21445

Приведение матрицы линейного оператора к канонической (жордановой) форме

Лекция

Математика и математический анализ

Вектор называется присоединенным вектором оператора соответствующим собственному значению если для некоторого целого выполняются соотношения . Иными словами если присоединенный вектор порядка то вектор является собственным вектором оператора . Существует базис 1 образованный из собственных и присоединенных векторов оператора в котором действие оператора дается следующими соотношениями:...

Русский

2013-08-02

623.5 KB

11 чел.

Приведение матрицы линейного оператора

к канонической (жордановой) форме.

Определение.

Вектор  называется присоединенным вектором оператора , соответствующим собственному значению , если для некоторого целого  выполняются соотношения

, .

При этом число  называется порядком присоединеного вектора .

Иными словами, если  - присоединенный вектор порядка , то вектор

является собственным вектором оператора .

Имеет место следующая

Теорема.

Пусть - линейный оператор, действующий в -мерном евклидовом пространстве .

Существует базис

,                                           (1) образованный из собственных и присоединенных векторов оператора, в котором действие оператора  дается следующими соотношениями:

                                         (2)

 

Замечание 1.

Очевидно, векторы   базиса (1) являются собственными векторами оператора, соответствующими собственным значениям .

Из определения присоединенных векторов и соотношения (2) следует, что векторы    являются присоединенными векторами порядка , соответствующими собственным значениям .

(Так как ).

Замечание 2.

Поскольку по определению линейного оператора

                                     , ,                                  (3)

то соотношения (2) действительно определяют действие оператора  в пространстве  при заданном базисе .

Замечание 3.

Матрица  линейного оператора  в базисе  имеет следующий клеточный вид ,                                                                   (4)

где клетка  представляет собой следующую матрицу

 

                        .                                                    (5)

Замечание 4.

Форма (4) матрицы  линейного оператора  называется жордановой формой матрицы этого оператора.  называется жордановой клеткой матрицы .

Замечание 5.

Жорданова форма (4) матрицы определена с точностью до порядка расположения клеток , который определяется порядком нумерации собственных значений .

Доказательство.

Применим метод индукции.

При  утверждение теоремы очевидно.

Пусть  и теорема верна для пространств размерности, меньшей .

Докажем, что при этом предположении она верна и для пространств размерности .

Пусть  - собственное значение оператора, т.е.  является корнем характеристического уравнения . Таким образом, ранг  линейного оператора

                                                                                                   (6)

меньше  

Линейный оператор  отображает пространство  на подпространство . Поэтому оператор  отображает подпространство  размерности  в это же подпространство (для  линейного оператора   и  - инвариантные подпространства оператора , т.е. если , то и ).

По предположению индукции в  есть базис

,  ,                                              (7)

в котором действие оператора  из  задается соотношениями

                                            ,

                          ,  .                       (8)

Таким образом, в этом базисе матрица  оператора  (символом  обозначается оператор , действующий из  в ), действующего из  в , имеет следующий клеточный вид:

                  ,    .               (9)

Пусть лишь первые   собственных значений оператора  равны нулю.

Так как ранг каждой клетки (см. (9)), для которой , равен , а ранг клетки, для которой , равен , то, согласно (7), ранг матрицы  равен . Поэтому размерность пространства  равна  , но , следовательно  и  представляет собой линейную оболочку векторов . Эти векторы в силу линейной независимости образуют базис в. Очевидно, . Дополним базис  в  до базиса в  векторами , ,  (размерность  равна ).

Так как , то

                                                     .                                                (10)

Обратимся теперь к векторам , . Поскольку эти векторы принадлежат , то существуют такие векторы , что

                                            , .                                    (11)

Докажем теперь, что векторы

                               ,

                                     ,                                   (12)

линейно независимы.

Рассмотрим следующую равную нулю линейную комбинацию  этих векторов:

                                              (13)

и подействуем оператором  на , тогда, с учетом (8), (10) и (11), получим:

                  .           (14)

Полученное соотношение представляет собой равную нулю линейную комбинацию базисных векторов , поэтому коэффициенты при указанных векторах в рассматриваемой линейной комбинации равны нулю. Поскольку  при , то из (14) следует, что коэффициенты при   равны в точности , следовательно, . Отсюда и из соотношения (13) имеем

                                   ,                               (15)

из которых следует, что вектор , представляющий собой линейную комбинацию векторов , составляющих часть базиса в , сам принадлежит.

С другой стороны, из (15) вытекает, что  представляет собой линейную комбинацию векторов , т.е. . Следовательно,   (так как ), и поэтому .

Так как линейные оболочки наборов векторов  и  имеют общим лишь нулевой элемент (эти наборы вместе образуют базис в ) и поскольку  принадлежит каждой из упомянутых  линейных оболочек, то  Но тогда из (15) следует, что   и   .

Итак, все коэффициенты в линейной комбинации (13) векторов (12) равны нулю, т.е. векторы (12) линейно независимы. 

Общее число векторов (12) равно . Так как  (это было установлено выше), то общее число векторов (12) равно , т.е. они образуют базис в . Обозначим

                                                                                                     (16)

и запишем векторы этого базиса в следующей последовательности серий:

                                     

                                     , ;                             (17)

                                    ,  

Рассмотрим действие оператора  на векторы базиса (17). В соответствии с (8), (10), (11) и (16) имеем

, ,

, ,

, ,

,  , .

Таким образом, в базисе (17) оператор  действует по правилу (2), указанному в формулировке теоремы. Но тогда в этом базисе и оператор  действует по тому же правилу. Теорема доказана.                   

Пример 1.

В некотором базисе матрица оператора  имеет вид .

Построим жорданов базис*).

.

,

 , , т.е. , ,

, т.е. .

Если , то ,

*) Пусть  - корень характеристического уравнения   кратности , а  - ранг матрицы , тогда количество линейно независимых собственных векторов равно , а присоединенных .

, т.е. , ; ,

; ,

таким образом, .

Пример 2.

 

   1 собственный вектор и 2 присоединенных.

, , т.е.

.

          

; ;

   

,  ;

;  

 те же векторы, что и у , но

, поэтому вектор  ищем из уравнения ,

т.е.

    или   

Итак, так как , то .

 

 

        

     

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

PAGE  7


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34077. Порядок предоставления земельных участков для строительства 28.5 KB
  Предоставление земельного участка для строительства без предварительного согласования места размещения объекта осуществляется в следующем порядке: проведение работ по формированию земельного участка подготовка проекта границ земельного участка и установление его границ на местности; определение разрешенного использования земельного участка; определение технических условий подключения объектов к сетям инженернотехнического обеспечения; принятие решения о проведении торгов конкурсов аукционов или предоставлении земельных участков без...
34078. Особенности предоставления земельных участков для жилищного строительства 30 KB
  Все другие условия предоставления земельного участка и развития застроенной территории определяются договором о развитии застроенной территории который заключается между лицом подавшим заявление о предоставлении участка и соответствующим органом местного самоуправления. Согласованный и подписанный сторонами договор является основанием для принятия органом местного самоуправления решения о предоставлении земельного участка. Указанное решение является основанием для формирования земельного участка и проведения его государственного кадастрового...
34079. Понятие и общая характеристика земельного процесса 54.5 KB
  Понятие и общая характеристика земельного процесса. Каждому разделу материальноправовых норм земельного права соответствуют процессуальные земельноправовые нормы. Установлен порядок возбуждения дела о предоставлении земельного участка определены органы и сроки рассмотрения ходатайства порядок подготовки документации об изъятии и предоставлении участка форма и содержание принятого решения права и обязанности сторон при рассмотрении вопроса и др. Виды земельного процесса Основания классификации земельного процесса Каждой...
34080. Понятие и признаки права собственности на землю в РФ 54 KB
  Понятие и признаки права собственности на землю в РФ. Право собственности является наиболее полным по содержанию правом на имущество. Выступая в качестве объекта права собственности земля приобретает особенные правовые черты она становится имуществом или вещью тем предметом гражданского а теперь и земельного права который отличают особые юридические признаки. Право собственности на землю в России и реформа Современная правовая ситуация в России характерна тем что земельные проблемы и в особенности проблемы права собственности на землю...
34081. Право государственной и муниципальной собственности на землю 36 KB
  Право государственной и муниципальной собственности на землю. Особенность субъектов государственной собственности в том что они обладают правом территориального верховенства. В соответствии с ГК в государственной собственности находятся все земли за исключением земель находящихся в муниципальной или частной собственности презумпция государственной собственности на землю. Порядок разграничения государственной собственности на землю определяется Земельным кодексом Законом â€œО введении в действие Земельного кодекса†Закона “О...
34082. Право частной собственности на земельные участки: общая характеристика, субъекты права собственности 31.5 KB
  Право частной собственности на земельные участки: общая характеристика субъекты права собственности. Частная собственность на земельные участки. Исключения: иностранцы лица без гражданства а также российские юридические лица в уставном складочном которых доля иностранцев и лиц без гражданства более 50 могут использовать земли сельскохозяйственного назначения только на праве аренды ФЗ â€œОб обороте земель сельскохозяйственного назначенияâ€; земельные участки расположенные на территории ЗАТО могут приобретать российские...
34083. Содержание права частной собственности на землю. Объект права частной собственности 30 KB
  Содержание права частной собственности на землю. Объект права частной собственности. Право собственности является наиболее обширным по объему правом на вещь. Римские юристы не оставили точного определения права собственности но упоминали об основных правомочиях собственника.
34084. Разграничение государственной собственности на землю 27.5 KB
  Разграничение государственной собственности на землю. 214 ГК РФ государственная собственность имущество принадлежащее на праве собственности Российской Федерации федеральная собственность и имущество принадлежащее на праве собственности субъектам Российской Федерации собственностьсубъектов Российской Федерации. Таким образом субъектами права государственной собственности являются Российская Федерация республики края области города федерального значения автономная область автономные округа.Поскольку объектами любых прав...
34085. Понятие и общая характеристика приватизации земель в Российской Федерации 25 KB
  Приватизация земельных участков может осуществляться одновременно с приватизацией расположенных на нем объектов недвижимости на основании положений Земельного кодекса РФ ФЗ от 21 декабря 2001 г. 3 ФЗ О введении в действие Земельного кодекса Российской Федерации. Приватизация земельных участков может производиться путем продажи их на аукционе или конкурсе продажи посредством публичного предложения или без объявления цены путем внесения земельного участка в качестве вклада в уставный капитал открытого акционерного общества. Цена выкупа...