21444

Дифференциальные уравнения векторных линий

Лекция

Математика и математический анализ

Выделим из двухпараметрического семейства векторных линий называемых характеристиками уравнения 3 или 6 предыдущей лекции PxyzQxyz=Rxyz3 6 произвольным способом однопараметрическое семейство устанавливая какуюнибудь произвольную непрерывную зависимость между параметрами С1 и С2 . Тем самым найден интеграл квазилинейного уравнения 3 предыдущей лекции зависящий от произвольной функции. Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля а поверхность проходящую через заданную линию...

Русский

2013-08-02

218 KB

5 чел.

Лекция 17

Характеристики

     Вернемся к системе дифференциальных уравнений векторных линий

                       =  = .                                  (1)

Пусть  - два независимых I-х интеграла системы (1). Выделим из двухпараметрического семейства векторных линий

,

называемых характеристиками уравнения (3) (или (6)) предыдущей лекции

(P(x,y,z)+Q(x,y,z)=R(x,y,z)(3),  (6)) произвольным способом однопараметрическое семейство, устанавливая какую-нибудь (произвольную) непрерывную зависимость  между параметрами С1 и С2 . Исключая из системы

параметры С1 и С2 , получаем искомое уравнение векторных поверхностей

                                 ,                                               (2)

где - произвольная функция. Тем самым найден интеграл квазилинейного уравнения (3) предыдущей лекции, зависящий от произвольной функции.

    Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля

,

а поверхность, проходящую через заданную линию, определяемую уравнениями , то функция в (2) будет уже не произвольной, а определится путем исключения переменных x,y,z из системы уравнений

,

которые должны одновременно удовлетворяться в точках заданной линии , через которую мы проводим характеристики, определяемые уравнениями .

     Задача станет неопределенной, если заданная линия  является характеристикой, т.к. в этом случае эту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характеристик и тем самым получить различные интегральные поверхности, проходящие через эту линию.

    Таким образом, характеристики – это кривые, через которые проходит бесконечное множество интегральных поверхностей.

    Итак, интеграл квазилинейного уравнения

                               P(x,y,z)+Q(x,y,z)=R(x,y,z),                             (3)

Зависящий от произвольной функции, может быть получен следующим образом: интегрируем вспомогательную (эквивалентную) систему обыкновенных дифференциальных уравнений

                                   =  =                                 (1)

и, найдя, два независимых первых интеграла этой системы

,

получаем искомый интеграл в виде , где - произвольная функция.

     Уравнение интегральной поверхности уравнения (3), проходящей через заданную линию , можно найти, если взять функцию не произвольно, а определив функцию  путем исключения x,y,z из уравнений

,

в результате чего получим уравнение , и искомым интегралом будет .

Пример 1.

Найти общий интеграл уравнения

                                               .

Вспомогательная система уравнений имеет вид:

                                                .

Ее первые интегралы: . Общий интеграл: , где - произвольная функция.

Пример 2.

Найти интегральную поверхность уравнения

                                            ,

проходящую через кривую . Интегрируем систему

                                            .

Имеем первые интегралы: . Исключая x,y,z из уравнений

                       ,   ,

получим , откуда   .

Пример 3.

Найти интегральную поверхность того же уравнения, проходящую через окружность

                                               .                                             (4)

Заданная кривая является одной из векторных линий (характеристик), таким образом, задача неопределена. Действительно, интегральными поверхностями рассматриваемого уравнения являются всевозможные поверхности вращения , ось которых совпадает с осью Оz. Существует бесконечное множество таких поверхностей, проходящих через окружность (4), например, параболоиды вращения   , сфера  и т.д.   

                                        

Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных I порядка с n независимыми переменными

     Рассмотрим уравнение вида

                ,           (1)

где - заданные функции, непрерывные и дифференцируемые в рассматриваемой области изменения независимых переменных  искомая функция. Наряду с уравнением (1) запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

                                                ,                                              (2)        

которую будем называть соответствующей уравнению (1).

     Задачи интегрирования уравнения (1) и системы (2) эквивалентны. Имеет место следующая

Теорема 1. Левая часть любого первого интеграла системы (2) есть решение уравнения (1); обратно, всякое решение уравнения (1), приравненное произвольной постоянной, дает первый интеграл системы (2).

Доказательство. Пусть

- совокупность (n-1) независимых первых интегралов системы (2). В пространстве с координатами эта система интегралов определяет (n-1)- параметрическое семейство линий – характеристик уравнения (1). Докажем сначала первое утверждение теоремы.

Вдоль любой интегральной кривой  системы (2) имеем

                               .                           (3)

Но вдоль интегральной кривой системы (2) дифференциалы  пропорциональны функциям , следовательно, в силу однородности относительно  левой части тождеств

дифференциалы  могут быть заменены пропорциональными им величинами , при этом получим, что вдоль интегральных кривых системы (2)

                                       .                                     (4)

Интегральные кривые системы (2) проходят через каждую точку рассматриваемой области изменения переменных  (в силу теоремы существования), и левая часть (4) не зависит от постоянных  и, следовательно, не меняется при переходе от одной интегральной кривой к другой, значит, тождества (4) справедливы не только вдоль некоторой интегральной кривой, но и во всей рассматриваемой области изменения переменных , а это и означает, что функция  является решением исходного уравнения

                                            .                                                           (1)  

Обратно, пусть некоторая функция  обращает уравнение (1) в тождество (во всей области изменения переменных ):

                                       .                                                         (4а)

Поскольку вдоль любой интегральной кривой системы (2)  и  пропорциональны, то

                                             ,

а следовательно  вдоль интегральной кривой, а это значит (в силу теоремы единственности), что  есть первый интеграл системы (2) (по определению). Ч.т.д.

Теорема 2. , где - произвольная функция, - независимые первые интегралы системы (2), является общим решением уравнения (1), т.е. решением, содержащим все без исключения решения этого уравнения.

Доказательство. Пусть  есть некоторое решение уравнения (1). Докажем, что существует функция , такая, что . Так как  являются решениями уравнения (1), то

                                                                                               (5)

Однородная система (5) в каждой точке  рассматриваемой области имеет нетривиальное решение, т.к.  по предположению не обращаются в нуль одновременно. Поэтому определитель

тождественно равен нулю в рассматриваемой области. Но это означает, что между функциями  имеется функциональная зависимость

                                                   .                                        (6)

В силу независимости первых интегралов  системы (2) по крайней мере один из миноров (n-1)-го порядка якобиана

                                                      

вида

                                                             

отличен от нуля. Следовательно, уравнение (6) можно представить в виде

                                                     .

Ч.т.д.

Пример 4.

Проинтегрировать уравнение

.

Система уравнений характеристик

имеет следующие независимые первые интегралы

.

Общее решение исходного уравнения имеет, таким образом, следующий вид

и является произвольной однородной функцией нулевой степени однородности.

PAGE  5


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78567. Вчимо правила безпечної поведінки, граючи 94.5 KB
  Мета: Навчити учнів дотримуватися правил безпечного переходу вулиць і доріг повторити правила дорожнього руху розглянути причини ДТП вчити запобігати їх виникнення. Я допомагаю машинам і пішоходам виконувати правила дорожнього руху.
78568. ОСНОВНІ ПРАВОПОРУШЕННЯ 32.5 KB
  Мета: Сформулювати уявлення про правопорушення; познайомити з видами правопорушень; вчити учнів бути чесними громадянами України; виховувати негативне ставлення до правопорушень норм моралі та прав людини. Сьогодні на уроці ми поговоримо про правопорушення.
78569. Мы школьниками стали 43 KB
  Ведущий: Ну, конечно, в первый! Мы проучились в нем...месяца и стали настоящими учениками. Приглашаем всех на весёлый праздник - «Мы школьниками стали». 3-й ученик: Пусть зовут нас «шестилетки»! пусть не ставят нам отметки! Не ведём мы дневники!
78570. Повторення вивченого про прикметник. Спостереження за роллю прикметників у мовленні 90 KB
  Прикметники-синоніми прикметники-антоніми та прикметники багатозначні слова. Спиши вставляючи в речення потрібні за змістом прикметники. Випиши прикметники. Опиши поданий український вишитий рушник використовуючи різні прикметники.
78571. Водойми, їх різноманіття 49 KB
  Вода. Під горою під крутою не ріка тече струною Це холодна бє вода із старого Джерела. Яке значення має вода на Землі Які водойми суші ви знаєте Яким кольором позначають воду на карті глобусі IV Вивчення нового матеріалу 1. Вода напуває Землю яка годує людину.
78572. Збережемо природу Землі разом 95 KB
  Мета. Поглибити і розширити знання учнів про вплив людини на природу Землі. Підвести дітей до усвідомлення необхідності зберігати та примножувати природні багатства, раціонально їх використовувати.
78573. Що належить до природи. Жива і нежива природа 35.5 KB
  Мета: розширити знання учнів про різноманітність природи; формувати уявлення про живу та неживу природу; вчити відрізняти предмети природи від речей виготовлених людиною; розвивати вміння спостерігати за обєктами природи; виховувати дбайливе ставлення до природи речей створених людиною.
78574. Охорона природи України 165.5 KB
  Поглибити і розширити знання дітей про роль природи її вплив на людину про необхідність збереження і охорони природного середовища; підвести дітей до усвідомлення необхідності зберігати і примножувати природні багатства раціонально їх використовувати.
78575. Охрана природы 10.03 MB
  Много животных там стало водиться: Змеи слоны черепахи и птицы. За 1000 лет наша Земля изменилась до неузнаваемости: обмелевшие реки вырубленные леса нефтяные пятна на поверхности морей и океанов сотни исчезнувших растений и животных.