21450

Второе условие теоремы существования и единственности - условие Липшица

Лекция

Математика и математический анализ

Если такая кривая является интегральной кривой для рассматриваемого уравнения то соответствующее решение называется особым решением. Поэтому свойство единственности решения уравнения 1 удовлетворяющего условию обычно понимается в том смысле что через данную точку по данному направлению задаваемому проходит не более одной интегральной кривой уравнения 1. Итак только среди точек кривой называемой pдискриминантной кривой т. Если какаянибудь ветвь кривой принадлежит особому множеству и в то же время является интегральной...

Русский

2013-08-02

353 KB

11 чел.

Лекция 5.

      Второе условие теоремы существования и единственности - условие Липшица - чаще всего нарушается в точках, в окрестности которых  неограниченно возрастает, т.е. в точках, где

,

Уравнение , вообще говоря, определяет некоторую кривую, в точках которой может быть нарушена единственность решения. Если это действительно так, то кривая будет особой. Если такая кривая является интегральной кривой для рассматриваемого уравнения, то соответствующее решение называется особым решением.

Пример 1.

                        

Здесь

                                    

т.е.          при       y=x.

Заменим переменные: ,

тогда

         ,       т.е.          

Откуда , или  .

Кривые этого семейства проходят через точки графика  , являющегося решением  дифференциального уравнения. Следовательно, в каждой точке прямой   единственность нарушена, и функция  является особым  решением. Таким образом, одной  непрерывности правой части в уравнении

                                             

недостаточно для единственности решения основной начальной задачи, но этого достаточно для существования решения.

Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Особые решения.

Часто дифференциальные уравнения I порядка имеют вид

                                         .                                              (1)

Очевидно, что для таких уравнений через некоторую точку , вообще говоря, проходит уже не одна, а несколько интегральных кривых  , т.к., разрешая уравнение (1) относительно y, мы, как правило, получаем не одно, а несколько действительных значений  и если каждое из уравнений  в окрестности точки  удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности (см. лекцию 3), то для каждого из этих уравнений найдется единственное решение, удовлетворяющее условию . Поэтому свойство единственности решения уравнения (1), удовлетворяющего условию , обычно понимается в том смысле, что через данную точку  по данному направлению, задаваемому , проходит не более одной интегральной кривой уравнения (1).

 Теорема. Существует единственное решение , , где  достаточно мало, уравнения (1), удовлетворяющее условию , для которого , где  - один из действительных корней уравнения , если в замкнутой окрестности точки  функция   удовлетворяет условиям:

  1.   непрерывна по всем аргументам;
  2.  Производная  непрерывна и   ;
  3.  Существует ограниченная по модулю производная , т.е. .

      Доказательство.

      В соответствии с теоремой о неявной функции условия 1) и 2) гарантируют существование единственной непрерывной в окрестности точки  функции  , определяемой уравнением (1) и удовлетворяющей условию .

      Далее из той же теоремы о неявных функциях следует, что производная  существует и может быть вычислена по правилу дифференцирования неявной функции. Дифференцируя тождество   по y и учитывая, что , получим

,

т.е.

откуда с учетом условий 2) и 3) теоремы получаем, что  в замкнутой окрестности точки , а поэтому в той же окрестности функция   удовлетворяет условию Липшица по переменной y и, следовательно, в соответствии с теоремой существования и единственности (см. лекцию 3) существует единственная интегральная кривая уравнения (1), проходящая через точку  и имеющая в ней угловой коэффициент касательной, равный . Что и требовалось  доказать.

Множество точек (x,y), в которых нарушается единственность решений  уравнения (1), называется особым множеством.

В точках особого множества должно быть нарушено, по крайней мере, одно из условий теоремы.  Как правило, условия 1) и 3) выполняются, а условие 2), т.е.  часто нарушается. Если условия 1) и 3) выполнены, то в точках особого множества должны одновременно быть справедливы равенства

                        .                                                  (2)

Исключая из этих равенств y, получим уравнение

                        ,                                                                     (3)

которому должны удовлетворять точки особого множества. Однако не в каждой точке, удовлетворяющей (3), обязательно нарушается единственность решения уравнения (1), т.к. условия 1)-3) теоремы лишь достаточны, но не являются необходимыми.

Итак, только среди точек кривой , называемой p-дискриминант-ной кривой (т.к. уравнения (2) часто записывают в виде ), могут быть точки особого множества.

Если какая-нибудь ветвь  кривой   принадлежит особому множеству и в то же время является интегральной кривой, то она называется особой интегральной кривой, а функция  - особым решением.

Таким образом, для нахождения особого решения уравнения (1) надо найти p – дискриминантную кривую, определяемую уравнениями (2), выяснить путем непосредственной подстановки в уравнение (1), есть ли среди ветвей p – дискриминантной кривой интегральные кривые и если есть, то еще проверить, нарушена ли в точках этих кривых единственность или нет. Если единственность нарушена, то такая ветвь p – дискриминантной кривой является особой интегральной кривой.

Пример 2.

Найти особое решение уравнения Лагранжа

                                                                                         (4)

(уравнение Лагранжа – линейное относительно x и y, т.е. вида  где  , A, B, C – заданные дифференцируемые функции p).

Решение:

Обозначим   тогда

                                                                                                 (5)

Дифференцируем по x:   , или

 откуда   

                                        , т.е. ,                                           (6)

кроме того, p=1, т.е. y=x+C –  также решение     (С=-4/27).

Из (5) и (6) имеем: .

Исключая p, получим:

                                        .                                                           (7)

Условия 1) и 3) теоремы  существования выполняются. Дискриминантная кривая определяется уравнениями ()

                и  

откуда p=0 или p=1. Подставляя в 1-е уравнение, получим: y=x или y=x–4/27. Прямая y=x–4/27 является огибающей семейства (7).

Огибающая семейства кривых.

 Огибающей однопараметрического семейства кривых  называется кривая , которая: 1) в каждой своей точке касается только одной кривой семейства; 2) в разных точках касается различных кривых указанного семейства.

Если семейство интегральных кривых уравнения (1), то огибающая  этого семейства является особой интегральной кривой. Действительно, в точках  значения x, y и y совпадают со значениями x, y и y для интегральной кривой, касающейся огибающей в точке (x,y), и, следовательно, в каждой точке  значения x, y и y удовлетворяют уравнению  т.е. огибающая является интегральной кривой. В каждой точке  нарушена единственность, т.к. через точки  по одному направлению проходят, по крайней мере 2 интегральные кривые:  и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства. Следовательно,  является особой интегральной кривой.

         Пусть задано однопараметрическое семейство кривых

                                                                                                            (8)

Пусть   дифференцируема  в области задания. Рассмотрим случай, когда любые две кривые семейства (8) пересекаются. Пусть  и  - две кривые семейства (8), отвечающие значениям параметра С и С+С соответственно. Координаты (x,y) точки N их пересечения удовлетворяют следующей системе уравнений

 

Или, что то же самое

 .

При   C0  NM  вдоль кривой  .

Так как

                 ,

то координаты точки M удовлетворяют уравнениям

            ,.                                                   (9)

Точка M(x,y) называется характеристической    точкой кривой семейства (8), отвечающей данному значению параметра С, если ее координаты удовлетворяют системе (9).

Геометрическое место характеристических точек семейства кривых называется дискриминантной кривой этого семейства.

Если все кривые семейства (8) и дискриминантная кривая не имеют особых точек, то эта дискриминантная кривая является огибающей.

Точка  называется обыкновенной точкой кривой семейства (8), если в этой точке

                                                                                       (10)

В противном случае точка  называется особой (т.е. при   т.к. ).

Достаточные условия того, чтобы дискриминантная кривая была огибающей семейства  :

1.

2.

В Примере 2 прямые y=x, и y=x–4/27 удовлетворяют системе (9),которая для этого примера имеет вид

,

однако прямая y=x не является огибающей, т.к. на ней нарушается условие  (10).


EMBED Photoshop.Image.5 \s

EMBED Photoshop.Image.5 \s

EMBED Photoshop.Image.5 \s

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

где , т.е. [a, b], поэтому , а, следовательно,

Приведенный выше пример функции , для которой условие

Липшица выполняется, но производная F(x) при x=0 не существует, говорит о том, что условие  является более грубым, чем условие Липшица.

Пример.

Д.у. II порядка

                      

Положим

Тогда получим нормальную систему д.у.

Пусть

             

Эквивалентная систему интегральных уравнений имеет вид:

             

Итерации:

            

Итак,

             

При x=/2:

             

Точное решение:

               

т.е.

Интегрируя это уравнение, находим С(y). Второй способ определения функции U(x,y) по её полному дифференциалу  состоит в вычислении криволинейного интеграла от   по некоторому пути от точки  до точки (x, y):

 Т.к. подынтегральное выражение – полный дифференциал, то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Если путь интегрирования - ломаная со звеньями, параллельными осям координат, то

   

                        =

 Пример 1.

Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32070. Большие социальные группы и методы их исследования 61 KB
  Большие социальные группы и методы их исследования. Большие соц группы общности людей отличаются от МГ наличием слабых постоянных контактов между всеми их представителями но объединенные не меньше и потому оказывают существенное влияние на общественную жизнь. Классификация: 2 больших класса: 1 случайно стихийно возникшие достаточно кратковременно существующие общности толпа масса неорганизованные; публика аудитория митинг полуорганизованные; 2 именно социальные группы т. группы сложившиеся в ходе исторического развития...
32071. Проблема малой группы в социальной психологии 59 KB
  Проблема малой группы в социальной психологии Проблема определения малой группы Само понятие группа возникло в середине 19 века когда начали изучаться отношения между людьми психология масс народов толпы а изучение малой группы началось с начала 20го века. Как минимум существует 4 группы определений малой группы: 1. любое количество лиц находящихся во взаимодействии друг с другом в виде одной непосредственной встречи или ряда встреч во время которых каждый член группы получает некоторое восприятие каждого другого члена группы....
32072. Становление малой группы как психологической общности 63.5 KB
  Становление малой группы как психологической общности Детерминанты возникновения малой группы факторы общественноэкономического характера требования производства специфика Дти запросы общества социальные факторы: престижность профессии безработица ради выживания чел может браться за самую непрестижную работу престижность группы не зависит от престижности профессии материальный фактор успешность группы. Психологические факторы для неофициальных неформальных групп: потребности человека в безопасности в самоуважении в...
32073. Управление малой группой 59.5 KB
  Социальная власть занимался Левин Шоу Коллинс Равен актуальное часто потенциальное влияние оказываемое одним членом группы на другого а также контроль над другими людьми. По материалам эмпирических исследований наиболее влиятельный субъект воспринимается членами группы как своеобразный коммуникативный центр группы поэтому Равен добавил ещё один тип власти информационную прямая и косвенная формы способна очень длительно воздействовать. Лидеры используют власть как средство в достижении целей группы или организации. Лидер...
32074. Межличностная совместимость и групповая сплочённость 51 KB
  предполагает оптимальную согласованность определенных индивидуальнопсихологических характеристик членов группы характерологических мотивационнопотребностных ролевых и др. Поведенческая личностные свойства членов группы образуют типичные поведенческие модели модели могут быть совместимые и несовместимые очень мало исследований В них рассматриваются только отдельные личностные качества преимущественно авторитарность и доминантность. Структурный выявление оптимальных сочетаний психологических характеристик членов группы...
32075. Изучение межгрупповых отношений в социальной психологии 39.5 KB
  предложена общая деятельность по уборке лагеря в ходе которой были выявлены стихийно сложившиеся дружеские группы; 2. подростков разделили на две группы так чтобы разрушить естественно сложившиеся дружеские отношения измерили враждебность между группами не выявилась; 3. группы были вновь объединены и занялись общей деятельностью ремонтировали водопровод. Затем произвольно разделили людей на две группы: в одну попали те кто зафиксировал больше точек на первой в другую на второй картине.
32076. Прикладные аспекты в социальной психологии 45.5 KB
  Чтобы проанализировать основные линии возможного приложения сп знаний нужно знать специфику прикладного исследования. Прикладные исследования в различных областях науки обладают рядом общих черт. Специфика прикладного исследования в социальной психологии. : различные области народного хозяйства и культуры финансируют сп исследования и создают благоприятные возможности для развития науки; СП не готова ответить на некоторые вопросы поставленные практикой мало теории но в условиях острой общественной потребности она дает эти ответы...
32077. Межличностные конфликты в малой группе. Петровская 68.5 KB
  Структура конфликта. стороны участники конфликта отдельные индивиды социальные группы и организации государства; участники конфликта характеризуются в первую очередь мотивами целями ценностями установками и пр. условия протекания конфликта социальнопсихологическая среда разл группы с их специфической структурой динамикой нормами ценностями и т. возможные действия участников конфликта участники конфликта в действиях передают противостоящей стороне свои намерения оценки и демонстрируют свои возможности.
32078. Психология рекламы и маркетинга 58.5 KB
  Пси рекламы и маркетинга. Основные аспекты работы социального психолога в сфере рекламы и маркетинга. технологии воздействия 12 шагов МакГрайра технологическая модель воздействия от узнавания продукта до согласия купит и до любви к нему Виды рекламы. Реклама в местах продажи вывески магазинов упаковка с фирменным логотипом Виды рекламы: 1.