21445

Приведение матрицы линейного оператора к канонической (жордановой) форме

Лекция

Математика и математический анализ

Вектор называется присоединенным вектором оператора соответствующим собственному значению если для некоторого целого выполняются соотношения . Иными словами если присоединенный вектор порядка то вектор является собственным вектором оператора . Существует базис 1 образованный из собственных и присоединенных векторов оператора в котором действие оператора дается следующими соотношениями:...

Русский

2013-08-02

623.5 KB

11 чел.

Приведение матрицы линейного оператора

к канонической (жордановой) форме.

Определение.

Вектор  называется присоединенным вектором оператора , соответствующим собственному значению , если для некоторого целого  выполняются соотношения

, .

При этом число  называется порядком присоединеного вектора .

Иными словами, если  - присоединенный вектор порядка , то вектор

является собственным вектором оператора .

Имеет место следующая

Теорема.

Пусть - линейный оператор, действующий в -мерном евклидовом пространстве .

Существует базис

,                                           (1) образованный из собственных и присоединенных векторов оператора, в котором действие оператора  дается следующими соотношениями:

                                         (2)

 

Замечание 1.

Очевидно, векторы   базиса (1) являются собственными векторами оператора, соответствующими собственным значениям .

Из определения присоединенных векторов и соотношения (2) следует, что векторы    являются присоединенными векторами порядка , соответствующими собственным значениям .

(Так как ).

Замечание 2.

Поскольку по определению линейного оператора

                                     , ,                                  (3)

то соотношения (2) действительно определяют действие оператора  в пространстве  при заданном базисе .

Замечание 3.

Матрица  линейного оператора  в базисе  имеет следующий клеточный вид ,                                                                   (4)

где клетка  представляет собой следующую матрицу

 

                        .                                                    (5)

Замечание 4.

Форма (4) матрицы  линейного оператора  называется жордановой формой матрицы этого оператора.  называется жордановой клеткой матрицы .

Замечание 5.

Жорданова форма (4) матрицы определена с точностью до порядка расположения клеток , который определяется порядком нумерации собственных значений .

Доказательство.

Применим метод индукции.

При  утверждение теоремы очевидно.

Пусть  и теорема верна для пространств размерности, меньшей .

Докажем, что при этом предположении она верна и для пространств размерности .

Пусть  - собственное значение оператора, т.е.  является корнем характеристического уравнения . Таким образом, ранг  линейного оператора

                                                                                                   (6)

меньше  

Линейный оператор  отображает пространство  на подпространство . Поэтому оператор  отображает подпространство  размерности  в это же подпространство (для  линейного оператора   и  - инвариантные подпространства оператора , т.е. если , то и ).

По предположению индукции в  есть базис

,  ,                                              (7)

в котором действие оператора  из  задается соотношениями

                                            ,

                          ,  .                       (8)

Таким образом, в этом базисе матрица  оператора  (символом  обозначается оператор , действующий из  в ), действующего из  в , имеет следующий клеточный вид:

                  ,    .               (9)

Пусть лишь первые   собственных значений оператора  равны нулю.

Так как ранг каждой клетки (см. (9)), для которой , равен , а ранг клетки, для которой , равен , то, согласно (7), ранг матрицы  равен . Поэтому размерность пространства  равна  , но , следовательно  и  представляет собой линейную оболочку векторов . Эти векторы в силу линейной независимости образуют базис в. Очевидно, . Дополним базис  в  до базиса в  векторами , ,  (размерность  равна ).

Так как , то

                                                     .                                                (10)

Обратимся теперь к векторам , . Поскольку эти векторы принадлежат , то существуют такие векторы , что

                                            , .                                    (11)

Докажем теперь, что векторы

                               ,

                                     ,                                   (12)

линейно независимы.

Рассмотрим следующую равную нулю линейную комбинацию  этих векторов:

                                              (13)

и подействуем оператором  на , тогда, с учетом (8), (10) и (11), получим:

                  .           (14)

Полученное соотношение представляет собой равную нулю линейную комбинацию базисных векторов , поэтому коэффициенты при указанных векторах в рассматриваемой линейной комбинации равны нулю. Поскольку  при , то из (14) следует, что коэффициенты при   равны в точности , следовательно, . Отсюда и из соотношения (13) имеем

                                   ,                               (15)

из которых следует, что вектор , представляющий собой линейную комбинацию векторов , составляющих часть базиса в , сам принадлежит.

С другой стороны, из (15) вытекает, что  представляет собой линейную комбинацию векторов , т.е. . Следовательно,   (так как ), и поэтому .

Так как линейные оболочки наборов векторов  и  имеют общим лишь нулевой элемент (эти наборы вместе образуют базис в ) и поскольку  принадлежит каждой из упомянутых  линейных оболочек, то  Но тогда из (15) следует, что   и   .

Итак, все коэффициенты в линейной комбинации (13) векторов (12) равны нулю, т.е. векторы (12) линейно независимы. 

Общее число векторов (12) равно . Так как  (это было установлено выше), то общее число векторов (12) равно , т.е. они образуют базис в . Обозначим

                                                                                                     (16)

и запишем векторы этого базиса в следующей последовательности серий:

                                     

                                     , ;                             (17)

                                    ,  

Рассмотрим действие оператора  на векторы базиса (17). В соответствии с (8), (10), (11) и (16) имеем

, ,

, ,

, ,

,  , .

Таким образом, в базисе (17) оператор  действует по правилу (2), указанному в формулировке теоремы. Но тогда в этом базисе и оператор  действует по тому же правилу. Теорема доказана.                   

Пример 1.

В некотором базисе матрица оператора  имеет вид .

Построим жорданов базис*).

.

,

 , , т.е. , ,

, т.е. .

Если , то ,

*) Пусть  - корень характеристического уравнения   кратности , а  - ранг матрицы , тогда количество линейно независимых собственных векторов равно , а присоединенных .

, т.е. , ; ,

; ,

таким образом, .

Пример 2.

 

   1 собственный вектор и 2 присоединенных.

, , т.е.

.

          

; ;

   

,  ;

;  

 те же векторы, что и у , но

, поэтому вектор  ищем из уравнения ,

т.е.

    или   

Итак, так как , то .

 

 

        

     

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

PAGE  7


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47767. Ситуаційний і диспозиційний підходи у психології особистості 259.5 KB
  Кожна людина у силу свої індивідуальних властивостей особливостей онтогенезу соціалізації стає самостійним суб’єктом діяльності сфера активності якого соціально обумовлена. Коли йдеться про передбачуваність поведінки то маються на увазі не окремі поведінкові реакції і не вся діяльність в цілому а вчинки і система вчинків суб’єктом яких є особистість як соціальна індивідуальність. Це система структурована за ступенем узагальненості – від зв’язків особистостісуб’єкта до всієї дійсності до зв’язків з її окремими сторонами і...
47768. Загальна характеристика царства Тварин 3.62 MB
  Амеба не має постійної форми тіла що пояснюється здатністю плазми скорочуватись та відсутністю оболонки. Цисти зовні мають різноманітні випини можуть чіплятися наприклад до тіла водоплавних птахів що сприяє поширенню виду. Ектоплазма утворює пелікулу під якою містяться дуже тонкі скоротливі волоконця – міонеми розміщені у напрямку поздовжньої осі тіла. Відрізняються кулястою формою тіла тонкими довгими псевдоніжками що розходяться від клітини радіально а також наявністю черепашки з карбонату кальцію та органічних речовин або...
47769. Житлове право. Курс лекцій 1.5 MB
  У вузькому значенні житлове право традиційно розглядається як частина цивільного права яка врегульовує правові відносини які виникають в процесі користування жилими приміщеннями. Так наприклад для відносин користування жилими приміщеннями характерним є цивільноправовий метод регулювання рівність сторін їх майнова самостійність; для відносин розподілу надання житла управління житловим фондом інших відносин організаційного та управлінського характеру – метод адміністративноправового регулювання метод владипідпорядкованості. Таким...
47770. ІНВЕСТИЦІЙНИЙ АНАЛІЗ. ОПОРНИЙ КОНСТПЕКТ ЛЕКЦІЙ 1.3 MB
  Аналіз і прогнозування фінансового стану підприємства та оцінювання його інвестиційної привабливості . Методологічні засади інвестиційного аналізу Інвестиції у виробництво та у ринки збуту створюючи умови для підвищення якості продукції мінімізації витрат збільшення обсягів продажу забезпечують підвищення конкурентоспроможності підприємства. Цілі що їх за інвестування ставить перед собою підприємство відповідають стратегічним для великих проектів і тактичним для малих проектів цілям підприємства на ринку. До таких цілей можна...
47771. Курс лекцій. Порядок розгляду господарських спорів у міжнародних судах 829 KB
  Зуєва – кандидат юридичних наук доцент кафедри цивільноправових дисциплін Академії митної служби України. 120 СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 149 ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ Докорінні зміни що сталися у політичному й економічному житті незалежної України призвели до формування принципово нової порівняно з радянським періодом системи зовнішньоекономічних зв’язків. Конституція України: Закон України від 28.
47772. Поняття і ознаки місцевого самоврядування в Україні 429.5 KB
  Поняття і ознаки місцевого самоврядування в Україні Місцеве самоврядування – це комплексне багатоаспектне явище яке ще не має досить точного і єдиного наукового визначення. Спільним для різних концепцій є розгляд місцевого самоврядування в якості основоположної засади конституційного ладу тобто в ролі одного з визначальних принципів організації та здійснення влади в суспільстві й державі який полягає у встановленні децентралізованої системи управління фінансово і організаційно відокремленої від державних органів. Конституційний принцип...
47773. ТРУДОВЕ ПРАВО. КУРС ЛЕКЦІЙ 975.5 KB
  У лекціях коротко і доступно викладено основні положення трудового права з використанням нормативноправових актів станом на 01 березня 2011 року. Загальна частина трудового права. Особлива частина трудового права. Джерелами трудового права є Кодекс законів про працю України закони та підзаконні акти України а також міжнародні акти ратифіковані Верховною Радою України.
47774. Екологія. Раціональне природокористування 1.08 MB
  Курс лекцій підготовлений відповідно до освітньо-професійної програми підготовки бакалавра напрямку 0501 – “Економіка і підприємництво” з врахуванням вимог Болонської декларації.
47775. КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З ДИСЦИПЛІНИ. ОБЛІК І ЗВІТНІСТЬ В КОРПОРАЦІЯХ 149.5 KB
  ПІДПРИЄМСТВА КОРПОРАТИВНОГО ТИПУ ТА ЇХ ВПЛИВ НА ОРГАНІЗАЦІЮ ОБЛІКУ І ФІНАНСОВОЇ ЗВІТНОСТІ. Згідно з юридичним об’єднанням підприємств: або активи та зобов’язання одного підприємства передаються іншому підприємству а перше підприємство ліквідується; б або активи та зобов’язання обох підприємств передаються новому підприємству а обидва попередні підприємства ліквідуються. 2 економічне об’єднання що є наслідком придбання поглинання за якого підприємства після об’єднання залишаються самостійними юридичними одиницями. У результаті...