21454

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Лекция

Математика и математический анализ

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Оператор L можно представить в следующем виде 1б где корни характеристического уравнения 4 их кратности. При n=2 имеем причем где корни характеристического уравнения Далее Пусть теперь при некотором: где мы...

Русский

2013-08-02

234 KB

16 чел.

Лекция 9.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Если в линейном однородном  дифференциальном уравнении

                                                   (1)

Все коэффициенты  постоянны, то его частные решения легко могут быть найдены.

Рассмотрим уравнение

                                                                               (2)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Мы видели, что его частным решением является функция

                                                                                (3)

Пусть в (1)  (в противном случае уравнение (1) было бы уравнением  порядка, меньшего, чем n), тогда уравнение (1) можно привести к виду

                                     (1a)

где  , L – линейный оператор.

Оператор L можно представить в следующем виде

                 (1б)

где  – корни характеристического уравнения

                                                 (4)

a  – их кратности.

Представление оператора L в виде (1б) называется факторизацией этого оператора. Доказательство возможности подобной факторизации проводится по индукции. При n=2 имеем

                       

причем , где  – корни характеристического уравнения

Далее

                

  

Пусть теперь при некотором n2:

           

где мы занумеровали подряд все корни (с учетом их кратности) от 1 до n. Теперь

       

Уравнение (1а) в результате (с использованием представления (1б)) примет вид

                                                  (5)

Пусть сначала все корни  уравнения (4) – однократные, тогда, как видно из (5) L[y]=0, если   

                            

т.е.  (см. (3)), j=1,…,n – есть частные решения уравнения (1а).

Рассмотрим теперь случай, когда какой-нибудь корень, например, , имеет кратность . В этом случае требуется, чтобы

                                   (6)

Положим

                                                                     (7)

Тогда из (6) имеем

                   

И таким образом,

Теперь,

Воспользуемся методом подстановки:

тогда

т.е.

Таким образом,

.

Аналогично, при :

Снова полагаем (7), тогда

,

откуда

поэтому

.

Действуя по той же схеме, имеем

 

т.е.

значит,

,

т.е.  , а

Аналогично по индукции можно показать, что для r

,

а общее решение уравнения (1а) имеет, таким образом, следующий вид

                 (8)

где m – число различных корней характеристического уравнения (4).

Соотношение (8) является общим решением уравнения (1а), поскольку можно показать, что функции

                                                    (9)

где m – число различных корней характеристического уравнения (4), линейно независимы.

Можно не приводить уравнение (1) к виду (1а), а иметь дело непосредственно с ним, тогда  будут корнями характеристического уравнения

                                     (4a)

Покажем, что система функций (9) линейно независима на отрезке .

Доказывая от противного, допустим, что эти функции линейно зависимы. Тогда

                                  (10)

где  – многочлен степени не выше (, причем хотя бы один полином, например,  не равен нулю тождественно (т.е. хотя бы один из коэффициентов при , отличен от нуля). Разделим тождество (10) на  и продифференцируем  раз. Тогда первое слагаемое в тождестве (10) исчезнет, и мы получим линейную зависимость такого же вида, но с меньшим числом функций

                                                 (11)

При этом степени многочленов  и  совпадают, т.к. при дифференцировании произведения , получим , т.е. коэффициент при старшем члене многочлена  после дифференцирования приобретет лишь не равный нулю множитель q. В частности, совпадают степени многочленов  и , и, следовательно, многочлен  не равен нулю тождественно. Деля тождество (11) на  и дифференцируя  раз, получим линейную зависимость с ещё меньшим числом функций. Продолжая этот процесс m-1 раз, получим

                 

что невозможно, т.к. степень многочлена  равна степени многочлена  и, следовательно, многочлен  не равен нулю тождественно.

Доказательство не изменится и при комплексных .  

        Пример.

Характеристическое уравнение имеет вид : его корни . Таким образом, общее решение имеет вид

     Т.к. коэффициенты уравнения (1) действительны, то комплексные корни характеристического уравнения могут появляться лишь сопряженными парами.

Комплексные решения , соответствующие паре комплексно сопряженных корней

                                                                            (12)

могут быть заменены двумя действительными решениями (см. теорему 3 лекции 7)

             .

Таким образом, паре комплексно сопряженных корней (12) соответствуют два действительных решения .

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и специальным видом правой части.

Вообще говоря, при решении линейных неоднородных диф-ференциальных уравнений применяют метод вариации постоянных или метод Коши. В случае уравнения с постоянными коэффициентами часто легко удается подобрать частные решения и тем самым свести задачу к решению соответствующего однородного уравнения. Пусть, например, уравнение имеет вид

                       (1)

где все  – постоянные.

Если , то частное решение уравнения (1), также имеющее вид многочлена степени p. Действительно, подставляя

в уравнение (1) и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа, (т.к.  – линейно независимы) получаем для определения коэффициентов  всегда разрешимую, если  систему линейных уравнений:

откуда определяется  и т.д.

откуда определяется .

Итак, если , то существует частное решение, имеющее вид многочлена, степень которого равна степени многочлена, стоящего в правой части.

Пусть теперь , а также , но , т.е. является r - кратным корнем характеристического уравнения, причем может быть r=1. Уравнение (1) принимает вид

                     (2)               

Полагая , мы приходим к предыдущему случаю, и, следовательно, частное решение уравнения (2), для которого

а значит y(x) является многочленом степени p+r, причем члены, начиная со степени (r-1) и ниже будут иметь произвольные постоянные коэффициенты, которые могут быть выбраны, в частности, равными нулю. Тогда частное решение примет вид

Пример.

                                                                  (3)

Частное решение имеет вид

Подставляя в (3) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим

 

Общее решение

             

                                

Тригонометрические функции от комплексного z определяются при помощи формулы Эйлера

        

Легко доказать, что

        

       

Ввиду важности показательной функции дадим ещё одно её определение по аналогии с функцией вещественных переменных. Определим  как следующий предел

                                                                         (*)

При этом необходимо доказать существование предела последовательности комплексных чисел  при z и вычислить этот предел. По правилам возведения в степень имеем

          

Отбрасывая в первом выражении малую высшего порядка  и заменяя во втором малый угол его тангенсом , мы видим, что существуют

         и

Но из существования этих пределов следует существование предела (*), причем мы полагаем, что  (т.е. ), что совпадает с формулами (22).

Логарифмирование.

Натуральным логарифмом комплексного числа  называется показатель степени, в которую нужно возвести e, чтобы получилось это число, т.е.

 

если

 

и наоборот. Из последнего равенства следует

 

откуда   k=0,1,…

Т.е.  а

Окончательно

                                             (23)

Натуральный логарифм любого числа имеет бесчисленное множество значений (здесь z=0 – точка ветвления бесконечного порядка). Если мы потребуем, чтобы

         

то получим главное значение логарифма:

 

 Если U и V - два комплексных числа, то положим

        

т.е. комплексная степень комплексного числа имеет бесчисленное множество значений.


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28930. Внешняя политика Петра I. Становление Российской империи 29.5 KB
  Внешняя политика Петра I. Во внешней политике Петра I можно выделить 4 основных события: Азовские походы Великое посольство Северная война Каспийский поход. Однако уже в 1696 предварительно создав эскадру из 2 крупных кораблей 23 галер и более чем 1000 барок вдвое увеличив и оснастив армию Петр взял Азов и тля удержания захваченных земель приказал возвести крепость Таганрог. Весной 1697 посольство из 250 человек среди которых под именем Петра Михайлова был и царь отправилось в Европу.
28931. Дворцовые перевороты (1725—1762) 45 KB
  со смерти Петра I в России начинается эпоха дворцовых переворотов смена царствующих особ которая сопровождалась ожесточенной борьбой между различными группировками придворной знати. Старая знать Голицыны Долгоруковы выступала за царевича Петра сына Алексея. возвела на престол жену Петра Великого Екатерину I. Незадолго до смерти она выбрала своим преемником 12летнего царевича Петра сына убитого царевича Алексея.
28932. Россия в эпоху дворцовых переворотов 27 KB
  Среди претендентов на престол были: Екатерина жена Петра I муж дочери Петра Анны герцог Гольштейн Готторпский вторая дочь Петра I Елизавета внук Петра I Петр Алексеевич сын убитого царевича Алексея и наконец племянница Петра I Анна Иоанновна дочь Ивана Алексеевича брата царя. Спасло ее лишь воцарение Петра III в России. Сделав ставку на его жену Екатерину Орловы при помощи гвардии свергли Петра III позже он был случайно убит в Ропше.
28933. Реформы Екатерины II. Государственное управление. Уложенная комиссия 35.5 KB
  Екатерина хотела претворить в жизнь идеал философа на троне который был весьма распространен во второй половине XVIII в. Екатерина отвергла проект создания Совета увидев в нем попытку ограничить самодержавную власть но при этом понимала что реформа государственного управления необходима. Тем самым Екатерина ослабила Сенат превратив его из законодательного в простой административный орган. Екатерина провела вторую секуляризацию монастырских земель забрав их в казну.
28934. Эпоха просвещенного абсолютизма Екатерины II 25 KB
  Население России увеличилось к концу XVIII до 36 000 000 человек. В условиях веянья идей этих философов в России строилась законная самодержавная монархия. Кроме того в условиях отмирания крепостного права в Европе в России оно лишь усилилось. Целью было реформирование законодательства России но когда был затронут крестьянский вопрос комиссию распустили.
28935. Внешняя политика России в середине и второй половине XVIII в. 39.5 KB
  Внешняя политика России в середине и второй половине XVIII в. Спасло ее лишь воцарение Петра III в России. Петр III заключил мир и союз с Пруссией но его своевременное свержение позволило России не участвовать в войне на стороне ей же битых пруссаков. При поддержке России королем Польши стал Станислав Понятовский в прошлом фаворит Екатерины хотя этому активно противодействовали Франция и Австрия.
28936. Попытки общественно-политической модернизации в России в годы царствования Александра I. М.М. Сперанский и его судьба 38 KB
  Попытки общественнополитической модернизации в России в годы царствования Александра I. России нужны были реформы. Такое положение в России историк Н. Сперанский предложил 4 модели реформирования России: А.
28937. Отечественная война 1812 г. 43 KB
  Русская армия насчитывала около 240 тысяч человек и была разделена на три группы: первая армия командующий Барклай де Толли река Неман 120 тысяч человек; вторая армия командующий Багратион юг Литвы 49 тысяч человек; третья армия командующий А. Тормасов Волынь 44 тысячи человек. Великая армия Наполеона насчитывала 600 тысяч человек имела 1420 орудий. На главном направлении наступала группировка в 220 тысяч человек против 160 тысяч русских.
28938. Движение декабристов 36 KB
  Первые тайные общества появились после окончания заграничного похода русской армии. Членами общества были молодые гвардейские офицеры С. Главной целью общества было уничтожение крепостного права и установление конституционной монархии путем военного переворота. Слабость организации и разногласия между членами общества привели к его самороспуску.