21452

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Лекция

Математика и математический анализ

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Будем рассматривать линейные неоднородные уравнения вида 1 Это уравнение сохраняя прежние обозначения запишем в виде Если при в уравнении 1 все коэффициенты и правая часть fx непрерывны то оно имеет единственное решение удовлетворяющее условиям где – любые действительные числа а – любая точка интервала . Действительно правая часть уравнения 1 В окрестности рассматриваемых...

Русский

2013-08-02

256.5 KB

5 чел.

Лекция 7.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Будем рассматривать линейные неоднородные уравнения вида

                                (1)

Это уравнение, сохраняя прежние обозначения, запишем в виде

 

Если при  в уравнении (1) все коэффициенты  и правая часть f(x) непрерывны, то оно имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям

 

где  – любые действительные числа, а  – любая точка интервала .

Действительно, правая часть уравнения

               (1a)

В окрестности рассматриваемых начальных значений удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности:

  1.  правая часть непрерывна по аргументам 
  2.  имеет ограниченные частные производные по всем

, т.к. эти производные равны непрерывным по предположению на отрезке [a, b] коэффициентам

На начальные значения  не налагается никаких ограничений.

Из 2-х основных свойств линейного оператора

 

где C=const, следует

  1.  Сумма  решения  неоднородного уравнения

                                                                                 (1)

и решения  соответствующего однородного уравнения L[y]=0 является решением неоднородного уравнения (1).

Доказательство.

                      

но , а , поэтому

 

  1.  Если  является решением уравнения ,

то  является решением уравнения

где  – постоянные.

Доказательство.

                                                                         (2)

но , поэтому 

Это свойство называется принципом суперпозиции. Оно сохраняется и при m, если ряд  сходится и допускает n- кратное почленное дифференцирование, т.к. при этом возможен предельный переход в (2).

3. Если уравнение  где все коэффициенты

 и функции U(x) и V(x) действительные, имеет решение , то действительная  и мнимая часть  решения  являются соответственно решениями уравнений L[y]=U(x); L[y]=V(x).

Доказательство.

                  

т.е.

                   

поэтому 

 Теорема. Общее решение на отрезке  уравнения L[y]=f(x) с непрерывными на этом отрезке коэффициентами и правой частью f(x) равно сумме общего решения  соответствующего однородного уравнения и какого – нибудь частного решения  неоднородного уравнения.

Доказательство. Требуется доказать, что

                                                                    (3)

где  – произвольные постоянные, а  - линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения, является общим решением неоднородного уравнения L[y]=f(x).

Принимая во внимание свойство 1) и справедливость для рассматриваемого уравнения теоремы существования и единственности, надо доказать, что подбором постоянных  в (3) можно удовлетворить произвольно заданным начальным условиям.

                                        (4)

где . Требуя, чтобы решение (3) удовлетворяло условию (4), перейдем к системе уравнений

                                             (5)

Эта линейная по отношению к постоянным  система n уравнений с n неизвестными при произвольных правых частях допускает единственность решения, т.к. её определитель, будучи определителем Вронского  линейно независимой системы решений соответственного однородного уравнения с непрерывными коэффициентами отличен от нуля при  что и требовалось  доказать.

Пример.

           .

Одно частное решение y=x. Общее решение соответствующего однородного  уравнения имеет вид

 

Следовательно, общее решение исходного неоднородного уравнения

 

 Метод вариации произвольных постоянных.

 Этот метод применяется для решения неоднородных д. у. с непрерывными коэффициентами. В соответствии с этим методом решение неоднородного д. у. ищется в виде

                                                           (1)

т.е. в общем решении однородного д.у. коэффициенты  полагаются зависящими от x.

Так как подбором функций надо удовлетворить лишь одному уравнению

                                     (2)

То можно потребовать, чтобы эти n функций  удовлетворяли бы ещё каким – нибудь (n-1) уравнениям, которые мы выберем так, чтобы производные функции (1) имели бы по возможности такой же вид, какой они имеют при постоянных .

Итак, поскольку

           

то наложим на  условие 

                     

Тогда

   

Т.е. y имеет такой же вид, как и при постоянных . Теперь т.к.

           

То полагаем

            

Продолжая вычислять производные функции  до (n-1) – порядка включительно и требуя каждый раз обращения в нуль суммы :

                                             (3)

Получим

                                         (4)

В последнем равенстве мы не можем потребовать, чтобы , т.к. функции  уже подчинены (n-1) условиям (3), а надо ещё удовлетворить исходному уравнению (2). Подставляя  из (4) в уравнение (2), получим:

        

                  

Или

                   (5)

Все  являются частными решениями соответствующих однородных уравнений. Поэтому

 

 Таким образом, уравнение (5) принимает вид

 

Итак, функции  определяются из системы n линейных уравнений

                                                               (6)

с отличным от нуля определителем системы

 

Т.к. это – определитель Вронского для линейно независимых решений соответствующего однородного уравнения. Определив из (6) все , квадратурами находим 

Пример.

                       

В соответствии с методом вариации постоянных

                       

Причем  подчинены системе (6)

          

откуда

  т.е.

  т.е. 

Общее решение исходного уравнения, таким образом, имеет вид

 

Итак, знание n линейно независимых частных решений соответствующего однородного уравнения позволяет методом вариации постоянных проинтегрировать неоднородное уравнение

Если же известно лишь m, где m<n, линейно независимых решений  соответствующего однородного уравнения, то с помощью замены переменных можно понизить порядок уравнения до n-m, сохраняя его линейность.

Действительно, положим в уравнении

                                    (7)

                                     ,                                                             (*)

где  – частное решение уравнения (7).

В результате уравнение преобразуется к виду

                               (8)

Причем решению  уравнения (7) в силу (*) соответствует частное решение  уравнения (8). Подставив  в (8), получим . Следовательно, уравнение (8) имеет вид

           

и подстановка  понижает порядок на единицу

 

Подстановка , где  - решение уравнения (7) снижает на единицу и порядок неоднородного уравнения L[y]=f(x), т.к. подстановка не затрагивает правой части уравнения.

 Пример.

   

Метод Коши решения линейного неоднородного уравнения.

Этот метод позволяет найти частное решение уравнения

                                                                        (1)

если известно зависящее от одного параметра решение K(x, t) соответствующего однородного уравнения  удовлетворя-ющее условиям (n2)

                                       (2)

                                                                    (3)

В этом случае

                                                        (4)

Будет частным решением уравнения (1), удовлетворяющим нулевым начальным условиям

                     

Действительно, дифференцируя (4) и принимая во внимание условия (2) и (3), получим

                                            (5)

Подставляя (4) и (5) в уравнение (1), имеем

 

т.к. K(x, t) – решение соответствующего однородного уравнения, т.е. L[K(x, t)]0.

Решение K(x, t) может быть выделено из общего решения  однородного уравнения, если выбрать произвольные постоянные  так, чтобы удовлетворялись условия (2) и (3).

Пример.

Уравнение

                                                                                    (6)

Соответствующее однородное уравнение 

Имеет общее решение

Условия (2) и (3) приводят к следующим уравнениям

     

откуда

 

т.е. искомое решение K(x, t) имеет вид

 

Решение уравнения (6) с нулевыми начальными условиями в соответствии с (4) представимо в виде

 

Функцию K(x, t) называют в литературе функцией влияния.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1244. Шпаргалка по логике: Ответы на экзаменационные билеты 531.08 KB
  МЫШЛЕНИЕ КАК ПРЕДМЕТ ЛОГИКИ. ВЗАИМОСВЯЗЬ ЛОГИКИ И ЯЗЫКА. ОСОБЕННОСТИ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ И ИХ СВЯЗЬ С ПРИНЦИПАМИ МЫШЛЕНИЯ. ЗАКОН ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО. ПОНЯТИЕ КАК ФОРМА МЫШЛЕНИЯ. ОБОБЩЕНИЕ И ОГРАНИЧЕНИЕ ПОНЯТИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ КАК ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ.
1245. Место и роль Фонда социального страхования РФ в обеспечении социальной защиты населения 626 KB
  Сущность и особенности функционирования фонда социального страхования РФ. Понятие, функции и принципы социальной защиты населения. Роль Фонда социального страхования в системе социальной защиты населения. Анализ деятельности фонда социального страхования РФ (на примере калужского регионального отделения).
1246. Право собственности в гражданском праве 389.5 KB
  Понятие и содержание права собственности по законодательству РФ. Проблема соотношения видов и форм права собственности. Классификации собственности на виды. Первоначальные и производные основания приобретения права собственности. Проблема определения момента приобретения права собственности на выморочное имущество (коллизии судебной практики).
1247. Проектирование одноцепной ВЛ 110 кВ ПС Березники 883.5 KB
  Определение расчетных климатических условий. Электрический расчет проводов. Определение единичных нагрузок на провод АС 150/24. Определение единичных нагрузок на трос ТК – 50. Поддерживающее неизолированное крепление для троса ТК – 50 (с заземлением) для ВЛ 110 кВ. Схема дополнительного заземления для промежуточных железобетонных опор. Определение срока монтажа ВЛ.
1248. Проектування токарно-револьверного верстата 761.5 KB
  Вибір компонування і визначення основних технічних характеристик верстата і приводів. Вибір базової моделі й обґрунтування принципової конструкції верстата. Проектний розрахунок приводу у автоматизованій системі PRIVOD. Розрахунок кількості зубів шестерень привода та оцінювання точності кінематичного розрахунку. Проектний розрахунок міцності деталей та механізмів привода головного руху.
1249. Проектирование предприятия пищевой промышленности 1.03 MB
  Компоновка и анализ помещений. Расчет фундаментной площади и болтов для крепления экстрактора НД-1250. Расчет фундаментных болтов для экстрактора. Расчет кинетостатики экстрактора НД-1250. Расчет сетевого графика монтажа.
1250. Пошук і використання альтернативних джерел палива 876.5 KB
  Аналіз основних напрямків розвитку альтернативного палива у світі. Використання газових та водневих вдигунів. Індикаторна діаграма циклу Отто. Паралельна схема роботи гібридів. Схема роботи двигуна Civic Hybrid. Функціональні системи автомобіля Toyota Prius. Аналіз схемних рішень електрозапалювання робочої суміші. Мікропроцесорна система запалювання.
1251. Будівництво дороги IІІ категорії Ново полтавка - Миколаївка в Миколаївської області 755.54 KB
  Характеристика району розташування АБЗ. Вибір джерела постачання АБЗ сировинними матеріалами і транспортних засобів їх доставки. Вибір типів та розрахунок місткості складів сировинних матеріалів. Вибір змішувального обладнання на АБЗ. Заходи охорони праці і навколишнього середовища на АБЗ.
1252. Отчет о работе участкового врача терапевта Мироновой Натальи Валериевны за 2010 – 2012 года 402.5 KB
  Показатели работы с ИОВ, УВОВ, воинами-интернационалистами на 2012 год. Лечебная работа, показатели работы в поликлинике. Диаграмма взятых на ДУ за отчетный период по основным груп-пам заболеваний. Возрастной состав женщин фертильного возраста по отношению к числу женщин на участке обслуживания.