21451

Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка

Лекция

Математика и математический анализ

Если при то на этом отрезке однородное уравнение 1 эквивалентно следующему 2 где. Уравнение 2 запишем также в виде 2 Если коэффициенты непрерывны на отрезке [b] то в окрестности любых начальных значений где любая точка интервала x b удовлетворяется условие теоремы существования и единственности см. функции ...

Русский

2013-08-02

230 KB

19 чел.

Лекция 6.

Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка.

      Уравнение вида

                        (1)

линейное относительно неизвестной функции и её производных, называется линейным дифференциальным уравнением n – ого порядка.

Если правая часть (x)0, при axb, то уравнение называется линейным однородным.

Если  при axb, то на этом отрезке однородное уравнение (1) эквивалентно следующему

                                      (2)

где . Уравнение (2) запишем также в виде

                                                       (2a)

Если коэффициенты  непрерывны на отрезке [a,b], то в окрестности любых начальных значений

          

где  – любая точка интервала a<x<b, удовлетворяется условие теоремы существования и единственности (см. лекцию 3).

Действительно, правая часть (2а) непрерывна по совокупности аргументов и существуют  ограниченные по модулю частные производные, т.к. функции  - непрерывны на отрезке [a,b] и, следовательно, ограничены по модулю. Таким образом, функция  удовлетворяет условию Липшица по всем переменным, начиная со второй.

Запишем линейное однородное уравнение

      

коротко в виде , где

                -

линейный дифференциальный оператор (линейное дифференциальное выражение).

Линейный дифференциальный оператор обладает свойствами:

1.

т.к. 

              

2.

т.к. 

Из 1) и 2) следует, что

где  – постоянные.

Опираясь на свойства линейного оператора L, установим ряд теорем о решениях линейных однородных дифференциальных уравнений (л. о. д. у.).

Теорема 1.

Если  является решением л. о. д. у.  , то и  , где С – произвольная постоянная, является решением того же уравнения.

Доказательство. В соответствии со свойством 1):

 , ч.т.д.

Теорема 2.

Сумма  решений л. о. д. у. L[y]=0 является решением того же уравнения.

Доказательство. Воспользуемся свойством 2)

ч. т. д.

Следствие. Линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами  решений  л. о. д. у. L[y]=0 является решением того же уравнения.

Теорема 3.

Если л. о. д. у. L[y]=0 с действительными коэффициентами  имеет комплексное решение , то его действительная U(x) и мнимая V(x) части в отдельности являются решениями того же уравнения.

Доказательство. Используя свойства 1) и 2) имеем:

                

откуда L[U]0, L[V]0, т.к. комплексная величина тождественно равна нулю, тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части тожественно равны нулю.

 Определение. Функции  называются линейно зависимыми (предполагается, что ни одна из функций  тождественно не равна нулю на [a,b]) на некотором отрезке axb если существуют постоянные числа  такие, что на этом отрезке

      ,                                     (3)

причем хотя бы одно .

Если тождество (3) справедливо лишь при , то функции  называются линейно независимыми на отрезке axb.

Пример 1.

Функции  линейно независимы на любом отрезке [a,b], т.к. тождество

 

возможно лишь, если все . Если  хотя бы одно , то слева стоял бы многочлен степени не выше n, который может иметь не более n различных корней и, следовательно, обращаться в нуль не более чем в n точках отрезка.

Пример 2.

Функции , где , если ij, линейно независимы на любом отрезке axb.

Допустим, что эти функции линейно зависимы, т.е.

,   

причем не все  равны нулю. Пусть, например, . Разделим тождество на , а результат продифференцируем, получим

Продолжая эту процедуру (т.е. деля на  и дифференцируя и т.д.) (n-1) раз, получим

         

что невозможно, т.к.  при ij, а  по предположению, т.к. в качестве  можно выбрать любой коэффициент, то свойство доказано.

Теорема 4.

Если функции  линейно зависимы на отрезке , то на этом  отрезке определитель Вронского

тождественно равен нулю.

Доказательство. Дано, что

                                                                     (4)

На отрезке [a,b], примем не все  равны нулю. Дифференцируя тождество (4) (n-1) раз, получим

                                                    (5)

Эта линейная алгебраическая система имеет нетривиальное решение (по предположению) при любом x[a,b]. следовательно, её определитель, являющийся определителем Вронского, тождественно равен нулю при  x[a,b], ч. т. д.

Теорема 5.

Если линейно независимые функции  являются решениями  л. о. д. у.

                                              (6)

c непрерывными на отрезке  коэффициентами , то определитель Вронского этой системы функций не может обратиться в нуль ни в одной точке отрезка.

 

Доказательство. Пусть в некоторой точке  отрезка [a,b] определитель Вронского . Выберем постоянные  так, чтобы удовлетворялась система уравнений. Рассмотрим систему алгебраических уравнений:

                      (7)

и чтобы не все  равнялись нулю. Это всегда возможно, т.к. опре-делитель системы (7) равен нулю, т.е. нетривиальное решение системы (7). При таком выборе  линейная комбинация

 

Будет решением л. о. д. у. (6), удовлетворяющим, в силу уравнений системы (7), нулевым начальным условиям

                                                   (8)

Таким условиям, очевидно, удовлетворяет тривиальное решение y=0 уравнения (6) и по теореме единственности начальным условиям (8) удовлетворяет только это решение. Следовательно,  и решения , вопреки условию теоремы, линейно зависимы.

 Замечание 1. Из теорем 4 и 5 следует, что линейно независимые на отрезке [a,b] решения  уравнения (6) линейно независимы и на любом отрезке .

 Замечание 2. В теореме 5, в отличие от теоремы 4 предполагалось, что функции  являются решениями л. о. д. у. (6) с непрерывными коэффициентами. Отказаться от этого требования и считать функции  произвольными (n-1) раз непрерывно дифференцируемыми нельзя. Легко привести примеры линейно независимых функций, не являющихся решениями уравнения (6) с непрерывными коэффициентами, для которых определитель Вронского не только обращается в нуль в некоторых точках, но даже тождественно равен нулю.

Теорема 6.

Общим решением при  л. о. д. у.

                                     (6)

с непрерывными на отрезке [a,b] коэффициентами , i=1,2,..,n, является линейная комбинация  из n линейно независимых на том же отрезке частных решений  с произвольными постоянными коэффициентами .

Доказательство. Уравнение (6) при x[a,b] удовлетворяет условиям теоремы существования  и единственности. Поэтому решение  при  будет общим, т.е. будет содержать все частные решения, если удастся подобрать произвольные постоянные  так, чтобы удовлетворялись произвольно заданные начальные условия

                                   (9)

где  - любая точка (a,b).

Из условия (9) получим систему n линейных относительно ,  i=1,..,n уравнений

                      

с n неизвестными , определитель которой отличен от нуля, т.к. это определитель Вронского  для n линейно независимых решений уравнения (6). Следовательно, эта система разрешима (и однозначно) относительно  при любом выборе  и при любых правых частях.

 Следствие. Максимальное число линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения равно его порядку.

 Замечание. Любые n линейно независимые частные решения л. о. д. у. n – ого порядка называются его фундаментальной системой решений.

      Для построения  фундаментальной системы решений произ-вольно зададим  чисел

 

Подчинив их лишь условию

      

где  любая точка (a,b). Тогда решения , определяемые начальными значениями  образуют фундаментальную систему, т.к. их определитель Вронского W(x) в точке  отличен от нуля и, следовательно, в силу теорем 4 и 5 решения  линейно независимы.

EMBED Photoshop.Image.5 \s

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

где , т.е. [a, b], поэтому , а, следовательно,

Приведенный выше пример функции , для которой условие

Липшица выполняется, но производная F(x) при x=0 не существует, говорит о том, что условие  является более грубым, чем условие Липшица.

Пример.

Д.у. II порядка

                      

Положим

Тогда получим нормальную систему д.у.

Пусть

             

Эквивалентная систему интегральных уравнений имеет вид:

             

Итерации:

            

Итак,

             

При x=/2:

             

Точное решение:

               

т.е.

Интегрируя это уравнение, находим С(y). Второй способ определения функции U(x,y) по её полному дифференциалу  состоит в вычислении криволинейного интеграла от   по некоторому пути от точки  до точки (x, y):

 Т.к. подынтегральное выражение – полный дифференциал, то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Если путь интегрирования - ломаная со звеньями, параллельными осям координат, то

   

                        =

 Пример 1.

Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47886. Барокко. Архітектура. Скульптура. Живопис 519 KB
  Мета завдання лекції Метою викладання теоретичного курсу є знайомство з основними теоретичними поняттями мистецтвознавства особливостями історичних етапів світової образотворчості декоративноужиткового мистецтва та архітектури памятками світової культури допоможе студентам оволодіти належним рівнем методичної готовності до професійної діяльності виховати високий рівень художньоестетичного смаку креативний підхід у поєднанні традицій та новацій у професійній діяльності. засвоєння історії образотворчого декоративноужиткового...
47887. Міждисциплінарні методи в журналістиці 502 KB
  Міждисциплінарні методи в журналістиці Міждисциплінарні методи в журналістиці Логіка викладу Вступ. Методи історії: метод повної історичної реконструкції метод часткової історичної реконструкції порівняльноісторичний метод метод архівного дослідження. Біографічний та автобіографічний метод як важливе джерело відомостей про особу у роботі журналіста.
47888. МАНУФАКТУРНИЙ ПЕРІОД СВІТОВОЇ ЕКОНОМІКИ 292.08 KB
  Це стадія промисловості що історично передувала великому машинному виробництву. Одночасно в промисловості зберігалося ремесло і дрібне товарне виробництво. Більшість галузей промисловості у своєму розвитку поступалися континентальним країнам Європи а англійський флот значно відставав від голландського. Все це позитивно вплинуло на розвиток англійської промисловості.
47889. Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернулі 84 KB
  Якщо імовірність появи події А у кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань є сталою то такі випробування називаються незалежними або експериментальними за схемою Бернулі. У кожному експерименті р імовірність події А q імовірність не появи події А. Формула Бернулі : імовірність того що у результаті nнезалежних експериментів за схемою Бернулі подія А зявиться mразів знаходиться за формулою : 1...
47890. СВІТОВЕ ГОСПОДАРСТВО У МІЖВОЄННИЙ ПЕРІОД 308.11 KB
  Воювали США на боці країн Антанти. У зв'язку зі зростаючим попитом на всі види стратегічної сировини зброю боєприпаси продукти харчування США перетворилися у економічно найрозвиненішу державу світу. Із країниборжника США перетворилися на найбільшого кредитора. У США продовжувало розвиватися ринкове господарство на відміну від інших індустріальних країн в яких економіка перетворювалася у ринковорегульовану.
47891. Культура України епохи бароко. Феномен українського бароко 331 KB
  Феномен українського бароко Культура бароко в Україні охоплює другу половину ХУІІХУШ ст. Порівняно із Західною Європою стиль бароко в Україні поширився із значним запізненням. Дух бароко в Україні утверджували великі національні зрушення козацькі звитяги бурхливі державотворчі процеси. ароко в Україні є універсальний стилем органічною системою що включає усі сфери духовного життя літературу історіографію архітектуру образотворче і прикладне мистецтво музику театр тощо.
47892. Застосування визначеного інтеграла до задач геометрії 15.13 MB
  Обчислимо значення функції. Тоді а nа інтегральна сума для функції. Поняття функції декількох змінних Поряд з поняттям функції однієї незалежної змінної можна розглянути функцію двох і більше незалежних змінних. Аналогічно можна дати визначення функції трьох і більше змінних.
47894. Теорія і методика викладання атлетизму 829 KB
  Основні поняття лекції: теорія і методика атлетизму тренувальні навантаження мастодонти. Основні поняття лекції: теорія і методика атлетизму тренувальні навантаженнякласифікація фізичних вправ. ТРЕНУВАЛЬНЕ НАВАНТАЖЕННЯ Тренованість розвивається під впливом фізичних вправ. Якщо вони дозуються так що дають тренувальний ефект тобто сприяють розвитку зміцненню або збереженню тренованості то говорять про тренувальне навантаження.