21447

Линейные дифференциальные уравнения I порядка

Лекция

Математика и математический анализ

Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется уравнение I порядка линейное относительно неизвестной функции и её производной. Если то уравнение 1 называется линейным однородным. В соответствии с этим методом в формуле 2 полагают тогда: Подставляем полученное соотношение в уравнение 1 будем иметь: или откуда интегрируя находим следовательно . Интегрируем соответствующее однородное уравнение т.

Русский

2013-08-02

299.5 KB

13 чел.

Лекция 2.

Линейные дифференциальные уравнения I порядка.

Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется уравнение I порядка, линейное относительно неизвестной функции и её производной.

                                                                                              (1)

где  –непрерывные в той области, где ищется решение уравнения (1).

Если , то уравнение (1) называется линейным однородным. В линейном однородном уравнении переменные разделяются:

,          т.е.  

Таким образом ,

                                                               (2)

общее решение однородного уравнения.

При делении на y мы потеряли решение y=0, однако оно может быть включено в (2), если считать, что C может быть и равно нулю .

Для интегрирования неоднородного уравнения (1) применяется так называемый метод вариации произвольной постоянной.

В соответствии с этим методом в формуле (2) полагают , тогда:

Подставляем полученное соотношение в уравнение (1), будем иметь:

         ,

или

откуда, интегрируя, находим

 

a, следовательно

                      .        (3)

Итак, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения I порядка равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

и частного решения неоднородного уравнения

,

получающегося из (3) при .

Пример 1.

.

Интегрируем соответствующее однородное уравнение

            т.е.   \

Полагаем , тогда

подставляя в уравнение, получим:

               ,           т.е.  ,

.

Таким образом, общее решение

.

          Пример 2.

.

Интегрируя однородное уравнение, находим

,

.

Варьируем постоянную

.

Подставим в исходное уравнение

           ,

           

откуда

.

Уравнения, сводящиеся к линейным.

Многие дифференциальные уравнения после замены переменных могут быть сведены к линейным.

1. Уравнение Бернулли.

,

или

                           .                                      (4)

Заменим переменную

  .

Подставив в (4), получим линейное дифференциальное уравнение

.

Пример 3.

         

Замена:

Далее см. Пример 1.

 

Метод подстановки ( Даламбера).

В соответствии с этим методом в уравнении (1) применяют подстановку , тогда уравнение (1) примет вид

Выберем функцию U так, чтобы первая скобка обратилась в нуль:

.

Обозначим через  одно из частных решений этого уравнения, тогда для нахождения V имеем уравнение:

.

Находим общее решение этого уравнения . Теперь общее решение уравнения (1) будет иметь вид:

.

         Пример 4.

.

Перепишем это уравнение в виде:

.

Оно линейно относительно x и . Положим , тогда имеем:

.

Теперь  , или  ,  т.е. .

Положим , тогда

или , т.е. ,

откуда окончательно имеем

.

Метод Даламбера применим и для непосредственного решения уравнения Бернулли.

2. Уравнение Риккати.

В общем виде не интегрируется в квадратурах, однако, заменой переменной может быть преобразовано в уравнение Бернулли, если известно одно частное решение  этого уравнения.

Полагая  , получим:

,

но так как , то для z(x) получим уравнение Бернулли:

.

Пример 5.

.

Здесь легко догадаться (подобрать), что . Полагая , получим: , т.е. ,

или:

-

уравнение Бернулли. Далее,

,

,

т.е.

,

теперь

           ,   т.е.   ,

откуда окончательно:

.

Уравнение в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение вида:

                                                             (5)

называется уравнением в полных дифференциалах, если

                      

т.е. уравнение (5) принимает вид:

                                    .

Если  – решение уравнения (5), то

                              ,

т.е.

                  ,                                                                (6)

(где C= const) - общий интеграл уравнения (5).

Если даны начальные значения , то постоянная С определится из уравнения (6):

,

т.е.

                                                                        (7)

является искомым частным интегралом.

Если  в точке, то уравнение (7) определяет y как неявную функцию x в окрестности точки .

Известно, что для того, чтобы левая часть (5)

                                       

являлась полным дифференциалом необходимо и достаточно(в односвязной области), чтобы функции  и  были непрерывно дифференцируемы и чтобы:

                                                                                           (8)

(Необходимость  условия (8) очевидна. Достаточность: пусть

             =  ,

где путь интегрирования – ломаная со звеньями, параллельными осям координат; тогда

          

           ,

т.е.    а

                             ).

В этом случае уравнение (5) легко интегрируется. Действительно,

.

С другой стороны,

.

Следовательно,

,

откуда

Для определения С(y) дифференцируем функцию U(x,y) по y:

т.е.

Интегрируя это уравнение, находим С(y). Второй способ определения функции U(x,y) по её полному дифференциалу  состоит в вычислении криволинейного интеграла от   по некоторому пути от точки  до точки (x, y):

 Т.к. подынтегральное выражение – полный дифференциал, то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Если путь интегрирования - ломаная со звеньями, параллельными осям координат, то

   

                        =

 Пример 1.

Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28923. Первый период ВОВ. Перестройка страны на военный лад 23.5 KB
  Начало войны стало катастрофой для Красной Армии. Обескровленная репрессиями и в результате оперативностратегических промахов уже за первые три недели войны Красная Армия потеряла около 850 тыс. Преодолев шок первых месяцев войны правящий режим СССР смог использовать такие преимущества как сверхцентрализация управления огромные природные и людские ресурсы обеспечив предельное напряжение всех сил народа. В результате в первые полгода войны несмотря на трудности связанные с немецким наступлением летомосенью 1941 удалось эвакуировать на...
28924. Коренной перелом в ходе войны и ее победоносное завершение. Значение Великой Победы 23.5 KB
  Коренной перелом в ходе войны и ее победоносное завершение. явилось периодом коренного перелома в ходе Великой Отечественной войны. Вопервых в этот период Красная Армия окончательно вырвала инициативу военных действий из рук врага и закрепила за собой до конца войны; вовторых наша армия провела большое летнее наступление против армий противника и тем самым похоронила фашистский миф о том что советские войска будто бы неспособны вести успешное наступление в летнее время; втретьих в этот период Красная Армия осуществляла массовое изгнание...
28925. Завершение Второй Мировой Войны 21 KB
  На конференции было решено не ограничивать сроки оккупации Германии для управления которой создавался союзный контрольный совет. В дни Потсдамской конференции произошло еще одно событие которому было суждено оказать серьезное влияние на послевоенную историю мира. На этой конференции американский президент Г. в соответствии с обязательствами принятыми на Ялтинской конференции СССР объявил Японии войну.
28926. Смутное время, его причины и последствия 28 KB
  Это первая в истории России гражданская война В апреле 1605 года царь Борис Годунов умер трон перешел к его сыну Федору В июне 1605 года Лжедмитрий с огромным войском вступил в Москву. Лжедмитрий 1 щедро раздавал деньги и земли дворянству чтобы заручиться его поддержкой был деятельным и энергичным. Шуйским подняли народ против поляков Лжедмитрий 1 был убит. В 1607 году появляется новый самозванец Лжедмитрий II личность которого так и не была установлена.
28927. Приход к власти в России царской династии Романовых. Становление российского абсолютизма 28.5 KB
  21 февраля казаки ворвались на заседание Земского собора и потребовали избрать царем 16летнего Михаила Федоровича Романова сына патриарха Филарета родственника царя Федора Ивановича. Избрание Михаила не было случайностью: один из бояр писал что Михаил молод разумом еще не дошел и будет нам удобен; отсутствие у Михаила ярких талантов жесткого характера устраивало всех: страна устала от жестокости и хотела осторожной политики; избрание Михаила обещало всеобщее согласие и спокойствие; царская власть опять становилась...
28928. Причины и основные этапы установления крепостного права в России 22.25 KB
  Причины и основные этапы установления крепостного права в России Крепостничество представляет собой любую зависимость крестьян от землевладельца запрет менять прописку и хозяина. установившая правило €œЮрьева дня€ осенний праздник представляющий собой определенный и очень ограниченный срок перехода крестьян к другому землевладельцу после расчета с прежним. вводятся €œзаповедные лета€ в течение которых даже установленный переход крестьян запрещался. писцовые книги стали документальным основанием в процессе прикрепления крестьян.
28929. Петровская модернизация России, ее особенности и значение для дальнейшего развития страны 38 KB
  Это был верховный орган управления страной состоящий из девяти человек назначаемых царем. Каждая коллегия ведала определенной отраслью управления. была изменена система местного управления. Главную роль в системе управления играл царь Петр I.
28930. Внешняя политика Петра I. Становление Российской империи 29.5 KB
  Внешняя политика Петра I. Во внешней политике Петра I можно выделить 4 основных события: Азовские походы Великое посольство Северная война Каспийский поход. Однако уже в 1696 предварительно создав эскадру из 2 крупных кораблей 23 галер и более чем 1000 барок вдвое увеличив и оснастив армию Петр взял Азов и тля удержания захваченных земель приказал возвести крепость Таганрог. Весной 1697 посольство из 250 человек среди которых под именем Петра Михайлова был и царь отправилось в Европу.
28931. Дворцовые перевороты (1725—1762) 45 KB
  со смерти Петра I в России начинается эпоха дворцовых переворотов смена царствующих особ которая сопровождалась ожесточенной борьбой между различными группировками придворной знати. Старая знать Голицыны Долгоруковы выступала за царевича Петра сына Алексея. возвела на престол жену Петра Великого Екатерину I. Незадолго до смерти она выбрала своим преемником 12летнего царевича Петра сына убитого царевича Алексея.