21448

Нормальные системы дифференциальных уравнений. Условие Липшица

Лекция

Математика и математический анализ

Условие Липшица. Говорят что функция удовлетворяет условию Липшица в некотором интервале [b] если существует такое число 0 что для. Так функция удовлетворяет условию Липшица в окрестности x=0 но её производная в точке x=0 имеет разрыв. Если функция нескольких переменных удовлетворяет условию Липшица по каждой из этих переменных в соответствующем диапазоне их изменения т.

Русский

2013-08-02

267 KB

37 чел.

Лекция 3.

Нормальные системы дифференциальных уравнений. Условие Липшица.

      Рассмотрим дифференциальное уравнение вида:

Положим

                   

тогда наше уравнение сводится к системе n дифференциальных уравнений I порядка:

Эта система является частным случаем системы дифференциальных уравнений

                                                               (1)

Система (1) называется нормальной системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Для выделения единственного решения система (1) дополняется начальными условиями:

                               .                            (2)

Задача (1) и (2) называется задачей Коши. Условия (2) называются начальными данными Коши.

Говорят, что функция  удовлетворяет условию Липшица в некотором интервале [a,b], если существует такое число A>0, что для  

.

Это условие – более слабое, чем, например, условие непрерывной дифференцируемости. Так, функция

,

удовлетворяет условию Липшица в окрестности x=0, но её производная в точке x=0 имеет разрыв.

Если функция нескольких переменных ( удовлетворяет условию Липшица по каждой из этих переменных в соответствующем диапазоне их изменения, т.е. если

               ,           (*)

то эта функция удовлетворяет условию Липшица также и по совокупности переменных , т.е. постоянная А, для которой

              

Действительно, из тождества

              

               

                

на основе (*) следует неравенство

          

Обозначив через , наибольшую из , получим требуемое неравенство.

Теорема существования и единственности для нормальных систем дифференциальных уравнений.

 Напомним, что нормальной системой дифференциальных уравнений  была названа система вида:

                                                                (1)

с начальными условиями (данными Коши)

                                         (2)

Имеет место следующая фундаментальная теорема (Пикара):

Пусть даны система дифференциальных уравнений вида (1) и начальные условия (2); если можно найти такие положительные числа a и b, что в области , определенной неравенствами

                  

                           ,                 (3)

функции  непрерывны и удовлетворяют условию Липшица по переменным , то можно определить такое число (0<a), что в интервале  система обладает одним и только одним решением, удовлетворяющим начальным условиям (2).

        Предварительно покажем, что система (1), (2) эквивалентна, следующей системе n (нелинейных) интегральных уравнений Вольтерра:

                                              (4)

Действительно, дифференцируя (4) по x, получим i-е уравнение системы (1), а, полагая в (4) , получим, что , т.е. начальные условия (2). Обратно, интегрируя i-е уравнение системы (1) с учетом (2), получим (4).

Будем решать систему (4) методом последовательных приближений, т.е. положим

                     

                            (5)

Т.к. по условию теоремы функции  непрерывны в замкнутой области (гиперинтервале) , то они равномерно непрерывны в . Поэтому существует такое число M>0, что всюду в  

                                                                     (6)

Отсюда, полагая , для значений  будем иметь последовательно

              

Таким образом, для  функции  удовлетворяют при всех m условиям теоремы и, в частности условию Липшица, поскольку значения переменных  лежат в интервале .

      Покажем, что при m система функций (5) равномерно сходится к некоторой системе функций

                                                                    (7)

т.е. для  можно найти такое , что для всех  и всех i=1,…,n при  ,будет

                          .

В самом деле, поскольку

                               

то с использованием условия Липшица, получим

         

,

где А – подходящая константа (большая нуля), единая для всех i. Аналогично

            

               

и т.д.

       Таким образом, вообще

    ,

или

                                  (9)

Отсюда следует, что ряд

               (10)

мажорируется  сходящимся числовым рядом

            

и потому абсолютно и равномерно сходится в интервале . Т.к. сумма его первых (m+1) членов равна , то отсюда следует, что для  при  будет

                   

где  означает сумму ряда (10), т.е. предел  при m.

Теперь нужно взять .

      Докажем теперь, что система функций (7) удовлетворяет системе интегральных уравнений (4), т.е., что равенства

                        (11)

являются тождествами.

Для доказательства положим

С использованием соотношения (5) будем иметь

.

Вычтя из обеих частей этого равенства

,

получим

         

   

              

Однако в силу условия Липшица и (8) имеем при  

      

Поэтому

           

Т.к. величина справа может быть сделана сколь угодно малой, а величина слева неотрицательна, то (11) тождественно выполняется.

      Осталось доказать, что система функций (7) является единственным решением системы (4).

Предположим, что функции

                                                                (12)

также образуют решение системы (4). Ясно, что функции   непрерывны, т.к. таковы правые части уравнений системы (4); кроме того, . Поэтому, заменяя (если это необходимо) интервал  на меньший интервал , мы можем считать, что

т.е. . Поэтому справедливы неравенства (6), т.е.

                ,                                     (6a)

а поскольку по предположению

            ,

то с учетом (6) и (6а) имеем

        

Далее, т.к.

                                   (13)

то, воспользовавшись полученным неравенством и неравенством Липшица, получим

                      .                        (14)

Снова повторяя ту же процедуру, из (13) и (14) имеем

                            

и т.д.; на m-м шаге получим

        ,

т.к. величина справа стремится к нулю, а слева неотрицательна, то отсюда следует, что , ч. т. д.

Часто вместо условия Липшица

вводят более грубое, но обычно легко проверяемое условие существования ограниченной по модулю производной F(x) на отрезке [a,b].

Действительно, если при x[a, b]

                                          

то, пользуясь теоремой о конечных приращениях (формулой Лагранжа), получим

где , т.е. [a, b], поэтому , а, следовательно,

Приведенный выше пример функции , для которой условие

Липшица выполняется, но производная F(x) при x=0 не существует, говорит о том, что условие  является более грубым, чем условие Липшица.

Пример.

Д.у. II порядка

                      

Положим

Тогда получим нормальную систему д.у.

Пусть

             

Эквивалентная систему интегральных уравнений имеет вид:

             

Итерации:

            

Итак,

             

При x=/2:

             

Точное решение:

               

т.е.

Интегрируя это уравнение, находим С(y). Второй способ определения функции U(x,y) по её полному дифференциалу  состоит в вычислении криволинейного интеграла от   по некоторому пути от точки  до точки (x, y):

 Т.к. подынтегральное выражение – полный дифференциал, то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Если путь интегрирования - ломаная со звеньями, параллельными осям координат, то

   

                        =

 Пример 1.

Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82145. Звуки з, з, позначення їх буквою Зз («зе»). Дзвінке вимовляння цих звуків у кінці слів і складів. Фразеологізми. Опрацювання тексту «Весела зима». Скоромовки 117 KB
  Навчити учнів упізнавати звуки у мовленому слові та позначати їх буквою Зз зечитати слова з новою буквою чітко вимовляти звуки перед глухими приголосними та в кінці слова; розвивати спостережливість увагу логічне мислення вміння зіставляти порівнювати звукобуквений склад та їх смислове значення...
82146. «Чернобыльская зона» Вечер-реквием ко Дню ликвидатора 59 KB
  Все ликвидаторы аварии на Чернобыльской АЭС 1986-1990 годов достойны того, чтобы их бескорыстный пример долга был примером для наших потомков, об этом подвиге знали, помнили и с благодарностью вспоминали их имена. Слово предоставляется участнику ликвидации последствий аварии на Чернобыльской...
82147. Позакласний захід «Математика із зірками» 464.5 KB
  На картках математиків написане квадратне рівняння на картках учнів корені відповідного квадратного рівняння. Потрібно утворити пару так щоб корені були розвязками відповідного квадратного рівняння. Математик у голос зачитує квадратне рівняння а учні розвязуючи знаходять відповідні корені даного рівняння.
82148. Повторення та узагальнення вивченого про займенник. Творча робота над вживанням займенників 35.5 KB
  Мета: повторити й узагальнити вивчене про займенник провести підготовку до контрольної роботи; розвивати вміння використовувати займенники у мовленні; виховувати працелюбність бажання вести здоровий спосіб життя; спонукати до творчості реалізувати потреби учнів у спілкуванні.
82149. Інтелектуальна гра за творчістю Тараса Григоровича Шевченка «Зіркова година» 32 KB
  Кожен учасник отримує по три картки з цифрами 123 для відповідей. За правильну відповідь кожен отримує зірочку. Кожен відкриває для себе щось нове в даній постаті. Завдячуючи Тарасу Григоровичу кожен з нас повинен зрозуміти: людина творець своєї долі.
82150. Перехід проїзної частини дороги за різних умов 90.5 KB
  Мета: Ознайомлення учнів з основами організації дорожнього руху структурними елементами вулиці та дороги технічними засобами організації дорожнього руху прищеплення розуміння необхідності суворого дотримання встановлених правил поведінки на дорозі вироблення навичок спостережливості...
82151. Будь чистым и аккуратным (Как подружиться с королевой Гигиеной) 489 KB
  Кто хочет быть здоровым никогда не болеть Но одного желания мало Что надо делать чтобы всегда хорошо выглядеть быть здоровым А что это за письмо пришло нам конверт с письмом обратный адрес: Замарашкина Никогда не мойте руки Шею уши и лицо. Вновь испачкаются руки Шея уши и лицо. Игра Так я мою руки.
82152. Харчування та здоров’я 2.06 MB
  Мета: Пояснити учням значення харчування для здоров’я, розширити уявлення про різноманітність харчових продуктів, вчити дітей правильно харчуватися, розвивати культурно-гігієнічні навички поведінки під час прийому їжі, прищеплювати естетичні смаки щодо сервірування столу, прикрашання страв.
82153. СОНЦЕ: КОРИСНЕ ТА ШКІДЛИВЕ. ПРАВИЛА ПОВЕДІНКИ ПІД ЧАС ВІДПОЧИНКУ НА ВОДІ 492 KB
  Мета: розповісти учням про правила безпечної поведінки біля води; ознайомити учнів із впливом сонячних променів на організм людини, способами запобігання й надання допомоги у разі сонячного удару; виховувати обережність. Формувати розуміння того, що тільки від власної поведінки залежить життя...