21450

Второе условие теоремы существования и единственности - условие Липшица

Лекция

Математика и математический анализ

Если такая кривая является интегральной кривой для рассматриваемого уравнения то соответствующее решение называется особым решением. Поэтому свойство единственности решения уравнения 1 удовлетворяющего условию обычно понимается в том смысле что через данную точку по данному направлению задаваемому проходит не более одной интегральной кривой уравнения 1. Итак только среди точек кривой называемой pдискриминантной кривой т. Если какаянибудь ветвь кривой принадлежит особому множеству и в то же время является интегральной...

Русский

2013-08-02

353 KB

11 чел.

Лекция 5.

      Второе условие теоремы существования и единственности - условие Липшица - чаще всего нарушается в точках, в окрестности которых  неограниченно возрастает, т.е. в точках, где

,

Уравнение , вообще говоря, определяет некоторую кривую, в точках которой может быть нарушена единственность решения. Если это действительно так, то кривая будет особой. Если такая кривая является интегральной кривой для рассматриваемого уравнения, то соответствующее решение называется особым решением.

Пример 1.

                        

Здесь

                                    

т.е.          при       y=x.

Заменим переменные: ,

тогда

         ,       т.е.          

Откуда , или  .

Кривые этого семейства проходят через точки графика  , являющегося решением  дифференциального уравнения. Следовательно, в каждой точке прямой   единственность нарушена, и функция  является особым  решением. Таким образом, одной  непрерывности правой части в уравнении

                                             

недостаточно для единственности решения основной начальной задачи, но этого достаточно для существования решения.

Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Особые решения.

Часто дифференциальные уравнения I порядка имеют вид

                                         .                                              (1)

Очевидно, что для таких уравнений через некоторую точку , вообще говоря, проходит уже не одна, а несколько интегральных кривых  , т.к., разрешая уравнение (1) относительно y, мы, как правило, получаем не одно, а несколько действительных значений  и если каждое из уравнений  в окрестности точки  удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности (см. лекцию 3), то для каждого из этих уравнений найдется единственное решение, удовлетворяющее условию . Поэтому свойство единственности решения уравнения (1), удовлетворяющего условию , обычно понимается в том смысле, что через данную точку  по данному направлению, задаваемому , проходит не более одной интегральной кривой уравнения (1).

 Теорема. Существует единственное решение , , где  достаточно мало, уравнения (1), удовлетворяющее условию , для которого , где  - один из действительных корней уравнения , если в замкнутой окрестности точки  функция   удовлетворяет условиям:

  1.   непрерывна по всем аргументам;
  2.  Производная  непрерывна и   ;
  3.  Существует ограниченная по модулю производная , т.е. .

      Доказательство.

      В соответствии с теоремой о неявной функции условия 1) и 2) гарантируют существование единственной непрерывной в окрестности точки  функции  , определяемой уравнением (1) и удовлетворяющей условию .

      Далее из той же теоремы о неявных функциях следует, что производная  существует и может быть вычислена по правилу дифференцирования неявной функции. Дифференцируя тождество   по y и учитывая, что , получим

,

т.е.

откуда с учетом условий 2) и 3) теоремы получаем, что  в замкнутой окрестности точки , а поэтому в той же окрестности функция   удовлетворяет условию Липшица по переменной y и, следовательно, в соответствии с теоремой существования и единственности (см. лекцию 3) существует единственная интегральная кривая уравнения (1), проходящая через точку  и имеющая в ней угловой коэффициент касательной, равный . Что и требовалось  доказать.

Множество точек (x,y), в которых нарушается единственность решений  уравнения (1), называется особым множеством.

В точках особого множества должно быть нарушено, по крайней мере, одно из условий теоремы.  Как правило, условия 1) и 3) выполняются, а условие 2), т.е.  часто нарушается. Если условия 1) и 3) выполнены, то в точках особого множества должны одновременно быть справедливы равенства

                        .                                                  (2)

Исключая из этих равенств y, получим уравнение

                        ,                                                                     (3)

которому должны удовлетворять точки особого множества. Однако не в каждой точке, удовлетворяющей (3), обязательно нарушается единственность решения уравнения (1), т.к. условия 1)-3) теоремы лишь достаточны, но не являются необходимыми.

Итак, только среди точек кривой , называемой p-дискриминант-ной кривой (т.к. уравнения (2) часто записывают в виде ), могут быть точки особого множества.

Если какая-нибудь ветвь  кривой   принадлежит особому множеству и в то же время является интегральной кривой, то она называется особой интегральной кривой, а функция  - особым решением.

Таким образом, для нахождения особого решения уравнения (1) надо найти p – дискриминантную кривую, определяемую уравнениями (2), выяснить путем непосредственной подстановки в уравнение (1), есть ли среди ветвей p – дискриминантной кривой интегральные кривые и если есть, то еще проверить, нарушена ли в точках этих кривых единственность или нет. Если единственность нарушена, то такая ветвь p – дискриминантной кривой является особой интегральной кривой.

Пример 2.

Найти особое решение уравнения Лагранжа

                                                                                         (4)

(уравнение Лагранжа – линейное относительно x и y, т.е. вида  где  , A, B, C – заданные дифференцируемые функции p).

Решение:

Обозначим   тогда

                                                                                                 (5)

Дифференцируем по x:   , или

 откуда   

                                        , т.е. ,                                           (6)

кроме того, p=1, т.е. y=x+C –  также решение     (С=-4/27).

Из (5) и (6) имеем: .

Исключая p, получим:

                                        .                                                           (7)

Условия 1) и 3) теоремы  существования выполняются. Дискриминантная кривая определяется уравнениями ()

                и  

откуда p=0 или p=1. Подставляя в 1-е уравнение, получим: y=x или y=x–4/27. Прямая y=x–4/27 является огибающей семейства (7).

Огибающая семейства кривых.

 Огибающей однопараметрического семейства кривых  называется кривая , которая: 1) в каждой своей точке касается только одной кривой семейства; 2) в разных точках касается различных кривых указанного семейства.

Если семейство интегральных кривых уравнения (1), то огибающая  этого семейства является особой интегральной кривой. Действительно, в точках  значения x, y и y совпадают со значениями x, y и y для интегральной кривой, касающейся огибающей в точке (x,y), и, следовательно, в каждой точке  значения x, y и y удовлетворяют уравнению  т.е. огибающая является интегральной кривой. В каждой точке  нарушена единственность, т.к. через точки  по одному направлению проходят, по крайней мере 2 интегральные кривые:  и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства. Следовательно,  является особой интегральной кривой.

         Пусть задано однопараметрическое семейство кривых

                                                                                                            (8)

Пусть   дифференцируема  в области задания. Рассмотрим случай, когда любые две кривые семейства (8) пересекаются. Пусть  и  - две кривые семейства (8), отвечающие значениям параметра С и С+С соответственно. Координаты (x,y) точки N их пересечения удовлетворяют следующей системе уравнений

 

Или, что то же самое

 .

При   C0  NM  вдоль кривой  .

Так как

                 ,

то координаты точки M удовлетворяют уравнениям

            ,.                                                   (9)

Точка M(x,y) называется характеристической    точкой кривой семейства (8), отвечающей данному значению параметра С, если ее координаты удовлетворяют системе (9).

Геометрическое место характеристических точек семейства кривых называется дискриминантной кривой этого семейства.

Если все кривые семейства (8) и дискриминантная кривая не имеют особых точек, то эта дискриминантная кривая является огибающей.

Точка  называется обыкновенной точкой кривой семейства (8), если в этой точке

                                                                                       (10)

В противном случае точка  называется особой (т.е. при   т.к. ).

Достаточные условия того, чтобы дискриминантная кривая была огибающей семейства  :

1.

2.

В Примере 2 прямые y=x, и y=x–4/27 удовлетворяют системе (9),которая для этого примера имеет вид

,

однако прямая y=x не является огибающей, т.к. на ней нарушается условие  (10).


EMBED Photoshop.Image.5 \s

EMBED Photoshop.Image.5 \s

EMBED Photoshop.Image.5 \s

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

где , т.е. [a, b], поэтому , а, следовательно,

Приведенный выше пример функции , для которой условие

Липшица выполняется, но производная F(x) при x=0 не существует, говорит о том, что условие  является более грубым, чем условие Липшица.

Пример.

Д.у. II порядка

                      

Положим

Тогда получим нормальную систему д.у.

Пусть

             

Эквивалентная систему интегральных уравнений имеет вид:

             

Итерации:

            

Итак,

             

При x=/2:

             

Точное решение:

               

т.е.

Интегрируя это уравнение, находим С(y). Второй способ определения функции U(x,y) по её полному дифференциалу  состоит в вычислении криволинейного интеграла от   по некоторому пути от точки  до точки (x, y):

 Т.к. подынтегральное выражение – полный дифференциал, то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Если путь интегрирования - ломаная со звеньями, параллельными осям координат, то

   

                        =

 Пример 1.

Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36531. Принципы фон Неймона как основы информации эвм. Схема эвм, основные компоненты 31 KB
  Схема эвм основные компоненты. Принципы Неймона как основы информации ЭВМ. 1ВМ строится на основе двоичной системы счисления 2Программный принцип управления ЭВМ заключаются в том что ЭВМ выполняет решение задачи с помощью программы которая записывается в память до момента ввода исходных данных задачи и выполняется под управлением программы также записанной в памяти.
36532. Понятие систем исчисления,Виды систем исчисления.Правила двоичной арифметики.Кодировка систем исчисления 27.5 KB
  Правила двоичной арифметики: Для автоматизации работы с данными относящимися к различным типам очень важно унифицировать их форму представления для этого обычно используется прием кодирования то есть выражение данных одного типа через данные другого типа. Естественные человеческие языки это не что иное как системы кодирования понятий для выражения мыслей посредством речи. К языкам близко примыкают азбуки системы кодирования компонентов языка с помощью...
36533. Современная методология программирования 28.5 KB
  Однако процесс создания программы остается кустарным и творческим. Появляется противоречие между кустарным способом разработки программ и индустриальным характером продукции отсюда возникает потребность в создании методологии программирования его стандартизации и разработке логических правил синтеза программы. Для оценки качества программ существуют следующие критерии: 1Работоспособность возможность выполнения программы на имеющемся ЭВМ 2Правильность или корректность строгое соответствие результата полученного при выполнении программы...
36534. Основные принципы информационного программирования 24.5 KB
  Современная методология программирования базируется на следующих основных принципах: 1Разбиение процесса создания программы на отдельные этапы и соблюдение их четкой последовательности. 5Использование принципов структурного программирования которое включает в себя проектирование алгоритма на основе ограниченного набора базовых конструкций: 1.
36535. Наставничество в органах внутренних дел 172 KB
  Наставничество в органах внутренних дел представляет собой важную форму повышения профессионального мастерства, трудового и нравственного воспитания лиц рядового и начальствующего состава.
36536. Жизненный цикл программного обеспечения. Понятия спецификации 26.5 KB
  Совукупность требований: пределенные требования спецификаций. Специфика́ция инженерный термин обозначающий набор требований и параметров которым удовлетворяет некоторая сущность. Совокупность требований рограмма.
36537. Понятие алгоритма. Свойства алгоритма. Способы описания. Структурированный алгоритм 27 KB
  Свойства алгоритма. Структурированный алгоритм. Алгоритмэто конечный набор правил последовательное применение которых позволяет преобразовать исходные данные в результат.
36538. Характеристика языка Паскаль.Структура языка, алгоритм 33.5 KB
  Структура языка алгоритм. Существует ряд объективных причин обусловивших выдающийся успех языка Pscl. IIНесмотря на относительную простоту языка он оказался пригоден для весьма широкого спектра приложений в том числе для разработки очень больших и сложных программ например операционных систем.
36539. Структура языка Паскаль. Константы, переменные, стандартные функции 33 KB
  Константы переменные стандартные функции Любая программа на Турбо Паскале имеет одну и ту же общую структуру: [progrm имя программы ;] [ раздел описаний ] begin раздел операторов end. Эта структура состоит из заголовка программы необязательного раздела описаний который может в особых случаях отсутствовать и раздела операторов содержащего хотя бы один оператор. Имя программы идентификатор выбираемый программистом. В разделе описаний должны быть описаны все нестандартные имена используемые далее в разделе операторов этой программы.