21444

Дифференциальные уравнения векторных линий

Лекция

Математика и математический анализ

Выделим из двухпараметрического семейства векторных линий называемых характеристиками уравнения 3 или 6 предыдущей лекции PxyzQxyz=Rxyz3 6 произвольным способом однопараметрическое семейство устанавливая какуюнибудь произвольную непрерывную зависимость между параметрами С1 и С2 . Тем самым найден интеграл квазилинейного уравнения 3 предыдущей лекции зависящий от произвольной функции. Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля а поверхность проходящую через заданную линию...

Русский

2013-08-02

218 KB

5 чел.

Лекция 17

Характеристики

     Вернемся к системе дифференциальных уравнений векторных линий

                       =  = .                                  (1)

Пусть  - два независимых I-х интеграла системы (1). Выделим из двухпараметрического семейства векторных линий

,

называемых характеристиками уравнения (3) (или (6)) предыдущей лекции

(P(x,y,z)+Q(x,y,z)=R(x,y,z)(3),  (6)) произвольным способом однопараметрическое семейство, устанавливая какую-нибудь (произвольную) непрерывную зависимость  между параметрами С1 и С2 . Исключая из системы

параметры С1 и С2 , получаем искомое уравнение векторных поверхностей

                                 ,                                               (2)

где - произвольная функция. Тем самым найден интеграл квазилинейного уравнения (3) предыдущей лекции, зависящий от произвольной функции.

    Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля

,

а поверхность, проходящую через заданную линию, определяемую уравнениями , то функция в (2) будет уже не произвольной, а определится путем исключения переменных x,y,z из системы уравнений

,

которые должны одновременно удовлетворяться в точках заданной линии , через которую мы проводим характеристики, определяемые уравнениями .

     Задача станет неопределенной, если заданная линия  является характеристикой, т.к. в этом случае эту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характеристик и тем самым получить различные интегральные поверхности, проходящие через эту линию.

    Таким образом, характеристики – это кривые, через которые проходит бесконечное множество интегральных поверхностей.

    Итак, интеграл квазилинейного уравнения

                               P(x,y,z)+Q(x,y,z)=R(x,y,z),                             (3)

Зависящий от произвольной функции, может быть получен следующим образом: интегрируем вспомогательную (эквивалентную) систему обыкновенных дифференциальных уравнений

                                   =  =                                 (1)

и, найдя, два независимых первых интеграла этой системы

,

получаем искомый интеграл в виде , где - произвольная функция.

     Уравнение интегральной поверхности уравнения (3), проходящей через заданную линию , можно найти, если взять функцию не произвольно, а определив функцию  путем исключения x,y,z из уравнений

,

в результате чего получим уравнение , и искомым интегралом будет .

Пример 1.

Найти общий интеграл уравнения

                                               .

Вспомогательная система уравнений имеет вид:

                                                .

Ее первые интегралы: . Общий интеграл: , где - произвольная функция.

Пример 2.

Найти интегральную поверхность уравнения

                                            ,

проходящую через кривую . Интегрируем систему

                                            .

Имеем первые интегралы: . Исключая x,y,z из уравнений

                       ,   ,

получим , откуда   .

Пример 3.

Найти интегральную поверхность того же уравнения, проходящую через окружность

                                               .                                             (4)

Заданная кривая является одной из векторных линий (характеристик), таким образом, задача неопределена. Действительно, интегральными поверхностями рассматриваемого уравнения являются всевозможные поверхности вращения , ось которых совпадает с осью Оz. Существует бесконечное множество таких поверхностей, проходящих через окружность (4), например, параболоиды вращения   , сфера  и т.д.   

                                        

Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных I порядка с n независимыми переменными

     Рассмотрим уравнение вида

                ,           (1)

где - заданные функции, непрерывные и дифференцируемые в рассматриваемой области изменения независимых переменных  искомая функция. Наряду с уравнением (1) запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

                                                ,                                              (2)        

которую будем называть соответствующей уравнению (1).

     Задачи интегрирования уравнения (1) и системы (2) эквивалентны. Имеет место следующая

Теорема 1. Левая часть любого первого интеграла системы (2) есть решение уравнения (1); обратно, всякое решение уравнения (1), приравненное произвольной постоянной, дает первый интеграл системы (2).

Доказательство. Пусть

- совокупность (n-1) независимых первых интегралов системы (2). В пространстве с координатами эта система интегралов определяет (n-1)- параметрическое семейство линий – характеристик уравнения (1). Докажем сначала первое утверждение теоремы.

Вдоль любой интегральной кривой  системы (2) имеем

                               .                           (3)

Но вдоль интегральной кривой системы (2) дифференциалы  пропорциональны функциям , следовательно, в силу однородности относительно  левой части тождеств

дифференциалы  могут быть заменены пропорциональными им величинами , при этом получим, что вдоль интегральных кривых системы (2)

                                       .                                     (4)

Интегральные кривые системы (2) проходят через каждую точку рассматриваемой области изменения переменных  (в силу теоремы существования), и левая часть (4) не зависит от постоянных  и, следовательно, не меняется при переходе от одной интегральной кривой к другой, значит, тождества (4) справедливы не только вдоль некоторой интегральной кривой, но и во всей рассматриваемой области изменения переменных , а это и означает, что функция  является решением исходного уравнения

                                            .                                                           (1)  

Обратно, пусть некоторая функция  обращает уравнение (1) в тождество (во всей области изменения переменных ):

                                       .                                                         (4а)

Поскольку вдоль любой интегральной кривой системы (2)  и  пропорциональны, то

                                             ,

а следовательно  вдоль интегральной кривой, а это значит (в силу теоремы единственности), что  есть первый интеграл системы (2) (по определению). Ч.т.д.

Теорема 2. , где - произвольная функция, - независимые первые интегралы системы (2), является общим решением уравнения (1), т.е. решением, содержащим все без исключения решения этого уравнения.

Доказательство. Пусть  есть некоторое решение уравнения (1). Докажем, что существует функция , такая, что . Так как  являются решениями уравнения (1), то

                                                                                               (5)

Однородная система (5) в каждой точке  рассматриваемой области имеет нетривиальное решение, т.к.  по предположению не обращаются в нуль одновременно. Поэтому определитель

тождественно равен нулю в рассматриваемой области. Но это означает, что между функциями  имеется функциональная зависимость

                                                   .                                        (6)

В силу независимости первых интегралов  системы (2) по крайней мере один из миноров (n-1)-го порядка якобиана

                                                      

вида

                                                             

отличен от нуля. Следовательно, уравнение (6) можно представить в виде

                                                     .

Ч.т.д.

Пример 4.

Проинтегрировать уравнение

.

Система уравнений характеристик

имеет следующие независимые первые интегралы

.

Общее решение исходного уравнения имеет, таким образом, следующий вид

и является произвольной однородной функцией нулевой степени однородности.

PAGE  5


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34758. Диалектика количественных и качественных изменений. Качество, количество, мера, скачок. Понятие нормы и патологии в медицине 79.5 KB
  Он предстает перед человеком не скоплением одинаковых предметов а как множество предметов явлений процессов наделенных различными свойствами. Вот почему познание предметов требует усилия мысли синтеза их многообразных проявлений. А множественность различных предметов характеризуется как качественное многообразие. Свойства обнаруживаются как проявления тех или иных черт сторон предметов в их отношениях с другими пред метами.
34759. Противоречие как источник развития. Закон единства и борьбы противоположностей. Принцип антагонистической регуляции функций 28.5 KB
  Принцип антагонистической регуляции функций Противоречие как источник развития диалектика Гераклита. О том что реальный процесс развития научного знания связан с этапами преодоления возникающих противоречий говорят многочисленные факты истории математики физики и др. Закон единства и борьбы противоположностей Движущую силу развития выражает закон единства и борьбы противоположностей.
34760. Диалектическое отрицание, закон отрицания отрицания. Цикличность и поступательность изменений 56.5 KB
  Раздвоение единого на отрицающие друг друга отрицание и опосредствующие одна другую отрицание отрицания противоположности постигается в учении о сущности. Своя мудрость и смысл заключены и в диалектическом принципе отрицания отрицания неразрывно связанном с принципом диалектической противоречивости. Отрицание отрицания.
34761. Категории диалектики, общая характеристика. Категории сущности и явления и их методологическое значение для медицины. Феномен кажимости - видимости 28.5 KB
  Феномен кажимости видимости Категории диалектики Философское мышление открывает всеобщие черты отношения присущие не какимто отдельным видам явлений процессов а всему бытию. Философские понятия в которых универсальные связи бытия осмысливаются в их сложной гибкой противоречивой динамике образуют группу категорий диалектики. Для диалектики характерно формирование парных категорий отражающих полярные стороны целостных явлений процессов.
34762. Синергетика как новое мировоззрение 26.5 KB
  Даже если бы новацией было только название появление синергетики было бы оправдано. Предложенное Хакеном выразительное название нового междисциплинарного направления привлекало к этому новому направлению гораздо больше внимания чем любое правильное но скучное и понятное лишь узкому кругу специалистов название. Предложенное им название сочтенное пуристами чрезмерно зазывным и рекламным оказалось особенно для нематематиков намного более привлекательным чем существовавший до Тома вариант теория особенностей дифференцируемых...
34763. Диалектика случайности и необходимости, содержания и формы, единичного и общего, возможности и действительности 52.5 KB
  вещь явление в их всеобщей закономерной связи; отражение преимущественно внутренних устойчивых повторяющихся всеобщих отношений действительности основных направлений её развития: выражение такой ступени движения познания в глубь объекта когда вскрываются его сущность закон; способ превращения возможности в действительность при котором в определенном объекте при данных условиях имеется только одна возможность превращающаяся в действительность. отражение в основном внешних несущественных неустойчивых единичных связей...
34764. Причинные связи. Категории причины и следствия. Проблема причинности в медицине 47.5 KB
  Категории причины и следствия. в схеме показано что причинноследственная связь направлена от причины к порожденному ею следствию. Имеется в виду что причины вызывают не любые а определенные соответствующие им следствия. Графическая модель такого соотношения выглядит следующим образом: Некоторые причины вызывают многочисленные долго развивающиеся следствия например катастрофические стихийные бедствия такие как ураганы землетрясения или взрыв атомной бомбы над Хиросимой в 1945 году.
34765. Теория познания, ее предмет и основные принципы. Критика агностицизма 37.5 KB
  Критика агностицизма Теория познания есть общая теория уясняющая саму природу познавательной деятельности человека в какой бы области науки искусства или житейской практики она ни осуществлялась. Агностицизм от греческого ágnōstos недоступный познанию философское учение согласно которому не может быть окончательно решен вопрос об истинности познания получена объективная характеристика окружающей человека действительности. Позиция Агностицизм разделялась в истории философии представителями идеализма в особенности субъективного а в...
34766. Знание как гносеологический таксон. Условие адекватности, обоснованности, убежденности. Мнение. Вера знание 24 KB
  Условие адекватности обоснованности убежденности. Стандартная трактовка того что ктото знает чтото включает в себя следующие три условия: условие истинности адекватности условие убежденности условие обоснованности. Условие убежденности веры приемлемости если S знает Р то S убежден верит в Р Когда я говорю например что знаю что в России есть президент то я верю что он действительно существует. Условие обоснованности S знает Р когда может обосновать свое убеждение в Р Это условие позволяет отграничить знание от...