21451

Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка

Лекция

Математика и математический анализ

Если при то на этом отрезке однородное уравнение 1 эквивалентно следующему 2 где. Уравнение 2 запишем также в виде 2 Если коэффициенты непрерывны на отрезке [b] то в окрестности любых начальных значений где – любая точка интервала x b удовлетворяется условие теоремы существования и единственности см. функции ...

Русский

2013-08-02

230 KB

19 чел.

Лекция 6.

Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка.

      Уравнение вида

                        (1)

линейное относительно неизвестной функции и её производных, называется линейным дифференциальным уравнением n – ого порядка.

Если правая часть (x)0, при axb, то уравнение называется линейным однородным.

Если  при axb, то на этом отрезке однородное уравнение (1) эквивалентно следующему

                                      (2)

где . Уравнение (2) запишем также в виде

                                                       (2a)

Если коэффициенты  непрерывны на отрезке [a,b], то в окрестности любых начальных значений

          

где  – любая точка интервала a<x<b, удовлетворяется условие теоремы существования и единственности (см. лекцию 3).

Действительно, правая часть (2а) непрерывна по совокупности аргументов и существуют  ограниченные по модулю частные производные, т.к. функции  - непрерывны на отрезке [a,b] и, следовательно, ограничены по модулю. Таким образом, функция  удовлетворяет условию Липшица по всем переменным, начиная со второй.

Запишем линейное однородное уравнение

      

коротко в виде , где

                -

линейный дифференциальный оператор (линейное дифференциальное выражение).

Линейный дифференциальный оператор обладает свойствами:

1.

т.к. 

              

2.

т.к. 

Из 1) и 2) следует, что

где  – постоянные.

Опираясь на свойства линейного оператора L, установим ряд теорем о решениях линейных однородных дифференциальных уравнений (л. о. д. у.).

Теорема 1.

Если  является решением л. о. д. у.  , то и  , где С – произвольная постоянная, является решением того же уравнения.

Доказательство. В соответствии со свойством 1):

 , ч.т.д.

Теорема 2.

Сумма  решений л. о. д. у. L[y]=0 является решением того же уравнения.

Доказательство. Воспользуемся свойством 2)

ч. т. д.

Следствие. Линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами  решений  л. о. д. у. L[y]=0 является решением того же уравнения.

Теорема 3.

Если л. о. д. у. L[y]=0 с действительными коэффициентами  имеет комплексное решение , то его действительная U(x) и мнимая V(x) части в отдельности являются решениями того же уравнения.

Доказательство. Используя свойства 1) и 2) имеем:

                

откуда L[U]0, L[V]0, т.к. комплексная величина тождественно равна нулю, тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части тожественно равны нулю.

 Определение. Функции  называются линейно зависимыми (предполагается, что ни одна из функций  тождественно не равна нулю на [a,b]) на некотором отрезке axb если существуют постоянные числа  такие, что на этом отрезке

      ,                                     (3)

причем хотя бы одно .

Если тождество (3) справедливо лишь при , то функции  называются линейно независимыми на отрезке axb.

Пример 1.

Функции  линейно независимы на любом отрезке [a,b], т.к. тождество

 

возможно лишь, если все . Если  хотя бы одно , то слева стоял бы многочлен степени не выше n, который может иметь не более n различных корней и, следовательно, обращаться в нуль не более чем в n точках отрезка.

Пример 2.

Функции , где , если ij, линейно независимы на любом отрезке axb.

Допустим, что эти функции линейно зависимы, т.е.

,   

причем не все  равны нулю. Пусть, например, . Разделим тождество на , а результат продифференцируем, получим

Продолжая эту процедуру (т.е. деля на  и дифференцируя и т.д.) (n-1) раз, получим

         

что невозможно, т.к.  при ij, а  по предположению, т.к. в качестве  можно выбрать любой коэффициент, то свойство доказано.

Теорема 4.

Если функции  линейно зависимы на отрезке , то на этом  отрезке определитель Вронского

тождественно равен нулю.

Доказательство. Дано, что

                                                                     (4)

На отрезке [a,b], примем не все  равны нулю. Дифференцируя тождество (4) (n-1) раз, получим

                                                    (5)

Эта линейная алгебраическая система имеет нетривиальное решение (по предположению) при любом x[a,b]. следовательно, её определитель, являющийся определителем Вронского, тождественно равен нулю при  x[a,b], ч. т. д.

Теорема 5.

Если линейно независимые функции  являются решениями  л. о. д. у.

                                              (6)

c непрерывными на отрезке  коэффициентами , то определитель Вронского этой системы функций не может обратиться в нуль ни в одной точке отрезка.

 

Доказательство. Пусть в некоторой точке  отрезка [a,b] определитель Вронского . Выберем постоянные  так, чтобы удовлетворялась система уравнений. Рассмотрим систему алгебраических уравнений:

                      (7)

и чтобы не все  равнялись нулю. Это всегда возможно, т.к. опре-делитель системы (7) равен нулю, т.е. нетривиальное решение системы (7). При таком выборе  линейная комбинация

 

Будет решением л. о. д. у. (6), удовлетворяющим, в силу уравнений системы (7), нулевым начальным условиям

                                                   (8)

Таким условиям, очевидно, удовлетворяет тривиальное решение y=0 уравнения (6) и по теореме единственности начальным условиям (8) удовлетворяет только это решение. Следовательно,  и решения , вопреки условию теоремы, линейно зависимы.

 Замечание 1. Из теорем 4 и 5 следует, что линейно независимые на отрезке [a,b] решения  уравнения (6) линейно независимы и на любом отрезке .

 Замечание 2. В теореме 5, в отличие от теоремы 4 предполагалось, что функции  являются решениями л. о. д. у. (6) с непрерывными коэффициентами. Отказаться от этого требования и считать функции  произвольными (n-1) раз непрерывно дифференцируемыми нельзя. Легко привести примеры линейно независимых функций, не являющихся решениями уравнения (6) с непрерывными коэффициентами, для которых определитель Вронского не только обращается в нуль в некоторых точках, но даже тождественно равен нулю.

Теорема 6.

Общим решением при  л. о. д. у.

                                     (6)

с непрерывными на отрезке [a,b] коэффициентами , i=1,2,..,n, является линейная комбинация  из n линейно независимых на том же отрезке частных решений  с произвольными постоянными коэффициентами .

Доказательство. Уравнение (6) при x[a,b] удовлетворяет условиям теоремы существования  и единственности. Поэтому решение  при  будет общим, т.е. будет содержать все частные решения, если удастся подобрать произвольные постоянные  так, чтобы удовлетворялись произвольно заданные начальные условия

                                   (9)

где  - любая точка (a,b).

Из условия (9) получим систему n линейных относительно ,  i=1,..,n уравнений

                      

с n неизвестными , определитель которой отличен от нуля, т.к. это определитель Вронского  для n линейно независимых решений уравнения (6). Следовательно, эта система разрешима (и однозначно) относительно  при любом выборе  и при любых правых частях.

 Следствие. Максимальное число линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения равно его порядку.

 Замечание. Любые n линейно независимые частные решения л. о. д. у. n – ого порядка называются его фундаментальной системой решений.

      Для построения  фундаментальной системы решений произ-вольно зададим  чисел

 

Подчинив их лишь условию

      

где  любая точка (a,b). Тогда решения , определяемые начальными значениями  образуют фундаментальную систему, т.к. их определитель Вронского W(x) в точке  отличен от нуля и, следовательно, в силу теорем 4 и 5 решения  линейно независимы.

EMBED Photoshop.Image.5 \s

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

где , т.е. [a, b], поэтому , а, следовательно,

Приведенный выше пример функции , для которой условие

Липшица выполняется, но производная F(x) при x=0 не существует, говорит о том, что условие  является более грубым, чем условие Липшица.

Пример.

Д.у. II порядка

                      

Положим

Тогда получим нормальную систему д.у.

Пусть

             

Эквивалентная систему интегральных уравнений имеет вид:

             

Итерации:

            

Итак,

             

При x=/2:

             

Точное решение:

               

т.е.

Интегрируя это уравнение, находим С(y). Второй способ определения функции U(x,y) по её полному дифференциалу  состоит в вычислении криволинейного интеграла от   по некоторому пути от точки  до точки (x, y):

 Т.к. подынтегральное выражение – полный дифференциал, то интеграл не зависит от пути интегрирования.

Если путь интегрирования - ломаная со звеньями, параллельными осям координат, то

   

                        =

 Пример 1.

Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60171. Круглий стіл: «Попередження насильства в сімї» 148.5 KB
  Мета: сформулювати уявлення про насильство та розвинути знання про методи захисту від насильства, вміти протистояти насильству; висловлювати своє відношення до можливих випадків насильства.
60172. Позакласний захід “Свято казки” 186.5 KB
  Дітей люблю і поважаю Завжди учу добро робити Всіх цінувати і любити. Всі мене мабуть впізнали Я Сніжинкою зовусь. Пеппі Де море берег омиває І сяйво півночі сіяє Країна Швеція лежить А в ній повільно час біжить Десь на околиці містечка...
60173. We love English 193.5 KB
  Pupils are divided into two groups. Senior pupils make up the jury of the competition. Each team has a name. One team is called “Mickey Mouse”, the other – “Minney Mouse”. The teams have emblems and greet each other.
60174. Інтелектуальна гра «Мовознавці» 376.5 KB
  Мета заходу: поглибити знання учнів про історію українського та англійського народів; формувати загально-пізнавальні вміння; порівнювати та зіставляти вивчене в українській та англійській мовах; розвивати творчі можливості учнів...
60175. Внеклассное мероприятие для начальной школы. Хлеб - всему голова 536.84 KB
  Цель: показать значимость и ценность хлеба в жизни человека; познакомить детей с тем, как выращивают хлеб; воспитывать у детей уважение к хлеборобам, бережное отношение к хлебу.
60176. ПОДОРОЖ У ЧАРІВНИЙ СВІТ ХІМІЇ 691.54 KB
  Мета: закріпити й узагальнити знання з хімії та біології за курс основної школи; розвивати уміння і навики проведення хімічного досліду з дотриманням правил техніки безпеки; стимулювати пізнавальну діяльність, активізувати творчі можливості студентів; розвивати логічне мислення
60177. Вверх по лестнице-чудеснице 165 KB
  Оборудование: карточки с заданиями для работы в парах таблицы с ребусами геометрические фигуры для работы в парах картинка Буратино таблички с названиями ступенек ступеньками расположены на доске.
60178. Школа виживання. Спортивно-інтелектуальна розвага 315.5 KB
  Форма проведення: змагання Хід змагання І Етап орієнтації Добрий день дорогі друзі Сьогодні ми запросили вас взяти участь у грі назва якої Школа виживання ІІ. Етап проектування А зараз послухайте про етапи змагань.
60179. Відкриймо серце для любові. Виховний захід 71 KB
  Мета: формувати у школярів найвищі людські цінності: любов доброту милосердя; показати красу взаємної любові й пошани до рідних та близьких; плекати духовність засобами християнської педагогіки привернути їх до першооснов Добра і Любові...