21457

Матричная экспонента

Лекция

Математика и математический анализ

а – матрица j – й столбец которой есть решение системы 1а с начальными условиями т. матрица имеет вид и удовлетворяет уравнению Тогда вектор t – решение системы 1а с начальным условием может быть записан в виде т. Запишем теперь jе решение уравнения 1а удовлетворяющее начальному условию где – диагональная матрица вектор столбец коэффициентов и положим где – матрица коэффициентов . Теперь окончательно имеем...

Русский

2013-08-02

394 KB

31 чел.

Лекция 12.

Матричная экспонента.

Решение системы (1а) предыдущей лекции   можно записать в виде

       

где  – вектор начальных значений, т.е.

, а  – матрица, j – й столбец которой есть решение системы (1а)

         

с начальными условиями , т.е. матрица   имеет вид

и удовлетворяет уравнению

Тогда вектор (t) – решение системы (1а) с начальным условием  может быть записан в виде

            ,

т.е. в виде

Пример.

Найти матрицу   для матрицы .

Решение:

Характеристическое уравнение:  имеет

корни , т.е. .

Система

                                 

при подстановке искомого решения дает:     

       .

Таким образом, .

Имеем: ;

Из условий

                 

получаем ,

откуда для   имеем:

 .

 Если все корни характеристического уравнения

 

различны, то для матрицы   можно получить другое представление. В самом деле, в этом случае решения  дифференциального уравнения (1а) линейно независимы. Запишем их в виде (7) предыдущей лекции, т.е.

     

где  - собственные векторы матрицы А, соответствующие собственным значениям , и образуем матрицу

.

Запишем теперь j-е решение  уравнения (1а)

         

удовлетворяющее начальному условию , где  – диагональная матрица,  - вектор столбец коэффициентов, и положим

                

где  – матрица коэффициентов .

Тогда при t=0 будем иметь

             

откуда .

Теперь окончательно имеем

             

где  – матрица, составленная из линейно независимых собственных векторов матрицы А, т.е. решений уравнения (8) предыдущей лекции

              

соответствующих различным собственным значениям .

Матрицы и дифференциальные уравнения. Дифференцирование и интегрирование векторных и матричных функций.

  1.  Вектор , составляющие которого  являются функциями некоторого параметра t, называется векторной функцией или просто функцией от t.
  2.  Векторная функция непрерывна, если все её составляющие в рассматриваемом интервале являются непрерывными функциями аргумента t.

    Аналогичные определения имеют место и для матричных функций.

  1.  Из определения разности двух векторов следует, что производная от вектора определяется как

                           т.е.      .                                       (1)

  1.  Подобным образом интеграл от  определяется как

      ,  т.е.                                   (2)                     

Аналогично вводятся производные и интегралы от матриц.

Рассмотрим линейную однородную систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

 .

В векторных обозначениях эта система имеет следующий вид

                                                                   (3)

где А – некоторая квадратная матрица.

Из приведенных выше определений следуют соотношения:

а)      .

б)     

 

в)      

    

г)        где  X – матрица;

        ;

д)      

Доказательство проведем методом математической индукции.

       

Пусть

             

       

Нормы векторов и матриц. Бесконечные ряды векторов и матриц.

Под нормой вектора или матрицы мы будем понимать неотрицательное число, ставящееся в соответствие вектору или матрице и удовлетворяющее определенным соотношениям (аксиомам нормы).

Норма вектора и матрицы обозначаются соответственно: .

Норма вектора и матрицы должна удовлетворять следующим соотношениям:

                                                     (4)

.       

Норма может быть определена с помощью различных соотношений, необходимо лишь, чтобы норма ненулевого вектора (матрицы) была отлична от нуля и удовлетворяла соотношениям (4). Для дальнейшего удобным будет следующее определение нормы:

                                                               (5)

                                                                                        (6)

Легко проверить, что при таком определении выполняются соотношения (4) и норма ненулевого вектора отлична от нуля. Легко также показать, что

                                                                   (7)          

                                                                            (8)

Под вектором  будем понимать вектор, i-я составляющая которого есть сумма ряда . Поэтому сходимость векторного ряда эквивалентна сходимость n одномерных рядов . Отсюда следует, что достаточным условием сходимости векторного ряда  является сходимость скалярного ряда .

Подобно этому матричный ряд вида  представляет собой  рядов, а для сходимости матричного ряда достаточно, чтобы сходился ряд .

Существование и единственность решения векторного дифференциального уравнения.

Соответствующая теорема была нами доказана ранее. Здесь мы её докажем в векторно-матричных обозначениях, что представляет самостоятельный интерес, т.к. в случае линейных систем решение существует и единственно на всем отрезке, где выполняются условия теоремы существования.

 Теорема 1. Если матрица А(t) непрерывна при , то решение векторного дифференциального уравнения

                                                               (3)

существует для всех , единственно и может быть записано в виде

                                                                               (9)

где X(t) – матрица, определенная единственным образом и удовлетворяющая матричному дифференциальному уравнению1 

                                                            (10)

      Для доказательства воспользуемся методом последовательных приближений. Рассмотрим вместо (10) эквивалентное интегральное уравнение

                                                                (11)

Положим

                                (12)

Имеем,

                                                (13)

В силу непрерывности A(t) на отрезке  существует такое число m, что

                                                                                      (14)

Тогда из (13) и (14) имеем

            (15)

Так как (см. (12))

                                              (16)

то, подставляя (16) в (15), последовательно получим

  .

Поэтому ряд

 

равномерно сходится на отрезке , а, следовательно,  равномерно стремится к некоторой матрице X(t), которая удовлетворяет (как видно при переходе в (12) к пределу при ) уравнению (11), а, следовательно, и (10).

Проверим, что (9) удовлетворяет уравнению (3):

             

Установим теперь единственность решения уравнения (10).

Предположим, что имеется ещё одно решение Y(t). Тогда Y(t) удовлетворяет (11), а поэтому

    

Отсюда имеем

                                     (17)

Т.к. матрицы Y и X дифференцируемы (это следует из (10) и непрерывности A(t)), а следовательно, непрерывны на отрезке , то существует

             

поэтому из (17) получим с учетом (14)

                                   (18)

Снова воспользовавшись (17), (18), будем иметь

                                           (19)

Продолжая эту процедуру, на n – ом шаге получим

          

Таким образом, при , получим , т.е. .

Матрица X называется фундаментальной матрицей системы (3) или матрицей Коши. Иногда матрицу X называют матрицантом системы (3). Для матрицанта X в соответствии с выше изложенным имеем следующий равномерно сходящийся на отрезке  ряд (см. (12)).

.    (20)

Легко убедиться, что матрицант (20) удовлетворяет уравнению

                                                                  (10)

Матричная экспонента.

 

      Рассмотрим ряд (20), в котором A – постоянная матрица. Мы получим

                 .                         (21)

По аналогии с соответствующим функциональным рядом ряд (21) называют матричной экспонентой и обозначают

                         .                                       (22)

В силу (10)

 

Имеет место следующая

 Теорема 2. Матричный ряд (22) существует для всех матриц А при любом фиксированном t, и для фиксированной матрицы А он равномерно сходится в любой конечной области комплексной плоскости t.

Доказательство. Имеем

                                                                  (23)

Из (23) видно, что ряд (22) мажорируется равномерно сходящимся рядом (разложением экспоненты ) и, следовательно, сам равномерно сходится в любой конечной области плоскости t. Ч. т. д.

Для матричной экспоненты имеет место тождество

                                                                            (24)

В самом деле,

      

Полагая в (24) , имеем

                                                                       (25)

Следовательно, матрица  всегда невырождена и её обратная равна . Это матричный аналог того, что скалярная экспонента никогда не обращается в нуль. Рассмотрим теперь матрицу

         

а также матрицу

     

Мы видим, что

       

Следовательно, равенство

         

справедливо лишь для тех матриц, для которых AB=BA, т.е. когда матрицы A и B коммутируют.

Неоднородное векторное дифференциальное уравнение.

  1.  Случай системы с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим задачу решения неоднородной системы

                                                                   (1)

где А – постоянная матрица. Умножим уравнение (1) слева на матрицу :

                            

(т.к. А и  коммутируют), следовательно,

                                 

откуда

                                                                             (2)

  1.  Система с переменными коэффициентами.

Пусть теперь требуется найти решение системы

                                                                      (3)

Воспользуемся методом вариации постоянных и будем искать решение уравнения (3) в виде

                                                                                                             (4)

где  – переменный вектор, а X(t) – фундаментальная матрица (матрицант) соответствующей однородной системы, т.е. решение  уравнения

                                                                     (5)

Подставим (4) в (3), тогда получим (с учетом (5))

откуда

а, следовательно,

                                                                                     (6)

(, см. (4)).

Матрица X невырождена, т.к. она составлена из линейно независимых векторов2. Интегрируя (6), получим

Таким образом, окончательно имеем

                                                          (7)

Формула (7) является обобщением соотношения (2).

Рассмотрим матрицу

Имеем

Итак, Y(s,t) есть решение сопряженной задачи:

Неоднородное уравнение. Сопряженная система.

Неоднородное уравнение (3) может быт решено также другим способом.

Пусть Y(t) – переменная неопределенная пока матрица. Умножим на неё уравнение (3) слева

                                                                    (8)

Проинтегрируем выражение (8) в пределах от 0 до t, причем выражение слева проинтегрируем по частям

                         (9)

В последнем соотношении положим , поскольку общее решение уравнения (3) мы получим, прибавив к частному решению слагаемое .

Т.к. нашей целью является получение решения , то наложим на матрицу Y наиболее удобное для нас требование, а именно, пусть

                                              (10)

Матрица Y окажется теперь функцией s и t, т.е. Y=Y(s,t) и Y(t,t)=I.

С учетом (10) из (9) будем иметь

                                                                           (11)

Система (10) называется сопряженной системе (5). Из общей теоремы существования и единственности следует, что уравнение (10) имеет единственное решение.

Легко убедиться, что

                                                                                     (12)

где C – постоянная матрица. В самом деле,

Найдем эту матрицу C. Из (12) следует, что

поэтому

откуда . Таким образом,

                                                                                            (12а)

Уместно сравнить изложенный подход с методом функции влияния.

1) Матрица X состоит из n линейно независимых вектор-столбцов решений уравнения (3), поэтому n уравнений (3) (для каждого из линейно независимых векторов) эквивалентны уравнению (10).


2)  Число линейно независимых векторов ровно n, т.к. если их было бы меньше, чем n, то нарушилась бы теорема существования.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21906. Введение в дистанционное зондирование. Восстановление (коррекция) видеоинформации. Предварительная обработка изображений. Классификация. Преобразование изображений 145.5 KB
  К настоящему времени накоплен огромный фонд более 100 миллионов аэрокосмических снимков полностью покрывающих всю поверхность Земли а для значительной части районов с многократным перекрытием. Геометрическая коррекция или трансформирование снимков предназначено для устранения искажений вызванных кривизной и вращением Земли а также углом наклона орбиты спутника к плоскости экватора. Часто для представления и совместной обработки материалов разных видов типов съемок а также разновременных снимков одной и той же территории используется...
21907. Отраслевые геоинформационные проекты 139.5 KB
  Создание карт распределения геологической продукции и информации: а по административным районам; б по геологическим структурам. Создание двумерных и трехмерных моделей подсчета запасов полезных ископаемых и карт в изолиниях. Персональные компьютеры в руках геолога представляют собой надежный инструмент который дает большие возможности как по созданию геологических отчетов геологических карт научных разработок так и по решению различных модельных задач по теории рудообразования геотектонике стратиграфии металлогении и т.
21908. Некоторые вопросы оценки качества цифровых карт 110 KB
  Для быстрой оценки точности цифровой карты необходимо проверить значения реальных координат объектов карты. Проверить значения координат в углах рамки карты. в зависимости от вида и масштаба карты. Если югозападный угол карты имеет неточную привязку то весьма вероятно что все объекты карты будут иметь координаты со сдвигом.
21909. История развития ГИС 77.5 KB
  Одна из наиболее интересных черт раннего развития ГИС особенно в шестидесятые годы заключается в том что первые инициативные проекты и исследования сами были ГЕОГРАФИЧЕСКИ РАСПРЕДЕЛЕНЫ по многим точкам причем эти работы осуществлялись независимо часто без упоминания и даже с игнорированием себе подобных. Возникновение и бурное развитие ГИС было предопределено богатейшим опытом топографического и особенно тематического картографирования успешными попытками автоматизировать картосоставительский процесс а также революционным достижениями...
21910. Классификация ГИС технологий 96.5 KB
  Множество задач решаемых современными ГИС научных прикладных образовательных наконец бытовых не поддается исчислению складываясь из необозримого числа достойных внимания и описания объектов реальности помноженных на разнообразие мотивов и целей человеческой деятельности. При всем многообразии типов ГИС возможна их классификация по нескольким основаниям: пространственному охвату объекту и предметной области информационного моделирования проблемной ориентации функциональным возможностям уровню управления и некоторым другим...
21911. Ввод данных в ГИС. Базовые структуры данных в ГИС. Представление пространственных данных. Структура геоинформационных систем 73 KB
  Базовые структуры данных в ГИС. Представление пространственных данных. Ввод данных в ГИС.
21912. Определение положения точек на поверхности Земли. Координатные данные. Взаимосвязи между координатными моделями. Определение положения точек на поверхности Земли 71 KB
  Определение положения точек на поверхности Земли Координатные данные составляющие один из основных классов геоинформационных данных используют для указания местоположения на земной поверхности Поверхность Земли имеет сложную форму. Эта информация образует класс координатных данных ГИС являющийся обязательной характеристикой геообъектов. Будучи частью классом общей модели данных в ГИС координатные данные определяют класс координатных моделей Основные типы координатных моделей Класс координатных моделей можно разбить на типы. При этом...
21913. Антенны с круговой диаграммой направленности 224 KB
  Наиболее широкое применение в этой группе получили антенны типа Ground Plane GP – рис.1 – Конструкция антенны GP Штыревая конструкция антенны удобна для размещения как на крыше здания так и на автомобиле.6 – Длина элементов антенны GP Диаметр трубки мм 2 6 20 40 Длина штыря l мм 2690 2670 2650 2620 Для нормальной работы антенны она снабжается тремя противовесами которые можно выполнить из трубки или антенного канатика.
21914. Направленные антенны. Полуволновой вибратор 375.5 KB
  Для обеспечения связи между двумя неподвижными станциями расстояние между которыми превышает дальнобойность антенн типа GP с успехом используют направленные антенны Волновой канал – рис. Эти антенны концентрируют максимум излучения в нужном направлении обеспечивая выигрыш как при передаче так и при приеме.1 – Антенны Волновой канал Описанные здесь антенны при горизонтальном расположении вибратора имеют горизонтальную поляризацию.