21448

Нормальные системы дифференциальных уравнений. Условие Липшица

Лекция

Математика и математический анализ

Условие Липшица. Говорят что функция удовлетворяет условию Липшица в некотором интервале [b] если существует такое число 0 что для. Так функция удовлетворяет условию Липшица в окрестности x=0 но её производная в точке x=0 имеет разрыв. Если функция нескольких переменных удовлетворяет условию Липшица по каждой из этих переменных в соответствующем диапазоне их изменения т.

Русский

2013-08-02

267 KB

35 чел.

Лекция 3.

Нормальные системы дифференциальных уравнений. Условие Липшица.

      Рассмотрим дифференциальное уравнение вида:

Положим

                   

тогда наше уравнение сводится к системе n дифференциальных уравнений I порядка:

Эта система является частным случаем системы дифференциальных уравнений

                                                               (1)

Система (1) называется нормальной системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Для выделения единственного решения система (1) дополняется начальными условиями:

                               .                            (2)

Задача (1) и (2) называется задачей Коши. Условия (2) называются начальными данными Коши.

Говорят, что функция  удовлетворяет условию Липшица в некотором интервале [a,b], если существует такое число A>0, что для  

.

Это условие – более слабое, чем, например, условие непрерывной дифференцируемости. Так, функция

,

удовлетворяет условию Липшица в окрестности x=0, но её производная в точке x=0 имеет разрыв.

Если функция нескольких переменных ( удовлетворяет условию Липшица по каждой из этих переменных в соответствующем диапазоне их изменения, т.е. если

               ,           (*)

то эта функция удовлетворяет условию Липшица также и по совокупности переменных , т.е. постоянная А, для которой

              

Действительно, из тождества

              

               

                

на основе (*) следует неравенство

          

Обозначив через , наибольшую из , получим требуемое неравенство.

Теорема существования и единственности для нормальных систем дифференциальных уравнений.

 Напомним, что нормальной системой дифференциальных уравнений  была названа система вида:

                                                                (1)

с начальными условиями (данными Коши)

                                         (2)

Имеет место следующая фундаментальная теорема (Пикара):

Пусть даны система дифференциальных уравнений вида (1) и начальные условия (2); если можно найти такие положительные числа a и b, что в области , определенной неравенствами

                  

                           ,                 (3)

функции  непрерывны и удовлетворяют условию Липшица по переменным , то можно определить такое число (0<a), что в интервале  система обладает одним и только одним решением, удовлетворяющим начальным условиям (2).

        Предварительно покажем, что система (1), (2) эквивалентна, следующей системе n (нелинейных) интегральных уравнений Вольтерра:

                                              (4)

Действительно, дифференцируя (4) по x, получим i-е уравнение системы (1), а, полагая в (4) , получим, что , т.е. начальные условия (2). Обратно, интегрируя i-е уравнение системы (1) с учетом (2), получим (4).

Будем решать систему (4) методом последовательных приближений, т.е. положим

                     

                            (5)

Т.к. по условию теоремы функции  непрерывны в замкнутой области (гиперинтервале) , то они равномерно непрерывны в . Поэтому существует такое число M>0, что всюду в  

                                                                     (6)

Отсюда, полагая , для значений  будем иметь последовательно

              

Таким образом, для  функции  удовлетворяют при всех m условиям теоремы и, в частности условию Липшица, поскольку значения переменных  лежат в интервале .

      Покажем, что при m система функций (5) равномерно сходится к некоторой системе функций

                                                                    (7)

т.е. для  можно найти такое , что для всех  и всех i=1,…,n при  ,будет

                          .

В самом деле, поскольку

                               

то с использованием условия Липшица, получим

         

,

где А – подходящая константа (большая нуля), единая для всех i. Аналогично

            

               

и т.д.

       Таким образом, вообще

    ,

или

                                  (9)

Отсюда следует, что ряд

               (10)

мажорируется  сходящимся числовым рядом

            

и потому абсолютно и равномерно сходится в интервале . Т.к. сумма его первых (m+1) членов равна , то отсюда следует, что для  при  будет

                   

где  означает сумму ряда (10), т.е. предел  при m.

Теперь нужно взять .

      Докажем теперь, что система функций (7) удовлетворяет системе интегральных уравнений (4), т.е., что равенства

                        (11)

являются тождествами.

Для доказательства положим

С использованием соотношения (5) будем иметь

.

Вычтя из обеих частей этого равенства

,

получим

         

   

              

Однако в силу условия Липшица и (8) имеем при  

      

Поэтому

           

Т.к. величина справа может быть сделана сколь угодно малой, а величина слева неотрицательна, то (11) тождественно выполняется.

      Осталось доказать, что система функций (7) является единственным решением системы (4).

Предположим, что функции

                                                                (12)

также образуют решение системы (4). Ясно, что функции   непрерывны, т.к. таковы правые части уравнений системы (4); кроме того, . Поэтому, заменяя (если это необходимо) интервал  на меньший интервал , мы можем считать, что

т.е. . Поэтому справедливы неравенства (6), т.е.

                ,                                     (6a)

а поскольку по предположению

            ,

то с учетом (6) и (6а) имеем

        

Далее, т.к.

                                   (13)

то, воспользовавшись полученным неравенством и неравенством Липшица, получим

                      .                        (14)

Снова повторяя ту же процедуру, из (13) и (14) имеем

                            

и т.д.; на m-м шаге получим

        ,

т.к. величина справа стремится к нулю, а слева неотрицательна, то отсюда следует, что , ч. т. д.

Часто вместо условия Липшица

вводят более грубое, но обычно легко проверяемое условие существования ограниченной по модулю производной F(x) на отрезке [a,b].

Действительно, если при x[a, b]

                                          

то, пользуясь теоремой о конечных приращениях (формулой Лагранжа), получим

где , т.е. [a, b], поэтому , а, следовательно,

Приведенный выше пример функции , для которой условие

Липшица выполняется, но производная F(x) при x=0 не существует, говорит о том, что условие  является более грубым, чем условие Липшица.

Пример.

Д.у. II порядка

                      

Положим

Тогда получим нормальную систему д.у.

Пусть

             

Эквивалентная систему интегральных уравнений имеет вид:

             

Итерации:

            

Итак,

             

При x=/2:

             

Точное решение:

               

т.е.

Интегрируя это уравнение, находим С(y). Второй способ определения функции U(x,y) по её полному дифференциалу  состоит в вычислении криволинейного интеграла от   по некоторому пути от точки  до точки (x, y):

 Т.к. подынтегральное выражение – полный дифференциал, то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Если путь интегрирования - ломаная со звеньями, параллельными осям координат, то

   

                        =

 Пример 1.

Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38427. Поліетилен та його основні хімічні властивості 193.76 KB
  0 об’ємна чаcтка суми метану з етаном не більше 010 об’ємна чаcтка суми вуглеводнів С3 і С4 ррm не більше 50 об’ємна чаcтка ацетилену ррm не більше 10 об’ємна частка окису вуглецю ррm не більше 5 об’ємна частка двоокису вуглецю ррm не більше 10 об’ємна частка водню ррm не більше 10 об’ємна чаcтка загальних карбонілів в перерахунку на МЕК ррm не більше 1 об’ємна чаcтка кисню ррm не більше 3 масова чаcтка загальної сірки ррm не більше 1 масова чаcтка хлору ррm не більше 1 об’ємна чаcтка води ррm не більше 10 об’ємна чаcтка...
38428. Топографо-геодезические работы в Янаульском и Татышлинском районе для прокладки оптово-волоконно-кабеля связи 609.49 KB
  Целью изысканий является получение топографических материалов необходимых и достаточных для разработки проекта строительства волоконнооптической линии связи. Более эффективно волоконнооптический кабель 9 125 с полимерными волокнами работает за счет способности не воспринимать влияние электромагнитных сигналов и радиоволн. При выполнение дипломного проекта нами были проведены топографогеодезические работы в Янаульском и Татышлинском районе по проходящем там линиям электропередач данные изыскания были основой для прокладки...
38429. Исследование теории робастного управления и применение ее методов к решению задачи стабилизации бокового движения ЛА 2.34 MB
  На современном этапе основными объектами управления являются системы работающие в условиях неопределенности т. Системы автоматического и полуавтоматического управления полетом относятся в настоящее время к числу наиболее важных и стремительно развивающихся систем летательных аппаратов ЛА. Системы управления самолетов вертолетов и других пилотируемых ЛА все в большой мере становятся комплексными обеспечивающими все основные этапы полета.
38430. Многокритериальный анализ решений по обеспечению безопасности техногенного объекта с расширенным понятием безопасности 735 KB
  Экспертные подходы многокритериальных принятий решений на основе сравнений многокритериальных альтернатив обеспечения социотехнической безопасности техногенного объекта ТО Определение наилучшей альтернативы. Методы ELECTRE ранжирования многокритериальных альтернатив. Применения МАИ для многокритериальных сравнений альтернатив оценки безопасности техногенного объекта
38431. Метод расчета мехатронной системы привода телескопа на основе равновесно-оптимальной балансировки 3.15 MB
  Cтабильноэффективный компромисс в ММС СТЭК ММС это объединение стабильности и эффективности в рамках множества решений от полного совпадения данных свойств до обеспечения определенной степени сближения в условиях информационнотактических расширений соглашений. СТЭК в иерархических системах дополняет СТЭК ММС СТЭК ИС.3 П Парето граница АВ; Н Нэшравновесие; УКУ область угрозконтругроз; ИТ идеальная точка; УК – оптимальная часть Пграницы на основе узкого конуса ; Ш – точка Шепли; СНД – ПаретоНэш область компромиссов ПНОК...
38432. Моделирование процесса нанесения краски устройством с применением робота Kawasaki 3.31 MB
  Определить параметры траекторного движения захвата – декартовы координаты углы Эйлера скорости обеспечивающие непрерывное точное и безошибочное выполнение технологических операций. Пульт выполняет серию важных задач: Ручное управление роботом Обучение данных позиции координат Обучение вспомогательных данных блочное программирование Рис. В языке используется термин позиция так как этот термин выбран в стандарте ISO фактически же позицией является совокупность трёх координат конца центра схвата TCP а также трёх эйлеровых...
38433. Разработка и исследования метода сетевого оператора для адаптивного управления динамическим объектом 3.77 MB
  Решение задачи синтеза системы управления — есть поиск управления, как функции от пространственных координат. При этом сложнее всего получить структуру функции многомерного управления. До недавнего времени данная задача решалась следующим образом: исследователь определял структуру математического выражения, оставляя параметры неопределенными, затем их значения находились с помощью численных методов в соответствии с заданным критерием управления.
38434. Разработка и исследование искусственной нейронной сети для управления динамическим объектом с переменными параметрами 2.08 MB
  Искусственные нейронные сети используются в качестве регулятора многомерных и многосвязных динамических объектов. Применение искусственных нейронных сетей для целей управления является одной из многочисленных областей относительного нового раздела современной науки – нейроинформатики..
38435. Разработка системы конкурентно-оптимального прогноза управления предприятием на основе динамической модели олигополии 3.31 MB
  Cтабильноэффективный компромисс в ММС СТЭК ММС – это объединение стабильности и эффективности в рамках множества решений – от полного совпадения данных свойств в одной точке пространства J или U до обеспечения возможной степени сближения в условиях информационнотактических расширений соглашений. СТЭК ММС дополняют СТЭК в иерархических системах СТЭК ИС где реализуется право первого хода на основе субъективной информации что составляет тему отдельного исследования. Компромиссы на основе комбинации ПаретоНэшУКУШеплиподходовП –...