ap, II-е на Bq, III-е на Cr и складывая, имеем

.

Следовательно, второй I-й интеграл имеет следующий вид

.

За исключением случая А=В=С, при котором система интегрируется непосредственно, найденные первые интегралы независимы и, следовательно, можно исключить две неизвестные функции, а для нахождения третьей получим одно уравнение с разделяющимися переменными.

     Для нахождения интегрируемых комбинаций часто удобно переходить к так называемой симметричной форме записи системы уравнений (7)

,

где

(t,) = .

PAGE  5


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84110. Гарантии прав и свобод личности. Понятия и виды 24.88 KB
  Утверждали что все люди равны от рождения и имеют одинаковые обусловленные природой права Аристотель одним из основополагающих считал право на частную собственность которое отражает природу самого человека и основано на его любви к самому себе. В период феодализма многие естественно-правовые идеи облекались в религиозную оболочку. В этом случае его можно считать правовым. существуют независимо от закрепления в законодательных актах государства являются объектом между народи о правового регулирования и защиты.
84111. Государство и гражданское общество 24.18 KB
  Гражданское общество внутренне противоречиво; в нем доминирует частный интерес совпадает и сталкивается деятельность различных субъектов. Оно играет роль фактора сдерживающего развитие противоречий до уровня способного разрушить гражданское общество. Как взаимосвязанные элементы единой общественной системы гражданское общество и государство обусловливают друг друга.
84112. Правовое государство и теоретические основы и практика 24.77 KB
  Теория правового государства берет свои истоки из периода античности. Таким образом у Аристотеля мы находим признак правового государства верховенство права. В этот период наиболее последовательное и завершенное освещение дискуссионных вопросов по теории правового государства находим у Н.
84113. ПРИНЦИПЫ ПРАВОВОГО ГОСУДАРСТВА 34.33 KB
  Права человека положены в основу системы сдержек и противовесов правового режима ограничения для государства не допуская тем самым излишнего регулирующего вторжения последнего в частную жизнь. Индивидуальные права представляют все одну общую черту: они ограничивают права государства – писал в начале XX в. То есть власть государства можно ограничить прежде всего правами человека и гражданина которые выступают своеобразным проявлением власти личности волей гражданского общества составляют главную часть права вообще.
84115. Функции теории государства и права 23.5 KB
  Гносеологическая гносеология учение о познание связана с познанием ТГП сущности содержания и форм государственно-правовых явлений. Эвристическая ТГП не только познаёт бытие но и открывает новые закономерности в государственно-правовых явлениях. Прогностическая предсказательная на основе полученных данных ТГП прогнозирует развитие государства и права в будущем их проблемы. Понятия и концепция ТГП заимствуется отраслевыми и специальными юридическими науками.
84116. Место теории государства и права в системе юридических наук 21.88 KB
  Теория государства и права в системе юридических наук. Теория государства и права как общетеоретическая отрасль юридической науки. Историко-правовые науки к которым относятся история государства и права России зарубежных стран история политических и правовых учений.
84117. Взаимосвязь теории государства и права с общественными науками 21.54 KB
  Теория государства и права в системе гуманитарных наук. Прежде всего теория государства и права связана с историей изучающей прошлое человечества во всей его конкретности и многообразии. Так выясняя причины происхождения государства и права и исследуя их поступательное развитие теория государства и права опирается на конкретные данные исторической науки.
84118. Общенаучные и частные методы изучения государства 23.46 KB
  Философские методы определяют подход к изучению государства и права в целом. 2 Идеализм связывают существование государства и права либо с объективным разумом объективные идеалисты либо с сознанием человека его переживаниями субъективными и осознанными усилиями субъективные идеалисты. Не внешние факторы определяют развитие государства и права а внутреннее духовное начало. 5 Аксиологический анализ государства и права как специальных ценностей которые регулируют поведение отдельных личностей.