21449

Теорема о дифференцируемости решений дифференциальных уравнений. Особые точки

Лекция

Математика и математический анализ

Особые точки. Теорема: если в окрестности точки функция имеет непрерывные производные до mого порядка включительно то решение уравнения 1 удовлетворяющее начальному условию в некоторой окрестности точки имеет непрерывные производные до m1 порядка включительно. Подставляя в уравнение 1 получим тождество...

Русский

2013-08-02

463.5 KB

2 чел.

Лекция 4.

Теорема о дифференцируемости решений дифференциальных уравнений. Особые точки.

Теорема: если в окрестности точки функция  имеет непрерывные производные до m-ого порядка включительно, то решение  уравнения

                                                                              (1)

удовлетворяющее начальному условию , в некоторой окрестности точки  имеет непрерывные производные до (m+1) порядка включительно.

 Доказательство. Подставляя  в уравнение (1), получим тождество

                                                                          (1a)

и, следовательно, решение  имеет в некоторой окрестности рассматриваемой точки непрерывную производную, равную . Тогда в силу существования непрерывных производных функции f, будет существовать непрерывная вторая производная решения

Если m>1, то, в силу существования непрерывных производных второго порядка, можно, еще раз дифференцируя тождество (1а), обнаружить существование и непрерывность третьей производной

                

Повторяя это рассуждение m раз, докажем утверждение теоремы.

Рассмотрим теперь точки , в окрестности которых решения уравнения (1), удовлетворяющего условию , не существует, или решение существует, но оно не единственно. Такие точки называются особыми точками.

Кривая, состоящая из особых точек, называется особой. Очевидно, что особые точки будут среди тех, в которых нарушаются условия теоремы существования и единственности решения уравнения (1).

Первое  условие теоремы нарушается в точках разрыва функции . Однако, если переменные x и y равноправны, то в случае, когда при   функция ,  уравнение (1) может быть заменено следующим

у которого правая часть уже непрерывна в точке , если считать , что   .

Поэтому в тех задачах, в которых переменные x и y равноправны, особые точки могут быть среди тех, в которых функции   и  разрывные.

Часто уравнение (1) имеет вид:

                                                                                        (2)

где функции  – непрерывны.

В этом случае функции  и  будут одновременно разрывными, лишь в тех точках , в которых  и не существует пределов:

                             и          .

Рассмотрим поведение интегральных кривых в окрестности особой точки указанного выше типа на примере следующего простого уравнения:

                                                                                          (3)

Пусть  (т.к. в противном случае ) (т.е. при этом ).

Уравнение (3) эквивалентно следующей системе дифференциальных уравнений:

                                                                                         

с матрицей

.

Рассмотрим различные возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения

                        ,                (4)

где  - единичная матрица, разные: .

В этом случае существует линейное преобразование

с невырожденной матрицей , такое, что

,

или

,

т.е.

                                      .                                      (5)
Система (5) сводится к уравнению

                                          ,                                                                   (6)

которое решается разделением переменных:

                     

откуда

                                 .                                                                (7)

Рассмотрим возможные случаи.

I.1. Корни   действительные и одного знака. 

Без ограничения общности можно считать, что . Все интегральные кривые (7) проходят через начало координат =0. Все они касаются в начале оси , т.к.   

        .

Кроме семейства (7), куда входит и решение =0, существует также, как видно из (6), интегральная кривая =0.

Через начало координат проходит бесконечно много интегральных

кривых, такая особая точка называется узлом (бесконечное множество решений в точке , , С – любое).

Пример 1.

(семейство парабол с вертикальными осями и с вершиной в особой точке).

I.2. Корни  - действительные разных знаков. 

Тогда  Решение (7) имеет вид:

Два решения =0,=0 проходят через особую точку (начало координат). Остальные интегральные кривые не проходят через начало координат. Такая особая точка называется седлом.

    Пример 2.

        

   Общий интеграл        .

I.3. Корни  - комплексно сопряженные:

В этом случае, как видно из (5), мы можем считать, что . Таким образом, решение системы уравнений (5) мы можем записать в следующем виде:

,

где  - вещественная постоянная.

Получившиеся новые переменные , принимают комплексные значения при вещественных x и y, поэтому перейдем к вещественным переменным U, V при помощи невырожденного преобразования

             

В результате будем иметь:

                            ,                        (8)

или

.

В полярных координатах () имеем  .

Это семейство логарифмических спиралей в плоскости U, V с асимптотической точкой в начале; все кривые примыкают к началу, но без определенной предельной касательной. Они делают у точки (0,0) бесконечное количество оборотов. Такая особая точка называется фокусом.

I.4. Корни  чисто мнимые: .

Из (8) имеем

                                               

Семейство интегральных кривых есть семейство замкнутых кривых, окружающих особую точку; через саму особую точку не проходит ни одной интегральной кривой. Такая особая точка называется центром.

II. Корни  - равные действительные:

.

В этом случае дискриминант характеристического уравнения (4) равен нулю:

                                 .

Последнее, в свою очередь, возможно лишь в случае, когда , а также либо a=0, либо d=0, либо a=d=0. Рассмотрим отдельно эти случаи.

II.1. , a=0, либо d=0. Пусть для определенности d=0,  . В случае, когда a=0, , картина будет качественно такой же.

В рассматриваемом случае из уравнения (3) имеем

,

откуда  .

Решая второе уравнение, получим

.

Таким образом, исключая t, будем иметь

                       .                                           (9)  

Из (9) следует, что

                        ,

где знак (+) или  зависит от знака . Это вырожденный узел. Здесь, в отличие от узла (1) все интегральные кривые имеют одну касательную. В случае (1) одна кривая имела другую касательную. На рисунке изображен случай, соответствующий >0.

II.2. b=c=, a=d=0. В этом случае уравнение (3) имеет следующий вид

                       ,

а его общее решение -               .

Такая особая точка называется дикритическим узлом.


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

где , т.е. [a, b], поэтому , а, следовательно,

Приведенный выше пример функции , для которой условие

Липшица выполняется, но производная F(x) при x=0 не существует, говорит о том, что условие  является более грубым, чем условие Липшица.

Пример.

Д.у. II порядка

                      

Положим

Тогда получим нормальную систему д.у.

Пусть

             

Эквивалентная систему интегральных уравнений имеет вид:

             

Итерации:

            

Итак,

             

При x=/2:

             

Точное решение:

               

т.е.

Интегрируя это уравнение, находим С(y). Второй способ определения функции U(x,y) по её полному дифференциалу  состоит в вычислении криволинейного интеграла от   по некоторому пути от точки  до точки (x, y):

 Т.к. подынтегральное выражение – полный дифференциал, то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Если путь интегрирования - ломаная со звеньями, параллельными осям координат, то

   

                        =

 Пример 1.

Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40707. Регион как территориальный социально-экономический комплекс. Основные характеристики 28.5 KB
  Она исследует экономические явления и процессы связанные с рыночным развитием хозяйства отдельных регионов и их включением в единое экономическое пространство России. Основные черты : узкая специализация регионов с доминированием какоголибо одного комплекса: рыбопромышленного мясомолочного военнопромышленного и т. Типы проблемных регионов: слаборазвитые хронически отстают от среднероссийского уровня экон.
40708. Устойчивое развитие регионов как фактор стабильности национальной экономики 76 KB
  И в городе и в районе и в субъекте Федерации необходимо осуществлять разработку стратегии развития оценивать положительные и отрицательные стороны этого развития выявлять факторы конкурентоспособности формировать общую и функциональные стратегии вести стратегический контроль проводить мероприятия городского и регионального маркетинга. Эти программы позволяют властным структурам координировать работу всех органов и лиц...
40709. Налоговое бремя экономики и его измерение 31.5 KB
  Проблема тяжести налогового бремени волнует различных агентов хозяйственной деятельности: государство как субъект управления хозяйственной деятельностью на своей территории и перераспределения доходов от нее в виде налогов в пользу прочих элементов государственной и социальной жизнедеятельности; организации и предприятия как объекты управляющего воздействия государства и субъекты собственно предпринимательской деятельности обеспечивающие формирование источника предпринимательского дохода и соответственно налогооблагаемой базы; ...
40710. Налоговая политика: сущность, содержание и механизмы реализации 26.5 KB
  Налоговая политика: сущность содержание и механизмы реализации. Налоговая политика комплекс правовых действий органов власти и управления определяющий целенаправленное применение налоговых законов. Налоговая политика является частью финансовой политики. Экономическая обоснованная налоговая политика преследует цель оптимизировать централизацию средств через налоговую систему.
40711. Инвестиции - источники формирования и объекты вложений (инвестирования) 32 KB
  Инвестиции источники формирования и объекты вложений инвестирования. Инвестиции от лат. Выделяют также производственные инвестиции направляемые на новое строительство реконструкцию расширение и техническое перевооружение действующих предприятий и интеллектуальные вкладываемые в создание интеллектуального духовного продукта; контролирующие прямые инвестиции обеспечивающие владение более чем 50 голосующих акций другой компании и неконтролирующие обеспечивающие владение менее чем 50 голосующих акций другой компании. В зависимости...
40712. Финансовый рынок: структура и механизм функционирования 28.5 KB
  Финансовый рынок – это сфера проявления экономических отношений между продавцами и покупателями финансовых денежных ресурсов и инвестиционных ценностей то есть инструментов образования финансовых ресурсов между их стоимостью и потребительной стоимости. Как и любой рынок финансовый рынок предназначен для установления непосредственных контактов между покупателями и продавцами финансовых ресурсов. Финансовая система Российской Федерации включает следующие звенья финансовых отношений: государственную бюджетную систему; внебюджетные...
40713. Рентабельность. Виды и методика расчета ее уровня 31.5 KB
  Рентабельность. РЕНТАБЕЛЬНОСТЬ от нем. Количественно рентабельность исчисляется как частное от деления прибыли на затраты расход ресурсов обеспечивающих получение прибыли. Рентабельность продукции определяется как отношение прибыли от ее реализации к себестоимости.
40714. Бизнес-планирование 37 KB
  Бизнеспланирование. В рыночной экономике бизнесплан является рабочим инструментом используемым во всех сферах предпринимательства. Основной целью разработки бизнесплана является планирование хозяйственной деятельности фирмы на ближайший и отдаленные периоды в соответствии с потребностями рынка и возможностями получения необходимых ресурсов. Другие цели разработки плана бизнеса могут быть различными например: уяснить степень реальности достижения намеченных результатов; доказать определенному кругу лиц целесообразность...
40715. Корпоративное управление как важнейший фактор экономического роста 39 KB
  Надлежащий режим корпоративного управления способствует эффективному использованию корпорацией своего капитала подотчетности органов ее управления как самой компании так и ее акционерам. В результате формирования такой структуры акционерного капитала утвердилась ориентация крупных акционеров не на повышение доходов по акциям компании не на рост ее капитализации а на сохранение существующих взаимоотношений с предприятием. В самом общем виде общепризнанные международные принципы корпоративного управления сводятся к следующему: ...