21455

Системы линейных дифференциальных уравнений

Лекция

Математика и математический анализ

Системы линейных дифференциальных уравнений. Напомним что достаточными условиями существования и единственности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1 удовлетворяющего начальным условиям 2 являются: непрерывность всех функций в окрестности начальных значений; выполнение условия Липшица для всех...

Русский

2013-08-02

293 KB

7 чел.

Лекция 10.

Системы линейных дифференциальных уравнений.

Напомним, что достаточными условиями существования и единственности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений

                                                           (1)

удовлетворяющего начальным условиям

                                                  (2)

являются:

  1.  непрерывность всех функций  в окрестности начальных значений;
  2.  выполнение условия Липшица для всех функций  по всем аргументам, начиная со второго, в той же окрестности.

Условие 2)  можно заменить более сильным, но легче проверяемым

Решение системы:  является n - мерной вектор-функцией X(t), а правая часть F – вектор-функция с координатами , т.е. система (1) имеет вид

а начальное условие:

                                         

где  – n - мерный вектор с координатами .

В пространстве () решение X(t) определяет так называемую интегральную кривую, причем при выполнении условий 1) и 2) через каждую точку пространства проходит единственная интегральная кривая.

Если систему свести к уравнению n-го порядка, то это уже не так: в одной точке могут пересекаться интегральные кривые и иметь совпадающие производные до (n-2) – ого порядка. Например:

        

Избавляясь от t, сведем к уравнению II порядка

          ,

т.е. спроецируем пространство 3-х переменных на плоскость (). При этом не пересекающиеся интегральные кривые могут иметь пересекающиеся проекции.

Совокупность интегральных кривых образует n-параметрическое семейство. В качестве параметров этого семейства могут быть взяты, например, начальные значения .

В евклидовом пространстве с прямоугольными координатами  решение  определяет закон движения по некоторой траектории в зависимости от изменения параметра t, который можно считать временем. Тогда  – скорость движения точки, а  – координаты скорости этой точки. Пространство  называют фазовым, а кривую X=X(t) – фазовой траекторией.

Система (1) в заданный момент времени t определяет в пространстве поле скоростей.

Система (1) называется линейной, если все функции  – линейные, т.е. она имеет вид

                                           (3)       

или

                                                                     (4)

подробнее:

            .                         (4а)

Если все функции  и  в (3) непрерывны на отрезке , то в достаточно малой окрестности каждой точки (), где , выполняются условия теоремы существования и единственности, т.к. правые части в (3) непрерывны, а их частные производные по любому  ограничены, т.к. эти частные производные равны непрерывным на  коэффициентам .

Определим линейный оператор L равенством

                

тогда уравнение (4) может быть записано в виде

                                                                             (5)

Если все , т.е. вектор F=0, то система (5) называется линейной однородной. Линейная однородная система имеет вид

                                                                             (6)

Оператор L обладает следующими свойствами:

1)         

где с – произвольная постоянная,

2)       

Действительно,

    

Следствие:

                           

где  – произвольные постоянные.

 Теорема 1. Если X является решением линейной однородной системы   то и cX, с – произвольная постоянная, является решением той же системы.

Доказательство: в силу свойства (1)

                      

 ч.т.д

 Теорема 2. Сумма  двух решений  и  однородной линейной системы дифференциальных уравнений является решением той же системы.

Доказательство: в силу свойства (2)

 

Следствие. Линейная комбинация  с произвольными постоянными коэффициентами решений  линейной однородной системы L[X]=0 является решением той же системы.

 Теорема 3. Если линейная однородная система (6) с действительными коэффициентами  имеет комплексное решение X=U+iV, то действительная и мнимая части

      и        

в отдельности являются решениями этой же системы.

Доказательство: из свойств 1) и 2) оператора L имеем

 L[U+iV]L[U]+iL[V]0

поэтому L[U]0 и L[V]0.

Определение. Векторы , где

                                 

называются линейно зависимыми на отрезке , если существуют постоянные , такие, что

                                                     (7)

при , причем хотя бы одно . Если же (7) справедливо лишь при , то векторы  называются линейно независимыми.

Тождество (7) эквивалентно n тождествам

                   (7а)

Отсюда вытекает

Теорема 4. Если векторы  линейно зависимы, т.е. существует нетривиальная совокупность , удовлетворяющая системе n линейных однородных уравнений (7а), то её определитель   

                        ,

называемый определителем Вронского  для системы векторов , должен быть равен нулю для всех .

 Теорема 5. Если линейно независимые векторы  являются решениями линейной однородной системы (6) с непрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами, то определитель Вронского W этой совокупности векторов не может обратиться в нуль ни в одной точке отрезка .

Доказательство. Пусть в некоторой точке  , тогда можно подобрать коэффициенты , такие, чтобы

                                  .

Тогда линейная комбинация  является решением системы (6), удовлетворяющим нулевым начальным условиям . Таким условиям удовлетворяет тривиальное решение , а в силу теоремы единственности этим условиям удовлетворяет только это решение, т.е.  – линейно зависимы, вопреки условию, ч. т. д.

 Замечание. Эта теорема не верна для произвольных векторов , не являющихся решением системы (6) с непрерывными коэффициентами.

 Теорема 6. Линейная комбинация  n линейно независимых решений  линейной однородной системы (6) с непрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами  является общим решением системы (6) на этом отрезке.

Доказательство. Так как система удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, то для доказательства теоремы достаточно убедиться, что подбором постоянных  в решении  можно удовлетворить произвольно выбранным начальным условиям где

                                                     .

Векторное уравнение

                                                   

эквивалентно системе

                                                  

                                                  

                                                  ………………..

                                                  

которая разрешима при любых  т.к. ее определитель является определителем Вронского для линейно независимой  системы решений  а потому не обращается в нуль ни в одной точке отрезка  Что и требовалось доказать.

          Теорема 7. Если   является решением линейной неоднородной системы

                                                                                               (5)

а   - решением соответствующей однородной системы  

то сумма    также будет решением неоднородной системы   

Доказательство: 

имеем

                                     

ч. т. д.

          Теорема 8. Общее решение на отрезке  неоднородной системы (5) с непрерывными на том же отрезке коэффициентами  и правыми частями  равно сумме общего решения соответствующей однородной системы и частного решения  рассматриваемой неоднородной системы.

          Доказательство. Условия теоремы существования и единственности выполнены, поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что подбором произвольных постоянных  в решении   можно удовлетворить произвольно заданным начальным условиям

                                                    .

Но уравнение

                                                             

эквивалентное системе

                                                            

                                                                            (8)

                                             ………………..

                                            

всегда имеет единственное решение  при любой правой части, т.к. определитель системы (8) – это Вронскиан для линейно независимых решений  соответствующей однородной системы в точке , а он по теореме 5 отличен от нуля, ч. т. д.

          Теорема 9 (принцип суперпозиции). Решением системы линейных уравнений

                                           

является сумма  решений систем уравнений

                                              

          Доказательство. Имеем

                                    

ч. т. д.

 Замечание. Теорема (9) верна и при , если ряд  сходится и допускает почленное дифференцирование.

Метод вариации постоянных.

Пусть  является при произвольных постоянных  общим решением соответствующей однородной системы с непрерывными коэффициентами

                                                                     (6)

и, следовательно,  - линейно независимые частные решения той же однородной системы. Решение неоднородной системы

                                                                     (9)

будем искать в виде

                 

где  - новые неизвестные функции. Подстановка в уравнение (9) дает

            

или т.к. , получим

                

Последнее уравнение эквивалентно системе

                                                                 (10)

Из этой системы n уравнений с n неизвестными  с определителем W, являющимся определителем Вронского для линейно независимых решений  и, следовательно, отличным от нуля, определяются все :

 

откуда, интегрируя, получим

 

Логарифмирование.

Натуральным логарифмом комплексного числа  называется показатель степени, в которую нужно возвести e, чтобы получилось это число, т.е.

 

если

 

и наоборот. Из последнего равенства следует

 

откуда   k=0,1,…

Т.е.  а

Окончательно

                                             (23)

Натуральный логарифм любого числа имеет бесчисленное множество значений (здесь z=0 – точка ветвления бесконечного порядка). Если мы потребуем, чтобы

         

то получим главное значение логарифма:

 

 Если U и V - два комплексных числа, то положим

        

т.е. комплексная степень комплексного числа имеет бесчисленное множество значений.


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5536. Соотношение растрового и векторного методов обработки графической информации 89.5 KB
  Векторная модель данных Векторная модель данных представляет географические объекты подобно тому, как это делают карты. Точки изображают географические объекты, которые слишком малы, чтобы быть представленными как линия или область. Линии представля...
5537. Построение естественных характеристик двигателя постоянного тока независимого возбуждения 44.95 KB
  Построение естественных характеристик двигателя постоянного тока независимого возбуждения Цель работы: Экспериментальное определение момента инерции электропривода Схема установки, электрооборудование и приборы: Для выполнения работы используется дв...
5538. Расчет естественных характеристик двигателя постоянного тока независимого возбуждения 146.01 KB
  Расчет естественных характеристик двигателя постоянного тока независимого возбуждения Цель работы: Экспериментальное построение естественных механических и электромеханических характеристик двигателя постоянного тока (ДПТ) независимого возбуждения, ...
5540. Історія України. Конспект лекцій. Історія України івд найдавніших часів до сьогодення 784.5 KB
  У конспекті лекцій висвітлено історію України від найдавніших часів до сьогодення. На основі джерел та аналізу історіографії авторським колективом лаконічно викладено основні віхи історії України: суспільно-політичні, соціально-економічні та культур...
5541. Теория сигналов и систем. Конспект лекций и практических занятий 1.67 MB
  Лекция 1. Введение в теорию сигналов Содержание 1. Общие сведения и понятия. 1.1 Понятие сигнала. 1.2 Шумы и помехи. 1.3 Размерность сигналов. 1.4 Математическое описание сигналов. 1.5 Спектральное представление сигналов. 1.1. Общие сведения и...
5542. Генетика микроорганизмов. Генетический материал бактерий 48 KB
  Генетика микроорганизмов Генетика - наука об изменчивости и наследственности организмов. Основателем учения об изменчивости и наследственности является Ч. Дарвин, доказавший в 1859 году, что все существующие виды растений и животных произошли из...
5543. Окончание холодной войны. Распад советского блока 33 KB
  Окончание холодной войны. Распад советского блока Советский Союз проиграл холодную войну, так как его экономика не выдержала колоссальных нагрузок. Поражение это поставило крест на идее мировой революции, которой жило советское руководство с 1917г...
5544. Рынок, рыночный механизм, субъекты рыночной экономики 76 KB
  Рынок, рыночный механизм, субъекты рыночной экономики Цель изучения темы: получить представление о сущности рынка и условиях его возникновения, уяснить основные элементы рыночного механизма и принципы их взаимодействия , изучить предпринимател...