21445

Приведение матрицы линейного оператора к канонической (жордановой) форме

Лекция

Математика и математический анализ

Вектор называется присоединенным вектором оператора соответствующим собственному значению если для некоторого целого выполняются соотношения . Иными словами если присоединенный вектор порядка то вектор является собственным вектором оператора . Существует базис 1 образованный из собственных и присоединенных векторов оператора в котором действие оператора дается следующими соотношениями:...

Русский

2013-08-02

623.5 KB

11 чел.

Приведение матрицы линейного оператора

к канонической (жордановой) форме.

Определение.

Вектор  называется присоединенным вектором оператора , соответствующим собственному значению , если для некоторого целого  выполняются соотношения

, .

При этом число  называется порядком присоединеного вектора .

Иными словами, если  - присоединенный вектор порядка , то вектор

является собственным вектором оператора .

Имеет место следующая

Теорема.

Пусть - линейный оператор, действующий в -мерном евклидовом пространстве .

Существует базис

,                                           (1) образованный из собственных и присоединенных векторов оператора, в котором действие оператора  дается следующими соотношениями:

                                         (2)

 

Замечание 1.

Очевидно, векторы   базиса (1) являются собственными векторами оператора, соответствующими собственным значениям .

Из определения присоединенных векторов и соотношения (2) следует, что векторы    являются присоединенными векторами порядка , соответствующими собственным значениям .

(Так как ).

Замечание 2.

Поскольку по определению линейного оператора

                                     , ,                                  (3)

то соотношения (2) действительно определяют действие оператора  в пространстве  при заданном базисе .

Замечание 3.

Матрица  линейного оператора  в базисе  имеет следующий клеточный вид ,                                                                   (4)

где клетка  представляет собой следующую матрицу

 

                        .                                                    (5)

Замечание 4.

Форма (4) матрицы  линейного оператора  называется жордановой формой матрицы этого оператора.  называется жордановой клеткой матрицы .

Замечание 5.

Жорданова форма (4) матрицы определена с точностью до порядка расположения клеток , который определяется порядком нумерации собственных значений .

Доказательство.

Применим метод индукции.

При  утверждение теоремы очевидно.

Пусть  и теорема верна для пространств размерности, меньшей .

Докажем, что при этом предположении она верна и для пространств размерности .

Пусть  - собственное значение оператора, т.е.  является корнем характеристического уравнения . Таким образом, ранг  линейного оператора

                                                                                                   (6)

меньше  

Линейный оператор  отображает пространство  на подпространство . Поэтому оператор  отображает подпространство  размерности  в это же подпространство (для  линейного оператора   и  - инвариантные подпространства оператора , т.е. если , то и ).

По предположению индукции в  есть базис

,  ,                                              (7)

в котором действие оператора  из  задается соотношениями

                                            ,

                          ,  .                       (8)

Таким образом, в этом базисе матрица  оператора  (символом  обозначается оператор , действующий из  в ), действующего из  в , имеет следующий клеточный вид:

                  ,    .               (9)

Пусть лишь первые   собственных значений оператора  равны нулю.

Так как ранг каждой клетки (см. (9)), для которой , равен , а ранг клетки, для которой , равен , то, согласно (7), ранг матрицы  равен . Поэтому размерность пространства  равна  , но , следовательно  и  представляет собой линейную оболочку векторов . Эти векторы в силу линейной независимости образуют базис в. Очевидно, . Дополним базис  в  до базиса в  векторами , ,  (размерность  равна ).

Так как , то

                                                     .                                                (10)

Обратимся теперь к векторам , . Поскольку эти векторы принадлежат , то существуют такие векторы , что

                                            , .                                    (11)

Докажем теперь, что векторы

                               ,

                                     ,                                   (12)

линейно независимы.

Рассмотрим следующую равную нулю линейную комбинацию  этих векторов:

                                              (13)

и подействуем оператором  на , тогда, с учетом (8), (10) и (11), получим:

                  .           (14)

Полученное соотношение представляет собой равную нулю линейную комбинацию базисных векторов , поэтому коэффициенты при указанных векторах в рассматриваемой линейной комбинации равны нулю. Поскольку  при , то из (14) следует, что коэффициенты при   равны в точности , следовательно, . Отсюда и из соотношения (13) имеем

                                   ,                               (15)

из которых следует, что вектор , представляющий собой линейную комбинацию векторов , составляющих часть базиса в , сам принадлежит.

С другой стороны, из (15) вытекает, что  представляет собой линейную комбинацию векторов , т.е. . Следовательно,   (так как ), и поэтому .

Так как линейные оболочки наборов векторов  и  имеют общим лишь нулевой элемент (эти наборы вместе образуют базис в ) и поскольку  принадлежит каждой из упомянутых  линейных оболочек, то  Но тогда из (15) следует, что   и   .

Итак, все коэффициенты в линейной комбинации (13) векторов (12) равны нулю, т.е. векторы (12) линейно независимы. 

Общее число векторов (12) равно . Так как  (это было установлено выше), то общее число векторов (12) равно , т.е. они образуют базис в . Обозначим

                                                                                                     (16)

и запишем векторы этого базиса в следующей последовательности серий:

                                     

                                     , ;                             (17)

                                    ,  

Рассмотрим действие оператора  на векторы базиса (17). В соответствии с (8), (10), (11) и (16) имеем

, ,

, ,

, ,

,  , .

Таким образом, в базисе (17) оператор  действует по правилу (2), указанному в формулировке теоремы. Но тогда в этом базисе и оператор  действует по тому же правилу. Теорема доказана.                   

Пример 1.

В некотором базисе матрица оператора  имеет вид .

Построим жорданов базис*).

.

,

 , , т.е. , ,

, т.е. .

Если , то ,

*) Пусть  - корень характеристического уравнения   кратности , а  - ранг матрицы , тогда количество линейно независимых собственных векторов равно , а присоединенных .

, т.е. , ; ,

; ,

таким образом, .

Пример 2.

 

   1 собственный вектор и 2 присоединенных.

, , т.е.

.

          

; ;

   

,  ;

;  

 те же векторы, что и у , но

, поэтому вектор  ищем из уравнения ,

т.е.

    или   

Итак, так как , то .

 

 

        

     

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

PAGE  7


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79508. Содержание диагностической работы в школе 31.17 KB
  Во взаимодействии с детьми в рамках модели сопровождения предусмотрены два вида диагностической работы: диагностические минимумы и углубленное обследование детей по результатам диагностических минимумов дети группы риска. В целом система диагностических минимумов представлена в следующем виде: Обследование дошкольников на этапе приема в школу. Обследование первоклассников на этапе адаптации. Обследование третьеклассников на этапе окончания начальной школы.
79511. Структура психологической службы 30.76 KB
  Психологический кабинет управления образованием районный городской областной; Практический психолог работающий в образовательном учреждении; Центр психологической службы образования головная организация руководящая деятельностью психологов работающих в образовательных учреждениях психологических кабинетах и специалистов всех психологических служб определенного региона. В Центр могут обращаться родители педагоги другие работники народного образования. Психологические кабинеты отделы при районных областных городских...
79512. Психологическая служба в образовательных учреждениях различного типа 32.14 KB
  Так психопрофилактика предусматривает меры по адаптации воспитанников к широкому социальному окружению за пределами детского дома школы-интерната. В процессе работы необходимо решать вопросы которые обычно не встают так остро перед психологами в массовой школе: взаимоотношений воспитанников со взрослыми и сверстниками в массовой школе с семьями учеников; взаимоотношений воспитанников с родителями и опекунами. Важно также способствовать оптимизации отношений ребенка с официальными опекунами; взаимоотношений воспитанников с шефами и...
79513. Развивающая и психокоррекционная работа 26.8 KB
  Развивающая и психокоррекционная работа может проводиться в процессе специальной работы психолога с отдельными детьми или с группами детей в русле воспитательных мероприятий с участием родителей и других родственников ребенка.
79514. Предмет школьной психологической службы 31.55 KB
  Существует много разных определений предмета школьной психологической службы но единого общепризнанного нет. Только единство этих 4х аспектов и составляет предмет школьной психологической службы. Научный аспект предполагает разработку методологических проблем школьной психологической службы.
79515. Возрастная психология как теоретическая основа курса 26.48 KB
  Мы понимаем школьную психологическую службу как интегральное образование и рассматриваем ее в трех аспектах: как одно из направлений педагогической и возрастной психологии а именно ее теоретикоприкладное направление изучающее закономерности психического развития и формирования личности школьника с целью разработки способов средств и методов профессионального применения психологических знаний в условиях современной школы научный аспект; как психологическое обеспечение всего процесса обучения и воспитания включая составление учебных...
79516. Цель психологической службы образования 29.04 KB
  Ориентация на развитие ребенка определяет основные задачи психологической службы образования: Реализация в работе с детьми возможностей резервов развития ребенка каждого возраста; Развитие индивидуальных особенностей детей интересов способностей склонностей чувств отношений увлечений жизненных планов; Создание благоприятного для развития ребенка психологического климата который определяется одной стороныорганизацией продуктивного общения детей со взрослыми и сверстниками с другой созданием для каждого ребенка на всех этапах...