21804

Оценка сложных систем в условиях риска на основе функции полезности

Лекция

Финансы и кредитные отношения

В этом случае целесообразно использовать аксиоматический подход к оценке систем на основе теории полезности. Эффективность систем в вероятностных операциях находится через математическое ожидание функции полезности на множестве исходов . все компоненты векторного критерия на основе предпочтений ЛПР преобразуются в функции полезности компонентов и лишь затем осуществляется свертывание.

Русский

2013-08-03

105 KB

56 чел.

Лекция 8

Оценка сложных систем в условиях риска

на основе функции полезности

Решения, принимаемые в условиях риска, называются вероятностными. Однозначность соответствия между альтернативами и исходами в вероятностных операциях нарушается. Это означает, что каждой альтернативе  ставится в соответствие не один, а множество исходов  с известными условиями вероятностями их появления . Например, из-за ограниченности пропускной способности сетевого оборудования время передачи сообщения может меняться случайным образом по известному закону.

Очевидно, оценивать системы данного типа так, как в детерминированных операциях, нельзя.

В этом случае целесообразно использовать аксиоматический подход к оценке систем на основе теории полезности. Отличие данного подхода от других состоит в том, что свертывание векторного критерия в скалярный производится на основе аксиоматизации предпочтений ЛПР.

Эффективность систем в вероятностных операциях находится через математическое ожидание функции полезности на множестве исходов .

Естественные отношения порядка на шкальных значениях критериев здесь не используются, т.к. все компоненты векторного критерия на основе предпочтений ЛПР преобразуются в функции полезности компонентов и лишь затем осуществляется свертывание.

В теории полезности исходят из того, что критерий эффективности предназначен для выявления предпочтений на альтернативах (исходах операций), что позволяет обеспечить обоснованный выбор решения.

При этом полезность исхода операции – это действительное число, приписываемое исходу операции, которое характеризует его предпочтительность по сравнению с другими альтернативами относительно цели.

Зная возможные альтернативы с их показателями полезности, можно построить функцию полезности, которая дает основу для сравнения и выбора решений.

Функция полезности представляет собой числовую функцию , определенную на множестве альтернатив , , так, что , когда альтернативы  и  неразличимы (); , когда альтернатива  предпочтительнее  ()

Примером построения  является функция, представленная на рисунке.

Рисунок 1 – Пример построения числовой функции

В теории полезности доказывается существование функции полезности, в которой предпочтения ЛПР формулируются в виде аксиом.

Основными аксиомами теории полезности является:

Аксиома 1 – измеримость,

Аксиома 2 – сравнимость,

Аксиома 3 – транзитивность,

Аксиома 4 – коммутативность,

Аксиома 5 – независимость.

Согласно теории полезности при выполнении в реальной задаче оценки систем всех пяти аксиом существует функция полезности, однозначно определенная на множестве всех альтернатив с точностью до монотонного строгого возрастающего линейного преобразования, т.е. полезность измеряется в шкале интервалов.

Процедура определения функции полезности включает в себя 3 этапа:

  •  выявление показателей исходов операции;
    •  определение множества допустимых исходов;
    •  определение показателей полезности исходов операции.

Определение полезности как меры оценки того или иного исхода операции представляет сложную задачу, точные методы решения которой пока не найдены. Все известные способы определения функции полезности носят приближенный характер. Такими способами являются экспертное оценивание и методы аппроксимации.

Определение функции полезности на основе аппроксимации заключается в следующем. При рассмотрении исходов конкретной операции отыскиваются характерные точки, соответствующие, например, экстремумам функции полезности, а неизвестные значения между ними определяются некоторой известной зависимостью. Вид аппроксимации выбирается на основе имеющихся сведений или качественных соображений о показателе полезности исходов. На практике применяются многоступенчатые и другие сложные функции полезности. Наиболее простыми аппроксимациями 1являются одноступенчатое, косинусоидальное и треугольное представлении функции полезности (см. рисунок).

Рисунок 2 – Представление аппроксимации полезности

1 – одноступенчатое, 2 – косинусоидальное, 3 – треугольное

Одноступенчатое представление функции полезности (1) может быть приемлемым для операций, в которых показателем исхода является срок выполнения работ. Например, подготовка презентации в ситуационном центре. В этом случае под исходами А понимается фактическое время готовности компьютерной презентации к работе. Очевидно, что полезность системы при  равна 1, а при  равна 0.

Косинусоидальное и треугольное представление функции полезности могут быть приемлемыми для операций, в которых показателями исхода является интервал времени, при этом функция полезности может быть представлена либо отрезком косинусоиды, либо треугольником.

Эффективность систем в вероятностных операциях находится через математическое ожидание функции полезности на множестве исходов .

При исходах  с дискретными значениями показателей, каждый из которых появляется с условной вероятностью  и имеет полезность , выражение для определения математического ожидания функции полезности записывается в виде

.

При исходах с непрерывными значениями показателей математического ожидания функция полезности определяется как

где  – плотность вероятностей исходов;

– допустимая область векторного пространства исходов.

Критерий оптимальности для вероятностных операций имеет вид

в соответствии с этим критерием оптимальной системой в условиях риска считается система с максимальным значением мат. ожиданием функции полезности на множестве исходов операции.

Сведение задачи оценки систем в вероятностной постановке применимо для операций, имеющих массовый характер, для которых имеется вероятность определить объективные показатели исходов, вероятностные характеристики по параметрам обстановки и законы распределения вероятностей на множестве исходов операции.

Пример. Оценка вариантов конфигурации гетерогенной ЛВС общего пользования. Исследуемая операция – обмен сообщениями между пользователями, система – вариант размещения сетевого оборудования, показатель исхода операции – число переданных сообщений  (дискретная величина).

Данные для оценки сводятся в таблицу.

Вариант 1

60

40

20

0,3

0,5

0,2

0,8

0,5

0,1

0,51

Вариант 2

60

40

20

0,25

0,6

0,15

0,8

0,5

0,1

0,515

Расчеты показывают, что в качестве оптимальной системы должен быть признан вариант 2.

Кроме оптимизации «в среднем» в вероятностных операциях используются и другие критерии оценки систем:

  •  максимум вероятности случайного события;
    •  максимум степени вероятностной гарантии достижения результата не ниже требуемого уровня;
    •  максимум среднего квадрата уклонения результата от требуемого;
    •  минимум дисперсии результата;
    •  минимум среднего (байесовского) риска (минимум средних потерь).

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

1

0

1

2

3

  •  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18363. Цикл внутри цикла 273 KB
  11 урок Цикл внутри цикла. Рассмотрим поэтапное решение а выведем на экран ряд чисел 6 штук через пробел. Обратите внимание на вывод нс после кц тем самым курсор переводится на следующую строку. опечатка в примере надо
18364. Рекуррентное соотношение 184 KB
  12 урок. Рекуррентное соотношение. Рекуррентным называется соотношение при котором очередной элемент последовательности выражается через предыдущий или предыдущие. Вычислить n элемент последовательности n задается с клавиатуры : 235917 где ...
18365. Цикл «Пока» 109 KB
  13 урок цикл Пока Общий вид цикла пока: нц пока условие тело_цикла кц При выполнении цикла пока КУМИР циклически повторяет следующие действия: Проверяет записанное после служебного слова пока условие. Если условие не соблюдается то выполнение цикла...
18366. Массивы - заполнение и простые действия 63 KB
  14 урок. Массивы 1 урокзаполнение и простые действия. Массивы описываются следующим образом: цел таб а[1:50] вещ таб а[1:50] Заполнение массива из 5 чисел внутри алгоритма и нахождение среднего арифметического этих...
18367. Массивы. Обработка элементов 222.5 KB
  15 урок. Массивы. Обработка элементов. Дан массив из 10 элементов вывести их на экран и рассчитать квадратный корень из nэлемента n11 вводится с клавиатуры. Дан массив целых чисел выяснить является ли nэлемент n11 вводится с
18368. Массивы - поиск по условию 662 KB
  16 урок. Массивы поиск по условию. Дан массив из 20 элементовцелых. Вывести на экран первоначальное состояниет.е. сами элементы затем только нечетные и их кво. Дан массив из 10 элементов. Вывести на экран сам массив и номера вхо
18369. Массивы - изменение исходного массива 236 KB
  18 урок. Массивы изменение исходного массива. Массив из 5 элементов. Поменять местами 3 и 5 элементы. Часть а. Массив из 6 элементов. Часть б. Массив из 6 элементов. Удалить из массива 3 элемент. Т.е. 456 элеме
18370. Двумерный массив 353.5 KB
  19 урок. Двумерный массив. 1 урок Двумерный массив задается : цел таб а[1:n11:n2] Массив из целых чисел 4Х4 заполняется генератором случайных чисел. Вывести сначала все элементы построчно на экран и 3 элемент в 1 . Составить программу для вы...
18371. Литерные величины 439 KB
  20 урок. Литерные величины. Команды обработки литерныхтекстовых величин: а:=длинб результатом является число символов в текстовой переменной. Вырезка а[3:5] например: дает вырезку с 3 символа по пятый. Взятие символа а[3] выводит 3 символ