21450

Второе условие теоремы существования и единственности - условие Липшица

Лекция

Математика и математический анализ

Если такая кривая является интегральной кривой для рассматриваемого уравнения то соответствующее решение называется особым решением. Поэтому свойство единственности решения уравнения 1 удовлетворяющего условию обычно понимается в том смысле что через данную точку по данному направлению задаваемому проходит не более одной интегральной кривой уравнения 1. Итак только среди точек кривой называемой pдискриминантной кривой т. Если какаянибудь ветвь кривой принадлежит особому множеству и в то же время является интегральной...

Русский

2013-08-02

353 KB

11 чел.

Лекция 5.

      Второе условие теоремы существования и единственности - условие Липшица - чаще всего нарушается в точках, в окрестности которых  неограниченно возрастает, т.е. в точках, где

,

Уравнение , вообще говоря, определяет некоторую кривую, в точках которой может быть нарушена единственность решения. Если это действительно так, то кривая будет особой. Если такая кривая является интегральной кривой для рассматриваемого уравнения, то соответствующее решение называется особым решением.

Пример 1.

                        

Здесь

                                    

т.е.          при       y=x.

Заменим переменные: ,

тогда

         ,       т.е.          

Откуда , или  .

Кривые этого семейства проходят через точки графика  , являющегося решением  дифференциального уравнения. Следовательно, в каждой точке прямой   единственность нарушена, и функция  является особым  решением. Таким образом, одной  непрерывности правой части в уравнении

                                             

недостаточно для единственности решения основной начальной задачи, но этого достаточно для существования решения.

Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Особые решения.

Часто дифференциальные уравнения I порядка имеют вид

                                         .                                              (1)

Очевидно, что для таких уравнений через некоторую точку , вообще говоря, проходит уже не одна, а несколько интегральных кривых  , т.к., разрешая уравнение (1) относительно y, мы, как правило, получаем не одно, а несколько действительных значений  и если каждое из уравнений  в окрестности точки  удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности (см. лекцию 3), то для каждого из этих уравнений найдется единственное решение, удовлетворяющее условию . Поэтому свойство единственности решения уравнения (1), удовлетворяющего условию , обычно понимается в том смысле, что через данную точку  по данному направлению, задаваемому , проходит не более одной интегральной кривой уравнения (1).

 Теорема. Существует единственное решение , , где  достаточно мало, уравнения (1), удовлетворяющее условию , для которого , где  - один из действительных корней уравнения , если в замкнутой окрестности точки  функция   удовлетворяет условиям:

  1.   непрерывна по всем аргументам;
  2.  Производная  непрерывна и   ;
  3.  Существует ограниченная по модулю производная , т.е. .

      Доказательство.

      В соответствии с теоремой о неявной функции условия 1) и 2) гарантируют существование единственной непрерывной в окрестности точки  функции  , определяемой уравнением (1) и удовлетворяющей условию .

      Далее из той же теоремы о неявных функциях следует, что производная  существует и может быть вычислена по правилу дифференцирования неявной функции. Дифференцируя тождество   по y и учитывая, что , получим

,

т.е.

откуда с учетом условий 2) и 3) теоремы получаем, что  в замкнутой окрестности точки , а поэтому в той же окрестности функция   удовлетворяет условию Липшица по переменной y и, следовательно, в соответствии с теоремой существования и единственности (см. лекцию 3) существует единственная интегральная кривая уравнения (1), проходящая через точку  и имеющая в ней угловой коэффициент касательной, равный . Что и требовалось  доказать.

Множество точек (x,y), в которых нарушается единственность решений  уравнения (1), называется особым множеством.

В точках особого множества должно быть нарушено, по крайней мере, одно из условий теоремы.  Как правило, условия 1) и 3) выполняются, а условие 2), т.е.  часто нарушается. Если условия 1) и 3) выполнены, то в точках особого множества должны одновременно быть справедливы равенства

                        .                                                  (2)

Исключая из этих равенств y, получим уравнение

                        ,                                                                     (3)

которому должны удовлетворять точки особого множества. Однако не в каждой точке, удовлетворяющей (3), обязательно нарушается единственность решения уравнения (1), т.к. условия 1)-3) теоремы лишь достаточны, но не являются необходимыми.

Итак, только среди точек кривой , называемой p-дискриминант-ной кривой (т.к. уравнения (2) часто записывают в виде ), могут быть точки особого множества.

Если какая-нибудь ветвь  кривой   принадлежит особому множеству и в то же время является интегральной кривой, то она называется особой интегральной кривой, а функция  - особым решением.

Таким образом, для нахождения особого решения уравнения (1) надо найти p – дискриминантную кривую, определяемую уравнениями (2), выяснить путем непосредственной подстановки в уравнение (1), есть ли среди ветвей p – дискриминантной кривой интегральные кривые и если есть, то еще проверить, нарушена ли в точках этих кривых единственность или нет. Если единственность нарушена, то такая ветвь p – дискриминантной кривой является особой интегральной кривой.

Пример 2.

Найти особое решение уравнения Лагранжа

                                                                                         (4)

(уравнение Лагранжа – линейное относительно x и y, т.е. вида  где  , A, B, C – заданные дифференцируемые функции p).

Решение:

Обозначим   тогда

                                                                                                 (5)

Дифференцируем по x:   , или

 откуда   

                                        , т.е. ,                                           (6)

кроме того, p=1, т.е. y=x+C –  также решение     (С=-4/27).

Из (5) и (6) имеем: .

Исключая p, получим:

                                        .                                                           (7)

Условия 1) и 3) теоремы  существования выполняются. Дискриминантная кривая определяется уравнениями ()

                и  

откуда p=0 или p=1. Подставляя в 1-е уравнение, получим: y=x или y=x–4/27. Прямая y=x–4/27 является огибающей семейства (7).

Огибающая семейства кривых.

 Огибающей однопараметрического семейства кривых  называется кривая , которая: 1) в каждой своей точке касается только одной кривой семейства; 2) в разных точках касается различных кривых указанного семейства.

Если семейство интегральных кривых уравнения (1), то огибающая  этого семейства является особой интегральной кривой. Действительно, в точках  значения x, y и y совпадают со значениями x, y и y для интегральной кривой, касающейся огибающей в точке (x,y), и, следовательно, в каждой точке  значения x, y и y удовлетворяют уравнению  т.е. огибающая является интегральной кривой. В каждой точке  нарушена единственность, т.к. через точки  по одному направлению проходят, по крайней мере 2 интегральные кривые:  и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства. Следовательно,  является особой интегральной кривой.

         Пусть задано однопараметрическое семейство кривых

                                                                                                            (8)

Пусть   дифференцируема  в области задания. Рассмотрим случай, когда любые две кривые семейства (8) пересекаются. Пусть  и  - две кривые семейства (8), отвечающие значениям параметра С и С+С соответственно. Координаты (x,y) точки N их пересечения удовлетворяют следующей системе уравнений

 

Или, что то же самое

 .

При   C0  NM  вдоль кривой  .

Так как

                 ,

то координаты точки M удовлетворяют уравнениям

            ,.                                                   (9)

Точка M(x,y) называется характеристической    точкой кривой семейства (8), отвечающей данному значению параметра С, если ее координаты удовлетворяют системе (9).

Геометрическое место характеристических точек семейства кривых называется дискриминантной кривой этого семейства.

Если все кривые семейства (8) и дискриминантная кривая не имеют особых точек, то эта дискриминантная кривая является огибающей.

Точка  называется обыкновенной точкой кривой семейства (8), если в этой точке

                                                                                       (10)

В противном случае точка  называется особой (т.е. при   т.к. ).

Достаточные условия того, чтобы дискриминантная кривая была огибающей семейства  :

1.

2.

В Примере 2 прямые y=x, и y=x–4/27 удовлетворяют системе (9),которая для этого примера имеет вид

,

однако прямая y=x не является огибающей, т.к. на ней нарушается условие  (10).


EMBED Photoshop.Image.5 \s

EMBED Photoshop.Image.5 \s

EMBED Photoshop.Image.5 \s

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

где , т.е. [a, b], поэтому , а, следовательно,

Приведенный выше пример функции , для которой условие

Липшица выполняется, но производная F(x) при x=0 не существует, говорит о том, что условие  является более грубым, чем условие Липшица.

Пример.

Д.у. II порядка

                      

Положим

Тогда получим нормальную систему д.у.

Пусть

             

Эквивалентная систему интегральных уравнений имеет вид:

             

Итерации:

            

Итак,

             

При x=/2:

             

Точное решение:

               

т.е.

Интегрируя это уравнение, находим С(y). Второй способ определения функции U(x,y) по её полному дифференциалу  состоит в вычислении криволинейного интеграла от   по некоторому пути от точки  до точки (x, y):

 Т.к. подынтегральное выражение – полный дифференциал, то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Если путь интегрирования - ломаная со звеньями, параллельными осям координат, то

   

                        =

 Пример 1.

Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17035. Послідовності чисел в Visual BASIC 34.5 KB
  Лабораторна робота №13 Тема. Послідовності чисел Мета: відробити прийоми використання циклів з лічильником і розглянути алгоритм роботи з членами послідовності чисел. Обладнання: ПК ПЗ VB 6.0. Хід роботи Індивідуальне завдання. Скласти рекур...
17036. Одномірні масиви в Visual BASIC 39 KB
  Лабораторна робота №14 Тема. Одномірні масиви Мета: відробити прийоми створення одномірних статичних масивів у VB. Обладнання: ПК ПЗ VB 6.0. Хід роботи Індивідуальне завдання. Скласти програму в VB 6.0 для розв’язання задачі. 19 ...
17037. Використання багатомірних масивів у VB 6.0 45.5 KB
  Лабораторна робота № 15 Тема. Використання багатомірних масивів у VB 6.0. Мета: виробити уміння створення багатомірних динамічних масивів і роботи з ними в VB 6.0. Обладнання: ПК ПЗ VB 6.0. Хід роботи Індивідуальне завдання. Скласти програму в VB 6.0 для розв’язання задач
17038. Використання файлів: послідовний доступ у VB 6.0 67 KB
  Лабораторна робота № 16 Тема: Використання файлів: послідовний доступ Ціль: ознайомитися з принципами організації роботи з файлами у послідовному доступі і використання файлових функцій у VB 6.0. Обладнання: ПК ПЗ MathCad. Завдання 1. Відкрити файл для введення....
17039. Використання файлів: довільний доступ у VB 6.0 121 KB
  Лабораторна робота № 17 Тема: Використання файлів: довільний доступ. Мета: Ознайомитися з принципами організації роботи з файлами у довільному доступі і використання файлових функцій у VB 6.0. Обладнання: ПК ПЗ VB 6.0 Завдання: Відкрити файл для довільного дос
17040. Керування базами даних: створення бази данних у Access 265.5 KB
  Лабораторна робота №1819 Тема: Керування базами даних: створення бази данних у Access Ціль: ознайомитись з принципами керування базами даних в VB 6.0 та розробкою бази даних як токової з використанням Microsoft Access. Обладнання: ПК ПЗ VB 6.0 Хiд роботи Послідовність викон
17041. Створення презентацій у Power Point 341.5 KB
  Лабораторна робота №20 Створення презентацій у Power Point. Робота зі звуком і фільмами у Power Point. Підготовка презентацій до демонстрації в Power Point: організація переходів. Підготовка презентацій до демонстрації в Power. Демонстрації слайдів у Power Point. Ціль: ознайомитис
17042. Операційна система Ms – Dos. Команди Ms – Dos 83.5 KB
  Практична робота №9 Тема: Операційна система Ms – Dos. Команди Ms – Dos. Мета: навчитися використовувати основні команди Ms – Dos для роботи в командному режимі. Створювати невеликі за об'ємом текстові файли не вдаючись до можливостей текстових редакторів. Устаткування: ПК...
17043. Управління процесом завантаження ОС. Створення завантажувальної дискети 205.5 KB
  Практична робота №7. Тема: Управління процесом завантаження ОС. Створення завантажувальної дискети. Мета: Навчитися створювати завантажувальну дискету різними способами. навчитися використовувати її у разі аварійної ситуації в роботі ПК. Устаткування: ПК. Операці...