21452

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Лекция

Математика и математический анализ

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Будем рассматривать линейные неоднородные уравнения вида 1 Это уравнение сохраняя прежние обозначения запишем в виде Если при в уравнении 1 все коэффициенты и правая часть fx непрерывны то оно имеет единственное решение удовлетворяющее условиям где – любые действительные числа а – любая точка интервала . Действительно правая часть уравнения 1 В окрестности рассматриваемых...

Русский

2013-08-02

256.5 KB

5 чел.

Лекция 7.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Будем рассматривать линейные неоднородные уравнения вида

                                (1)

Это уравнение, сохраняя прежние обозначения, запишем в виде

 

Если при  в уравнении (1) все коэффициенты  и правая часть f(x) непрерывны, то оно имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям

 

где  – любые действительные числа, а  – любая точка интервала .

Действительно, правая часть уравнения

               (1a)

В окрестности рассматриваемых начальных значений удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности:

  1.  правая часть непрерывна по аргументам 
  2.  имеет ограниченные частные производные по всем

, т.к. эти производные равны непрерывным по предположению на отрезке [a, b] коэффициентам

На начальные значения  не налагается никаких ограничений.

Из 2-х основных свойств линейного оператора

 

где C=const, следует

  1.  Сумма  решения  неоднородного уравнения

                                                                                 (1)

и решения  соответствующего однородного уравнения L[y]=0 является решением неоднородного уравнения (1).

Доказательство.

                      

но , а , поэтому

 

  1.  Если  является решением уравнения ,

то  является решением уравнения

где  – постоянные.

Доказательство.

                                                                         (2)

но , поэтому 

Это свойство называется принципом суперпозиции. Оно сохраняется и при m, если ряд  сходится и допускает n- кратное почленное дифференцирование, т.к. при этом возможен предельный переход в (2).

3. Если уравнение  где все коэффициенты

 и функции U(x) и V(x) действительные, имеет решение , то действительная  и мнимая часть  решения  являются соответственно решениями уравнений L[y]=U(x); L[y]=V(x).

Доказательство.

                  

т.е.

                   

поэтому 

 Теорема. Общее решение на отрезке  уравнения L[y]=f(x) с непрерывными на этом отрезке коэффициентами и правой частью f(x) равно сумме общего решения  соответствующего однородного уравнения и какого – нибудь частного решения  неоднородного уравнения.

Доказательство. Требуется доказать, что

                                                                    (3)

где  – произвольные постоянные, а  - линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения, является общим решением неоднородного уравнения L[y]=f(x).

Принимая во внимание свойство 1) и справедливость для рассматриваемого уравнения теоремы существования и единственности, надо доказать, что подбором постоянных  в (3) можно удовлетворить произвольно заданным начальным условиям.

                                        (4)

где . Требуя, чтобы решение (3) удовлетворяло условию (4), перейдем к системе уравнений

                                             (5)

Эта линейная по отношению к постоянным  система n уравнений с n неизвестными при произвольных правых частях допускает единственность решения, т.к. её определитель, будучи определителем Вронского  линейно независимой системы решений соответственного однородного уравнения с непрерывными коэффициентами отличен от нуля при  что и требовалось  доказать.

Пример.

           .

Одно частное решение y=x. Общее решение соответствующего однородного  уравнения имеет вид

 

Следовательно, общее решение исходного неоднородного уравнения

 

 Метод вариации произвольных постоянных.

 Этот метод применяется для решения неоднородных д. у. с непрерывными коэффициентами. В соответствии с этим методом решение неоднородного д. у. ищется в виде

                                                           (1)

т.е. в общем решении однородного д.у. коэффициенты  полагаются зависящими от x.

Так как подбором функций надо удовлетворить лишь одному уравнению

                                     (2)

То можно потребовать, чтобы эти n функций  удовлетворяли бы ещё каким – нибудь (n-1) уравнениям, которые мы выберем так, чтобы производные функции (1) имели бы по возможности такой же вид, какой они имеют при постоянных .

Итак, поскольку

           

то наложим на  условие 

                     

Тогда

   

Т.е. y имеет такой же вид, как и при постоянных . Теперь т.к.

           

То полагаем

            

Продолжая вычислять производные функции  до (n-1) – порядка включительно и требуя каждый раз обращения в нуль суммы :

                                             (3)

Получим

                                         (4)

В последнем равенстве мы не можем потребовать, чтобы , т.к. функции  уже подчинены (n-1) условиям (3), а надо ещё удовлетворить исходному уравнению (2). Подставляя  из (4) в уравнение (2), получим:

        

                  

Или

                   (5)

Все  являются частными решениями соответствующих однородных уравнений. Поэтому

 

 Таким образом, уравнение (5) принимает вид

 

Итак, функции  определяются из системы n линейных уравнений

                                                               (6)

с отличным от нуля определителем системы

 

Т.к. это – определитель Вронского для линейно независимых решений соответствующего однородного уравнения. Определив из (6) все , квадратурами находим 

Пример.

                       

В соответствии с методом вариации постоянных

                       

Причем  подчинены системе (6)

          

откуда

  т.е.

  т.е. 

Общее решение исходного уравнения, таким образом, имеет вид

 

Итак, знание n линейно независимых частных решений соответствующего однородного уравнения позволяет методом вариации постоянных проинтегрировать неоднородное уравнение

Если же известно лишь m, где m<n, линейно независимых решений  соответствующего однородного уравнения, то с помощью замены переменных можно понизить порядок уравнения до n-m, сохраняя его линейность.

Действительно, положим в уравнении

                                    (7)

                                     ,                                                             (*)

где  – частное решение уравнения (7).

В результате уравнение преобразуется к виду

                               (8)

Причем решению  уравнения (7) в силу (*) соответствует частное решение  уравнения (8). Подставив  в (8), получим . Следовательно, уравнение (8) имеет вид

           

и подстановка  понижает порядок на единицу

 

Подстановка , где  - решение уравнения (7) снижает на единицу и порядок неоднородного уравнения L[y]=f(x), т.к. подстановка не затрагивает правой части уравнения.

 Пример.

   

Метод Коши решения линейного неоднородного уравнения.

Этот метод позволяет найти частное решение уравнения

                                                                        (1)

если известно зависящее от одного параметра решение K(x, t) соответствующего однородного уравнения  удовлетворя-ющее условиям (n2)

                                       (2)

                                                                    (3)

В этом случае

                                                        (4)

Будет частным решением уравнения (1), удовлетворяющим нулевым начальным условиям

                     

Действительно, дифференцируя (4) и принимая во внимание условия (2) и (3), получим

                                            (5)

Подставляя (4) и (5) в уравнение (1), имеем

 

т.к. K(x, t) – решение соответствующего однородного уравнения, т.е. L[K(x, t)]0.

Решение K(x, t) может быть выделено из общего решения  однородного уравнения, если выбрать произвольные постоянные  так, чтобы удовлетворялись условия (2) и (3).

Пример.

Уравнение

                                                                                    (6)

Соответствующее однородное уравнение 

Имеет общее решение

Условия (2) и (3) приводят к следующим уравнениям

     

откуда

 

т.е. искомое решение K(x, t) имеет вид

 

Решение уравнения (6) с нулевыми начальными условиями в соответствии с (4) представимо в виде

 

Функцию K(x, t) называют в литературе функцией влияния.

.

Теперь, поскольку

, то     

откуда

 

Следовательно, общий интеграл имеет вид:

 

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22892. Рівність многочленів 82.5 KB
  Два многочлени і вважаються рівними аналітично якщо вони рівні як відображення . Два многочлени і над полем рівні тоді і тільки тоді коли вони рівні аналітично і алгебраїчно. Доведення Зрозуміло що якщо многочлени і рівні алгебраїчно то вони рівні і аналітично.
22893. Кратність коренів многочленів 47 KB
  Якщо є коренем цього многочлена то за теоремою Безу . Корінь ненульового многочлена коренем кратності якщо ділиться на і не ділиться на . Число коренів даного многочлена з урахуванням їх кратності не перевищує степеня даного многочлена. Доведення Припустимо корені многочлена кратності відповідно .
22894. Теорема 97 KB
  Незвідними над полем є всі многочлени 1го степеня і лише вони. Доведення якщо степінь дорівнює 1 то многочлен незвідний якщож степінь більший 1 то за наслідком многочлен можна розкласти в добуток многочленів 1го степеня і звідний. Незвідні многочлени над плем дійсних чисел Визначимо деякі типи незвідних многочленів над полем . Такий многочлен незвідний.
22898. ВИЗНАЧНИКИ ДРУГОГО ТА ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ 94 KB
  Визначником другого порядку називається число =x1y2–y1x2 Означення. Визначником третього порядку називається число =x1y2z3y1z2x3z1x2y3–z1y2x3–y1x2z3– x1z2y3 У визначнику можна визначити дві діагоналі. Для обчислення визначника третього порядку існує правило трикутників.
22899. Поняття перестановки 113 KB
  В перестановці елементи не повторюються. Поняття інверсії Будемо казати що два числа в перестановці натуральних чисел утворюють інверсію якщо та в перестановці стоїть раніше від . Наприклад в перестановці 4 2 1 3 інверсії утворюють пари чисел 42 41 43 21 Постановка називається парною якщо її елементи утворюють разом парне число інверсій і непарною якщо вони утворюють непарне число інверсій. Наприклад в перестановці 4 2 1 3 елементи утворюють 4 інверсії тобто перестановка парна.
22900. Поняття інверсії 18 KB
  Наприклад в перестановці 4 2 1 3 інверсії утворюють пари чисел 42 41 43 21 Постановка називається парною якщо її елементи утворюють разом парне число інверсій і непарною якщо вони утворюють непарне число інверсій. Наприклад в перестановці 4 2 1 3 елементи утворюють 4 інверсії тобто перестановка парна. В перестановці 2 1 3 4 інверсію утворює лише пара чисел 21 тому перестановка непарна.