21723

Модели надёжности установок с восстановлением

Лекция

Энергетика

Модели надёжности установок с восстановлением При экспоненциальном законе распределения времени восстановления и времени между отказами для расчёта показателей надёжности установки с восстановлением пригоден математический аппарат марковских случайных процессов. Дискретный случайный процесс называется марковском если все вероятностные характеристики будущего протекания этого процесса при зависят лишь от того в каком состоянии этот процесс находился в настоящий момент времени и не зависят от того каким образом этот процесс протекал до...

Русский

2013-08-03

310 KB

11 чел.

PAGE  10


dt

1-dt

dt

E1

E0

1-dt

=, /=0

P1

P1()

1

=0, /=

tc

2dt

dt

dt

dt

E2

E0

E1

dt

dt

dt

dt

E2

E0

E1

2dt

dt

dt

E2

E0

E1

dt

dt

dt

E2

E0

E1

Tпл

2Tпл

3Tпл

4Tпл

f(t)

ЛЕКЦИЯ № 6.

ТЕМА № 1. Модели надёжности установок с восстановлением

При экспоненциальном законе распределения времени восстановления и времени между отказами для расчёта показателей надёжности установки с восстановлением пригоден математический аппарат марковских случайных процессов.

Дискретный случайный процесс называется марковском, если все вероятностные характеристики будущего протекания этого процесса (при ) зависят лишь от того, в каком состоянии этот процесс находился в настоящий момент времени , и не зависят от того, каким образом этот процесс протекал до момента времени  (в прошлом). Для марковского процесса «будущее» зависит от «прошлого» только через «настоящее». Поэтому определение марковских процессов как процессов без последействия не означает полной независимости от прошлого. Установлено, что если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то случайный процесс переходов будет марковским, с непрерывным временем.

Один элемент электротехнической (энергетической) установки или сама установка могут находиться в двух состояниях:

1)  – установка работоспособна;

2)  – установка неработоспособна.

Если – интенсивность отказов (ч-1), а µ – интенсивность восстановления (ч-1), то граф переходов из состояния в состояние с обозначением вероятностей переходов за время dt имеет вид, представленный на рис. 1.

Рис. 1. Граф переходов для системы их двух состояний

Существует правило для составления дифференциальных уравнений переходов, соответствующих этому графу. В левой части каждого уравнения стоит производная , а в правой части столько членов, сколько ребер непосредственно связано с данным состоянием. Если ребро графа ведет в данное состояние, член уравнения имеет знак «+», если ведет из данного состояния знак «-». Каждый член уравнения равен плотности потока событий, переводящего систему из одного состояния в другое, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит ребро. В наших условиях  – вероятность застать установку в состоянии ,  – в состоянии .

Тогда

,

.

При начальных условиях ,  и при условии, что состояния  и представляют собой полную группу событий, т.е. , решение системы имеет вид

,

.

При мгновенном автоматическом восстановлении , . При отсутствии восстановления , – вероятность безотказной работы.

При достаточно большом  наступает стационарный режим работы системы (рис. 2) с вероятностью состояний

    (1)

Величина

называется коэффициентом готовности.

Следует отметить, что при отсутствии резервирования восстановление повышает надежность только в отношении готовности, вероятность безотказной работы при этом не увеличивается.

Рис. 2. Зависимость вероятности работоспособного состояния от времени при различной интенсивности восстановления

При последовательном соединении элементов интенсивность отказов системы может быть очень велика. Среднее время восстановления определяется как математическое ожидание времени восстановления при отказах всех элементов, следовательно, оно зависит не только от времени восстановления элементов, но и то вероятности отказов этих элементов.

В установке или системе с однократным резервированием имеются два элемента. При отказе одного из них система остаётся работоспособной, отказавший элемент восстанавливается. Если за время восстановления одного элемента второй не откажет, то опасный режим проходит без последствий. Если же за время восстановления отказавшего элемента отказывает второй, то система теряет работоспособность до восстановления одного из отказавших элементов.

При постоянном резервировании и ограниченном восстановлении (восстанавливаться может только один элемент) система может находиться в трёх состояниях:

– работоспособны оба элемента;

– работоспособен только один из элементов;

– оба элемента не работоспособны.

Граф переходов из состояния в состояние с обозначением вероятностей переходов за время dt представлен на рис. 3.7.

Рис. 3.7. Граф переходов для системы из трёх состояний

Дифференциальные уравнения для вероятностей состояний:

,      

   

.      

Начальные условия:  – полная группа событий; .

Уравнения (3.3) решаются с помощью преобразования Лапласа:

,

где .

Вероятность застать систему в работоспособном состоянии

.

При достаточно большом  процесс переходов стабилизируется, наступает установившийся режим и  перестает зависеть от времени

   (2)

При резервировании замещением (резервный элемент может отказать только после того как его включили после отказавшего ocновного) и ограниченном восстановлении граф переходов принимает вид, представленный на рис. 3.

Рис. 3. Граф состояний

Дифференциальные уравнения вероятностей состояний, соответствующих этому графу:

,      

  

.     

При тех же начальных условиях решение для  имеет вид

,

где .

Вероятность застать систему в одном из работоспособных состояний  а при

Для определения вероятности безотказной работы граф переходов следует изменить (рис. 4).

Рис. 4. Граф переходов

При начальных условиях    решение будет

где

для постоянного резервирования;

– для резервирования замещением; (3)

; .       (4)

Для системы кабельных линий резервирование замещением лишь незначительно повышает готовность и безотказность. Предпочтение следует отдать постоянному резервированию, так как при нём вследствие снижения нагрева увеличивается долговечность кабеля.

ТЕМА № 2. Модели надёжности установок с профилактикой

Чтобы по возможности отдалить момент отказа оборудования, его подвергают периодическому предупредительному ремонту. Разработана специальная система планово-предупредительных ремонтов (ППР). Однако предупредительный ремонт не имеет смысла, если . А если  убывает, то такой ремонт не нужен. Ремонтируют только работающие элементы; если элемент отказывает, его не ремонтируют.

Обозначим:  – периодичность ремонта. Тогда плотность распределения вероятностей для случайной величины – наработки на отказ – в предположении идеального мгновенного ремонта (идеальный ремонт восстанавливает работоспособность в полной мере, и показатели надежности можно считать такими же, как у нового изделия):

где k – номер предупредительного ремонта;  – плотность распределения вероятностей срока службы некоторого элемента.

Графическое представление плотности распределения вероятностей  с учётом эффекта от предупредительного ремонта приведено на рис. 4. Каждый участок кривой, заключённый между  и  эквивалентен предыдущему, характеризуемому , где  – функция надежности элемента, представляющая собой отношение числа работоспособных элементов в начале и в конце участка.

Рис. 4. Плотность распределения вероятностей срока службы элемента с периодическими предупредительными ремонтами

Обе огибающие функции  представляют собой экспоненциальные кривые. Это следует из того, что общий характер поведения плотности  определяется геометрической прогрессией .

Пример. Рассмотрим элемент с равномерным распределением срока службы  при  года и периодичности предупредительных ремонтов  год.

Тогда

откуда , т.е. число работоспособных элементов в конце периода  составляет 75% числа работоспособных элементов в начале периода  (рис. 4).

Зависимость интенсивности отказов  (рис. 5) при  год:

Кривая  получается при повторении кривой  на каждом участке .

На рис. 5 приведена экспоненциальная; кривая, вокруг которой осциллирует действительная кривая ; средняя интенсивность  отказов :

Средняя наработка на отказ  года.

ТЕМА № 3. Модели надёжности установок с восстановлением и профилактикой

При отсутствии предупредительного ремонта наработка на отказ составила бы

,

что почти вдвое меньше начального значения. При этом .

Таким образом, безотказность элемента существенно увеличивается при условии идеального мгновенного ремонта или замены. Кроме того, предупредительный ремонт приводит распределение времени безотказной работы из любой исходной формы к экспоненциальной и любую кривую роста интенсивности отказов заменяет на пилообразную с весьма небольшим размахом. Это позволяет в расчётах принимать допущение .

Идеальный аварийный ремонт. Практическим приближением к идеальному аварийному ремонту можно считать положение, когда каждый элемент в случае отказа заменяется новым, а сам процесс замены занимает пренебрежимо малое время. Основное различие между идеальным аварийным и идеальным предупредительным ремонтом состоит в том, что предупредительный ремонт производится в заранее заданные моменты времени, а аварийный ремонт (замена) всегда следует за отказом.

Пусть, как и ранее, срок службы элемента описывается его плотностью распределения вероятностей , а плотность распределения вероятностей до первого отказа – , совпадающей с . Аналогично, плотность распределения вероятностей времени до второго отказа  и времени до k-того отказа :

   (5)

     (6)

Если , то промежутки времени между отказами распределены экспоненциально. При этом допущении процесс описывается распределением Пуассона и k-тое время ожидания соответствует времени до k-того отказа, следовательно,

    (7)

Подставляя (7) в (6) получим

Идеальный аварийный и предупредительный ремонты. Важным эффектом предупредительного ремонта является увеличение средней наработки до отказа. В случае идеального аварийного ремонта этот результат сводится к тому, что для элементов с возрастающей интенсивностью отказов регулярное проведение предупредительных ремонтов приводит к уменьшению частоты аварийных ремонтов. Среднее значение параметра потока отказов

.     (8)

Рассмотрим продолжение процесса предыдущего примера, где в дополнение к регулярному предупредительному ремонту после каждого отказа проводится идеальный аварийный ремонт.

Функцию  вычисляем по (7), где получаются путем последовательного применения (5) к функции  для  года:

.

Следовательно,

.

В соответствии с (3.13) получим

.

При  год частота предупредительных ремонтов , а средний параметр потока отказов (идеальных аварийных ремонтов) .

Отметим, что интенсивность отказов без предупредительных ремонтов  (только идеальный аварийный ремонт). Средняя интенсивность отказов при идеальном предупредительном ремонте .

Положительное влияние предупредительных ремонтов на уменьшение частоты аварийных ремонтов выражено весьма чётко. Если стоимость предупредительного ремонта того же порядка, что и аварийного, то предупредительный ремонт может оказаться экономически неоправданным. Если стоимость предупредительного ремонта меньше, чем суммарная стоимость аварийного ремонта и ущербов от аварии, то предупредительный ремонт может быть оправдан и экономически. При этом периодичность его можно оптимизировать по критерию минимума ежегодных затрат, включая ущерб от аварий:

.   (9)

Условие (9) адекватно критерию минимума удельных затрат:

.   (10)

Величину  можно интерпретировать как отношение затрат длительностей

Из (9) следует равенство

,

дифференцируя которое по  и приравнивая производную нулю получим условие оптимума

   (11)

Значение , удовлетворяющее (11), является оптимальным. Для рассматриваемого примера определим  при условии =0,2. Затраты

 

Уравнение (11) принимает вид

Решение его: , следовательно, общие затраты на предупредительный и аварийный ремонты будут минимальными (при принятых условиях), если предупредительный ремонт проводить каждые 2,11 года.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39911. Информационные системы. Понятие, задачи и функции ИС 814.2 KB
  Также в достаточно широком смысле[2] трактует понятие информационной системы Федеральный закон РФ от 27 июля 2006 года № 149ФЗ Об информации информационных технологиях и о защите информации: информационная система совокупность содержащейся в базах данных информации и обеспечивающих ее обработку информационных технологий и технических средств[3]. Классификация по степени автоматизации По степени автоматизации ИС делятся на: автоматизированные: информационные системы в которых автоматизация может быть неполной то есть требуется...
39912. Модель парной линейной регрессии. Метод наименьших квадратов для оценки параметров уравнения регрессии и проверка его адекватности 210.22 KB
  Метод наименьших квадратов для оценки параметров уравнения регрессии и проверка его адекватности. Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов. Выделяют следующие методы экстраполяции: среднего абсолютного прироста может быть выполнено в том случае если есть уверенность считать общую тенденцию линейной то есть метод основан на предположении о равномерном изменении уровня под равномерностью понимается...
39914. Формы и способы представления данных 1.31 MB
  2 Единицы измерения данных. binry digit] Простое двоичное число цифра или символ принимающее значения 1 или 0 и служащее для записи и хранения данных в ЭВМ. Байт [byte ] Двоичное слово способное записывать и хранить в памяти ЭВМ один буквенноцифровой или другой символ данных.
39915. Единицы измерения данных 898.34 KB
  Другие файловые системы оперируют схожими понятиями зоны в Minix блоки в Unix. 4 Системы счисления. Все системы счисления можно разделить на два класса: позиционные и непозиционные. Число таких знаков в позиционной системе счисления называется основанием системы счисления.
39916. Основы информационной культуры. Понятие информации и данных 721 KB
  Формы и способы представления данных. 2 способа представления данных: в текстовом и числовом виде Текстовые данные воспринимаются передающими системами как текст записанный на какомлибо языке. 2 Единицы измерения данных Объем данных V количество байт которое требуется для их хранения в памяти электронного носителя информации. Байт мельчайшая адресуемая единица информации Килобайт базовая единица Машинное слово машиннозависимая и платформозависимая величина измеряемая в битах или байтах равная разрядности регистров процессора и...
39918. Модель парной линейной регрессии 531.5 KB
  Этот коэффициент характеризует степень финансового риска проекта для собственников предприятия и кредиторов и обычно анализируется банками при решении вопроса о предоставлении долгосрочного кредита; коэффициент покрытия долгосрочных обязательств отношение чистого прироста свободных средств сумма чистой прибыли после уплаты налога амортизации и чистого прироста собственных и заемных средств за вычетом осуществленных в отчетном периоде инвестиций к величине платежей по долгосрочным обязательствам погашение займов проценты по ним. Для...
39919. Модели сетевого планирования и управления, назначения, область применения и основные характеристики 66.75 KB
  Сетевой моделью СМ называется экономикоматематическая модель отражающая весь комплекс работ и событий связанных с реализацией проекта в их логической и технологической последовательности и связи. Модели сетевого планирования и управления модели СПУ предназначены для планирования и управления сложными комплексами работ проектами направленными на достижение определенной цели в заданные сроки строительство разработка и производство сложных объектов и др. Область применения: сетевое планирование позволяет осуществлять анализ проекта...