21457

Матричная экспонента

Лекция

Математика и математический анализ

а матрица j й столбец которой есть решение системы 1а с начальными условиями т. матрица имеет вид и удовлетворяет уравнению Тогда вектор t решение системы 1а с начальным условием может быть записан в виде т. Запишем теперь jе решение уравнения 1а удовлетворяющее начальному условию где диагональная матрица вектор столбец коэффициентов и положим где матрица коэффициентов . Теперь окончательно имеем...

Русский

2013-08-02

394 KB

33 чел.

Лекция 12.

Матричная экспонента.

Решение системы (1а) предыдущей лекции   можно записать в виде

       

где  – вектор начальных значений, т.е.

, а  – матрица, j – й столбец которой есть решение системы (1а)

         

с начальными условиями , т.е. матрица   имеет вид

и удовлетворяет уравнению

Тогда вектор (t) – решение системы (1а) с начальным условием  может быть записан в виде

            ,

т.е. в виде

Пример.

Найти матрицу   для матрицы .

Решение:

Характеристическое уравнение:  имеет

корни , т.е. .

Система

                                 

при подстановке искомого решения дает:     

       .

Таким образом, .

Имеем: ;

Из условий

                 

получаем ,

откуда для   имеем:

 .

 Если все корни характеристического уравнения

 

различны, то для матрицы   можно получить другое представление. В самом деле, в этом случае решения  дифференциального уравнения (1а) линейно независимы. Запишем их в виде (7) предыдущей лекции, т.е.

     

где  - собственные векторы матрицы А, соответствующие собственным значениям , и образуем матрицу

.

Запишем теперь j-е решение  уравнения (1а)

         

удовлетворяющее начальному условию , где  – диагональная матрица,  - вектор столбец коэффициентов, и положим

                

где  – матрица коэффициентов .

Тогда при t=0 будем иметь

             

откуда .

Теперь окончательно имеем

             

где  – матрица, составленная из линейно независимых собственных векторов матрицы А, т.е. решений уравнения (8) предыдущей лекции

              

соответствующих различным собственным значениям .

Матрицы и дифференциальные уравнения. Дифференцирование и интегрирование векторных и матричных функций.

  1.  Вектор , составляющие которого  являются функциями некоторого параметра t, называется векторной функцией или просто функцией от t.
  2.  Векторная функция непрерывна, если все её составляющие в рассматриваемом интервале являются непрерывными функциями аргумента t.

    Аналогичные определения имеют место и для матричных функций.

  1.  Из определения разности двух векторов следует, что производная от вектора определяется как

                           т.е.      .                                       (1)

  1.  Подобным образом интеграл от  определяется как

      ,  т.е.                                   (2)                     

Аналогично вводятся производные и интегралы от матриц.

Рассмотрим линейную однородную систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

 .

В векторных обозначениях эта система имеет следующий вид

                                                                   (3)

где А – некоторая квадратная матрица.

Из приведенных выше определений следуют соотношения:

а)      .

б)     

 

в)      

    

г)        где  X – матрица;

        ;

д)      

Доказательство проведем методом математической индукции.

       

Пусть

             

       

Нормы векторов и матриц. Бесконечные ряды векторов и матриц.

Под нормой вектора или матрицы мы будем понимать неотрицательное число, ставящееся в соответствие вектору или матрице и удовлетворяющее определенным соотношениям (аксиомам нормы).

Норма вектора и матрицы обозначаются соответственно: .

Норма вектора и матрицы должна удовлетворять следующим соотношениям:

                                                     (4)

.       

Норма может быть определена с помощью различных соотношений, необходимо лишь, чтобы норма ненулевого вектора (матрицы) была отлична от нуля и удовлетворяла соотношениям (4). Для дальнейшего удобным будет следующее определение нормы:

                                                               (5)

                                                                                        (6)

Легко проверить, что при таком определении выполняются соотношения (4) и норма ненулевого вектора отлична от нуля. Легко также показать, что

                                                                   (7)          

                                                                            (8)

Под вектором  будем понимать вектор, i-я составляющая которого есть сумма ряда . Поэтому сходимость векторного ряда эквивалентна сходимость n одномерных рядов . Отсюда следует, что достаточным условием сходимости векторного ряда  является сходимость скалярного ряда .

Подобно этому матричный ряд вида  представляет собой  рядов, а для сходимости матричного ряда достаточно, чтобы сходился ряд .

Существование и единственность решения векторного дифференциального уравнения.

Соответствующая теорема была нами доказана ранее. Здесь мы её докажем в векторно-матричных обозначениях, что представляет самостоятельный интерес, т.к. в случае линейных систем решение существует и единственно на всем отрезке, где выполняются условия теоремы существования.

 Теорема 1. Если матрица А(t) непрерывна при , то решение векторного дифференциального уравнения

                                                               (3)

существует для всех , единственно и может быть записано в виде

                                                                               (9)

где X(t) – матрица, определенная единственным образом и удовлетворяющая матричному дифференциальному уравнению1 

                                                            (10)

      Для доказательства воспользуемся методом последовательных приближений. Рассмотрим вместо (10) эквивалентное интегральное уравнение

                                                                (11)

Положим

                                (12)

Имеем,

                                                (13)

В силу непрерывности A(t) на отрезке  существует такое число m, что

                                                                                      (14)

Тогда из (13) и (14) имеем

            (15)

Так как (см. (12))

                                              (16)

то, подставляя (16) в (15), последовательно получим

  .

Поэтому ряд

 

равномерно сходится на отрезке , а, следовательно,  равномерно стремится к некоторой матрице X(t), которая удовлетворяет (как видно при переходе в (12) к пределу при ) уравнению (11), а, следовательно, и (10).

Проверим, что (9) удовлетворяет уравнению (3):

             

Установим теперь единственность решения уравнения (10).

Предположим, что имеется ещё одно решение Y(t). Тогда Y(t) удовлетворяет (11), а поэтому

    

Отсюда имеем

                                     (17)

Т.к. матрицы Y и X дифференцируемы (это следует из (10) и непрерывности A(t)), а следовательно, непрерывны на отрезке , то существует

             

поэтому из (17) получим с учетом (14)

                                   (18)

Снова воспользовавшись (17), (18), будем иметь

                                           (19)

Продолжая эту процедуру, на n – ом шаге получим

          

Таким образом, при , получим , т.е. .

Матрица X называется фундаментальной матрицей системы (3) или матрицей Коши. Иногда матрицу X называют матрицантом системы (3). Для матрицанта X в соответствии с выше изложенным имеем следующий равномерно сходящийся на отрезке  ряд (см. (12)).

.    (20)

Легко убедиться, что матрицант (20) удовлетворяет уравнению

                                                                  (10)

Матричная экспонента.

 

      Рассмотрим ряд (20), в котором A – постоянная матрица. Мы получим

                 .                         (21)

По аналогии с соответствующим функциональным рядом ряд (21) называют матричной экспонентой и обозначают

                         .                                       (22)

В силу (10)

 

Имеет место следующая

 Теорема 2. Матричный ряд (22) существует для всех матриц А при любом фиксированном t, и для фиксированной матрицы А он равномерно сходится в любой конечной области комплексной плоскости t.

Доказательство. Имеем

                                                                  (23)

Из (23) видно, что ряд (22) мажорируется равномерно сходящимся рядом (разложением экспоненты ) и, следовательно, сам равномерно сходится в любой конечной области плоскости t. Ч. т. д.

Для матричной экспоненты имеет место тождество

                                                                            (24)

В самом деле,

      

Полагая в (24) , имеем

                                                                       (25)

Следовательно, матрица  всегда невырождена и её обратная равна . Это матричный аналог того, что скалярная экспонента никогда не обращается в нуль. Рассмотрим теперь матрицу

         

а также матрицу

     

Мы видим, что

       

Следовательно, равенство

         

справедливо лишь для тех матриц, для которых AB=BA, т.е. когда матрицы A и B коммутируют.

Неоднородное векторное дифференциальное уравнение.

  1.  Случай системы с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим задачу решения неоднородной системы

                                                                   (1)

где А – постоянная матрица. Умножим уравнение (1) слева на матрицу :

                            

(т.к. А и  коммутируют), следовательно,

                                 

откуда

                                                                             (2)

  1.  Система с переменными коэффициентами.

Пусть теперь требуется найти решение системы

                                                                      (3)

Воспользуемся методом вариации постоянных и будем искать решение уравнения (3) в виде

                                                                                                             (4)

где  – переменный вектор, а X(t) – фундаментальная матрица (матрицант) соответствующей однородной системы, т.е. решение  уравнения

                                                                     (5)

Подставим (4) в (3), тогда получим (с учетом (5))

откуда

а, следовательно,

                                                                                     (6)

(, см. (4)).

Матрица X невырождена, т.к. она составлена из линейно независимых векторов2. Интегрируя (6), получим

Таким образом, окончательно имеем

                                                          (7)

Формула (7) является обобщением соотношения (2).

Рассмотрим матрицу

Имеем

Итак, Y(s,t) есть решение сопряженной задачи:

Неоднородное уравнение. Сопряженная система.

Неоднородное уравнение (3) может быт решено также другим способом.

Пусть Y(t) – переменная неопределенная пока матрица. Умножим на неё уравнение (3) слева

                                                                    (8)

Проинтегрируем выражение (8) в пределах от 0 до t, причем выражение слева проинтегрируем по частям

                         (9)

В последнем соотношении положим , поскольку общее решение уравнения (3) мы получим, прибавив к частному решению слагаемое .

Т.к. нашей целью является получение решения , то наложим на матрицу Y наиболее удобное для нас требование, а именно, пусть

                                              (10)

Матрица Y окажется теперь функцией s и t, т.е. Y=Y(s,t) и Y(t,t)=I.

С учетом (10) из (9) будем иметь

                                                                           (11)

Система (10) называется сопряженной системе (5). Из общей теоремы существования и единственности следует, что уравнение (10) имеет единственное решение.

Легко убедиться, что

                                                                                     (12)

где C – постоянная матрица. В самом деле,

Найдем эту матрицу C. Из (12) следует, что

поэтому

откуда . Таким образом,

                                                                                            (12а)

Уместно сравнить изложенный подход с методом функции влияния.

1) Матрица X состоит из n линейно независимых вектор-столбцов решений уравнения (3), поэтому n уравнений (3) (для каждого из линейно независимых векторов) эквивалентны уравнению (10).


2)  Число линейно независимых векторов ровно n, т.к. если их было бы меньше, чем n, то нарушилась бы теорема существования.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9949. Большие интегральные схемы 147 KB
  Большие интегральные схемы Учебные, методические и воспитательные цели: 1. Изучить проблемы повышения степени интеграции, базовые матричные кристаллы. 2. Совершенствовать умение выделять главное для качестве...
9950. Территориальная организация местного самоуправления 67 KB
  Территориальная организация местного самоуправления. Понятие и виды муниципальных образований в РФ. Критерии создания муниципальных образований. Изменения границ муниципальных образований. Понятие и виды муниципальных образований в...
9951. Банкротство. О несостоятельности (банкротстве) 39 KB
  Банкротство. ФЗ О несостоятельности (банкротстве) 2002 года. 2/3 этого закона нам сейчас не потребуется, даже больше, наверное У нас задача - освоить специфику терминологии, понять, что и как В общем, извлечь материальное из по большей части ...
9957. Организационно-правовые формы коммерческих компаний 39.5 KB
  Организационно-правовые формы коммерческих компаний. Общество с дополнительной ответственностью: Внося деньги в уставной капитал...