21447

Линейные дифференциальные уравнения I порядка

Лекция

Математика и математический анализ

Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется уравнение I порядка линейное относительно неизвестной функции и её производной. Если то уравнение 1 называется линейным однородным. В соответствии с этим методом в формуле 2 полагают тогда: Подставляем полученное соотношение в уравнение 1 будем иметь: или откуда интегрируя находим следовательно . Интегрируем соответствующее однородное уравнение т.

Русский

2013-08-02

299.5 KB

13 чел.

Лекция 2.

Линейные дифференциальные уравнения I порядка.

Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется уравнение I порядка, линейное относительно неизвестной функции и её производной.

                                                                                              (1)

где  –непрерывные в той области, где ищется решение уравнения (1).

Если , то уравнение (1) называется линейным однородным. В линейном однородном уравнении переменные разделяются:

,          т.е.  

Таким образом ,

                                                               (2)

общее решение однородного уравнения.

При делении на y мы потеряли решение y=0, однако оно может быть включено в (2), если считать, что C может быть и равно нулю .

Для интегрирования неоднородного уравнения (1) применяется так называемый метод вариации произвольной постоянной.

В соответствии с этим методом в формуле (2) полагают , тогда:

Подставляем полученное соотношение в уравнение (1), будем иметь:

         ,

или

откуда, интегрируя, находим

 

a, следовательно

                      .        (3)

Итак, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения I порядка равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

и частного решения неоднородного уравнения

,

получающегося из (3) при .

Пример 1.

.

Интегрируем соответствующее однородное уравнение

            т.е.   \

Полагаем , тогда

подставляя в уравнение, получим:

               ,           т.е.  ,

.

Таким образом, общее решение

.

          Пример 2.

.

Интегрируя однородное уравнение, находим

,

.

Варьируем постоянную

.

Подставим в исходное уравнение

           ,

           

откуда

.

Уравнения, сводящиеся к линейным.

Многие дифференциальные уравнения после замены переменных могут быть сведены к линейным.

1. Уравнение Бернулли.

,

или

                           .                                      (4)

Заменим переменную

  .

Подставив в (4), получим линейное дифференциальное уравнение

.

Пример 3.

         

Замена:

Далее см. Пример 1.

 

Метод подстановки ( Даламбера).

В соответствии с этим методом в уравнении (1) применяют подстановку , тогда уравнение (1) примет вид

Выберем функцию U так, чтобы первая скобка обратилась в нуль:

.

Обозначим через  одно из частных решений этого уравнения, тогда для нахождения V имеем уравнение:

.

Находим общее решение этого уравнения . Теперь общее решение уравнения (1) будет иметь вид:

.

         Пример 4.

.

Перепишем это уравнение в виде:

.

Оно линейно относительно x и . Положим , тогда имеем:

.

Теперь  , или  ,  т.е. .

Положим , тогда

или , т.е. ,

откуда окончательно имеем

.

Метод Даламбера применим и для непосредственного решения уравнения Бернулли.

2. Уравнение Риккати.

В общем виде не интегрируется в квадратурах, однако, заменой переменной может быть преобразовано в уравнение Бернулли, если известно одно частное решение  этого уравнения.

Полагая  , получим:

,

но так как , то для z(x) получим уравнение Бернулли:

.

Пример 5.

.

Здесь легко догадаться (подобрать), что . Полагая , получим: , т.е. ,

или:

-

уравнение Бернулли. Далее,

,

,

т.е.

,

теперь

           ,   т.е.   ,

откуда окончательно:

.

Уравнение в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение вида:

                                                             (5)

называется уравнением в полных дифференциалах, если

                      

т.е. уравнение (5) принимает вид:

                                    .

Если  – решение уравнения (5), то

                              ,

т.е.

                  ,                                                                (6)

(где C= const) - общий интеграл уравнения (5).

Если даны начальные значения , то постоянная С определится из уравнения (6):

,

т.е.

                                                                        (7)

является искомым частным интегралом.

Если  в точке, то уравнение (7) определяет y как неявную функцию x в окрестности точки .

Известно, что для того, чтобы левая часть (5)

                                       

являлась полным дифференциалом необходимо и достаточно(в односвязной области), чтобы функции  и  были непрерывно дифференцируемы и чтобы:

                                                                                           (8)

(Необходимость  условия (8) очевидна. Достаточность: пусть

             =  ,

где путь интегрирования – ломаная со звеньями, параллельными осям координат; тогда

          

           ,

т.е.    а

                             ).

В этом случае уравнение (5) легко интегрируется. Действительно,

.

С другой стороны,

.

Следовательно,

,

откуда

Для определения С(y) дифференцируем функцию U(x,y) по y:

т.е.

Интегрируя это уравнение, находим С(y). Второй способ определения функции U(x,y) по её полному дифференциалу  состоит в вычислении криволинейного интеграла от   по некоторому пути от точки  до точки (x, y):

 Т.к. подынтегральное выражение – полный дифференциал, то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Если путь интегрирования - ломаная со звеньями, параллельными осям координат, то

   

                        =

 Пример 1.

Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23074. Суб`єкти національної безпеки 37.5 KB
  Суб`єкти національної безпеки З конспекту. ТЕМА: Система національної безпеки України. Суб`єкти національної безпеки. Вимоги до системи національної безпеки.
23075. Вимоги до системи національної безпеки 33 KB
  Вимоги до системи національної безпеки З конспекту Кожна країна створює певну систему органів які могли б реагувати на загрози така система називається системою національної безпеки. Система забезпечення національно міжнародної безпеки включає певну діяльність органів по підтримці стану захищеності. Наявність механізмів які забезпечують стан безпеки. Система національної безпеки – наявність певних органів тільки обмежена територією певної країни.
23076. Роль та повноваження органів спеціальної компетенції в системі забезпечення національної безпеки України 69.5 KB
  Роль та повноваження органів спеціальної компетенції в системі забезпечення національної безпеки України. Національний банк України відповідно до основних засад грошовокредитної політики визначає та проводить грошовокредитну політику в інтересах національної безпеки України; міністерства Служба безпеки України та інші центральні органи виконавчої влади в межах своїх повноважень забезпечують виконання передбачених Конституцією і законами України актами Президента України Кабінету Міністрів України завдань здійснюють...
23077. Вимірювання напруг при механічних деформаціях поляризаційним методом 447 KB
  Різницю фаз Δ що виникає між двома взаємно перпендикулярними лінійнополяризованими хвилями визначають за формулою 16 де λ довжина хвилі; σ1 σ2 головні нормальні напруги; d товщина деталі; с стала фотопружності яка залежить від матеріалу деталі. Таким чином при постійній товщині зразка лінії однакового зсуву фаз відповідають лініям однакових різниць нормальних напруг або лініям рівних максимальних дотичних напруг оскільки максимальна дотична напруга τmax пов'язана з...
23078. Дослідження анізотропних кристалів під поляризаційним мікроскопом 458 KB
  Прилади: поляризаційний мікроскоп клин або компенсатор Берека набір шліфів і пластинок з одновісних та двовісних кристалів вирізаних під різними кутами до оптичної осі. Різниця яку вносить пластинка залежить від її товщини матеріалу зразка та орієнтації оптичної осі відносно зрізу. Форма і розміщення ізохромат залежать від напряму оптичної осі відносно зрізу товщини зразка і довжини хвилі Форма і розміщення ізогір залежать від орієнтації осі відносно зрізу і взаємного положення поляризатора та аналізатора. Для пластинки вирізаної...
23079. Вимірювання оптичних сталих металів та напівпровідників за допомогою компенсатора Бабіне 278.5 KB
  Відомо що лінійнополяризоване світло яке падає на межу поділу діелектрик провідне середовище після відбиття перетворюється на еліптичнополяризоване крім того випадку коли напрям коливань електричного вектора лежить в площині падіння або в перпендикулярній площині. Вимірюючи параметри еліптичнополяризованого світла а саме; зсув фаз Δ між р та s складовими електричного вектора відбитої хвилі азимут відновленої поляризації ψ а також кут падіння світлової хвилі на площину дзеркала φ можна обчислити оптичні сталі n і κ з співвідношень...
23080. Вимірювання оптичних сталих металів та напівпровідників фотоелектричним методом Бітті 933.5 KB
  Якщо поляризатор утворює з площиною падіння кут β а аналізатор кут α то електричний вектор після проходження світлом поляризатора відбиття від зразка та проходження через аналізатор складатиметься з двох проекцій р та s компонент зсунутих по фазі одна відносно іншої. Проекції р та s компонент на площину аналізатора визначають з формул де α – кут між площиною коливань в аналізаторі і р площиною А0 амплітуда коливань пропущених поляризатором; rp rs амплітудні коефіцієнти відбиття для р та...
23081. Визначення залежності ступеня поляризації стопи від кута паління та числа пластин за допомогою поляриметра Корню 391 KB
  Визначення залежності ступеня поляризації стопи від кута паління та числа пластин за допомогою поляриметра Корню. Ступінь поляризації залежить від кута падіння на межу поділу і відносного показника заломлення. Для світла що проходить значної поляризації при одноразовому проходженні досягти неможливо тому звичайно використовують стопу набір з кількох пластин. Ступінь поляризації частково поляризованого світла визначається за формулою 7 де і максимальна та мінімальна...
23082. Дослідження залежності зсуву фаз від кута падіння при повному відбитті за допомогою компенсатора Сенармона 894.5 KB
  Дослідження залежності зсуву фаз від кута падіння при повному відбитті за допомогою компенсатора Сенармона. Теоретичні відомості Світло що відбивається від межі поділу двох середовищ з різною оптичною густиною проходить у середовище з меншої густиною лише при кутах падіння менших деякого граничного кута якай можна знайти за формулою φгр = arcsin n 10 де n показник заломлення другого середовища відносно першого. При куті падіння φгр кут заломлення у другому...