21444

Дифференциальные уравнения векторных линий

Лекция

Математика и математический анализ

Выделим из двухпараметрического семейства векторных линий называемых характеристиками уравнения 3 или 6 предыдущей лекции PxyzQxyz=Rxyz3 6 произвольным способом однопараметрическое семейство устанавливая какуюнибудь произвольную непрерывную зависимость между параметрами С1 и С2 . Тем самым найден интеграл квазилинейного уравнения 3 предыдущей лекции зависящий от произвольной функции. Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля а поверхность проходящую через заданную линию...

Русский

2013-08-02

218 KB

5 чел.

Лекция 17

Характеристики

     Вернемся к системе дифференциальных уравнений векторных линий

                       =  = .                                  (1)

Пусть  - два независимых I-х интеграла системы (1). Выделим из двухпараметрического семейства векторных линий

,

называемых характеристиками уравнения (3) (или (6)) предыдущей лекции

(P(x,y,z)+Q(x,y,z)=R(x,y,z)(3),  (6)) произвольным способом однопараметрическое семейство, устанавливая какую-нибудь (произвольную) непрерывную зависимость  между параметрами С1 и С2 . Исключая из системы

параметры С1 и С2 , получаем искомое уравнение векторных поверхностей

                                 ,                                               (2)

где - произвольная функция. Тем самым найден интеграл квазилинейного уравнения (3) предыдущей лекции, зависящий от произвольной функции.

    Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля

,

а поверхность, проходящую через заданную линию, определяемую уравнениями , то функция в (2) будет уже не произвольной, а определится путем исключения переменных x,y,z из системы уравнений

,

которые должны одновременно удовлетворяться в точках заданной линии , через которую мы проводим характеристики, определяемые уравнениями .

     Задача станет неопределенной, если заданная линия  является характеристикой, т.к. в этом случае эту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характеристик и тем самым получить различные интегральные поверхности, проходящие через эту линию.

    Таким образом, характеристики – это кривые, через которые проходит бесконечное множество интегральных поверхностей.

    Итак, интеграл квазилинейного уравнения

                               P(x,y,z)+Q(x,y,z)=R(x,y,z),                             (3)

Зависящий от произвольной функции, может быть получен следующим образом: интегрируем вспомогательную (эквивалентную) систему обыкновенных дифференциальных уравнений

                                   =  =                                 (1)

и, найдя, два независимых первых интеграла этой системы

,

получаем искомый интеграл в виде , где - произвольная функция.

     Уравнение интегральной поверхности уравнения (3), проходящей через заданную линию , можно найти, если взять функцию не произвольно, а определив функцию  путем исключения x,y,z из уравнений

,

в результате чего получим уравнение , и искомым интегралом будет .

Пример 1.

Найти общий интеграл уравнения

                                               .

Вспомогательная система уравнений имеет вид:

                                                .

Ее первые интегралы: . Общий интеграл: , где - произвольная функция.

Пример 2.

Найти интегральную поверхность уравнения

                                            ,

проходящую через кривую . Интегрируем систему

                                            .

Имеем первые интегралы: . Исключая x,y,z из уравнений

                       ,   ,

получим , откуда   .

Пример 3.

Найти интегральную поверхность того же уравнения, проходящую через окружность

                                               .                                             (4)

Заданная кривая является одной из векторных линий (характеристик), таким образом, задача неопределена. Действительно, интегральными поверхностями рассматриваемого уравнения являются всевозможные поверхности вращения , ось которых совпадает с осью Оz. Существует бесконечное множество таких поверхностей, проходящих через окружность (4), например, параболоиды вращения   , сфера  и т.д.   

                                        

Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных I порядка с n независимыми переменными

     Рассмотрим уравнение вида

                ,           (1)

где - заданные функции, непрерывные и дифференцируемые в рассматриваемой области изменения независимых переменных  искомая функция. Наряду с уравнением (1) запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

                                                ,                                              (2)        

которую будем называть соответствующей уравнению (1).

     Задачи интегрирования уравнения (1) и системы (2) эквивалентны. Имеет место следующая

Теорема 1. Левая часть любого первого интеграла системы (2) есть решение уравнения (1); обратно, всякое решение уравнения (1), приравненное произвольной постоянной, дает первый интеграл системы (2).

Доказательство. Пусть

- совокупность (n-1) независимых первых интегралов системы (2). В пространстве с координатами эта система интегралов определяет (n-1)- параметрическое семейство линий – характеристик уравнения (1). Докажем сначала первое утверждение теоремы.

Вдоль любой интегральной кривой  системы (2) имеем

                               .                           (3)

Но вдоль интегральной кривой системы (2) дифференциалы  пропорциональны функциям , следовательно, в силу однородности относительно  левой части тождеств

дифференциалы  могут быть заменены пропорциональными им величинами , при этом получим, что вдоль интегральных кривых системы (2)

                                       .                                     (4)

Интегральные кривые системы (2) проходят через каждую точку рассматриваемой области изменения переменных  (в силу теоремы существования), и левая часть (4) не зависит от постоянных  и, следовательно, не меняется при переходе от одной интегральной кривой к другой, значит, тождества (4) справедливы не только вдоль некоторой интегральной кривой, но и во всей рассматриваемой области изменения переменных , а это и означает, что функция  является решением исходного уравнения

                                            .                                                           (1)  

Обратно, пусть некоторая функция  обращает уравнение (1) в тождество (во всей области изменения переменных ):

                                       .                                                         (4а)

Поскольку вдоль любой интегральной кривой системы (2)  и  пропорциональны, то

                                             ,

а следовательно  вдоль интегральной кривой, а это значит (в силу теоремы единственности), что  есть первый интеграл системы (2) (по определению). Ч.т.д.

Теорема 2. , где - произвольная функция, - независимые первые интегралы системы (2), является общим решением уравнения (1), т.е. решением, содержащим все без исключения решения этого уравнения.

Доказательство. Пусть  есть некоторое решение уравнения (1). Докажем, что существует функция , такая, что . Так как  являются решениями уравнения (1), то

                                                                                               (5)

Однородная система (5) в каждой точке  рассматриваемой области имеет нетривиальное решение, т.к.  по предположению не обращаются в нуль одновременно. Поэтому определитель

тождественно равен нулю в рассматриваемой области. Но это означает, что между функциями  имеется функциональная зависимость

                                                   .                                        (6)

В силу независимости первых интегралов  системы (2) по крайней мере один из миноров (n-1)-го порядка якобиана

                                                      

вида

                                                             

отличен от нуля. Следовательно, уравнение (6) можно представить в виде

                                                     .

Ч.т.д.

Пример 4.

Проинтегрировать уравнение

.

Система уравнений характеристик

имеет следующие независимые первые интегралы

.

Общее решение исходного уравнения имеет, таким образом, следующий вид

и является произвольной однородной функцией нулевой степени однородности.

PAGE  5


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75640. Особенности интерпретации невербальных средств общения дошкольниками с тяжёлыми нарушениями 52.22 KB
  Психические и физические недостатки вызывают отклонения в развитии детей замедляя и затрудняя процесс освоения знаковой действительности. При достаточной разработанности вопроса о языковом развитии детей с общим недоразвитием речи сведений об особенностях понимания и употребления ими других видов знаков недостаточно. В настоящее время общепризнано что помимо недостатков фонетического лексико-грамматического и синтаксического оформления высказываний речевая деятельность детей с ОНР характеризуется когнитивной слабостью...
75641. Использование невербальных средств общения в коррекционно-развивающей работе с дошкольниками с общим недоразвитием речи 56.67 KB
  Использование невербальных средств общения в коррекционно-развивающей работе с дошкольниками с общим недоразвитием речи Вестник Ленинградского государственного университета им. Изучение невербального общения детей с недоразвитием речи и определение коррекционно-развивающего эффекта невербальных средств общения является одной из актуальных проблем современной логопедии. Исследование было посвящёно определению значения невербальных средств общения в формировании базовых предпосылок речи у дошкольников с ОНР и разработке содержания научно...
75642. Цветообозначение в работе по развитию семантической стороны речи и обогащению эмоционального словаря детей с ОНР 1.12 MB
  Общечеловеческий родовой национально-культурный и индивидуально-психологический. Общечеловеческое значение цвета напрямую связано с его физическими характеристиками и определено способностью цвета оказывать воздействие на эмоции человека его состояние. Так выявлено что синий и зеленый цвета и их оттенки расслабляют успокаивают человека. Выявлено что светлые цвета максимально удалённые от чёрного преимущественно связаны с позитивными эмоциями; тёмные...
75643. Как понять себя и другого 7.47 MB
  Особое внимание следует обратить на подбираемую к текстам наглядность: она должна отражать мимику и пантомимику персонажей. Педагог обращает внимание детей на выражении лица и позу персонажей. Аналитичность просмотра подразумевает детальный разбор мимики позы жестов персонажей мультфильма. Используются разнообразные невербальные средства: экспрессивные выражающие эмоции и чувства персонажей; изобразительные имитирующие определённые действия персонажей; указательные и символические.
75644. Особенности невербального кодирования информации детьми с общим недоразвитием речи 25.54 KB
  Выраженность вариантов невербального кодирования информации Категория детей Варианты невербального кодирования Дети с нормальным х развитием речи в Дети с общим х недоразвитием речи в 4 г. В целом в ходе выполнения диагностического задания дети с общим недоразвитием речи гораздо реже чем их нормально развивающиеся сверстники могли правильно воспроизвести невербальный знак чаще отказывались от выполнения задания. Дети с ОНР могли справиться с заданием лучше если экспериментатор задавал наводящие вопросы подсказывал...
75645. Особенности фонетических ориентировок у детей с речевой патологией 20.41 KB
  Особенности фонетических ориентировок у детей с речевой патологией Актуальные проблемы механизмов и структуры нарушений устной и письменной речи: материалы междунар. Функционирование фонетического чутья позволяет ребёнку улавливать правильность фонетического оформления речи дифференцировать нормативное...
75646. Формирование невербальных основ речи в доречевой период 282.28 KB
  Формирование невербальных основ речи в доречевой период Инновационные подходы к профилактике нарушений развития Под ред. Человека впервые заинтересовавшегося вопросом развития речи ребёнка может удивить и обескуражить выбранное нами название. Основы для развития речи закладываются задолго до того когда будут произнесено первое слово. Учёные наблюдавшие за развитием младенцев находящихся в разных социальных условиях смогли выделить невербальные неречевые факторы определяющие интенсивность и качество развития речи малыша.
75647. Амвросова О.А. Рефлексия в общении как условие социализации дошкольников с общим недоразвитием речи 39.82 KB
  Основные подходы к исследованию рефлексии В рамках философского подхода рефлексия рассматривается как процесс размышления индивида о происходящем в его собственном сознании. Уже у Аристотеля Платона и позже у средневековых схоластов можно найти много глубоких рассуждений касающихся разных сторон того что сейчас относится к рефлексии все же принято считать что основной и специфический круг проблем связываемых сегодня с этим понятием зарождается лишь в новое время а именно благодаря полемике...
75648. О доминирующих мотивах деятельности детей старшего дошкольного возраста с нарушениями речи 21.09 KB
  В отечественных и зарубежных логопедических исследованиях уделяется много внимания вопросам объема, характера и качества речевых навыков, знаний, которые должны быть усвоены детьми с недоразвитием речи. Однако такой важнейший компонент деятельности, как мотивация