21454

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Лекция

Математика и математический анализ

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Оператор L можно представить в следующем виде 1б где – корни характеристического уравнения 4 – их кратности. При n=2 имеем причем где – корни характеристического уравнения Далее Пусть теперь при некотором: где мы...

Русский

2013-08-02

234 KB

16 чел.

Лекция 9.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Если в линейном однородном  дифференциальном уравнении

                                                   (1)

Все коэффициенты  постоянны, то его частные решения легко могут быть найдены.

Рассмотрим уравнение

                                                                               (2)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Мы видели, что его частным решением является функция

                                                                                (3)

Пусть в (1)  (в противном случае уравнение (1) было бы уравнением  порядка, меньшего, чем n), тогда уравнение (1) можно привести к виду

                                     (1a)

где  , L – линейный оператор.

Оператор L можно представить в следующем виде

                 (1б)

где  – корни характеристического уравнения

                                                 (4)

a  – их кратности.

Представление оператора L в виде (1б) называется факторизацией этого оператора. Доказательство возможности подобной факторизации проводится по индукции. При n=2 имеем

                       

причем , где  – корни характеристического уравнения

Далее

                

  

Пусть теперь при некотором n2:

           

где мы занумеровали подряд все корни (с учетом их кратности) от 1 до n. Теперь

       

Уравнение (1а) в результате (с использованием представления (1б)) примет вид

                                                  (5)

Пусть сначала все корни  уравнения (4) – однократные, тогда, как видно из (5) L[y]=0, если   

                            

т.е.  (см. (3)), j=1,…,n – есть частные решения уравнения (1а).

Рассмотрим теперь случай, когда какой-нибудь корень, например, , имеет кратность . В этом случае требуется, чтобы

                                   (6)

Положим

                                                                     (7)

Тогда из (6) имеем

                   

И таким образом,

Теперь,

Воспользуемся методом подстановки:

тогда

т.е.

Таким образом,

.

Аналогично, при :

Снова полагаем (7), тогда

,

откуда

поэтому

.

Действуя по той же схеме, имеем

 

т.е.

значит,

,

т.е.  , а

Аналогично по индукции можно показать, что для r

,

а общее решение уравнения (1а) имеет, таким образом, следующий вид

                 (8)

где m – число различных корней характеристического уравнения (4).

Соотношение (8) является общим решением уравнения (1а), поскольку можно показать, что функции

                                                    (9)

где m – число различных корней характеристического уравнения (4), линейно независимы.

Можно не приводить уравнение (1) к виду (1а), а иметь дело непосредственно с ним, тогда  будут корнями характеристического уравнения

                                     (4a)

Покажем, что система функций (9) линейно независима на отрезке .

Доказывая от противного, допустим, что эти функции линейно зависимы. Тогда

                                  (10)

где  – многочлен степени не выше (, причем хотя бы один полином, например,  не равен нулю тождественно (т.е. хотя бы один из коэффициентов при , отличен от нуля). Разделим тождество (10) на  и продифференцируем  раз. Тогда первое слагаемое в тождестве (10) исчезнет, и мы получим линейную зависимость такого же вида, но с меньшим числом функций

                                                 (11)

При этом степени многочленов  и  совпадают, т.к. при дифференцировании произведения , получим , т.е. коэффициент при старшем члене многочлена  после дифференцирования приобретет лишь не равный нулю множитель q. В частности, совпадают степени многочленов  и , и, следовательно, многочлен  не равен нулю тождественно. Деля тождество (11) на  и дифференцируя  раз, получим линейную зависимость с ещё меньшим числом функций. Продолжая этот процесс m-1 раз, получим

                 

что невозможно, т.к. степень многочлена  равна степени многочлена  и, следовательно, многочлен  не равен нулю тождественно.

Доказательство не изменится и при комплексных .  

        Пример.

Характеристическое уравнение имеет вид : его корни . Таким образом, общее решение имеет вид

     Т.к. коэффициенты уравнения (1) действительны, то комплексные корни характеристического уравнения могут появляться лишь сопряженными парами.

Комплексные решения , соответствующие паре комплексно сопряженных корней

                                                                            (12)

могут быть заменены двумя действительными решениями (см. теорему 3 лекции 7)

             .

Таким образом, паре комплексно сопряженных корней (12) соответствуют два действительных решения .

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и специальным видом правой части.

Вообще говоря, при решении линейных неоднородных диф-ференциальных уравнений применяют метод вариации постоянных или метод Коши. В случае уравнения с постоянными коэффициентами часто легко удается подобрать частные решения и тем самым свести задачу к решению соответствующего однородного уравнения. Пусть, например, уравнение имеет вид

                       (1)

где все  – постоянные.

Если , то частное решение уравнения (1), также имеющее вид многочлена степени p. Действительно, подставляя

в уравнение (1) и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа, (т.к.  – линейно независимы) получаем для определения коэффициентов  всегда разрешимую, если  систему линейных уравнений:

откуда определяется  и т.д.

откуда определяется .

Итак, если , то существует частное решение, имеющее вид многочлена, степень которого равна степени многочлена, стоящего в правой части.

Пусть теперь , а также , но , т.е. является r - кратным корнем характеристического уравнения, причем может быть r=1. Уравнение (1) принимает вид

                     (2)               

Полагая , мы приходим к предыдущему случаю, и, следовательно, частное решение уравнения (2), для которого

а значит y(x) является многочленом степени p+r, причем члены, начиная со степени (r-1) и ниже будут иметь произвольные постоянные коэффициенты, которые могут быть выбраны, в частности, равными нулю. Тогда частное решение примет вид

Пример.

                                                                  (3)

Частное решение имеет вид

Подставляя в (3) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим

 

Общее решение

             

                                

Тригонометрические функции от комплексного z определяются при помощи формулы Эйлера

        

Легко доказать, что

        

       

Ввиду важности показательной функции дадим ещё одно её определение по аналогии с функцией вещественных переменных. Определим  как следующий предел

                                                                         (*)

При этом необходимо доказать существование предела последовательности комплексных чисел  при z и вычислить этот предел. По правилам возведения в степень имеем

          

Отбрасывая в первом выражении малую высшего порядка  и заменяя во втором малый угол его тангенсом , мы видим, что существуют

         и

Но из существования этих пределов следует существование предела (*), причем мы полагаем, что  (т.е. ), что совпадает с формулами (22).

Логарифмирование.

Натуральным логарифмом комплексного числа  называется показатель степени, в которую нужно возвести e, чтобы получилось это число, т.е.

 

если

 

и наоборот. Из последнего равенства следует

 

откуда   k=0,1,…

Т.е.  а

Окончательно

                                             (23)

Натуральный логарифм любого числа имеет бесчисленное множество значений (здесь z=0 – точка ветвления бесконечного порядка). Если мы потребуем, чтобы

         

то получим главное значение логарифма:

 

 Если U и V - два комплексных числа, то положим

        

т.е. комплексная степень комплексного числа имеет бесчисленное множество значений.


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22951. Мова Сі 240.5 KB
  Дамо індуктивне визначення термів. Розрізнюють три види типізованих термів: префіксні інфіксні та постфіксні. Існує ще один вид термів – змішані коли в індуктивному переході одночасно використовується два або і всі три різновиди термів. На практиці з метою спрощення запису термів приймаються ті чи інші угоди.
22952. Облік грошових коштів 113 KB
  Облік і контроль касових операцій і грошей в касі. Облік створення і використання фонду дрібних сум. Документальне оформлення і облік операцій по банківських рахунках. Облік короткострокових фінансових інвестицій.
22953. Школи Китайські 34.5 KB
  Ми почнемо з того що філософія як форма духовної діяльності має історичність. Філософія це ідейний діалог мислителів різних епох. Антична філософія 2. Середньовічна філософія.
22954. Продовжимо Елінізм 55.5 KB
  Людина гріховна лише бог безгрішний. Філософ має бути моральним проповідником волі Бога. В цей час провідна роль в культурі належала церкві філософія розглядалась як служниця богословя теологія. Філософія галузь яка веде до більш високого знання богословя.
22955. Західноєвропейська філософія нового часу 53 KB
  Просвітництво 18ст. Ідеалізм або матеріалізм залежить від того як співвідноситься почуття зі світом. Поза нами існує матеріальний світ незалежний від нас явища цього світу впливають на наші органи почуття в нас виникають чуттєві образи цих явищ. Перш ніж пізнавати навколишній світ і природу треба підготувати свою свідомість подолати перешкоди ідоли або примари свідомості.
22956. Естетика 50 KB
  Історичний матеріалізм це є поширення поглядів матеріалізму на суспільне життя на людську історію. Фактично ці умови життя визначаються напрямком нашої свідомості. Тобто поступово переходимо на іншу позицію що засадою нашого суспільства і життя не є розум. Світова воля Шопенгауер біологічне життя Ніцше несвідоме життя Фрейд.
22957. Особливості сучасної західної філософії. Вітчизняні філософські традиції 54 KB
  Антропологізм ця тенденція орієнтує філософію на дослідження людини і світу культури. Сутність тенденції виражають наступні ідеї: вивчення життя окремої людини стоїть вище є більш значним ніж вивчення великих людських спільнот класів народів націй. відмова від розуміння сучасної людини як свободної і розумної здатної переробляти світ. Відмова від такого розуміння і перехід до розуміння людини яка жорстко обумовлена економікою політикою релігією та ін.
22958. Проблема свідомості 62.5 KB
  Свідомість самосвідомість мова. Проблема свідомості одна з найбільш важливих для дослідження і одна з найбільш загадкових оскільки свідомість не існує як окремий предмет дослідження. Свідомість присутня в кожному образі думці поєднує наші почуття і думки. Свідомість завжди проявляється через якийсь конкретний зміст який виражається думками знаннями образами.
22959. Психіка людини 56 KB
  Голодна людина має енергію скеровану на пошук їжі. Людина народжується в суспільстві яке задає певні правила виховання. Людина деякі з цих правил бере добровільно в свою свідомість як ті правил яким вона буде підкорятись. Людина перестає контролювати себе і відчуває певне задоволення.