21445

Приведение матрицы линейного оператора к канонической (жордановой) форме

Лекция

Математика и математический анализ

Вектор называется присоединенным вектором оператора соответствующим собственному значению если для некоторого целого выполняются соотношения . Иными словами если присоединенный вектор порядка то вектор является собственным вектором оператора . Существует базис 1 образованный из собственных и присоединенных векторов оператора в котором действие оператора дается следующими соотношениями:...

Русский

2013-08-02

623.5 KB

11 чел.

Приведение матрицы линейного оператора

к канонической (жордановой) форме.

Определение.

Вектор  называется присоединенным вектором оператора , соответствующим собственному значению , если для некоторого целого  выполняются соотношения

, .

При этом число  называется порядком присоединеного вектора .

Иными словами, если  - присоединенный вектор порядка , то вектор

является собственным вектором оператора .

Имеет место следующая

Теорема.

Пусть - линейный оператор, действующий в -мерном евклидовом пространстве .

Существует базис

,                                           (1) образованный из собственных и присоединенных векторов оператора, в котором действие оператора  дается следующими соотношениями:

                                         (2)

 

Замечание 1.

Очевидно, векторы   базиса (1) являются собственными векторами оператора, соответствующими собственным значениям .

Из определения присоединенных векторов и соотношения (2) следует, что векторы    являются присоединенными векторами порядка , соответствующими собственным значениям .

(Так как ).

Замечание 2.

Поскольку по определению линейного оператора

                                     , ,                                  (3)

то соотношения (2) действительно определяют действие оператора  в пространстве  при заданном базисе .

Замечание 3.

Матрица  линейного оператора  в базисе  имеет следующий клеточный вид ,                                                                   (4)

где клетка  представляет собой следующую матрицу

 

                        .                                                    (5)

Замечание 4.

Форма (4) матрицы  линейного оператора  называется жордановой формой матрицы этого оператора.  называется жордановой клеткой матрицы .

Замечание 5.

Жорданова форма (4) матрицы определена с точностью до порядка расположения клеток , который определяется порядком нумерации собственных значений .

Доказательство.

Применим метод индукции.

При  утверждение теоремы очевидно.

Пусть  и теорема верна для пространств размерности, меньшей .

Докажем, что при этом предположении она верна и для пространств размерности .

Пусть  - собственное значение оператора, т.е.  является корнем характеристического уравнения . Таким образом, ранг  линейного оператора

                                                                                                   (6)

меньше  

Линейный оператор  отображает пространство  на подпространство . Поэтому оператор  отображает подпространство  размерности  в это же подпространство (для  линейного оператора   и  - инвариантные подпространства оператора , т.е. если , то и ).

По предположению индукции в  есть базис

,  ,                                              (7)

в котором действие оператора  из  задается соотношениями

                                            ,

                          ,  .                       (8)

Таким образом, в этом базисе матрица  оператора  (символом  обозначается оператор , действующий из  в ), действующего из  в , имеет следующий клеточный вид:

                  ,    .               (9)

Пусть лишь первые   собственных значений оператора  равны нулю.

Так как ранг каждой клетки (см. (9)), для которой , равен , а ранг клетки, для которой , равен , то, согласно (7), ранг матрицы  равен . Поэтому размерность пространства  равна  , но , следовательно  и  представляет собой линейную оболочку векторов . Эти векторы в силу линейной независимости образуют базис в. Очевидно, . Дополним базис  в  до базиса в  векторами , ,  (размерность  равна ).

Так как , то

                                                     .                                                (10)

Обратимся теперь к векторам , . Поскольку эти векторы принадлежат , то существуют такие векторы , что

                                            , .                                    (11)

Докажем теперь, что векторы

                               ,

                                     ,                                   (12)

линейно независимы.

Рассмотрим следующую равную нулю линейную комбинацию  этих векторов:

                                              (13)

и подействуем оператором  на , тогда, с учетом (8), (10) и (11), получим:

                  .           (14)

Полученное соотношение представляет собой равную нулю линейную комбинацию базисных векторов , поэтому коэффициенты при указанных векторах в рассматриваемой линейной комбинации равны нулю. Поскольку  при , то из (14) следует, что коэффициенты при   равны в точности , следовательно, . Отсюда и из соотношения (13) имеем

                                   ,                               (15)

из которых следует, что вектор , представляющий собой линейную комбинацию векторов , составляющих часть базиса в , сам принадлежит.

С другой стороны, из (15) вытекает, что  представляет собой линейную комбинацию векторов , т.е. . Следовательно,   (так как ), и поэтому .

Так как линейные оболочки наборов векторов  и  имеют общим лишь нулевой элемент (эти наборы вместе образуют базис в ) и поскольку  принадлежит каждой из упомянутых  линейных оболочек, то  Но тогда из (15) следует, что   и   .

Итак, все коэффициенты в линейной комбинации (13) векторов (12) равны нулю, т.е. векторы (12) линейно независимы. 

Общее число векторов (12) равно . Так как  (это было установлено выше), то общее число векторов (12) равно , т.е. они образуют базис в . Обозначим

                                                                                                     (16)

и запишем векторы этого базиса в следующей последовательности серий:

                                     

                                     , ;                             (17)

                                    ,  

Рассмотрим действие оператора  на векторы базиса (17). В соответствии с (8), (10), (11) и (16) имеем

, ,

, ,

, ,

,  , .

Таким образом, в базисе (17) оператор  действует по правилу (2), указанному в формулировке теоремы. Но тогда в этом базисе и оператор  действует по тому же правилу. Теорема доказана.                   

Пример 1.

В некотором базисе матрица оператора  имеет вид .

Построим жорданов базис*).

.

,

 , , т.е. , ,

, т.е. .

Если , то ,

*) Пусть  - корень характеристического уравнения   кратности , а  - ранг матрицы , тогда количество линейно независимых собственных векторов равно , а присоединенных .

, т.е. , ; ,

; ,

таким образом, .

Пример 2.

 

   1 собственный вектор и 2 присоединенных.

, , т.е.

.

          

; ;

   

,  ;

;  

 те же векторы, что и у , но

, поэтому вектор  ищем из уравнения ,

т.е.

    или   

Итак, так как , то .

 

 

        

     

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

PAGE  7


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62089. Основы конституционного строя Российской Федерации 25.53 KB
  Цели урока: образовательные: организация совместной исследовательской деятельности учащихся для самостоятельного изучения ими основных функций органов государственной власти РФ; формирование представлений учащихся об основных функциях органов государственной власти РФ...
62090. Art/Painting 24.43 KB
  Цели урока: Практические: обобщить и систематизировать знания по теме Аrt Pаinting закрепление умений в говорении по теме Аrt Pаinting развитие умений восприятия и понимания иноязычной речи на слух Развивающие: развитие коммуникативных навыков...
62091. Твои игрушки придумал художник 549.61 KB
  Цель урока: Углубление знаний о работе с пластилином через лепку животного Задачи урока: Образовательные Воспитательные Развивающие формирование навыка работы с пластилином передача пропорций и конструкций тела лепка...
62092. Отрасли экономики. Классификация профессий 212.75 KB
  Цели урока: Воспитательная: Воспитывать толерантность по отношению друг к другу; Воспитывать уважительное отношение к труду людей; Образовательная: Ознакомить учащихся с отраслями экономики и классификаций профессий...
62093. Определение первообразной 24.38 KB
  Определение темы цели задач урока Сообщает тему цели и задачи урока. Напоминает определение производной и ее физический смысл на примере задачи о мгновенной скорости используя слайд презентации.
62094. Technology. My own invention 27.7 KB
  So today we will have the last class devoted to topic Technology and of course we couldn’t have used modern gadgets without people who had invented them. So today we’ll talk about famous inventors...
62095. Les régions de la France 18.67 KB
  Цели урока: 1) Образовательные: - формирование коммуникативных компетенций учащихся в различных аспектах языков; - формирование социокультурных знаний и умений; 2) Воспитательные: - повышение культуры речевого общения в процессе овладения принятыми правилами речевого этикета...
62096. Неравенства с одной переменной (с одним неизвестным) 40.42 KB
  Воспитательная: Воспитание целеустремленности организованности ответственности самостоятельности умение общаться. А теперь используя эти определения попробуйте ответить на следующие вопросы.
62097. Полюбуйся, весна наступает! «Как Весна Зиму поборола» (русская сказка) 25.06 KB
  Цель: познакомить учащихся со сказкой Как Весна Зиму поборола совершенствовать навыки чтения; обогащать словарный запас; работать над выразительностью чтения; усовершенствовать умения анализировать сравнивать понимать текст прочитанного способствовать...