21446

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Лекция

Математика и математический анализ

Функция называется решением (или интегралом) д.у., если она раз непрерывно дифференцируема на некотором интервале и при удовлетворяет уравнению. Процесс нахождения решения д.у. называется его интегрированием...

Русский

2013-08-02

438.5 KB

3 чел.

Лекция 1.

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Общие понятия. Примеры.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями (о.д.у.) называются уравнения вида:

                                                      (1)

где -известная функция,  независимая переменная,  неизвестная функция.

Порядком дифференциального уравнения (д.у.) называется наивысший порядок производной функции , входящей в уравнение.

Функция   называется решением (или интегралом) д.у. (1), если она  раз непрерывно дифференцируема на некотором интервале  и при  удовлетворяет уравнению. Процесс нахождения решения д.у. называется его интегрированием .

Пример 1. Пусть  непрерывная на интервале  функция ,  её первообразная, тогда

                                                                                (2)

т.е. для отыскания первообразной мы имеем о.д.у. I-ого порядка. Его решения:

          ,        

где   произвольная постоянная.

Д.у. (2) имеет бесчисленное множество решений и это справедливо для всех о.д.у. Чтобы выделить единственное решение уравнения (2), достаточно задать значение первообразной   в какой-либо точке, например, . Тогда решение единственно и равно

             

Основные элементарные функции являются решениями о.д.у.

Пример 2.

Уравнение:

                                                                     (3)   

имеет решения  что легко проверить. Функция  удовлетворяет условиям  а  удовлетворяет условиям

К о.д.у. приводят многие задачи естествознания.

Пример 3.

Движение материальной точки массы  описывается II законом Ньютона . Если точка движется по оси  и - её положение в момент времени , то функция  удовлетворяет о.д.у. II-ого порядка:

                                                          (4)

Чтобы найти единственное решение уравнения (4), необходимо  задать начальные данные

                                                               (5)

  Если задача об отыскании всех решений о.д.у. сводится к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций и к алгебраическим операциям, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. Класс таких уравнений узок, Поэтому для исследования д.у. как правило применяются приближенные и численные методы.

         Пример 4.

Модель типа хищник-жертва. Рассмотрим динамику популяции 2-х видов, взаимодействующих между собой по типу хищник-жертва. При этом предполагается, что жертва может найти достаточно пищи, но и при каждой встрече с хищником последний убивает жертву.

Пусть  и - соответственно количество жертв и хищников в момент времени . Пусть также коэффициент рождаемости жертв  и коэффициент естественной смертности (т.е. без учета уничтожения хищником)  являются константами, причем . Таким образом, в отсутствие хищников популяция жертв будет расти  со скоростью . Кроме того, предположим, что число случаев, когда хищник убивает жертву зависит от вероятности их встречи и, следовательно, пропорционально произведению .

Таким образом, популяция жертв удовлетворяет следующему д.у.:

где   , а

Относительно хищников предположим, что их число при отсутствии жертв по естественным причинам убывает со скоростью . В результате  встреч с жертвами число хищников увеличивается. Таким образом, имеем уравнение:

 

где   , а

Итак, модель хищник-жертва сводится к системе 2-х нелинейных о.д.у.

                                                   (a)

0, 0, 0, 0. Это уравнения Лотки-Вольтерра. Система должна быть дополнена начальными условиями

 .                                                               (b)

Явное аналитическое решение задачи (a), (b) неизвестно. Рассмотрим метод решения этой задачи, основанный на теории возмущений.

Первый шаг состоит в нахождении стационарных состояний (, ) или точек равновесия. Эти точки находятся из условий:

 

откуда

.                                                  (с)

Кроме того, точкой равновесия будет так называемое тривиальное решение или точка покоя

     .

Разложим правые части уравнений (а) в ряды Тейлора в окрестности точки (,). С учетом (с) получим

 .

Таким образом, в окрестности этой точки исходные уравнения (а) можно аппроксимировать линейными

                                                                      (d)

Положим

      

Тогда система (d) примет вид:

                                                                           (e)

Продифференцируем по t, например, I-е уравнение  и подставим в него второе

                  .

Легко проверить, что общим решением этого уравнения является

                      ,                                       (f)

где  и  - const, определяемые из начальных условий (b). Из (e) получаем:

                       .                  (g)

Исключая из (f) и (g) время, имеем:

                                       

Возвращаясь к исходным обозначениям

                          ,                                                   (h)   

где мы обозначили.

Соотношение (h) – это уравнение эллипсов (в зависимости от с2, т.е. от начальных условий) с центром в точке ).

Стрелки указывают направление, соответствующее возрастанию времени. Из (d) видно, что при , растет  (т.к. >0) и наоборот.

Видно, что изменение популяций носит циклический характер: через определенное время популяция возвращается к первоначальному уровню.

Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной.

      Такого рода уравнение имеет вид:

                                                                                     (6)

В дальнейшем будет доказано, что при некоторых ограничениях, налагаемых на функцию  уравнение (6) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию:

                                      .

Его общее решение, содержащее все без исключения решения, зависит от одной произвольной постоянной.

Дифференциальное уравнение  устанавливает зависимость между координатами точки и угловым коэффициентом касательной  к графику решения в этой точке. Зная x и y, можно вычислить . Следовательно, дифференциальное уравнение рассматриваемого вида определяет поле направлений и задача интегрирования д.у. заключается в том, чтобы найти кривые, называемые интегральными кривыми1, направление касательных, к которым в каждой точке совпадает с направлением поля. Пример 5.

                          

Для построения поля направлений найдем геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым сохраняют постоянное значение. Такие линии называются изоклинами. Уравнение изоклин получим, считая, что

                                ,

где k- постоянная. Таким образом,

                        ,

т.е. в данном случае изоклинами являются окружности с центром в начале координат, причем угловой коэффициент касательной к искомым интегральным кривым равен радиусу этих окружностей. Для построения поля направлений дадим постоянной k некоторые определенные значения. После этого можно приближенно провести искомые интегральные кривые.

      Пример 6.

                          

Изоклинами являются гиперболы или причем при k=1 гипербола распадается на пару прямых x=0 и y=0. При k=0 получаем изоклину ; эта гипербола разбивает плоскость на

части, в каждой из которых y сохраняет постоянный знак. Интегральные кривые  пересекая гиперболу

переходят из области возрастания функции y(x) в область её убывания или наоборот, и, следовательно, на ветвях этой гиперболы расположены точки максимума и минимума интегральных кривых.

Определим теперь знаки второй производной в различных областях плоскости:

    или        

Кривая    или

                          (7)

разбивает плоскость на две части, в одной из которых y<0, и, следовательно, интегральные кривые выпуклы вверх, а в другой y>0, и значит, инте

гральные кривые выпуклы вниз. При переходе через кривую (7)

интегральные кривые переходят от выпуклости к вогнутости, и, следовательно, на этой кривой расположены точки перегиба интегральных кривых.

В результате проведенного исследования известны области возрастания и убывания интегральных кривых, известно расположение точек максимума и минимума, известны области выпуклости и вогнутости и расположение точек перегиба, известна изоклина k=1. Этих сведений вполне достаточно для того, чтобы сделать набросок расположения интегральных кривых.

      Рассмотрим некоторые уравнения I порядка, которые интегрируются в квадратурах.

  1.  Уравнение с разделяющимися переменными.

Это уравнения вида:

                         

                                                                                     (13)

будем считать, что функции ,   непрерывны при , а, кроме того ,  т.к. если при , , то из (13) следует, что  есть решение.

Запишем уравнение (13) в виде:

                   

и проинтегрируем

                                                                     (14)

это и есть общее решение уравнения (13).

Пример 7.

                   .

Здесь

          ,

так что , где С - произвольная постоянная. Есть еще решение y0.

Решением задачи Коши

при  

здесь будет:

 .

  1.  Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

а) Рассмотрим уравнение

 ,

где  .

Перейдем к новым переменным , в результате получим

                    т.е.       

или

       

т.е. переменные разделились. Интегрируя, получим:

                   

б) Рассмотрим теперь однородное д.у. I порядка

     

однородная функция нулевого порядка, т.е.  

                 

Положим , т.е. , тогда

 

  .   

в) Уравнение вида

 

будет однородным, если

 ,

т.е. ,однородные функции одного порядка, (), и будет уравнением с разделяющимися переменными, если

                       .

1) Пусть  –это решение уравнения (6) на отрезке [a,b] оси х. График этой функции   называется интегральной кривой уравнения (6).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62668. Научно-познавательные рассказы Л. Н. Толстого 21.71 KB
  Ребята как вы думаете для чего Толстой написал этот рассказ Что нового мы можем узнать из этого рассказа А теперь давайте дополним этот рассказ. Толстой был четвертым ребенком в большой дворянской семье.
62670. «Серебряный век» русской поэзии. Историко-культурная ситуация в России конца ХIХ начала ХХ века 17.33 KB
  Обучающая цель: дать представление общественно-исторической обстановки начала ХХ века под влиянием которой в России сформировались новое искусство и литература. Вид урока: урок лекция с элементами беседы Межпредметная связь: История России конец...
62671. Задача на пропорциональное деление 20.9 KB
  Работать над развитием мышления; составлять взаимно обратные задачи; выявлять закономерности; преобразовывать условия задач; научить находить разные способы решения задач. Объявление цели и задачи урока. Сегодня на уроке будем решать примеры задачи научимся решать задачу нового типа.
62674. Решение систем линейных уравнений способом сложения 74.55 KB
  Ход урока Организационный момент Здравствуйте ребята Вы готовы к уроку Кто сегодня дежурный Кто отсутствует Мотивация урока Сегодняшний урок я хотел бы начать с философской загадки Вальтера: Что самое быстрое но и самое медленное самое большое но и самое маленькое...
62676. Деление с остатком 18.95 KB
  Основные цели: Продолжать знакомиться с делением с остатком. Учить производить деление с остатком аналитическим способом через подбор наибольшего возможного неполного делимого...