21449

Теорема о дифференцируемости решений дифференциальных уравнений. Особые точки

Лекция

Математика и математический анализ

Особые точки. Теорема: если в окрестности точки функция имеет непрерывные производные до mого порядка включительно то решение уравнения 1 удовлетворяющее начальному условию в некоторой окрестности точки имеет непрерывные производные до m1 порядка включительно. Подставляя в уравнение 1 получим тождество...

Русский

2013-08-02

463.5 KB

3 чел.

Лекция 4.

Теорема о дифференцируемости решений дифференциальных уравнений. Особые точки.

Теорема: если в окрестности точки функция  имеет непрерывные производные до m-ого порядка включительно, то решение  уравнения

                                                                              (1)

удовлетворяющее начальному условию , в некоторой окрестности точки  имеет непрерывные производные до (m+1) порядка включительно.

 Доказательство. Подставляя  в уравнение (1), получим тождество

                                                                          (1a)

и, следовательно, решение  имеет в некоторой окрестности рассматриваемой точки непрерывную производную, равную . Тогда в силу существования непрерывных производных функции f, будет существовать непрерывная вторая производная решения

Если m>1, то, в силу существования непрерывных производных второго порядка, можно, еще раз дифференцируя тождество (1а), обнаружить существование и непрерывность третьей производной

                

Повторяя это рассуждение m раз, докажем утверждение теоремы.

Рассмотрим теперь точки , в окрестности которых решения уравнения (1), удовлетворяющего условию , не существует, или решение существует, но оно не единственно. Такие точки называются особыми точками.

Кривая, состоящая из особых точек, называется особой. Очевидно, что особые точки будут среди тех, в которых нарушаются условия теоремы существования и единственности решения уравнения (1).

Первое  условие теоремы нарушается в точках разрыва функции . Однако, если переменные x и y равноправны, то в случае, когда при   функция ,  уравнение (1) может быть заменено следующим

у которого правая часть уже непрерывна в точке , если считать , что   .

Поэтому в тех задачах, в которых переменные x и y равноправны, особые точки могут быть среди тех, в которых функции   и  разрывные.

Часто уравнение (1) имеет вид:

                                                                                        (2)

где функции  – непрерывны.

В этом случае функции  и  будут одновременно разрывными, лишь в тех точках , в которых  и не существует пределов:

                             и          .

Рассмотрим поведение интегральных кривых в окрестности особой точки указанного выше типа на примере следующего простого уравнения:

                                                                                          (3)

Пусть  (т.к. в противном случае ) (т.е. при этом ).

Уравнение (3) эквивалентно следующей системе дифференциальных уравнений:

                                                                                         

с матрицей

.

Рассмотрим различные возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения

                        ,                (4)

где  - единичная матрица, разные: .

В этом случае существует линейное преобразование

с невырожденной матрицей , такое, что

,

или

,

т.е.

                                      .                                      (5)
Система (5) сводится к уравнению

                                          ,                                                                   (6)

которое решается разделением переменных:

                     

откуда

                                 .                                                                (7)

Рассмотрим возможные случаи.

I.1. Корни   действительные и одного знака. 

Без ограничения общности можно считать, что . Все интегральные кривые (7) проходят через начало координат =0. Все они касаются в начале оси , т.к.   

        .

Кроме семейства (7), куда входит и решение =0, существует также, как видно из (6), интегральная кривая =0.

Через начало координат проходит бесконечно много интегральных

кривых, такая особая точка называется узлом (бесконечное множество решений в точке , , С – любое).

Пример 1.

(семейство парабол с вертикальными осями и с вершиной в особой точке).

I.2. Корни  - действительные разных знаков. 

Тогда  Решение (7) имеет вид:

Два решения =0,=0 проходят через особую точку (начало координат). Остальные интегральные кривые не проходят через начало координат. Такая особая точка называется седлом.

    Пример 2.

        

   Общий интеграл        .

I.3. Корни  - комплексно сопряженные:

В этом случае, как видно из (5), мы можем считать, что . Таким образом, решение системы уравнений (5) мы можем записать в следующем виде:

,

где  - вещественная постоянная.

Получившиеся новые переменные , принимают комплексные значения при вещественных x и y, поэтому перейдем к вещественным переменным U, V при помощи невырожденного преобразования

             

В результате будем иметь:

                            ,                        (8)

или

.

В полярных координатах () имеем  .

Это семейство логарифмических спиралей в плоскости U, V с асимптотической точкой в начале; все кривые примыкают к началу, но без определенной предельной касательной. Они делают у точки (0,0) бесконечное количество оборотов. Такая особая точка называется фокусом.

I.4. Корни  чисто мнимые: .

Из (8) имеем

                                               

Семейство интегральных кривых есть семейство замкнутых кривых, окружающих особую точку; через саму особую точку не проходит ни одной интегральной кривой. Такая особая точка называется центром.

II. Корни  - равные действительные:

.

В этом случае дискриминант характеристического уравнения (4) равен нулю:

                                 .

Последнее, в свою очередь, возможно лишь в случае, когда , а также либо a=0, либо d=0, либо a=d=0. Рассмотрим отдельно эти случаи.

II.1. , a=0, либо d=0. Пусть для определенности d=0,  . В случае, когда a=0, , картина будет качественно такой же.

В рассматриваемом случае из уравнения (3) имеем

,

откуда  .

Решая второе уравнение, получим

.

Таким образом, исключая t, будем иметь

                       .                                           (9)  

Из (9) следует, что

                        ,

где знак (+) или  зависит от знака . Это вырожденный узел. Здесь, в отличие от узла (1) все интегральные кривые имеют одну касательную. В случае (1) одна кривая имела другую касательную. На рисунке изображен случай, соответствующий >0.

II.2. b=c=, a=d=0. В этом случае уравнение (3) имеет следующий вид

                       ,

а его общее решение -               .

Такая особая точка называется дикритическим узлом.


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

где , т.е. [a, b], поэтому , а, следовательно,

Приведенный выше пример функции , для которой условие

Липшица выполняется, но производная F(x) при x=0 не существует, говорит о том, что условие  является более грубым, чем условие Липшица.

Пример.

Д.у. II порядка

                      

Положим

Тогда получим нормальную систему д.у.

Пусть

             

Эквивалентная систему интегральных уравнений имеет вид:

             

Итерации:

            

Итак,

             

При x=/2:

             

Точное решение:

               

т.е.

Интегрируя это уравнение, находим С(y). Второй способ определения функции U(x,y) по её полному дифференциалу  состоит в вычислении криволинейного интеграла от   по некоторому пути от точки  до точки (x, y):

 Т.к. подынтегральное выражение – полный дифференциал, то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Если путь интегрирования - ломаная со звеньями, параллельными осям координат, то

   

                        =

 Пример 1.

Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84555. Тонус артеріол і венул, його значення. Вплив судинно-рухових нервів на тонус судин 45.26 KB
  Вплив судиннорухових нервів на тонус судин. Механізми регуляції регуляції тонуса судин Місцеві Центральні Нервові рефлекси Гуморальні гормони Міогенні Гуморальні Тканинні гормони Парасимпатичні Метаболіти Симпатичні Регуляція кровотоку в окремих регіонах Регуляція системного кровообігу Тонус судин – певна ступінь напруження стінки судин яка пов’язана із скороченням гладеньких м’язів які входять до складу судинної стінки. Тонус більш виражений в артеріальних судинах ніж у венозних артеріальні судини мають більш виражений шар гладеньких...
84556. Міогенна і гуморальна регуляція тонусу судин. Роль ендотелія судин в регуляції судинного тонусу 45.08 KB
  Роль ендотелія судин в регуляції судинного тонусу. Базальний тонус судин – той який притаманний судинам за відсутності нервових та гуморальних впливів вивчати можна на ізольованій судині. Кількість гладеньких м’язів що здатні до автоматії більша в дистальних судинах ніж в проксимальних; більша в артеріальних судинах ніж у венозних.
84557. Гемодинамічний центр. Рефлекторна регуляція тонусу судин. Пресорні і депресорні рефлекси 44.84 KB
  Гемодинамічний центр ГДЦ розташований в довгастому мозку хоча в регуляції системного кровообігу беруть участь всі рівні ЦНС від кори ГМ до спинного мозку. В структурі ГДЦ виділяють: пресорний відділ ПВ депресорний відділ ДВ еферентне парасимпатичне ядро блукаючого нерва Х. Третім структурним елементом ГДЦ є парасимпатичне ядро блукаючого нерва. Аферентні зв’язки ГДЦ.
84558. Рефлекторна регуляція кровообігу при зміні положення тіла у просторі (ортостатична проба) 45.13 KB
  Регуляція САТ відбувається: за відхиленням – у відповідь на зміну САТ вмикаються регуляторні механізми які повертають його до вихідного рівня саморегуляція або регуляція на основі негативного зворотнього зв’язку; така регуляція має місце при необхідності стабілізувати САТ на певному рівні: за збуренням – збурення дія якогось зовнішнього по відношенню до системи кровообігу фактора потребує зміни САТ в певному напрямку; інформація про дію збурення передається в КП ГДЦ по каналу зовнішнього зв’язку ГДЦ виробляє керуючий сигнал що...
84559. Регуляція кровообігу при м’язовій роботі 45.45 KB
  Підвищення САТ є результатом рефлексу з пропріорецепторів працюючих м’язів активація ПВ ГДЦ та гальмування ядра блукаючого нерва збільшення ЧСС та СО ріст ХОК ріст САТ; звуження артеріальних та венозних судин також зумовлюють ріст САТ. Рефлекс з пропріорецепторів працюючих м’язів є основним але не єдиним механізмом розвитку пресорної реакції при м’язовій роботі. Регуляція кровотоку в м’язах при фізичній роботі спрямована на забезпечення його розширення зменшення опору цих судин збільшення об’ємної швидкості кровотоку через працюючі...
84560. Особливості кровообігу у судинах головного мозку і його регуляція 42.75 KB
  Унікальною особливістю кровообігу ГМ є те що воно відбувається в замкнутому просторі непіддатливого черепа та перебуває в динамічному взаємозв’язку з кровообігом спинного мозку та переміщенням спинномозкової рідини. Величина мозкового кровообігу відносно постійна складає 750 мл хв 15 від ХОК маса мозку – 2 від маси тіла. Кровотік в мозку нерівномірний – краще кровопостачаються ділянки сірої речовини бо тут найвищий рівень обміну речовин.
84561. Особливості кровообігу у судинах серця i його регуляція 43.46 KB
  Високий рівень кровотоку в стані спокою – 250 мл хв 5 від ХОК маса серця – 05 від маси тіла. Високий тонус вінцевих судин в стані спокою незважаючи на високий рівень метаболізму – ця умова забезпечує здатність вінцевих судин до розширення та збільшення кровотоку під час посиленої діяльності 5. Залежність кровотоку від фаз СЦ: він знижується під час систоли артерії стискуються міокардом та збільшується під час діастоли. Головна особливість в регуляції серцевого кровотоку полягає у перевазі місцевих механізмів над центральними.
84562. Особливості легеневого кровообігу його регуляція 43.31 KB
  В легенях розрізняють дві групи судин: одні виконують трофічну функцію живлять тканину легень бронхів та відносяться до судин великого кола кровообігу інші – функцію газообміну та відносяться до судин малого кола. Далі мова піде про судини малого кола кровообігу. Артеріальні судини за своїми властивостями та будовою нагадують венозні судини – вони легко розтягуюються та реагують зміною об’єму на зміну трансмурального тиску. В артеріальних судинах легень відсутні спеціальні судини опору.
84563. Механізми лімфоутворення. Рух лімфи посудинах 43.75 KB
  Рух лімфи посудинах. Утворення лімфи відбувається за участі судин гемомікроциркулярного русла. Утворення лімфи. Головну роль в утворенні лімфи відіграють лімфатичні капіляри: на відміну від кровоносних вони сліпі більш широкі у них ширші міжклітинні щілини відсутня базальна мембрана проникність стінок лімфатичних капілярів дуже висока.