21448

Нормальные системы дифференциальных уравнений. Условие Липшица

Лекция

Математика и математический анализ

Условие Липшица. Говорят что функция удовлетворяет условию Липшица в некотором интервале [b] если существует такое число 0 что для. Так функция удовлетворяет условию Липшица в окрестности x=0 но её производная в точке x=0 имеет разрыв. Если функция нескольких переменных удовлетворяет условию Липшица по каждой из этих переменных в соответствующем диапазоне их изменения т.

Русский

2013-08-02

267 KB

35 чел.

Лекция 3.

Нормальные системы дифференциальных уравнений. Условие Липшица.

      Рассмотрим дифференциальное уравнение вида:

Положим

                   

тогда наше уравнение сводится к системе n дифференциальных уравнений I порядка:

Эта система является частным случаем системы дифференциальных уравнений

                                                               (1)

Система (1) называется нормальной системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Для выделения единственного решения система (1) дополняется начальными условиями:

                               .                            (2)

Задача (1) и (2) называется задачей Коши. Условия (2) называются начальными данными Коши.

Говорят, что функция  удовлетворяет условию Липшица в некотором интервале [a,b], если существует такое число A>0, что для  

.

Это условие – более слабое, чем, например, условие непрерывной дифференцируемости. Так, функция

,

удовлетворяет условию Липшица в окрестности x=0, но её производная в точке x=0 имеет разрыв.

Если функция нескольких переменных ( удовлетворяет условию Липшица по каждой из этих переменных в соответствующем диапазоне их изменения, т.е. если

               ,           (*)

то эта функция удовлетворяет условию Липшица также и по совокупности переменных , т.е. постоянная А, для которой

              

Действительно, из тождества

              

               

                

на основе (*) следует неравенство

          

Обозначив через , наибольшую из , получим требуемое неравенство.

Теорема существования и единственности для нормальных систем дифференциальных уравнений.

 Напомним, что нормальной системой дифференциальных уравнений  была названа система вида:

                                                                (1)

с начальными условиями (данными Коши)

                                         (2)

Имеет место следующая фундаментальная теорема (Пикара):

Пусть даны система дифференциальных уравнений вида (1) и начальные условия (2); если можно найти такие положительные числа a и b, что в области , определенной неравенствами

                  

                           ,                 (3)

функции  непрерывны и удовлетворяют условию Липшица по переменным , то можно определить такое число (0<a), что в интервале  система обладает одним и только одним решением, удовлетворяющим начальным условиям (2).

        Предварительно покажем, что система (1), (2) эквивалентна, следующей системе n (нелинейных) интегральных уравнений Вольтерра:

                                              (4)

Действительно, дифференцируя (4) по x, получим i-е уравнение системы (1), а, полагая в (4) , получим, что , т.е. начальные условия (2). Обратно, интегрируя i-е уравнение системы (1) с учетом (2), получим (4).

Будем решать систему (4) методом последовательных приближений, т.е. положим

                     

                            (5)

Т.к. по условию теоремы функции  непрерывны в замкнутой области (гиперинтервале) , то они равномерно непрерывны в . Поэтому существует такое число M>0, что всюду в  

                                                                     (6)

Отсюда, полагая , для значений  будем иметь последовательно

              

Таким образом, для  функции  удовлетворяют при всех m условиям теоремы и, в частности условию Липшица, поскольку значения переменных  лежат в интервале .

      Покажем, что при m система функций (5) равномерно сходится к некоторой системе функций

                                                                    (7)

т.е. для  можно найти такое , что для всех  и всех i=1,…,n при  ,будет

                          .

В самом деле, поскольку

                               

то с использованием условия Липшица, получим

         

,

где А – подходящая константа (большая нуля), единая для всех i. Аналогично

            

               

и т.д.

       Таким образом, вообще

    ,

или

                                  (9)

Отсюда следует, что ряд

               (10)

мажорируется  сходящимся числовым рядом

            

и потому абсолютно и равномерно сходится в интервале . Т.к. сумма его первых (m+1) членов равна , то отсюда следует, что для  при  будет

                   

где  означает сумму ряда (10), т.е. предел  при m.

Теперь нужно взять .

      Докажем теперь, что система функций (7) удовлетворяет системе интегральных уравнений (4), т.е., что равенства

                        (11)

являются тождествами.

Для доказательства положим

С использованием соотношения (5) будем иметь

.

Вычтя из обеих частей этого равенства

,

получим

         

   

              

Однако в силу условия Липшица и (8) имеем при  

      

Поэтому

           

Т.к. величина справа может быть сделана сколь угодно малой, а величина слева неотрицательна, то (11) тождественно выполняется.

      Осталось доказать, что система функций (7) является единственным решением системы (4).

Предположим, что функции

                                                                (12)

также образуют решение системы (4). Ясно, что функции   непрерывны, т.к. таковы правые части уравнений системы (4); кроме того, . Поэтому, заменяя (если это необходимо) интервал  на меньший интервал , мы можем считать, что

т.е. . Поэтому справедливы неравенства (6), т.е.

                ,                                     (6a)

а поскольку по предположению

            ,

то с учетом (6) и (6а) имеем

        

Далее, т.к.

                                   (13)

то, воспользовавшись полученным неравенством и неравенством Липшица, получим

                      .                        (14)

Снова повторяя ту же процедуру, из (13) и (14) имеем

                            

и т.д.; на m-м шаге получим

        ,

т.к. величина справа стремится к нулю, а слева неотрицательна, то отсюда следует, что , ч. т. д.

Часто вместо условия Липшица

вводят более грубое, но обычно легко проверяемое условие существования ограниченной по модулю производной F(x) на отрезке [a,b].

Действительно, если при x[a, b]

                                          

то, пользуясь теоремой о конечных приращениях (формулой Лагранжа), получим

где , т.е. [a, b], поэтому , а, следовательно,

Приведенный выше пример функции , для которой условие

Липшица выполняется, но производная F(x) при x=0 не существует, говорит о том, что условие  является более грубым, чем условие Липшица.

Пример.

Д.у. II порядка

                      

Положим

Тогда получим нормальную систему д.у.

Пусть

             

Эквивалентная систему интегральных уравнений имеет вид:

             

Итерации:

            

Итак,

             

При x=/2:

             

Точное решение:

               

т.е.

Интегрируя это уравнение, находим С(y). Второй способ определения функции U(x,y) по её полному дифференциалу  состоит в вычислении криволинейного интеграла от   по некоторому пути от точки  до точки (x, y):

 Т.к. подынтегральное выражение – полный дифференциал, то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Если путь интегрирования - ломаная со звеньями, параллельными осям координат, то

   

                        =

 Пример 1.

Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84060. Прием, обработка, регистрация и распределение входящих и внутренних документов в ИОГВ Пермского края. Порядок рассмотрения документов. Организация работы с документами, содержащими служебную информацию ограниченного распространения 41.09 KB
  Инструкция по делопроизводству Прием обработка регистрация и распределение входящих и внутренних документов Доставка документов в Правительство Пермского края администрацию губернатора Пермского края аппарат Правительства Пермского края исполнительные органы государственной власти Пермского края осуществляется как правило средствами почтовой фельдъегерской факсимильной и электрической связи. В исполнительных органах государственной власти Пермского края администрации губернатора Пермского края прием обработка регистрация и...
84061. Взаимодействие мышц с нервной системой, нервно-мышечная единица 29.5 KB
  Выделяют центральную нервную систему которая состоит из головного и спинного мозга и периферическую состоящую из нервов отходящих от головного и спинного мозга межпозвоночных нервных узлов а также из периферического отдела вегетативной нервной системы. ЦНС состоит из спинного и головного мозга. Чем выше расположена та или иная часть мозга тем сложнее ее функции. Продолговатый и средний мозг вместе образуют стволовую часть головного мозга.
84062. Функции крови. Особенности строения клеток и плазмы крови 30.64 KB
  Функции крови. Особенности строения клеток и плазмы крови. От вязкости крови зависят в значительной мере скорость с которой кровь протекает через артерии полуупругие структуры и кровяное давление. Текучесть крови определяется также ее плотностью и характером движения различных типов клеток.
84063. Костный мозг и периферическая кровь 33.34 KB
  Функции: сложнейший процесс образования всех элементов крови разрушение эритроцитов реутилизация железа синтез гемоглобина служит местом накопления резервных липидов принимает участие в реакции иммунного ответа. Все клетки крови происходят от одной стволовой клетки которая в костном мозге размножается и развитие идет по четырем направлениям образование эритроцитов эритропоэз лейкоцитов миелопоэз лимфоцитов лимфопоэз и тромбоцитов тромбоцитопоэз. В промежутках между структурами стромы находятся клетки участвующие в...
84064. Становление работы иммунной системы в детском возрасте 32.21 KB
  Иммунная система комплекс анатомических структур обеспечивающих защиту организма от различных инфекционных агентов и продуктов их жизнедеятельности а также тканей и веществ обладающих чужеродными антигенными свойствами. Иммунная система является одной из важнейших систем человеческого организма. Ребенок встречается с бактериями сразу после рождения и сразу начинает работать иммунная система. Иммунная система детского организма в силу становления и созревания ее различных звеньев характеризуется высокой чувствительностью к действию...
84065. Органы и функции органов пищеварительной системы 42.71 KB
  Они располагаются на границах пищевода и желудка кардиалъный сфинктер желудка и двенадцатиперстной кишки пилорический сфинктер а также в месте перехода подвздошной кишки в слепую и вокруг анального отверстия. Внутренний листок брюшины покрывает большую часть органов пищеварительного канала: желудок и весь кишечник кроме прямой кишки. Эти влияния осуществляются биологически активными веществами образующимися в слизистой оболочке двенадцатиперстной кишки и желудка а также различными пищевыми веществами всосавшимися в кровь из...
84066. Регуляция процесса пищеварения 31.89 KB
  В системе пищеварения происходят три взаимосвязанных процесса секреция моторная функция и всасывания. Конечным результатом деятельности системы пищеварения являются поступления во внутреннюю среду организма питательных веществ воды витаминов электролитов и микроэлементов. Натощак в состоянии покоя органов пищеварения возникает периодическая их деятельность что проявляется сокращением желудка и кишок выделением небольшого количества желудочного сока желчи сока поджелудочной железы и кишечника.
84067. Особенности пищеварительной системы детей раннего возраста 24.75 KB
  Для детей первых месяцев жизни имеют определяющее значение питательные вещества которые поступают с молоком матери и перевариваются за счет веществ содержащихся в самом женском молоке. Всасывание пищевых ингредиентов у детей раннего возраста имеет свои особенности. Расщепление молочного сахара у детей происходит в кайме кишечного эпителия.
84068. Питание детей первого года жизни, грудное молоко как источник питательных и защитных веществ для ребенка 29.6 KB
  Идеальным питанием для ребенка в первые месяцы жизни является грудное молоко поскольку в нем содержатся все необходимые для развития и роста ребенка пищевые вещества. Именно грудное молоко – источник всех необходимых для роста и развития ребенка пищевых веществ: белков жиров углеводов витаминов и минералов. Кроме того грудное молоко является источником таких важных компонентов как ферменты иммуноглобулины гормоны что так же жизненно необходимо для гармоничного развития ребенка для его защиты от различных инфекционных заболеваний.