21722

МОДЕЛИ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ ЭМС

Лекция

Энергетика

Распределение экстремальных значений Пусть имеется случайная выборка объемом n взятая из бесконечной совокупности имеющей распределение Fx где х– непрерывная случайная величина.1 Так как разрушение материала связано с существованием наиболее слабой точки в работах по теории надежности рассматривается распределение экстремальных значений. Здесь будет рассмотрено распределение наименьших значений однако этот подход может быть использован и при выводе распределений наибольших значений. Функция распределения наименьших значений функция...

Русский

2013-08-03

117.5 KB

8 чел.

PAGE  5

ЛЕКЦИЯ № 5

МОДЕЛИ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ ЭМС

Тема № 1. Распределение экстремальных значений

Пусть имеется случайная выборка объемом n, взятая из бесконечной совокупности, имеющей распределение F(x), где х– непрерывная случайная величина. Обозначим элементы выборки x1, x2. ..., хn. Введем случайную величину, называемую наименьшим значением:

 (Л5.1)

Так как разрушение материала связано с существованием наиболее слабой точки, в работах по теории надежности рассматривается распределение экстремальных значений. Здесь будет рассмотрено распределение наименьших значений, однако этот подход может быть использован и при выводе распределений наибольших значений.

Функция распределения наименьших значений (функция распределения Yn) может быть представлена в виде

(Л5.2)

Напомним, что знак  означает одновременность событий (т. е. «и» событие х1, «и» событие x2 и т. д.).

Поскольку выборка была случайной, события можно считать независимыми, а значит,

  (Л5.3)

где P(y<xi) – дискретная функция.

Заменяя дискретную функцию на непрерывную F(y), получим

Тогда функция распределения случайной величины Yn будет иметь вид

 (Л5.4)

Если начальное распределение функции является экспоненциальным, то

  (Л5.5)

а плотность распределения наименьших значений

   (Л5.6)

В данном случае функцию распределения экстремальных значений можно рассматривать как экспоненциальную с параметром . Предельная форма этого распределения называется асимптотическим распределением наименьших значений типа III.

Если начальное, исходное распределение таково, что при  плотность распределения по экспоненте стремится к нулю, то такое предельное распределение наименьших значений называется асимптотическим распределением наименьших значений типа I. Например, это имеет место, когда исходное распределение является нормированным нормальным распределением. В этом случае предельное распределение наименьших значений имеет вид

    (Л5.7)

где >0, >0 – константы.

Асимптотическое распределение наибольших значений является зеркальным отражением асимптотического распределения наименьших значений.

Используем распределение экстремальных значений для построения одной из моделей надежности изоляции. Как известно, изоляция проводов имеет на внешней поверхности микроскопические дефекты, связанные с технологией производства. Под влиянием различных воздействующих факторов, таких, как температура, вибрация, влажность, электродинамические усилия и т. д., размеры дефектов увеличиваются и, в конечном счете, возникает сквозное повреждение. Если допустить, что время образования сквозного повреждения пропорционально разности между первоначальной толщиной изоляции и первоначальной глубиной микротрещины и эти значения имеют экспоненциальное распределение, то можно показать, что наработка до отказа (за отказ будем принимать образование сквозного повреждения) имеет распределение экстремальных значений.

Обозначим через В – толщину изоляции, bi – первоначальную глубину i-й трещины (i=l, 2,...,N). Тогда Bi означает случайную выборку из совокупности, имеющей усеченное экспоненциальное распределение

   (Л5.8)

Обозначим через ti время развития i-й микротрещины до сквозного повреждения. На основании принятого допущения о линейном характере зависимости времени развития трещины в функции ее глубины можно записать ti = k(B-bi), где k-скорость развития трещины. Тогда при

(Л5.9)

Если t – время безотказной работы изоляции, то t=min(ti), где i=l, 2, 3,... ,N. Так как за отказ было принято образование сквозного повреждения, то в соответствии с формулой (8.35) функция распределения случайной величины t имеет вид

Можно сделать некоторые упрощения. Если допустить, что число микротрещин достаточно велико, то при

    (Л5.10)

Подставив выражение (8.40), получим

Введем обозначение  и  тогда

Дифференцируя,

   (Л5.11)

Это выражение представляет собой плотность распределения экстремальных значений.

Тема №2. Модель «слабейшего звена»

Модель «слабейшего звена» нашла широкое применение при исследовании электрических машин на надежность, в частности при создании моделей надежности тех или иных узлов электрических машин.

Примером использования данного метода является модель надежности статорных обмоток асинхронных двигателей, разработанная О. Д. Гольдбергом. Модель «слабейшего звена» представляет собой систему с последовательным соединением элементов, в которой при отказе одного элемента выходит из строя вся цепь.

В самом общем случае проблема формулируется следующим образом: как определить вероятность безотказной работы элемента, блока, цепи или системы, когда приложенные напряжения превышают прочность. Принципиального различия нет: рассматриваются ли механические напряжения и прочность (при исследовании механических узлов) или электрические напряжения и диэлектрическая прочность (при исследовании изоляции обмоток электрических машин, коммутации коллектора и т. д.).

Введем следующие обозначения: f(u) – плотность распределения напряжения u; f(U) – плотность распределения прочности (рис. Л5.1). Если U>u, то разрушения материала не произойдет. Вероятность безотказной работы элемента запишется так:

      (Л5.12)

Область перекрытия кривых f(U) и f(u), показанная штриховкой на рисунке, характеризуется определенной вероятностью отказа. Рассмотрим небольшой интервал du в области перекрытия. Вероятность того, что некоторое значение напряжения находится в этом интервале, равно площади элемента du:

  (Л5.13)

где u* – значение напряжения в середине интервала du.

Вероятность того, что прочность U превышает некоторое значение напряжения u*, записывается выражением

   (Л5.14)

Выражение для вероятности того, что значение напряжения заключено в интервале du, а прочность U превышает напряжение, задаваемое этим интервалом, записывается как произведение вероятностей, т. е.

   (Л5.15)

Рисунок Л5.1

В этом случае вероятность безотказной работы есть вероятность того, что прочность U превышает напряжение и для всех возможных значений напряжения и, следовательно, записывается так:

   (Л5.16)

Выражение (Л5.16) характеризует наиболее общий случай. Перейдем к модели «слабейшего звена» – системы с последовательно соединенными элементами. Как пример возьмем обмотку электрической машины, представленную в виде цепи из n идентичных элементов. Изоляция этой обмотки подвергается воздействию приложенного напряжения (считаем, что отказом является пробой изоляции). В этом случае элемент цепи, имеющий наименьшую диэлектрическую прочность, выйдет из строя первым, и вероятность безотказной работы системы будет записана так:

где Рi – вероятность безотказной работы io элемента.

Итак, имеет место ситуация, рассмотренная выше, а именно: система, состоящая из n элементов, выходит из строя, когда на одном из элементов приложенное напряжение превышает прочность. Вероятность безотказной работы любого элемента определится по формуле (5.16) или, если взять пределы интегрирования от 0 до ,

   (Л5.17)

Выражение (5.17) может быть записано с использованием интегральной функции распределения F(U):

   (5.18)

В том случае, когда цепь состоит из n случайно выбранных элементов, это эквивалентно выбору n случайных значений прочности из совокупности с распределением f(U). Обозначим через Un случайную величину, показывающую прочность цепи, состоящей из n элементов, тогда Un=min(Ui), где Ui – прочность i-го элемента. В соответствии с распределением экстремальных значений имеем G(Un) = l-[1-F(Un)]n, где G(Un) – функция распределения прочности цепи.

Для этой модели «слабейшего звена» вероятность безотказной, работы системы имеет вид: Pn=P(Un>u). Используя выражение. (5.18), можно записать

    (5.19)

Полученная окончательная формула представляет собой вероятность безотказной работы всей системы, записанную через число элементов n, плотность распределения нагрузки f(u), действующей на систему, и распределение прочности F(U).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20260. Модель Ізінга Теорія середнього поля (ще наз наближення Брега-Вільямса) 93.5 KB
  Модель Ізінга Теорія середнього поля ще наз наближення БрегаВільямса. Модельний Гамільтоніан такої системи: 1 де Н – напруженість магнітного поля. Тобто в системі за відсутності магнітного поля існує спонтанна намагнічуваність. Наближення для моделі Ізінга наближення середнього поля.
20261. Дифузія в газах 43 KB
  Дифузія має місце в газах рідинах і твердих тілах причому дифундувати можуть як частинки сторонніх речовин що в них знаходяться так і власні частинки самодифузії якщо речовина неоднорідна. Швидкість дифузії залежить від температури. При дифузії молекули переміщуються з тих частин речовини де їх концентрація більше в ті її частини де вона менше. Основній закон дифузії – закон Фіка: густина дифузійного потоку I пропорційна градієнту концентрації n взятому з протилежним знаком: D – коеф.
20262. Другий віріальний коефіцієнт для різних моделей потенціалу взаємодії 114 KB
  Методом статистичних сум можна отримати рівняння стану: 1 Співвідношення Камерлінг – Онеса: 2 Порівнюючи 1 і 2: другий віріальний коефіцієнт Ідеальний газ: U=0 BT=0 pV=RT Модель твердих сфер: де об’єм молекули де не враховуємо притягання В 2 підставляємо ВТ: b V Модель Сюзерленда: = дорівнює першому доданку з 2. При реальний газ веде себе як ідеальний ТБ ТК критична температура тут ми використали 5 та глибина потенціальної ями Оскільки для моделі...
20263. Теорія Перкуса-Йєвіка 94.5 KB
  Теорія ПеркусаЙєвіка. Теорія ПеркусаЙєвіка – це спроба встановити ще одне рівняння. Теорія ПеркусаЙєвіка використовує умовні корелятивні функції. Нехай існує функціонал який може бути розкладений у ряд Тейлора по варіації в положенні частинки s1 за визначенням: Розглядались такі функціонали: 1 ; приводить до результатів Перкуса Йевіка; 2 ; приводить до результатів ББГКІ 3 .
20264. Теорія Ван-дер-Ваальса (ВдВ) критичних явищ 99.5 KB
  Теорія ВандерВаальса ВдВ критичних явищ. Одне з рівнянь що описує реальні гази – рівняння ВдВ: для 1го моля газу 1 де а і b –сталі пов’язані із силами притягання і відштовхуванням відповідно. Перепишемо 1: При Т1 : ізотерма ВдВ ліва вітка – рідкий стан права – газоподібний.Перехід із рідкого стану в газоподібний і в зворотному напрямку при звичайних умовах відбувається не вздовж ізотерми ВдВ АВСDE а вздовж ізотерми АЕ яка одночасно є і реальною ізотермою.
20265. Просторові кореляційні функції та властивості кореляційних функцій 63 KB
  Тобто якщо для системи відома функція то ми знаємо яке розташування N частинок системи є найбільш ймовірним. Але через математичні складності обчислень потенціальної енергії взаємодії N частинок системи ця задача розв’язана в дуже обмеженому числі випадків. Тому запропонували новий метод: замість функції розподілу густини ймовірностей певних статистичних станів системи Гіббса розглядається набір з N кореляційних функцій різного порядку: унарна кореляційна функція яка характеризує густину ймовірності що одна частинка системи...
20266. Молекулярна структура рідин. Два способи опису молекулярної структури 64 KB
  dV1 dV2 r EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Г Р КР EMBED Equation.3 EMBED Equation.
20267. Поглинання звуку у в’язкопружних середовищах 80 KB
  Реологічне рівняння – це рівняння яке пов’язує тензор напруг з тензором деформацій і тензором швидкості деформацій. Для в’язкопружнього середовища реологічне рівняння: тензор напруг; тензор деформації; тензор швидкості деформації. та тоді наше рівняння буде мати вигляд: Звукова хвиля – це плоска хвиля. У в’язкопружньому середовищі на відміну від пружнього Підставляючи наше реологічне рівняння в рівняння руху отримаємо хвильове рівняння для звукової хвилі : Розв´язуючи це рівняння за умови Отримуємо вирази для швидкості...
20268. Оборудование подсистемы базовой станции (BSS) 523.5 KB
  1: контроллера базовой станции BSC Base Station Controller; базовой станции BTS Base Transceiver Station. Контроллер базовой станции BSC Контроллер базовой станции BSC центральная часть подсистемы базовой станции BSS. Контроллер BSC фирмы Ericsson рис. Контроллер BSC может контролировать радиосеть и рационально выравнивать временные дисбалансы в нагрузке на сеть.