21709

Модуль Методы представления знаний: Нечеткая логика

Реферат

Информатика, кибернетика и программирование

Математический аппарат Характеристикой нечеткого множества выступает функция принадлежности Membership Function. Обозначим через MFcx – степень принадлежности к нечеткому множеству C представляющей собой обобщение понятия характеристической функции обычного множества. Значение MFcx=0 означает отсутствие принадлежности к множеству 1 – полную принадлежность. Так чай с температурой 60 С принадлежит к множеству 'Горячий' со степенью принадлежности 080.

Русский

2013-08-03

192 KB

42 чел.

Модуль Методы представления знаний: Нечеткая логика.

[1] Введение

[2] Математический аппарат

[3] Нечеткий логический вывод

[4] Операции с нечеткими множествами

[5] Пример

[6] Области применения нечеткой логики

Введение

Математическая теория нечетких множеств (fuzzy sets) и нечеткая логика (fuzzy logic) являются обобщениями классической теории множеств и классической формальной логики. Данные понятия были впервые предложены американским ученым Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) в 1965 г. Основной причиной появления новой теории стало наличие нечетких и приближенных рассуждений при описании человеком процессов, систем, объектов.

Прежде чем нечеткий подход к моделированию сложных систем получил признание во всем мире, прошло не одно десятилетие с момента зарождения теории нечетких множеств. И на этом пути развития нечетких систем принято выделять три периода.

Первый период (конец 60-х–начало 70 гг.) характеризуется развитием теоретического аппарата нечетких множеств (Л. Заде, Э. Мамдани, Беллман). Во втором периоде (70–80-е годы) появляются первые практические результаты в области нечеткого управления сложными техническими системами (парогенератор с нечетким управлением). Одновременно стало уделяться внимание вопросам построения экспертных систем, построенных на нечеткой логике, разработке нечетких контроллеров. Нечеткие экспертные системы для поддержки принятия решений находят широкое применение в медицине и экономике. Наконец, в третьем периоде, который длится с конца 80-х годов и продолжается в настоящее время, появляются пакеты программ для построения нечетких экспертных систем, а области применения нечеткой логики заметно расширяются. Она применяется в автомобильной, аэрокосмической и транспортной промышленности, в области изделий бытовой техники, в сфере финансов, анализа и принятия управленческих решений и многих других.

Триумфальное шествие нечеткой логики по миру началось после доказательства в конце 80-х Бартоломеем Коско знаменитой теоремы FAT (Fuzzy Approximation Theorem). В бизнесе и финансах нечеткая логика получила признание после того как в 1988 году экспертная система на основе нечетких правил для прогнозирования финансовых индикаторов единственная предсказала биржевой крах. И количество успешных фаззи-применений в настоящее время исчисляется тысячами.

Математический аппарат

Характеристикой нечеткого множества выступает функция принадлежности (Membership Function). Обозначим через MFc(x)  – степень принадлежности к нечеткому множеству C, представляющей собой обобщение понятия характеристической функции обычного множества. Тогда нечетким множеством С называется множество упорядоченных пар вида C={MFc(x)/x}, MFc(x) [0,1]. Значение MFc(x)=0 означает отсутствие принадлежности к множеству, 1  – полную принадлежность.

Проиллюстрируем это на простом примере. Формализуем неточное определение 'горячий чай'. В качестве x (область рассуждений) будет выступать шкала температуры в градусах Цельсия. Очевидно, что она будет изменяется от 0 до 100 градусов. Нечеткое множество для понятия 'горячий чай' может выглядеть следующим образом:

C={0/0; 0/10; 0/20; 0,15/30; 0,30/40; 0,60/50; 0,80/60; 0,90/70; 1/80; 1/90; 1/100}.

Так, чай с температурой 60 С принадлежит к множеству 'Горячий' со степенью принадлежности 0,80. Для одного человека чай при температуре 60 С может оказаться горячим, для другого  – не слишком горячим. Именно в этом и проявляется нечеткость задания соответствующего множества.

Для нечетких множеств, как и для обычных, определены основные логические операции. Самыми основными, необходимыми для расчетов, являются пересечение и объединение.

Пересечение двух нечетких множеств (нечеткое "И"): A B: MFAB(x)=min(MFA(x), MFB(x)).
Объединение двух нечетких множеств (нечеткое "ИЛИ"): A B: MFAB(x)=max(MFA(x), MFB(x)).

В теории нечетких множеств разработан общий подход к выполнению операторов пересечения, объединения и дополнения, реализованный в так называемых треугольных нормах и конормах. Приведенные выше реализации операций пересечения и объединения  – наиболее распространенные случаи t-нормы и t-конормы.

Для описания нечетких множеств вводятся понятия нечеткой и лингвистической переменных.

Нечеткая переменная описывается набором (N,X,A), где N  – это название переменной, X  – универсальное множество (область рассуждений), A  – нечеткое множество на X.
Значениями лингвистической переменной могут быть нечеткие переменные, т.е. лингвистическая переменная находится на более высоком уровне, чем нечеткая переменная. Каждая лингвистическая переменная состоит из:

названия;

множества своих значений, которое также называется базовым терм-множеством T. Элементы базового терм-множества представляют собой названия нечетких переменных;

универсального множества X;

синтаксического правила G, по которому генерируются новые термы с применением слов естественного или формального языка;

семантического правила P, которое каждому значению лингвистической переменной ставит в соответствие нечеткое подмножество множества X.

Рассмотрим такое нечеткое понятие как 'Цена акции'. Это и есть название лингвистической переменной. Сформируем для нее базовое терм-множество, которое будет состоять из трех нечетких переменных: 'Низкая', 'Умеренная', 'Высокая' и зададим область рассуждений в виде X=[100;200] (единиц). Последнее, что осталось сделать  – построить функции принадлежности для каждого лингвистического терма из базового терм-множества T.

Существует свыше десятка типовых форм кривых для задания функций принадлежности. Наибольшее распространение получили: треугольная, трапецеидальная и гауссова функции принадлежности.

Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел (a,b,c), и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению:

При (b-a)=(c-b) имеем случай симметричной треугольной функции принадлежности, которая может быть однозначно задана двумя параметрами из тройки (a,b,c).

Аналогично для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (a,b,c,d):

При (b-a)=(d-c) трапецеидальная функция принадлежности принимает симметричный вид.


Рисунок 1. Типовые кусочно-линейные функции принадлежности.

Функция принадлежности гауссова типа описывается формулой

и оперирует двумя параметрами. Параметр c обозначает центр нечеткого множества, а параметр отвечает за крутизну функции.


Рисунок 2. Гауссова функция принадлежности.

Совокупность функций принадлежности для каждого терма из базового терм-множества T обычно изображаются вместе на одном графике. На рисунке 3 приведен пример описанной выше лингвистической переменной 'Цена акции', на рисунке 4  – формализация неточного понятия 'Возраст человека'. Так, для человека 48 лет степень принадлежности к множеству 'Молодой' равна 0, 'Средний'  – 0,47, 'Выше среднего'  – 0,20.


Рисунок 3. Описание лингвистической переменной 'Цена акции'.


Рисунок 4. Описание лингвистической переменной 'Возраст'.

Количество термов в лингвистической переменной редко превышает 7.

Нечеткий логический вывод

Основой для проведения операции нечеткого логического вывода является база правил, содержащая нечеткие высказывания в форме 'Если-то' и функции принадлежности для соответствующих лингвистических термов. При этом должны соблюдаться следующие условия:

Существует хотя бы одно правило для каждого лингвистического терма выходной переменной.

Для любого терма входной переменной имеется хотя бы одно правило, в котором этот терм используется в качестве предпосылки (левая часть правила).

В противном случае имеет место неполная база нечетких правил.

Пусть в базе правил имеется m правил вида:
R1: ЕСЛИ x1 это A11 … И … xn это A1n, ТО y это B1

Ri: ЕСЛИ x1 это Ai1 … И … xn это Ain, ТО y это Bi

Rm: ЕСЛИ x1 это Ai1 … И … xn это Amn, ТО y это Bm,
где xk , k=1..n  – входные переменные; y  – выходная переменная; Aik  – заданные нечеткие множества с функциями принадлежности.

Результатом нечеткого вывода является четкое значение переменной y* на основе заданных четких значений xk , k=1..n.

В общем случае механизм логического вывода включает четыре этапа: введение нечеткости (фазификация), нечеткий вывод, композиция и приведение к четкости, или дефазификация (см. рисунок 5).


Рисунок 5. Система нечеткого логического вывода.

Алгоритмы нечеткого вывода различаются главным образом видом используемых правил, логических операций и разновидностью метода дефазификации. Разработаны модели нечеткого вывода Мамдани, Сугено, Ларсена, Цукамото.

Фаззификация - сопоставление множества значений х ее функции принадлежности М(х), т.е. перевод значений х в нечеткий формат (пример с термином молодой).

Дефаззификация - процесс, обратный фаззификации.

Все системы с нечеткой логикой функционируют по одному принципу: показания измерительных приборов фаззифицируются (переводятся в нечеткий формат), обрабатываются (см. ниже), дефаззифицируются и в виде привычных сигналов подаются на исполнительные устройства.

Степень принадлежности - это не вероятность , т.к. неизвестна функция распределения , нет повторяемости экспериментов. Так, если взять из рассмотренного ранее примера прогноза погоды два взаимоисключающих события: будет дождь и не будет и присвоить им некоторые ранги, то сумма этих рангов необязательно будет равна 1, но если равенство все-таки есть, то нечеткое множество считается нормированным. Значения функции принадлежности M(x) могут быть взяты только из априорных знаний , интуиции (опыта) , опроса экспертов.

Операции с нечеткими множествами

К нечетким множествам можно применять следующие операции:

1.объединение

2.пересечение

3.дополнение

4.концентрация

5.размывание (или размытие)

Пример 

В нечеткой логике вводится понятие лингвистической переменной, значениями которой являются не числа , а слова естественного языка , называемые термами. Например, в случае управления мобильным роботом можно ввести две лингвистические переменные: ДИСТАНЦИЯ (расстояние до помехи) и НАПРАВЛЕНИЕ (угол между продольной осью робота и направлением на помеху).

Рассмотрим лингвистическую переменную ДИСТАНЦИЯ. Значениями ее можно определить термыДАЛЕКО, СРЕДНЯЯ, БЛИЗКО и ОЧЕНЬ БЛИЗКО.Для физической реализации лингвистической переменной необходимо определить точные физические значения термов этой переменной. Пусть переменная ДИСТАНЦИЯ может принимать любое значение из диапазона от нуля до бесконечности. Согласно положениям теории нечетких множеств, в таком случае каждому значению расстояния из указанного диапазона может быть поставлено в соответствие некоторое число от нуля до единицы, которое определяет степень принадлежности данного физического расстояния (допустим 40 см) к тому или иному терму лингвистической переменнойДИСТАНЦИЯ Степень принадлежности определяется так называемой функцией принадлежности М(d), где d-расстояние до помехи. В нашем случае расстоянию 40 см. можно задать степень принадлежности к терму ОЧЕНЬ БЛИЗКО равную 0,7 , а к терму БЛИЗКО– 0,3 (см. рис.1.). Конкретное определение степени принадлежности может проходить только при работе с экспертами.


Рис.1. Лингвистическая переменная и функция принадлежности. 

ПеременнойНАПРАВЛЕНИЕ, которая может принимать значения в диапазоне от 0 до 360 градусов, зададим термыЛЕВОЕ, ПРЯМО И ПРАВОЕ.

Теперь необходимо задать выходные переменные. В рассматриваемом примере достаточно одной, которая будет называться РУЛЕВОЙ УГОЛ. Она может содержать термы: РЕЗКО ВЛЕВО, ВЛЕВО, ПРЯМО, ВПРАВО, РЕЗКО ВПРАВО. Связь между входом и выходом запоминается в таблице нечетких правил (рис.2.).


Рис.2. Таблица нечетких правил. 

Каждая запись в данной таблице соответствует своему нечеткому правилу, например:

Если ДИСТАНЦИЯ БЛИЗКО и НАПРАВЛЕНИЕ ПРАВОЕ, тогда РУЛЕВОЙ УГОЛ РЕЗКО ВЛЕВО

Таким образом, мобильный робот с нечеткой логикой будет работать по следующему принципу: данные с сенсоров о расстоянии до помехи и направлении на нее будут фаззифицированы, обработаны согласно табличным правилам, дефаззифицированы и полученные данные в виде управляющих сигналов поступят на привода робота.

Области применения нечеткой логики 

Когда только появилась теория нечеткой логики, в научных журналах можно было найти статьи, посвященные ее возможным областям применения. По мере продвижения разработок в данной области число практических применений для нечеткой логики начало быстро расти. В настоящее время нечеткие технологии становятся все более актуальными среди представителей самых различных профессий. Существует несколько причин, на основании которых отдают предпочтение применению систем именно с нечеткой логикой:

  •  эта логика концептуально легче для понимания;
  •  нечеткая логика - гибкая система и устойчива к неточным входным данным;
  •  она может моделировать нелинейные функции произвольной сложности;
  •  в данной логике учитывается опыт специалистов-экспертов;
  •  нечеткая логика основана на естественном языке человеческого общения.

Системы, основанные на нечеткой логике, разработаны и успешно внедрены в таких областях, как управление технологическими процессами, управление транспортом, управление бытовой техникой, медицинская и техническая диагностика, финансовый менеджмент, финансовый анализ, биржевое прогнозирование, распознавание образов, исследование рисковых и критических операций,  прогнозирование землетрясений, составление автобусных расписаний, климатический контроль в зданиях.

Многие современные задачи управления просто не могут быть решены классическими методами из-за очень большой сложности математических моделей, их описывающих.

Коротко перечислим отличительные особенности fuzzy-систем по сравнению с прочими:

  •  возможность оперировать входными данными, заданными нечетко: например, непрерывно изменяющиеся во времени значения (динамические задачи), значения, которые невозможно задать однозначно (результаты статистических опросов, рекламные компании и т.д.);
  •  возможность нечеткой формализации критериев оценки и сравнения: оперирование критериями "большинство", "возможно", предпочтительно" и т.д.;
  •  возможность проведения качественных оценок как входных данных, так и выводимых результатов: вы оперируете не только собственно значениями данных, но их степенью достоверности (не путать с вероятностью!) и ее распределением;
  •  возможность проведения быстрого моделирования сложных динамических систем и их сравнительный анализ с заданной степенью точности: оперируя принципами поведения системы, описанными fuzzy-методами, вы во-первых, не тратите много времени на выяснение точных значений переменных и составление уравнений, которые их описывают, во-вторых, можете оценить разные варианты выходных значений.  

Использование аппарата нечеткой логики рекомендуется:

  •  для очень сложных процессов, когда не существует простой математической модели;
  •  для нелинейных процессов высоких порядков;
  •  если должна производиться обработка (лингвистически сформулированных) экспертных знаний.

Использование аппарата нечеткой логики не  рекомендуется, если:

  •  приемлемый результат может быть получен с помощью общей теории управления;
  •  уже существует формализованная и адекватная математическая модель;
  •  проблема не разрешима.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73997. Основные особенности и этапы внешней политики СССР между двумя мировыми войнами 18.92 KB
  Основные особенности и этапы внешней политики СССР между двумя мировыми войнами. Условия возникновения Советского государства в рамках мировой и гражданской войн активного участия в этом процессе значительного числа иностранных государств и особенности большевистской идеологии с приоритетом в постановке задач общемировым устремлениям во многом обусловили цели и средства внешней политики СССР в 20 30х гг. С другой стороны СССР являлся наследником Российской империи с ее очевидными национальными и государственными интересами защита...
73998. Великая Отечественная война: крупнейшие военные операции 1941 – 1945 годов 21.99 KB
  Великой Отечественной войне первоначальный ход военных действий сложился крайне неблагоприятно для СССР. Суворовым идея неподготовленности СССР к войне оборонительной ввиду подготовки его к войне наступательной иными словами воскрешение еще Гитлером выдвинутой концепции превентивной вынужденной войны с целью обезопасить себя от нападения Красной Армии. Таким образом Советский Союз в упорной борьбе сумел одержать победу в Великой Отечественной и разделить успех с союзниками по антигитлеровской коалиции во II мировой войне. Полководческое...
73999. Деятельность тыла в Великой Отечественной войне. Партизанское движение в годы Великой Отечественной войны 17.77 KB
  Партизанское движение в годы Великой Отечественной войны. Благодаря высокому уровню централизации государственного хозяйства в первые же месяцы войны удалось обеспечить его перестройку на военномобилизационный лад. Успех во многом определялся удачной организацией управления страной в условиях войны: при всех своих издержках советская система как раз и была предназначена для действия в условиях чрезвычайных обстоятельств для быстрой и решительной мобилизации имеющихся ресурсов и их перераспределения в соответствии с первоочередными...
74000. СССР во 2-й половине 50 - 1-й половине 80-х гг. XX в. От попыток либерализации к всеобщему кризису 22.46 KB
  Первые послевоенные годы принесли мало изменений в функционирование политической системы СССР. Будучи отражением реальной потребности в мобилизации сил для быстрого завершения восстановительных работ централизация в то же время подошла к своему пределу за которым она теряла всякую эффективность что отчетливо проявилось в нарастании кризисных явлений во всех сферах жизни СССР в начале 50х гг. Все это подводило руководящие круги СССР к осознанию необходимости преобразований.
74001. Основные направления и этапы внешней политики СССР в годы «холодной войны» 19.09 KB
  Основные направления и этапы внешней политики СССР в годы холодной войны. Победа СССР в войне значительно изменило его международное положение. СССР принял участие в создании ООН где ему было определено место одного из постоянных членов Совета безопасности.президент США сформулировал доктрину Трумена меры против экспансии СССР.
74002. Перестройка 1985 – 1990 годов 22.31 KB
  Именно эти меры положили начало развалу политической системы СССР поскольку именно партийная вертикаль обеспечивала реальное функционирование политической системы; советские органы были властью сугубо номинальной а потому оказались не готовы к выполнению возложенных на них полномочий. когда оппозиции удалось добиться отмены 6й статьи Конституции СССР закрепляющей особую роль КПСС в государственной системе СССР и внушительного представительства в ряде...
74003. Становление новой российской государственности в 1990-е годах 18.55 KB
  Распавшийся Советский Союз оставил весьма сложное наследство России в виде экономического кризиса всеобщего социального недовольства и наконец отсутствия реальной российской государственности. В условиях краха умеренной и консервативной моделей периода перестройки вполне естественной была победа весьма радикальной для России концепции демократического либеральнорыночного государства с ориентацией на западные страны. В принципе основные направления реформ к моменту их осуществления в России были уже испытаны в ряде государств Восточной...
74004. Основные этапы развития исторической науки в России XVIII – начале XX веков 20.07 KB
  Главною заслугою Миллера было собирание материалов по русской истории; его рукописи так наз. И исследования Миллера имели значение он был одним из первых ученых заинтересовавшихся позднейшими эпохами нашей истории им посвящены его труды: Опыт новейшей истории России и Известие о дворянах Российских. видное место трудами по русской истории занял и М.
74005. Основные этапы развития советской исторической науки 23.2 KB
  Начало новому этапу в развитии марксистской исторической мысли положили труды В. И. Ленина. Особенно большое значение для И. имела разработка Лениным теоретико-методологических основ общественных наук (в том числе исторической науки)...