21447

Линейные дифференциальные уравнения I порядка

Лекция

Математика и математический анализ

Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется уравнение I порядка линейное относительно неизвестной функции и её производной. Если то уравнение 1 называется линейным однородным. В соответствии с этим методом в формуле 2 полагают тогда: Подставляем полученное соотношение в уравнение 1 будем иметь: или откуда интегрируя находим следовательно . Интегрируем соответствующее однородное уравнение т.

Русский

2013-08-02

299.5 KB

13 чел.

Лекция 2.

Линейные дифференциальные уравнения I порядка.

Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется уравнение I порядка, линейное относительно неизвестной функции и её производной.

                                                                                              (1)

где  –непрерывные в той области, где ищется решение уравнения (1).

Если , то уравнение (1) называется линейным однородным. В линейном однородном уравнении переменные разделяются:

,          т.е.  

Таким образом ,

                                                               (2)

общее решение однородного уравнения.

При делении на y мы потеряли решение y=0, однако оно может быть включено в (2), если считать, что C может быть и равно нулю .

Для интегрирования неоднородного уравнения (1) применяется так называемый метод вариации произвольной постоянной.

В соответствии с этим методом в формуле (2) полагают , тогда:

Подставляем полученное соотношение в уравнение (1), будем иметь:

         ,

или

откуда, интегрируя, находим

 

a, следовательно

                      .        (3)

Итак, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения I порядка равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

и частного решения неоднородного уравнения

,

получающегося из (3) при .

Пример 1.

.

Интегрируем соответствующее однородное уравнение

            т.е.   \

Полагаем , тогда

подставляя в уравнение, получим:

               ,           т.е.  ,

.

Таким образом, общее решение

.

          Пример 2.

.

Интегрируя однородное уравнение, находим

,

.

Варьируем постоянную

.

Подставим в исходное уравнение

           ,

           

откуда

.

Уравнения, сводящиеся к линейным.

Многие дифференциальные уравнения после замены переменных могут быть сведены к линейным.

1. Уравнение Бернулли.

,

или

                           .                                      (4)

Заменим переменную

  .

Подставив в (4), получим линейное дифференциальное уравнение

.

Пример 3.

         

Замена:

Далее см. Пример 1.

 

Метод подстановки ( Даламбера).

В соответствии с этим методом в уравнении (1) применяют подстановку , тогда уравнение (1) примет вид

Выберем функцию U так, чтобы первая скобка обратилась в нуль:

.

Обозначим через  одно из частных решений этого уравнения, тогда для нахождения V имеем уравнение:

.

Находим общее решение этого уравнения . Теперь общее решение уравнения (1) будет иметь вид:

.

         Пример 4.

.

Перепишем это уравнение в виде:

.

Оно линейно относительно x и . Положим , тогда имеем:

.

Теперь  , или  ,  т.е. .

Положим , тогда

или , т.е. ,

откуда окончательно имеем

.

Метод Даламбера применим и для непосредственного решения уравнения Бернулли.

2. Уравнение Риккати.

В общем виде не интегрируется в квадратурах, однако, заменой переменной может быть преобразовано в уравнение Бернулли, если известно одно частное решение  этого уравнения.

Полагая  , получим:

,

но так как , то для z(x) получим уравнение Бернулли:

.

Пример 5.

.

Здесь легко догадаться (подобрать), что . Полагая , получим: , т.е. ,

или:

-

уравнение Бернулли. Далее,

,

,

т.е.

,

теперь

           ,   т.е.   ,

откуда окончательно:

.

Уравнение в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение вида:

                                                             (5)

называется уравнением в полных дифференциалах, если

                      

т.е. уравнение (5) принимает вид:

                                    .

Если  – решение уравнения (5), то

                              ,

т.е.

                  ,                                                                (6)

(где C= const) - общий интеграл уравнения (5).

Если даны начальные значения , то постоянная С определится из уравнения (6):

,

т.е.

                                                                        (7)

является искомым частным интегралом.

Если  в точке, то уравнение (7) определяет y как неявную функцию x в окрестности точки .

Известно, что для того, чтобы левая часть (5)

                                       

являлась полным дифференциалом необходимо и достаточно(в односвязной области), чтобы функции  и  были непрерывно дифференцируемы и чтобы:

                                                                                           (8)

(Необходимость  условия (8) очевидна. Достаточность: пусть

             =  ,

где путь интегрирования – ломаная со звеньями, параллельными осям координат; тогда

          

           ,

т.е.    а

                             ).

В этом случае уравнение (5) легко интегрируется. Действительно,

.

С другой стороны,

.

Следовательно,

,

откуда

Для определения С(y) дифференцируем функцию U(x,y) по y:

т.е.

Интегрируя это уравнение, находим С(y). Второй способ определения функции U(x,y) по её полному дифференциалу  состоит в вычислении криволинейного интеграла от   по некоторому пути от точки  до точки (x, y):

 Т.к. подынтегральное выражение – полный дифференциал, то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Если путь интегрирования - ломаная со звеньями, параллельными осям координат, то

   

                        =

 Пример 1.

Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54405. ПОШУК НОВИХ ФОРМ РОБОТИ ЗІ ЗДІБНИМИ УЧНЯМИ В ПОЗАШКІЛЬНОМУ ПРОСТОРІ ЦЕНТР РОЗВИТКУ ОБДАРОВАНОЇ МОЛОДІ – ОДНА З ТАКИХ ФОРМ 153 KB
  Слід сказати що новий заклад має популярність серед школярів: майже всі хто в місті займається творчістю наукою бере участь в предметних олімпіадах відвідують секції ЦРОМу. Пропонуємо до уваги модель секції УМ та ТЛ†в складі ЦРОМ. Модель секції УМ та ТЛ†Наповнюваність секції: 820 учнів різних за віком: 7 11 клас. Мета секції: Створення сприятливих умов для розкриття й реалізації творчого потенціалу філологічно обдарованих дітей і тих...
54406. Модель випускника Запорізького педагогічного коледжу, майбутнього вчителя іноземної мови 57 KB
  викладач вищої категоріївикладачметодист голова циклової комісії викладачів іноземних мов Запорізького педагогічного коледжу Модель випускника Запорізького педагогічного коледжу майбутнього вчителя іноземної мови Відомо що сучасна педагогічна освіта передбачає підготовку викладача іноземної мови як правило у трьох типах вищих навчальних закладів: на відповідних факультетах педагогічних лінгвістичних...
54407. Урок в умовах модернізації шкільної освіти 49 KB
  Триєдине завдання уроку Освітня: озброїти учнів системою знань умінь і навичок. сформувати продовжити формування закріпити такі спільні навчальні вміння та навички на матеріалі цього уроку . для вирішення завдання розвитку у школярів самостійності мислення і в навчальній діяльності забезпечити в ході уроку . забезпечити в ході уроку розвиток мовлення учнів; збагачувати й ускладнювати словниковий склад і смислові функції мови учнів під час вирішення освітніх завдань.
54408. Модернізм як художньо-естетична система 225 KB
  МЕТА УРОКУ: активізувати і закріпити знання учнів набуті в попередні роки про літературні течії і напрямки у курсі української та зарубіжної літератури; зясувати причини появи філософські засади основні ознаки та етапи розвитку модернізму у мистецтві та літературі зарубіжній та українській; розкрити особливості основних напрямів і течій раннього модернізму; розвивати практичні навички аналізу символістських поезій та зразків імпресіонізму в українській та зарубіжній літературі; вміння спів ставляти різні напрями в літературі та...
54409. Modische Kleidung 217.5 KB
  Kinder! Das Thema der heutigen Stunde ist „Modische Kleidung“. Wisst ihr solhe Redensart „Kleider machen Leute“? Das ist ein deutsches Sprichwort. Meiner Meinung nach hat diese Redensart einen gleichen Sinn in allen Sprachen. Kinder, wie versteht ihr „Kleider machen Leute“? Beantwortet bitte lakonisch, schnell und deutlich.
54410. Материки Південної півкулі Австралія, Південна Америка і Антарктида 73.5 KB
  Мета: Дати учням установку на вивчення нової теми, познайомити з структурною моделлю модуля, з самостійною роботою по вивченню нового матеріалу,сприяти розвитку комунікативної компетентності. Дати учням загальну уяву про природу материків Південної півкулі: Австралія, Південна Америка, Антарктида.
54411. Підсумкова контрольна робота з математики тестового характеру 168 KB
  Мета оцінювання: Встановити відповідність рівня навчальних досягнень учнів 1 класу з математики за навчальний рік Програмовим вимогам.
54412. Основні закономірності спадковості та мінливості 274 KB
  Менделя виступаючи в ролі біографа. Але промова Менделя пролунала для сучасників як промова інопланетного прибульця. Лише в 1900 році знову відкрили закони Менделя. Менделя через 35 років після їі появи на світ та відкрив самого г.
54413. Лікарські рослини у житті людини. Збирання і заготівля лікарських рослин 79.5 KB
  Мета: розширити знання учнів про лікарські рослини їх значення в житті людини формувати в учнів вміння і навички збору лікарських рослин їх зберігання. Обладнання: таблиці; гербарні екземпляри різних лікарських рослин дидактичний матеріал книги: Травы дарующие здоровье лікарські трави. Основні терміни і поняття: лікарські рослини фармакологія хімікофармацевтична промисловість.