21451

Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка

Лекция

Математика и математический анализ

Если при то на этом отрезке однородное уравнение 1 эквивалентно следующему 2 где. Уравнение 2 запишем также в виде 2 Если коэффициенты непрерывны на отрезке [b] то в окрестности любых начальных значений где – любая точка интервала x b удовлетворяется условие теоремы существования и единственности см. функции ...

Русский

2013-08-02

230 KB

19 чел.

Лекция 6.

Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка.

      Уравнение вида

                        (1)

линейное относительно неизвестной функции и её производных, называется линейным дифференциальным уравнением n – ого порядка.

Если правая часть (x)0, при axb, то уравнение называется линейным однородным.

Если  при axb, то на этом отрезке однородное уравнение (1) эквивалентно следующему

                                      (2)

где . Уравнение (2) запишем также в виде

                                                       (2a)

Если коэффициенты  непрерывны на отрезке [a,b], то в окрестности любых начальных значений

          

где  – любая точка интервала a<x<b, удовлетворяется условие теоремы существования и единственности (см. лекцию 3).

Действительно, правая часть (2а) непрерывна по совокупности аргументов и существуют  ограниченные по модулю частные производные, т.к. функции  - непрерывны на отрезке [a,b] и, следовательно, ограничены по модулю. Таким образом, функция  удовлетворяет условию Липшица по всем переменным, начиная со второй.

Запишем линейное однородное уравнение

      

коротко в виде , где

                -

линейный дифференциальный оператор (линейное дифференциальное выражение).

Линейный дифференциальный оператор обладает свойствами:

1.

т.к. 

              

2.

т.к. 

Из 1) и 2) следует, что

где  – постоянные.

Опираясь на свойства линейного оператора L, установим ряд теорем о решениях линейных однородных дифференциальных уравнений (л. о. д. у.).

Теорема 1.

Если  является решением л. о. д. у.  , то и  , где С – произвольная постоянная, является решением того же уравнения.

Доказательство. В соответствии со свойством 1):

 , ч.т.д.

Теорема 2.

Сумма  решений л. о. д. у. L[y]=0 является решением того же уравнения.

Доказательство. Воспользуемся свойством 2)

ч. т. д.

Следствие. Линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами  решений  л. о. д. у. L[y]=0 является решением того же уравнения.

Теорема 3.

Если л. о. д. у. L[y]=0 с действительными коэффициентами  имеет комплексное решение , то его действительная U(x) и мнимая V(x) части в отдельности являются решениями того же уравнения.

Доказательство. Используя свойства 1) и 2) имеем:

                

откуда L[U]0, L[V]0, т.к. комплексная величина тождественно равна нулю, тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части тожественно равны нулю.

 Определение. Функции  называются линейно зависимыми (предполагается, что ни одна из функций  тождественно не равна нулю на [a,b]) на некотором отрезке axb если существуют постоянные числа  такие, что на этом отрезке

      ,                                     (3)

причем хотя бы одно .

Если тождество (3) справедливо лишь при , то функции  называются линейно независимыми на отрезке axb.

Пример 1.

Функции  линейно независимы на любом отрезке [a,b], т.к. тождество

 

возможно лишь, если все . Если  хотя бы одно , то слева стоял бы многочлен степени не выше n, который может иметь не более n различных корней и, следовательно, обращаться в нуль не более чем в n точках отрезка.

Пример 2.

Функции , где , если ij, линейно независимы на любом отрезке axb.

Допустим, что эти функции линейно зависимы, т.е.

,   

причем не все  равны нулю. Пусть, например, . Разделим тождество на , а результат продифференцируем, получим

Продолжая эту процедуру (т.е. деля на  и дифференцируя и т.д.) (n-1) раз, получим

         

что невозможно, т.к.  при ij, а  по предположению, т.к. в качестве  можно выбрать любой коэффициент, то свойство доказано.

Теорема 4.

Если функции  линейно зависимы на отрезке , то на этом  отрезке определитель Вронского

тождественно равен нулю.

Доказательство. Дано, что

                                                                     (4)

На отрезке [a,b], примем не все  равны нулю. Дифференцируя тождество (4) (n-1) раз, получим

                                                    (5)

Эта линейная алгебраическая система имеет нетривиальное решение (по предположению) при любом x[a,b]. следовательно, её определитель, являющийся определителем Вронского, тождественно равен нулю при  x[a,b], ч. т. д.

Теорема 5.

Если линейно независимые функции  являются решениями  л. о. д. у.

                                              (6)

c непрерывными на отрезке  коэффициентами , то определитель Вронского этой системы функций не может обратиться в нуль ни в одной точке отрезка.

 

Доказательство. Пусть в некоторой точке  отрезка [a,b] определитель Вронского . Выберем постоянные  так, чтобы удовлетворялась система уравнений. Рассмотрим систему алгебраических уравнений:

                      (7)

и чтобы не все  равнялись нулю. Это всегда возможно, т.к. опре-делитель системы (7) равен нулю, т.е. нетривиальное решение системы (7). При таком выборе  линейная комбинация

 

Будет решением л. о. д. у. (6), удовлетворяющим, в силу уравнений системы (7), нулевым начальным условиям

                                                   (8)

Таким условиям, очевидно, удовлетворяет тривиальное решение y=0 уравнения (6) и по теореме единственности начальным условиям (8) удовлетворяет только это решение. Следовательно,  и решения , вопреки условию теоремы, линейно зависимы.

 Замечание 1. Из теорем 4 и 5 следует, что линейно независимые на отрезке [a,b] решения  уравнения (6) линейно независимы и на любом отрезке .

 Замечание 2. В теореме 5, в отличие от теоремы 4 предполагалось, что функции  являются решениями л. о. д. у. (6) с непрерывными коэффициентами. Отказаться от этого требования и считать функции  произвольными (n-1) раз непрерывно дифференцируемыми нельзя. Легко привести примеры линейно независимых функций, не являющихся решениями уравнения (6) с непрерывными коэффициентами, для которых определитель Вронского не только обращается в нуль в некоторых точках, но даже тождественно равен нулю.

Теорема 6.

Общим решением при  л. о. д. у.

                                     (6)

с непрерывными на отрезке [a,b] коэффициентами , i=1,2,..,n, является линейная комбинация  из n линейно независимых на том же отрезке частных решений  с произвольными постоянными коэффициентами .

Доказательство. Уравнение (6) при x[a,b] удовлетворяет условиям теоремы существования  и единственности. Поэтому решение  при  будет общим, т.е. будет содержать все частные решения, если удастся подобрать произвольные постоянные  так, чтобы удовлетворялись произвольно заданные начальные условия

                                   (9)

где  - любая точка (a,b).

Из условия (9) получим систему n линейных относительно ,  i=1,..,n уравнений

                      

с n неизвестными , определитель которой отличен от нуля, т.к. это определитель Вронского  для n линейно независимых решений уравнения (6). Следовательно, эта система разрешима (и однозначно) относительно  при любом выборе  и при любых правых частях.

 Следствие. Максимальное число линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения равно его порядку.

 Замечание. Любые n линейно независимые частные решения л. о. д. у. n – ого порядка называются его фундаментальной системой решений.

      Для построения  фундаментальной системы решений произ-вольно зададим  чисел

 

Подчинив их лишь условию

      

где  любая точка (a,b). Тогда решения , определяемые начальными значениями  образуют фундаментальную систему, т.к. их определитель Вронского W(x) в точке  отличен от нуля и, следовательно, в силу теорем 4 и 5 решения  линейно независимы.

EMBED Photoshop.Image.5 \s

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

где , т.е. [a, b], поэтому , а, следовательно,

Приведенный выше пример функции , для которой условие

Липшица выполняется, но производная F(x) при x=0 не существует, говорит о том, что условие  является более грубым, чем условие Липшица.

Пример.

Д.у. II порядка

                      

Положим

Тогда получим нормальную систему д.у.

Пусть

             

Эквивалентная систему интегральных уравнений имеет вид:

             

Итерации:

            

Итак,

             

При x=/2:

             

Точное решение:

               

т.е.

Интегрируя это уравнение, находим С(y). Второй способ определения функции U(x,y) по её полному дифференциалу  состоит в вычислении криволинейного интеграла от   по некоторому пути от точки  до точки (x, y):

 Т.к. подынтегральное выражение – полный дифференциал, то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Если путь интегрирования - ломаная со звеньями, параллельными осям координат, то

   

                        =

 Пример 1.

Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40110. Методы наискорейшего и координатного спуска для минимизации выпуклой функции без ограничений. Их алгоритмы и геометрическая интерпретация 94.5 KB
  Все методы спуска решения задачи безусловной минимизации различаются либо выбором направления спуска, либо способом движения вдоль направления спуска. Решается задача минимизации функции f(x) на всём пространстве Rn. Методы спуска состоят в следующей процедуре построения последовательност
40111. Субградиент как обобщение понятия градиента. Субградиент для функции максимума. Субградиентный метод и его геометрическая интерпретация в R2 141 KB
  Субградиент для функции максимума. Градиентом дифференцируемой функции fx в точке называется вектор частных производных.x0 y0 а значение lim называется частной производной функции f по x в т. Вектор называется субградиентом опорным вектором функции fx в точке если выполняется: Таких с множество но это множество ограничено и замкнуто.
40112. Типичные производственные функции с несколькими ресурсами: линейная ПФ, степенная ПФ, ПФ с постоянными пропорциями. Коэффициенты эффективности использования ресурсов для этих типов функций 162 KB
  Коэффициенты эффективности использования ресурсов для этих типов функций. Производственные возможности н х в любой момент времени определяются 2мя группами факторов: технологические условия производства которые выражают зависимости между затратами разных ресурсов и выпуском продукции объем и качество используемых ресурсов fx – производственная функция зависимость результата производства объема выпуска продукции от затрат ресурсов. X = х1 хm – вектор затрат ресурсов. ПФ характеризует максимально возможный выпуск продукции при...
40113. Показатели эффективности использования производственных ресурсов (коэффициенты средней и предельной эффективности). Коэффициент эластичности выпуска. Вычисление этих показателей для степенной производственной функции 134.5 KB
  Средняя эффективность использования ресурсов – показывает отдачу от каждой единицы iго ресурса. Предельная эффективность – показывает предельный прирост выпуска продукции при увеличении затрат iго ресурса на малую величину. При этом важен характер изменения эффективности дополнительных количеств используемого ресурса. Если найдем максимальный то определим от какого ресурса получим наибольшую отдачу т.
40114. Модель оптимального поведения потребителей на рынке товаров в условиях товарно-денежных отношений 85.5 KB
  Модель оптимального поведения потребителей на рынке товаров в условиях товарноденежных отношений. Исследуется поведение некоторой группы потребителей на рынке на котором представлены n товаров которые будем обозначать: y = y1 yn – набор товаров услуг р = р1 рn – заданные цены на товары услуги. Тогда задача имеет вид: Графическая интерпретация для случая двух товаров: Линии уровня имеют такой вид так как чем больше потребитель потребляет товар тем менее предпочтительным он становится Присутствующий в модели принцип...
40115. Вариантная задача развития и размещения производства. Метод коэффициентов интенсивности 98 KB
  Отраслевая модель перспективного планирования разрабатывается на 5-15 лет. В пределах этого времени очень часто показатели принимаются за постоянные. Если же относительно некоторых экономических показателей нельзя сделать предположение о постоянстве, то учитывается изменение во времени за некоторый период времени. При этом показатели вычисляются приближенно с помощью коэффициента дисконтирования.
40116. Модель с фиксированным размером заказа 51 KB
  Модель с фиксированным размером заказа Целесообразность создания запасов: 1 наличие запасов позволяет быстро удовлетворять потребности потребителей. В рассматриваемой системе размер заказа является постоянной величиной и повторный заказ подается при условии что уровень наличных заказов снижается до определенного критического уровня который в теории управления запасами называется точкой заказа. Система с фиксированным размером заказа основана на выборе размера партии минимизирующего общие издержки управления запасами. При этом...
40117. Модель с фиксированным уровнем запасов 44.5 KB
  Модель с фиксированным уровнем запасов основана на фиксированных моментах подачи заказа. В модели издержки управления запасами в явном виде не рассматриваются и фиксированный размер заказа отсутствует. Mx уровень запасов M определяется по формуле: М = В SL L R 1 где L – время выполнения заказа R – интервал м у проверками 0 R 2R – моменты проверки наличия товара на складе 0 L R L 2R L – моменты поставки заказа. примерно в случаев фактический сбыт за время доставки заказа м.
40118. Двухуровневая система управления товарными запасами, (s,S)-система 36.5 KB
  Данная система является системой с постоянным уровнем запасов в которой установлен нижний предел для размера заказа. Покажем что действительно нижний предел размера заказа: L – время выполнения заказа P – точка заказа; уровень запасов при котором делается заказ. Заказываем реже чем в модель с фиксированным уровнем запасов и размер заказа при этом больше. Рекомендации по выбору: I модель – система с постоянным уровнем заказа – система с пост.