21445

Приведение матрицы линейного оператора к канонической (жордановой) форме

Лекция

Математика и математический анализ

Вектор называется присоединенным вектором оператора соответствующим собственному значению если для некоторого целого выполняются соотношения . Иными словами если присоединенный вектор порядка то вектор является собственным вектором оператора . Существует базис 1 образованный из собственных и присоединенных векторов оператора в котором действие оператора дается следующими соотношениями:...

Русский

2013-08-02

623.5 KB

11 чел.

Приведение матрицы линейного оператора

к канонической (жордановой) форме.

Определение.

Вектор  называется присоединенным вектором оператора , соответствующим собственному значению , если для некоторого целого  выполняются соотношения

, .

При этом число  называется порядком присоединеного вектора .

Иными словами, если  - присоединенный вектор порядка , то вектор

является собственным вектором оператора .

Имеет место следующая

Теорема.

Пусть - линейный оператор, действующий в -мерном евклидовом пространстве .

Существует базис

,                                           (1) образованный из собственных и присоединенных векторов оператора, в котором действие оператора  дается следующими соотношениями:

                                         (2)

 

Замечание 1.

Очевидно, векторы   базиса (1) являются собственными векторами оператора, соответствующими собственным значениям .

Из определения присоединенных векторов и соотношения (2) следует, что векторы    являются присоединенными векторами порядка , соответствующими собственным значениям .

(Так как ).

Замечание 2.

Поскольку по определению линейного оператора

                                     , ,                                  (3)

то соотношения (2) действительно определяют действие оператора  в пространстве  при заданном базисе .

Замечание 3.

Матрица  линейного оператора  в базисе  имеет следующий клеточный вид ,                                                                   (4)

где клетка  представляет собой следующую матрицу

 

                        .                                                    (5)

Замечание 4.

Форма (4) матрицы  линейного оператора  называется жордановой формой матрицы этого оператора.  называется жордановой клеткой матрицы .

Замечание 5.

Жорданова форма (4) матрицы определена с точностью до порядка расположения клеток , который определяется порядком нумерации собственных значений .

Доказательство.

Применим метод индукции.

При  утверждение теоремы очевидно.

Пусть  и теорема верна для пространств размерности, меньшей .

Докажем, что при этом предположении она верна и для пространств размерности .

Пусть  - собственное значение оператора, т.е.  является корнем характеристического уравнения . Таким образом, ранг  линейного оператора

                                                                                                   (6)

меньше  

Линейный оператор  отображает пространство  на подпространство . Поэтому оператор  отображает подпространство  размерности  в это же подпространство (для  линейного оператора   и  - инвариантные подпространства оператора , т.е. если , то и ).

По предположению индукции в  есть базис

,  ,                                              (7)

в котором действие оператора  из  задается соотношениями

                                            ,

                          ,  .                       (8)

Таким образом, в этом базисе матрица  оператора  (символом  обозначается оператор , действующий из  в ), действующего из  в , имеет следующий клеточный вид:

                  ,    .               (9)

Пусть лишь первые   собственных значений оператора  равны нулю.

Так как ранг каждой клетки (см. (9)), для которой , равен , а ранг клетки, для которой , равен , то, согласно (7), ранг матрицы  равен . Поэтому размерность пространства  равна  , но , следовательно  и  представляет собой линейную оболочку векторов . Эти векторы в силу линейной независимости образуют базис в. Очевидно, . Дополним базис  в  до базиса в  векторами , ,  (размерность  равна ).

Так как , то

                                                     .                                                (10)

Обратимся теперь к векторам , . Поскольку эти векторы принадлежат , то существуют такие векторы , что

                                            , .                                    (11)

Докажем теперь, что векторы

                               ,

                                     ,                                   (12)

линейно независимы.

Рассмотрим следующую равную нулю линейную комбинацию  этих векторов:

                                              (13)

и подействуем оператором  на , тогда, с учетом (8), (10) и (11), получим:

                  .           (14)

Полученное соотношение представляет собой равную нулю линейную комбинацию базисных векторов , поэтому коэффициенты при указанных векторах в рассматриваемой линейной комбинации равны нулю. Поскольку  при , то из (14) следует, что коэффициенты при   равны в точности , следовательно, . Отсюда и из соотношения (13) имеем

                                   ,                               (15)

из которых следует, что вектор , представляющий собой линейную комбинацию векторов , составляющих часть базиса в , сам принадлежит.

С другой стороны, из (15) вытекает, что  представляет собой линейную комбинацию векторов , т.е. . Следовательно,   (так как ), и поэтому .

Так как линейные оболочки наборов векторов  и  имеют общим лишь нулевой элемент (эти наборы вместе образуют базис в ) и поскольку  принадлежит каждой из упомянутых  линейных оболочек, то  Но тогда из (15) следует, что   и   .

Итак, все коэффициенты в линейной комбинации (13) векторов (12) равны нулю, т.е. векторы (12) линейно независимы. 

Общее число векторов (12) равно . Так как  (это было установлено выше), то общее число векторов (12) равно , т.е. они образуют базис в . Обозначим

                                                                                                     (16)

и запишем векторы этого базиса в следующей последовательности серий:

                                     

                                     , ;                             (17)

                                    ,  

Рассмотрим действие оператора  на векторы базиса (17). В соответствии с (8), (10), (11) и (16) имеем

, ,

, ,

, ,

,  , .

Таким образом, в базисе (17) оператор  действует по правилу (2), указанному в формулировке теоремы. Но тогда в этом базисе и оператор  действует по тому же правилу. Теорема доказана.                   

Пример 1.

В некотором базисе матрица оператора  имеет вид .

Построим жорданов базис*).

.

,

 , , т.е. , ,

, т.е. .

Если , то ,

*) Пусть  - корень характеристического уравнения   кратности , а  - ранг матрицы , тогда количество линейно независимых собственных векторов равно , а присоединенных .

, т.е. , ; ,

; ,

таким образом, .

Пример 2.

 

   1 собственный вектор и 2 присоединенных.

, , т.е.

.

          

; ;

   

,  ;

;  

 те же векторы, что и у , но

, поэтому вектор  ищем из уравнения ,

т.е.

    или   

Итак, так как , то .

 

 

        

     

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

PAGE  7


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40246. Понятие существенности в процессе аудит.проверки 39.5 KB
  проверки Существенность это вероятность того что применяемые аудиторские процедуры позволяют определить наличие ошибки в отчетности экономического субъекта и оценить их влияние на принятие соответствующих решений ее пользователями. Информация об отдельных активах обязательствах доходах расходах и хозяйственных операциях а также составляющих капитала считается существенной если ее искажение может повлиять на экономические решения пользователей принятые на основе финансовой бухгалтерской отчетности. Аудитор не может выразить мнение о...
40247. Понятие учетной политики. Задачи учетной политики 30.5 KB
  Задачи учетной политики. В ряде случаев законные и обоснованные положения приказа об учетной политике более весомы нежели письма и разъяснения Минфина РФ МНС России территориальных налоговых инспекций. Согласно Положению под учетной политикой организации понимается принятая ею совокупность способов ведения бухгалтерского учета первичного наблюдения стоимостного измерения текущей группировки и итогового обобщения фактов хозяйственной деятельности.
40248. Понятие, состав и источники формирования финансовых ресурсов 31.5 KB
  В учебной литературе так же даются различные толкования финансовых ресурсов. Впервые оно было введено при составлении первого 5 летнего плана СССР когда был составлен баланс финансовых ресурсов страны.Признаки финансовых ресурсов:1.
40249. Понятие‚ классификация и учет финансовых вложений 56 KB
  государственные м муниципальные ценные бумаги ценные бумаги других организаций в том числе долговые ценные бумаги в которых дата и стоимость погашения определена облигации векселя; 2. Это инвестиции в ценные бумаги. По видам финансовые вложения подразделяются на: взносы в уставные капиталы других организаций доли паи и приобретение акций акционерных обществ пакеты ценных бумаг; инвестиции в долговые ценные бумаги; займы предоставленные другим юридическим и физическим лицам; вклады в общее имущество по договору простого...
40250. Порядок исчисления и уплаты налога на имущество организаций 38 KB
  Объектом налогообложения для российских организаций признается движимое и недвижимое имущество включая имущество переданное во временное владение пользование распоряжение или доверительное управление внесенное в совместную деятельность учитываемое на балансе в качестве объектов основных средств в соответствии с установленным порядком ведения бухгалтерского учета Налоговая база определяется как среднегодовая стоимость имущества признаваемого объектом налогообложения. Среднегодовая стоимость имущества определяется путем деления на четыре...
40251. Порядок исчисления и уплаты налога на прибыль организаций 35 KB
  Не являются плательщиками налога на прибыль: 1.организации перешедшие на уплату единого налога на вмененный доход для определенных видов деятельности; 2. Указанные организации не освобождаются от исполнения обязанностей налогового агента и удержания сумм налога с доходов у источника выплат в соответствии с 25 главой НК.
40252. Порядок исчисления и уплаты Налога на Добавленную Стоимость 41 KB
  Сумма налога при определении налоговой базы исчисляется как соответствующая налоговой ставке процентная доля налоговой базы а при раздельном учете как сумма налога полученная в результате сложения сумм налогов исчисляемых отдельно как соответствующие налоговым ставкам процентные доли соответствующих налоговых баз. Общая сумма налога получается в результате сложения исчисленных таком образом сумм налогов. Общая сумма налога не исчисляется налогоплательщиками иностранными организациями не состоящими на учете в налоговых органах в...
40253. Порядок передачи бух и налог. учета организацией-аутсорсером 26 KB
  Текст котго подготавливается индивидуально в зависимости от объема и формы заказа. Оргции д. Интересы налогоплательщикаоргции может предоставлять в налог правоотношениях его представитель.
40254. Услуги по ведению бухгалтерского и налогового учета аутсорсером 30 KB
  Как правило ведение учета специализированной организацией ведется по следующей схеме. 6 Закона о бухгалтерском учете руководители организаций могут в зависимости от объема учетной работы: а учредить бухгалтерскую службу как структурное подразделение возглавляемое главным бухгалтером; б ввести в штат должность бухгалтера; в передать на договорных началах ведение бухгалтерского учета централизованной бухгалтерии специализированной организации или бухгалтеруспециалисту; г вести бухгалтерский учет лично. Передача бухгалтерского учета...