21447

Линейные дифференциальные уравнения I порядка

Лекция

Математика и математический анализ

Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется уравнение I порядка линейное относительно неизвестной функции и её производной. Если то уравнение 1 называется линейным однородным. В соответствии с этим методом в формуле 2 полагают тогда: Подставляем полученное соотношение в уравнение 1 будем иметь: или откуда интегрируя находим следовательно . Интегрируем соответствующее однородное уравнение т.

Русский

2013-08-02

299.5 KB

13 чел.

Лекция 2.

Линейные дифференциальные уравнения I порядка.

Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется уравнение I порядка, линейное относительно неизвестной функции и её производной.

                                                                                              (1)

где  –непрерывные в той области, где ищется решение уравнения (1).

Если , то уравнение (1) называется линейным однородным. В линейном однородном уравнении переменные разделяются:

,          т.е.  

Таким образом ,

                                                               (2)

общее решение однородного уравнения.

При делении на y мы потеряли решение y=0, однако оно может быть включено в (2), если считать, что C может быть и равно нулю .

Для интегрирования неоднородного уравнения (1) применяется так называемый метод вариации произвольной постоянной.

В соответствии с этим методом в формуле (2) полагают , тогда:

Подставляем полученное соотношение в уравнение (1), будем иметь:

         ,

или

откуда, интегрируя, находим

 

a, следовательно

                      .        (3)

Итак, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения I порядка равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

и частного решения неоднородного уравнения

,

получающегося из (3) при .

Пример 1.

.

Интегрируем соответствующее однородное уравнение

            т.е.   \

Полагаем , тогда

подставляя в уравнение, получим:

               ,           т.е.  ,

.

Таким образом, общее решение

.

          Пример 2.

.

Интегрируя однородное уравнение, находим

,

.

Варьируем постоянную

.

Подставим в исходное уравнение

           ,

           

откуда

.

Уравнения, сводящиеся к линейным.

Многие дифференциальные уравнения после замены переменных могут быть сведены к линейным.

1. Уравнение Бернулли.

,

или

                           .                                      (4)

Заменим переменную

  .

Подставив в (4), получим линейное дифференциальное уравнение

.

Пример 3.

         

Замена:

Далее см. Пример 1.

 

Метод подстановки ( Даламбера).

В соответствии с этим методом в уравнении (1) применяют подстановку , тогда уравнение (1) примет вид

Выберем функцию U так, чтобы первая скобка обратилась в нуль:

.

Обозначим через  одно из частных решений этого уравнения, тогда для нахождения V имеем уравнение:

.

Находим общее решение этого уравнения . Теперь общее решение уравнения (1) будет иметь вид:

.

         Пример 4.

.

Перепишем это уравнение в виде:

.

Оно линейно относительно x и . Положим , тогда имеем:

.

Теперь  , или  ,  т.е. .

Положим , тогда

или , т.е. ,

откуда окончательно имеем

.

Метод Даламбера применим и для непосредственного решения уравнения Бернулли.

2. Уравнение Риккати.

В общем виде не интегрируется в квадратурах, однако, заменой переменной может быть преобразовано в уравнение Бернулли, если известно одно частное решение  этого уравнения.

Полагая  , получим:

,

но так как , то для z(x) получим уравнение Бернулли:

.

Пример 5.

.

Здесь легко догадаться (подобрать), что . Полагая , получим: , т.е. ,

или:

-

уравнение Бернулли. Далее,

,

,

т.е.

,

теперь

           ,   т.е.   ,

откуда окончательно:

.

Уравнение в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение вида:

                                                             (5)

называется уравнением в полных дифференциалах, если

                      

т.е. уравнение (5) принимает вид:

                                    .

Если  – решение уравнения (5), то

                              ,

т.е.

                  ,                                                                (6)

(где C= const) - общий интеграл уравнения (5).

Если даны начальные значения , то постоянная С определится из уравнения (6):

,

т.е.

                                                                        (7)

является искомым частным интегралом.

Если  в точке, то уравнение (7) определяет y как неявную функцию x в окрестности точки .

Известно, что для того, чтобы левая часть (5)

                                       

являлась полным дифференциалом необходимо и достаточно(в односвязной области), чтобы функции  и  были непрерывно дифференцируемы и чтобы:

                                                                                           (8)

(Необходимость  условия (8) очевидна. Достаточность: пусть

             =  ,

где путь интегрирования – ломаная со звеньями, параллельными осям координат; тогда

          

           ,

т.е.    а

                             ).

В этом случае уравнение (5) легко интегрируется. Действительно,

.

С другой стороны,

.

Следовательно,

,

откуда

Для определения С(y) дифференцируем функцию U(x,y) по y:

т.е.

Интегрируя это уравнение, находим С(y). Второй способ определения функции U(x,y) по её полному дифференциалу  состоит в вычислении криволинейного интеграла от   по некоторому пути от точки  до точки (x, y):

 Т.к. подынтегральное выражение – полный дифференциал, то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Если путь интегрирования - ломаная со звеньями, параллельными осям координат, то

   

                        =

 Пример 1.

Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59871. Вікторина „Птахи – наші друзі” 40.5 KB
  Бесіда вступ Міграція птахів Рідні пташки дорогенькі І великі і маленькі Будем ми вас захищати Будем взимку годувати Та для цього дуже треба Нам про вас багато знати Птахи бувають двох видів...
59872. классов. Использование этих работ способствует созданию на уроке атмосферы заинтересованности сотр. 103.5 KB
  Литературные диктанты и викторины улучшают логическое и ассоциативное мышление память дают возможность экономно использовать рабочее время на уроке. Стратфорт-на-Эйвоне В какой семье родиося писатель Ремесленника-торговца...
59877. Формування національної свідомості засобами мови та мистецтва 31 KB
  Мета: Ознайомлювати дітей з українським національним символом віночком дати первинні знання що він є оберегом вчити добирати словаозначення до слова віночок. Закріпити поняття про назви українського жіночого одягу...
59878. Літературно-правова гра «Щасливий випадок» 48.5 KB
  Бібліотекар: У 1959 році міжнародна Організація Обєднаних Націй ООН прийняла Декларацію угоду прав дитини де кожній дитині гарантується невідємне право на життя та розвиток. Хто надає дитині найперше право у житті мама...
59879. КОНКУРС «ЩАСЛИВИЙ ВИПАДОК». ПОЗАКЛАСНИЙ ЗАХІД 41.5 KB
  Частина тканини яка не сипиться 4. Властивість тканини легко всмоктувати вологу. Який вид тканини отримують хімічним способом 4. Властивість тканини легко утворювати складки.