21449

Теорема о дифференцируемости решений дифференциальных уравнений. Особые точки

Лекция

Математика и математический анализ

Особые точки. Теорема: если в окрестности точки функция имеет непрерывные производные до mого порядка включительно то решение уравнения 1 удовлетворяющее начальному условию в некоторой окрестности точки имеет непрерывные производные до m1 порядка включительно. Подставляя в уравнение 1 получим тождество...

Русский

2013-08-02

463.5 KB

3 чел.

Лекция 4.

Теорема о дифференцируемости решений дифференциальных уравнений. Особые точки.

Теорема: если в окрестности точки функция  имеет непрерывные производные до m-ого порядка включительно, то решение  уравнения

                                                                              (1)

удовлетворяющее начальному условию , в некоторой окрестности точки  имеет непрерывные производные до (m+1) порядка включительно.

 Доказательство. Подставляя  в уравнение (1), получим тождество

                                                                          (1a)

и, следовательно, решение  имеет в некоторой окрестности рассматриваемой точки непрерывную производную, равную . Тогда в силу существования непрерывных производных функции f, будет существовать непрерывная вторая производная решения

Если m>1, то, в силу существования непрерывных производных второго порядка, можно, еще раз дифференцируя тождество (1а), обнаружить существование и непрерывность третьей производной

                

Повторяя это рассуждение m раз, докажем утверждение теоремы.

Рассмотрим теперь точки , в окрестности которых решения уравнения (1), удовлетворяющего условию , не существует, или решение существует, но оно не единственно. Такие точки называются особыми точками.

Кривая, состоящая из особых точек, называется особой. Очевидно, что особые точки будут среди тех, в которых нарушаются условия теоремы существования и единственности решения уравнения (1).

Первое  условие теоремы нарушается в точках разрыва функции . Однако, если переменные x и y равноправны, то в случае, когда при   функция ,  уравнение (1) может быть заменено следующим

у которого правая часть уже непрерывна в точке , если считать , что   .

Поэтому в тех задачах, в которых переменные x и y равноправны, особые точки могут быть среди тех, в которых функции   и  разрывные.

Часто уравнение (1) имеет вид:

                                                                                        (2)

где функции  – непрерывны.

В этом случае функции  и  будут одновременно разрывными, лишь в тех точках , в которых  и не существует пределов:

                             и          .

Рассмотрим поведение интегральных кривых в окрестности особой точки указанного выше типа на примере следующего простого уравнения:

                                                                                          (3)

Пусть  (т.к. в противном случае ) (т.е. при этом ).

Уравнение (3) эквивалентно следующей системе дифференциальных уравнений:

                                                                                         

с матрицей

.

Рассмотрим различные возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения

                        ,                (4)

где  - единичная матрица, разные: .

В этом случае существует линейное преобразование

с невырожденной матрицей , такое, что

,

или

,

т.е.

                                      .                                      (5)
Система (5) сводится к уравнению

                                          ,                                                                   (6)

которое решается разделением переменных:

                     

откуда

                                 .                                                                (7)

Рассмотрим возможные случаи.

I.1. Корни   действительные и одного знака. 

Без ограничения общности можно считать, что . Все интегральные кривые (7) проходят через начало координат =0. Все они касаются в начале оси , т.к.   

        .

Кроме семейства (7), куда входит и решение =0, существует также, как видно из (6), интегральная кривая =0.

Через начало координат проходит бесконечно много интегральных

кривых, такая особая точка называется узлом (бесконечное множество решений в точке , , С – любое).

Пример 1.

(семейство парабол с вертикальными осями и с вершиной в особой точке).

I.2. Корни  - действительные разных знаков. 

Тогда  Решение (7) имеет вид:

Два решения =0,=0 проходят через особую точку (начало координат). Остальные интегральные кривые не проходят через начало координат. Такая особая точка называется седлом.

    Пример 2.

        

   Общий интеграл        .

I.3. Корни  - комплексно сопряженные:

В этом случае, как видно из (5), мы можем считать, что . Таким образом, решение системы уравнений (5) мы можем записать в следующем виде:

,

где  - вещественная постоянная.

Получившиеся новые переменные , принимают комплексные значения при вещественных x и y, поэтому перейдем к вещественным переменным U, V при помощи невырожденного преобразования

             

В результате будем иметь:

                            ,                        (8)

или

.

В полярных координатах () имеем  .

Это семейство логарифмических спиралей в плоскости U, V с асимптотической точкой в начале; все кривые примыкают к началу, но без определенной предельной касательной. Они делают у точки (0,0) бесконечное количество оборотов. Такая особая точка называется фокусом.

I.4. Корни  чисто мнимые: .

Из (8) имеем

                                               

Семейство интегральных кривых есть семейство замкнутых кривых, окружающих особую точку; через саму особую точку не проходит ни одной интегральной кривой. Такая особая точка называется центром.

II. Корни  - равные действительные:

.

В этом случае дискриминант характеристического уравнения (4) равен нулю:

                                 .

Последнее, в свою очередь, возможно лишь в случае, когда , а также либо a=0, либо d=0, либо a=d=0. Рассмотрим отдельно эти случаи.

II.1. , a=0, либо d=0. Пусть для определенности d=0,  . В случае, когда a=0, , картина будет качественно такой же.

В рассматриваемом случае из уравнения (3) имеем

,

откуда  .

Решая второе уравнение, получим

.

Таким образом, исключая t, будем иметь

                       .                                           (9)  

Из (9) следует, что

                        ,

где знак (+) или  зависит от знака . Это вырожденный узел. Здесь, в отличие от узла (1) все интегральные кривые имеют одну касательную. В случае (1) одна кривая имела другую касательную. На рисунке изображен случай, соответствующий >0.

II.2. b=c=, a=d=0. В этом случае уравнение (3) имеет следующий вид

                       ,

а его общее решение -               .

Такая особая точка называется дикритическим узлом.


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

где , т.е. [a, b], поэтому , а, следовательно,

Приведенный выше пример функции , для которой условие

Липшица выполняется, но производная F(x) при x=0 не существует, говорит о том, что условие  является более грубым, чем условие Липшица.

Пример.

Д.у. II порядка

                      

Положим

Тогда получим нормальную систему д.у.

Пусть

             

Эквивалентная систему интегральных уравнений имеет вид:

             

Итерации:

            

Итак,

             

При x=/2:

             

Точное решение:

               

т.е.

Интегрируя это уравнение, находим С(y). Второй способ определения функции U(x,y) по её полному дифференциалу  состоит в вычислении криволинейного интеграла от   по некоторому пути от точки  до точки (x, y):

 Т.к. подынтегральное выражение – полный дифференциал, то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Если путь интегрирования - ломаная со звеньями, параллельными осям координат, то

   

                        =

 Пример 1.

Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22258. ПРИНЦИПЫ ИНТЕНСИВНОЙ ТЕРАПИИ ПРИ ОСТРЫХ СУБАРАХНОИДАЛЬНЫХ КРОВОИЗЛИЯНИЯХ НЕТРАВМАТИЧЕСКОЙ ЭТИОЛОГИИ 127 KB
  Cerebral arterial spasm: a controlled trial of nimodipine in patients with subarachnoid hemorrhage. Clinical vasospasm after subarachnoid hemorrhage: response to hypervolemic hemodilution and arterial hypertension. Intracerebral hemorrhage more than twice as common as subarachnoid hemorrhage. Aspects of the medical management in aneurysmal subarachnoid hemorrhage.
22259. КОРРЕКЦИЯ АРТЕРИАЛЬНОЙ ГИПЕРТЕНЗИИ В ПРАКТИКЕ ИНТЕНСИВНОЙ ТЕРАПИИ БОЛЬНЫХ С ЧЕРЕПНО-МОЗГОВОЙ ТРАВМОЙ И СОСУДИСТЫМИ ЗАБОЛЕВАНИЯМИ ГОЛОВНОГО МОЗГА 73.5 KB
  Повышенное АД традиционно считается неблагоприятным фактором для прогноза заболеваний головного мозга что объясняется несколькими причинами. Кроме того ряд авторов рассматривают артериальную гипертензию как пусковой фактор вазогенного отека мозга изза развития феномена роскошной перфузии . Эти исследователи предполагают что избыточный кровоток в церебральных сосудах может приводить к транскапиллярному переходу жидкой части крови в интерстициальное пространство развитию отека и дислокации мозга [2122].
22260. Лечение постперфузионной энцефалопатии 26 KB
  У каждого больного после искусственного кровообращения страдает церебральная ауторегуляция и происходит ишемия и отек головного мозга.В первые пять суток после развития потери сознания или судорог терапия должна быть направлена на поддержание нормального давления крайне нежелательна и даже губительна гипертензия и на максимально возможное подавление функциональной активности головного мозга. Падение ликворного давления на 34 сутки может являться результатом вклинения ствола мозга и декомпенсации отека.
22261. МОЗГОВОЙ КРОВОТОК 66.5 KB
  Торакальная и люмбальная порции спинного мозга не имеют в такой степени расширенного кровотока. Цереброваскулярное сосудистое русло постоянно находится под влиянием определенного количества физических и химических стимулов которые алаптируют калибр мозговых сосудов потребностям различных отделов головного мозга в зависимости от их функциональной активности. Конечной целью присходящих процессов яваляется: поддержание и быстрое изменение локального МК в зависимости от метаболической потребности различных отделов головного мозга; обеспечение...
22262. ИНФЕКЦИОННЫЕ БОЛЕЗНИ (ИБ) 43.5 KB
  Легкая форма гриппа характеризуется острым катаром верхних дыхательных путей. Эта форма длится несколько дней и завершается полным выздоровлением. Тяжелая форма гриппа имеет две разновидности: первая связана с резкой интоксикацией вторая легочными осложнениями при присоединении вторичной инфекции. Папулопустулезная форма характеризуется появлением на коже сыпи в виде узелков папула и гнойничков пустула на лице голове шее груди спине.
22263. КИШЕЧНЫЕ ИНФЕКЦИИ (КИ) 40.5 KB
  ДИЗЕНТЕРИЯ ШИГЕЛЛЕЗ острое кишечное инфекционное заболевание с поражением толстой кишки и признаками интоксикации антропоноз. Шигеллы размножаются в энтероцитах толстой кишки что ведет к некрозу клеток. Местные изменения развиваются в слизистой толстой кишки в основном в прямой и сигмовидной что проявляется дизентерийным колитом. Просвет кишки сужен.
22264. Совершенствование системы документооборота в ООО «РАЙЖИВСОЮЗ» 242 KB
  Дать определение понятия «документооборот», определить какие существуют виды документооборота, и какие функции они выполняют. Разобрать теоретические аспекты данной темы; Дать полную характеристику организации (ООО «РАЙЖИВСОЮЗ»), на основе которой будет выполняться данная курсовая работа; Предложить методы совершенствования существующей системы документооборота организации, показать и доказать их экономическую эффективность.
22265. ОПУХОЛИ СИСТЕМЫ КРОВИ (ГЕМОБЛАСТОЗЫ) 39 KB
  Это происходит следующим образом: сначала лейкозные клетки разрастаются в органах кроветворения красный костный мозг селезенка лимфоузлы затем происходит выход лейкозных клеток в кровь где их можно обнаружить в большом количестве на следующем этапе который рассматривается как метастазирование лейкозные клетки из крови попадают в органы и образуют лейкозные инфильтраты по ходу сосудов в строме что ведет к атрофии и дистрофии органа. лейкозные клетки вытесняют нормальные клетки крови эритроциты лейкоциты тромбоциты...
22266. ЗЛОКАЧЕСТВЕННЫЕ ЛИМФОМЫ 27 KB
  Лимфосаркома злокачественная опухоль из клеток лимфоцитарного ряда. Микро характерно диффузное разрастание атипичных лимфоидных клеток которые могут выходить за пределы ткани лимфоузла т. За счет пролиферации опухолевых клеток рисунок лимфоузла стирается в ткани возникают очаги некроза и склероза. Они состоят из пролиферирующих лимфоидных клеток гистиоцитов плазмоцитов и атипичных клеток.