21450

Второе условие теоремы существования и единственности - условие Липшица

Лекция

Математика и математический анализ

Если такая кривая является интегральной кривой для рассматриваемого уравнения то соответствующее решение называется особым решением. Поэтому свойство единственности решения уравнения 1 удовлетворяющего условию обычно понимается в том смысле что через данную точку по данному направлению задаваемому проходит не более одной интегральной кривой уравнения 1. Итак только среди точек кривой называемой pдискриминантной кривой т. Если какаянибудь ветвь кривой принадлежит особому множеству и в то же время является интегральной...

Русский

2013-08-02

353 KB

11 чел.

Лекция 5.

      Второе условие теоремы существования и единственности - условие Липшица - чаще всего нарушается в точках, в окрестности которых  неограниченно возрастает, т.е. в точках, где

,

Уравнение , вообще говоря, определяет некоторую кривую, в точках которой может быть нарушена единственность решения. Если это действительно так, то кривая будет особой. Если такая кривая является интегральной кривой для рассматриваемого уравнения, то соответствующее решение называется особым решением.

Пример 1.

                        

Здесь

                                    

т.е.          при       y=x.

Заменим переменные: ,

тогда

         ,       т.е.          

Откуда , или  .

Кривые этого семейства проходят через точки графика  , являющегося решением  дифференциального уравнения. Следовательно, в каждой точке прямой   единственность нарушена, и функция  является особым  решением. Таким образом, одной  непрерывности правой части в уравнении

                                             

недостаточно для единственности решения основной начальной задачи, но этого достаточно для существования решения.

Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Особые решения.

Часто дифференциальные уравнения I порядка имеют вид

                                         .                                              (1)

Очевидно, что для таких уравнений через некоторую точку , вообще говоря, проходит уже не одна, а несколько интегральных кривых  , т.к., разрешая уравнение (1) относительно y, мы, как правило, получаем не одно, а несколько действительных значений  и если каждое из уравнений  в окрестности точки  удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности (см. лекцию 3), то для каждого из этих уравнений найдется единственное решение, удовлетворяющее условию . Поэтому свойство единственности решения уравнения (1), удовлетворяющего условию , обычно понимается в том смысле, что через данную точку  по данному направлению, задаваемому , проходит не более одной интегральной кривой уравнения (1).

 Теорема. Существует единственное решение , , где  достаточно мало, уравнения (1), удовлетворяющее условию , для которого , где  - один из действительных корней уравнения , если в замкнутой окрестности точки  функция   удовлетворяет условиям:

  1.   непрерывна по всем аргументам;
  2.  Производная  непрерывна и   ;
  3.  Существует ограниченная по модулю производная , т.е. .

      Доказательство.

      В соответствии с теоремой о неявной функции условия 1) и 2) гарантируют существование единственной непрерывной в окрестности точки  функции  , определяемой уравнением (1) и удовлетворяющей условию .

      Далее из той же теоремы о неявных функциях следует, что производная  существует и может быть вычислена по правилу дифференцирования неявной функции. Дифференцируя тождество   по y и учитывая, что , получим

,

т.е.

откуда с учетом условий 2) и 3) теоремы получаем, что  в замкнутой окрестности точки , а поэтому в той же окрестности функция   удовлетворяет условию Липшица по переменной y и, следовательно, в соответствии с теоремой существования и единственности (см. лекцию 3) существует единственная интегральная кривая уравнения (1), проходящая через точку  и имеющая в ней угловой коэффициент касательной, равный . Что и требовалось  доказать.

Множество точек (x,y), в которых нарушается единственность решений  уравнения (1), называется особым множеством.

В точках особого множества должно быть нарушено, по крайней мере, одно из условий теоремы.  Как правило, условия 1) и 3) выполняются, а условие 2), т.е.  часто нарушается. Если условия 1) и 3) выполнены, то в точках особого множества должны одновременно быть справедливы равенства

                        .                                                  (2)

Исключая из этих равенств y, получим уравнение

                        ,                                                                     (3)

которому должны удовлетворять точки особого множества. Однако не в каждой точке, удовлетворяющей (3), обязательно нарушается единственность решения уравнения (1), т.к. условия 1)-3) теоремы лишь достаточны, но не являются необходимыми.

Итак, только среди точек кривой , называемой p-дискриминант-ной кривой (т.к. уравнения (2) часто записывают в виде ), могут быть точки особого множества.

Если какая-нибудь ветвь  кривой   принадлежит особому множеству и в то же время является интегральной кривой, то она называется особой интегральной кривой, а функция  - особым решением.

Таким образом, для нахождения особого решения уравнения (1) надо найти p – дискриминантную кривую, определяемую уравнениями (2), выяснить путем непосредственной подстановки в уравнение (1), есть ли среди ветвей p – дискриминантной кривой интегральные кривые и если есть, то еще проверить, нарушена ли в точках этих кривых единственность или нет. Если единственность нарушена, то такая ветвь p – дискриминантной кривой является особой интегральной кривой.

Пример 2.

Найти особое решение уравнения Лагранжа

                                                                                         (4)

(уравнение Лагранжа – линейное относительно x и y, т.е. вида  где  , A, B, C – заданные дифференцируемые функции p).

Решение:

Обозначим   тогда

                                                                                                 (5)

Дифференцируем по x:   , или

 откуда   

                                        , т.е. ,                                           (6)

кроме того, p=1, т.е. y=x+C –  также решение     (С=-4/27).

Из (5) и (6) имеем: .

Исключая p, получим:

                                        .                                                           (7)

Условия 1) и 3) теоремы  существования выполняются. Дискриминантная кривая определяется уравнениями ()

                и  

откуда p=0 или p=1. Подставляя в 1-е уравнение, получим: y=x или y=x–4/27. Прямая y=x–4/27 является огибающей семейства (7).

Огибающая семейства кривых.

 Огибающей однопараметрического семейства кривых  называется кривая , которая: 1) в каждой своей точке касается только одной кривой семейства; 2) в разных точках касается различных кривых указанного семейства.

Если семейство интегральных кривых уравнения (1), то огибающая  этого семейства является особой интегральной кривой. Действительно, в точках  значения x, y и y совпадают со значениями x, y и y для интегральной кривой, касающейся огибающей в точке (x,y), и, следовательно, в каждой точке  значения x, y и y удовлетворяют уравнению  т.е. огибающая является интегральной кривой. В каждой точке  нарушена единственность, т.к. через точки  по одному направлению проходят, по крайней мере 2 интегральные кривые:  и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства. Следовательно,  является особой интегральной кривой.

         Пусть задано однопараметрическое семейство кривых

                                                                                                            (8)

Пусть   дифференцируема  в области задания. Рассмотрим случай, когда любые две кривые семейства (8) пересекаются. Пусть  и  - две кривые семейства (8), отвечающие значениям параметра С и С+С соответственно. Координаты (x,y) точки N их пересечения удовлетворяют следующей системе уравнений

 

Или, что то же самое

 .

При   C0  NM  вдоль кривой  .

Так как

                 ,

то координаты точки M удовлетворяют уравнениям

            ,.                                                   (9)

Точка M(x,y) называется характеристической    точкой кривой семейства (8), отвечающей данному значению параметра С, если ее координаты удовлетворяют системе (9).

Геометрическое место характеристических точек семейства кривых называется дискриминантной кривой этого семейства.

Если все кривые семейства (8) и дискриминантная кривая не имеют особых точек, то эта дискриминантная кривая является огибающей.

Точка  называется обыкновенной точкой кривой семейства (8), если в этой точке

                                                                                       (10)

В противном случае точка  называется особой (т.е. при   т.к. ).

Достаточные условия того, чтобы дискриминантная кривая была огибающей семейства  :

1.

2.

В Примере 2 прямые y=x, и y=x–4/27 удовлетворяют системе (9),которая для этого примера имеет вид

,

однако прямая y=x не является огибающей, т.к. на ней нарушается условие  (10).


EMBED Photoshop.Image.5 \s

EMBED Photoshop.Image.5 \s

EMBED Photoshop.Image.5 \s

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

где , т.е. [a, b], поэтому , а, следовательно,

Приведенный выше пример функции , для которой условие

Липшица выполняется, но производная F(x) при x=0 не существует, говорит о том, что условие  является более грубым, чем условие Липшица.

Пример.

Д.у. II порядка

                      

Положим

Тогда получим нормальную систему д.у.

Пусть

             

Эквивалентная систему интегральных уравнений имеет вид:

             

Итерации:

            

Итак,

             

При x=/2:

             

Точное решение:

               

т.е.

Интегрируя это уравнение, находим С(y). Второй способ определения функции U(x,y) по её полному дифференциалу  состоит в вычислении криволинейного интеграла от   по некоторому пути от точки  до точки (x, y):

 Т.к. подынтегральное выражение – полный дифференциал, то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Если путь интегрирования - ломаная со звеньями, параллельными осям координат, то

   

                        =

 Пример 1.

Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45291. Критерии и технические показатели, применяемые в международной стандартизации качества. Критерии, параметры, индикаторы, технические и организационные показатели качества работы СМС в системе стандартизации «Связь-качество» 283.27 KB
  Критерии и технические показатели применяемые в международной стандартизации качества. Критерии параметры индикаторы технические и организационные показатели качества работы СМС в системе стандартизации Связькачество. При выборе совокупности показателей качества следует иметь в виду что выбранные услуги важны для конечного пользователя и широко применяюсь большинством сетевых операторов. Отсюда следует что показатели качества должны: оказывать основное влияние на удовлетворение потребностей абонентов в области услуг связи;...
45292. Оценка показателей качества. Методы оценки показателей качества: контрольных вызовов, анализа статистики. Расчет показателей качества: P, R, Q. Модель определения параметров качества услуг. Расчет показателей QoS: NA, SA, ST, SpQ, CCR 224.93 KB
  Оценочные испытания могут проводиться контролирующими органами лабораториями и центрами сертификации а также операторами связи. Оценочные испытания могут проводиться контролирующими органами лабораториями и центрами сертификации а также операторами связи. Контролирующими органами с целью проверки деятельности оператора и повышения качества услуг связи периодически. Проверяется соответствие значений показателей качества нормальному уровню в России устанавливается нормативными документами Министерства информационных технологий и связи РФ.
45293. Объективная оценка показателей качества передачи речи: рейтинговая модель E при планировании; интегральные оценки по отношению сигнал/шум и на основе обобщенного коэффициента 490.5 KB
  Объективная оценка показателей качества передачи речи: рейтинговая модель E при планировании; интегральные оценки по отношению сигнал шум и на основе обобщенного коэффициента. Субъективная оценка показателей качества передачи речи: статистические слушательская и абонентская. Оценка качества передачи речи При оценке качества передачи речевой информации применяются субъективные квазисубъективные либо объективные методы. В последнее время чаще используются объективные методы оценки позволяющие автоматизировать данный процесс сделать его...
45294. Оценка показателей качества передачи данных в сетях с коммутацией пакетов. Уровни приоритетов, уровни надежности, классы скорости. Качество передачи данных в классах сетей 3G 126 KB
  Оценка показателей качества передачи данных в сетях с коммутацией пакетов. Качество передачи данных в классах сетей 3G. Оценка качества передачи данных в сетях с коммутацией пакетов Развитие технологий 2G 3G идет в направлении перехода от технологий передачи данных с коммутацией каналов к технологиям передачи данных с коммутацией пакетов Pcket Switched Dt ServicePSD Generl Pcket Rdio Service GPRS. Рассмотрим методы измерений показателей и расчета параметров качества предоставления услуг передачи данных в сетях подвижной связи с...
45295. Принципы управления качеством обслуживания. Схема взаимодействия при обеспечении качества 104.47 KB
  Обязательства операторов перед потребителями услуг связи по базовым услугам. Принципы управления качеством обслуживания Система управления качеством обслуживания представляет систему мер которые обеспечивают соответствие качества услуг связи установленным требованиям. Стандарты систем управления качеством базируются на принципах индивидуальной ответственности поставщика услуг фиксировании данных о качестве услуг и разработки эффективных административных процедур. Базовый уровень требований к системе управления качеством услуг обозначен в...
45296. Управление качеством обслуживания в рамках концепции QoS. Требования к параметрам качества услуг: задержке, потере данных 435.78 KB
  Требования к параметрам качества услуг: задержке потере данных. Соглашения о предоставлении услуг SL. К решению проблем управления качеством услуг разработчики стандартов GSM подошли только на этапе создания GPRS так как использование пакетной коммутации предъявило высокие требования к основным параметрам сети. Причиной этому является то что трафик услуг передачи данных обрабатываемый с использованием технологии GPRS в сети GSM всегда имеет вторичный приоритет по сравнению с речевыми услугами т.
45297. Общие принципы построения систем радиосвязи и их место в сетях связи РФ. Архитектура сетей. Системы фиксированной и подвижной радиосвязи. Виды систем радиосвязи. Характеристики 1-5 поколений 299.5 KB
  Системы фиксированной и подвижной радиосвязи. Системы фиксированной радиосвязи Системы связи работающие в диапазонах низких средних и высоких частот Современные технические средства ВЧ радиосвязи и их модульная архитектура позволяют создавать системы сухопутной и морской связи самого различного назначения. С помощью этих систем можно организовать: линии двухсторонней радиотелефонной связи по принципу каждый с каж дым с возможностью выхода в общегосударственную либо учрежденческую телефонную сеть; системы дипломатической связи передачу...
45298. Классификация опорных сетей радиодоступа. Характеристики систем радиодоступа. Регламент радиосвязи РФ: содержание, виды радиосвязи, службы, выделение полос. Федеральные, региональные и международные стандарты системы радиосвязи 914 KB
  Классификация опорных сетей радиодоступа. Характеристики систем радиодоступа. Под сетью радиодоступа понимают радиальнозоновую сеть радиосвязи предназначенную для предоставления услуг связи с качеством не уступающим качеству проводных систем связи. В состав сети радиодоступа входят базовые станции коммутационное оборудование К вспомогательные технические средств и программное обеспечение с помощью которых формируется территориальная зона на которой возможны подключения через радиоинтерфейс абонентских станций: В систему...
45299. Классификация радиорелейных линий связи. РРЛ прямой видимости: принципы построения, методы разделения каналов 75.5 KB
  РРЛ прямой видимости: принципы построения методы разделения каналов. Тропосферные РРЛ. Радиорелейные линии РРЛ представляют собой цепочку приемопередающих радиостанций оконечных промежуточных узловых которые осуществляют последовательную многократную ретрансляцию прием преобразование усиление и пе редачу передаваемых сигналов. Классификация радиорелейных линий В зависимости от используемого вида распространения радиоволн РРЛ можно разделить на две группы: прямой видимости и тропосферные.