21454

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Лекция

Математика и математический анализ

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Оператор L можно представить в следующем виде 1б где – корни характеристического уравнения 4 – их кратности. При n=2 имеем причем где – корни характеристического уравнения Далее Пусть теперь при некотором: где мы...

Русский

2013-08-02

234 KB

16 чел.

Лекция 9.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Если в линейном однородном  дифференциальном уравнении

                                                   (1)

Все коэффициенты  постоянны, то его частные решения легко могут быть найдены.

Рассмотрим уравнение

                                                                               (2)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Мы видели, что его частным решением является функция

                                                                                (3)

Пусть в (1)  (в противном случае уравнение (1) было бы уравнением  порядка, меньшего, чем n), тогда уравнение (1) можно привести к виду

                                     (1a)

где  , L – линейный оператор.

Оператор L можно представить в следующем виде

                 (1б)

где  – корни характеристического уравнения

                                                 (4)

a  – их кратности.

Представление оператора L в виде (1б) называется факторизацией этого оператора. Доказательство возможности подобной факторизации проводится по индукции. При n=2 имеем

                       

причем , где  – корни характеристического уравнения

Далее

                

  

Пусть теперь при некотором n2:

           

где мы занумеровали подряд все корни (с учетом их кратности) от 1 до n. Теперь

       

Уравнение (1а) в результате (с использованием представления (1б)) примет вид

                                                  (5)

Пусть сначала все корни  уравнения (4) – однократные, тогда, как видно из (5) L[y]=0, если   

                            

т.е.  (см. (3)), j=1,…,n – есть частные решения уравнения (1а).

Рассмотрим теперь случай, когда какой-нибудь корень, например, , имеет кратность . В этом случае требуется, чтобы

                                   (6)

Положим

                                                                     (7)

Тогда из (6) имеем

                   

И таким образом,

Теперь,

Воспользуемся методом подстановки:

тогда

т.е.

Таким образом,

.

Аналогично, при :

Снова полагаем (7), тогда

,

откуда

поэтому

.

Действуя по той же схеме, имеем

 

т.е.

значит,

,

т.е.  , а

Аналогично по индукции можно показать, что для r

,

а общее решение уравнения (1а) имеет, таким образом, следующий вид

                 (8)

где m – число различных корней характеристического уравнения (4).

Соотношение (8) является общим решением уравнения (1а), поскольку можно показать, что функции

                                                    (9)

где m – число различных корней характеристического уравнения (4), линейно независимы.

Можно не приводить уравнение (1) к виду (1а), а иметь дело непосредственно с ним, тогда  будут корнями характеристического уравнения

                                     (4a)

Покажем, что система функций (9) линейно независима на отрезке .

Доказывая от противного, допустим, что эти функции линейно зависимы. Тогда

                                  (10)

где  – многочлен степени не выше (, причем хотя бы один полином, например,  не равен нулю тождественно (т.е. хотя бы один из коэффициентов при , отличен от нуля). Разделим тождество (10) на  и продифференцируем  раз. Тогда первое слагаемое в тождестве (10) исчезнет, и мы получим линейную зависимость такого же вида, но с меньшим числом функций

                                                 (11)

При этом степени многочленов  и  совпадают, т.к. при дифференцировании произведения , получим , т.е. коэффициент при старшем члене многочлена  после дифференцирования приобретет лишь не равный нулю множитель q. В частности, совпадают степени многочленов  и , и, следовательно, многочлен  не равен нулю тождественно. Деля тождество (11) на  и дифференцируя  раз, получим линейную зависимость с ещё меньшим числом функций. Продолжая этот процесс m-1 раз, получим

                 

что невозможно, т.к. степень многочлена  равна степени многочлена  и, следовательно, многочлен  не равен нулю тождественно.

Доказательство не изменится и при комплексных .  

        Пример.

Характеристическое уравнение имеет вид : его корни . Таким образом, общее решение имеет вид

     Т.к. коэффициенты уравнения (1) действительны, то комплексные корни характеристического уравнения могут появляться лишь сопряженными парами.

Комплексные решения , соответствующие паре комплексно сопряженных корней

                                                                            (12)

могут быть заменены двумя действительными решениями (см. теорему 3 лекции 7)

             .

Таким образом, паре комплексно сопряженных корней (12) соответствуют два действительных решения .

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и специальным видом правой части.

Вообще говоря, при решении линейных неоднородных диф-ференциальных уравнений применяют метод вариации постоянных или метод Коши. В случае уравнения с постоянными коэффициентами часто легко удается подобрать частные решения и тем самым свести задачу к решению соответствующего однородного уравнения. Пусть, например, уравнение имеет вид

                       (1)

где все  – постоянные.

Если , то частное решение уравнения (1), также имеющее вид многочлена степени p. Действительно, подставляя

в уравнение (1) и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа, (т.к.  – линейно независимы) получаем для определения коэффициентов  всегда разрешимую, если  систему линейных уравнений:

откуда определяется  и т.д.

откуда определяется .

Итак, если , то существует частное решение, имеющее вид многочлена, степень которого равна степени многочлена, стоящего в правой части.

Пусть теперь , а также , но , т.е. является r - кратным корнем характеристического уравнения, причем может быть r=1. Уравнение (1) принимает вид

                     (2)               

Полагая , мы приходим к предыдущему случаю, и, следовательно, частное решение уравнения (2), для которого

а значит y(x) является многочленом степени p+r, причем члены, начиная со степени (r-1) и ниже будут иметь произвольные постоянные коэффициенты, которые могут быть выбраны, в частности, равными нулю. Тогда частное решение примет вид

Пример.

                                                                  (3)

Частное решение имеет вид

Подставляя в (3) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим

 

Общее решение

             

                                

Тригонометрические функции от комплексного z определяются при помощи формулы Эйлера

        

Легко доказать, что

        

       

Ввиду важности показательной функции дадим ещё одно её определение по аналогии с функцией вещественных переменных. Определим  как следующий предел

                                                                         (*)

При этом необходимо доказать существование предела последовательности комплексных чисел  при z и вычислить этот предел. По правилам возведения в степень имеем

          

Отбрасывая в первом выражении малую высшего порядка  и заменяя во втором малый угол его тангенсом , мы видим, что существуют

         и

Но из существования этих пределов следует существование предела (*), причем мы полагаем, что  (т.е. ), что совпадает с формулами (22).

Логарифмирование.

Натуральным логарифмом комплексного числа  называется показатель степени, в которую нужно возвести e, чтобы получилось это число, т.е.

 

если

 

и наоборот. Из последнего равенства следует

 

откуда   k=0,1,…

Т.е.  а

Окончательно

                                             (23)

Натуральный логарифм любого числа имеет бесчисленное множество значений (здесь z=0 – точка ветвления бесконечного порядка). Если мы потребуем, чтобы

         

то получим главное значение логарифма:

 

 Если U и V - два комплексных числа, то положим

        

т.е. комплексная степень комплексного числа имеет бесчисленное множество значений.


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6073. Роль человека в проблеме БД. Ощущения. Понятие о восприятии человеком времени и расстояний. Реакция и ее Виды 45 KB
  Введение В современных условиях комфортабельности легковых автомобилей, работа водителей попадает в разряд легких. Однако длительная и интенсивная работа за рулем легкового автомобиля приводит к перенапряжению нервной системы водителя, тре...
6074. Значение витаминов и минералов обеспечение здоровья 43.18 KB
  Витамины(введение). Слова витамины - источник здоровья знакомы нам с детства, и мы настолько привыкли к ним, что перестаем придавать им значение. А напрасно! Ведь на самом деле без витаминов обеспечить полноценное здоровье совершенно невозм...
6075. Венерические заболевания и заболевания мочеполовых путей 54.5 KB
  Венерические заболевания - инфекционные болезни женской и мужской мочеполовых систем, заражение которыми происходит половым путем. Причем неважно, какую именно форму сексуальных отношений вы изберете. Любой контакт слизистых чреват пе...
6076. Михаи́л Ю́рьевич Ле́рмонтов 82.5 KB
  Род Лермонтовых происходил из Шотландиии восходил к полумифическому барду-пророку Томасу Лермонту. Эта гипотеза, однако, до настоящего времени не была ни подтверждена, ни опровергнута. Михаил Юрьевич Лермонтов появился на свет в Москве, в ночь со вт...
6077. Рекламная деятельность в системе маркетинга 128.5 KB
  Введение Сегодня актуальность рекламы не вызывает сомнения, так как она играет ключевую роль в развитии рыночной экономики и является её важным элементом. Есть основания утверждать, что реклама - лучшая гарантия качества товара (услуги). Ложная...
6078. Иски в Римском праве 55 KB
  Что такое иск? Назовите виды исков. Чем отличается вещный иск от личного иска? Задача № 1. Римское право запрещало собственнику земли изменять естественный стог ручья, бегущего по его участку, если этим наносился вред соседям. Что э...
6079. Геометрические характеристики плоских сечений 71 KB
  Геометрические характеристики плоских сечений Прочность бруса не всегда зависит только от площади поперечного сечения, как это имеет место при растяжении, сжатии. Как бы вы ни поворачивали стержень относительно продольной оси, условие прочности буде...
6080. Кручение. Понятие о крутящем моменте, внешних нагрузках, вызывающих кручение 64 KB
  Кручение. Понятие о крутящем моменте, внешних нагрузках, вызывающих кручение Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает единственный силовой фактор - крутящий момент Мк. Стержни, работающи...
6081. Внутренние силы. Метод сечений 52.5 KB
  Внутренние силы. Метод сечений Внешние силы, действующие на реальный объект, чаще всего известны. Обычно необходимо определить внутренние силы (результат взаимодействия между отдельными частями данного тела) которые неизвестны по величине и направле...