21446

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Лекция

Математика и математический анализ

Функция называется решением (или интегралом) д.у., если она раз непрерывно дифференцируема на некотором интервале и при удовлетворяет уравнению. Процесс нахождения решения д.у. называется его интегрированием...

Русский

2013-08-02

438.5 KB

4 чел.

Лекция 1.

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Общие понятия. Примеры.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями (о.д.у.) называются уравнения вида:

                                                      (1)

где -известная функция,  независимая переменная,  неизвестная функция.

Порядком дифференциального уравнения (д.у.) называется наивысший порядок производной функции , входящей в уравнение.

Функция   называется решением (или интегралом) д.у. (1), если она  раз непрерывно дифференцируема на некотором интервале  и при  удовлетворяет уравнению. Процесс нахождения решения д.у. называется его интегрированием .

Пример 1. Пусть  непрерывная на интервале  функция ,  её первообразная, тогда

                                                                                (2)

т.е. для отыскания первообразной мы имеем о.д.у. I-ого порядка. Его решения:

          ,        

где   произвольная постоянная.

Д.у. (2) имеет бесчисленное множество решений и это справедливо для всех о.д.у. Чтобы выделить единственное решение уравнения (2), достаточно задать значение первообразной   в какой-либо точке, например, . Тогда решение единственно и равно

             

Основные элементарные функции являются решениями о.д.у.

Пример 2.

Уравнение:

                                                                     (3)   

имеет решения  что легко проверить. Функция  удовлетворяет условиям  а  удовлетворяет условиям

К о.д.у. приводят многие задачи естествознания.

Пример 3.

Движение материальной точки массы  описывается II законом Ньютона . Если точка движется по оси  и - её положение в момент времени , то функция  удовлетворяет о.д.у. II-ого порядка:

                                                          (4)

Чтобы найти единственное решение уравнения (4), необходимо  задать начальные данные

                                                               (5)

  Если задача об отыскании всех решений о.д.у. сводится к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций и к алгебраическим операциям, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. Класс таких уравнений узок, Поэтому для исследования д.у. как правило применяются приближенные и численные методы.

         Пример 4.

Модель типа хищник-жертва. Рассмотрим динамику популяции 2-х видов, взаимодействующих между собой по типу хищник-жертва. При этом предполагается, что жертва может найти достаточно пищи, но и при каждой встрече с хищником последний убивает жертву.

Пусть  и - соответственно количество жертв и хищников в момент времени . Пусть также коэффициент рождаемости жертв  и коэффициент естественной смертности (т.е. без учета уничтожения хищником)  являются константами, причем . Таким образом, в отсутствие хищников популяция жертв будет расти  со скоростью . Кроме того, предположим, что число случаев, когда хищник убивает жертву зависит от вероятности их встречи и, следовательно, пропорционально произведению .

Таким образом, популяция жертв удовлетворяет следующему д.у.:

где   , а

Относительно хищников предположим, что их число при отсутствии жертв по естественным причинам убывает со скоростью . В результате  встреч с жертвами число хищников увеличивается. Таким образом, имеем уравнение:

 

где   , а

Итак, модель хищник-жертва сводится к системе 2-х нелинейных о.д.у.

                                                   (a)

0, 0, 0, 0. Это уравнения Лотки-Вольтерра. Система должна быть дополнена начальными условиями

 .                                                               (b)

Явное аналитическое решение задачи (a), (b) неизвестно. Рассмотрим метод решения этой задачи, основанный на теории возмущений.

Первый шаг состоит в нахождении стационарных состояний (, ) или точек равновесия. Эти точки находятся из условий:

 

откуда

.                                                  (с)

Кроме того, точкой равновесия будет так называемое тривиальное решение или точка покоя

     .

Разложим правые части уравнений (а) в ряды Тейлора в окрестности точки (,). С учетом (с) получим

 .

Таким образом, в окрестности этой точки исходные уравнения (а) можно аппроксимировать линейными

                                                                      (d)

Положим

      

Тогда система (d) примет вид:

                                                                           (e)

Продифференцируем по t, например, I-е уравнение  и подставим в него второе

                  .

Легко проверить, что общим решением этого уравнения является

                      ,                                       (f)

где  и  - const, определяемые из начальных условий (b). Из (e) получаем:

                       .                  (g)

Исключая из (f) и (g) время, имеем:

                                       

Возвращаясь к исходным обозначениям

                          ,                                                   (h)   

где мы обозначили.

Соотношение (h) – это уравнение эллипсов (в зависимости от с2, т.е. от начальных условий) с центром в точке ).

Стрелки указывают направление, соответствующее возрастанию времени. Из (d) видно, что при , растет  (т.к. >0) и наоборот.

Видно, что изменение популяций носит циклический характер: через определенное время популяция возвращается к первоначальному уровню.

Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной.

      Такого рода уравнение имеет вид:

                                                                                     (6)

В дальнейшем будет доказано, что при некоторых ограничениях, налагаемых на функцию  уравнение (6) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию:

                                      .

Его общее решение, содержащее все без исключения решения, зависит от одной произвольной постоянной.

Дифференциальное уравнение  устанавливает зависимость между координатами точки и угловым коэффициентом касательной  к графику решения в этой точке. Зная x и y, можно вычислить . Следовательно, дифференциальное уравнение рассматриваемого вида определяет поле направлений и задача интегрирования д.у. заключается в том, чтобы найти кривые, называемые интегральными кривыми1, направление касательных, к которым в каждой точке совпадает с направлением поля. Пример 5.

                          

Для построения поля направлений найдем геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым сохраняют постоянное значение. Такие линии называются изоклинами. Уравнение изоклин получим, считая, что

                                ,

где k- постоянная. Таким образом,

                        ,

т.е. в данном случае изоклинами являются окружности с центром в начале координат, причем угловой коэффициент касательной к искомым интегральным кривым равен радиусу этих окружностей. Для построения поля направлений дадим постоянной k некоторые определенные значения. После этого можно приближенно провести искомые интегральные кривые.

      Пример 6.

                          

Изоклинами являются гиперболы или причем при k=1 гипербола распадается на пару прямых x=0 и y=0. При k=0 получаем изоклину ; эта гипербола разбивает плоскость на

части, в каждой из которых y сохраняет постоянный знак. Интегральные кривые  пересекая гиперболу

переходят из области возрастания функции y(x) в область её убывания или наоборот, и, следовательно, на ветвях этой гиперболы расположены точки максимума и минимума интегральных кривых.

Определим теперь знаки второй производной в различных областях плоскости:

    или        

Кривая    или

                          (7)

разбивает плоскость на две части, в одной из которых y<0, и, следовательно, интегральные кривые выпуклы вверх, а в другой y>0, и значит, инте

гральные кривые выпуклы вниз. При переходе через кривую (7)

интегральные кривые переходят от выпуклости к вогнутости, и, следовательно, на этой кривой расположены точки перегиба интегральных кривых.

В результате проведенного исследования известны области возрастания и убывания интегральных кривых, известно расположение точек максимума и минимума, известны области выпуклости и вогнутости и расположение точек перегиба, известна изоклина k=1. Этих сведений вполне достаточно для того, чтобы сделать набросок расположения интегральных кривых.

      Рассмотрим некоторые уравнения I порядка, которые интегрируются в квадратурах.

  1.  Уравнение с разделяющимися переменными.

Это уравнения вида:

                         

                                                                                     (13)

будем считать, что функции ,   непрерывны при , а, кроме того ,  т.к. если при , , то из (13) следует, что  есть решение.

Запишем уравнение (13) в виде:

                   

и проинтегрируем

                                                                     (14)

это и есть общее решение уравнения (13).

Пример 7.

                   .

Здесь

          ,

так что , где С - произвольная постоянная. Есть еще решение y0.

Решением задачи Коши

при  

здесь будет:

 .

  1.  Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

а) Рассмотрим уравнение

 ,

где  .

Перейдем к новым переменным , в результате получим

                    т.е.       

или

       

т.е. переменные разделились. Интегрируя, получим:

                   

б) Рассмотрим теперь однородное д.у. I порядка

     

однородная функция нулевого порядка, т.е.  

                 

Положим , т.е. , тогда

 

  .   

в) Уравнение вида

 

будет однородным, если

 ,

т.е. ,однородные функции одного порядка, (), и будет уравнением с разделяющимися переменными, если

                       .

1) Пусть  –это решение уравнения (6) на отрезке [a,b] оси х. График этой функции   называется интегральной кривой уравнения (6).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52365. Розгортання національно-визвольної боротьби в 1648-1649 роках 77 KB
  Методи: розповідь учителя відкритий мікрофон снігова куля робота з підручником джерелами бесіда. Робота з епіграфом. Робота з картою Завдання: Користуючись картою визначте напрямок руху повстанської армії після перемоги під Корсунем. Робота з посібником Буштрук О.
52366. Стежинами ботанічних садів 454.5 KB
  Своєрідною визитівкою цього ботанічного саду є Сирінгарій сад бузків. Колекція рослин саду налічує 30 тисяч видів гібридів і сортів рослин практично всіх країн світу. Так у Нікітському ботанічному саду ростуть 11 дерев секвойї гігантської. Але не лише екзотичні дерева вражають відвідувачів Нікітського ботанічного саду.
52367. ШКОЛА УКРАЇНСЬКИХ МОНУМЕНТАЛІСТІВ МИХАЙЛА БОЙЧУКА 72 KB
  Мета: Ознайомити учнів із художньою спадщиною української школи монументалістів Михайла Бойчука Завдання: навчальні: формувати навички художньої самоосвіти навчити розуміти особливості часу та особистості через мову живопису набуття досвіду щодо створення художніх образів у процесі практичної діяльності розвивати художньо образне мислення навчити розрізняти різні техніки живопису та характерні особливості мистецьких стилів різних епох; Розвивальні: збагачення емоційно естетичного досвіду формування культури почуттів стимулювання...
52368. Огонь Прометея. Брейн-ринг для учащихся 5-7 классов 56 KB
  Эпиграф: Чтобы в ваш дом не пришла беда Будь с огнем осторожен всегда надпись на агитационном плакате по противопожарной безопасности Он всегда бывает разным Удивительный огонь: То буяном безобразным То тихоней из тихонь. Огонь ...
52369. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Урок-соревнование «брейн-ринг» в 6 классе 32 KB
  Особыми будут правила: кто первый выполняет задание звонит в колокольчик; первые 3 команд ответившие получают по баллу; после отведенного времени каждая команда сдает карточки на проверку. Каждая команда получает карточку с заданием. Задание1 30 секунд устно как сравнить дроби с разными знаменателями что значит сократить дроби Задание2 1 мин 30 секунд письменно. Задание 3 2 мин 30 секунд в первый час пешеход прошел 1 3 всего расстояния которое он должен пройти во второй час 2 5 всего пути а в третий остальную часть...
52370. Брейн - ринг з української мови 60.5 KB
  Мета: закріпити знання учнів з української мори з теми «Слово», навчити мислити творчо. Розвивати уміння аналізувати, синтезувати і систематизувати слова, а також розвивати звязне мовлення. Виховувати повагу до рідної мови, дружбу, згуртованість, бажання змагатись і перемагати у чесній грі.
52371. Брейн-ринг. Мій край - історія моя 109 KB
  Закінчи логічний ланцюжок: село місто район Назва науки що вивчає монети. Місто в Донеччині в якому видобувають 95 солі України.Впізнайте назву міста: 1 Це місто обласний центр північний сусід Донецька. 3 бали 2 Це місто разом з Донецьком Києвом та Львовом прийматиме Євро 2012.
52372. Створення мультимедійної заготовки презентації для проведення позакласного заходу «Інформаційний Брейн-ринг». 1.97 MB
  Брейн-ринг – відома телевізійна гра, в основі якої лежить змагання, де стартом є складне цікаве запитання, а фінішем – правильна відповідь. Необхідно зуміти швидко зреагувати, адже час прийняття рішення обмежений.
52373. КИРИЛО-МЕФОДІЄВСЬКЕ БРАТСТВО 100.5 KB
  Основні поняття і терміни: українська національна ідея ідея відродження братчики федерація КирилоМефодієвське братство політична організація республіка. підручник програмні документи схема КирилоМефодієвське братство пісня про Україну плакат Мої роздуми про тебеУкраїно мультимедійна презентація портрети братчиків. Учитель: Шановні діти Тема нашого уроку сьогодні КирилоМефодієвське братство Епіграфом до нашого уроку будуть слова Михайла Сергійовича Грушевського: Від КирилоМефодієського братства веде свою історію весь...