21444

Дифференциальные уравнения векторных линий

Лекция

Математика и математический анализ

Выделим из двухпараметрического семейства векторных линий называемых характеристиками уравнения 3 или 6 предыдущей лекции PxyzQxyz=Rxyz3 6 произвольным способом однопараметрическое семейство устанавливая какуюнибудь произвольную непрерывную зависимость между параметрами С1 и С2 . Тем самым найден интеграл квазилинейного уравнения 3 предыдущей лекции зависящий от произвольной функции. Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля а поверхность проходящую через заданную линию...

Русский

2013-08-02

218 KB

5 чел.

Лекция 17

Характеристики

     Вернемся к системе дифференциальных уравнений векторных линий

                       =  = .                                  (1)

Пусть  - два независимых I-х интеграла системы (1). Выделим из двухпараметрического семейства векторных линий

,

называемых характеристиками уравнения (3) (или (6)) предыдущей лекции

(P(x,y,z)+Q(x,y,z)=R(x,y,z)(3),  (6)) произвольным способом однопараметрическое семейство, устанавливая какую-нибудь (произвольную) непрерывную зависимость  между параметрами С1 и С2 . Исключая из системы

параметры С1 и С2 , получаем искомое уравнение векторных поверхностей

                                 ,                                               (2)

где - произвольная функция. Тем самым найден интеграл квазилинейного уравнения (3) предыдущей лекции, зависящий от произвольной функции.

    Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля

,

а поверхность, проходящую через заданную линию, определяемую уравнениями , то функция в (2) будет уже не произвольной, а определится путем исключения переменных x,y,z из системы уравнений

,

которые должны одновременно удовлетворяться в точках заданной линии , через которую мы проводим характеристики, определяемые уравнениями .

     Задача станет неопределенной, если заданная линия  является характеристикой, т.к. в этом случае эту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характеристик и тем самым получить различные интегральные поверхности, проходящие через эту линию.

    Таким образом, характеристики – это кривые, через которые проходит бесконечное множество интегральных поверхностей.

    Итак, интеграл квазилинейного уравнения

                               P(x,y,z)+Q(x,y,z)=R(x,y,z),                             (3)

Зависящий от произвольной функции, может быть получен следующим образом: интегрируем вспомогательную (эквивалентную) систему обыкновенных дифференциальных уравнений

                                   =  =                                 (1)

и, найдя, два независимых первых интеграла этой системы

,

получаем искомый интеграл в виде , где - произвольная функция.

     Уравнение интегральной поверхности уравнения (3), проходящей через заданную линию , можно найти, если взять функцию не произвольно, а определив функцию  путем исключения x,y,z из уравнений

,

в результате чего получим уравнение , и искомым интегралом будет .

Пример 1.

Найти общий интеграл уравнения

                                               .

Вспомогательная система уравнений имеет вид:

                                                .

Ее первые интегралы: . Общий интеграл: , где - произвольная функция.

Пример 2.

Найти интегральную поверхность уравнения

                                            ,

проходящую через кривую . Интегрируем систему

                                            .

Имеем первые интегралы: . Исключая x,y,z из уравнений

                       ,   ,

получим , откуда   .

Пример 3.

Найти интегральную поверхность того же уравнения, проходящую через окружность

                                               .                                             (4)

Заданная кривая является одной из векторных линий (характеристик), таким образом, задача неопределена. Действительно, интегральными поверхностями рассматриваемого уравнения являются всевозможные поверхности вращения , ось которых совпадает с осью Оz. Существует бесконечное множество таких поверхностей, проходящих через окружность (4), например, параболоиды вращения   , сфера  и т.д.   

                                        

Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных I порядка с n независимыми переменными

     Рассмотрим уравнение вида

                ,           (1)

где - заданные функции, непрерывные и дифференцируемые в рассматриваемой области изменения независимых переменных  искомая функция. Наряду с уравнением (1) запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

                                                ,                                              (2)        

которую будем называть соответствующей уравнению (1).

     Задачи интегрирования уравнения (1) и системы (2) эквивалентны. Имеет место следующая

Теорема 1. Левая часть любого первого интеграла системы (2) есть решение уравнения (1); обратно, всякое решение уравнения (1), приравненное произвольной постоянной, дает первый интеграл системы (2).

Доказательство. Пусть

- совокупность (n-1) независимых первых интегралов системы (2). В пространстве с координатами эта система интегралов определяет (n-1)- параметрическое семейство линий – характеристик уравнения (1). Докажем сначала первое утверждение теоремы.

Вдоль любой интегральной кривой  системы (2) имеем

                               .                           (3)

Но вдоль интегральной кривой системы (2) дифференциалы  пропорциональны функциям , следовательно, в силу однородности относительно  левой части тождеств

дифференциалы  могут быть заменены пропорциональными им величинами , при этом получим, что вдоль интегральных кривых системы (2)

                                       .                                     (4)

Интегральные кривые системы (2) проходят через каждую точку рассматриваемой области изменения переменных  (в силу теоремы существования), и левая часть (4) не зависит от постоянных  и, следовательно, не меняется при переходе от одной интегральной кривой к другой, значит, тождества (4) справедливы не только вдоль некоторой интегральной кривой, но и во всей рассматриваемой области изменения переменных , а это и означает, что функция  является решением исходного уравнения

                                            .                                                           (1)  

Обратно, пусть некоторая функция  обращает уравнение (1) в тождество (во всей области изменения переменных ):

                                       .                                                         (4а)

Поскольку вдоль любой интегральной кривой системы (2)  и  пропорциональны, то

                                             ,

а следовательно  вдоль интегральной кривой, а это значит (в силу теоремы единственности), что  есть первый интеграл системы (2) (по определению). Ч.т.д.

Теорема 2. , где - произвольная функция, - независимые первые интегралы системы (2), является общим решением уравнения (1), т.е. решением, содержащим все без исключения решения этого уравнения.

Доказательство. Пусть  есть некоторое решение уравнения (1). Докажем, что существует функция , такая, что . Так как  являются решениями уравнения (1), то

                                                                                               (5)

Однородная система (5) в каждой точке  рассматриваемой области имеет нетривиальное решение, т.к.  по предположению не обращаются в нуль одновременно. Поэтому определитель

тождественно равен нулю в рассматриваемой области. Но это означает, что между функциями  имеется функциональная зависимость

                                                   .                                        (6)

В силу независимости первых интегралов  системы (2) по крайней мере один из миноров (n-1)-го порядка якобиана

                                                      

вида

                                                             

отличен от нуля. Следовательно, уравнение (6) можно представить в виде

                                                     .

Ч.т.д.

Пример 4.

Проинтегрировать уравнение

.

Система уравнений характеристик

имеет следующие независимые первые интегралы

.

Общее решение исходного уравнения имеет, таким образом, следующий вид

и является произвольной однородной функцией нулевой степени однородности.

PAGE  5


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47587. Методические указания. Менеджмент организации 240.5 KB
  Цели и задачи дипломной работы. Выбор и утверждение темы руководителя и консультанта дипломной работы Организация выполнения дипломной работы Структура и содержание дипломной работы Требования к оформлению дипломной работы Подготовка к защите и защита дипломной работы в ГАК.
47589. Социологический словарь 5.78 MB
  Социологический словарь отв. Социологический словарь является научно-справочным изданием освещающим в сжатой форме наиболее важные понятия социологии в историческом и современном ее аспектах. Словарь четко обозначает основные процессы развития социологической науки содержит справочные статьи по всем направлениям современной социологии: философско-методологические основания общая теория история предмета отраслевые дисциплины исследования а также существенно обогащает ее терминологию и понятийный аппарат. Для...
47590. ОСНОВЫ ГЕНЕТИКИ ЧЕЛОВЕКА 1.32 MB
  Взаимодействие генов Взаимодействие аллельных генов Взаимодействие неаллельных генов Генотип совокупность система всех генов организма которые взаимодействуют между собой.
47591. МОЖНА ВСЕ НА СВІТІ ВИБИРАТИ, СИНУ, ВИБРАТИ НЕ МОЖНА ТІЛЬКИ БАТЬКІВЩИНУ 127.5 KB
  ПОСЛІДОВНІСТЬ ВИКОНАННЯ ПРОЕКТУ МОЖНА ВСЕ НА СВІТІ ВИБИРАТИ СИНУ ВИБРАТИ НЕ МОЖНА ТІЛЬКИ БАТЬКІВЩИНУ ДАТА ТЕМА ЗАХОДІВ МЕТА ЗАХОДІВ ВИД ДІЯЛЬНОСТІ 1 вересня Перший урок Україна наш спільний дім Жовтень Ой роде наш красний роде наш прекрасний 9 листопада До Дня словянської писемності та мови Вчімося друзі слово любити Презентація командне змагання 19 грудня Святий Миколай до нас завітай міцного здоровя на весь рік дай Театральне дійство 25 грудня Запрошення на Андріївські вечорниці Фестиваль української культури 21 січня...
47592. Проектування лінійних споруд волоконно-оптичних ліній звязку.Методичний посібник 2.43 MB
  Прокладання кабелю. Вибір марки кабелю та визначення його придатності. Конструктивний розрахунок оптичного кабелю та визначення його конструкції 19 5.4 Вибір оптичних волокон оптичного кабелю та розрахунок максимальної довжини регенераційної ділянки 22 5.
47593. Rational Unified Process 4.13 MB
  Планирование итеративного проекта Технологические процессы 101 7 Технологический процесс управления проектом 103 Цель 103 Планирование итеративного проекта 104 Понятие риска 106 Понятие метрики 108 Что такое метрика 109 Исполнители и артефакты 110 Технологический процесс 111 Создание плана итерации 119 8 Технологический процесс моделирования производства 124 Цель 124 Зачем моделировать производство 124 Использование методов программотехники в процессе. Основные задачи книги Благодаря этой книге вы узнаете чем является Rtionl Unified...
47594. Фізіологія і патологія статевого формування. Диференційний діагноз різних форм статевого формування. Принципи лікування. Методичні вказівки 112.5 KB
  ДИФЕРЕНЦІЙНИЙ ДІАГНОЗ РІЗНИХ ФОРМ СТАТЕВОГО ФОРМУВАННЯ. Методичні вказівки для студентів та лікарівінтернів Затверджено вченою радою ХДМУ Протокол № Харків ХДМУ Фізіологія і патологія статевого формування. Диференційний діагноз різних форм статевого формування.
47595. СЛОВНИК СТРАХОВИХ ТЕРМІНІВ 283.5 KB
  АВІАЦІЙНЕ СТРАХУВАННЯ (aviation insurance) - страхування ризиків, пов'язаних із використанням авіаційної та космічної техніки. Іноді страхування космічних ризиків виділяється в окремий вид. А. с. охоплює страхування літаків, вертольотів та іншої авіаційної техніки від пошкодження й знищення; страхування відповідальності перед пасажирами й третіми