21722

МОДЕЛИ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ ЭМС

Лекция

Энергетика

Распределение экстремальных значений Пусть имеется случайная выборка объемом n взятая из бесконечной совокупности имеющей распределение Fx где х непрерывная случайная величина.1 Так как разрушение материала связано с существованием наиболее слабой точки в работах по теории надежности рассматривается распределение экстремальных значений. Здесь будет рассмотрено распределение наименьших значений однако этот подход может быть использован и при выводе распределений наибольших значений. Функция распределения наименьших значений функция...

Русский

2013-08-03

117.5 KB

8 чел.

PAGE  5

ЛЕКЦИЯ № 5

МОДЕЛИ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ ЭМС

Тема № 1. Распределение экстремальных значений

Пусть имеется случайная выборка объемом n, взятая из бесконечной совокупности, имеющей распределение F(x), где х– непрерывная случайная величина. Обозначим элементы выборки x1, x2. ..., хn. Введем случайную величину, называемую наименьшим значением:

 (Л5.1)

Так как разрушение материала связано с существованием наиболее слабой точки, в работах по теории надежности рассматривается распределение экстремальных значений. Здесь будет рассмотрено распределение наименьших значений, однако этот подход может быть использован и при выводе распределений наибольших значений.

Функция распределения наименьших значений (функция распределения Yn) может быть представлена в виде

(Л5.2)

Напомним, что знак  означает одновременность событий (т. е. «и» событие х1, «и» событие x2 и т. д.).

Поскольку выборка была случайной, события можно считать независимыми, а значит,

  (Л5.3)

где P(y<xi) – дискретная функция.

Заменяя дискретную функцию на непрерывную F(y), получим

Тогда функция распределения случайной величины Yn будет иметь вид

 (Л5.4)

Если начальное распределение функции является экспоненциальным, то

  (Л5.5)

а плотность распределения наименьших значений

   (Л5.6)

В данном случае функцию распределения экстремальных значений можно рассматривать как экспоненциальную с параметром . Предельная форма этого распределения называется асимптотическим распределением наименьших значений типа III.

Если начальное, исходное распределение таково, что при  плотность распределения по экспоненте стремится к нулю, то такое предельное распределение наименьших значений называется асимптотическим распределением наименьших значений типа I. Например, это имеет место, когда исходное распределение является нормированным нормальным распределением. В этом случае предельное распределение наименьших значений имеет вид

    (Л5.7)

где >0, >0 – константы.

Асимптотическое распределение наибольших значений является зеркальным отражением асимптотического распределения наименьших значений.

Используем распределение экстремальных значений для построения одной из моделей надежности изоляции. Как известно, изоляция проводов имеет на внешней поверхности микроскопические дефекты, связанные с технологией производства. Под влиянием различных воздействующих факторов, таких, как температура, вибрация, влажность, электродинамические усилия и т. д., размеры дефектов увеличиваются и, в конечном счете, возникает сквозное повреждение. Если допустить, что время образования сквозного повреждения пропорционально разности между первоначальной толщиной изоляции и первоначальной глубиной микротрещины и эти значения имеют экспоненциальное распределение, то можно показать, что наработка до отказа (за отказ будем принимать образование сквозного повреждения) имеет распределение экстремальных значений.

Обозначим через В – толщину изоляции, bi – первоначальную глубину i-й трещины (i=l, 2,...,N). Тогда Bi означает случайную выборку из совокупности, имеющей усеченное экспоненциальное распределение

   (Л5.8)

Обозначим через ti время развития i-й микротрещины до сквозного повреждения. На основании принятого допущения о линейном характере зависимости времени развития трещины в функции ее глубины можно записать ti = k(B-bi), где k-скорость развития трещины. Тогда при

(Л5.9)

Если t – время безотказной работы изоляции, то t=min(ti), где i=l, 2, 3,... ,N. Так как за отказ было принято образование сквозного повреждения, то в соответствии с формулой (8.35) функция распределения случайной величины t имеет вид

Можно сделать некоторые упрощения. Если допустить, что число микротрещин достаточно велико, то при

    (Л5.10)

Подставив выражение (8.40), получим

Введем обозначение  и  тогда

Дифференцируя,

   (Л5.11)

Это выражение представляет собой плотность распределения экстремальных значений.

Тема №2. Модель «слабейшего звена»

Модель «слабейшего звена» нашла широкое применение при исследовании электрических машин на надежность, в частности при создании моделей надежности тех или иных узлов электрических машин.

Примером использования данного метода является модель надежности статорных обмоток асинхронных двигателей, разработанная О. Д. Гольдбергом. Модель «слабейшего звена» представляет собой систему с последовательным соединением элементов, в которой при отказе одного элемента выходит из строя вся цепь.

В самом общем случае проблема формулируется следующим образом: как определить вероятность безотказной работы элемента, блока, цепи или системы, когда приложенные напряжения превышают прочность. Принципиального различия нет: рассматриваются ли механические напряжения и прочность (при исследовании механических узлов) или электрические напряжения и диэлектрическая прочность (при исследовании изоляции обмоток электрических машин, коммутации коллектора и т. д.).

Введем следующие обозначения: f(u) – плотность распределения напряжения u; f(U) – плотность распределения прочности (рис. Л5.1). Если U>u, то разрушения материала не произойдет. Вероятность безотказной работы элемента запишется так:

      (Л5.12)

Область перекрытия кривых f(U) и f(u), показанная штриховкой на рисунке, характеризуется определенной вероятностью отказа. Рассмотрим небольшой интервал du в области перекрытия. Вероятность того, что некоторое значение напряжения находится в этом интервале, равно площади элемента du:

  (Л5.13)

где u* – значение напряжения в середине интервала du.

Вероятность того, что прочность U превышает некоторое значение напряжения u*, записывается выражением

   (Л5.14)

Выражение для вероятности того, что значение напряжения заключено в интервале du, а прочность U превышает напряжение, задаваемое этим интервалом, записывается как произведение вероятностей, т. е.

   (Л5.15)

Рисунок Л5.1

В этом случае вероятность безотказной работы есть вероятность того, что прочность U превышает напряжение и для всех возможных значений напряжения и, следовательно, записывается так:

   (Л5.16)

Выражение (Л5.16) характеризует наиболее общий случай. Перейдем к модели «слабейшего звена» – системы с последовательно соединенными элементами. Как пример возьмем обмотку электрической машины, представленную в виде цепи из n идентичных элементов. Изоляция этой обмотки подвергается воздействию приложенного напряжения (считаем, что отказом является пробой изоляции). В этом случае элемент цепи, имеющий наименьшую диэлектрическую прочность, выйдет из строя первым, и вероятность безотказной работы системы будет записана так:

где Рi – вероятность безотказной работы io элемента.

Итак, имеет место ситуация, рассмотренная выше, а именно: система, состоящая из n элементов, выходит из строя, когда на одном из элементов приложенное напряжение превышает прочность. Вероятность безотказной работы любого элемента определится по формуле (5.16) или, если взять пределы интегрирования от 0 до ,

   (Л5.17)

Выражение (5.17) может быть записано с использованием интегральной функции распределения F(U):

   (5.18)

В том случае, когда цепь состоит из n случайно выбранных элементов, это эквивалентно выбору n случайных значений прочности из совокупности с распределением f(U). Обозначим через Un случайную величину, показывающую прочность цепи, состоящей из n элементов, тогда Un=min(Ui), где Ui – прочность i-го элемента. В соответствии с распределением экстремальных значений имеем G(Un) = l-[1-F(Un)]n, где G(Un) – функция распределения прочности цепи.

Для этой модели «слабейшего звена» вероятность безотказной, работы системы имеет вид: Pn=P(Un>u). Используя выражение. (5.18), можно записать

    (5.19)

Полученная окончательная формула представляет собой вероятность безотказной работы всей системы, записанную через число элементов n, плотность распределения нагрузки f(u), действующей на систему, и распределение прочности F(U).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1196. Газотурбинные установки. Машины и оборудование. Охрана труда. Строительные конструкции. 368.5 KB
  Устройство камер сгорания и теплообменных аппаратов ГТУ. Назначение, устройство и виды фильтров, используемых в гту. назначение и устройство глушителей, применяемых в компрессорах. Запорная арматура: назначение, устройство, принцип действия, примущества, недостатки, ремонтнопригодность. Устройство и принцип действия центробежного нагнетателя. Требования к проведению инструктажей по охране труда, их виды и сроки проведения.
1197. Приспособление для проведения механических испытаний 74.5 KB
  Схема сборки приспособления для проведения вибрационных испытаний. Универсальная оснастка плита для проведения вибрационных испытаний. Эта оснастка используется для проведения испытаний множества приборов.
1198. Производственный анализ СПК Октябрьский Волотовского района 63.5 KB
  Уставный капитал колхоза составляет 29531 тыс. руб. Учредителями хозяйства являются члены кооператива, которые объединили свои имущественные и земельные доли. Основным видом деятельности является сельское хозяйство, доля выручки от продажи сельскохозяйственной продукции на 2010 год составила 98 %.
1199. Проектирование одноэтажного промышленного здания города Волгограда 38.92 KB
  К промышленным относят здания, в которых размещены цехи, выпускающие готовую продукцию или полуфабрикаты. Технико-экономические показатели объемно-планировочного решения. Оценка полученных результатов. Выполнение промышленного здания из прогрессивных металлических конструкций несущих и ограждающих элементов.
1200. Энергетический расчет оптико-электронного прибора 55 KB
  Для обеспечения работоспособности любого оптико-электронного прибора важно получить определенные энергетические соотношения между полезным сигналом и порогом чувствительности прибора. В качестве материала анализирующей призмы, при заданном диапазоне измерения коэффициента преломления.
1201. Технологический процесс работы пассажирской станции Брянск-Орловский 1 класса 131 KB
  Технико-эксплуатационная характеристика станции Брянск-Орловский. Устройство для обслуживания пассажиров. Обработка пассажирского поезда своего формирования по прибытию. Обработка пассажирского поезда своего формирования по отправлению. Обработка транзитных поездов, подвергающихся таможенному досмотру и пограничному контролю.
1202. Создание и редактирование растровой графики 147.5 KB
  Интерфейс программы AdobePhotoshop, масштабирование. Восстановление интерфейса программы. Также можно использовать ряд сочетаний клавиш. Выделения области изображения. Для создания выделенной области фиксированного размера. Для создания выделенной области с определенным соотношением высоты и ширины. Выделения линии толщиной в один пиксель. Перемещение и дублирование выделенных областей
1203. Вирішення технологічних, конструктивних і дослідницьких проблем в умовах виробництва 161 KB
  Коротка характеристика випускаючих машин. Каток на пневмомашинах Д-551Б (ДУ-16Б). Каток причіпний кулачковий Д-614. Збірно-розбірні пристрої на заводі Жовтнева кузня. Організація заводської служби. Експлуатація компоновок збірно-розбірних пристосувань. Основні напрямки поліпшення організації оплати праці. Продуктивність праці, як економічна категорія. Методи вимірювання та показники рівня продуктивності праці.
1204. Изучение особенностей машинного программирования циклических алгоритмов с заданным числом повторений 36.5 KB
  Освоение особенностей организации внутрисегментных и межсегментных переходов, правил работы с сегментными регистрами. Изучение особенностей машинного программирования циклических алгоритмов с заданным числом повторений циклов. Анализ форматов и схем выполнения машинных команд ближнего и дальнего переходов программы.