21453

Комплексные числа. Комплексные числа являются естественным обобщением понятия вещественных чисел

Лекция

Математика и математический анализ

Комплексные числа. Комплексные числа являются естественным обобщением понятия вещественных чисел. При этом числа x и y называются вещественной и мнимой частями соответственного комплексного числа z. Два комплексных числа и считаются равными между собой тогда и только тогда когда равны их вещественные и мнимые части т.

Русский

2013-08-02

392 KB

6 чел.

         Лекция 8.

Комплексные числа.

Комплексные числа являются естественным обобщением понятия вещественных чисел.

Поставим в соответствие каждой точке P плоскости пару чисел (x,y) – её координаты. Это можно сделать, введя комплексное число

                  .                               (1)

Такая запись соответствует тому, что вектор  можно представить как сумму векторов  и , т.е.

координата, отсчитываемая вдоль оси y помечается приписыванием символа ‘i’, называемого мнимой единицей.

При этом числа x и y называются вещественной и мнимой частями соответственного комплексного числа z.

Два комплексных числа  и  считаются равными между собой тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части, т.е.

Как известно

 где                (2)

Обозначают  r=|z|=|x+iy| .

Таким образом, комплексное число z может быть задано также парой чисел: rмодулем и аргументом комплексного числа.

Равенство чисел состоит теперь в том, что равны их модули, а аргументы могут отличаться на величину, кратную 2.

Выражение комплексного числа через его модуль и аргумент имеет вид (см. (1) и (2))

                                                         (3)

Это запись комплексного числа в тригонометрической форме, причем r – длина вектора , определяющего комплексное число.

Сложение и вычитание комплексных чисел.

Сумма двух комплексных чисел  и  может быть найдена

как сумма соответствующих векторов:

    

       

т.е.       

                                          (4)

Это правило распространяется на любое число слагаемых. Справедливы переместительный и сочетательный законы.

Умножение комплексного числа на вещественное производится по правилу умножения вектора на число, т.е.

                                            (5)

где a – вещественное число.

Таким образом, вычитание комплексных чисел ,  сводится к сложению числа , с числом , т.е.

                               (6)

Т.к. длина любой стороны треугольника меньше суммы длин его других сторон, то

  

Аналогично

                                               (7)

Умножение комплексных чисел.

Вектор, соответствующий комплексному числу z,   

               

может быть получен из единичного вектора  путем удлинения его в  раз и поворота в положительном направлении на угол .

Поэтому умножение числа  на  соответствует удлинению вектора  в  раз и довороту его на угол . Таким образом,

                      (8)  

Распишем соотношение (8) в координатной форме:

       

Таким образом,

                       (9)

Если , то сомножители – вещественные числа, а произведение  – также вещественное число.

Если же , а , то из (9) имеем

                                                                     (10)

т.е. квадрат мнимой единицы равен (-1).

Из (10) получаем:

 

Т.е. при всяком целом n>0 имеем

Соотношение (9) можно сформулировать так: комплексные числа надо перемножать как буквенные многочлены, считая .

Число  называется комплексно сопряженным числу .

Из (9) имеем

                                 (11)

Для произведения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы.

Модуль произведения нескольких сомножителей равен произведению их модулей, а аргумент – сумме их аргументов.

Деление комплексных чисел.

Деление есть действие, обратное умножению, т.е.

               

т.к.

Модуль частного равен частному модуле делимого и делителя, а аргумент – равен разности их аргументов.

Формула (12) теряет смысл при .

Формула (12) могла быть получена следующим образом:

          

Поэтому

                           (13)

 Т.к. при сложении и умножении комплексных чисел сохраняются переместительный, сочетательный и распределительный законы, то остаются справедливыми и правило вынесения за скобки, простейшие формулы, формула бинома Ньютона для целых положительных показателей, формулы для прогрессии и другие.

Если в сумме, разности, произведении и частном заменить все числа сопряженными, то и результат будет сопряженное число.

Это свойство остается справедливым для любого выражения, содержащего комплексные числа, связанные знаками первых четырех действий.

Возведение в степень и извлечение корня.

Применение формулы (8) к n одинаковым сомножителям

                               (14)

При r=1 имеем формулу Моавра

                                          (15)

Корнем n – ой степени из комплексного числа называется такое число, n – ная степень которого равна подкоренному числу.

Таким образом, если

        

то           

откуда      

т.е.

                   

где  – арифметическое значение корня.

Итак,

                         (16)

Из (16) следует, что корень n – ой степени из числа имеет n различных значений. Действительно, при k=0,1,2,…,(n-1) значения корня будут разными, поскольку их аргументы различны, а при k=n,n+1,…. получим значения корня, совпадающие с первым (т.е. при k=0,1,..). Поскольку при n обходах начала координат (z=0) мы получаем n различных значений корня, то точку z=0 называют точкой ветвления функции .

Показательная функция и формула Эйлера.

Рассмотрим показательную функцию  при вещественном x 

                              

Положим

                              

Группируя слагаемые, получим

 

Поскольку

 

то

                                                          (17)

Это формула Эйлера. Заменив в ней y на (-y), получим

                                                         (18)

Из (17) и (18) имеем

   ,                         (19)  

Из (17) получаем показательную форму комплексного числа

                                              (20)

Показательная функция при любом комплексном показателе  определяется формулой

                               (21)   

т.е.

                                                          (22)   

Пусть , тогда

 

откуда

Окончательно,

                

Аналогично

             

В случае целого положительного (и отрицательного) n  

                                

Тригонометрические функции от комплексного z определяются при помощи формулы Эйлера

        

Легко доказать, что

        

       

Ввиду важности показательной функции дадим ещё одно её определение по аналогии с функцией вещественных переменных. Определим  как следующий предел

                                                                         (*)

При этом необходимо доказать существование предела последовательности комплексных чисел  при z и вычислить этот предел. По правилам возведения в степень имеем

          

Отбрасывая в первом выражении малую высшего порядка  и заменяя во втором малый угол его тангенсом , мы видим, что существуют

         и

Но из существования этих пределов следует существование предела (*), причем мы полагаем, что  (т.е. ), что совпадает с формулами (22).

Логарифмирование.

Натуральным логарифмом комплексного числа  называется показатель степени, в которую нужно возвести e, чтобы получилось это число, т.е.

 

если

 

и наоборот. Из последнего равенства следует

 

откуда   k=0,1,…

Т.е.  а

Окончательно

                                             (23)

Натуральный логарифм любого числа имеет бесчисленное множество значений (здесь z=0 – точка ветвления бесконечного порядка). Если мы потребуем, чтобы

         

то получим главное значение логарифма:

 

 Если U и V - два комплексных числа, то положим

        

т.е. комплексная степень комплексного числа имеет бесчисленное множество значений.


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21760. Научная организация труда и ее элементы 29.5 KB
  Прогрессивной следует считать организацию которая основывается на достижениях науки и передовом опыте позволяет наиболее эффективно соединить в одном производственном процессе сам труд предмет и средства труда. Научная организация труда НОТ это комплекс научно обоснованных планомерно осуществляемых технических организационных и экономических мероприятий обеспечивающих рациональное разделение и кооперацию труда совершенствование трудовых приемов и организации рабочих мест улучшение их обслуживания создание благоприятных...
21761. Элементы НОТ общего характера 25 KB
  К ним относятся: подготовка и повышение квалификации кадров совершенствование нормирования и оплаты труда воспитание трудящихся в духе сознательного отношения к труду соблюдение государственной и трудовой дисциплины. Достижения научнотехнического прогресса обусловливают постоянное изменение характера и содержания труда горняков профессионального и квалификационного состава рабочих кадров. Органическим элементом научной организации труда является нормирование труда которое основано на рациональном выполнении рабочих процессов....
21762. Планирование НОТ и внедрение планов НОТ 27 KB
  Для обеспечения эффективности производства и улучшения качества работы планируют и внедряют планы НОТ. Планы НОТ должны обеспечивать комплексность планируемых и осуществляемых мероприятий; реальность планируемых мероприятий учитывающих научную обоснованность мероприятий с использованием достижений научнотехнического прогресса; непрерывность планирования мероприятий НОТ и экономичность которая обеспечивается выбором оптимального варианта и сопоставления необходимых затрат с достигаемым эффектом от внедрения отдельных...
21763. Рудничная аэромеханика 162 KB
  Режимы движения воздуха в шахтных вентиляционных системах. Применение уравнения Бернулли к движению воздуха по горным выработкам. Основное уравнение аэростатики Аэростатика наука о равновесии газов воздуха. Одной из основных задач аэростатики является определение изменения давления неподвижного воздуха с ростом высоты или глубины а также условий равновесия находящегося в воздушной среде тела.
21764. Рудничная аэромеханика. Аэродинамическое сопротивление горных выработок и методы его расчета 1.87 MB
  Разделив в этой формуле левую и правую части выражения на площадь живого сечения потока S SM получим выражение кг м2 в котором величина Pлб SSм представляет собой лобовое сопротивление hлб; тогда окончательное выражение для подсчета величины потерь давления воздуха вызванных лобовым сопротивлением hлб = Cx кг м2 Суммарное сопротивление. Эквивалентное отверстие выработки или шахты площадь отверстия в тонкой стенке через которое при разности давлений по обе стороны стенки равной депрессии выработки или шахты проходит...
21765. Специальные вентиляционные режимы 223.5 KB
  Высокая температура в очаге пожара приводит к нагреву воздуха что вызывает нарушение вентиляции шахты в целом и отдельных ее участков изменяется дебит вентиляционных потоков и их направление. При пожарах могут применяться следующие вентиляционные режимы: неизменный по дебиту и направлению; ослабленный или усиленный по дебиту и неизменный по направлению; реверсивный в целом по шахте или на отдельных участках с изменением количества воздуха; нулевой при котором прекращается доступ воздуха к очагу пожара путем выключения вентиляторов или с...
21766. Проектирование вентиляции шахт 1.43 MB
  При проектировании вентиляции шахты решаются задачи выбора схем вентиляции участков и шахты прогноза выделений вредных газов в выработки определения расхода воздуха для вентиляции шахты проверки сечения выработок по допустимой скорости движения воздуха выбора калорифера для подогрева поступающего в шахту воздуха в зимнее время проверки устойчивости движения воздуха в выработках расчета депрессии шахты регулирования распределения воздуха по выработкам шахты выбора способа вентиляции шахты и вентилятора главного проветривания...
21767. Расчет расхода воздуха для шахты в целом 2.99 MB
  3 Расчет расхода воздуха для шахты в целом Расход воздуха для шахты в целом определяется по формуле Qш=11ΣQучΣQп.ΣQкΣQут м3 мин 1 где 11 коэффициент учитывающий неравномерность распределения воздуха по сети горных выработок; ΣQуч расход воздуха для проветривания выемочных участков м3 мин; ΣQп.в расход воздуха подаваемый к всасам ВМП для обособленного проветривания тупиковых выработок м3 мин. На газовых шахтах расход воздуха для проветривания тупиковых выработок проводимых за пределами выемочных участков кроме...
21768. Расчет количества воздуха 1.55 MB
  В соответствии с 200 ПБ проветривание шахт должно быть организовано таким образом чтобы состав скорость и температура воздуха в действующих горных выработках соответствовали требованиям настоящих Правил. Расход количество воздуха для проветривания шахт должен определяться в соответствии с руководствами инструкциями утвержденными в установленном порядке. Расход воздуха подаваемого в горные выработки должен соответствовать расчетному.