21804

Оценка сложных систем в условиях риска на основе функции полезности

Лекция

Финансы и кредитные отношения

В этом случае целесообразно использовать аксиоматический подход к оценке систем на основе теории полезности. Эффективность систем в вероятностных операциях находится через математическое ожидание функции полезности на множестве исходов . все компоненты векторного критерия на основе предпочтений ЛПР преобразуются в функции полезности компонентов и лишь затем осуществляется свертывание.

Русский

2013-08-03

105 KB

48 чел.

Лекция 8

Оценка сложных систем в условиях риска

на основе функции полезности

Решения, принимаемые в условиях риска, называются вероятностными. Однозначность соответствия между альтернативами и исходами в вероятностных операциях нарушается. Это означает, что каждой альтернативе  ставится в соответствие не один, а множество исходов  с известными условиями вероятностями их появления . Например, из-за ограниченности пропускной способности сетевого оборудования время передачи сообщения может меняться случайным образом по известному закону.

Очевидно, оценивать системы данного типа так, как в детерминированных операциях, нельзя.

В этом случае целесообразно использовать аксиоматический подход к оценке систем на основе теории полезности. Отличие данного подхода от других состоит в том, что свертывание векторного критерия в скалярный производится на основе аксиоматизации предпочтений ЛПР.

Эффективность систем в вероятностных операциях находится через математическое ожидание функции полезности на множестве исходов .

Естественные отношения порядка на шкальных значениях критериев здесь не используются, т.к. все компоненты векторного критерия на основе предпочтений ЛПР преобразуются в функции полезности компонентов и лишь затем осуществляется свертывание.

В теории полезности исходят из того, что критерий эффективности предназначен для выявления предпочтений на альтернативах (исходах операций), что позволяет обеспечить обоснованный выбор решения.

При этом полезность исхода операции – это действительное число, приписываемое исходу операции, которое характеризует его предпочтительность по сравнению с другими альтернативами относительно цели.

Зная возможные альтернативы с их показателями полезности, можно построить функцию полезности, которая дает основу для сравнения и выбора решений.

Функция полезности представляет собой числовую функцию , определенную на множестве альтернатив , , так, что , когда альтернативы  и  неразличимы (); , когда альтернатива  предпочтительнее  ()

Примером построения  является функция, представленная на рисунке.

Рисунок 1 – Пример построения числовой функции

В теории полезности доказывается существование функции полезности, в которой предпочтения ЛПР формулируются в виде аксиом.

Основными аксиомами теории полезности является:

Аксиома 1 – измеримость,

Аксиома 2 – сравнимость,

Аксиома 3 – транзитивность,

Аксиома 4 – коммутативность,

Аксиома 5 – независимость.

Согласно теории полезности при выполнении в реальной задаче оценки систем всех пяти аксиом существует функция полезности, однозначно определенная на множестве всех альтернатив с точностью до монотонного строгого возрастающего линейного преобразования, т.е. полезность измеряется в шкале интервалов.

Процедура определения функции полезности включает в себя 3 этапа:

  •  выявление показателей исходов операции;
    •  определение множества допустимых исходов;
    •  определение показателей полезности исходов операции.

Определение полезности как меры оценки того или иного исхода операции представляет сложную задачу, точные методы решения которой пока не найдены. Все известные способы определения функции полезности носят приближенный характер. Такими способами являются экспертное оценивание и методы аппроксимации.

Определение функции полезности на основе аппроксимации заключается в следующем. При рассмотрении исходов конкретной операции отыскиваются характерные точки, соответствующие, например, экстремумам функции полезности, а неизвестные значения между ними определяются некоторой известной зависимостью. Вид аппроксимации выбирается на основе имеющихся сведений или качественных соображений о показателе полезности исходов. На практике применяются многоступенчатые и другие сложные функции полезности. Наиболее простыми аппроксимациями 1являются одноступенчатое, косинусоидальное и треугольное представлении функции полезности (см. рисунок).

Рисунок 2 – Представление аппроксимации полезности

1 – одноступенчатое, 2 – косинусоидальное, 3 – треугольное

Одноступенчатое представление функции полезности (1) может быть приемлемым для операций, в которых показателем исхода является срок выполнения работ. Например, подготовка презентации в ситуационном центре. В этом случае под исходами А понимается фактическое время готовности компьютерной презентации к работе. Очевидно, что полезность системы при  равна 1, а при  равна 0.

Косинусоидальное и треугольное представление функции полезности могут быть приемлемыми для операций, в которых показателями исхода является интервал времени, при этом функция полезности может быть представлена либо отрезком косинусоиды, либо треугольником.

Эффективность систем в вероятностных операциях находится через математическое ожидание функции полезности на множестве исходов .

При исходах  с дискретными значениями показателей, каждый из которых появляется с условной вероятностью  и имеет полезность , выражение для определения математического ожидания функции полезности записывается в виде

.

При исходах с непрерывными значениями показателей математического ожидания функция полезности определяется как

где  – плотность вероятностей исходов;

– допустимая область векторного пространства исходов.

Критерий оптимальности для вероятностных операций имеет вид

в соответствии с этим критерием оптимальной системой в условиях риска считается система с максимальным значением мат. ожиданием функции полезности на множестве исходов операции.

Сведение задачи оценки систем в вероятностной постановке применимо для операций, имеющих массовый характер, для которых имеется вероятность определить объективные показатели исходов, вероятностные характеристики по параметрам обстановки и законы распределения вероятностей на множестве исходов операции.

Пример. Оценка вариантов конфигурации гетерогенной ЛВС общего пользования. Исследуемая операция – обмен сообщениями между пользователями, система – вариант размещения сетевого оборудования, показатель исхода операции – число переданных сообщений  (дискретная величина).

Данные для оценки сводятся в таблицу.

Вариант 1

60

40

20

0,3

0,5

0,2

0,8

0,5

0,1

0,51

Вариант 2

60

40

20

0,25

0,6

0,15

0,8

0,5

0,1

0,515

Расчеты показывают, что в качестве оптимальной системы должен быть признан вариант 2.

Кроме оптимизации «в среднем» в вероятностных операциях используются и другие критерии оценки систем:

  •  максимум вероятности случайного события;
    •  максимум степени вероятностной гарантии достижения результата не ниже требуемого уровня;
    •  максимум среднего квадрата уклонения результата от требуемого;
    •  минимум дисперсии результата;
    •  минимум среднего (байесовского) риска (минимум средних потерь).

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

1

0

1

2

3

  •  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76771. Локтевой сустав 179.76 KB
  Шаровидный плечелучевой сустав изза тесной связи с другими двумя суставами утрачивает одну ось и движения в нем осуществляются по фронтальной и продольной оси. Капсула спереди и сзади тонкая возможность вывихов и укреплена по бокам внутри и снизу связками: боковыми коллатеральными: локтевой и лучевой; внутрисуставной кольцевой связкой лучевой кости; снизу квадратной – между лучевой шейкой и дистальным краем лучевой вырезки на локтевой кости. Спереди у лучевой шейки возникает слепое синовиальное выпячивание.
76772. Суставы кисти 182.29 KB
  Среди запястнопястных суставов особое место занимает запястнопястный сустав большого пальца так как в процессе антропогенеза в нем сложились специфические приспособления для противопоставления оппозициорепозицио его остальным пальцам. Они сводятся к следующему: изоляции сустава от остальных запястнопястных суставов; формированию седловидной суставной поверхности у коститрапеции и I пястной кости; наличию широкой свободной капсулы; наклону фронтальной оси к ладони что обеспечивает не только сгибание и разгибание но и смещение пальца...
76773. Развитие и строение скелета нижней конечности 185.87 KB
  Все кости проходят через три стадии остеогенеза: фиброзную хрящевую костную. Скелет нижней конечности состоит из пояса правая и левая тазовые кости и свободной части включающей бедренную кость надколенник берцовые кости голени большую и малую кости стопы с предплюсной плюсной и фалангами пальцев. В предплюсну входят кости : пяточная и таранная ладьевидная клиновидные медиальная промежуточная латеральная и кубовидная. Плюсневых костей пять – это короткие трубчатые кости.
76774. Кости таза и их соединения 183.03 KB
  Соединения костей таза: крестцовоподзвдошный сустав – плоский трехосный с очень малым объемом движений образован ушковидными суставными поверхностями крестца и подвздошной кости; имеет прочную и сильно натянутую капсулу укрепленную крестцовоподвздошными связками: вентральными межкостными и дорсальными; крестцовокопчиковый сустав – между верхушкой крестца и I копчиковым позвонком в межпозвоночном диске сустава щель зарастает после 50 лет; сустав укреплен крестцовокопчиковыми связками: вентральными дорсальными и глубокими дорсальными...
76775. Тазобедренный сустав 180.98 KB
  Суставная капсула состоящая из фиброзной и синовиальной мембран прикрепляется по краю вертлужной губы а на бедренной кости по шейке: спереди по межвертельной линии сзади – внутрь от межвертельного гребня. Внутри сустава располагается связка головки бедренной кости которая в период его формирования удерживает головку во впадине. Они кровоснабжаются следующими артериями: подвздошнопоясничной верхней ягодичной запирательной наружной половой глубокой и латеральной окружающими подвздошную кость нисходящей коленной мышечными ветвями...
76776. Коленный сустав 180.6 KB
  К внутренним связкам относятся крестообразные: передняя и задняя заполняющие межмыщелковую яму бедренной кости и межмыщелковое поле большеберцовой кости. Коленный сустав – типичный мыщелковый сложный и комплексный в нем выполняются следующие движения: вокруг фронтальной оси: сгибание и разгибание с размахом в 140150 о; сгибание тормозят крестовидные связки и сухожилие четырехглавой мышцы; мыщелки бедренной кости при этом скользят по менискам; вокруг продольной вертикальной оси объем активного вращения в среднем 15 о пассивного – 3035...
76777. Голеностопный сустав 179.01 KB
  По бокам капсула толстая и прочная спереди и сзади – тонкая рыхлая складчатая; усилена боковыми связками: медиальной дельтовидной – толстой прочной веером расходящейся от медиальной лодыжки к таранной ладьевидной и пяточной костям; в связке выделяют части: большеберцоволадьевидную большеберцовопяточную переднюю и заднюю большеберцовотаранные; латеральной в составе передней таранномалоберцовой задней таранномалоберцовой пяточномалоберцовой связок. Они кровоснабжаются мышечными ветвями задней большеберцовой и малоберцовой...
76778. Кости голени и стопы, их соединения 186.1 KB
  На диафизе большеберцовой кости располагаются: передний край острый – кверху переходит в бугристость латеральный край обращенный к малоберцовой кости и медиальный край; поверхности: медиальная латеральная и задняя с линией камбаловидной мышцы. Ядра окостенения в большеберцовой кости появляются в проксимальном эпифизе в конце плодного периода в дистальном – на 2м году жизни в диафизе – в начале плодного периода. Кости стопы подразделяются на кости предплюсны: 7 коротких губчатых костей и кости плюсны в составе 5 коротких трубчатых...
76779. Общая анатомия мышц 183.23 KB
  Скелетные мышцы связаны с костями и действуют вместе с ними и суставами в единой биомеханической системе рычагов обеспечивая статику и динамику тела. Гладкие мышцы располагаются в коже сосудах стенках полых внутренних органов выделительных протоках желез. Сила мышцы на 1 см 2 ее поперечного сечения называется абсолютной и составляет от 50 до 100 Н что зависит от длины мышечных волокон и площади поперечного сечения.