21444

Дифференциальные уравнения векторных линий

Лекция

Математика и математический анализ

Выделим из двухпараметрического семейства векторных линий называемых характеристиками уравнения 3 или 6 предыдущей лекции PxyzQxyz=Rxyz3 6 произвольным способом однопараметрическое семейство устанавливая какуюнибудь произвольную непрерывную зависимость между параметрами С1 и С2 . Тем самым найден интеграл квазилинейного уравнения 3 предыдущей лекции зависящий от произвольной функции. Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля а поверхность проходящую через заданную линию...

Русский

2013-08-02

218 KB

5 чел.

Лекция 17

Характеристики

     Вернемся к системе дифференциальных уравнений векторных линий

                       =  = .                                  (1)

Пусть  - два независимых I-х интеграла системы (1). Выделим из двухпараметрического семейства векторных линий

,

называемых характеристиками уравнения (3) (или (6)) предыдущей лекции

(P(x,y,z)+Q(x,y,z)=R(x,y,z)(3),  (6)) произвольным способом однопараметрическое семейство, устанавливая какую-нибудь (произвольную) непрерывную зависимость  между параметрами С1 и С2 . Исключая из системы

параметры С1 и С2 , получаем искомое уравнение векторных поверхностей

                                 ,                                               (2)

где - произвольная функция. Тем самым найден интеграл квазилинейного уравнения (3) предыдущей лекции, зависящий от произвольной функции.

    Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля

,

а поверхность, проходящую через заданную линию, определяемую уравнениями , то функция в (2) будет уже не произвольной, а определится путем исключения переменных x,y,z из системы уравнений

,

которые должны одновременно удовлетворяться в точках заданной линии , через которую мы проводим характеристики, определяемые уравнениями .

     Задача станет неопределенной, если заданная линия  является характеристикой, т.к. в этом случае эту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характеристик и тем самым получить различные интегральные поверхности, проходящие через эту линию.

    Таким образом, характеристики – это кривые, через которые проходит бесконечное множество интегральных поверхностей.

    Итак, интеграл квазилинейного уравнения

                               P(x,y,z)+Q(x,y,z)=R(x,y,z),                             (3)

Зависящий от произвольной функции, может быть получен следующим образом: интегрируем вспомогательную (эквивалентную) систему обыкновенных дифференциальных уравнений

                                   =  =                                 (1)

и, найдя, два независимых первых интеграла этой системы

,

получаем искомый интеграл в виде , где - произвольная функция.

     Уравнение интегральной поверхности уравнения (3), проходящей через заданную линию , можно найти, если взять функцию не произвольно, а определив функцию  путем исключения x,y,z из уравнений

,

в результате чего получим уравнение , и искомым интегралом будет .

Пример 1.

Найти общий интеграл уравнения

                                               .

Вспомогательная система уравнений имеет вид:

                                                .

Ее первые интегралы: . Общий интеграл: , где - произвольная функция.

Пример 2.

Найти интегральную поверхность уравнения

                                            ,

проходящую через кривую . Интегрируем систему

                                            .

Имеем первые интегралы: . Исключая x,y,z из уравнений

                       ,   ,

получим , откуда   .

Пример 3.

Найти интегральную поверхность того же уравнения, проходящую через окружность

                                               .                                             (4)

Заданная кривая является одной из векторных линий (характеристик), таким образом, задача неопределена. Действительно, интегральными поверхностями рассматриваемого уравнения являются всевозможные поверхности вращения , ось которых совпадает с осью Оz. Существует бесконечное множество таких поверхностей, проходящих через окружность (4), например, параболоиды вращения   , сфера  и т.д.   

                                        

Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных I порядка с n независимыми переменными

     Рассмотрим уравнение вида

                ,           (1)

где - заданные функции, непрерывные и дифференцируемые в рассматриваемой области изменения независимых переменных  искомая функция. Наряду с уравнением (1) запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

                                                ,                                              (2)        

которую будем называть соответствующей уравнению (1).

     Задачи интегрирования уравнения (1) и системы (2) эквивалентны. Имеет место следующая

Теорема 1. Левая часть любого первого интеграла системы (2) есть решение уравнения (1); обратно, всякое решение уравнения (1), приравненное произвольной постоянной, дает первый интеграл системы (2).

Доказательство. Пусть

- совокупность (n-1) независимых первых интегралов системы (2). В пространстве с координатами эта система интегралов определяет (n-1)- параметрическое семейство линий – характеристик уравнения (1). Докажем сначала первое утверждение теоремы.

Вдоль любой интегральной кривой  системы (2) имеем

                               .                           (3)

Но вдоль интегральной кривой системы (2) дифференциалы  пропорциональны функциям , следовательно, в силу однородности относительно  левой части тождеств

дифференциалы  могут быть заменены пропорциональными им величинами , при этом получим, что вдоль интегральных кривых системы (2)

                                       .                                     (4)

Интегральные кривые системы (2) проходят через каждую точку рассматриваемой области изменения переменных  (в силу теоремы существования), и левая часть (4) не зависит от постоянных  и, следовательно, не меняется при переходе от одной интегральной кривой к другой, значит, тождества (4) справедливы не только вдоль некоторой интегральной кривой, но и во всей рассматриваемой области изменения переменных , а это и означает, что функция  является решением исходного уравнения

                                            .                                                           (1)  

Обратно, пусть некоторая функция  обращает уравнение (1) в тождество (во всей области изменения переменных ):

                                       .                                                         (4а)

Поскольку вдоль любой интегральной кривой системы (2)  и  пропорциональны, то

                                             ,

а следовательно  вдоль интегральной кривой, а это значит (в силу теоремы единственности), что  есть первый интеграл системы (2) (по определению). Ч.т.д.

Теорема 2. , где - произвольная функция, - независимые первые интегралы системы (2), является общим решением уравнения (1), т.е. решением, содержащим все без исключения решения этого уравнения.

Доказательство. Пусть  есть некоторое решение уравнения (1). Докажем, что существует функция , такая, что . Так как  являются решениями уравнения (1), то

                                                                                               (5)

Однородная система (5) в каждой точке  рассматриваемой области имеет нетривиальное решение, т.к.  по предположению не обращаются в нуль одновременно. Поэтому определитель

тождественно равен нулю в рассматриваемой области. Но это означает, что между функциями  имеется функциональная зависимость

                                                   .                                        (6)

В силу независимости первых интегралов  системы (2) по крайней мере один из миноров (n-1)-го порядка якобиана

                                                      

вида

                                                             

отличен от нуля. Следовательно, уравнение (6) можно представить в виде

                                                     .

Ч.т.д.

Пример 4.

Проинтегрировать уравнение

.

Система уравнений характеристик

имеет следующие независимые первые интегралы

.

Общее решение исходного уравнения имеет, таким образом, следующий вид

и является произвольной однородной функцией нулевой степени однородности.

PAGE  5


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30449. Общественный строй как конституционно-правовой институт в зарубежных странах 14.12 KB
  Такими подсистемами являются: экономические отношения социальные отношения в узком смысле слова духовнокультурные отношения политические отношения. Не всегда можно провести четкую грань между этими отношениями. Его рассматривают как общество в котором существуют развитые экономические культурные правовые политические отношения между составляющими его индивидами которые не опосредованы государством.
30450. Государство как конституционно-правовой институт в зарубежных странах 13.3 KB
  Государство как конституционноправовой институт в зарубежных странах Государство является центральным институтом политической системы и основным институтом политической власти. Государство это осознанная необходимость общего управления для соблюдения жизненно важных условий существования людей. Государство это феномен человеческой мысли и человеческого труда. Государство основной институт политической системы общества организующий направляющий и контролирующий совместную деятельность и отношения людей общественных групп...
30451. Негосударственные политические институты и их конституционно-правовой статус в зарубежных странах 16.29 KB
  Усложнение форм и методов деятельности политических партий возрастание их роли в обществе закономерно приводят к их юридической институционализации. Институционализация политических партий проявляется в двух взаимосвязанных процессах: конституцищшпзации то есть включении в конституции основных принципов их статуса и законодательной институционализации в результате которой правовое положение партий определяется законом достаточно детально. Законодательная институционализация обычно включает правовое регулирование...
30452. Формы правления и государственные режимы в зарубежных странах 17.92 KB
  Формы правления и государственные режимы в зарубежных странах. Форма правления внешнее выражение содержания государства определяемое структурой и правовым положением высших органов государственной власти. Характер формы правления существующей в данном государстве зависит от организации верховной государственной власти точнее от определения правового положения одного высшего органа государственной власти главы государства. И в зависимости от того осуществляется ли эта власть одним лицом по наследству или...
30453. Принципы избирательного права в зарубежных странах 16.46 KB
  Принципы избирательного права: 1 Всеобщность избирательные права признаются за всеми взрослыми и психически здоровыми гражданами Тем не менее всеобщее избирательное право ограничено рядом цензов требований к потенциальному избирателю: возрастной ценз; ценз оседлости ценз пола имущественный профессиональный ценз Моральный ценз расовый 2 Свободное участие в выборах избиратель сам решает участвовать ли ему в избирательном процессе и если да то в какой мере.
30455. Избирательный процесс в зарубежных странах 16.53 KB
  Избирательный процесс это урегулированная нормами избирательного права деятельность по подготовке и проведению выборов. Назначение выборов т. Временные рамки проведения выборов устанавливаются обычно законом. В некоторых странах закон устанавливает точную дату проведения выборов.
30456. Референдум в зарубежных странах, его виды, процедура и правовые последствия 16.76 KB
  Своеобразной разновидностью референдума является плебисцит но это голосование населения по наиболее важным для страны вопросам: по территориальным международным проблемам. Вопрос выносимый на референдум называется формулой референдума . Как правило в законодательстве устанавливаются пределы допустимого использования института референдума. Виды референдума: общенациональный и местный; обязательный и факультативный; конституционный и обыкновенный; допарламентскийпослепарламентский внепарламентский; утверждающий и...
30457. Парламентарии, их статус и объединения в зарубежных странах 15.99 KB
  Парламентарии их статус и объединения в зарубежных странах Современный парламент это общегосударственный представительный орган главная функция которого в системе разделения властей заключается в осуществлении законодательной власти. Чаще всего Объединения парламентариев создаются и действуют на политической базе общей партийной принадлежности. Эти объединения все чаще институционализируются в законах и регламентах даже конституционализируются и приобретают определенные права на представительство в руководящих органах...