21452

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Лекция

Математика и математический анализ

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Будем рассматривать линейные неоднородные уравнения вида 1 Это уравнение сохраняя прежние обозначения запишем в виде Если при в уравнении 1 все коэффициенты и правая часть fx непрерывны то оно имеет единственное решение удовлетворяющее условиям где любые действительные числа а любая точка интервала . Действительно правая часть уравнения 1 В окрестности рассматриваемых...

Русский

2013-08-02

256.5 KB

8 чел.

Лекция 7.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Будем рассматривать линейные неоднородные уравнения вида

                                (1)

Это уравнение, сохраняя прежние обозначения, запишем в виде

 

Если при  в уравнении (1) все коэффициенты  и правая часть f(x) непрерывны, то оно имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям

 

где  – любые действительные числа, а  – любая точка интервала .

Действительно, правая часть уравнения

               (1a)

В окрестности рассматриваемых начальных значений удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности:

  1.  правая часть непрерывна по аргументам 
  2.  имеет ограниченные частные производные по всем

, т.к. эти производные равны непрерывным по предположению на отрезке [a, b] коэффициентам

На начальные значения  не налагается никаких ограничений.

Из 2-х основных свойств линейного оператора

 

где C=const, следует

  1.  Сумма  решения  неоднородного уравнения

                                                                                 (1)

и решения  соответствующего однородного уравнения L[y]=0 является решением неоднородного уравнения (1).

Доказательство.

                      

но , а , поэтому

 

  1.  Если  является решением уравнения ,

то  является решением уравнения

где  – постоянные.

Доказательство.

                                                                         (2)

но , поэтому 

Это свойство называется принципом суперпозиции. Оно сохраняется и при m, если ряд  сходится и допускает n- кратное почленное дифференцирование, т.к. при этом возможен предельный переход в (2).

3. Если уравнение  где все коэффициенты

 и функции U(x) и V(x) действительные, имеет решение , то действительная  и мнимая часть  решения  являются соответственно решениями уравнений L[y]=U(x); L[y]=V(x).

Доказательство.

                  

т.е.

                   

поэтому 

 Теорема. Общее решение на отрезке  уравнения L[y]=f(x) с непрерывными на этом отрезке коэффициентами и правой частью f(x) равно сумме общего решения  соответствующего однородного уравнения и какого – нибудь частного решения  неоднородного уравнения.

Доказательство. Требуется доказать, что

                                                                    (3)

где  – произвольные постоянные, а  - линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения, является общим решением неоднородного уравнения L[y]=f(x).

Принимая во внимание свойство 1) и справедливость для рассматриваемого уравнения теоремы существования и единственности, надо доказать, что подбором постоянных  в (3) можно удовлетворить произвольно заданным начальным условиям.

                                        (4)

где . Требуя, чтобы решение (3) удовлетворяло условию (4), перейдем к системе уравнений

                                             (5)

Эта линейная по отношению к постоянным  система n уравнений с n неизвестными при произвольных правых частях допускает единственность решения, т.к. её определитель, будучи определителем Вронского  линейно независимой системы решений соответственного однородного уравнения с непрерывными коэффициентами отличен от нуля при  что и требовалось  доказать.

Пример.

           .

Одно частное решение y=x. Общее решение соответствующего однородного  уравнения имеет вид

 

Следовательно, общее решение исходного неоднородного уравнения

 

 Метод вариации произвольных постоянных.

 Этот метод применяется для решения неоднородных д. у. с непрерывными коэффициентами. В соответствии с этим методом решение неоднородного д. у. ищется в виде

                                                           (1)

т.е. в общем решении однородного д.у. коэффициенты  полагаются зависящими от x.

Так как подбором функций надо удовлетворить лишь одному уравнению

                                     (2)

То можно потребовать, чтобы эти n функций  удовлетворяли бы ещё каким – нибудь (n-1) уравнениям, которые мы выберем так, чтобы производные функции (1) имели бы по возможности такой же вид, какой они имеют при постоянных .

Итак, поскольку

           

то наложим на  условие 

                     

Тогда

   

Т.е. y имеет такой же вид, как и при постоянных . Теперь т.к.

           

То полагаем

            

Продолжая вычислять производные функции  до (n-1) – порядка включительно и требуя каждый раз обращения в нуль суммы :

                                             (3)

Получим

                                         (4)

В последнем равенстве мы не можем потребовать, чтобы , т.к. функции  уже подчинены (n-1) условиям (3), а надо ещё удовлетворить исходному уравнению (2). Подставляя  из (4) в уравнение (2), получим:

        

                  

Или

                   (5)

Все  являются частными решениями соответствующих однородных уравнений. Поэтому

 

 Таким образом, уравнение (5) принимает вид

 

Итак, функции  определяются из системы n линейных уравнений

                                                               (6)

с отличным от нуля определителем системы

 

Т.к. это – определитель Вронского для линейно независимых решений соответствующего однородного уравнения. Определив из (6) все , квадратурами находим 

Пример.

                       

В соответствии с методом вариации постоянных

                       

Причем  подчинены системе (6)

          

откуда

  т.е.

  т.е. 

Общее решение исходного уравнения, таким образом, имеет вид

 

Итак, знание n линейно независимых частных решений соответствующего однородного уравнения позволяет методом вариации постоянных проинтегрировать неоднородное уравнение

Если же известно лишь m, где m<n, линейно независимых решений  соответствующего однородного уравнения, то с помощью замены переменных можно понизить порядок уравнения до n-m, сохраняя его линейность.

Действительно, положим в уравнении

                                    (7)

                                     ,                                                             (*)

где  – частное решение уравнения (7).

В результате уравнение преобразуется к виду

                               (8)

Причем решению  уравнения (7) в силу (*) соответствует частное решение  уравнения (8). Подставив  в (8), получим . Следовательно, уравнение (8) имеет вид

           

и подстановка  понижает порядок на единицу

 

Подстановка , где  - решение уравнения (7) снижает на единицу и порядок неоднородного уравнения L[y]=f(x), т.к. подстановка не затрагивает правой части уравнения.

 Пример.

   

Метод Коши решения линейного неоднородного уравнения.

Этот метод позволяет найти частное решение уравнения

                                                                        (1)

если известно зависящее от одного параметра решение K(x, t) соответствующего однородного уравнения  удовлетворя-ющее условиям (n2)

                                       (2)

                                                                    (3)

В этом случае

                                                        (4)

Будет частным решением уравнения (1), удовлетворяющим нулевым начальным условиям

                     

Действительно, дифференцируя (4) и принимая во внимание условия (2) и (3), получим

                                            (5)

Подставляя (4) и (5) в уравнение (1), имеем

 

т.к. K(x, t) – решение соответствующего однородного уравнения, т.е. L[K(x, t)]0.

Решение K(x, t) может быть выделено из общего решения  однородного уравнения, если выбрать произвольные постоянные  так, чтобы удовлетворялись условия (2) и (3).

Пример.

Уравнение

                                                                                    (6)

Соответствующее однородное уравнение 

Имеет общее решение

Условия (2) и (3) приводят к следующим уравнениям

     

откуда

 

т.е. искомое решение K(x, t) имеет вид

 

Решение уравнения (6) с нулевыми начальными условиями в соответствии с (4) представимо в виде

 

Функцию K(x, t) называют в литературе функцией влияния.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34096. Общая совместная собственность на земельные участки 26.5 KB
  Общая совместная собственность на земельные участки. Общая собственность на земельные участки Существует 2 вида: долевая; общая совместная. Общая долевая собственность возникает при попадании двум и более лицам неделимого участка в случаях предусмотренных в законе или договоре. Совместная собственность возникает в следующих случаях прямо предусмотренных законами: общая собственность супругов если брачным контрактом не предусмотрено иное; возникает собственность крестьянскофермерских хозяйств если соглашением между членами...
34097. Изъятие (выкуп) земельных участков для государственных и муниципальных нужд: основания, порядок 62.5 KB
  Следует иметь в виду что предполагаемое назначение объекта должно соответствовать полномочиям органа принимающего решение об изъятии земельного участка. Например решение об изъятии земельного участка для целей связанных с защитой Государственной границы России может быть принято только органами государственной власти Российской Федерации согласно п. Данное обстоятельство по сути означает что в случае возникновения судебного спора орган принявший решение об изъятии земельного участка должен будет представить суду убедительные...
34098. Право ограниченного пользования чужим земельным участком (сервитут). Обременения земельного участка 33 KB
  Обременения земельного участка. Однако возможно рассмотрение сервитута в качестве обременения земельного участка.С точки зрения собственника земельного участка который соседи используют для прохода к водоему сервитут является ограничением его права. Публичные сервитуты могут устанавливаться для:1 прохода или проезда через земельный участок;2 использования земельного участка для ремонта коммунальных инженерных электрических и других линий и сетей а также транспортной инфраструктуры;3 размещения на участке межевых и геодезических знаков...
34099. Право пользования земельным участком собственником недвижимости. Последствия утраты собственником недвижимости права пользования земельным участком 93 KB
  В случае когда земельные участки находящиеся в государственной или муниципальной собственности предоставляются за плату наряду с решением органа государственной власти или местного самоуправления о предоставлении земельного участка юридический состав образует также договор куплипродажи земельного участка. При наследовании земельного участка по наследству переходят также находящиеся в границах этого земельного участка поверхностный почвенный слой замкнутые водоемы находящиеся на нем лес и растения. Раздел земельного участка...
34100. Права и обязанности субъектов, использующих землю. Защита их прав 52.5 KB
  Взаимосвязанные между собой права и обязанности субъектов земельных правоотношений составляют суть содержания любого правоотношения. Права субъектов земельных правоотношений можно классифицировать на две основные группы: 1. Право на действия субъектов земельных правоотношений можно подразделить на: а виды действий. Право на бездействие субъектов земельных правоотношений можно подразделить на: а полное бездействие.
34101. онятие и особенности ответственности в области использования и охраны земель 25.5 KB
  Ответственность за земельные правонарушения. Ответственность нужно понимать в двояком смысле: юридическая ответственность как правовой институт в объективном смысле это совокупность юридических норм устанавливающих неблагоприятные последствия за совершение правонарушения в области использования и охраны земель и порядок их возложения на правонарушителя; в субъективном смысле юридическая ответственность это обязанность лица виновного в совершении правонарушения претерпеть неблагоприятные последствия предусмотренные законом...
34102. Земельно-правовая ответственность. Дисциплинарная ответственность в области использования и охраны земель 29 KB
  Специфической санкцией земельноправовой ответственности является земельного участка у собственника либо принудительное прекращение прав на земельный участок. 45 и 47 ЗК орган государственного земельного контроля налагает административное взыскание и одновременно выносит предупреждение о необходимости устранения нарушения; в этом предупреждении указывается допущенное правонарушение его содержание суть устанавливается срок для устранения допущенного правонарушения; разъясняются права земледельца землепользователя в случае...
34103. Гражданско-правовая ответственность за правонарушения в области использования и охраны земель 31.5 KB
  И хотя в настоящее время имущественная ответственность еще не нашла своего подобающего места среди других форм юридической ответственности будущее за ней неоспоримо так как ухудшение качества земель и всей окружающей среды влечет как правило имущественные последствия предполагающие возможность возмещения вреда восстановления земель и нарушенных экологических систем. Гражданским законодательством предусматривается ряд правил выработанных за тысячелетия: вред причиненный личности организации или имуществу подлежит возмещению в...
34104. Административная ответственность за правонарушения в области использования и охраны земель 37 KB
  АДМИНИСТРАТИВНАЯ ОТВЕТСТВЕННОСТЬ Согласно Кодексу РФ об административных правонарушениях КоАП от 30 декабря 2001 г. Кроме того в официальных кругах стала преобладать концепция отмирания социалистического государства и уменьшения административных принудительных средств воздействия на правонарушителей необходимости перехода к добровольному исполнению своих обязанностей перед обществом повышения моральных стимулов. Основным органом наложения административных взысканий стала административная комиссия при исполнительных комитетах...