21453

Комплексные числа. Комплексные числа являются естественным обобщением понятия вещественных чисел

Лекция

Математика и математический анализ

Комплексные числа. Комплексные числа являются естественным обобщением понятия вещественных чисел. При этом числа x и y называются вещественной и мнимой частями соответственного комплексного числа z. Два комплексных числа и считаются равными между собой тогда и только тогда когда равны их вещественные и мнимые части т.

Русский

2013-08-02

392 KB

6 чел.

         Лекция 8.

Комплексные числа.

Комплексные числа являются естественным обобщением понятия вещественных чисел.

Поставим в соответствие каждой точке P плоскости пару чисел (x,y) – её координаты. Это можно сделать, введя комплексное число

                  .                               (1)

Такая запись соответствует тому, что вектор  можно представить как сумму векторов  и , т.е.

координата, отсчитываемая вдоль оси y помечается приписыванием символа ‘i’, называемого мнимой единицей.

При этом числа x и y называются вещественной и мнимой частями соответственного комплексного числа z.

Два комплексных числа  и  считаются равными между собой тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части, т.е.

Как известно

 где                (2)

Обозначают  r=|z|=|x+iy| .

Таким образом, комплексное число z может быть задано также парой чисел: rмодулем и аргументом комплексного числа.

Равенство чисел состоит теперь в том, что равны их модули, а аргументы могут отличаться на величину, кратную 2.

Выражение комплексного числа через его модуль и аргумент имеет вид (см. (1) и (2))

                                                         (3)

Это запись комплексного числа в тригонометрической форме, причем r – длина вектора , определяющего комплексное число.

Сложение и вычитание комплексных чисел.

Сумма двух комплексных чисел  и  может быть найдена

как сумма соответствующих векторов:

    

       

т.е.       

                                          (4)

Это правило распространяется на любое число слагаемых. Справедливы переместительный и сочетательный законы.

Умножение комплексного числа на вещественное производится по правилу умножения вектора на число, т.е.

                                            (5)

где a – вещественное число.

Таким образом, вычитание комплексных чисел ,  сводится к сложению числа , с числом , т.е.

                               (6)

Т.к. длина любой стороны треугольника меньше суммы длин его других сторон, то

  

Аналогично

                                               (7)

Умножение комплексных чисел.

Вектор, соответствующий комплексному числу z,   

               

может быть получен из единичного вектора  путем удлинения его в  раз и поворота в положительном направлении на угол .

Поэтому умножение числа  на  соответствует удлинению вектора  в  раз и довороту его на угол . Таким образом,

                      (8)  

Распишем соотношение (8) в координатной форме:

       

Таким образом,

                       (9)

Если , то сомножители – вещественные числа, а произведение  – также вещественное число.

Если же , а , то из (9) имеем

                                                                     (10)

т.е. квадрат мнимой единицы равен (-1).

Из (10) получаем:

 

Т.е. при всяком целом n>0 имеем

Соотношение (9) можно сформулировать так: комплексные числа надо перемножать как буквенные многочлены, считая .

Число  называется комплексно сопряженным числу .

Из (9) имеем

                                 (11)

Для произведения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы.

Модуль произведения нескольких сомножителей равен произведению их модулей, а аргумент – сумме их аргументов.

Деление комплексных чисел.

Деление есть действие, обратное умножению, т.е.

               

т.к.

Модуль частного равен частному модуле делимого и делителя, а аргумент – равен разности их аргументов.

Формула (12) теряет смысл при .

Формула (12) могла быть получена следующим образом:

          

Поэтому

                           (13)

 Т.к. при сложении и умножении комплексных чисел сохраняются переместительный, сочетательный и распределительный законы, то остаются справедливыми и правило вынесения за скобки, простейшие формулы, формула бинома Ньютона для целых положительных показателей, формулы для прогрессии и другие.

Если в сумме, разности, произведении и частном заменить все числа сопряженными, то и результат будет сопряженное число.

Это свойство остается справедливым для любого выражения, содержащего комплексные числа, связанные знаками первых четырех действий.

Возведение в степень и извлечение корня.

Применение формулы (8) к n одинаковым сомножителям

                               (14)

При r=1 имеем формулу Моавра

                                          (15)

Корнем n – ой степени из комплексного числа называется такое число, n – ная степень которого равна подкоренному числу.

Таким образом, если

        

то           

откуда      

т.е.

                   

где  – арифметическое значение корня.

Итак,

                         (16)

Из (16) следует, что корень n – ой степени из числа имеет n различных значений. Действительно, при k=0,1,2,…,(n-1) значения корня будут разными, поскольку их аргументы различны, а при k=n,n+1,…. получим значения корня, совпадающие с первым (т.е. при k=0,1,..). Поскольку при n обходах начала координат (z=0) мы получаем n различных значений корня, то точку z=0 называют точкой ветвления функции .

Показательная функция и формула Эйлера.

Рассмотрим показательную функцию  при вещественном x 

                              

Положим

                              

Группируя слагаемые, получим

 

Поскольку

 

то

                                                          (17)

Это формула Эйлера. Заменив в ней y на (-y), получим

                                                         (18)

Из (17) и (18) имеем

   ,                         (19)  

Из (17) получаем показательную форму комплексного числа

                                              (20)

Показательная функция при любом комплексном показателе  определяется формулой

                               (21)   

т.е.

                                                          (22)   

Пусть , тогда

 

откуда

Окончательно,

                

Аналогично

             

В случае целого положительного (и отрицательного) n  

                                

Тригонометрические функции от комплексного z определяются при помощи формулы Эйлера

        

Легко доказать, что

        

       

Ввиду важности показательной функции дадим ещё одно её определение по аналогии с функцией вещественных переменных. Определим  как следующий предел

                                                                         (*)

При этом необходимо доказать существование предела последовательности комплексных чисел  при z и вычислить этот предел. По правилам возведения в степень имеем

          

Отбрасывая в первом выражении малую высшего порядка  и заменяя во втором малый угол его тангенсом , мы видим, что существуют

         и

Но из существования этих пределов следует существование предела (*), причем мы полагаем, что  (т.е. ), что совпадает с формулами (22).

Логарифмирование.

Натуральным логарифмом комплексного числа  называется показатель степени, в которую нужно возвести e, чтобы получилось это число, т.е.

 

если

 

и наоборот. Из последнего равенства следует

 

откуда   k=0,1,…

Т.е.  а

Окончательно

                                             (23)

Натуральный логарифм любого числа имеет бесчисленное множество значений (здесь z=0 – точка ветвления бесконечного порядка). Если мы потребуем, чтобы

         

то получим главное значение логарифма:

 

 Если U и V - два комплексных числа, то положим

        

т.е. комплексная степень комплексного числа имеет бесчисленное множество значений.


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77869. Понятие и виды сделок 28 KB
  Сделки акты осознанных целенаправленных волевых действий лиц совершая которые они стремятся к достижению определенных правовых последствий. Действительность сделки означает признание за ней качеств юридического факта порождающего тот правовой результат к которому стремились субъекты сделки. Действительность сделки определяется законодательством посредством следующей системы условий: а законность содержания; б способность лиц совершающих ее к участию в сделке; в соответствие воли и волеизъявления; г соблюдение формы...
77870. Недействительность сделок и ее последствия 30.5 KB
  Недействительность сделок и ее последствия Недействительность означает что действие совершенное в виде сделки не обладает качествами юридического факта способного породить гражданскоправовые последствия. Ничтожность сделки означает что действие не порождает и не может породить желаемые для ее участников правовые последствия в силу несоответствия закону. Оспоримость означает что действия совершенные в виде сделки признаются судом при наличии предусмотренных законом оснований недействительными по иску управомоченных лиц....
77871. Понятие, способы и пределы осуществления 30 KB
  Понятие способы и пределы осуществления Осущ. Под фактическими способами осуществления субъективного права понимается действие или система действий управомоченного лица не обладающих признаками сделок или иные юридически значимые действия. Под юридическими способами осуществления суб. Процесс осуществления суб.
77872. Право на защиту 33 KB
  Право на защиту Субъективное право на защиту – это юридически закрепленная возможность управомоченного лица использовать меры правоохранительного характера с целью восстановления нарушенного права и пресечения действий нарушающих право. Содержание: а само содержание правоохранительной меры; б основания ее применения; в круг субъектов уполномоченных на ее применение; г процессуальный и процедурный порядок ее применения; д материально-правовые и процессуальные права субъектов по отношению к которым применяется данная мера....
77873. Гражданско-правовая ответственность 30.5 KB
  Гражданско-правовая ответственность Гражданско-правовая ответственность – одна из форм государственного принуждения состоящая во взысканий судом с правонарушителя в пользу потерпевшего имущественных санкций перелагающих на правонарушителя неблагоприятные имущественные последствия его деяния...
77874. Представительство в гражданском праве 29.5 KB
  Основаниями возникновения правоотношения являются следующие: волеизъявление представляемого о предоставлении полномочия представителю выраженное в договоре или доверенности добровольное представительство. Оно осуществляется на основании договора заключенного в письменной форме и содержащего указания на полномочия представителя а при отсутствии таких указаний – также и доверенности. По содержанию и объему полномочий которыми наделяется представитель различается...
77875. Сроки в гражданском праве 30 KB
  Сроки в гражданском праве Срок определяется периодом времени с указанием на событие которое должно наступить. Сроки представляют собой особую категорию юридических фактов которые не могут быть отнесены ни к событиям ни к действиям. По назначению: сроки возникновения правоотношений. Сроки осуществления гражданских прав: Пресекательные сроки устанавливают пределы существования гражданских прав.
77876. Вещные права в системе гражданских прав 29.5 KB
  Вещные права в системе гражданских прав Вещные права оформляют и закрепляют принадлежность вещей к субъектам правоотношений иначе говоря статику имущественных отношений. Юридическую специфику вещных прав составляет: их абсолютный характер; все вещные права оформляют непосредственное отношение лица к вещи дающее ему возможность использовать соответствующую вещь в своих интересах без участия иных лиц; они защищаются с помощью особых вещноправовых исков; их объектом могут служить только индивидуально определенные вещи а...
77877. Наследование собственности граждан 31 KB
  В субъективном смысле под правом наследования принято понимать право лица быть призванным к наследованию а также его правомочия после принятия наследства. Открытием наследства называется возникновение наследственного правоотношения. Открытие наследства всегда происходит в определенное время и в определенном месте что имеет весьма важное правовое значение. Временем открытия наследства признается день смерти наследодателя а при объявлении его умершим – день вступления в законную силу решения суда об объявлении его умершим.