21448

Нормальные системы дифференциальных уравнений. Условие Липшица

Лекция

Математика и математический анализ

Условие Липшица. Говорят что функция удовлетворяет условию Липшица в некотором интервале [b] если существует такое число 0 что для. Так функция удовлетворяет условию Липшица в окрестности x=0 но её производная в точке x=0 имеет разрыв. Если функция нескольких переменных удовлетворяет условию Липшица по каждой из этих переменных в соответствующем диапазоне их изменения т.

Русский

2013-08-02

267 KB

37 чел.

Лекция 3.

Нормальные системы дифференциальных уравнений. Условие Липшица.

      Рассмотрим дифференциальное уравнение вида:

Положим

                   

тогда наше уравнение сводится к системе n дифференциальных уравнений I порядка:

Эта система является частным случаем системы дифференциальных уравнений

                                                               (1)

Система (1) называется нормальной системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Для выделения единственного решения система (1) дополняется начальными условиями:

                               .                            (2)

Задача (1) и (2) называется задачей Коши. Условия (2) называются начальными данными Коши.

Говорят, что функция  удовлетворяет условию Липшица в некотором интервале [a,b], если существует такое число A>0, что для  

.

Это условие – более слабое, чем, например, условие непрерывной дифференцируемости. Так, функция

,

удовлетворяет условию Липшица в окрестности x=0, но её производная в точке x=0 имеет разрыв.

Если функция нескольких переменных ( удовлетворяет условию Липшица по каждой из этих переменных в соответствующем диапазоне их изменения, т.е. если

               ,           (*)

то эта функция удовлетворяет условию Липшица также и по совокупности переменных , т.е. постоянная А, для которой

              

Действительно, из тождества

              

               

                

на основе (*) следует неравенство

          

Обозначив через , наибольшую из , получим требуемое неравенство.

Теорема существования и единственности для нормальных систем дифференциальных уравнений.

 Напомним, что нормальной системой дифференциальных уравнений  была названа система вида:

                                                                (1)

с начальными условиями (данными Коши)

                                         (2)

Имеет место следующая фундаментальная теорема (Пикара):

Пусть даны система дифференциальных уравнений вида (1) и начальные условия (2); если можно найти такие положительные числа a и b, что в области , определенной неравенствами

                  

                           ,                 (3)

функции  непрерывны и удовлетворяют условию Липшица по переменным , то можно определить такое число (0<a), что в интервале  система обладает одним и только одним решением, удовлетворяющим начальным условиям (2).

        Предварительно покажем, что система (1), (2) эквивалентна, следующей системе n (нелинейных) интегральных уравнений Вольтерра:

                                              (4)

Действительно, дифференцируя (4) по x, получим i-е уравнение системы (1), а, полагая в (4) , получим, что , т.е. начальные условия (2). Обратно, интегрируя i-е уравнение системы (1) с учетом (2), получим (4).

Будем решать систему (4) методом последовательных приближений, т.е. положим

                     

                            (5)

Т.к. по условию теоремы функции  непрерывны в замкнутой области (гиперинтервале) , то они равномерно непрерывны в . Поэтому существует такое число M>0, что всюду в  

                                                                     (6)

Отсюда, полагая , для значений  будем иметь последовательно

              

Таким образом, для  функции  удовлетворяют при всех m условиям теоремы и, в частности условию Липшица, поскольку значения переменных  лежат в интервале .

      Покажем, что при m система функций (5) равномерно сходится к некоторой системе функций

                                                                    (7)

т.е. для  можно найти такое , что для всех  и всех i=1,…,n при  ,будет

                          .

В самом деле, поскольку

                               

то с использованием условия Липшица, получим

         

,

где А – подходящая константа (большая нуля), единая для всех i. Аналогично

            

               

и т.д.

       Таким образом, вообще

    ,

или

                                  (9)

Отсюда следует, что ряд

               (10)

мажорируется  сходящимся числовым рядом

            

и потому абсолютно и равномерно сходится в интервале . Т.к. сумма его первых (m+1) членов равна , то отсюда следует, что для  при  будет

                   

где  означает сумму ряда (10), т.е. предел  при m.

Теперь нужно взять .

      Докажем теперь, что система функций (7) удовлетворяет системе интегральных уравнений (4), т.е., что равенства

                        (11)

являются тождествами.

Для доказательства положим

С использованием соотношения (5) будем иметь

.

Вычтя из обеих частей этого равенства

,

получим

         

   

              

Однако в силу условия Липшица и (8) имеем при  

      

Поэтому

           

Т.к. величина справа может быть сделана сколь угодно малой, а величина слева неотрицательна, то (11) тождественно выполняется.

      Осталось доказать, что система функций (7) является единственным решением системы (4).

Предположим, что функции

                                                                (12)

также образуют решение системы (4). Ясно, что функции   непрерывны, т.к. таковы правые части уравнений системы (4); кроме того, . Поэтому, заменяя (если это необходимо) интервал  на меньший интервал , мы можем считать, что

т.е. . Поэтому справедливы неравенства (6), т.е.

                ,                                     (6a)

а поскольку по предположению

            ,

то с учетом (6) и (6а) имеем

        

Далее, т.к.

                                   (13)

то, воспользовавшись полученным неравенством и неравенством Липшица, получим

                      .                        (14)

Снова повторяя ту же процедуру, из (13) и (14) имеем

                            

и т.д.; на m-м шаге получим

        ,

т.к. величина справа стремится к нулю, а слева неотрицательна, то отсюда следует, что , ч. т. д.

Часто вместо условия Липшица

вводят более грубое, но обычно легко проверяемое условие существования ограниченной по модулю производной F(x) на отрезке [a,b].

Действительно, если при x[a, b]

                                          

то, пользуясь теоремой о конечных приращениях (формулой Лагранжа), получим

где , т.е. [a, b], поэтому , а, следовательно,

Приведенный выше пример функции , для которой условие

Липшица выполняется, но производная F(x) при x=0 не существует, говорит о том, что условие  является более грубым, чем условие Липшица.

Пример.

Д.у. II порядка

                      

Положим

Тогда получим нормальную систему д.у.

Пусть

             

Эквивалентная систему интегральных уравнений имеет вид:

             

Итерации:

            

Итак,

             

При x=/2:

             

Точное решение:

               

т.е.

Интегрируя это уравнение, находим С(y). Второй способ определения функции U(x,y) по её полному дифференциалу  состоит в вычислении криволинейного интеграла от   по некоторому пути от точки  до точки (x, y):

 Т.к. подынтегральное выражение – полный дифференциал, то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Если путь интегрирования - ломаная со звеньями, параллельными осям координат, то

   

                        =

 Пример 1.

Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5016. Проблема інвестування економіки України за рахунок внутрішніх резервів 108.5 KB
  Інвестиції є основою розвитку підприємств, окремих галузей та економіки країни в цілому. Від уміння інвестувати залежить розквіт чи занепад власного виробництва, можливості вирішення соціальних й екологічних проблем, сучасний рівень і потенцій...
5017. Рыночная экономика: сущность, функции, механизм 149 KB
  Рыночная экономика: сущность, функции, механизм. На какой бы ступени исторического развития ни находилось человеческое общество, люди, чтобы жить, должны иметь пищу, одежду, жилищные и другие материальные блага. Необходимые человеку средства...
5018. Налогообложение в России 223 KB
  В течение ряда последних лет Российская Федерация переживает величайший экономический эксперимент - переход от планового управления народным хозяйством к использованию рыночных механизмов экономического развития. Новые экономические инстр...
5019. Менеджмент – как структура управления предприятием 143 KB
  В наше время появляется много фирм. Состояние фирмы во многом зависит от правильного руководства, правильного управления делами фирмы. Необходимо четко понимать, насколько устойчива фирма, и как долго она сможет противостоять различным внеш...
5020. Повышение эффективности обработки экономической информации на базе АРМ финансиста 326.5 KB
  Введение В связи с неустойчивым положением в стране в последнее время одной из немногих благополучных отраслей, переживающих период бурного роста, является компьютерная индустрия. Буквально за считанные годы в стране освоен массовый выпуск качествен...
5022. Види АРП приймальних пристроїв РЛС. Робота АРП із зворотним звязком 26.98 KB
  Усилители с автоматической регулировкой усиления (АРУ). Области применения АРУ. Мощность отраженного радиолокационного сигнала принимаемого от отражающего объекта, изменяется прямопропорционально четвертой степени дальности или удвоенного в...
5023. Современные представления происхождения Вселенной, теория Большого взрыва 93 KB
  Проблемы зарождения и существования Вселенной занимали самого древнего человека. Небо, которое было доступно его обозрению, было для него очень интересно. Недаром астрономия считается одной из самых древних наук о природе. Не потерял интере...
5024. Экологические проблемы развития автомобильного транспорта 993.5 KB
  Транспортно-дорожный комплекс является мощным источником загрязнения природной среды. Из 35 млн.т вредных выбросов 89% приходится на выбросы автомобильного транспорта и предприятий дорожно-строительного комплекса. Существенна роль транспорт...