21722

МОДЕЛИ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ ЭМС

Лекция

Энергетика

Распределение экстремальных значений Пусть имеется случайная выборка объемом n взятая из бесконечной совокупности имеющей распределение Fx где х непрерывная случайная величина.1 Так как разрушение материала связано с существованием наиболее слабой точки в работах по теории надежности рассматривается распределение экстремальных значений. Здесь будет рассмотрено распределение наименьших значений однако этот подход может быть использован и при выводе распределений наибольших значений. Функция распределения наименьших значений функция...

Русский

2013-08-03

117.5 KB

8 чел.

PAGE  5

ЛЕКЦИЯ № 5

МОДЕЛИ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ ЭМС

Тема № 1. Распределение экстремальных значений

Пусть имеется случайная выборка объемом n, взятая из бесконечной совокупности, имеющей распределение F(x), где х– непрерывная случайная величина. Обозначим элементы выборки x1, x2. ..., хn. Введем случайную величину, называемую наименьшим значением:

 (Л5.1)

Так как разрушение материала связано с существованием наиболее слабой точки, в работах по теории надежности рассматривается распределение экстремальных значений. Здесь будет рассмотрено распределение наименьших значений, однако этот подход может быть использован и при выводе распределений наибольших значений.

Функция распределения наименьших значений (функция распределения Yn) может быть представлена в виде

(Л5.2)

Напомним, что знак  означает одновременность событий (т. е. «и» событие х1, «и» событие x2 и т. д.).

Поскольку выборка была случайной, события можно считать независимыми, а значит,

  (Л5.3)

где P(y<xi) – дискретная функция.

Заменяя дискретную функцию на непрерывную F(y), получим

Тогда функция распределения случайной величины Yn будет иметь вид

 (Л5.4)

Если начальное распределение функции является экспоненциальным, то

  (Л5.5)

а плотность распределения наименьших значений

   (Л5.6)

В данном случае функцию распределения экстремальных значений можно рассматривать как экспоненциальную с параметром . Предельная форма этого распределения называется асимптотическим распределением наименьших значений типа III.

Если начальное, исходное распределение таково, что при  плотность распределения по экспоненте стремится к нулю, то такое предельное распределение наименьших значений называется асимптотическим распределением наименьших значений типа I. Например, это имеет место, когда исходное распределение является нормированным нормальным распределением. В этом случае предельное распределение наименьших значений имеет вид

    (Л5.7)

где >0, >0 – константы.

Асимптотическое распределение наибольших значений является зеркальным отражением асимптотического распределения наименьших значений.

Используем распределение экстремальных значений для построения одной из моделей надежности изоляции. Как известно, изоляция проводов имеет на внешней поверхности микроскопические дефекты, связанные с технологией производства. Под влиянием различных воздействующих факторов, таких, как температура, вибрация, влажность, электродинамические усилия и т. д., размеры дефектов увеличиваются и, в конечном счете, возникает сквозное повреждение. Если допустить, что время образования сквозного повреждения пропорционально разности между первоначальной толщиной изоляции и первоначальной глубиной микротрещины и эти значения имеют экспоненциальное распределение, то можно показать, что наработка до отказа (за отказ будем принимать образование сквозного повреждения) имеет распределение экстремальных значений.

Обозначим через В – толщину изоляции, bi – первоначальную глубину i-й трещины (i=l, 2,...,N). Тогда Bi означает случайную выборку из совокупности, имеющей усеченное экспоненциальное распределение

   (Л5.8)

Обозначим через ti время развития i-й микротрещины до сквозного повреждения. На основании принятого допущения о линейном характере зависимости времени развития трещины в функции ее глубины можно записать ti = k(B-bi), где k-скорость развития трещины. Тогда при

(Л5.9)

Если t – время безотказной работы изоляции, то t=min(ti), где i=l, 2, 3,... ,N. Так как за отказ было принято образование сквозного повреждения, то в соответствии с формулой (8.35) функция распределения случайной величины t имеет вид

Можно сделать некоторые упрощения. Если допустить, что число микротрещин достаточно велико, то при

    (Л5.10)

Подставив выражение (8.40), получим

Введем обозначение  и  тогда

Дифференцируя,

   (Л5.11)

Это выражение представляет собой плотность распределения экстремальных значений.

Тема №2. Модель «слабейшего звена»

Модель «слабейшего звена» нашла широкое применение при исследовании электрических машин на надежность, в частности при создании моделей надежности тех или иных узлов электрических машин.

Примером использования данного метода является модель надежности статорных обмоток асинхронных двигателей, разработанная О. Д. Гольдбергом. Модель «слабейшего звена» представляет собой систему с последовательным соединением элементов, в которой при отказе одного элемента выходит из строя вся цепь.

В самом общем случае проблема формулируется следующим образом: как определить вероятность безотказной работы элемента, блока, цепи или системы, когда приложенные напряжения превышают прочность. Принципиального различия нет: рассматриваются ли механические напряжения и прочность (при исследовании механических узлов) или электрические напряжения и диэлектрическая прочность (при исследовании изоляции обмоток электрических машин, коммутации коллектора и т. д.).

Введем следующие обозначения: f(u) – плотность распределения напряжения u; f(U) – плотность распределения прочности (рис. Л5.1). Если U>u, то разрушения материала не произойдет. Вероятность безотказной работы элемента запишется так:

      (Л5.12)

Область перекрытия кривых f(U) и f(u), показанная штриховкой на рисунке, характеризуется определенной вероятностью отказа. Рассмотрим небольшой интервал du в области перекрытия. Вероятность того, что некоторое значение напряжения находится в этом интервале, равно площади элемента du:

  (Л5.13)

где u* – значение напряжения в середине интервала du.

Вероятность того, что прочность U превышает некоторое значение напряжения u*, записывается выражением

   (Л5.14)

Выражение для вероятности того, что значение напряжения заключено в интервале du, а прочность U превышает напряжение, задаваемое этим интервалом, записывается как произведение вероятностей, т. е.

   (Л5.15)

Рисунок Л5.1

В этом случае вероятность безотказной работы есть вероятность того, что прочность U превышает напряжение и для всех возможных значений напряжения и, следовательно, записывается так:

   (Л5.16)

Выражение (Л5.16) характеризует наиболее общий случай. Перейдем к модели «слабейшего звена» – системы с последовательно соединенными элементами. Как пример возьмем обмотку электрической машины, представленную в виде цепи из n идентичных элементов. Изоляция этой обмотки подвергается воздействию приложенного напряжения (считаем, что отказом является пробой изоляции). В этом случае элемент цепи, имеющий наименьшую диэлектрическую прочность, выйдет из строя первым, и вероятность безотказной работы системы будет записана так:

где Рi – вероятность безотказной работы io элемента.

Итак, имеет место ситуация, рассмотренная выше, а именно: система, состоящая из n элементов, выходит из строя, когда на одном из элементов приложенное напряжение превышает прочность. Вероятность безотказной работы любого элемента определится по формуле (5.16) или, если взять пределы интегрирования от 0 до ,

   (Л5.17)

Выражение (5.17) может быть записано с использованием интегральной функции распределения F(U):

   (5.18)

В том случае, когда цепь состоит из n случайно выбранных элементов, это эквивалентно выбору n случайных значений прочности из совокупности с распределением f(U). Обозначим через Un случайную величину, показывающую прочность цепи, состоящей из n элементов, тогда Un=min(Ui), где Ui – прочность i-го элемента. В соответствии с распределением экстремальных значений имеем G(Un) = l-[1-F(Un)]n, где G(Un) – функция распределения прочности цепи.

Для этой модели «слабейшего звена» вероятность безотказной, работы системы имеет вид: Pn=P(Un>u). Используя выражение. (5.18), можно записать

    (5.19)

Полученная окончательная формула представляет собой вероятность безотказной работы всей системы, записанную через число элементов n, плотность распределения нагрузки f(u), действующей на систему, и распределение прочности F(U).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46302. Понятие языковой идиоматики: пословицы, поговорки, афоризмы и речевое клише 15.48 KB
  Понятие языковой идиоматики: пословицы поговорки афоризмы и речевое клише. Можно говорить о пословичном стиле существующем как бы вне времени: традиционность настолько неотъемлемая его черта что сама мысль об истоках пословицы кажется в чемто противоречивой. Пословицы изучает паремиология. Определение Даля складная короткая речь ходячая в народе но не составляющая полной пословицы вполне подходит к поговорке отмечая в то же время особый и очень распространенный вид поговорки ходячее выражение недоразвившееся до полной...
46303. С. Выготский «Проблема обучения и умственного развития в школьном возрасте» 15.45 KB
  Выготский Проблема обучения и умственного развития в школьном возрасте Хрестоматия по возрастной психологии. схематически сводит все существующие решения вопроса об отношении развития и обучения ребенка к трем основным группам. Первая группа имеет своим центром положение о независимости процессов детского развития от процессов обучения. Обучение в этих теориях рассматривается как чисто внешний процесс который должен быть так или иначе согласован с ходом детского развития но сам по себе не участвующий активно в детском развитии ничего в...
46304. Методика обучения словообразованию 15.44 KB
  Изучение морфемики и словообразования это основа формирования представлений о языке как развивающейся системе постоянно пополняющейся новыми словами. Элементарные знания даются в начальной школе в 57 классах ученики знакомятся с основными понятиями структуры слова и словопроизводства в 89 классах полученные сведения закрепляются и обобщаются. познавательные цели: ознакомление учащихся со структурой русского слова основными способами русского словообразования показать взаимосвязь между единицами разных уровней языка:...
46305. Noun 15.41 KB
  Noun hs ctegoricl mening of thingness becuse noun effects nomintion of the fullest vlue. The N is chrcterized by specific set of wordbuilding ffixes nd wordbuilding models which unmistkbly mrk noun mong them: suffixes of the doer worker nturlist etc. s for wordchnging ctegories the noun is chnged ccording to the ctegories of number boyboys cse boyboys nd rticle determintion boy boy the boy.
46306. Слово в системе языка: статус системная функция, коммуникативная необходимость 15.3 KB
  Внутренним содержанием слова является его лексическое значение. Значение слова это соотнесенность слова с определенным понятием. Основная функция слова назывная или номинативная лат. Значение семантика слова это явление историческое: оно не является раз и навсегда данным а может изменяться в процессе функционирования слова в речи; некоторые слова постепенно приобретают новое или новые значение при этом происходит расширение значения слова; некоторые из значений слова могут исчезать забываться происходит сужение значения слова [ср.
46307. Выбор продуктов в продуктовых инновациях 15.27 KB
  Существуют различные подходы к продуктовым инновациям: консервативный и радикальный.Консервативный подход к выбору новых более выгодных продуктов или услуг наиболее приемлем для финансовокризисных фирм ограниченных как в возможностях финансировать значительные стартовые инвестиции в новый бизнес так и в сроке окупаемости этих инвестиций.Консервативный подход к продуктовым инновациям сводится к выбору для освоения таких продуктов услуг или операций которые бы опирались на: уже созданный технологический а также коммерческий задел фирмы...
46308. Сущность и классификация затрат 15.26 KB
  Группировка по экономическим элементам отражает затраты которые распределяются по видам характеризующим их экономическое содержание их природное назначение. Все остальные являются комплексными собирающими затраты по обслуживанию и управлению производством. Прямые затраты непосредственно связаны с производством определенного вида продукции работ услуг и могут быть учтены в себестоимости данного вида продукции работ услуг сырье материалы полуфабрикаты комплектующие зарплата станочников и др.
46309. Эксплуатация машинно-тракторного парка при возделывании сахарной свеклы в СПК «Авангард» Сергачского района Нижегородской области 978.5 KB
  Огромное экономическое значение сахарной свеклы в народном хозяйстве. Она является главным источником доходов свеклосеящих хозяйствах. При удельном весе ее в пашне ≈ 8,6% удельный вес доходов составляет ≈ 44% от доходов растениеводства.
46310. Магнитные и электромагнитные приспособления в металлообработке 64.5 KB
  Значительный прогресс в металлообработке может быть достигнут за счет применения универсальных приспособлений, использующих энергию магнитного поля. Такие приспособления могут применяться в условиях единичного, серийного и массового производств