21449

Теорема о дифференцируемости решений дифференциальных уравнений. Особые точки

Лекция

Математика и математический анализ

Особые точки. Теорема: если в окрестности точки функция имеет непрерывные производные до mого порядка включительно то решение уравнения 1 удовлетворяющее начальному условию в некоторой окрестности точки имеет непрерывные производные до m1 порядка включительно. Подставляя в уравнение 1 получим тождество...

Русский

2013-08-02

463.5 KB

3 чел.

Лекция 4.

Теорема о дифференцируемости решений дифференциальных уравнений. Особые точки.

Теорема: если в окрестности точки функция  имеет непрерывные производные до m-ого порядка включительно, то решение  уравнения

                                                                              (1)

удовлетворяющее начальному условию , в некоторой окрестности точки  имеет непрерывные производные до (m+1) порядка включительно.

 Доказательство. Подставляя  в уравнение (1), получим тождество

                                                                          (1a)

и, следовательно, решение  имеет в некоторой окрестности рассматриваемой точки непрерывную производную, равную . Тогда в силу существования непрерывных производных функции f, будет существовать непрерывная вторая производная решения

Если m>1, то, в силу существования непрерывных производных второго порядка, можно, еще раз дифференцируя тождество (1а), обнаружить существование и непрерывность третьей производной

                

Повторяя это рассуждение m раз, докажем утверждение теоремы.

Рассмотрим теперь точки , в окрестности которых решения уравнения (1), удовлетворяющего условию , не существует, или решение существует, но оно не единственно. Такие точки называются особыми точками.

Кривая, состоящая из особых точек, называется особой. Очевидно, что особые точки будут среди тех, в которых нарушаются условия теоремы существования и единственности решения уравнения (1).

Первое  условие теоремы нарушается в точках разрыва функции . Однако, если переменные x и y равноправны, то в случае, когда при   функция ,  уравнение (1) может быть заменено следующим

у которого правая часть уже непрерывна в точке , если считать , что   .

Поэтому в тех задачах, в которых переменные x и y равноправны, особые точки могут быть среди тех, в которых функции   и  разрывные.

Часто уравнение (1) имеет вид:

                                                                                        (2)

где функции  – непрерывны.

В этом случае функции  и  будут одновременно разрывными, лишь в тех точках , в которых  и не существует пределов:

                             и          .

Рассмотрим поведение интегральных кривых в окрестности особой точки указанного выше типа на примере следующего простого уравнения:

                                                                                          (3)

Пусть  (т.к. в противном случае ) (т.е. при этом ).

Уравнение (3) эквивалентно следующей системе дифференциальных уравнений:

                                                                                         

с матрицей

.

Рассмотрим различные возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения

                        ,                (4)

где  - единичная матрица, разные: .

В этом случае существует линейное преобразование

с невырожденной матрицей , такое, что

,

или

,

т.е.

                                      .                                      (5)
Система (5) сводится к уравнению

                                          ,                                                                   (6)

которое решается разделением переменных:

                     

откуда

                                 .                                                                (7)

Рассмотрим возможные случаи.

I.1. Корни   действительные и одного знака. 

Без ограничения общности можно считать, что . Все интегральные кривые (7) проходят через начало координат =0. Все они касаются в начале оси , т.к.   

        .

Кроме семейства (7), куда входит и решение =0, существует также, как видно из (6), интегральная кривая =0.

Через начало координат проходит бесконечно много интегральных

кривых, такая особая точка называется узлом (бесконечное множество решений в точке , , С – любое).

Пример 1.

(семейство парабол с вертикальными осями и с вершиной в особой точке).

I.2. Корни  - действительные разных знаков. 

Тогда  Решение (7) имеет вид:

Два решения =0,=0 проходят через особую точку (начало координат). Остальные интегральные кривые не проходят через начало координат. Такая особая точка называется седлом.

    Пример 2.

        

   Общий интеграл        .

I.3. Корни  - комплексно сопряженные:

В этом случае, как видно из (5), мы можем считать, что . Таким образом, решение системы уравнений (5) мы можем записать в следующем виде:

,

где  - вещественная постоянная.

Получившиеся новые переменные , принимают комплексные значения при вещественных x и y, поэтому перейдем к вещественным переменным U, V при помощи невырожденного преобразования

             

В результате будем иметь:

                            ,                        (8)

или

.

В полярных координатах () имеем  .

Это семейство логарифмических спиралей в плоскости U, V с асимптотической точкой в начале; все кривые примыкают к началу, но без определенной предельной касательной. Они делают у точки (0,0) бесконечное количество оборотов. Такая особая точка называется фокусом.

I.4. Корни  чисто мнимые: .

Из (8) имеем

                                               

Семейство интегральных кривых есть семейство замкнутых кривых, окружающих особую точку; через саму особую точку не проходит ни одной интегральной кривой. Такая особая точка называется центром.

II. Корни  - равные действительные:

.

В этом случае дискриминант характеристического уравнения (4) равен нулю:

                                 .

Последнее, в свою очередь, возможно лишь в случае, когда , а также либо a=0, либо d=0, либо a=d=0. Рассмотрим отдельно эти случаи.

II.1. , a=0, либо d=0. Пусть для определенности d=0,  . В случае, когда a=0, , картина будет качественно такой же.

В рассматриваемом случае из уравнения (3) имеем

,

откуда  .

Решая второе уравнение, получим

.

Таким образом, исключая t, будем иметь

                       .                                           (9)  

Из (9) следует, что

                        ,

где знак (+) или  зависит от знака . Это вырожденный узел. Здесь, в отличие от узла (1) все интегральные кривые имеют одну касательную. В случае (1) одна кривая имела другую касательную. На рисунке изображен случай, соответствующий >0.

II.2. b=c=, a=d=0. В этом случае уравнение (3) имеет следующий вид

                       ,

а его общее решение -               .

Такая особая точка называется дикритическим узлом.


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

где , т.е. [a, b], поэтому , а, следовательно,

Приведенный выше пример функции , для которой условие

Липшица выполняется, но производная F(x) при x=0 не существует, говорит о том, что условие  является более грубым, чем условие Липшица.

Пример.

Д.у. II порядка

                      

Положим

Тогда получим нормальную систему д.у.

Пусть

             

Эквивалентная систему интегральных уравнений имеет вид:

             

Итерации:

            

Итак,

             

При x=/2:

             

Точное решение:

               

т.е.

Интегрируя это уравнение, находим С(y). Второй способ определения функции U(x,y) по её полному дифференциалу  состоит в вычислении криволинейного интеграла от   по некоторому пути от точки  до точки (x, y):

 Т.к. подынтегральное выражение – полный дифференциал, то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Если путь интегрирования - ломаная со звеньями, параллельными осям координат, то

   

                        =

 Пример 1.

Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55893. Психолого-педагогическая компетентность педагога 94.5 KB
  Задачи: На основе теоретического анализа проблемы сформировать у педагогов представления о ППК и ее личностно-деятельностных компонентах; Способствовать осознанию педагогами УВК необходимости развития качеств обеспечивающих эффективное взаимодействие с учениками...
55894. Основні вимоги до написання науково-дослідницької роботи 112 KB
  Робота учасників науково-дослідницьких робіт у відділі філології та мистецтвознавства. Актуалізація опорних знань На першому засіданні ми з вами, шановні учні, говорили що таке науково-пошукова робота,проводили анкетування про типи обдарованості.
55895. А над світом українська вишивка цвіте 69 KB
  Учениця: Вічна після барв і кольорів Неповторна музика натхнення Шепіт трав і шелест яворів І дзвінкі турботи сьогодення. А над світом гляньте а над світом Українська вишивка цвіте Учениця: Скажiть де ви придбали таку чудову вишивку Учениця...
55896. Сучасна косметика, татуювання, татуаж та гігієна шкіри 105.5 KB
  Мета: сприяти поглибленню знань про гігієну шкіри гігієнічний косметичний догляд за шкірою; розширити знання про косметичні засоби їх види вплив на шкіру; їх хімічний склад; особливості догляду за шкірою підлітків...
55897. Цікаві завдання та ігрові форми роботи з рідної мови та читання як шлях до пізнавальної активності молодших школярів 171 KB
  Мета: переконати студентів у необмежених педагогічних можливостях інноваційних форм як передумови успішного навчання мови та читання в початкових класах; познайомити з арсеналом методичних засобів форм і методів роботи які пожвавлюють процес читання на уроці...
55899. Сучасний компетентнісний урок. Яким йому бути? 824.5 KB
  Мета: сприяти: активізації знань педагогів з теоретичних основ питання; розвитку творчої діяльності педагогів; формуванню вмінь і навичок моделювання уроку; визначенню нових цілей педагогічної діяльності з метою підвищення професійного рівня...
55900. Інноваційна освіта: Виховання креативності, нові методи і новий зміст 540.5 KB
  Існує вісім помилок при розвитку креативності. Ознайомитися з визначеннями креативності. Тести креативності заміряють сукупність показників які дуже ймовірно можуть свідчити про ступінь розвитку ваших творчих.