21811

Методы прогнозирования

Лекция

Финансы и кредитные отношения

Методы вероятностного прогнозирования 13.3 Методы долгосрочного прогнозирования Литература 1 Анфилатов В. Методы прогнозирования основываются на предположении о сохранении в будущем существующих закономерностей развития или на предстоящих качественных изменениях системы.

Русский

2013-08-03

186.5 KB

12 чел.

Лекция 13

Методы прогнозирования

Вопросы:

13.1 Экстраполирование

13.2. Методы вероятностного прогнозирования

13.3 Методы долгосрочного прогнозирования

Литература

1 Анфилатов В.С. и др. Системный анализ в управлении. – М.: Финансы и статистика, 2003 г. – стр. 229-240.

Методы прогнозирования основываются на предположении о сохранении в будущем существующих закономерностей развития или на предстоящих качественных изменениях системы.

В первом случае для краткосрочных и среднесрочных прогнозов (планирования) используются методы экстраполяции.

Во втором случае, как правило, для долгосрочных прогнозов – методы искусственного интеллекта или теории катастроф

Методы экстраполяции относятся к аналитическим методам прогнозирования состояния систем. Примером экстраполяции служит прогнозирование значений какой-либо величины по имеющимся данным. В качестве исходной информации при этом берутся временные ряды динамики параметров системы - набор наблюдений некоторых числовых характеристик (параметров) системы, взятых в равноотстоящие или неравноотстоящие моменты времени за определенный период.

Средства искусственного интеллекта опираются на методы качественного оценивания систем. Примером применения подобных методов являются экспертные системы.

13.1 Экстраполирование  

В основе методов экстраполяции лежит понятие интерполирования. Известно, что интерполированием называется процесс вычисления промежуточных значений функции на основании заданного ряда значений этой функции. В широком смысле слова интерполирование - это представление некоторой функции известного или неизвестного вида, ряд значений которой при определенных значениях независимой переменной задан при помощи другой, более простой функции.

Пусть  будет функцией, заданной рядом значений , которые она принимает при значениях  независимой переменной х, и пусть  обозначает произвольную более простую функцию, принимающую для  те же самые значения, что и . Замена в пределах данного интервала на  и есть интерполирование.

Формула , которая при этом получается для вычисления значений у, называется интерполяционной формулой.

Функция  может иметь различный вид. Когда  есть полином, процесс замещения  через  называется параболическим, или полиномиальным интерполированием. Когда  есть тригонометрический полином, процесс называется тригонометрическим интерполированием. Функция  может быть также составлена из показательных функций, полиномов Лежандра, функцией Бесселя и т.д.

В практических задачах в качестве  выбирается простейшая функция, могущая заменить данную функцию на рассматриваемом интервале. Так как самой простой функцией является полином, почти все основные интерполяционные функции являются полиномиальными. В случае когда известно, что данная функция  периодична, лучше заменить ее тригонометрическим полиномом.

Теоретическое обоснование замены данной функции полиномом или тригонометрическим полиномом опирается на две замечательные теоремы, доказанные Вейерштрассом в 1885 г. Эти теоремы можно сформулировать так.

Теорема 1. Любая непрерывная в интервале  функция может быть заменена в нем с любой степенью точности полиномом.

Другими словами, можно найти такой полином Р(х), что  для каждого значения х в интервале , причем есть любая положительная величина.

Теорема 2. Любая непрерывная с периодом 2 функция может быть заменена тригонометрическим полиномом вида

 

так, что  для каждого значения х в рассматриваемом интервале, причем есть любая положительная величина.

Геометрический смысл этих теорем состоит в том, что если нанести графики функций ,  и , то можно найти многочлен или тригонометрический многочлен, график которого будет находиться внутри области, ограниченной кривыми  и  при всех значениях х между а и b, как бы мало ни было (рис. 13.1).

Рисунок 13.1 – Интерполирование функции полиномом:

1 – верхнее ограничение ; 2 - функция ;

3 - полином у = Р(х); 4 - нижнее ограничение

При таком представлении процесса интерполирования становится понятно, что экстраполирование - это процесс вычисления значения функций, находящегося за пределами ряда заданных значений.

Экстраполирование нужно применять с осторожностью. Но если известно, что функция около концов данного ряда значений изменяется плавно, и если х берется достаточно малым, то можно спокойно экстраполировать на расстояние х за пределами ряда имеющихся значений.

Для проведения интерполирования существует ряд формул, рассматриваемых в численных методах математического анализа. При их применении в прогнозировании следует учитывать, что если число точек  неограниченно возрастает, то интерполирующий полином превращается в бесконечный ряд, называемый интерполяционным рядом. И подобно тому как степенной ряд сходится внутри и расходится во вне некоторого определенного интервала, так и интерполяционный ряд сходится к заданной функции внутри некоторого интервала и перестает к ней сходиться вне его.

Поскольку увеличение периода упреждения прогноза х влечет за собой увеличение степени неопределенности процессов развития системы, то в методах экстраполяции выделяют статистические методы.

13.2. Методы вероятностного прогнозирования

Методы вероятностного прогнозирования опираются на теорию вероятностей, математическую статистику и теорию случайных процессов.

К этим методам прогнозирования относят:

  •  методы многофакторного анализа (регрессионные модели, адаптивное сглаживание, метод группового учета аргументов, имитационные модели, многомерная фильтрация и др.);
  •  методы однофакторного прогнозирования (экспоненциальное сглаживание, метод скользящего среднего, метод разностных уравнений, спектральные методы, метод Марковских цепей, оптимальные фильтры, сплайн функции, метод авторегрессии и др.).

Теория случайных процессов имеет дело с исследованием структуры семейств случайных величин , где t - параметр, принадлежащий множеству Т. Случайные процессы, у которых , особенно важны для прогнозирования. При этом t интерпретируется как время. Реализацией, или выборочной функцией, случайного процесса {Xt, tT} является функция, ставящая в соответствие каждому tT одно из возможных значений . Множество параметров Т может быть дискретным, a {Xt} может при этом представлять исходы последовательных испытаний, таких, как результаты бросаний монеты, последовательность состояний системы при различных воздействиях и др.

Весьма важным примером случайного процесса, непрерывного по времени , является пуассоновский процесс. Его выборочная функция Xt представляет собой число регистрации наступления некоторого события за период от 0 до текущего момента времени t. Очевидно, всякая возможная реализация Xt есть неубывающая ступенчатая функция. Общее число наступлений события возрастает только единичными скачками, a X0 = 0. Конкретными примерами наблюдаемых величин, образующих подобного рода процессы, являются число телефонных вызовов из данного района, число происшествий на данном перекрестке, число ошибок на странице машинописного текстам т.д. Свойствами пуассоновских процессов являются:

  •  независимость числа наступлений события в некотором интервале от числа поступлений этого события в любом другом, не пересекающемся с ним интервале;
  •  вероятность того, что за период времени h произойдет, по меньшей мере, одно событие, есть ,причем  при  означает, что ;
  •  вероятность того, что за время h произойдут два или более событий, есть o(h), что означает невозможность одновременного появления двух и более событий.

Если перечисленные условия выполняются, то в качестве прогноза может быть получена вероятность  того, что за время t произойдет ровно m событий. Эта вероятность равна

,

где а - параметр процесса, причем .

В частности, среднее число наступления события за время t равно at.

Модель пуассоновских процессов совместно с порядковыми статистиками используется для решения задачи о баллотировке (выборах). Многомерные пуассоновские процессы используются в астрономии.

Одной из основных моделей случайных процессов, используемой в прогнозировании, является модель Марковских цепей. Такими моделями описывается большое количество физических, биологических, экономических, технических и других явлений.

Дискретная Марковская цепь представляет собой Марковский случайный процесс, пространство состояний которого счетно или конечно. Кроме того, множество индексов Т = (1, 2, 3 ...).

Марковский процесс - это процесс, обладающий тем свойством, что если известно значение случайной величины Xt, то значения Xs, s > t не зависят от Хu, u < t, другими словами, вероятность любого события, связанного с будущим поведением процесса при условии, что его настоящее состояние точно известно, не изменится, если учесть дополнительную информацию относительно прошлого этого процесса.

Формально процесс является Марковским, если

=

Классическими примерами цепей Маркова являются процессы рождения и гибели (прогнозирование численности популяции организмов), ветвящиеся процессы (моделирование электронных умножителей, развитие нейтронной цепной реакции, развитие биологических систем), броуновское движение (физические и социальные процессы), вероятностные модели мутаций и роста, модели иммиграции и роста популяции, описание генетического механизма, модели экологических процессов, системы массового обслуживания.

При использовании моделей случайных процессов предполагает знание законов распределения случайных величин. К сожалению, во многих реальных системах, в частности в информационных системах, знание этих законов не полно. В таких условиях применяются методы прогнозирования, основанные на неравенстве Чебышева, представляемом как

или как

где   - математическое ожидание;

- дисперсия случайной величины.

Особенность приведенных выражений заключается в том, что они способны аппроксимировать любой закон распределения и, следовательно, заменить его собой. Достаточно знать только Мх и Dx, чтобы построить нужную аппроксимацию. При этом сохраняются простота модели, умеренные требования к исходным данным, однозначность рекомендаций.

Однако следует понимать, что применение неравенства Чебышева дает возможность получить лишь ориентировочные оценки прогнозируемой величины и затрудняет оценку погрешности прогноза.

13.3 Методы долгосрочного прогнозирования

В случае, когда требуется получить долгосрочный прогноз развития какого-либо процесса, часто используется аппроксимация логистической зависимостью, называемой также сигмоидальной (S-образной) функцией

,

где a, b, с - некоторые положительные величины, выбираемые в соответствии с имеющейся информацией об изучаемых явлениях.

Особенностью логистической кривой (рис. 13.2) является то, что существует предел а, к которому стремятся значения исследуемой переменной у, например, население Земли, рост производительности труда, уровень возбуждения искусственного персептрона в нейронных сетях, при .

Рисунок 13.2 – Логистическая кривая:

Использование логистической кривой облегчает поиск приемлемых оценок будущего. Однако следует помнить, что в жизненном цикле систем существуют периоды сравнительно медленных эволюционных изменений и периоды скачкообразных изменений состояния.

Каких-либо универсальных формальных правил надежного прогнозирования скачкообразных изменений состояния систем в настоящее время не существует. Однако в ряде случаев для прогнозирования таких изменений используются модель теории катастроф.

В литературе описывается использование теории катастроф в оптике, лингвистике, экономике, гидродинамике, психологии, геологии и других предметных областях. Однако имеется также много публикаций, специально посвященных критике этой теории.

При использовании любых методов прогнозирования возникают проблемы, связанные с оценкой качества прогноза. Эти проблемы решаются в процессе верификации прогноза - по совокупности критериев, способов и процедур, позволяющих на основе многостороннего анализа оценить достоверность, точность и обоснованность прогноза. В управлении качество прогноза может оцениваться по результату его использования для целей планирования.

Общие методы верификации прогнозов пока не выработаны. Однако считается, что доверительный прогнозный интервал не может быть меньше определенной величины, зависящей от инерционности, связности, сложности системы, устойчивости динамики и т.д. Так, чем более инерционной является система, тем более гладкой и устойчивой представляется траектория ее изменения, и, следовательно, вероятность попадания прогнозируемой величины в доверительный интервал больше.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24906. Приобретение и прекращение права собственности 68.5 KB
  Приобретение и прекращение права собственности. Приобретение права собственности. Основаниями возникновения права собственности являются различные правопорождающие юридические факты обстоятельства реальной жизни которые влекут возникновение права собственности. Эти основания называются титулами собственности.
24907. Право общей собственности граждан (понятие, виды, осуществление) 71 KB
  Таким образом общая собственность не является какойто новой особой разновидностью формой собственности она основывается на существующих формах собственности. Право общей собственности в объективном смысле совокупность правовых норм закрепляющих регламентирующих и охраняющих принадлежность составляющего единое целое имущества одновременно двум и более лицам. Право общей собственности в субъективном смысле право двух или более лиц сообща и по своему усмотрению владеть пользоваться распоряжаться принадлежащим им имуществом...
24908. Понятие гражданского права. Гражданское право как частное право 39 KB
  Понятие гражданского права. Гражданское право как частное право Гражданское право стержневая базисная отрасль права любой развитой правовой системы. Своим происхождением гражданское право обязано древнейшей части римского частного права ius civile ius Quiritum праву исконных граждан Рима. Со временем гражданское право охватило собой большую часть норм права частного и стало нередко с ним отождествляться.
24909. Гражданское законодательство: понятие, система, проблемы совершенствования 47.5 KB
  Однако в актах ГЗ ГП нормы преобладают. Однако имеются и императивные нормы. Более того в случае сомнения следует исходить из презумпции императивности нормы гражданского права. Следует иметь в виду что нормы ГП нередко содержатся и в законодательстве о хозяйственной деятельности коммерческом или предпринимательском законодательстве.
24910. Общая характеристика зарубежного гражданского и торгового права 39 KB
  Общая характеристика зарубежного гражданского и торгового права Гражданское и торговое право являются важнейшими отраслями зарубежного права. Гражданское т торговое право две отрасли две тесно переплетающиеся ветви частного права. Наличие в зарубежном частном праве гражданского и торгового права принято называть дуализмом частного права. В университетах ФРГ Испании Японии и многих других стран отдельно преподаются нередко самостоятельными кафедрами курсы гражданского и торгового права.
24911. Гражданское правоотношение: понятие, содержание, виды 34 KB
  Однако данное понятие не соответствует существу правоотношения в силу деления его на юридическое идеальное и фактическое поэтому следует придерживаться первой трактовки. Элементами правоотношения юридическая форма являются: субъекты правоотношения; объект правоотношения материальные и нематериальные блага на которые направлено фактическое отношение подвергающееся правовому воздействию или по поводу которых это отношение возникло; юридические факты т. Субъект правоотношения поведение которого рассматривается как юридически...
24912. Граждане как субъекты гражданского права 37.5 KB
  К таким признакам относятся: имя гражданство возраст семейное положение пол состояние здоровья Имя: Право на имя является важнейшим неимущественным правом гражданина. Возраст: имеет большое значение при решении вопросов об объявлении н л гражданина полностью дееспособным эмансипация при вступлении гражданина в члены кооперативных организаций при определении круга наследников а также лиц имеющих право на возмещение вреда причиненного здоровью и др. Основным документом подтверждающим возраст является свидетельство о рождении...
24913. Виды юридических лиц и их классификация 30.5 KB
  ГК предусмотрены следующие формы НКО: потребительский кооператив; общественные религиозные организации и их объединения; фонды; учреждения; ассоциации и союзы коммерческих и некоммерческих организаций. Закон о НКО помимо указанных форм предусматривает: государственные корпорации например Объединенная Авиастроительная Корпорация во главе которой С.Иванов; некоммерческие партнерства; автономные НКО. Также в зависимости от прав участников учредителей ЮЛ делятся: на собственников в отношении которых участники учредители...
24914. Возникновение и прекращение юридических лиц. Правоспособность юридического лица 62.5 KB
  Правоспособность юридического лица Участниками гражданских правоотношений являются не только физические лица граждане но и юридические лица организации специально создаваемые для участия в гражданском обороте. несколько способов порядков создания юридических лиц: явочнонормативный исключает необходимость получения предварительного разрешения органов публичной власти на создание юридического лица. В таком порядке создается большинство юридических лиц разрешительный порядок связан с необходимостью получения предварительного...