21804

Оценка сложных систем в условиях риска на основе функции полезности

Лекция

Финансы и кредитные отношения

В этом случае целесообразно использовать аксиоматический подход к оценке систем на основе теории полезности. Эффективность систем в вероятностных операциях находится через математическое ожидание функции полезности на множестве исходов . все компоненты векторного критерия на основе предпочтений ЛПР преобразуются в функции полезности компонентов и лишь затем осуществляется свертывание.

Русский

2013-08-03

105 KB

44 чел.

Лекция 8

Оценка сложных систем в условиях риска

на основе функции полезности

Решения, принимаемые в условиях риска, называются вероятностными. Однозначность соответствия между альтернативами и исходами в вероятностных операциях нарушается. Это означает, что каждой альтернативе  ставится в соответствие не один, а множество исходов  с известными условиями вероятностями их появления . Например, из-за ограниченности пропускной способности сетевого оборудования время передачи сообщения может меняться случайным образом по известному закону.

Очевидно, оценивать системы данного типа так, как в детерминированных операциях, нельзя.

В этом случае целесообразно использовать аксиоматический подход к оценке систем на основе теории полезности. Отличие данного подхода от других состоит в том, что свертывание векторного критерия в скалярный производится на основе аксиоматизации предпочтений ЛПР.

Эффективность систем в вероятностных операциях находится через математическое ожидание функции полезности на множестве исходов .

Естественные отношения порядка на шкальных значениях критериев здесь не используются, т.к. все компоненты векторного критерия на основе предпочтений ЛПР преобразуются в функции полезности компонентов и лишь затем осуществляется свертывание.

В теории полезности исходят из того, что критерий эффективности предназначен для выявления предпочтений на альтернативах (исходах операций), что позволяет обеспечить обоснованный выбор решения.

При этом полезность исхода операции – это действительное число, приписываемое исходу операции, которое характеризует его предпочтительность по сравнению с другими альтернативами относительно цели.

Зная возможные альтернативы с их показателями полезности, можно построить функцию полезности, которая дает основу для сравнения и выбора решений.

Функция полезности представляет собой числовую функцию , определенную на множестве альтернатив , , так, что , когда альтернативы  и  неразличимы (); , когда альтернатива  предпочтительнее  ()

Примером построения  является функция, представленная на рисунке.

Рисунок 1 – Пример построения числовой функции

В теории полезности доказывается существование функции полезности, в которой предпочтения ЛПР формулируются в виде аксиом.

Основными аксиомами теории полезности является:

Аксиома 1 – измеримость,

Аксиома 2 – сравнимость,

Аксиома 3 – транзитивность,

Аксиома 4 – коммутативность,

Аксиома 5 – независимость.

Согласно теории полезности при выполнении в реальной задаче оценки систем всех пяти аксиом существует функция полезности, однозначно определенная на множестве всех альтернатив с точностью до монотонного строгого возрастающего линейного преобразования, т.е. полезность измеряется в шкале интервалов.

Процедура определения функции полезности включает в себя 3 этапа:

  •  выявление показателей исходов операции;
    •  определение множества допустимых исходов;
    •  определение показателей полезности исходов операции.

Определение полезности как меры оценки того или иного исхода операции представляет сложную задачу, точные методы решения которой пока не найдены. Все известные способы определения функции полезности носят приближенный характер. Такими способами являются экспертное оценивание и методы аппроксимации.

Определение функции полезности на основе аппроксимации заключается в следующем. При рассмотрении исходов конкретной операции отыскиваются характерные точки, соответствующие, например, экстремумам функции полезности, а неизвестные значения между ними определяются некоторой известной зависимостью. Вид аппроксимации выбирается на основе имеющихся сведений или качественных соображений о показателе полезности исходов. На практике применяются многоступенчатые и другие сложные функции полезности. Наиболее простыми аппроксимациями 1являются одноступенчатое, косинусоидальное и треугольное представлении функции полезности (см. рисунок).

Рисунок 2 – Представление аппроксимации полезности

1 – одноступенчатое, 2 – косинусоидальное, 3 – треугольное

Одноступенчатое представление функции полезности (1) может быть приемлемым для операций, в которых показателем исхода является срок выполнения работ. Например, подготовка презентации в ситуационном центре. В этом случае под исходами А понимается фактическое время готовности компьютерной презентации к работе. Очевидно, что полезность системы при  равна 1, а при  равна 0.

Косинусоидальное и треугольное представление функции полезности могут быть приемлемыми для операций, в которых показателями исхода является интервал времени, при этом функция полезности может быть представлена либо отрезком косинусоиды, либо треугольником.

Эффективность систем в вероятностных операциях находится через математическое ожидание функции полезности на множестве исходов .

При исходах  с дискретными значениями показателей, каждый из которых появляется с условной вероятностью  и имеет полезность , выражение для определения математического ожидания функции полезности записывается в виде

.

При исходах с непрерывными значениями показателей математического ожидания функция полезности определяется как

где  – плотность вероятностей исходов;

– допустимая область векторного пространства исходов.

Критерий оптимальности для вероятностных операций имеет вид

в соответствии с этим критерием оптимальной системой в условиях риска считается система с максимальным значением мат. ожиданием функции полезности на множестве исходов операции.

Сведение задачи оценки систем в вероятностной постановке применимо для операций, имеющих массовый характер, для которых имеется вероятность определить объективные показатели исходов, вероятностные характеристики по параметрам обстановки и законы распределения вероятностей на множестве исходов операции.

Пример. Оценка вариантов конфигурации гетерогенной ЛВС общего пользования. Исследуемая операция – обмен сообщениями между пользователями, система – вариант размещения сетевого оборудования, показатель исхода операции – число переданных сообщений  (дискретная величина).

Данные для оценки сводятся в таблицу.

Вариант 1

60

40

20

0,3

0,5

0,2

0,8

0,5

0,1

0,51

Вариант 2

60

40

20

0,25

0,6

0,15

0,8

0,5

0,1

0,515

Расчеты показывают, что в качестве оптимальной системы должен быть признан вариант 2.

Кроме оптимизации «в среднем» в вероятностных операциях используются и другие критерии оценки систем:

  •  максимум вероятности случайного события;
    •  максимум степени вероятностной гарантии достижения результата не ниже требуемого уровня;
    •  максимум среднего квадрата уклонения результата от требуемого;
    •  минимум дисперсии результата;
    •  минимум среднего (байесовского) риска (минимум средних потерь).

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

1

0

1

2

3

  •  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85196. Система биполярного мира после Второй мировой войны 26.8 KB
  Основной причиной противостояния была борьба СССР и США за геополитическое превосходство прежде всего в Европе. Начало оформлению политики холодной войны положила доктрина Трумэна 1947 внешнеполитическая программа США которая высказывала просьбу выделить помощь 400 млн Греции и Турции обосновывая это тем что США должны оказывать поддержку свободным народом Предложения США критиковались правительством СССР которое считало что они фактически означают подчинение экономики западноевропейских стран экономике США и нарушают их...
85197. Социально-экономическое развитие БССР во второй половине 1940-х – первой половине 1980-х годах 28.42 KB
  Сталин обещал улучшить жизнь втрое поднять уровень пром. Основная цель 4ой пятилетки достигнуть довоенного уровня производства в пром. Развитие промышленности планировалосьза счёт с х и снижения общего уровня жизни населения. Уже в 49г промыш.
85198. Общественно-политическая жизнь БССР (1945 - 1985 гг.) 27.61 KB
  Хрущевская оттепель ХХ съезд КПСС 1956 с его разобличения культа личности вызвали глубокие изменения в общественнополитического сознания. После ХХ съезд КПСС в Беларуси началась реабилитация жертв сталинских репрессий. Октябрьский 1964 пленум ЦК КПСС избрал первым секретарем партии Л. пленума ЦК КПСС который избрал Ю.
85199. Политика политической и экономической модернизации СССР и БССР в годы перестройки (вторая половина 1980-х гг.) 26.41 KB
  Требовалось реформирование политикоэкономической системы которая в основе своей сформировалась в СССР в 2030е гг. В июне 1987 Верховный Совет СССР принял Закон СССР О государственном предприятии а потом Совет Министров СССР и ЦК КПСС приняли ряд документов о радикальной экономической реформе.
85200. Духовная жизнь и культура Беларуси в 1945-1990 гг 27.2 KB
  Так же в первое послевоенное десятилетие были открыты новее вузы Бел. Значительные сдвиги произошли в развитии бел. Была издана История БССР в 5ти томах и Бел советская Энциклопедия в 12 томах.
85201. Изменения в социально-экономической и политической картине мира в конце XX - начале XXI в. Распад Восточного блока 27.13 KB
  Положив в основу общественного прогресса прежде всего эк. фактор и поставив человека в положение лишь средства для достижения своих целей, Советское гос-во все более отставало от передовых стран мира в научно-технолог. плане, в повышении производит-ти труда. В рез-те общество оказалось скованным жесткими предрассудками...
85202. Распад СССР и оформление государственного суверенитета Республики Беларусь 32.92 KB
  Собственностью республики объявлялись предприятия организации и учреждения союзного подчинения размещенные на ее территории. было принято решение об изменении символики республики и переименовании Белорусской Советской Социалистической Республики в ldquo;Республику Беларусьrdquo; или ldquo;Беларусьrdquo;. в Министерстве юстиции Республики было зарегистрировано 34 пол партии.
85203. Государственные программы развития Республики Беларусь 27.14 KB
  Геополитическое положение Республики Беларусь 1990е 2012 г. Республика Беларусь независимое государство. Республика Беларусь по своему географическому положению находится в центре Европы а также занимает срединную часть Евразийского континента в целом.
85204. Духовная и культурная жизнь белорусского народа (вторая половина 1980-х - 2012 г.) 27.56 KB
  В соответствии с законом правительство приняло программу развития белорусского языка и языков других национальностей, проживающих в республике. Программа расширяла сферы применения белорусского языка в государственных структурах, на производстве, в учебных заведениях.