21456

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Лекция

Математика и математический анализ

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Итак общее решение однородной системы 1 имеет вид 6 причем векторы 7 частные решения системы 1 которые могут быть получены следующим образом. Итак решения линейно...

Русский

2013-08-02

282 KB

5 чел.

Лекция 11.

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Система дифференциальных уравнений вида

               

или

       

в которой матрица  постоянна, называется линейной системой с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим сначала соответствующую однородную систему

                                                               (1)

или

                        .                                                                  (1a)

В линейной алгебре доказывается следующая

 Теорема. Пусть  - линейный оператор, действующий в n – мерном векторном пространстве V. Существует базис (состоящий из собственных и присоединенных1 векторов оператора ),  в котором матрица A оператора   имеет так называемую каноническую жорданову форму

                    ,                                                (2)

где клетка  представляет собой следующею матрицу (жорданов блок)

                                                                 (3)

размера , причем

                                       ,                                                     (3a)

а  – корень характеристического уравнения

                                                                          (4)

Если все корни  уравнения (4) различны, то матрица A приводится к диагональному виду (все ).

 Пример приведения матрицы к жордановой форме.

Пусть в некотором базисе

 

Характеристическое уравнение

,

следовательно, существуют два линейно независимых собственных вектора , соответствующих собственному значению . Далее,

            ,

следовательно, существует одномерное подпространство, соответствующее собственному значению , т.е. нужен ещё один присоединенный вектор для образования базиса в рассматриваемом пространстве (напомним, что если   корень характеристического уравнения  кратности  а  ранг матрицы , то собственных векторов , а присоединенных ). Поэтому жорданова форма матрицы А будет

.

Пусть В – невырожденная матрица замены базиса, в результате которой матрица A принимает жорданову или диагональную форму. Если через  мы обозначим вектор X в новом базисе, то, как известно

                                                                                               (5)

Подставляя (5) в (1), получим

                                                                                 (1а)

В уравнении (1а) матрица   теперь либо диагональная (в случае различных ), либо жорданова. Рассмотрим сначала случай, когда все корни  уравнения (4) различны. В этом случае система (1а) имеет следующий вид

                                                                              (1б)

Решая уравнение (1б), имеем    где

В соответствии с (5) для вектора X в исходном базисе имеем

                                                        (6)

Векторы

являются, как известно, собственными векторами оператора, соответствующи-ми собственным значениям .

Итак, общее решение однородной системы (1) имеет вид (6), причем векторы

                                  -                                                      (7)                                                

частные решения системы (1), которые могут быть получены следующим образом. Подставим в уравнение (1) выражение (7), в котором  заменим на пока неопределенный параметр . В результате получим

                              

или

                                                                                        (8)

где  – неопределенный пока вектор столбец, I – единичная матрица. Для того чтобы уравнение (8) имело нетривиальные решения (собственный вектор ), необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство (4). Найдя корни  характеристического уравнения (4), из (8) найдем соответствующие собственные векторы . В результате получим набор частных решений вида (7). Векторы  в случае различных  линейно независимы. Покажем, что и  также линейно независимы.

Пусть

                              

т.е.

                                                                                              (9)

Тогда в силу линейной независимости функций  на отрезке [a, b] (см. выше), из (9) следовало бы, что

                                                   (10)

Но т.к. при каждом j хотя бы одно из чисел  отлично от нуля, то из (10) следует, что  для .

         Итак, решения  линейно независимы, и общее решение системы (1) имеет вид (6), где  - произвольные постоянные.

Составляющие  вектора  определяются из (8) неоднозначно, т.к. определитель (8) равен нулю, а, следовательно, по крайней мере, одно из уравнений системы (8) является следствием остальных. Эта неоднозначность связана с тем, что решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений остается таковым при умножении на произвольный постоянный множитель.

 Комплексному корню характеристического уравнения (4)  соответствует комплексное решение вида (7), которое, если все коэффициенты  действительные, может быть заменено двумя действительными решениями:  и . Комплексно сопряженный корень  не дает новых линейно независимых решений.

Прейдем теперь к случаю, когда уравнение (4) имеет кратные корни. В этом случае, как отмечено выше, матрица A приводится к жордановой форме  (2). При этом в системе (1а) «связанными» оказываются лишь составляющие вектора  в пределах одной жордановой ячейки. Рассмотрим поэтому систему вида

                                      

т.е.

                                                                                 (11)

в которой, как это следует из (3а) , где – кратность корня .

Система (11) легко решается:   

откуда, полагая ,   получаем , т.е.

.

Поступая аналогично, будем иметь   …

                    .           (12)

Таким образом, решение имеет следующий вид

                                                               (12а)

Систему частных решений, получим из (12а), полагая один из коэффициентов , а остальные – нулю. Объединяя эти частные решения в матрицу (Вронского), получим

Определитель Вронского этой системы решений  будет равен

        

Соответствующие частные решения системы (1) в исходном базисе также будут линейно независимы в силу невырожденности матрицы В. Из (12) и (5) следует, что общее решение системы (1) имеет, вообще говоря, следующий вид

                                                                    (13)

причем

                        .              (14)

Из выражений (13) и (14) следует, что на практике для нахождения общего решения системы (1) следует для каждого корня  характеристического уравнения (4) составить выражения вида (14), т.е.

                                                            (14a)

с неопределенными коэффициентами  и подставить их в систему (1). В результате мы получим алгебраическую систему для нахождения . Число неизвестных, остающихся произвольными при решении этой системы, не более кратности корня.

Пример.

                                                 (15)

Характеристическое уравнение

имеет корни:

Поэтому . Подставляя в (15), получим

                                 

откуда: , т.е. .

Для двукратного корня в соответствии с (14а)  

                                   

Подставив в (15) и сокращая на , имеем

          

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим

                        

Вторая из выписанных систем позволяет определить составляющие собственного вектора матрицы исходной системы дифференциальных уравнений, а первая – присоединенного.

   Из правого столбца, полагая , имеем: . Тогда из левого столбца, полагая , имеем  

                       

Итак, общее решение имеет вид:

     

1) Вектор  называется присоединенным вектором порядка m оператора, соответствующим собственному значению , если , т.е.  – собственный вектор оператора ).

ч. т. д.

 Замечание. Теорема (9) верна и при , если ряд  сходится и допускает почленное дифференцирование.

Метод вариации постоянных.

Пусть  является при произвольных постоянных  общим решением соответствующей однородной системы с непрерывными коэффициентами

                                                                     (6)

и, следовательно,  - линейно независимые частные решения той же однородной системы. Решение неоднородной системы

                                                                     (9)

будем искать в виде

                 

где  - новые неизвестные функции. Подстановка в уравнение (9) дает

            

или т.к. , получим

                

Последнее уравнение эквивалентно системе

                                                                 (10)

Из этой системы n уравнений с n неизвестными  с определителем W, являющимся определителем Вронского для линейно независимых решений  и, следовательно, отличным от нуля, определяются все :

 

откуда, интегрируя, получим

 

Логарифмирование.

Натуральным логарифмом комплексного числа  называется показатель степени, в которую нужно возвести e, чтобы получилось это число, т.е.

 

если

 

и наоборот. Из последнего равенства следует

 

откуда   k=0,1,…

Т.е.  а

Окончательно

                                             (23)

Натуральный логарифм любого числа имеет бесчисленное множество значений (здесь z=0 – точка ветвления бесконечного порядка). Если мы потребуем, чтобы

         

то получим главное значение логарифма:

 

 Если U и V - два комплексных числа, то положим

        

т.е. комплексная степень комплексного числа имеет бесчисленное множество значений.


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

Интегрирующий множитель.

      В некоторых случаях левая часть уравнения

                                                                                (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е.     .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы). Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

Поэтому

,

т.е. - интегрирующий множитель).

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример 2.

                     .                                     (9)

Здесь . Действительно

                             ,

т.к.

                            ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

       

                      т.е.

                                                        .

Итак,

                                         

откуда окончательно имеем

                                             

Это решение удовлетворяет уравнению (9).

6

PAGE  9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58781. Уроки русского языка 1.42 MB
  Каждый раздел кроме правил заданий упражнений и текстов включает диалоги сквозных персонажей учебника. В разделе Состав слова внимание детей привлекается к структуре слова его устройству вводятся упражнения на словообразование.
58786. Социальный проект-программа «Уроки Трезвости» 499 KB
  Областная программа Уроки трезвости призвана дополнить воспитательно-профилактическую программу учебных заведений в сфере профилактики асоциальных явлений связанных с употреблением алкоголя табака и других наркотиков детьми и молодёжью.