21453

Комплексные числа. Комплексные числа являются естественным обобщением понятия вещественных чисел

Лекция

Математика и математический анализ

Комплексные числа. Комплексные числа являются естественным обобщением понятия вещественных чисел. При этом числа x и y называются вещественной и мнимой частями соответственного комплексного числа z. Два комплексных числа и считаются равными между собой тогда и только тогда когда равны их вещественные и мнимые части т.

Русский

2013-08-02

392 KB

6 чел.

         Лекция 8.

Комплексные числа.

Комплексные числа являются естественным обобщением понятия вещественных чисел.

Поставим в соответствие каждой точке P плоскости пару чисел (x,y) – её координаты. Это можно сделать, введя комплексное число

                  .                               (1)

Такая запись соответствует тому, что вектор  можно представить как сумму векторов  и , т.е.

координата, отсчитываемая вдоль оси y помечается приписыванием символа ‘i’, называемого мнимой единицей.

При этом числа x и y называются вещественной и мнимой частями соответственного комплексного числа z.

Два комплексных числа  и  считаются равными между собой тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части, т.е.

Как известно

 где                (2)

Обозначают  r=|z|=|x+iy| .

Таким образом, комплексное число z может быть задано также парой чисел: rмодулем и аргументом комплексного числа.

Равенство чисел состоит теперь в том, что равны их модули, а аргументы могут отличаться на величину, кратную 2.

Выражение комплексного числа через его модуль и аргумент имеет вид (см. (1) и (2))

                                                         (3)

Это запись комплексного числа в тригонометрической форме, причем r – длина вектора , определяющего комплексное число.

Сложение и вычитание комплексных чисел.

Сумма двух комплексных чисел  и  может быть найдена

как сумма соответствующих векторов:

    

       

т.е.       

                                          (4)

Это правило распространяется на любое число слагаемых. Справедливы переместительный и сочетательный законы.

Умножение комплексного числа на вещественное производится по правилу умножения вектора на число, т.е.

                                            (5)

где a – вещественное число.

Таким образом, вычитание комплексных чисел ,  сводится к сложению числа , с числом , т.е.

                               (6)

Т.к. длина любой стороны треугольника меньше суммы длин его других сторон, то

  

Аналогично

                                               (7)

Умножение комплексных чисел.

Вектор, соответствующий комплексному числу z,   

               

может быть получен из единичного вектора  путем удлинения его в  раз и поворота в положительном направлении на угол .

Поэтому умножение числа  на  соответствует удлинению вектора  в  раз и довороту его на угол . Таким образом,

                      (8)  

Распишем соотношение (8) в координатной форме:

       

Таким образом,

                       (9)

Если , то сомножители – вещественные числа, а произведение  – также вещественное число.

Если же , а , то из (9) имеем

                                                                     (10)

т.е. квадрат мнимой единицы равен (-1).

Из (10) получаем:

 

Т.е. при всяком целом n>0 имеем

Соотношение (9) можно сформулировать так: комплексные числа надо перемножать как буквенные многочлены, считая .

Число  называется комплексно сопряженным числу .

Из (9) имеем

                                 (11)

Для произведения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы.

Модуль произведения нескольких сомножителей равен произведению их модулей, а аргумент – сумме их аргументов.

Деление комплексных чисел.

Деление есть действие, обратное умножению, т.е.

               

т.к.

Модуль частного равен частному модуле делимого и делителя, а аргумент – равен разности их аргументов.

Формула (12) теряет смысл при .

Формула (12) могла быть получена следующим образом:

          

Поэтому

                           (13)

 Т.к. при сложении и умножении комплексных чисел сохраняются переместительный, сочетательный и распределительный законы, то остаются справедливыми и правило вынесения за скобки, простейшие формулы, формула бинома Ньютона для целых положительных показателей, формулы для прогрессии и другие.

Если в сумме, разности, произведении и частном заменить все числа сопряженными, то и результат будет сопряженное число.

Это свойство остается справедливым для любого выражения, содержащего комплексные числа, связанные знаками первых четырех действий.

Возведение в степень и извлечение корня.

Применение формулы (8) к n одинаковым сомножителям

                               (14)

При r=1 имеем формулу Моавра

                                          (15)

Корнем n – ой степени из комплексного числа называется такое число, n – ная степень которого равна подкоренному числу.

Таким образом, если

        

то           

откуда      

т.е.

                   

где  – арифметическое значение корня.

Итак,

                         (16)

Из (16) следует, что корень n – ой степени из числа имеет n различных значений. Действительно, при k=0,1,2,…,(n-1) значения корня будут разными, поскольку их аргументы различны, а при k=n,n+1,…. получим значения корня, совпадающие с первым (т.е. при k=0,1,..). Поскольку при n обходах начала координат (z=0) мы получаем n различных значений корня, то точку z=0 называют точкой ветвления функции .

Показательная функция и формула Эйлера.

Рассмотрим показательную функцию  при вещественном x 

                              

Положим

                              

Группируя слагаемые, получим

 

Поскольку

 

то

                                                          (17)

Это формула Эйлера. Заменив в ней y на (-y), получим

                                                         (18)

Из (17) и (18) имеем

   ,                         (19)  

Из (17) получаем показательную форму комплексного числа

                                              (20)

Показательная функция при любом комплексном показателе  определяется формулой

                               (21)   

т.е.

                                                          (22)   

Пусть , тогда

 

откуда

Окончательно,

                

Аналогично

             

В случае целого положительного (и отрицательного) n  

                                

Тригонометрические функции от комплексного z определяются при помощи формулы Эйлера

        

Легко доказать, что

        

       

Ввиду важности показательной функции дадим ещё одно её определение по аналогии с функцией вещественных переменных. Определим  как следующий предел

                                                                         (*)

При этом необходимо доказать существование предела последовательности комплексных чисел  при z и вычислить этот предел. По правилам возведения в степень имеем

          

Отбрасывая в первом выражении малую высшего порядка  и заменяя во втором малый угол его тангенсом , мы видим, что существуют

         и

Но из существования этих пределов следует существование предела (*), причем мы полагаем, что  (т.е. ), что совпадает с формулами (22).

Логарифмирование.

Натуральным логарифмом комплексного числа  называется показатель степени, в которую нужно возвести e, чтобы получилось это число, т.е.

 

если

 

и наоборот. Из последнего равенства следует

 

откуда   k=0,1,…

Т.е.  а

Окончательно

                                             (23)

Натуральный логарифм любого числа имеет бесчисленное множество значений (здесь z=0 – точка ветвления бесконечного порядка). Если мы потребуем, чтобы

         

то получим главное значение логарифма:

 

 Если U и V - два комплексных числа, то положим

        

т.е. комплексная степень комплексного числа имеет бесчисленное множество значений.


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21938. Розв’язання інженерних задач по топографічним картам та планам 324.5 KB
  Це і читання карти визначення координат висот дирекцій них кутів та ін. Визначення меж водозбірної площі Водозбірною площею називають поверхню землі з якої за умовами рельєфу збирається поверхнева вода в даний водостік річку логовину яр і т. Визначення меж водозбірної площі 22. Визначення площ Вимірювання площ ділянок місцевості виконується по топографічним картам та планам графічним аналітичним та механічним способами.
21939. Оцінювання точності геодезичних вимірювань 207.5 KB
  Сукупність що впливають на результати вимірів називають комплексом умов: 1 обєкт; 2 субєкт; 3 прилад; 4 метод; 5 зовнішнє середовище. При порушенні комплексу умов результати вимірів називають нерівноточними. Результати вимірів розглядають з точки зору кількісних та якісних характеристик. Математична обробка результатів вимірів дає можливість отримати як кількісні так і якісні характеристики.
21940. Вимірювання кутів 2.34 MB
  2: вертикальна вісь обертання теодоліта ZZ; вісь візування зорової труби VV; вісь обертання зорової труби НН; вісь циліндричного рівня LL; площина горизонтального кутовимірного круга ГК; площину вертикального кутовимірного круга ВК. П з прямим зображенням зорової труби; М маркшейдерське виконання; А з автоколімаційним окуляром. 1 зорова труба; 230 вертикальний круг; 329 колонки труби; 426 горизонтальний круг; 522 підставка теодоліта; 623 підйомний гвинт; 724 платформа; 8 становий гвинт; 9 ...
21941. Загальні відомості. Системи координат в геодезії 130.5 KB
  Геодезія вивчає фігуру і розміри Землі зображення її поверхні на планах і картах виконання вимірювань необхідних для розвязання різноманітних задач народного господарства та оборони країни. Розвязання надзвичайно складних завдань привело до поділу геодезії на: Вищу геодезію яка вивчає фігуру і розміри Землі її гравітаційне поле визначення координат точок земної поверхні. Супутникову геодезію яка розглядає методи розвязання геодезичних задач за допомогою штучних супутників Землі. Фотограмметрію і дистанційне зондування Землі ...
21942. Топографічні карти та плани 5.78 MB
  Топографічні карти та плани На попередній лекції ми розглянули геодезію як науку про Землю. Масштаби топографічних карт і планів Масштабом топографічної карти або плану називають відношення довжини лінії на карті плані до відповідної горизонтальної довжини цієї лінії на місцевості.5 де М число яке показує ступінь зменшення ліній місцевості на карті плані і навпаки ступінь збільшення ліній карти плану на місцевості тобто: на карті 2.7 Чим менший знаменник М чисельного...
21943. ОПОРНІ ГЕОДЕЗИЧНІ МЕРЕЖІ 2.87 MB
  Для зменшення впливу похибок вимірювань на точність визначення координат пунктів геодезичної мережі її створюють €œвід загального до часткового€. За цим принципом в Україні геодезична мережа поділяється на: державну геодезичну мережу; мережі згущення; знімальні мережі. Планові геодезичні мережі створюють способами: Астрономічний спосіб полягає в визначені широти  довготи  кожного пункту та астрономічного азимута напрямів ліній геодезичної мережі за спостереженнями небесних світил.
21944. Топографічні знімання 9.53 MB
  Топографічні знімання Ми розглянули які виміри виконуються в геодезії як оцінити кількісні та якісні характеристики вимірів. Види знімань місцевості Процес виконання геодезичних вимірів для складання карт і планів місцевості називається зніманням. Якщо при зніманні визначають взаємне розміщення предметів та контурів місцевості то його називають горизонтальним або контурним зніманням. Знімання ситуації та рельєфу місцевості називають топографічним.
21945. ВИМІРЮВАННЯ ДОВЖИНИ ЛІНІЙ 1.36 MB
  Методи та прилади лінійних вимірювань Залежно від наявності приладів вимог точності умов місцевості лінії вимірюють способами: а прямим або безпосереднім способом за допомогою мірних стрічок рулеток підвісних мірних проволок та інших лінійних приладів; б непрямим або посереднім способом за допомогою ниткових віддалемірів та електрооптичних приладів світло та радіовіддалемірів геометричних побудов фігур на місцевості. Між закріпленими на місцевості точками А і В в створі лінії послідовно укладають мірний прилад. Створ лінії утворює...
21946. ВИМІРЮВАННЯ ПЕРЕВИЩЕНЬ 3.47 MB
  Види нівелювання Перевищенням називають різницю висот точок земної поверхні або будівельних конструкцій. Нівелювання вид геодезичних робіт для вимірювання перевищень між точками земної поверхні або споруд. За методами розрізняють такі види нівелювання [1]: Геометричне використовується принцип горизонтальності візирного променя зорової труби. В інженернобудівельній справі переважно використовуються: геометричне тригонометричне та гідростатичне нівелювання.