21456

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Лекция

Математика и математический анализ

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Итак общее решение однородной системы 1 имеет вид 6 причем векторы 7 частные решения системы 1 которые могут быть получены следующим образом. Итак решения линейно...

Русский

2013-08-02

282 KB

5 чел.

Лекция 11.

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Система дифференциальных уравнений вида

               

или

       

в которой матрица  постоянна, называется линейной системой с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим сначала соответствующую однородную систему

                                                               (1)

или

                        .                                                                  (1a)

В линейной алгебре доказывается следующая

 Теорема. Пусть  - линейный оператор, действующий в n – мерном векторном пространстве V. Существует базис (состоящий из собственных и присоединенных1 векторов оператора ),  в котором матрица A оператора   имеет так называемую каноническую жорданову форму

                    ,                                                (2)

где клетка  представляет собой следующею матрицу (жорданов блок)

                                                                 (3)

размера , причем

                                       ,                                                     (3a)

а  – корень характеристического уравнения

                                                                          (4)

Если все корни  уравнения (4) различны, то матрица A приводится к диагональному виду (все ).

 Пример приведения матрицы к жордановой форме.

Пусть в некотором базисе

 

Характеристическое уравнение

,

следовательно, существуют два линейно независимых собственных вектора , соответствующих собственному значению . Далее,

            ,

следовательно, существует одномерное подпространство, соответствующее собственному значению , т.е. нужен ещё один присоединенный вектор для образования базиса в рассматриваемом пространстве (напомним, что если   корень характеристического уравнения  кратности  а  ранг матрицы , то собственных векторов , а присоединенных ). Поэтому жорданова форма матрицы А будет

.

Пусть В – невырожденная матрица замены базиса, в результате которой матрица A принимает жорданову или диагональную форму. Если через  мы обозначим вектор X в новом базисе, то, как известно

                                                                                               (5)

Подставляя (5) в (1), получим

                                                                                 (1а)

В уравнении (1а) матрица   теперь либо диагональная (в случае различных ), либо жорданова. Рассмотрим сначала случай, когда все корни  уравнения (4) различны. В этом случае система (1а) имеет следующий вид

                                                                              (1б)

Решая уравнение (1б), имеем    где

В соответствии с (5) для вектора X в исходном базисе имеем

                                                        (6)

Векторы

являются, как известно, собственными векторами оператора, соответствующи-ми собственным значениям .

Итак, общее решение однородной системы (1) имеет вид (6), причем векторы

                                  -                                                      (7)                                                

частные решения системы (1), которые могут быть получены следующим образом. Подставим в уравнение (1) выражение (7), в котором  заменим на пока неопределенный параметр . В результате получим

                              

или

                                                                                        (8)

где  – неопределенный пока вектор столбец, I – единичная матрица. Для того чтобы уравнение (8) имело нетривиальные решения (собственный вектор ), необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство (4). Найдя корни  характеристического уравнения (4), из (8) найдем соответствующие собственные векторы . В результате получим набор частных решений вида (7). Векторы  в случае различных  линейно независимы. Покажем, что и  также линейно независимы.

Пусть

                              

т.е.

                                                                                              (9)

Тогда в силу линейной независимости функций  на отрезке [a, b] (см. выше), из (9) следовало бы, что

                                                   (10)

Но т.к. при каждом j хотя бы одно из чисел  отлично от нуля, то из (10) следует, что  для .

         Итак, решения  линейно независимы, и общее решение системы (1) имеет вид (6), где  - произвольные постоянные.

Составляющие  вектора  определяются из (8) неоднозначно, т.к. определитель (8) равен нулю, а, следовательно, по крайней мере, одно из уравнений системы (8) является следствием остальных. Эта неоднозначность связана с тем, что решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений остается таковым при умножении на произвольный постоянный множитель.

 Комплексному корню характеристического уравнения (4)  соответствует комплексное решение вида (7), которое, если все коэффициенты  действительные, может быть заменено двумя действительными решениями:  и . Комплексно сопряженный корень  не дает новых линейно независимых решений.

Прейдем теперь к случаю, когда уравнение (4) имеет кратные корни. В этом случае, как отмечено выше, матрица A приводится к жордановой форме  (2). При этом в системе (1а) «связанными» оказываются лишь составляющие вектора  в пределах одной жордановой ячейки. Рассмотрим поэтому систему вида

                                      

т.е.

                                                                                 (11)

в которой, как это следует из (3а) , где – кратность корня .

Система (11) легко решается:   

откуда, полагая ,   получаем , т.е.

.

Поступая аналогично, будем иметь   …

                    .           (12)

Таким образом, решение имеет следующий вид

                                                               (12а)

Систему частных решений, получим из (12а), полагая один из коэффициентов , а остальные – нулю. Объединяя эти частные решения в матрицу (Вронского), получим

Определитель Вронского этой системы решений  будет равен

        

Соответствующие частные решения системы (1) в исходном базисе также будут линейно независимы в силу невырожденности матрицы В. Из (12) и (5) следует, что общее решение системы (1) имеет, вообще говоря, следующий вид

                                                                    (13)

причем

                        .              (14)

Из выражений (13) и (14) следует, что на практике для нахождения общего решения системы (1) следует для каждого корня  характеристического уравнения (4) составить выражения вида (14), т.е.

                                                            (14a)

с неопределенными коэффициентами  и подставить их в систему (1). В результате мы получим алгебраическую систему для нахождения . Число неизвестных, остающихся произвольными при решении этой системы, не более кратности корня.

Пример.

                                                 (15)

Характеристическое уравнение

имеет корни:

Поэтому . Подставляя в (15), получим

                                 

откуда: , т.е. .

Для двукратного корня в соответствии с (14а)  

                                   

Подставив в (15) и сокращая на , имеем

          

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим

                        

Вторая из выписанных систем позволяет определить составляющие собственного вектора матрицы исходной системы дифференциальных уравнений, а первая – присоединенного.

   Из правого столбца, полагая , имеем: . Тогда из левого столбца, полагая , имеем  

                       

Итак, общее решение имеет вид:

     

1) Вектор  называется присоединенным вектором порядка m оператора, соответствующим собственному значению , если , т.е.  – собственный вектор оператора ).

ч. т. д.

 Замечание. Теорема (9) верна и при , если ряд  сходится и допускает почленное дифференцирование.

Метод вариации постоянных.

Пусть  является при произвольных постоянных  общим решением соответствующей однородной системы с непрерывными коэффициентами

                                                                     (6)

и, следовательно,  - линейно независимые частные решения той же однородной системы. Решение неоднородной системы

                                                                     (9)

будем искать в виде

                 

где  - новые неизвестные функции. Подстановка в уравнение (9) дает

            

или т.к. , получим

                

Последнее уравнение эквивалентно системе

                                                                 (10)

Из этой системы n уравнений с n неизвестными  с определителем W, являющимся определителем Вронского для линейно независимых решений  и, следовательно, отличным от нуля, определяются все :

 

откуда, интегрируя, получим

 

Логарифмирование.

Натуральным логарифмом комплексного числа  называется показатель степени, в которую нужно возвести e, чтобы получилось это число, т.е.

 

если

 

и наоборот. Из последнего равенства следует

 

откуда   k=0,1,…

Т.е.  а

Окончательно

                                             (23)

Натуральный логарифм любого числа имеет бесчисленное множество значений (здесь z=0 – точка ветвления бесконечного порядка). Если мы потребуем, чтобы

         

то получим главное значение логарифма:

 

 Если U и V - два комплексных числа, то положим

        

т.е. комплексная степень комплексного числа имеет бесчисленное множество значений.


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74866. Исторические песни о событиях 16-17 веков 111.49 KB
  Исторические песни как эпический жанр очень близки к былинам но все же отличны от былин по содержанию форме. Термин исторические песни является не народным он введен исследователями фольклора. Чаще всего люди не занимающиеся фольклористикой не выделяют исторические песни как особый жанр называют наравне с былинами старинастаринка.
74867. Духовные стихи и песни (темы, образы, сюжеты, стиль) 109.26 KB
  Основа Духовных стихов книжные повести церковного происхождения источник Священное Писание. Функции Духовных стихов Назидательная Дидактическая Форма исполнения: песенная этим отличается от легенды. Духовные стихи в отношении формы и стиля делятся на Лирические Эпические более древние Общим для лирических эпических и лироэпических стихов является их несомненная зависимость от книжных источников...
74868. Предания. Бывальщины. Былички. Народная демонология 129.68 KB
  Определение жанра как устного повествования о событиях выпадающих из хода повседневной жизни: стихийные бедствия социальные аномалии в том числе войны экстремальные жизненные ситуации в быту на работе на промысле в дороге. Проблема обособления бывальщины как фольклорного жанра в ряду бытовых рассказов. Связь бывальщины с другими жанрами сказками и др. Тематический спектр жанра: рассказы о встречах взаимоотношениях с домовым банником водяным лешим русалкой чертом покойником; о колдунах проклятых; о кладах; о гаданиях и...
74869. Основные понятия финансового менеджмента 1.06 MB
  Основные понятия финансового менеджмента Понятие финансового менеджмента: принципы цели задачи и функции Обеспечение финансового менеджмента Базовые концепции финансового менеджмента Финансовый менеджмент представляет собой систему принципов и методов разработки и реализации управленческих решений связанных с формированием распределением и использованием финансовых ресурсов предприятия и организацией оборота его денежных средств. В какой бы сфере деятельности предприятия не принималось управленческое решение оно прямо или косвенно...
74870. Финансовая стратегия предприятия 969 KB
  Финансовая стратегия предприятия Понятие финансовой стратегии и методы ее разработки Стратегический финансовый анализ и методы его осуществления. Оценка разработанной стратегии Управление и контроль реализации финансовой стратегии. Понятие финансовой стратегии и методы ее разработки Финансовая стратегия представляет собой один из важнейших видов функциональной стратегии предприятия обеспечивающей все основные направления развития его финансовой деятельности и финансовых отношений путем формирования долгосрочных финансовых целей выбора...
74871. Управление капиталом предприятия 1.59 MB
  Управление капиталом предприятия Экономическая природа капитала. Понятие капитала и цены капитала. Оптимизация структуры капитала Оценка стоимости элементов капитала Управление эмиссией акций Управление формированием операционной прибыли Управление финансовым лизингом Управление облигационным займом Управление банковским кредитом Управление коммерческим кредитом Управление внутренней кредиторской задолженностью...
74872. Управление денежными потоками 231 KB
  Управление денежными потоками Сущность и классификация денежных потоков предприятия Особенности управления денежными потоками Направления оптимизации денежных потоков Сущность и классификация денежных потоков предприятия Денежный поток предприятия представляет собой совокупность распределенных по отдельным интервалам рассматриваемого периода времени поступлений и выплат денежных средств генерируемых его хозяйственной деятельностью. Классификация денежных потоков По видам хозяйственной деятельности в соответствии с международными...
74873. Управление финансовыми рисками 366.5 KB
  Управление финансовыми рисками Сущность и классификация финансовых рисков Финансовый риск представляет собой результат менеджерами предприятия альтернативного финансового решения направленного на достижение желаемого целевого результата финансовой деятельности при вероятности понесения финансовых потерь в силу неопределенности условий его реализации. Этот классификационный признак является основным параметром дифференциации финансовых рисков в процессе управления ими. Характеристика конкретного вида риска одновременно дает представление о...
74874. Управление активами предприятия 1.34 MB
  Управление активами предприятия Сущность и классификация активов предприятия Принципы формирования активов предприятия Состав внеоборотных активов и особенности управления. Управление обновлением внеоборотных активов Состав и особенности управления оборотными активами Управление запасами Управление текущей дебиторской задолженностью Управление денежными активами...