21723

Модели надёжности установок с восстановлением

Лекция

Энергетика

Модели надёжности установок с восстановлением При экспоненциальном законе распределения времени восстановления и времени между отказами для расчёта показателей надёжности установки с восстановлением пригоден математический аппарат марковских случайных процессов. Дискретный случайный процесс называется марковском если все вероятностные характеристики будущего протекания этого процесса при зависят лишь от того в каком состоянии этот процесс находился в настоящий момент времени и не зависят от того каким образом этот процесс протекал до...

Русский

2013-08-03

310 KB

9 чел.

PAGE  10


dt

1-dt

dt

E1

E0

1-dt

=, /=0

P1

P1()

1

=0, /=

tc

2dt

dt

dt

dt

E2

E0

E1

dt

dt

dt

dt

E2

E0

E1

2dt

dt

dt

E2

E0

E1

dt

dt

dt

E2

E0

E1

Tпл

2Tпл

3Tпл

4Tпл

f(t)

ЛЕКЦИЯ № 6.

ТЕМА № 1. Модели надёжности установок с восстановлением

При экспоненциальном законе распределения времени восстановления и времени между отказами для расчёта показателей надёжности установки с восстановлением пригоден математический аппарат марковских случайных процессов.

Дискретный случайный процесс называется марковском, если все вероятностные характеристики будущего протекания этого процесса (при ) зависят лишь от того, в каком состоянии этот процесс находился в настоящий момент времени , и не зависят от того, каким образом этот процесс протекал до момента времени  (в прошлом). Для марковского процесса «будущее» зависит от «прошлого» только через «настоящее». Поэтому определение марковских процессов как процессов без последействия не означает полной независимости от прошлого. Установлено, что если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то случайный процесс переходов будет марковским, с непрерывным временем.

Один элемент электротехнической (энергетической) установки или сама установка могут находиться в двух состояниях:

1)  – установка работоспособна;

2)  – установка неработоспособна.

Если – интенсивность отказов (ч-1), а µ – интенсивность восстановления (ч-1), то граф переходов из состояния в состояние с обозначением вероятностей переходов за время dt имеет вид, представленный на рис. 1.

Рис. 1. Граф переходов для системы их двух состояний

Существует правило для составления дифференциальных уравнений переходов, соответствующих этому графу. В левой части каждого уравнения стоит производная , а в правой части столько членов, сколько ребер непосредственно связано с данным состоянием. Если ребро графа ведет в данное состояние, член уравнения имеет знак «+», если ведет из данного состояния знак «-». Каждый член уравнения равен плотности потока событий, переводящего систему из одного состояния в другое, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит ребро. В наших условиях  – вероятность застать установку в состоянии ,  – в состоянии .

Тогда

,

.

При начальных условиях ,  и при условии, что состояния  и представляют собой полную группу событий, т.е. , решение системы имеет вид

,

.

При мгновенном автоматическом восстановлении , . При отсутствии восстановления , – вероятность безотказной работы.

При достаточно большом  наступает стационарный режим работы системы (рис. 2) с вероятностью состояний

    (1)

Величина

называется коэффициентом готовности.

Следует отметить, что при отсутствии резервирования восстановление повышает надежность только в отношении готовности, вероятность безотказной работы при этом не увеличивается.

Рис. 2. Зависимость вероятности работоспособного состояния от времени при различной интенсивности восстановления

При последовательном соединении элементов интенсивность отказов системы может быть очень велика. Среднее время восстановления определяется как математическое ожидание времени восстановления при отказах всех элементов, следовательно, оно зависит не только от времени восстановления элементов, но и то вероятности отказов этих элементов.

В установке или системе с однократным резервированием имеются два элемента. При отказе одного из них система остаётся работоспособной, отказавший элемент восстанавливается. Если за время восстановления одного элемента второй не откажет, то опасный режим проходит без последствий. Если же за время восстановления отказавшего элемента отказывает второй, то система теряет работоспособность до восстановления одного из отказавших элементов.

При постоянном резервировании и ограниченном восстановлении (восстанавливаться может только один элемент) система может находиться в трёх состояниях:

– работоспособны оба элемента;

– работоспособен только один из элементов;

– оба элемента не работоспособны.

Граф переходов из состояния в состояние с обозначением вероятностей переходов за время dt представлен на рис. 3.7.

Рис. 3.7. Граф переходов для системы из трёх состояний

Дифференциальные уравнения для вероятностей состояний:

,      

   

.      

Начальные условия:  – полная группа событий; .

Уравнения (3.3) решаются с помощью преобразования Лапласа:

,

где .

Вероятность застать систему в работоспособном состоянии

.

При достаточно большом  процесс переходов стабилизируется, наступает установившийся режим и  перестает зависеть от времени

   (2)

При резервировании замещением (резервный элемент может отказать только после того как его включили после отказавшего ocновного) и ограниченном восстановлении граф переходов принимает вид, представленный на рис. 3.

Рис. 3. Граф состояний

Дифференциальные уравнения вероятностей состояний, соответствующих этому графу:

,      

  

.     

При тех же начальных условиях решение для  имеет вид

,

где .

Вероятность застать систему в одном из работоспособных состояний  а при

Для определения вероятности безотказной работы граф переходов следует изменить (рис. 4).

Рис. 4. Граф переходов

При начальных условиях    решение будет

где

для постоянного резервирования;

– для резервирования замещением; (3)

; .       (4)

Для системы кабельных линий резервирование замещением лишь незначительно повышает готовность и безотказность. Предпочтение следует отдать постоянному резервированию, так как при нём вследствие снижения нагрева увеличивается долговечность кабеля.

ТЕМА № 2. Модели надёжности установок с профилактикой

Чтобы по возможности отдалить момент отказа оборудования, его подвергают периодическому предупредительному ремонту. Разработана специальная система планово-предупредительных ремонтов (ППР). Однако предупредительный ремонт не имеет смысла, если . А если  убывает, то такой ремонт не нужен. Ремонтируют только работающие элементы; если элемент отказывает, его не ремонтируют.

Обозначим:  – периодичность ремонта. Тогда плотность распределения вероятностей для случайной величины – наработки на отказ – в предположении идеального мгновенного ремонта (идеальный ремонт восстанавливает работоспособность в полной мере, и показатели надежности можно считать такими же, как у нового изделия):

где k – номер предупредительного ремонта;  – плотность распределения вероятностей срока службы некоторого элемента.

Графическое представление плотности распределения вероятностей  с учётом эффекта от предупредительного ремонта приведено на рис. 4. Каждый участок кривой, заключённый между  и  эквивалентен предыдущему, характеризуемому , где  – функция надежности элемента, представляющая собой отношение числа работоспособных элементов в начале и в конце участка.

Рис. 4. Плотность распределения вероятностей срока службы элемента с периодическими предупредительными ремонтами

Обе огибающие функции  представляют собой экспоненциальные кривые. Это следует из того, что общий характер поведения плотности  определяется геометрической прогрессией .

Пример. Рассмотрим элемент с равномерным распределением срока службы  при  года и периодичности предупредительных ремонтов  год.

Тогда

откуда , т.е. число работоспособных элементов в конце периода  составляет 75% числа работоспособных элементов в начале периода  (рис. 4).

Зависимость интенсивности отказов  (рис. 5) при  год:

Кривая  получается при повторении кривой  на каждом участке .

На рис. 5 приведена экспоненциальная; кривая, вокруг которой осциллирует действительная кривая ; средняя интенсивность  отказов :

Средняя наработка на отказ  года.

ТЕМА № 3. Модели надёжности установок с восстановлением и профилактикой

При отсутствии предупредительного ремонта наработка на отказ составила бы

,

что почти вдвое меньше начального значения. При этом .

Таким образом, безотказность элемента существенно увеличивается при условии идеального мгновенного ремонта или замены. Кроме того, предупредительный ремонт приводит распределение времени безотказной работы из любой исходной формы к экспоненциальной и любую кривую роста интенсивности отказов заменяет на пилообразную с весьма небольшим размахом. Это позволяет в расчётах принимать допущение .

Идеальный аварийный ремонт. Практическим приближением к идеальному аварийному ремонту можно считать положение, когда каждый элемент в случае отказа заменяется новым, а сам процесс замены занимает пренебрежимо малое время. Основное различие между идеальным аварийным и идеальным предупредительным ремонтом состоит в том, что предупредительный ремонт производится в заранее заданные моменты времени, а аварийный ремонт (замена) всегда следует за отказом.

Пусть, как и ранее, срок службы элемента описывается его плотностью распределения вероятностей , а плотность распределения вероятностей до первого отказа – , совпадающей с . Аналогично, плотность распределения вероятностей времени до второго отказа  и времени до k-того отказа :

   (5)

     (6)

Если , то промежутки времени между отказами распределены экспоненциально. При этом допущении процесс описывается распределением Пуассона и k-тое время ожидания соответствует времени до k-того отказа, следовательно,

    (7)

Подставляя (7) в (6) получим

Идеальный аварийный и предупредительный ремонты. Важным эффектом предупредительного ремонта является увеличение средней наработки до отказа. В случае идеального аварийного ремонта этот результат сводится к тому, что для элементов с возрастающей интенсивностью отказов регулярное проведение предупредительных ремонтов приводит к уменьшению частоты аварийных ремонтов. Среднее значение параметра потока отказов

.     (8)

Рассмотрим продолжение процесса предыдущего примера, где в дополнение к регулярному предупредительному ремонту после каждого отказа проводится идеальный аварийный ремонт.

Функцию  вычисляем по (7), где получаются путем последовательного применения (5) к функции  для  года:

.

Следовательно,

.

В соответствии с (3.13) получим

.

При  год частота предупредительных ремонтов , а средний параметр потока отказов (идеальных аварийных ремонтов) .

Отметим, что интенсивность отказов без предупредительных ремонтов  (только идеальный аварийный ремонт). Средняя интенсивность отказов при идеальном предупредительном ремонте .

Положительное влияние предупредительных ремонтов на уменьшение частоты аварийных ремонтов выражено весьма чётко. Если стоимость предупредительного ремонта того же порядка, что и аварийного, то предупредительный ремонт может оказаться экономически неоправданным. Если стоимость предупредительного ремонта меньше, чем суммарная стоимость аварийного ремонта и ущербов от аварии, то предупредительный ремонт может быть оправдан и экономически. При этом периодичность его можно оптимизировать по критерию минимума ежегодных затрат, включая ущерб от аварий:

.   (9)

Условие (9) адекватно критерию минимума удельных затрат:

.   (10)

Величину  можно интерпретировать как отношение затрат длительностей

Из (9) следует равенство

,

дифференцируя которое по  и приравнивая производную нулю получим условие оптимума

   (11)

Значение , удовлетворяющее (11), является оптимальным. Для рассматриваемого примера определим  при условии =0,2. Затраты

 

Уравнение (11) принимает вид

Решение его: , следовательно, общие затраты на предупредительный и аварийный ремонты будут минимальными (при принятых условиях), если предупредительный ремонт проводить каждые 2,11 года.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29563. Экономическая и бухгалтерская прибыль. В общем виде прибыль (profit) определяется как разность между совокупной выручкой (total revenue) 130 KB
  1 где TR totl revenue совокупная выручка доход; ТС totl cost совокупные издержки; Pr profit прибыль. Однако сами издержки бывают внешними явными и внутренними неявными. Вычтя из совокупной выручки дохода внешние издержки мы получаем бухгалтерскую прибыль. Бухгалтерская прибыль однако не учитывает внутренние или скрытые издержки.
29564. Правило наименьших издержек 138.5 KB
  Правило наименьших издержек.5 Правило наименьших издержек это условие согласно которому издержки минимизируются в том случае когда последний доллар марка рубль и так далее затраченный на каждый ресурс дает одинаковую отдачу одинаковый предельный продукт. Правило наименьших издержек обеспечивает равновесие положения производителя. В этом положении достигается оптимальная комбинация факторов производства обеспечивающая максимизацию издержек.
29565. Трансакционные издержки 73 KB
  Трансакционные издержки По материалам курсовой Определений понятия трансакционные издержки множество каждый из ученых пытается выделить какуюлибо специфичную сторону данных видов затрат однако в целом обобщая можно сказать что трансакционные издержки представляют собой определенные затраты затраты ресурсов времени на взаимоотношения с внешним окружением. Можно сказать что трансакционные издержки – это цена оплачиваемая экономической системой за несовершенства и провалы рынка и провалы государства. То есть...
29566. Конкурентные и неконкурентные рынки 69.5 KB
  Принимая решение он рассматривает два его следствия: Эффект объема производства. Эффект цены. Если эффект объема производства больше чем эффект цены владелец колодца увеличит предложение воды. Если эффект цены превышает эффект объема производитель откажется от планов увеличения предложения.
29567. Понятия «неопределенность» и «риск». Предпосылки поведения потребителя в условиях неопределенности 365.5 KB
  Понятия неопределенность и риск. Неопределенность как условие риска Неопределенность – одно из центральных понятий в современной теории и практике управления. Неопределенность выступает необходимым и достаточным условием риска в принятии решений. Как отмечается в этимологическом словаре Фасмера термины риск рисковать происходят от греческого rysicon – утес скала; отсюда рисковать – значит взбираться на скалу или лавировать между скалами.
29568. Теория игр в выборе потребителя. Динамические игры. Координационные игры 487.5 KB
  Динамические игры. Координационные игры. думаю главное самое основное рассказать у теории игр большой математический аппарат который нет смысла сейчас изучать главное передать суть теории применительно к выбору потребителя и к решениям принимаемым на предприятиях в условиях олигополии стратегии равновесия выигрыши. Из лекции Бодрова у него только про статические игры: Теория игр анализирует принятие решений экономическими субъектами называемыми в соответствии с установившейся традицией игроками в ситуациях когда на результат...
29569. Эластичность спроса. Эластичность спроса относительно дохода 73 KB
  Эластичность спроса. Эластичность спроса относительно цены показывает относительное изменение объема спроса под влиянием изменения цены на один процент. Оно вызывает значительное изменение величины спроса. Рост цен автомобиля Вольво на 10 рублей практически не ощутим для покупателей этой автомашины поэтому изменение цены и величины спроса дается в формуле эластичности не абсолютно а относительно: EPD =  Q Q : P P  = Q в P в  3.
29570. Потребительское поведение и выбор потребителя 117.5 KB
  Полезность блага utility of good – это способность экономического блага удовлетворять одну или несколько человеческих потребностей. была выявлена закономерность: потребляемые последовательно части какоголибо блага обладают убывающей полезностью для потребителя. Это означает что любому бесконечно малому увеличению количества блага Q соответствует прирост общей полезности totl utility – TU см. Хотя общая полезность с увеличением количества благ постепенно возрастает предельная полезность mrginl utility MU каждой дополнительной...
29571. Кривая цена-потребеление 55 KB
  Однако при этом не учитываются два важных обстоятельства: цены товаров и доход потребителей. Если I доход потребителя Px цена блага X Py цена блага Y а X и Y составляют соответственно купленные количества благ то уравнение бюджетного ограничения можно записать следующим образом: I = Px X PY Y или в более привычном виде: Y = I Py – Px Py  X где –Px Py – угловой коэффициент бюджетной линии который измеряет наклон этой линии к оси абсцисс. При X = 0 Y = I Py то есть весь доход потребителя расходуется на благо Y....