21444

Дифференциальные уравнения векторных линий

Лекция

Математика и математический анализ

Выделим из двухпараметрического семейства векторных линий называемых характеристиками уравнения 3 или 6 предыдущей лекции PxyzQxyz=Rxyz3 6 произвольным способом однопараметрическое семейство устанавливая какуюнибудь произвольную непрерывную зависимость между параметрами С1 и С2 . Тем самым найден интеграл квазилинейного уравнения 3 предыдущей лекции зависящий от произвольной функции. Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля а поверхность проходящую через заданную линию...

Русский

2013-08-02

218 KB

5 чел.

Лекция 17

Характеристики

     Вернемся к системе дифференциальных уравнений векторных линий

                       =  = .                                  (1)

Пусть  - два независимых I-х интеграла системы (1). Выделим из двухпараметрического семейства векторных линий

,

называемых характеристиками уравнения (3) (или (6)) предыдущей лекции

(P(x,y,z)+Q(x,y,z)=R(x,y,z)(3),  (6)) произвольным способом однопараметрическое семейство, устанавливая какую-нибудь (произвольную) непрерывную зависимость  между параметрами С1 и С2 . Исключая из системы

параметры С1 и С2 , получаем искомое уравнение векторных поверхностей

                                 ,                                               (2)

где - произвольная функция. Тем самым найден интеграл квазилинейного уравнения (3) предыдущей лекции, зависящий от произвольной функции.

    Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля

,

а поверхность, проходящую через заданную линию, определяемую уравнениями , то функция в (2) будет уже не произвольной, а определится путем исключения переменных x,y,z из системы уравнений

,

которые должны одновременно удовлетворяться в точках заданной линии , через которую мы проводим характеристики, определяемые уравнениями .

     Задача станет неопределенной, если заданная линия  является характеристикой, т.к. в этом случае эту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характеристик и тем самым получить различные интегральные поверхности, проходящие через эту линию.

    Таким образом, характеристики – это кривые, через которые проходит бесконечное множество интегральных поверхностей.

    Итак, интеграл квазилинейного уравнения

                               P(x,y,z)+Q(x,y,z)=R(x,y,z),                             (3)

Зависящий от произвольной функции, может быть получен следующим образом: интегрируем вспомогательную (эквивалентную) систему обыкновенных дифференциальных уравнений

                                   =  =                                 (1)

и, найдя, два независимых первых интеграла этой системы

,

получаем искомый интеграл в виде , где - произвольная функция.

     Уравнение интегральной поверхности уравнения (3), проходящей через заданную линию , можно найти, если взять функцию не произвольно, а определив функцию  путем исключения x,y,z из уравнений

,

в результате чего получим уравнение , и искомым интегралом будет .

Пример 1.

Найти общий интеграл уравнения

                                               .

Вспомогательная система уравнений имеет вид:

                                                .

Ее первые интегралы: . Общий интеграл: , где - произвольная функция.

Пример 2.

Найти интегральную поверхность уравнения

                                            ,

проходящую через кривую . Интегрируем систему

                                            .

Имеем первые интегралы: . Исключая x,y,z из уравнений

                       ,   ,

получим , откуда   .

Пример 3.

Найти интегральную поверхность того же уравнения, проходящую через окружность

                                               .                                             (4)

Заданная кривая является одной из векторных линий (характеристик), таким образом, задача неопределена. Действительно, интегральными поверхностями рассматриваемого уравнения являются всевозможные поверхности вращения , ось которых совпадает с осью Оz. Существует бесконечное множество таких поверхностей, проходящих через окружность (4), например, параболоиды вращения   , сфера  и т.д.   

                                        

Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных I порядка с n независимыми переменными

     Рассмотрим уравнение вида

                ,           (1)

где - заданные функции, непрерывные и дифференцируемые в рассматриваемой области изменения независимых переменных  искомая функция. Наряду с уравнением (1) запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

                                                ,                                              (2)        

которую будем называть соответствующей уравнению (1).

     Задачи интегрирования уравнения (1) и системы (2) эквивалентны. Имеет место следующая

Теорема 1. Левая часть любого первого интеграла системы (2) есть решение уравнения (1); обратно, всякое решение уравнения (1), приравненное произвольной постоянной, дает первый интеграл системы (2).

Доказательство. Пусть

- совокупность (n-1) независимых первых интегралов системы (2). В пространстве с координатами эта система интегралов определяет (n-1)- параметрическое семейство линий – характеристик уравнения (1). Докажем сначала первое утверждение теоремы.

Вдоль любой интегральной кривой  системы (2) имеем

                               .                           (3)

Но вдоль интегральной кривой системы (2) дифференциалы  пропорциональны функциям , следовательно, в силу однородности относительно  левой части тождеств

дифференциалы  могут быть заменены пропорциональными им величинами , при этом получим, что вдоль интегральных кривых системы (2)

                                       .                                     (4)

Интегральные кривые системы (2) проходят через каждую точку рассматриваемой области изменения переменных  (в силу теоремы существования), и левая часть (4) не зависит от постоянных  и, следовательно, не меняется при переходе от одной интегральной кривой к другой, значит, тождества (4) справедливы не только вдоль некоторой интегральной кривой, но и во всей рассматриваемой области изменения переменных , а это и означает, что функция  является решением исходного уравнения

                                            .                                                           (1)  

Обратно, пусть некоторая функция  обращает уравнение (1) в тождество (во всей области изменения переменных ):

                                       .                                                         (4а)

Поскольку вдоль любой интегральной кривой системы (2)  и  пропорциональны, то

                                             ,

а следовательно  вдоль интегральной кривой, а это значит (в силу теоремы единственности), что  есть первый интеграл системы (2) (по определению). Ч.т.д.

Теорема 2. , где - произвольная функция, - независимые первые интегралы системы (2), является общим решением уравнения (1), т.е. решением, содержащим все без исключения решения этого уравнения.

Доказательство. Пусть  есть некоторое решение уравнения (1). Докажем, что существует функция , такая, что . Так как  являются решениями уравнения (1), то

                                                                                               (5)

Однородная система (5) в каждой точке  рассматриваемой области имеет нетривиальное решение, т.к.  по предположению не обращаются в нуль одновременно. Поэтому определитель

тождественно равен нулю в рассматриваемой области. Но это означает, что между функциями  имеется функциональная зависимость

                                                   .                                        (6)

В силу независимости первых интегралов  системы (2) по крайней мере один из миноров (n-1)-го порядка якобиана

                                                      

вида

                                                             

отличен от нуля. Следовательно, уравнение (6) можно представить в виде

                                                     .

Ч.т.д.

Пример 4.

Проинтегрировать уравнение

.

Система уравнений характеристик

имеет следующие независимые первые интегралы

.

Общее решение исходного уравнения имеет, таким образом, следующий вид

и является произвольной однородной функцией нулевой степени однородности.

PAGE  5


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38880. Особенности экономического анализа бухгалтерской (финансовой) отчетности в государственных(муниципальных) учреждениях 868 KB
  Методы анализа бухгалтерской финансовой отчетности Анализ бухгалтерской отчетности предполагает установление и изучение взаимосвязей и взаимозависимостей между различными показателями финансовохозяйственной деятельности учреждения включенными в отчетность. Стандартные приемы методы анализа финансовой отчетности: анализ абсолютных показателей путем сравнения показателей учреждения с показателями конкурентов: горизонтальный сравнение интересующих позиций отчетности с данными предыдущих периодов; вертикальный ...
38882. Методические указания к разработке экономической части дипломного проектирования с элементами УИРС 229 KB
  Балансовая стоимость оптовая цена единицы техники руб. Кi=Цi IКтрКмКс руб. 4 где Кi капитальные вложения по базовому и проектируемому вариантам руб.: Цi цена оборудования по вариантам руб.
38883. ПОДГОТОВКА И ЗАЩИТА ДИПЛОМНЫХ, ВЫПУСКНЫХ И КУРСОВЫХ РАБОТ 762 KB
  Лобачевского ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 4 Общие замечания 4 Выбор темы исследования 7 Взаимодействие с научным руководителем 7 Проблема исследования 9 Составление библиографии и работа с литературой 10 Оформление библиографического аппарата 13 Композиция исследования 18 Рубрикация текста 22 Язык и стиль изложения 24 Объем работы и правила её оформления 26 Основные принципы визуализации социологических данных 28 Защиты курсовой и выпускной работ 42 Защита дипломной работы 44 Приложение I. Образец заявления о выборе темы...
38884. Разработка САЙТА на cms joomla 2.5 2.1 MB
  Профессионально созданный сайт обеспечивает легкость его нахождения по запросам в поисковых системах, поскольку целевую аудиторию составляют пользователи, которые ищут конкретную информацию в Интернете. Постоянный контакт с клиентами и партнёрами позволяет оперативно реагировать на изменения рынка и проводить своевременную коррекцию. Кроме того, расходы на рекламу в Интернете значительно ниже, чем в традиционных средствах.
38885. Розробка програмного забезпечення для підтримки сайту виробничо-торгівельного підприємства 416.5 KB
  Сайт – це сукупність веб-сторінок, доступних у мережі Інтернет, які обєднані як за змістом, так і навігаційно. Фізично сайт може розміщуватися як на одному, так і на кількох серверах. Сайтом також називають вузол мережі Інтернет, компютер, за яким закріплена унікальна ІР-адреса, і взагалі будь-який обєкт в Інтернеті, за яким закріплена адреса, що ідентифікує його в мережі (FTP-site, WWW-site тощо).
38886. Человек, его права и свободы - высшая ценность 210.5 KB
  Общая характеристика прав человека и гражданина и становления конституционноправового института прав человека и гражданина 1. История развития прав человека и гражданина 1. Классификация прав и свобод человека и гражданина. Проблемы защиты и реализации основных прав и свобод человека и гражданина 3.
38887. Современное состояние и перспективы развития Пенсионного фонда РФ 51 KB
  1 НАЗВАНИЕ ПЕРВОГО ПАРАГРАФА Далее идет основной текст с абзацного отступа. Текст текст текст текст текст текст текст текст текст текст текст текст текст текст текст.2 НАЗВАНИЕ ВТОРОГО ПАРАГРАФА Далее идет основной текст с абзацного отступа. Текст текст текст текст текст текст текст текст текст текст текст текст текст текст текст.