21446

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Лекция

Математика и математический анализ

Функция называется решением (или интегралом) д.у., если она раз непрерывно дифференцируема на некотором интервале и при удовлетворяет уравнению. Процесс нахождения решения д.у. называется его интегрированием...

Русский

2013-08-02

438.5 KB

3 чел.

Лекция 1.

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Общие понятия. Примеры.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями (о.д.у.) называются уравнения вида:

                                                      (1)

где -известная функция,  независимая переменная,  неизвестная функция.

Порядком дифференциального уравнения (д.у.) называется наивысший порядок производной функции , входящей в уравнение.

Функция   называется решением (или интегралом) д.у. (1), если она  раз непрерывно дифференцируема на некотором интервале  и при  удовлетворяет уравнению. Процесс нахождения решения д.у. называется его интегрированием .

Пример 1. Пусть  непрерывная на интервале  функция ,  её первообразная, тогда

                                                                                (2)

т.е. для отыскания первообразной мы имеем о.д.у. I-ого порядка. Его решения:

          ,        

где   произвольная постоянная.

Д.у. (2) имеет бесчисленное множество решений и это справедливо для всех о.д.у. Чтобы выделить единственное решение уравнения (2), достаточно задать значение первообразной   в какой-либо точке, например, . Тогда решение единственно и равно

             

Основные элементарные функции являются решениями о.д.у.

Пример 2.

Уравнение:

                                                                     (3)   

имеет решения  что легко проверить. Функция  удовлетворяет условиям  а  удовлетворяет условиям

К о.д.у. приводят многие задачи естествознания.

Пример 3.

Движение материальной точки массы  описывается II законом Ньютона . Если точка движется по оси  и - её положение в момент времени , то функция  удовлетворяет о.д.у. II-ого порядка:

                                                          (4)

Чтобы найти единственное решение уравнения (4), необходимо  задать начальные данные

                                                               (5)

  Если задача об отыскании всех решений о.д.у. сводится к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций и к алгебраическим операциям, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. Класс таких уравнений узок, Поэтому для исследования д.у. как правило применяются приближенные и численные методы.

         Пример 4.

Модель типа хищник-жертва. Рассмотрим динамику популяции 2-х видов, взаимодействующих между собой по типу хищник-жертва. При этом предполагается, что жертва может найти достаточно пищи, но и при каждой встрече с хищником последний убивает жертву.

Пусть  и - соответственно количество жертв и хищников в момент времени . Пусть также коэффициент рождаемости жертв  и коэффициент естественной смертности (т.е. без учета уничтожения хищником)  являются константами, причем . Таким образом, в отсутствие хищников популяция жертв будет расти  со скоростью . Кроме того, предположим, что число случаев, когда хищник убивает жертву зависит от вероятности их встречи и, следовательно, пропорционально произведению .

Таким образом, популяция жертв удовлетворяет следующему д.у.:

где   , а

Относительно хищников предположим, что их число при отсутствии жертв по естественным причинам убывает со скоростью . В результате  встреч с жертвами число хищников увеличивается. Таким образом, имеем уравнение:

 

где   , а

Итак, модель хищник-жертва сводится к системе 2-х нелинейных о.д.у.

                                                   (a)

0, 0, 0, 0. Это уравнения Лотки-Вольтерра. Система должна быть дополнена начальными условиями

 .                                                               (b)

Явное аналитическое решение задачи (a), (b) неизвестно. Рассмотрим метод решения этой задачи, основанный на теории возмущений.

Первый шаг состоит в нахождении стационарных состояний (, ) или точек равновесия. Эти точки находятся из условий:

 

откуда

.                                                  (с)

Кроме того, точкой равновесия будет так называемое тривиальное решение или точка покоя

     .

Разложим правые части уравнений (а) в ряды Тейлора в окрестности точки (,). С учетом (с) получим

 .

Таким образом, в окрестности этой точки исходные уравнения (а) можно аппроксимировать линейными

                                                                      (d)

Положим

      

Тогда система (d) примет вид:

                                                                           (e)

Продифференцируем по t, например, I-е уравнение  и подставим в него второе

                  .

Легко проверить, что общим решением этого уравнения является

                      ,                                       (f)

где  и  - const, определяемые из начальных условий (b). Из (e) получаем:

                       .                  (g)

Исключая из (f) и (g) время, имеем:

                                       

Возвращаясь к исходным обозначениям

                          ,                                                   (h)   

где мы обозначили.

Соотношение (h) – это уравнение эллипсов (в зависимости от с2, т.е. от начальных условий) с центром в точке ).

Стрелки указывают направление, соответствующее возрастанию времени. Из (d) видно, что при , растет  (т.к. >0) и наоборот.

Видно, что изменение популяций носит циклический характер: через определенное время популяция возвращается к первоначальному уровню.

Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной.

      Такого рода уравнение имеет вид:

                                                                                     (6)

В дальнейшем будет доказано, что при некоторых ограничениях, налагаемых на функцию  уравнение (6) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию:

                                      .

Его общее решение, содержащее все без исключения решения, зависит от одной произвольной постоянной.

Дифференциальное уравнение  устанавливает зависимость между координатами точки и угловым коэффициентом касательной  к графику решения в этой точке. Зная x и y, можно вычислить . Следовательно, дифференциальное уравнение рассматриваемого вида определяет поле направлений и задача интегрирования д.у. заключается в том, чтобы найти кривые, называемые интегральными кривыми1, направление касательных, к которым в каждой точке совпадает с направлением поля. Пример 5.

                          

Для построения поля направлений найдем геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым сохраняют постоянное значение. Такие линии называются изоклинами. Уравнение изоклин получим, считая, что

                                ,

где k- постоянная. Таким образом,

                        ,

т.е. в данном случае изоклинами являются окружности с центром в начале координат, причем угловой коэффициент касательной к искомым интегральным кривым равен радиусу этих окружностей. Для построения поля направлений дадим постоянной k некоторые определенные значения. После этого можно приближенно провести искомые интегральные кривые.

      Пример 6.

                          

Изоклинами являются гиперболы или причем при k=1 гипербола распадается на пару прямых x=0 и y=0. При k=0 получаем изоклину ; эта гипербола разбивает плоскость на

части, в каждой из которых y сохраняет постоянный знак. Интегральные кривые  пересекая гиперболу

переходят из области возрастания функции y(x) в область её убывания или наоборот, и, следовательно, на ветвях этой гиперболы расположены точки максимума и минимума интегральных кривых.

Определим теперь знаки второй производной в различных областях плоскости:

    или        

Кривая    или

                          (7)

разбивает плоскость на две части, в одной из которых y<0, и, следовательно, интегральные кривые выпуклы вверх, а в другой y>0, и значит, инте

гральные кривые выпуклы вниз. При переходе через кривую (7)

интегральные кривые переходят от выпуклости к вогнутости, и, следовательно, на этой кривой расположены точки перегиба интегральных кривых.

В результате проведенного исследования известны области возрастания и убывания интегральных кривых, известно расположение точек максимума и минимума, известны области выпуклости и вогнутости и расположение точек перегиба, известна изоклина k=1. Этих сведений вполне достаточно для того, чтобы сделать набросок расположения интегральных кривых.

      Рассмотрим некоторые уравнения I порядка, которые интегрируются в квадратурах.

  1.  Уравнение с разделяющимися переменными.

Это уравнения вида:

                         

                                                                                     (13)

будем считать, что функции ,   непрерывны при , а, кроме того ,  т.к. если при , , то из (13) следует, что  есть решение.

Запишем уравнение (13) в виде:

                   

и проинтегрируем

                                                                     (14)

это и есть общее решение уравнения (13).

Пример 7.

                   .

Здесь

          ,

так что , где С - произвольная постоянная. Есть еще решение y0.

Решением задачи Коши

при  

здесь будет:

 .

  1.  Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

а) Рассмотрим уравнение

 ,

где  .

Перейдем к новым переменным , в результате получим

                    т.е.       

или

       

т.е. переменные разделились. Интегрируя, получим:

                   

б) Рассмотрим теперь однородное д.у. I порядка

     

однородная функция нулевого порядка, т.е.  

                 

Положим , т.е. , тогда

 

  .   

в) Уравнение вида

 

будет однородным, если

 ,

т.е. ,однородные функции одного порядка, (), и будет уравнением с разделяющимися переменными, если

                       .

1) Пусть  –это решение уравнения (6) на отрезке [a,b] оси х. График этой функции   называется интегральной кривой уравнения (6).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23832. Використання фреймів 34.5 KB
  Вихідний код сторінки: HTML HEAD TITLE FRAMES TITLE HEAD FRAMESET COLS=2575 FRAMESET ROWS=3070 FRAME SRC= zmist.html FRAME SRC= cast.html FRAMESET FRAMESET ROWS=5050 FRAME SRC= inflist.html FRAME SRC= empty.
23833. Використання каскадних листів стилів 29.5 KB
  Виконання завдань: Створити три гіпертекстових сторінки з наступними характеристиками: Для першої сторінки: визначити стиль для документу – фон блакитний; визначити стиль для заголовку шрифт Arial колір червоний вирівнювання за центром сторінки; визначити стиль для абзацу шрифт Sans Serif курсив. Для другої сторінки: визначити стиль для заголовку шрифт Times New Roman розмір 14 пунктів колір зелений; визначити стиль для абзацу шрифт Courier напівжирний. Для третьої сторінки розбитої на два розділи: застосувати стиль 1ої...
23834. Створення та налагодження форм 34.5 KB
  html fieldset style= padding: 2 legend Характеристики legend p Назва країни: span lang= uk nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; span input type= text name= T1 size= 20 p p span lang= uk Місце розташування: span span lang= uk nbsp;nbsp;nbsp; span input type= text name= T1 size= 20 p p span lang= uk Столиця span : span lang= uk nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; span nbsp; input...
23835. Форматування символів 38 KB
  Вихідний код сторінки: html head title Країни АСЕАН title head body BGCOLOR=Black TEXT=White BASEFONT SIZE=3 H1 ALIGN=CENTER FONT COLOR= RED Малайзія FONT H1 H3 ALIGN=LEFT FONT FACE= Comic Sans MS COLOR = YELLOW Столиця FONT H3 P SAMP U Столиця КуалаЛумпур. U SAMP P H3 ALIGN=LEFT FONT FACE= Comic Sans MS COLOR = YELLOW Географічне розташування FONT H3 P EM Малайзія розташована в екваторіальному поясі. EM P H3 ALIGN=LEFT FONT FACE= Comic Sans MS COLOR = YELLOW Державний устрій FONT H3 P B Малайзія це федерація яка складається з 13 штатів...
23836. Створення посилань на мережеві ресурси 33.5 KB
  Вихідний код сторінки: html head title Дарфурський конфлікт title head body BGCOLOR=Azure TEXT=Black BASEFONT SIZE=3 A NAME= Top A H1 ALIGN=CENTER FONT COLOR= RED Конфлікт у Дарфурі FONT H1 H3 ALIGN=LEFT FONT FACE= Monotype Corsiva COLOR = Black A HREF= mailto:ork@email.ua Автор: Киричук Олег A FONT H3 H3 ALIGN=LEFT FONT FACE= Arial COLOR = Green OL TYPE=1 LI Опис регіону FONT H3 P EM Дарфур араб. EM P H3 ALIGN=LEFT FONT FACE= Arial COLOR = Green OL START=2 LI Опис конфлікту FONT H3 P Дарфурський конфлікт міжетнічний конфлікт що вилився...
23837. Використання графіки при створенні HTML 38.5 KB
  Вихідний код сторінки: html head title Індокитай title head body bgcolor= 99FF33 p align= center b i font size= 7 color= FF0000 Індокитай font i b p p align= left b i img border= 0 src= Flag_of_Vietnam.png width= 184 height= 125 align= left Соціалістична Республіка В'єтнам i b країна в південносхідній Азії на узбережжі ПівденноКитайського моря межує на півночі з Китаєм на півдні та заході з Камбоджею і Лаосом; омивається Південнокитайським морем затока Тонкін. 2006 p p align= center nbsp; p p align= center img border= 0 src=...
23838. Сатирическая Литература 17в.Антицерковная литра 26.5 KB
  только они и люди Типы сатиры: 1Антицерковная литература 2сатира на царский суд Сатира на самые главные вещина все мироздание. библией можно оправдать любые поступки сатира не сколько на библиюсколько на демагогичное использование текста сверхсложные системы на вопросы в них нельзя отвечать однозначноязыквселенная человек Калязинская челобитная меховую жалобу иноков Троицкого Калязина монастыря на левом берегу Волги против города Калязина адресованную архиепископу Тверскому и Кашинскому Симеону 16761681....
23839. Сатира на Царский суд 28 KB
  Сатира на Царский суд Повесть об Ерше Ершовиче рассказывает о тяжбе Ерша с Лещом и Головлем. Лещ и Головль Ростовского озера жильцы жалуются в суд на Ерша на Ершова сына на щетинника на ябедника на вора на разбойника на ябедника на обманщика. Дальше в форме пародии на судное дело повествуется о проделках и непотребствах Ерша векового обманщика и ведомого воришки. В конце концов судьи признают что правы Лещ с товарищи и выдают им Ерша головою.
23840. Смеховой мир Древней Руси (далее - ДР) 22.5 KB
  В ДР смехом разрушалась родовая точка зрения.С точки зрения жителей ДР все что за пределами родовой точки зрения не существует это антимир находящийся на кромке кромешный мир.Азбука о голом и небогатом человеке монолог чтоб вы знали: на каждую букву – малюсенький сюжет на пару строк он рассказывает что у него были родители потом умерли стал бедным итдВообще такого рода азбуки были популярны тк если вдуматься азбука – модель культуры и мировоззрения народа и мироздания вообще.